Fibonaccijev niz u n S n

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Fibonaccijev niz u n S n"

Transcript

1 /3 pouckqx4 5//04 :30 Pge 5 FIBONACCIJEV NIZ Fiboccijev iz ZVONIMIR IKIÊ, Zgreb Fiboccijev trik Nπu rsprvu o Fiboccijevom izu poëet Êemo jedim trikom, koji moæete izvesti s grupom uëeik, koleg ili prijtelj: Zmolite svkog od jih d zmisli dv broj, koje Êemo zvti ultim i prvim brojem Nek zbroje svoj ulti i prvi broj, p Êe tko dobiti svoj drugi broj Zbrjjem svojeg prvog i drugog broj dobit Êe svoj treêi broj Nek tko stve do svojeg desetog broj (svki je broj zbroj prethod dv) zpisujuêi iz dobiveih brojev ppir Ztim ek zbroje svih deset zpisih brojev, od ultog do devetog Svkog od sudioik upitjte koji je jegov ili jezi πesti broj, p g pmet pomoæite s Dobivei umoæk je jegov ili jezi koëi zbroj! Evo ilustrcije s poëetim brojevim 3 i : u S esti broj je 3 i uistiu: 3 53 D smo poëetku zmislili - i zbilo bi se ovo: u S esti broj sd je 3 i opet je: 3 33 Tj ovog trik skrive je u svojstvim poopêeog Fiboccijevog iz i do je Êemo doêi krju Ëlk Zto kreimo redom 5

2 /3 pouckqx4 5//04 :30 Pge 6 POUËAK /3 Rekurziv defiicij Fiboccijevog iz Fiboccijev iz je iz brojev koji poëije brojevim 0 i, svki sljedeêi broj u izu dobije se zbrjjem prethod dv: F 0 0, F ; F F - + F - Niz je uveo Leordo iz Pize, poztiji ko Fibocci (si Boccijev), u svojoj slvoj kjizi Liber bci iz 0 g Tu o rzmtr sljedeêi problem Npplei broj zeëjih prov u -tom mjesecu ko: () poëijemo s ovoroppleeim prom; () svki pr striji od mjesec rpple ovi pr u svkom mjesecu Rjeπeje je oëito U svkom mjesecu immo sve prove iz prethodog mjesec plus broj prov koji su striji od mjesec, to je broj prov iz mjesec koji prethodi prethodom mjesecu Dkle, Z Z - + Z - BuduÊi d poëijemo s ovoroppleeim prom, kojem prethodi 0 prov, Z i Z 0 0 Drugim rijeëim, broj zeëev u -tom mjesecu jest -ti Ël gore defiirog Fiboccijevog iz Njegovih prvih dvest Ëlov su: 0,,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89, Fiboccijev iz pojvljuje se i u mogim drugim problemim N primjer, broj Ëi S koji se moæete uspeti uz stepeic, prekorëujuêi po ili stepeice, izosi F (tj S F ) Nime, oëito je S 0 0 i S S druge stre - Ëii koje moæete prekorëiti stepeic mogu se podijeliti u dvije skupie To su oi koji poëiju s prekorëejem stepeice i oi koji poëiju s prekorëejem stepeice: No prv skupi sdræi S - Ëi, drug S - Ëi, p je S S - + S - To pk zëi d je S Fiboccijev iz, tj S F 6

3 /3 pouckqx4 5//04 :30 Pge 7 FIBONACCIJEV NIZ 3 Eksplicit form Fiboccijevog iz UoËimo d smo Fiboccijev iz u prethodom odjeljku defiirli rekurzivo Do eksplicite forme jegovih Ëlov prvi je doπo De Moivre dokzvπi d je: De Moivre je promtro red potecij (tj beskoëi poliom) Ëiji su koeficijeti Ëlovi Fiboccijev iz, te jegove produkte s -x i -x : f (x) F 0 + F x + F x + F 3 x 3 + F 4 x x f (x) - F 0 x - F x - F x 3 - F 3 x x f (x) - F 0 x - F x 3 - F x 4 - Zbrjjem gorjih jeddæbi dobio je: ( - x - x ) f (x) x ; f (x) x - x - x Rstvljjem rciole fukcije x - x - x prcijle rzlomke ( i b su odbri tko d je - x - x ( - x)( x), tj tko d je + b i b -): x - x - x A - x + B x ;, b! 5, De Moivre je uspio f (x) prikzti ko zbroj dv geometrijsk red Dkle, f (x) x - x - x A - x + B x A( + x + x + ) + B( + b x + b x + ) f (x) (A + B) + (A + Bb)x + (A + Bb )x + UsporeppleujuÊi dobivee koeficijete od f (x) s poëeto defiirim koeficijetim od f (x), lzimo d je F A + Bb S druge stre iz x) slijedi x - x - x! 5 F ;, b A - x + B x, zbog - x - x ( - x)( x A( x) + B( - x) (A + B) - (Ab + B)x A + B 0, - (Ab + B ) A -B, A( -b ) A, B - 7

4 /3 pouckqx4 5//04 :30 Pge 8 POUËAK /3 Uvrπtvjem u F A + Bb, koëo dolzimo do De Moivrove eksplicite forme:! 5 F ;, b 4 PoopÊei Fiboccijevi izovi Svki iz u koji zdovoljv rekurzive Fiboccijeve uvjete: u u - + u - zove se poopêei Fiboccijev iz Dkle, Fiboccijev iz je specijli sluëj koji zdovoljv poëete uvjete u 0 0 i u Svki drugi odbir poëetih uvjet dje eki drugi poopêei Fiboccijev iz Tkve smo odbire imli u πem triku s poëetk Ëlk Sd moæemo reêi d su sudioici zprvo geerirli poopêee Fiboccijeve izove, mi smo iz πestih Ëlov jihovih poopêeih Fiboccijevih izov uspjevli rekostruirti zbroj prvih deset Ëlov jihovih izov Joπ jed od poopêeih Fiboccijevih izov (osim Fiboccijevog) im posebo ime To je Lucsov iz defiir s: Njegovih prvih dvest Ëlov su: L 0, L ; L L - + L -,, 3, 4, 7,, 8, 9, 47, 76, 3, 99, Njvæije svojstvo skup poopêeih Fiboccijevih izov jest jegov lierost: Ako su ( ) i (b ) poopêei Fiboccijevi izovi, od je to i iz (r + sb ), z bilo koji odbir relih brojev r i s Nime iz: i b b - + b - eposredo slijedi: r + sb (r - + sb - ) + (r - + sb - ) 8

5 /3 pouckqx4 5//04 :30 Pge 9 FIBONACCIJEV NIZ D bismo ustovili koji sve izovi pripdju u skup poopêeih Fiboccijevih izov, pokuπjmo proêi poopêee Fiboccijeve izove oblik u x, gdje je x z sd epozti reli broj Iz u u - + u - slijedi: x x - + x -, x - x - - x - 0, x - (x - x - ) 0, x,, b! 5 (trivijlo rjeπeje x 3 0 e zim s, jer oo geerir trivijli iz 0, 0, 0, ) Dkle, πli smo dv poopêe Fiboccijev iz oblik u x To su + 5, ; b b - 5, b Zbog lierosti skup poopêeih Fiboccijevih izov slijedi d z svki odbir relih brojev r i s dobivmo poopêei Fiboccijev iz oblik: u r + sb ;, b! 5 + b b - + b 3 () 5 (Nime, + b ( + b ) - b i ( ) ( + b ) - 4b ) S druge stre, zde poëete vrijedosti u 0 i u jedozëo odreppleuju r i s : r + s u 0 r u - u 0 b fi r + sb u s u - u 0 b - πto zëi d svki poopêei Fiboccijev iz im oblik u r + sb,! 5 (, b ), uz odgovrjuêi odbir relih brojev r i s Primjerice, z Lucsov iz u 0 i u, p iz r + s i r + sb slijedi r s (jer je + b ; usp gore) Dkle, L + b ;, b! 5 9

6 /3 pouckqx4 5//04 :30 Pge 0 POUËAK /3 5 Nek svojstv poopêeih Fiboccijevih izov Sve do sd izvedee formule vrijede i z Œ Z, tj poopêei Fiboccijev iz moæemo produæiti i u egtivom smjeru N primjer, z Fiboccijev iz vrijedi: - F (-) _ bi + F, πto zëi d Fiboccijev iz produæe u egtivom smjeru izgled ovko: Z Lucsov iz vrijedi, 3, - 8, 5, - 3,, -,, 0,,,, 3, 5, 8, 3, L b - _ bi ( + b ) (-) L, πto zëi d Lucsov iz produæe u egtivom smjeru izgled ovko:, 8, -, 7, - 4, 3, -,,, 3, 4, 7,, 8, Primijetimo d u gorjim izovim zprvo i ije bito gdje je jihov poëetk, tj πto je jihov ulti Ël Koji god Ël odberemo ko ulti opet se rdi o poopêeom Fiboccijevom izu To zëi d je skup poopêeih Fiboccijevih izov trsltor: Ako je (u ) poopêei Fiboccijev iz, od je to i trsltiri iz (u + k ) z svki k ŒZ Vidjeli smo d se svki poopêei Fiboccijev iz moæe prikzti ko lier kombicij izov ( ) i (b ) : u r + sb ;, b! 5 jer se sve poëete vrijedosti u 0, u mogu dobiti odgovrjuêim odbirim relih brojev r i s (usp gore) No, isto vrijedi i z Fiboccijev iz (F ) i jegovu trslciju (F - ) Svki poopêei Fiboccijev iz (u ), s poëetim vrijedostim u 0 i u lier je kombicij izov (F ) i (F - ), sljedeêeg oblik: () u u 0 F - + u F 0

7 /3 pouckqx4 5//04 :30 Pge FIBONACCIJEV NIZ (Nime, u 0 u 0 F - + u F 0 u 0 + u 0 u 0 u u 0 F 0 + u F u u u ) Nprimjer, L 0, L, p je zto: i L F - + F F - + F + Drug jedkost slijedi iz Ëijeice d je F - + F F + Iz eksplicitih formul z F i L koje smo izveli u prethodom odjeljku, lko izvodimo i mog multipliktiv svojstv tih izov SljedeÊe svojstvo Fiboccijevog iz, koje g povezuje s zltim rezom (usp sljedeêi odjeljk), vjerojto je jvæije: F F - F + + (-) - Dokzujemo g tko d izrëumo F - F - F + i uvjerimo se d je to (-) - : i _ i i _ _ i i i i ( + b - b b - ( + b )) 5 (-(-) + (-) - 3) 5 ( (-) (-) - ) (-) - (Vrijedosti: b -, ( ) 5 i ( + b ) 3 izrëuli smo u prethodom odjeljku) SljedeÊ dv svojstv pomoêi Êe m (u zdjem odjeljku) d koëo otkrijemo tju Fiboccijevog trik: () F L F (3) F L - F - + (-) - Svojstvo () posljedic je sljedeêeg idetitet: ( + b )

8 /3 pouckqx4 5//04 :3 Pge POUËAK /3 Svojstvo (3) posljedic je sljedeêeg idetitet: ( - + b - ) - - b - + (b) - Evo joπ ekih svojstv koj Ëittelj moæe dokzti sm: F - L F - + (-) F + (F + F + ) F + F + F - F + L + L - 5F + F + F + L + L + L + 5F + 6 Fiboccijev iz i zlti rez Jedo od jvæijih svojstv Fiboccijevog iz F F - F + + (-) - izveli smo u prethodom odjeljku Oo se moæe zpisti i u ekvivletom obliku: BuduÊi d F F - F F F - F + ± F F - Æ 0 z Æ, vrijedi sljedeê proksimcij: F : F - ª F + : F F F + Slik No to zëi d F - i F dijele F + u omjeru koji je proksimcij zltog rez (tj z Æ omjeri F + : F teæe prem omjeru zltog rez) Precizost te proksimcije moæemo geometrijski predstviti sljedeêi Ëi Promotrimo kvdrt s stricom F +, koji je uz pomoê F i F - podijelje dv trpez i dv trokut, ko sljedeêoj slici: F

9 /3 pouckqx4 5//04 :3 Pge 3 FIBONACCIJEV NIZ F - F F + F F - F - F Slik Presloæimo trpeze i trokute u prvokutik s rupom R, ko sljedeêoj slici ( joj je rup pozitiv, moæe biti i egtiv) F + F F - F F - F F + Slik 3 VeliËi rupe R u odosu cijeli prvokutik geometrijsko je predoëeje greπke koju Ëiimo kd podjelu duæie F + u omjeru zltog rez zmijeimo podjelom F + F + F - Nime, iz formule s poëetk ovog odjeljk slijedi d povrπi rupe R im stlo istu psolutu vrijedost Í(-) Í : F - F (F + F ) F - F F (-) O je sve mj u odosu sve veêu povrπiu prvokutik, F F + 3

10 /3 pouckqx4 5//04 :3 Pge 4 POUËAK /3 7 Tj Fiboccijevog trik VeÊ smo stekli dovoljo zj o Fiboccijevim izovim d moæemo objsiti trik s poëetk Ëlk Po odbiru prv dv broj, u 0 i u, sudioik kostruir dljje brojeve poopêeog Fiboccijevog iz, p ih potom zbrj, πto dovodi do sljedeêeg rezultt: u 0 + u u u + u u 3 u + u 3 u 4 fi u u - u h h h N! 0 N + Uvedemo li pokrtu u N + u N + u N + N u 0!! koëi rezultt moæemo zpisti u obliku: N Odvde slijedi:! u 4K + 4K u u 0 F 4K + + u F 4K u (Tu smo primijeili () iz 5 odj) u 0 F 4K + + u (F 4K ) u 0 L K + F K + + u L K + F K + (Tu smo primijeili () i (3) iz 5 odj) L K + (u 0 F K + + u F K + ) L K + u K + (Tu smo opet primijeili () iz 5 odj) Dkle, koëo smo dobili:! u N N + - u! L K + u K + 4K + Z K immo:! L 5 u 6 u 6 4K + (jer je L 5 ), u tome je i cijel tj Fiboccijevog trik 4

11 /3 pouckqx4 5//04 :3 Pge 5 FIBONACCIJEV NIZ / TEπKO JE KRIVOTVORITI PODATKE Teπko je krivotvoriti podtke THEODORE P HILL StoljeÊe stro opæje o rzdiobi sigifiktih zmek ds pomæe u otkrivju prijevr Oo πto veêi ljudi podrzumijev pod pojmom sluëjo, sumce, bito je drugëije od oog πto prv sluëjost jest Omiljei primjer kojim se koristim u stvi je podtk kojemu se ituicij protivi: od sumce odbre 3 osobe vjerojtost d su brem dvije roppleee istog dtum veê je od 50 % Ozbiljiji primjer odosi se egtivo-pozitiv medicisk testirj Pretpostvimo d je sumce odbr jed osob iz velike populcije u kojoj % uzim drogu te d se primjejuje 98 % pouzd test drogu (tj d je z kozumet droge test pozitiv u 98 % sluëjev, z ekozumet test je egtiv u 98 % sluëjev) U eku je ruku zëuppleujuêi podtk d ko je test drogu pozitiv, svejedo je dv put vjerojtije d testir osob e uzim drogu ego d je uzim SliË izeppleej vez uz eoëekiv svojstv prvih sluëjih podtk rzlog su poteπko- Êm uspjeπog stvrj læih podtk Pogreπe percepcije sluëjosti D bih studetim koji poëiju sluπti kolegij o vjerojtosti ukzo pogreπe dojmove o sluëjosti, Ëesto im prvom stu zdm zdêu Mogu 00 put bcti ovëiê i zbiljeæiti redom ishode ili mogu prosto pisti ishode toboæjih 00 bcj ovëiê N sljedeêem su stu zprepπtei kd, ko πto bcim pogled listu svkog od jih, korekto odvojim gotovo sve istiite podtke od krivotvoreih Objπjeje u ovom sluëju je d Êe se u stvro sluëjom izu od 00 bcj ovëiê vrlo vjerojto pojviti serij od πest grbov ili πest pism (eπto je sloæeije izrëuti toëu vjerojtost), o prosjeë Êe ih osob rijetko ukljuëiti u svoje krivotvoree podtke To je smo jed od primjer bogto dokumetirog opæj d veêi ljudi e moæe stvoriti zist sluëje umeriëke podtke U studiji objvljeoj 953 godie psiholog A Chpis opisuje pokus u kojem je od ispitik træeo d z- 5

12 /3 pouckqx4 5//04 :3 Pge 6 POUËAK /3 piπu duge izove brojev (zmek od 0 do 9) sluëjim redoslijedom Njegovi rezultti pokzuju d rzliëiti pojedici iskzuju zëju skloost prem ekim zmekm, dok se provi ili trojke zmek koje se povljju poput, 333 izbjegvju Meppleu trojkm jëeπêe su oe gdje su sve zmeke meppleusobo rzli- Ëite, pr 653 ili 3 T skloost izbjegvju duæih izov istih zmek i uklju- Ëivju prevelikog broj ltercij, bπ ko u pokusu s studetim, potvrpplee je u mogim istræivjim N to su edvo u svojoj rsprvi ukzli spozji psiholozi Gilovich, Vlloe i Tversky (985) utvrdivπi d hot hd u koπrci (tj situcij kd jed igrë u jedoj utkmici pogpple svki udrc, kd mu sve polzi z rukom) ije iπt drugo do jobiëij kriv predodæb, buduêi d se dugëke serije u stvro sluëjim podcim pojvljuju mogo ËeπÊe ego πto se to obiëo vjeruje Tkv se kriv predodæb o sluëjim podcim moæe iskoristiti U igri brojev dræve Msschusetts igrëi birju Ëetverozmeksti broj, ztim se sluëjim izborom (bilo mehiëki bilo kompjutorski) izvlëi Ëetverozmeksti broj N prvi Êe pogled mogim izgledti d je svki Ëetverozmeksti broj jedko dobr ko i bilo koji drugi, o krtko rzmtrje otkrit Êe d brojeve ko 776 ili 960 ljudi birju ËeπÊe ego brojeve ko πto su 776 ili 906 BuduÊi d je vjerojtost izvlëej bilo kojeg Ëetverozmekstog broj uvijek ist, poæeljije je birti oe brojeve koje Êe izbrti mli broj ljudi jer u sluëju d budu izvuëei uprvo ti brojevi dobitici eêe morti dijeliti dobitk s mogo drugih osob SttistiËr M I T- H Cheroff je 976 g upotrijebio dotdπje viπegodiπje oviske izvjeπtje o izvuëeim brojevim i ispltm igre brojev d bi empirijski utvrdio listu brojev s pozitivom ispltivoπêu (Njegov je Ëlk iz 98 sdrævo i prorëu problem istog roppleed kojim pokzuje kko je vjerojtost d se u 500 izvlëej brojev eêe pooviti jed te isti Ëetverozmeksti broj otprilike , dok se tome protiv u izvjeπtju list Bosto Globe o igri brojev tvrdilo d se ko πto se i moglo oëekivti (jer im moguêih brojev), ije dogodilo d se poovio i jed od prvih 500 sluëjo izvuëeih Ëetverozmekstih brojev No, kdo je, u pismu urediku, povjereik Dræve lutrije isprvio prvoti izvjeπtj istiëuêi d je bilo ekoliko povljj Ëetverozmekstih brojev u reltivo krtkoj povijesti te igre) Istiiti suprot krivotvoreim podcim Ustovljvje jesu li stvri umeriëki podci bili krivotvorei ili promijejei Ëesto je od presude væosti - u verificirju eksperimetlih zstveih podtk ko πto su medicisk ispitivj osovu kojih se doose bite odluke, u podcim o stoviπtvu koji pomæu odreppleivju politiëkih gric i vldie ficijske pomoêi, u porezim prijvm koje podose pojedici i korporcije RzliËite tehike koje se upotrebljvju u otkrivju prevr ili krivotvorej ukljuëuju determiistiëke i sttistiëke metode 6

13 /3 pouckqx4 5//04 :3 Pge 7 TEπKO JE KRIVOTVORITI PODATKE Primjer determiistiëke metode je liz proksimcij pri zokruæivju brojev U Ëlku o zokruæivju postotk u Jourl of the Americ Sttisticl Associtio iz 979 g, str 363, sttistiëri P Dicois i D Freedm objvili su lizu umeriëkih podtk iz jedog dobro poztog izvjeπtj koji bude sumju d je utor mipuliro podcim kko bi postigo d mu zokruæivje po retcim odgovr Ovu sumju ije teπko potvrditi Autor vodi d je meppleu 335 promtrih sluëjev postotk brojev s prvom e-ul zmekom 7 izosio 55 No, jedii rzlomci spojivi s postotkom 55 su 8/335, πto zokruæeo izosi 54 ili 9/335, πto zokruæeo izosi 57 postotk Nem i jedog rzlomk koji zokruæivjem dje 55 Osttk tog Ëlk usredotoëe je sttistiëke metode z otkrivje læirj podtk OpÊ idej kojoj se tkvi testovi zsivju priliëo je jedostv: ustoviti svojstv skupov umeriëkih podtk (odreppleeih tipov) z koj je () vrlo vjerojto d Êe se pojviti kod istiskih skupov podtk tog tip i (b) mlo vjerojto d Êe se pojviti u krivotvoreim skupovim podtk tog tip Rije spomeuti primjer træej izov od πest ili viπe povljj istog ishod d bi se uoëili krivotvorei podci u pokusu od 00 bcj ovëiê uprvo je tkv test, postoje i mogi drugi testovi sliëi tomu Jed od ovijih koji je u stdrdoj upotrebi zsiv se viπe od jedog stoljeê strom opæju poztom pod zivom Befordov zko ili zko o sigifiktim zmekm Befordov zko Zko o sigifiktim zmekm je empirijsko opæje po kojem se u mogim prirodo stlim tbelm podtk vodeê sigifikt (e-ul) zmek e pojvljuje jedoliko distribuir meppleu {,,, 9} ko πto bi se moglo oëekivti, veê se pokorv zkoitosti koj izræv vjerojtost d se zmek d pojvi ko prv: P (prv zmek d) log 0 ( + d ), d,,, 9 Tj zko (kojeg je izgled prvi otkrio stroom i mtemtiër S Newcomb 88) predvipple, dkle, d z sumce odbri broj vjerojtost d je vodeê sigifikt zmek izosi log 0 ª 030, vodeê sigifikt zmek pojvit Êe se s vjerojtoπêu log 0 (3/) ª 076 i tko dlje Vjerojtost z svku sljedeêu zmeku mj je od prethode zvrπvjuêi s vjerojtoπêu 0046 z vodeêu zmeku 9 OdgovrjuÊi je zko z drugu ko i z sljedeêe sigifikte zmeke, tj jihov distribucij R S k P(D d,, D k d k ) log 0 f! d i $ 0 S i T + k - i p - V W W X 7

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI Geodetski fkultet, dr sc J Beb-Brkić Predvj iz Mtemtike 8 NIZOVI Pojm iz Nek je N skup prirodih brojev Prem ekom prvilu svki broj iz N zmijeimo ekim brojem:,,,, R Št smo dobili? Budući d je svkom elemetu

Διαβάστε περισσότερα

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim

Διαβάστε περισσότερα

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto

Διαβάστε περισσότερα

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;

Διαβάστε περισσότερα

KUPA I ZARUBLJENA KUPA

KUPA I ZARUBLJENA KUPA KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p

Διαβάστε περισσότερα

Kinematika materijalne toke. 2. Prirodni koordinatni sustav. 1. Vektorski nain definiranja gibanja. Krivocrtno gibanje materijalne toke

Kinematika materijalne toke. 2. Prirodni koordinatni sustav. 1. Vektorski nain definiranja gibanja. Krivocrtno gibanje materijalne toke Kioco gibje meijle oke Kiemik meijle oke. dio ) Zje kiocog gibj b) Bi i ubje Položj meijle oke u skom euku eme možemo defiii slijedee ie:. Vekoski i defiij gibj (). Piodi i defiij gibj s s (). Vekoski

Διαβάστε περισσότερα

I N Ţ E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1

I N Ţ E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1 I N Ţ E N J E R S K A M A T E M A T I K A Quod ert demostrdum. [ Što je treblo dokzti. Skrćeo: Q.e.d.] LATINSKI PREVOD EUKLIDOVIH RIJEČI. P r e d v j z š e s t u s e d m i u s t v e u kdemskoj 8/9. odii

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1 A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte

Διαβάστε περισσότερα

KONSTRUKTIVNI ZADACI (TROUGAO) Rešavanje konstruktivnih zadataka je jedna od najtežih oblasti koja vas čeka ove godine.

KONSTRUKTIVNI ZADACI (TROUGAO) Rešavanje konstruktivnih zadataka je jedna od najtežih oblasti koja vas čeka ove godine. KONSRUKIVNI ZI (ROUGO) Rešvje kotruktivih zdtk je jed od jtežih olti koj v ček ove godie. Zhtev doro predzje, pozvje odgovrjuće teorije. Zto vm mi preporučujemo d e jpre podetite teorije veze z trougo

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

1 Ekstremi funkcija više varijabli

1 Ekstremi funkcija više varijabli 1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA 2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 (pomagalo dozvoljeno na kolokviju)

PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA 2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 (pomagalo dozvoljeno na kolokviju) PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE (pomglo dozvoljeo kolokviju) Opći pojmovi: I REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Nek su X, Y R Rel fukcij f : X Y je svko pridruživje koje svkom

Διαβάστε περισσότερα

Uvod Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja. Integrali. Franka Miriam Brückler

Uvod Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja. Integrali. Franka Miriam Brückler Integrli Frnk Mirim Brückler Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcij (primitivn funkcij) zdne funkcije f : I R (gdje je I otvoren intervl) je svk

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi

NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi NEKE POVŠI U Pvrši kje se njčešće sreću u dcim su:. Elipsidi. Hiperlidi. Prlidi 4. Knusne pvrši 5. Cilindrične pvrši. Elipsidi Osnvn jednčin elipsid ( knnsk) je : + + = c, i c su dsečci n, i si. Presek

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1 54 I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Repetitio est mter studiorum. [Povljje je mj učej / zj.] (LATINSKA IZREKA) P r e d v j u V s e d m i c i.. Pojm i osov svojstv griče vrijedosti iz Pojmovi iz

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije 9 1. Trigoometrijske fukcije 1.1. Ako je α + β π,izračuaj 1 + tg α)1 + tg β). 4 1.. Izračuaj zbroj log a tg 1 + log a tg +...+ log a tg 89. 1.3. Izračuaj 40 0 si 0 bez uporabe tablica ili račuala. 1.4.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Uvođenje pojma određenog integrala u srednjoškolskoj nastavi matematike 1

Uvođenje pojma određenog integrala u srednjoškolskoj nastavi matematike 1 Uvođeje pojm određeog itegrl u sredjoškolskoj stvi mtemtike 1 1. Uvod Iv Božić 2, Tomislv Šikić 3 S pojmom itegrl i itegrlim rčuom učeici se prvi put susreću u četvrtom rzredu sredje škole. S ozirom d

Διαβάστε περισσότερα

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI

FOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI FOURIEROVI REDOVI I INEGRALI Pri rješvju rzličitih ižijerskih prole koriste se periodičke fukcije. Pojvljuju se pod terio periodičke fukcije, u ovu skupiu spdju trigooetrijske fukcije, sius i kosius, koje

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusn terem glsi: Strnie trugl prprinlne su sinusim njim nsprmnih uglv. R sinβ sinγ Odns dužine strni i sinus nsprmng ugl trugl je knstnt i jednk je dužini

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

7. ELEMENTARNE FUNKCIJE

7. ELEMENTARNE FUNKCIJE Geodetski fkultet dr. sc. J. e-rkić Predvj iz Mtemtike 7. ELEMENTRNE FUNKIJE Među fukcijm koje su de formulom vžu ulogu imju tkozve elemetre fukcije. Pozvje svojstv elemetrih fukcij omogućit će lkše svldvje

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

SARŽAJ. ATEATIČKE OSOVE OSIGURAJA.. Poj i predet turse tetie.. Zo veiih brojev.3. Rču verovtoće.4. Tbice srtosti.5. Verovtoć život i srti jedog ic.6.

SARŽAJ. ATEATIČKE OSOVE OSIGURAJA.. Poj i predet turse tetie.. Zo veiih brojev.3. Rču verovtoće.4. Tbice srtosti.5. Verovtoć život i srti jedog ic.6. rg Vugdeij AKTUARSKA ATEATIKA - osovi ocept z stvu - Subotic 008. SARŽAJ. ATEATIČKE OSOVE OSIGURAJA.. Poj i predet turse tetie.. Zo veiih brojev.3. Rču verovtoće.4. Tbice srtosti.5. Verovtoć život i srti

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Elektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi:

Elektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi: tnic:iii- lektosttik lektično polje n gnici v ielektik. Pločsti konenzto. Cilinični konenzto. Kuglsti konenzto. tnic:iii-. ztk vije mete ploče s zkom ko izoltoom ile su spojene n izvo npon, ztim ospojene

Διαβάστε περισσότερα

ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA. školska 2013./2014. godina TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD

ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA. školska 2013./2014. godina TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA školsk 0./04. godin TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD Test koji trebš riješiti im 0 zdtk. Z rd je predviđeno 0 minut. Zdtke ne morš rditi prem redoslijedu

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. Boris Širola

Matematika 2. Boris Širola Mtemtik 2 (. Riemnnov integrl) Boris Širol predvnj . Riemnnov integrl 3 Pretpostvimo d immo neku neprekidnu relnu funkciju f, definirnu n nekom segmentu; tj., nek je dn neprekidn funkcij f : [, b] R.

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute slu cajne varijable

Neprekinute slu cajne varijable 5 Neprekinute slu cjne vrijble Slu cjnevrijbleirzdiobe Funkcije neprekinutih slu cjnihvrijbli6 Rije senizdtci Zdtci z vje zbu 8 5 Slu cjne vrijble i rzdiobe U ovom ćemo poglvlju prou cvti slu cjne vrijble

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupo 8 bodova) MJERA I INTEGRAL završi ispit 4. srpja 216. (Kjige, bilježice, dodati papiri i kalkulatori isu dozvoljei!) (a) (2 boda) Defiirajte p za ekspoete p [1, +. (b) (6 bodova) Dokažite da

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla. Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog

Διαβάστε περισσότερα

Mališa Žižoviæ Olivera Nikoliæ

Mališa Žižoviæ Olivera Nikoliæ Mliš Žižoviæ Oliver Nikoliæ UNIVERZITET SINGIDUNUM Prof. dr Mliš Žižović Prof. dr Oliver Nikolić KVANTITATIVNE METODE Šesto izmejeo i dopujeo izdje Beogrd,. KVANTITATIVNE METODE Autori: Prof. dr Mliš Žižović

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb

Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb Periodične funkcije Branimir Dakić, Zagreb Periodičnost 1 je pojava koju susrećemo na svakom koraku. Periodične su mnoge prirodne pojave, primjerice izmjena dana i noći ili izmjena godišnjih doba, pojava

Διαβάστε περισσότερα

Metode rješavanja izmjeničnih krugova

Metode rješavanja izmjeničnih krugova Strnic: V - u,i u(t) i(t) etode rešvn izmeničnih kruov uf(t) konst if(t)konst etod konturnih stru etod npon čvorov hevenin-ov teorem Norton-ov teorem illmn-ov teorem etod superpozicie t Strnic: V - zdtk

Διαβάστε περισσότερα

Moguća i virtuelna pomjeranja

Moguća i virtuelna pomjeranja Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +

Διαβάστε περισσότερα

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH )

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH ) .RIZMA ( =+M = ).Izrčunti površinu i zpreminu kvr čij je ijgonl ug 0m, užine osnovnih ivi su m i m. D 0m m b m,? D 00 b 00 8 8 b b 87 87 0 87 8 87 b 87 87 87 8 87. Ivie kvr onose se ko :: ijgonl je ug.oreiti

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

b = k a. Govorimo jošda a dijeli b ipišemo a b.

b = k a. Govorimo jošda a dijeli b ipišemo a b. 1 DJELJIVOST 1.1. Djeljivost. Prosti brojevi Količnik dvaju prirodnih brojeva nije uvijek prirodni broj. Tako na primjer, broj 54 8 nije prirodan, jer 54 nije djeljiv s 8. Broj 221 jest prirodan, jer 221

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

1 Odredeni integral. Integrabilnost ograničene funkcije

1 Odredeni integral. Integrabilnost ograničene funkcije Odredeni integrl. Integrbilnost ogrničene funkcije Njprije uvedimo dvije pretpostvke. Prv, d je reln funkcij segment[, b] končne dužine ( < < b < + ). Definicij 2. Podjel segment [, b], u oznci P, je svki

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore MEANIKA FLUIDA Isticnje krz velike tvre 1.zdtk. Krz veliki ptvr u bčn zidu rezervr blik rvnkrkg trugl snve i keficijent prtk µ, ističe vd. Odrediti prtk krz tvr k su pznte veličine 1 i (v.sl.). Eleentrni

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

1 Neprekidne funkcije na kompaktima

1 Neprekidne funkcije na kompaktima Neprekide fukcije a kompaktima.. Teorem. Neka je K kompakta podskup metričkog prostora X, a f : X Y eprekido preslikavaje u metrički prostor Y. Tada je slika f(k) kompakta skup u Y..2. Zadatak. Neka su

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

Dekompozicija DFT. Brzi algoritmi na bazi radix-2. Brza Furijeova transofrmacija. Tačnost izračunavanja. Kompleksna FFT OASDSP 1: 7 FFT

Dekompozicija DFT. Brzi algoritmi na bazi radix-2. Brza Furijeova transofrmacija. Tačnost izračunavanja. Kompleksna FFT OASDSP 1: 7 FFT OASDSP : 7 FFT Dkompozicija DFT Brzi algoritmi a bazi radix- Brza Furijova trasofrmacija Tačost izračuavaja Komplksa FFT ovi Sad, Oktobar 5 straa OASDSP : 7 FFT Brza trasformacija : itrativa dkompozicija

Διαβάστε περισσότερα

Matematika - usmeni dio ispita Pitanja i rješenja

Matematika - usmeni dio ispita Pitanja i rješenja Mtemtik - usmei dio ispit itj i rješej. itgori poučk c vrijedi smo z prvokuti trokut Dokz: potoji mogo dokz itgoriog poučk/teorem, 69 dokz možete ći ovdje: HTUhttp://www.cut-the-kot.org/pthgors/ UTH Geometrijski

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

n n su realni brojevi, a n, koji mora biti cjelobrojna

n n su realni brojevi, a n, koji mora biti cjelobrojna Aproksmrnje podtk Aproksmrnje podtk krvuljom Aproksmrnje podtk krvuljom (engl. curve ttng), nzv se još regresjsk nlz (engl. regresson nlss), je postupk uklpnj unkcje u skup točk koje predstvljju određene

Διαβάστε περισσότερα

Rješenje: F u =221,9 N; A x = F u =221,9 N; A y =226,2 N.

Rješenje: F u =221,9 N; A x = F u =221,9 N; A y =226,2 N. Osnove strojrstv Prvilo izolcije i uvjeti rvnoteže Prijeri z sostlno rješvnje 1. Gred se, duljine uležišten je u točki i obješen je n svoje krju o horizontlno uže. Izrčunjte horizontlnu i vertiklnu koponentu

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske operacije

Algebarske operacije Algebrske opercije Poglvlje m e l e 11 Potecije 1 Algebrski izrzi w w r t h e w w w w m e l e r t h e Ciljevi: - rčuti s potecijm cjelobrojog ekspoet - prepozti i rbiti formule z kvdrt biom i rzliku kvdrt

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα