1 Αριθµητική Γραµµική Άλγεβρα: Ασκήσεις

Transcript

1 Αριθµητική Γραµµική Άλγεβρα: Ασκήσεις. Να επιλυθεί το σύστηµα µε απαλοιφή Gauss: 3x 2x 3 +x 4 = 2x + +x 3 +3x 4 = 6 x +3 +2x 3 +4x 4 = 2x 2 +3x 3 2x 4 = 7 [ΑΠΑΝΤΗΣΗ:x 4 = 0, =, x 3 = 3, x = 2] 2. Να επιλυθεί το σύστηµα µε απαλοιφή Gauss: 3x 5 +7x 3 = 2 x +2 3x 3 = 2 x 4 +7x 3 = 0 [ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις: = 2x 3 4, x = x 3 6 για αυθαίρετες τιµές του x 3 ] 3. Να επιλυθεί το σύστηµα ( ) ( x ) = ( ) τόσο χωρίς όσο και µε οδήγηση και να συγκριθούν τ αποτελέσµατα αν υποτεθεί ότι οι υπολογισµοί γίνονται από υπολογιστή που µπορεί να αποθηκεύει µόνον µέχρι 3 δεκαδικά ψηφία. [ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Χωρίς οδήγηση: = 00 και 00 = 99.0 οπότε = 99/00 = και x = ( 0.990)/0.0 =. Με οδήγηση: = και 0.0 = οπότε = 0.99 και x = = 0.990] 4. Να επιλυθεί το σύστηµα x x 3 = (α) Επακριβώς (ϐ) Σε υπολογιστή µε δυνατότητα αποθήκευσης 3 δεκδικών ψηφίων (ϐ) χωρίς οδήγηση, (ϐ2) µε µερική οδήγηση και (ϐ3) µε ολική οδήγηση (γ) Στον ίδιο υπολογιστή, µε ολική οδήγηση αφού πρώτα προβείς σε αλλαγή κλί- µακας ως εξής: Οι δύο πρώτες εξισώσεις πολλαπλασιάζονται µε 0 5 και η τρίτη στήλη µε 0 5. Τι συµπεραίνεις; [ΑΠΑΝΤΗΣΗ: (α) x = /( ), = 2, x 3 = 0 5 /( ). (ϐ) x 3 = 0 5, = 2, x = συµφωνεί µε την (α) στα δεδοµένα πλαίσια, (ϐ2)

2 x 3 = 0 5, = 2, x = συµφωνεί µε την (α) στα δεδοµένα πλαίσια, (ϐ3) το σύστηµα δεν έχει συγκεκριµένη λύση, η τελική µήτρα είναι ιδιάζουσα (µηαντιστρέψιµη), (γ) x3 =, = 2, x = και άρα x 3 = 0 5 διότι ο πολλαπλασιασµός των εξισώσεων δεν επηρεάζει τις µεταβλητές αλλά ο πολλαπλασιασµός της τρίτης στήλης αντιστοιχεί στην εισαγωγή µιας νέας µεταβλητής x 3 = 0 5 x 3 στην ϑέση της x 3. Συµπέρασµα: Η οδήγηση δεν απαοτελεί πανάκεια. Για να είµαστε ϐέβαιοι ότι η οδήγηση ϑα είναι πράγµατι επικερδής ϑα πρέπει τα δεδοµένα του προβλήµατος να έχουν κοινή αριθµητική κλίµακα.] 5. Να επιλυθεί το σύστηµα µε την µέθοδο Doolittle Crout: 3x + x 3 +2x 4 = 6 5x + +3x 3 4x 4 = 2 2x +x 3 x 4 = x 5 +3x 3 3x 4 = 3 [ΑΠΑΝΤΗΣΗ: x 4 = 3, x 3 = 2, =, x = ] 6. Να επιλυθεί το σύστηµα µε την µέθοδο Cholesky: x x x 4 = x x x 4 = x x x 4 = x x 3 +x 4 = 0.9 [ΑΠΑΝΤΗΣΗ: x 4 =.48238, x 3 =.0397, = , x =.25778] 7. Εφάρµοσε απαλοιφή Gauss χωρίς οδήγηση στην µήτρα A = για να την µετρέψεις σε άνω τριγωνική (ή πιο σωστά εδώ: σε µορφή τραπεζοειδή) U. Εάν ϑα έπρεπε να επιλυθεί ένα σύστηµα Ax = b, σε ποια µορφή b ϑα έπρεπε να καταλήξει η εφαρµογή της απαλοιφής στο b για να έχει το σύστηµα κάποια λύση; [ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Η απαλοιφή δίδει U = Το σύστηµα ϑα είχε λύσεις (άπειρες) εάν b(3 : 5) = 0] 2

3 8. Θέλουµε να προσαρµόσουµε ένα δευτεροβάθµιο πολυώνυµο στα κάτωθι δεδοµένα σύµφωνα µε την µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Να επιλυθούν οι κανονικές εξισώσεις, π.χ. µε την µέθοδο Cholesky, και να δοθεί το πολυώνυµο. t b [ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Οι κανονικές εξισώσεις είναι x x 3 = Η µήτρα είναι διαγωνίως κυρίαρχη και συµµετρική άρα το σύστηµα επιλύεται µε Cholesky και δίδει x = , =.98, x 3 = µε στρογγυλοποίηση σε 4 δεκαδικά. Συνεπώς το Ϲητούµενο πολυώνυµο είναι P(t) = x + t + x 3 t 2 = t t 2 ] 9. Για το ϕαινόµενο της άµπωτης και πληµυρίδας µε περίοδο 2 ωρών στην Βόρεια Θάλασσα έχουν καταγραφεί οι κάτωθι µετρήσεις στις ακτές της Νορβηγίας: t h b m Επιθυµούµε τον καθορισµό των συντελεστών x,, x 3 για την προσαρµογή της συνάρτησης b(t) = x + sin( 2πt 2 ) + x 3 cos( 2πt 2 ) στις µετρήσεις µε την µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Να καθορισθούν οι συντελεστές επιλύοντας τις κανονικές εξισώσεις που αντιστοιχούν στο πρόβληµα. [ΑΠΑΝΤΗΣΗ: x x 3 = µε λύση x = 0.993, = 0.577, x 3 = (Για όσους αναρωτιούνται: Το σύστηµα τυγχάνει διαγώνιο διότι τα, sin(t), cos(t) είναι ορθογώνια για δεδοµένα σηµεία)] 0. Εφάρµοσε στην µήτρα της άσκησης (7) QR-παραγοντοποίηση µε µετασχηµατισµούς Householder για να την µετατρέψεις σε άνω τριγωνική (ή πιο σωστά εδώ: σε µορφή τραπεζοειδή) R. Σύγκρινε την R µε την U της άσκησης (7). [ΑΠΑΝΤΗ- ΣΗ: Στρογγυλοποιηµένη σε 4 δεκαδικά η R =

4 . Εχει ίδια δοµή µε την U αλλά είναι διαφορετική µήτρα.]. Να επιλυθεί το πρόβληµα της άσκησης (8) µε παραγοντοποίηση QR. 2. Να επιλυθεί το πρόβληµα της άσκησης (9) µε παραγοντοποίηση QR. 3. Ας υποθέσουµε ότι επιθυµουµε να µετασχηµατίσουµε την µήτρα A της άσκησης (7) σε διδιαγώνια ( να έχει δηλαδή την δοµή της µήτρας R στην απάντηση της ά- σκησης (0) µε την πρόσθετη ιδιότητα ότι µηδενίζονται και όλα τα στοιχεία µόνον ένα στοιχείο στο συγκεκριµένο παράδειγµα που δεν ανήκουν στην υποδιαγώνιο ακριβώς πάνω από την κύρια διαγώνιο). Μπορούµε να το επιτύχουµε αυτό µε την χρήση µετασχηµατισµών Householder τόσο για τον µηδενισµό στοιχείων σε στήλες (όπως στην παραγοντοποίηση QR) όσο και για τον µηδενισµό στοιχείων σε στοίχους εναλλάξ. Πολλαπλασιάζουµε ουσιαστικά την αρχική µήτρα τόσο από αριστερά όσο και από δεξιά µε ορθογώνιες µήτρες που εφαρµόζουν τους µετασχη- µατισµούς Householder: A U A U AV U 2 U AV U 2 UAV V 2 R, όπου η R είναι διδιαγώνια. Η µέθοδος αυτή, που ουσιαστικά είναι µία µορφή της παραγοντοποίησης QR έχει πληθώρα εφαρµογών συµπεριλαµ- ϐανοµένου της επίλυσης προβληµάτων ελαχίστων τετραγώνων και της ανεύρεσης ιδιοτιµών και ιδιοδιανυσµάτων. Η χρήση της εδώ είναι για προπόνηση στην ε- ϕαρµογή µετασχηµατισµών Householder! (α) Να δοθεί ο µετασχηµατισµός Householder που µηδενίζει όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης της µήτρας A και η µορφή U A της µήτρας µετά την εφαρµογή του. (ϐ) Να δοθεί ο µετασχηµατισµός Householder που στο αποτέλεσµα της (α) µηδενίζει το τελευταίο στοιχείο του πρώτου στοίχου και η µορφή U AV της µήτρας µετά την εφαρµογή του. (γ) Να δοθεί ο µετασχηµατισµός Householder που στο αποτέλεσµα της (ϐ) µηδενίζει τα στοιχεία της δεύτερης στήλης κάτω από την διαγώνιο. (δ) Σύγκρινε το αποτέλεσµα U 2 U AV της (γ) µε την µήτρα R στην απάντηση της άσκησης (0). [ΑΠΑΝΤΗΣΗ:] (α) u = A(:, )+sign(a(, )) A(:, ) = (, 2, 3, 4, 5) T +7.46(, 0, 0, 0, 0) T (8.46, 2, 3, 4, 5) T. c = u T u /2 = U = I u u T /c. U A = (ϐ) v = (0, 7.529, ) T +sign( 7.529) (0, 7.529, ) (0,, 0) T = 4

5 (0, 50.26, ) T. c = v Tv /2 = , V = I v v T/c U AV = (γ) U 2 U AV = (δ) Η U 2 U AV ως διδιαγώνια έχει περισσότερα µηδενικά στοιχεία από την R (και στην γενική περίπτωση πολύ περισσότερα) και συνεπώς πιο εύχρηστη.] 5