Fibonaccijev niz u n S n

Transcript

1 /3 pouckqx4 5//04 :30 Pge 5 FIBONACCIJEV NIZ Fiboccijev iz ZVONIMIR IKIÊ, Zgreb Fiboccijev trik Nπu rsprvu o Fiboccijevom izu poëet Êemo jedim trikom, koji moæete izvesti s grupom uëeik, koleg ili prijtelj: Zmolite svkog od jih d zmisli dv broj, koje Êemo zvti ultim i prvim brojem Nek zbroje svoj ulti i prvi broj, p Êe tko dobiti svoj drugi broj Zbrjjem svojeg prvog i drugog broj dobit Êe svoj treêi broj Nek tko stve do svojeg desetog broj (svki je broj zbroj prethod dv) zpisujuêi iz dobiveih brojev ppir Ztim ek zbroje svih deset zpisih brojev, od ultog do devetog Svkog od sudioik upitjte koji je jegov ili jezi πesti broj, p g pmet pomoæite s Dobivei umoæk je jegov ili jezi koëi zbroj! Evo ilustrcije s poëetim brojevim 3 i : u S esti broj je 3 i uistiu: 3 53 D smo poëetku zmislili - i zbilo bi se ovo: u S esti broj sd je 3 i opet je: 3 33 Tj ovog trik skrive je u svojstvim poopêeog Fiboccijevog iz i do je Êemo doêi krju Ëlk Zto kreimo redom 5

2 /3 pouckqx4 5//04 :30 Pge 6 POUËAK /3 Rekurziv defiicij Fiboccijevog iz Fiboccijev iz je iz brojev koji poëije brojevim 0 i, svki sljedeêi broj u izu dobije se zbrjjem prethod dv: F 0 0, F ; F F - + F - Niz je uveo Leordo iz Pize, poztiji ko Fibocci (si Boccijev), u svojoj slvoj kjizi Liber bci iz 0 g Tu o rzmtr sljedeêi problem Npplei broj zeëjih prov u -tom mjesecu ko: () poëijemo s ovoroppleeim prom; () svki pr striji od mjesec rpple ovi pr u svkom mjesecu Rjeπeje je oëito U svkom mjesecu immo sve prove iz prethodog mjesec plus broj prov koji su striji od mjesec, to je broj prov iz mjesec koji prethodi prethodom mjesecu Dkle, Z Z - + Z - BuduÊi d poëijemo s ovoroppleeim prom, kojem prethodi 0 prov, Z i Z 0 0 Drugim rijeëim, broj zeëev u -tom mjesecu jest -ti Ël gore defiirog Fiboccijevog iz Njegovih prvih dvest Ëlov su: 0,,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89, Fiboccijev iz pojvljuje se i u mogim drugim problemim N primjer, broj Ëi S koji se moæete uspeti uz stepeic, prekorëujuêi po ili stepeice, izosi F (tj S F ) Nime, oëito je S 0 0 i S S druge stre - Ëii koje moæete prekorëiti stepeic mogu se podijeliti u dvije skupie To su oi koji poëiju s prekorëejem stepeice i oi koji poëiju s prekorëejem stepeice: No prv skupi sdræi S - Ëi, drug S - Ëi, p je S S - + S - To pk zëi d je S Fiboccijev iz, tj S F 6

3 /3 pouckqx4 5//04 :30 Pge 7 FIBONACCIJEV NIZ 3 Eksplicit form Fiboccijevog iz UoËimo d smo Fiboccijev iz u prethodom odjeljku defiirli rekurzivo Do eksplicite forme jegovih Ëlov prvi je doπo De Moivre dokzvπi d je: De Moivre je promtro red potecij (tj beskoëi poliom) Ëiji su koeficijeti Ëlovi Fiboccijev iz, te jegove produkte s -x i -x : f (x) F 0 + F x + F x + F 3 x 3 + F 4 x x f (x) - F 0 x - F x - F x 3 - F 3 x x f (x) - F 0 x - F x 3 - F x 4 - Zbrjjem gorjih jeddæbi dobio je: ( - x - x ) f (x) x ; f (x) x - x - x Rstvljjem rciole fukcije x - x - x prcijle rzlomke ( i b su odbri tko d je - x - x ( - x)( x), tj tko d je + b i b -): x - x - x A - x + B x ;, b! 5, De Moivre je uspio f (x) prikzti ko zbroj dv geometrijsk red Dkle, f (x) x - x - x A - x + B x A( + x + x + ) + B( + b x + b x + ) f (x) (A + B) + (A + Bb)x + (A + Bb )x + UsporeppleujuÊi dobivee koeficijete od f (x) s poëeto defiirim koeficijetim od f (x), lzimo d je F A + Bb S druge stre iz x) slijedi x - x - x! 5 F ;, b A - x + B x, zbog - x - x ( - x)( x A( x) + B( - x) (A + B) - (Ab + B)x A + B 0, - (Ab + B ) A -B, A( -b ) A, B - 7

4 /3 pouckqx4 5//04 :30 Pge 8 POUËAK /3 Uvrπtvjem u F A + Bb, koëo dolzimo do De Moivrove eksplicite forme:! 5 F ;, b 4 PoopÊei Fiboccijevi izovi Svki iz u koji zdovoljv rekurzive Fiboccijeve uvjete: u u - + u - zove se poopêei Fiboccijev iz Dkle, Fiboccijev iz je specijli sluëj koji zdovoljv poëete uvjete u 0 0 i u Svki drugi odbir poëetih uvjet dje eki drugi poopêei Fiboccijev iz Tkve smo odbire imli u πem triku s poëetk Ëlk Sd moæemo reêi d su sudioici zprvo geerirli poopêee Fiboccijeve izove, mi smo iz πestih Ëlov jihovih poopêeih Fiboccijevih izov uspjevli rekostruirti zbroj prvih deset Ëlov jihovih izov Joπ jed od poopêeih Fiboccijevih izov (osim Fiboccijevog) im posebo ime To je Lucsov iz defiir s: Njegovih prvih dvest Ëlov su: L 0, L ; L L - + L -,, 3, 4, 7,, 8, 9, 47, 76, 3, 99, Njvæije svojstvo skup poopêeih Fiboccijevih izov jest jegov lierost: Ako su ( ) i (b ) poopêei Fiboccijevi izovi, od je to i iz (r + sb ), z bilo koji odbir relih brojev r i s Nime iz: i b b - + b - eposredo slijedi: r + sb (r - + sb - ) + (r - + sb - ) 8

5 /3 pouckqx4 5//04 :30 Pge 9 FIBONACCIJEV NIZ D bismo ustovili koji sve izovi pripdju u skup poopêeih Fiboccijevih izov, pokuπjmo proêi poopêee Fiboccijeve izove oblik u x, gdje je x z sd epozti reli broj Iz u u - + u - slijedi: x x - + x -, x - x - - x - 0, x - (x - x - ) 0, x,, b! 5 (trivijlo rjeπeje x 3 0 e zim s, jer oo geerir trivijli iz 0, 0, 0, ) Dkle, πli smo dv poopêe Fiboccijev iz oblik u x To su + 5, ; b b - 5, b Zbog lierosti skup poopêeih Fiboccijevih izov slijedi d z svki odbir relih brojev r i s dobivmo poopêei Fiboccijev iz oblik: u r + sb ;, b! 5 + b b - + b 3 () 5 (Nime, + b ( + b ) - b i ( ) ( + b ) - 4b ) S druge stre, zde poëete vrijedosti u 0 i u jedozëo odreppleuju r i s : r + s u 0 r u - u 0 b fi r + sb u s u - u 0 b - πto zëi d svki poopêei Fiboccijev iz im oblik u r + sb,! 5 (, b ), uz odgovrjuêi odbir relih brojev r i s Primjerice, z Lucsov iz u 0 i u, p iz r + s i r + sb slijedi r s (jer je + b ; usp gore) Dkle, L + b ;, b! 5 9

6 /3 pouckqx4 5//04 :30 Pge 0 POUËAK /3 5 Nek svojstv poopêeih Fiboccijevih izov Sve do sd izvedee formule vrijede i z Œ Z, tj poopêei Fiboccijev iz moæemo produæiti i u egtivom smjeru N primjer, z Fiboccijev iz vrijedi: - F (-) _ bi + F, πto zëi d Fiboccijev iz produæe u egtivom smjeru izgled ovko: Z Lucsov iz vrijedi, 3, - 8, 5, - 3,, -,, 0,,,, 3, 5, 8, 3, L b - _ bi ( + b ) (-) L, πto zëi d Lucsov iz produæe u egtivom smjeru izgled ovko:, 8, -, 7, - 4, 3, -,,, 3, 4, 7,, 8, Primijetimo d u gorjim izovim zprvo i ije bito gdje je jihov poëetk, tj πto je jihov ulti Ël Koji god Ël odberemo ko ulti opet se rdi o poopêeom Fiboccijevom izu To zëi d je skup poopêeih Fiboccijevih izov trsltor: Ako je (u ) poopêei Fiboccijev iz, od je to i trsltiri iz (u + k ) z svki k ŒZ Vidjeli smo d se svki poopêei Fiboccijev iz moæe prikzti ko lier kombicij izov ( ) i (b ) : u r + sb ;, b! 5 jer se sve poëete vrijedosti u 0, u mogu dobiti odgovrjuêim odbirim relih brojev r i s (usp gore) No, isto vrijedi i z Fiboccijev iz (F ) i jegovu trslciju (F - ) Svki poopêei Fiboccijev iz (u ), s poëetim vrijedostim u 0 i u lier je kombicij izov (F ) i (F - ), sljedeêeg oblik: () u u 0 F - + u F 0

7 /3 pouckqx4 5//04 :30 Pge FIBONACCIJEV NIZ (Nime, u 0 u 0 F - + u F 0 u 0 + u 0 u 0 u u 0 F 0 + u F u u u ) Nprimjer, L 0, L, p je zto: i L F - + F F - + F + Drug jedkost slijedi iz Ëijeice d je F - + F F + Iz eksplicitih formul z F i L koje smo izveli u prethodom odjeljku, lko izvodimo i mog multipliktiv svojstv tih izov SljedeÊe svojstvo Fiboccijevog iz, koje g povezuje s zltim rezom (usp sljedeêi odjeljk), vjerojto je jvæije: F F - F + + (-) - Dokzujemo g tko d izrëumo F - F - F + i uvjerimo se d je to (-) - : i _ i i _ _ i i i i ( + b - b b - ( + b )) 5 (-(-) + (-) - 3) 5 ( (-) (-) - ) (-) - (Vrijedosti: b -, ( ) 5 i ( + b ) 3 izrëuli smo u prethodom odjeljku) SljedeÊ dv svojstv pomoêi Êe m (u zdjem odjeljku) d koëo otkrijemo tju Fiboccijevog trik: () F L F (3) F L - F - + (-) - Svojstvo () posljedic je sljedeêeg idetitet: ( + b )

8 /3 pouckqx4 5//04 :3 Pge POUËAK /3 Svojstvo (3) posljedic je sljedeêeg idetitet: ( - + b - ) - - b - + (b) - Evo joπ ekih svojstv koj Ëittelj moæe dokzti sm: F - L F - + (-) F + (F + F + ) F + F + F - F + L + L - 5F + F + F + L + L + L + 5F + 6 Fiboccijev iz i zlti rez Jedo od jvæijih svojstv Fiboccijevog iz F F - F + + (-) - izveli smo u prethodom odjeljku Oo se moæe zpisti i u ekvivletom obliku: BuduÊi d F F - F F F - F + ± F F - Æ 0 z Æ, vrijedi sljedeê proksimcij: F : F - ª F + : F F F + Slik No to zëi d F - i F dijele F + u omjeru koji je proksimcij zltog rez (tj z Æ omjeri F + : F teæe prem omjeru zltog rez) Precizost te proksimcije moæemo geometrijski predstviti sljedeêi Ëi Promotrimo kvdrt s stricom F +, koji je uz pomoê F i F - podijelje dv trpez i dv trokut, ko sljedeêoj slici: F

9 /3 pouckqx4 5//04 :3 Pge 3 FIBONACCIJEV NIZ F - F F + F F - F - F Slik Presloæimo trpeze i trokute u prvokutik s rupom R, ko sljedeêoj slici ( joj je rup pozitiv, moæe biti i egtiv) F + F F - F F - F F + Slik 3 VeliËi rupe R u odosu cijeli prvokutik geometrijsko je predoëeje greπke koju Ëiimo kd podjelu duæie F + u omjeru zltog rez zmijeimo podjelom F + F + F - Nime, iz formule s poëetk ovog odjeljk slijedi d povrπi rupe R im stlo istu psolutu vrijedost Í(-) Í : F - F (F + F ) F - F F (-) O je sve mj u odosu sve veêu povrπiu prvokutik, F F + 3

10 /3 pouckqx4 5//04 :3 Pge 4 POUËAK /3 7 Tj Fiboccijevog trik VeÊ smo stekli dovoljo zj o Fiboccijevim izovim d moæemo objsiti trik s poëetk Ëlk Po odbiru prv dv broj, u 0 i u, sudioik kostruir dljje brojeve poopêeog Fiboccijevog iz, p ih potom zbrj, πto dovodi do sljedeêeg rezultt: u 0 + u u u + u u 3 u + u 3 u 4 fi u u - u h h h N! 0 N + Uvedemo li pokrtu u N + u N + u N + N u 0!! koëi rezultt moæemo zpisti u obliku: N Odvde slijedi:! u 4K + 4K u u 0 F 4K + + u F 4K u (Tu smo primijeili () iz 5 odj) u 0 F 4K + + u (F 4K ) u 0 L K + F K + + u L K + F K + (Tu smo primijeili () i (3) iz 5 odj) L K + (u 0 F K + + u F K + ) L K + u K + (Tu smo opet primijeili () iz 5 odj) Dkle, koëo smo dobili:! u N N + - u! L K + u K + 4K + Z K immo:! L 5 u 6 u 6 4K + (jer je L 5 ), u tome je i cijel tj Fiboccijevog trik 4

11 /3 pouckqx4 5//04 :3 Pge 5 FIBONACCIJEV NIZ / TEπKO JE KRIVOTVORITI PODATKE Teπko je krivotvoriti podtke THEODORE P HILL StoljeÊe stro opæje o rzdiobi sigifiktih zmek ds pomæe u otkrivju prijevr Oo πto veêi ljudi podrzumijev pod pojmom sluëjo, sumce, bito je drugëije od oog πto prv sluëjost jest Omiljei primjer kojim se koristim u stvi je podtk kojemu se ituicij protivi: od sumce odbre 3 osobe vjerojtost d su brem dvije roppleee istog dtum veê je od 50 % Ozbiljiji primjer odosi se egtivo-pozitiv medicisk testirj Pretpostvimo d je sumce odbr jed osob iz velike populcije u kojoj % uzim drogu te d se primjejuje 98 % pouzd test drogu (tj d je z kozumet droge test pozitiv u 98 % sluëjev, z ekozumet test je egtiv u 98 % sluëjev) U eku je ruku zëuppleujuêi podtk d ko je test drogu pozitiv, svejedo je dv put vjerojtije d testir osob e uzim drogu ego d je uzim SliË izeppleej vez uz eoëekiv svojstv prvih sluëjih podtk rzlog su poteπko- Êm uspjeπog stvrj læih podtk Pogreπe percepcije sluëjosti D bih studetim koji poëiju sluπti kolegij o vjerojtosti ukzo pogreπe dojmove o sluëjosti, Ëesto im prvom stu zdm zdêu Mogu 00 put bcti ovëiê i zbiljeæiti redom ishode ili mogu prosto pisti ishode toboæjih 00 bcj ovëiê N sljedeêem su stu zprepπtei kd, ko πto bcim pogled listu svkog od jih, korekto odvojim gotovo sve istiite podtke od krivotvoreih Objπjeje u ovom sluëju je d Êe se u stvro sluëjom izu od 00 bcj ovëiê vrlo vjerojto pojviti serij od πest grbov ili πest pism (eπto je sloæeije izrëuti toëu vjerojtost), o prosjeë Êe ih osob rijetko ukljuëiti u svoje krivotvoree podtke To je smo jed od primjer bogto dokumetirog opæj d veêi ljudi e moæe stvoriti zist sluëje umeriëke podtke U studiji objvljeoj 953 godie psiholog A Chpis opisuje pokus u kojem je od ispitik træeo d z- 5

12 /3 pouckqx4 5//04 :3 Pge 6 POUËAK /3 piπu duge izove brojev (zmek od 0 do 9) sluëjim redoslijedom Njegovi rezultti pokzuju d rzliëiti pojedici iskzuju zëju skloost prem ekim zmekm, dok se provi ili trojke zmek koje se povljju poput, 333 izbjegvju Meppleu trojkm jëeπêe su oe gdje su sve zmeke meppleusobo rzli- Ëite, pr 653 ili 3 T skloost izbjegvju duæih izov istih zmek i uklju- Ëivju prevelikog broj ltercij, bπ ko u pokusu s studetim, potvrpplee je u mogim istræivjim N to su edvo u svojoj rsprvi ukzli spozji psiholozi Gilovich, Vlloe i Tversky (985) utvrdivπi d hot hd u koπrci (tj situcij kd jed igrë u jedoj utkmici pogpple svki udrc, kd mu sve polzi z rukom) ije iπt drugo do jobiëij kriv predodæb, buduêi d se dugëke serije u stvro sluëjim podcim pojvljuju mogo ËeπÊe ego πto se to obiëo vjeruje Tkv se kriv predodæb o sluëjim podcim moæe iskoristiti U igri brojev dræve Msschusetts igrëi birju Ëetverozmeksti broj, ztim se sluëjim izborom (bilo mehiëki bilo kompjutorski) izvlëi Ëetverozmeksti broj N prvi Êe pogled mogim izgledti d je svki Ëetverozmeksti broj jedko dobr ko i bilo koji drugi, o krtko rzmtrje otkrit Êe d brojeve ko 776 ili 960 ljudi birju ËeπÊe ego brojeve ko πto su 776 ili 906 BuduÊi d je vjerojtost izvlëej bilo kojeg Ëetverozmekstog broj uvijek ist, poæeljije je birti oe brojeve koje Êe izbrti mli broj ljudi jer u sluëju d budu izvuëei uprvo ti brojevi dobitici eêe morti dijeliti dobitk s mogo drugih osob SttistiËr M I T- H Cheroff je 976 g upotrijebio dotdπje viπegodiπje oviske izvjeπtje o izvuëeim brojevim i ispltm igre brojev d bi empirijski utvrdio listu brojev s pozitivom ispltivoπêu (Njegov je Ëlk iz 98 sdrævo i prorëu problem istog roppleed kojim pokzuje kko je vjerojtost d se u 500 izvlëej brojev eêe pooviti jed te isti Ëetverozmeksti broj otprilike , dok se tome protiv u izvjeπtju list Bosto Globe o igri brojev tvrdilo d se ko πto se i moglo oëekivti (jer im moguêih brojev), ije dogodilo d se poovio i jed od prvih 500 sluëjo izvuëeih Ëetverozmekstih brojev No, kdo je, u pismu urediku, povjereik Dræve lutrije isprvio prvoti izvjeπtj istiëuêi d je bilo ekoliko povljj Ëetverozmekstih brojev u reltivo krtkoj povijesti te igre) Istiiti suprot krivotvoreim podcim Ustovljvje jesu li stvri umeriëki podci bili krivotvorei ili promijejei Ëesto je od presude væosti - u verificirju eksperimetlih zstveih podtk ko πto su medicisk ispitivj osovu kojih se doose bite odluke, u podcim o stoviπtvu koji pomæu odreppleivju politiëkih gric i vldie ficijske pomoêi, u porezim prijvm koje podose pojedici i korporcije RzliËite tehike koje se upotrebljvju u otkrivju prevr ili krivotvorej ukljuëuju determiistiëke i sttistiëke metode 6

13 /3 pouckqx4 5//04 :3 Pge 7 TEπKO JE KRIVOTVORITI PODATKE Primjer determiistiëke metode je liz proksimcij pri zokruæivju brojev U Ëlku o zokruæivju postotk u Jourl of the Americ Sttisticl Associtio iz 979 g, str 363, sttistiëri P Dicois i D Freedm objvili su lizu umeriëkih podtk iz jedog dobro poztog izvjeπtj koji bude sumju d je utor mipuliro podcim kko bi postigo d mu zokruæivje po retcim odgovr Ovu sumju ije teπko potvrditi Autor vodi d je meppleu 335 promtrih sluëjev postotk brojev s prvom e-ul zmekom 7 izosio 55 No, jedii rzlomci spojivi s postotkom 55 su 8/335, πto zokruæeo izosi 54 ili 9/335, πto zokruæeo izosi 57 postotk Nem i jedog rzlomk koji zokruæivjem dje 55 Osttk tog Ëlk usredotoëe je sttistiëke metode z otkrivje læirj podtk OpÊ idej kojoj se tkvi testovi zsivju priliëo je jedostv: ustoviti svojstv skupov umeriëkih podtk (odreppleeih tipov) z koj je () vrlo vjerojto d Êe se pojviti kod istiskih skupov podtk tog tip i (b) mlo vjerojto d Êe se pojviti u krivotvoreim skupovim podtk tog tip Rije spomeuti primjer træej izov od πest ili viπe povljj istog ishod d bi se uoëili krivotvorei podci u pokusu od 00 bcj ovëiê uprvo je tkv test, postoje i mogi drugi testovi sliëi tomu Jed od ovijih koji je u stdrdoj upotrebi zsiv se viπe od jedog stoljeê strom opæju poztom pod zivom Befordov zko ili zko o sigifiktim zmekm Befordov zko Zko o sigifiktim zmekm je empirijsko opæje po kojem se u mogim prirodo stlim tbelm podtk vodeê sigifikt (e-ul) zmek e pojvljuje jedoliko distribuir meppleu {,,, 9} ko πto bi se moglo oëekivti, veê se pokorv zkoitosti koj izræv vjerojtost d se zmek d pojvi ko prv: P (prv zmek d) log 0 ( + d ), d,,, 9 Tj zko (kojeg je izgled prvi otkrio stroom i mtemtiër S Newcomb 88) predvipple, dkle, d z sumce odbri broj vjerojtost d je vodeê sigifikt zmek izosi log 0 ª 030, vodeê sigifikt zmek pojvit Êe se s vjerojtoπêu log 0 (3/) ª 076 i tko dlje Vjerojtost z svku sljedeêu zmeku mj je od prethode zvrπvjuêi s vjerojtoπêu 0046 z vodeêu zmeku 9 OdgovrjuÊi je zko z drugu ko i z sljedeêe sigifikte zmeke, tj jihov distribucij R S k P(D d,, D k d k ) log 0 f! d i $ 0 S i T + k - i p - V W W X 7