Skripta za usmeni ispit iz IM1

Transcript

1 Skript z usmei ispit iz IM T Pojmovi (logičkog) iskz i predikt Defiicij: Sud ili iskz je deklrtiv izjv koj u pogledu istiitosti zdovoljv dv pricip: sud je ili istiit ili eistiit (pricip iskljucej treceg) sud ije i istiit i eistiit (pricip kotrdikcije) U mtemtici se istiit iskz ziv stv (tvrdj teorem) Z iskzu formulu F (složei iskz) kžemo d je tutologij (idetički istiit) kko je τ (F)=T z sve vrijedosti svih jeih iskzih slov (iskz) Predikt je odos između promjeljivih veliči kojeg izriče iskz fukcij Pojmovi ire relcije i preslikvj (fukcije) Defiicij: Svki podskup R Dekrtovog proizvod AB zove se ir relcij iz A u B Pri tome A je polzi skup ire relcije R B je dolzi skup ire relcije R Z iru relciju ρ AA kžemo d je: (I) refleksiv kko ( A) ρ (ekvivleto: Δ A ρ ); (II) tirefleksiv kko ( A) oρ (ekvivleto: Δ A ρ = ); (III) simetrič kko (ρy yρ (ekvivleto: ρ =ρ -); (IV) tisimetrič kko (ρ y yρ = y (ekvivleto: ρ ρ - = Δ A); (V) trzitiv kko (ρ y yρ z ρ z) (ekvivleto: ρ ο ρ ρ ); (VI) jedozč kko presjek (lijevi presjek) relcije ρ (lijevi presjek ire relcije ρ AB elemetom A defiir se s ρ ():={ B () ρ }) ilo kojim elemetom A je ili prz skup ili jedočl skup: (VII) relcij ekvivlecije kko (I) (III) (V); (VIII) relcij pretporetk kko zdovoljv (I) (V); (IX) (X) relcij prcijlog poretk kko (I) (IV) (V); relcij totlog poretk kko (I) (IV) (V) (d) gdje je (d) uslov dihotomije tj (d) (y A) (ρ y) (yρ Defiicij: Nek su X i Y ilo koj dv (eprz) skup Postupk f koji svkom elemetu X pridružuje tčo jed elemet y Y zovemo preslikvje (ili fukcij) s X u Y i pišemo f: X Y ili α f( X Z preslikvje f : X Y kžemo d je surjekcij (ili preslikvje ) ko je f (X ) = Y ijekcij (ili (-) preslikvje) ko f ( ) = f ( / ) implicir = / ijekcij (ili oostro jedozčo preslikvje) ko je f surjekcij i ijekcij 3 Pojmovi kočog prerojivog diskretog i eprerojivog skup Z skup A kžemo d je koč kko A ( N) A Z skup A kžemo d je eskoč ko ije koč Z skup A kžemo d je prerojiv kko je A ekvipotet s ekim podskupom skup N Ako skup ije prerojiv kžemo d je eprerojiv Diskreti skup?!? Kžemo d su skupovi X i Y ekvipoteti i pišemo X~Y ko postoji ijekcij f : X Y Kls kojoj pripd skup X ziv se krdili roj skup X crd(x) = ~ { } Nejr Hodzic & Amr Trk Skiuto s wwwetf

2 Skript z usmei ispit iz IM 4 Slože fukcij i iverz fukcij Defiicij: Nek su f: X Y i g: Z W dv preslikvj ( dvije fukcije) tkv d je R(f) Z Td preslikvje h: X W defiiro formulom h( = g(f() X ozčvmo s g o f ili gf i zovemo kompozicijom preslikvj ili složeom fukcijom Nek je dto preslikvje f: X Y Z preslikvje g: Y X kžemo d je iverz fukcij z f ko je g ο f = X i f ο g = Y 5 Skup (i polje) relih rojev R i lgerske opercije s relim rojevim Defiicij: Polje relih rojev je skup R u kojem su defiire dvije ire opercije + i (sirje i možeje) i jed ir relcij (mje ili jedko) tko d vrijedi: 5 6 Okoli tčke u R i u R tčke gomilj skup A ( R) ogričei i eogričei itervli Apsolut vrijedost relog roj i trougo ejedkost Rdi jedostvijih svojstv u lizi se uvodi proširei skup relih rojev R Po defiiciji je R = R { + } gdje su + dvije međusoo rzličite ove tčke Pod okoliom tčke (odoso roj) R podrzumijevmo ilo koji podskup skup R koji sdži otvorei itervl skup R kojem t tčk pripd Defiicij: Z tčku R kžemo d je tčk gomilj (ili tčk gomilvj) skup A ( R) ko u svkoj okolii tčke postoji r jed tčk skup A rzličit od sme tčke Ogričei itervl: ( ) := { R < < } Neogričei itervli: ( ) : = { R : < } i ( + ) : = { R : > } Z svki rel roj R defiir se psolut vrijedost (modul) relog roj izrzom: : = < Trougo ejedkost: + y + y 7 Metod idukcije i Njutov iom formul Metod mtemtičke idukcije: (I) Bz idukcije ( = ili općeitije = N): Provjerimo d tvrdj T() vrijedi z = (odoso z = ) (II) Iduktiv pretpostvk ( = k odoso = k ): Pretpostvimo d tvrdj T() vrijedi z prirod roj k (III) Kork idukcije ( = k+) : Koristeći iduktivu pretpostvku pokžemo d tvrdj T() vrijedi i z prirod roj k+ Teorem: Z svki prirod roj i z sve y R vži relcij i i ( + y) = + y + + y + + y + y i Nejr Hodzic & Amr Trk Skiuto s wwwetf

3 Skript z usmei ispit iz IM koj se zove Njutov iom formul: Biomi koeficijeti se mogu defiirti formulom:! : = i i!( i)! 8 Polje kompleksih rojev C Algerski olik reli i imgiri dio kompleksog roj kojugiro kompleksi rojevi i jihov svojstv Defiicij: Skup R R = { y) : y R} ( u kojem su defiise opercije sirje i možeje formulm: ( c d R) ( ) + ( c d) = ( + c + d) ( c d R) ( ) ( c d) = ( c d d + c) zove se skup kompleksih rojev i ozčv se s C jegovi elemeti zovu se kompleksi rojevi Komplekse rojeve kod kojih je drug kompoet jedk tj elemete ( ) C ( ) zovemo čisto relim rojevim Komplekse rojeve kod kojih je prv kompoet jedk tj elemete ( y) C (y ) zovemo čisto imgirim rojevim Algerski olik kompleksog roj: z = + iy Kojugov kompleks roj: z = iy ( z ) Opercij kojugovj im sljedeć svojstv: Re( z) = ( z + z) Im( z) = ( z z) ; i z + z = z + z ; 3 z z = z z ; 4 z z = z z ( z ) 5 ( z ) = z (opercij kojugovj je ivolutiv) 9 Modul kompleksog roj i trougo ejedkost Argumet trigoometrijski i ekspoecijli olik kompleksog roj Defiicij: Rel eegtiv roj + y zove se psolut vrijedost ili modul kompleksog roj z = + iy ( y R ) i ozčv se s z Trougo ejedkost: z + z z + z Defiicij: Nek je M ( y) tčk koj predstvlj kompleksi roj z = + iy ( z ) Svki mjeri roj ϕ orijetisog ugl ( OM ) koji čii rdijus vektor OM s osom O zove se rgumet roj z i ozčv se s Argz Argumet ϕ roj z koji zdovoljv uslov π < ϕ π zove se glv vrijedost rgumet roj z i ozčv se s rgz Trigoometrijski olik kompleksog roj: z = r(cosϕ + isiϕ) - iϕ Ekspoecijli olik kompleksog roj: z = r e Nejr Hodzic & Amr Trk Skiuto s wwwetf 3

4 Skript z usmei ispit iz IM Movrov teorem o proizvodu količiku i stepeovju kompleksih rojev Korjeovje kompleksih rojev cos( Argz z z (II) = [ cos( Argz Argz ) + i si( Argz Argz )] z z (III) z = [ r ( cos ϕ + i siϕ) ] = r ( cos ϕ + i si ϕ) ϕ + kπ ϕ + kπ (IV) zk = r cos + i si ( k Z) (I) z z = z z [ Argz + Argz ) + i si( Argz + )] Pojmovi (kočog i eskočog) iz hrmoijskog ritmetičkog i geometrijskog iz Niz je svko preslikvje skup prirodih rojev skup relih rojev Defiicij: Koči iz elemet (eprzog) skup X je svko preslikvje (fukcij) :M X gdje je M eki koč podskup skup N Defiicij: Beskoči iz je svko preslikvje : N X skup prirodih rojev N u skup X Vrijedost () X preslikvj u tčki N zove se -ti čl tog iz i oičo se ozčv s p se govori o (eskočom) izu ( N) Ako je specificir zvisost od od se ziv opšti čl iz Hrmoijski iz je iz kod kojeg je svki čl osim prvog hrmoijsk sredi jemu dv susjed čl Aritmetički iz je svki iz z koji vrijedi: d gdje je d fiks roj = Sum ritmetičkog iz: S = [ + ( ) d] Geometrijski iz je svki iz kod kojeg je svki čl osim prvog proizvod prethodog čl i fiksog roj q: = q + Sum geometrijskog iz: S = q = q i= Pojm i osov svojstv griče vrijedosti iz Tčke gomilj iz q i Defiicij: Nek je () iz u R i ek je R Kžemo d je grič vrijedost ili limes iz () i pišemo = lim ko z svku okoliu U tčke postoji N tkv d > povlči U U slučju kd je R (tj kd je koč roj) z iz () kžemo d je koverget u slučju kd je = ili + ili d grič vrijedost e postoji kžemo d iz () divergir (u slučju kd je limes iz () eskoč kžemo d tj iz divergir u užem smislu u slučju kd limes od () e postoji kžemo d iz () divergir u širem smislu ili d oscilir) Jedostvo se dokzuju sljedeć osov svojstv gričih vrijedosti izov u R: (I) Ako iz im griču vrijedost o je jedozčo određe (II) Svki koverget iz je ogriče Nejr Hodzic & Amr Trk Skiuto s wwwetf 4

5 Skript z usmei ispit iz IM (III) Jedkost lim = gdje je R vrijedi kko = + α pri čemu je ( α) (IV) (V) (VI) (VII) ul iz Zir i rzlik dv ul iz su ul izovi Proizvod ogričeog iz i ul iz je ul iz (Vez između lgerskih opercij u skupu R i gričog prelz) Nek su () i () kovergeti izovi i ek je lim = i lim = Td je: ) lim ( ± ) = ± ) lim ( ) = c) lim = ( Teorem o dv ždr / policjc ili Sedvič teorem ili Teorem o uklješteju ) Nek su () () i (c) tri iz (u R) tkv d je : c z svki N (ili počev od ekog ); lim = lim c = R Td je lim = (VIII) Ako je lim = od je lim = Defiicij: Z tčku R kžemo d je tčk gomilj (ili tčk gomilvj) iz u R ko postoji podiz ( ) tog iz koji teži k kd k k 3 Bolzo-Weierstrssov teorem z skupove i izove Mootoi izovi i roj e Teorem (Bolzo Weierstrssov teorem z skupove): Svki eskoči ogričei skup u R im r jedu tčku gomilj u R Svki eskoči skup u R im r jedu tčku gomilj u R Teorem (Bolzo Weierstrssov teorem z izove): (I) Svki ogriče iz relih rojev im r jedu tčku gomilj u R (II) Svki iz relih rojev im r jedu tčku gomilj u R Defiicij: Z iz () u R kžemo d je eopdjući ko je + z svki N d je rstući (strogo rstući) ko je < + z svki N Alogo se defiir erstući i opdjući (strogo opdjući) izovi Jedim imeom izove vede četiri tip zovemo mootoi izovi Eulerov roj e je trscedet (e zdovoljv iti jedu lgersku jedčiu) i irciol; im velik zčj u mtemtičkoj lizi i jeim primjem uzim se i z zu logritm (prirodi logritm); ( < e < 3) e = lim + = lim + = e 4 Pojmovi (eskočog) red (u R i u opštem ormirom vektorskom prostoru) jegove kovergecije i divergecije Nejr Hodzic & Amr Trk Skiuto s wwwetf 5

6 Skript z usmei ispit iz IM Defiicij: Nek je dt iz ( ) u R (ili u ormirom vektorskom prostoru X) i ek je k s k = z svki k N Beskoči red ili krće red u R (ili u proizvoljom ormirom = vektorskom prostoru X) je uređe pr (( ) (s k )) koji se sstoji od dv iz ( ) (s k ) ( s k R odoso s k X ); su človi red s k (k N) k te prcijle sume red Niz (s k ) zivmo izom prcijlih sum dtog red Sm red se krće ozčv Defiicij: Nek je () iz u R Kžemo d je iz ( ) sumil u R ( odoso u X ) ili d je red Σ koverget ( u R odoso u X ) ko je iz prcijlih sum (s k ) red Σ koverget ( u R odoso u X ) Limes s : = lim s ziv se sum red Σ i ozčv se s: k = s = Red Σ je diverget u dv slučj: Red Σ im sumu s li je s = ± i td još kžemo d je red određeo diverget ili diverget u užem smislu Red Σ em ikkvu sumu i td još kžemo d je red oscilirjući ili d je diverget u širem smislu Teorem (Cuchyjev kriterijum z kovergeciju redov): Red Σ kovergir kko z svki ε> postoji N tkv d iz > p N slijedi p < ε 5 Potre uslov z kovergeciju red Geometrijski hrmoijski i opšti hrmoijski (hiperhrmoijski) red Teorem (Potre uslov z kovergeciju red): Ako je red Σ koverget od iz ( ) jegovih člov kovergir k uli tj lim = Red q ziv se geometrijskim redom Prcijl sum geometrijskog red: ( q ) ( q ) sk = q k( q = ) q koverget z q diverget (i to z q u određeom smislu z q Z < oscilir) Z q limes e postoji Hiperhrmoijski red: = z > α α koverget ( lim = + ) α α z α diverget (zα = lim = ; Hrmoijski red: (diverget red) = k α z α < lim = ) Nejr Hodzic & Amr Trk Skiuto s wwwetf 6

7 Skript z usmei ispit iz IM 6 Redovi s eegtivim človim (pozitivi redovi) Osovi kriteriji z ispitivje kovergecije pozitivih redov Z red Σ kžemo d je pozitiv ko je z svki N Kriterijumi kovergecije pozitivih redov: + Dlmerov kriterij: Nek je lim = L td vrijedi: ko je L< red je koverget ko je L> red je diverget 3 ko je L= e dje odgovor Koshijev kriterij: Nek je lim = L td vrijedi: ko je L< red je koverget ko je L> red je diverget 3 ko je L= e dje odgovor Reov kriterij: Nek je lim = L td vrijedi: + ko je L< red je diverget ko je L> red je koverget 3 ko je L= e dje odgovor μ Gusov kriterij: Nek z eko λ μ R i z α > vrijedi = λ + + o α + z λ > ili λ < red Σ kovergir z λ = μ > ili λ = μ < red Σ kovergir 3 z λ = μ = red divergir ( ) : 7 Redovi s človim s promjeljivim zkom Leiizov kriterij i psolut kovergecij Osovi kriterijumi kovergecije redov s človim proizvoljog zk: Dirihleov kriterij: Nek je dt red i ek su zdovoljei uslovi: = iz mootoo tezi iz B prcijlih sum red je ogrice td je dti red koverget Aelov kriterij: Nek je dt red i ek: = iz mootoo tezi je koverget = td je i dti red koverget Nejr Hodzic & Amr Trk Skiuto s wwwetf 7

8 Skript z usmei ispit iz IM Stv: Ako red Σ kovergir od kovergir i red Σ (u R) Ako red Σ kovergir od se kže d red Σ psoluto kovergir Z red Σ kže se d uslovo kovergir ili d je semikoverget ko kovergir li pri tom e kovergir psoluto Ljicov kriterij: Nek je dt ltertivi red ( ) i pretpostvimo d su zdovoljei sljedeći uslovi: + td je dti red koverget 8 Redovi s kompleksim človim Broji red = z : = ( + i ) čiji su človi z : = + i ( R ( N)) kompleksi rojevi zivmo roji red s kompleksim človim (ili kompleksi roji red ili red kompleksih rojev) Red z : = ( + i ) kovergir i im sumu S : = A + ib ( A : = lim A : = lim k i k = k = B : = lim B : = lim k ) kko kovergirju redovi i i pišemo: ( + i ) = + i Σ zovemo reli dio red z : = = = = zovemo imgiri dio red ( + i ) red Σ 9 Opšti pojmovi o reloj fukciji jede rele promjeljive (defiicij pojm rele fukcije jede rele promjeljive (prirodi) dome grfik zdvje i opšt svojstv) Defiicij: Svko preslikvje f : X Y defiiro ekom podskupu X skup R relih rojev i s vrijedostim iz ekog podskup Y skup R zove se rel fukcij jede rele ezviso promjeljive Dkle rel fukcij rele promjeljive je svk uređe trojk (XYf) koj se sstoji od skup X ( R) kojeg zovemo olst defiisosti (dome) skup Y ( R ) kojeg zovemo područje vrijedosti (kodome) te ekog prvil f Nek je f : X Y rel fukcij rele promjeljive Td se skup svih oih tčk ( y) R kod kojih je X i y = f( ziv grfikom ili grfom fukcije f Ozčvmo g s G(f) Prem tome po defiiciji je G f = {( f ( ) X } ( X Y R ) Fukcij može iti zd rze čie: litički tlički grfički riječim Postoji i eksplicito implicito i prmetrsko zdvje fukcij Opć svojstv (prost periodičost mootoost ogričeost): Defiicij: Z skup D( R) kžemo d je simetrič u odosu ultu tčku (tj tčku ) ko z svki D roj tkođe pripd skupu D Kžemo d je fukcij f : D K (D K R) defiir simetri_om skupu D pr ko je f ( = f ( z svki D epr ko je z svki D ispujeo f ( = f ( Nejr Hodzic & Amr Trk Skiuto s wwwetf 8

9 Skript z usmei ispit iz IM Defiicij: Kžemo d je fukcij f : D R periodič ko postoji roj p R\{} (koji se ziv periodom fukcije f ) tkv d vži: (i) ( D) + p D ; (ii) ( D) f (+p) = f( Njmji pozitiv roj p (ko postoji) z koji su ispujei uslovi (i) i (ii) ziv se osovi (temelji) period fukcije f i oičo se ozčv s T Defiicij: Nek je E D R Z fukciju f : D K (K R) kžemo d je: eopdjuć skupu E ko ( E) ( f ( ) f ( )); rstuć skupu E ko ( E) ( < f ( ) < f ( )); 3 erstuć skupu E ko ( E) ( f ( ) f ( )); 4 opdjuć skupu E ko ( E) ( < f ( ) > f ( )) Z fukciju f koj zdovoljv ilo koji od uslov 4 kžemo d je mooto z fukciju f koj zdovoljv uslov ili uslov 4 d je strogo mooto skupu E Defiicij: Z fukciju f : D K( D K R) kžemo d je ogriče odozgo (odozdo) skupu E( D) ko postoji roj P R ( p R ) tkv d z sve E vrijedi f ( < P ( f ( > p ) Z fukciju koj je ogriče odozdo i odozgo skupu E kžemo d je ogriče skupu E Osove elemetre fukcije Skup elemetrih fukcij čie: stepe rciol ekspoecijl i logritmsk fukcij trigoometrijske fukcije i jihove iverze fukcije 3 sve fukcije koje se doiju pomoću prethodih kočim rojem opercij Defiicij: Stepe s relim izložiocem (ekspoetom) i osovom (>) je izrz defiir s = sup A = if B Fukcij zove se ekspoecijl fukcij s zom Defiicij: Iverz fukcij ekspoecijle fukcije f ( = ziv se logritmsk fukcij s zom i ozčv: R + log : R ( = log y y = ) α Defiicij: Z svki α R fukcij α defiir R + ziv se stepe fukcij s ekspoetom α Trigoometrijske fukcije su si cos tg i ctg Iverze trigoometrijske fukcije su rcsi rccos rctg rcctg Pojm i osov svojstv griče vrijedosti (limes) rele fukcije jede rele promjeljive Defiicij: (Po Cuchyju) Nek je f : X Y rel fukcij rele promjeljive i R tčk gomilj skup X Kžemo d je y R grič vrijedost (limes) fukcije f u tčki (ili d fukcij f ( teži vrijedosti y kd teži vrijedosti ) i simolički to ozčvmo s lim f ( = y ko z svku okoliu V (y ) tčke y postoji okoli U( ) tčke tkv d vrijedi ( X ) ( ( U( ) ) ( f ( V(y ) ) + R X : = X > i f : X Y (X R Defiicij: Nek je o R tčk gomilj skup { } lim Y R) Vrijedost f ( ) R + o X o o o lim (ko postoji) ozčv se s f ( ) + o i zove des Nejr Hodzic & Amr Trk Skiuto s wwwetf 9

10 Skript z usmei ispit iz IM grič vrijedost fukcije f u tčki Alogo se defiir lijev grič vrijedost fukcije Defiicij: (Po Heieu): Z fukciju f : D R rele promjeljive kže se d im u tčki R griču vrijedost jedku y ( y R ) ko z svki iz tčk iz D z koji je o z svki N i lim = vži lim f ( ) = y Osove teoreme teorije gričih vrijedosti fukcij: (I) Fukcij f : D K (D K R) e može imti u tčki ( R ) dvije rzličite griče vrijedosti (II) Ako fukcij f : D K (D K R) im koču griču vrijedost u tčki ( R) od postoji okoli U() tčke tkv d je fukcij f ogriče skupu ο U D ( ) (III) Z svku fukciju f : D K (D K R) vži d je lim f ( = ( R R ) kko je f( = + α ( gdje je α eskočo ml kd (Iz lim ( f ( ) = ) lim f ( = R slijedi (IV) Ako je lim f ( = A ( R) od je lim f ( = A tj lim f ( = lim f ( ( R ) (V) Teorem o dv ždr Nek su f g h tri rele fukcije jede rele promjeljive D presjek dome D( f ) D(g) i D(h) kojem je tčk tčk gomilj i ek je f( ο g( h( z sve U D () gdje je U() ek okoli tčke Ako je lim f ( = lim h( = ( R ) od je i lim g( = (VI) O lgerskim opercijm z limese fukcij Nek je lim f ( = i lim g( = c ( c R ) gdje je tčk ( R ) tčk gomilj presjek D ( R) dome D( f ) i D(g) relih fukcij f i g Td je: i lim ( f ( ± g( ) = ± c ii lim( k f ( ) = k lim f ( iii lim ( f ( g( ) = c f ( iv lim = g( c (VII) O ekim svojstvim eskočih gričih vrijedosti i Ako je lim f ( = + (ili )( R ) od je lim f ( = + ii Ako je lim f ( = + ( R ) od je lim = f ( iii Ako je lim f ( = i ko je f ( od je lim = + f ( Nejr Hodzic & Amr Trk Skiuto s wwwetf

11 Skript z usmei ispit iz IM iv Ako je lim lim f ( = A R i lim g( = + od je ( f ( g( ) = sg A f ( A i lim = g( Egzistecij limes z mootoe fukcije Pozti limesi Tehike rčuj limes Teorem: Nek je f : D K (D K R) eopdjuć fukcij i ek su i : = if D i s : = sup D tčke gomilj skup D Td postoje lim f ( i lim f ( D i limes lim f ( io koč i potreo je i dovoljo d fukcij f skupu D ude ogriče odozdo; logo vži z fukciju lim f ( s Alog tvrđej vže z erstuće fukcije Pozti limesi: k lim = ( > k > ) lim = ( R)! 3 lim q = ( q < ) 4 lim = 5 + lim = ( R ) 6 si lim = 7 e ± lim = 8 + lim + = lim + = e 3 Primje simptotskih rzvoj z izrčuvje limes Defiicij: Kžemo d je fukcij f eskočo ml u odosu fukciju g kd (ili u tčki = odoso u okolii tčke ) i pišemo f ( = o( g ( ) ( ) ( f je mlo o od g kd ) ko postoji tkv okoli tčke d je f ( = α( g( z svki U D gdje je α ( eskočo ml fukcij kd tj lim α ( = Defiicij: Ako postoji okoli U tčke i fukcij β koj je ogriče ο s i U ο ο D tko d je f ( = β ( g ( z svki U D pišemo f ( = O( g ( ) ( ) ( f ( je veliko O od g( kd ) Ako je istovremeo f ( = O( g( ) i g( = O( f ( )( ) kžemo d su k k fukcije f i g istog red Ako je istovremeo f ( = O( g( ) i ( g( ) = O( f ( )( ) Nejr Hodzic & Amr Trk Skiuto s wwwetf

12 Skript z usmei ispit iz IM od kžemo d je f fukcij k tog red u odosu g kd Defiicij: Nek postoji okoli U tčke i fukcij γ tkve d je lim γ ( = i ο f ( = γ ( g( z svki U D Td kžemo d se fukcij f simptotski poš ko fukcij g kd (ili d su f i g ekvivlete fukcije kd ) i pišemo f ( ~ g ( ( ) (383) ( f ( je ekvivleto s g( kd ) Nvedei izrzi zovu se simptotske relcije Stv: Grič vrijedost količik eskočo mlih veliči e mijej se ko ove zmijeimo ekvivletim eskočo mlim veličim 4 Asimptote: horizotl vertikl i kos Pri proksimciji fukcije y=f( prvim liijm kd ± ili kd y ± ko je to moguće prve liije se zivju simptotm Ako z fukciju f vrijedi lim f ( = ± od je prv = vertikl simptot Ako postoji roj R tkv d je lim f ( = od je prv y= (ko + des ko ± lijev) horizotl simptot fukcije y=f( f ( Ako postoje limesi k = lim i = lim ± [ f ( k] od je prv y=k+ (ko + ± des ko lijev) kos simptot 5 Pojmovi eprekidosti tčk prekid i sigulritet rele fukcije jede rele promjeljive Defiicij: Nek su D K podskupovi od R i f : D K fukcij Kžemo d je fukcij eprekid (eprekiut kotiuir) u tčki D ko z svku okoliu V tčke f ( ) u K postoji okoli U tčke u D tkv d je f (U) V U protivom slučju kže se d je f prekid u tčki u tom slučju se z tčku kže d je tčk prekid fukcije f Svku tčku gomilj dome D fukcije f : D K (D K R) ćemo zvti sigulr tčk ili sigulritet fukcije f ko D Defiicij: Z relu fukciju f defiiru skupu D ( R) kžemo d je eprekid slijev (zdes) u tčki D ko je lim f ( = f ( ) (odoso lim f ( = f ( ) ) Z tčku iz dome D fukcije f kžemo d je tčk prekid slijev (zdes) fukcije f ko f ije eprekid slijev (zdes) u toj tčki Defiicij: Nek je f rel fukcij defiir skupu D ( R) i D tčk prekid fukcije f Kže se d je u tčki : (I) prekid prve vrste fukcije f ko postoje koče griče vrijedosti f ( ) i f ( + ) pri čemu se zhtijev postojje smo prvog (odoso smo drugog) od tih limes ko je smo lijev (odoso smo des) tčk gomilj skup D ; specijlo se kže d je tkv prekid otklojiv (odstrjiv uklojiv ili eit) ko je još f ( )= =f( + ) tj ko postoji (koč) lim f ( + Nejr Hodzic & Amr Trk Skiuto s wwwetf

13 Skript z usmei ispit iz IM (II) prekid druge vrste fukcije f ko ije prve vrste (tj ko r jed od gričih vrijedosti f ( ) i f ( + ) e postoji ili je eskoč) Defiicij: Nek je f rel fukcij defiir skupu D ( R) i D tčk prekid fukcije f Kže se d je u tčki : (I) otklojiv prekid fukcije f ko postoji koč grič vrijedost lim f ( (II) pol fukcije f ko postoji eskoč grič vrijedost lim f ( = ± (III) esecijli prekid fukcije f ko grič vrijedost lim f ( e postoji; pri tome se z esecijli prekid fukcije f u kže d je esecijli prekid prve vrste ko postoje koče griče vrijedosti lim f ( i lim f ( z esecijli prekid + koji ije prve vrste kže se d je esecijli prekid druge vrste 6 Lokl i glol svojstv eprekidih fukcij Lokl svojstv eprekidih fukcij: Svko svojstvo eprekide fukcije koje je u vezi s pošjem te fukcije u ekoj okolii jee tčke eprekidosti zivmo loklo svojstvo eprekide fukcije Prvil o ritmetičkim opercijm s eprekidim fukcijm: Nek su skupu D( R) defiire rele fukcije f g i ek je svk od fukcij f g eprekid u tčki D Td su i fukcije f + g f g λf (λ R) f g f / g (uz dodtu pretpostvku g ( ) ) i f eprekide u tčki Prvilo o eprekidosti složee fukcije: Kompozicij dviju eprekidih fukcij tkođer je eprekid fukcij Glol svojstv eprekidih fukcij: Defiicij: Z fukciju f : D K (D K R) kžemo d je eprekid skupu S D ko je o eprekid u svkoj tčki iz S Prv Weierstrssov teorem o eprekidim fukcijm segmetu: Ako je rel fukcij f eprekid segmetu [ ] ( R) o je tom segmetu i ogriče Drug Weierstrssov teorem o eprekidim fukcijm segmetu: Ako je rel fukcij f eprekid segmetu [ ] ( R) o tom segmetu postiže svoj ifimum i supremum tj postoje rojevi m M R i tčke m M [ ] (koje se mogu i poklpti) tkvi d je m f ( M z svki [ ] m = f ( m ) i M = f ( M ) Bolzov teorem: Nek je f rel i segmetu [ ] ( R) eprekid fukcij Ako f ruovim tog segmet im suprote predzke tj ko je f() f()< od postoji r jed tčk c ( ) tkv d je f (c) = Bolzo Cuchyjev teorem o međuvrijedostim: Nek je f rel i segmetu [ ] ( R) eprekid fukcij Ako su i dvije tčke tog segmet tkve d je f ( ) f ( ) od z m koji reli roj C između f ( ) i f ( ) postoji r jed tčk c između i tkv d je f(c)=c tj eprekid fukcij segmetu prim svku međuvrijedost Defiicij: Z fukciju f: D K (D K R) kžemo d je uiformo (rvomjero jedoliko) eprekid skupu A D ko z svki ε> postoji δ(=δ(ε)>) koji e ovisi o tkv d z svki ' A iz ' <δ slijedi f ( f(') <ε Nejr Hodzic & Amr Trk Skiuto s wwwetf 3

14 Skript z usmei ispit iz IM Ctorov teorem: Ako je f : [ ] K ([ ] R K R) eprekid fukcij segmetu [ ] od je o i uiformo eprekid tom segmetu 7 Elemetre fukcije i jihov eprekidost Pod elemetrim fukcijm u širem smislu podrzumijevmo sve oe rele fukcije jede rele promjeljive koje se od osovih elemetrih fukcij pored lgerskih opercij + : i opercije kompozicije fukcij doijju i restrikcijom dome ili su dio po dio jedke tko doijeim fukcijm Teorem: Svk elemetr fukcij je eprekid (tj elemetr fukcij je eprekid gdje je i defiir) Elemetre fukcije se klsificirju sljedeći či: (I) Fukcije koje se mogu orzovti iz fukcij f ( : = i g(: = cost kočom primjeom opercij + i zivju se poliomim ili cijelim rciolim fukcijm (II) Fukcij koj može iti orzov iz fukcij f ( : = i g(: = cost kočom primjeom opercij + i : ziv se rciolom fukcijom (III) Fukcije koje mogu iti doijee iz fukcij f ( = i g( = cost = kočom primjeom opercij + : i opercije izvlčej korije zivju se lgerskim fukcijm (pri čemu se kod prih korije ir jegov ritmetičk vrijedost) Algerske fukcije koje isu rciole zivju se irciolim (IV) Sve ostle elemetre fukcije zivju se elemetrim trscedetim fukcijm 8 Pojm komplekse fukcije Osove elemetre komplekse fukcije Defiicij: Svko preslikvje f : D K gdje je D C i K C (C + ) polje kompleksih rojev zove se kompleks fukcij komplekse promjeljive Ako je pk D R i K C od z f : D K kžemo d je kompleks fukcij rele promjeljive Osove elemetre komplekse fukcije: e e e + e e e e + e sh = ch = th = cth = e + e e e 9 Pojmovi izvod (derivcije) i jegov geometrijsk i fizikl iterpretcij Jedostri i eskoči izvodi Nek je fukcij y=f( defiis u ekoj okolii tčke Ako postoji limes f ( + Δ f ( ) lim Δ Δ od ovj limes zovemo izvod (derivcij) fukcije y=f( u tčki i ozčvmo g s f'( ili dy y' ili d Nejr Hodzic & Amr Trk Skiuto s wwwetf 4

15 Skript z usmei ispit iz IM Ako izvod fukcije y=f( u tčki postoji td je koeficijet tgete grfik fukcije u tčki M( y ) jedk izvodu fukcije u toj tčki tj k t = f '( ) Ako je s=f(t) jedči kretj tčke koj se kreće po prvoj liiji td je rzi kretj u treutku t jedk izvodu u toj tčki fukcije f(t) tj v t ) = f '( ) ( t9 3 Pojmovi diferecijilosti i diferecijl rele fukcije jede rele promjeljive Svojstv diferecijilih fukcij Z fukciju koj im izvod u tčki kžemo d je diferecijil u toj tčki Ako fukcij y=f( im izvod u svkoj tčki itervl () od kžemo d je diferecijil () Teorem: Ako je fukcij f derivil u točki td je i eprekid u toj točki Diferecijl fukcije y=f( je proizvod izvod fukcije i prirštj rgumet fukcije: dy = f '( Δ Z rzliku od derivcije koj dje koeficijet smjer tgete diferecijl je lier proksimcij prirst fukcije u okolii eke točke Geometrijsk iterpretcij diferecijl: 3 Prvil derivirj (diferecirj) tehik diferecirj Teorem : Izvod kostte jedk je uli tj y = C y' = Teorem : Izvod zir (rzlike) fukcij jedk je ziru (rzlici) izvod fukcij tj y = u ± v y' = u' ± v' Teorem 3: Izvod proizvod kostte i fukcije jedk je proizvodu kostte i izvod fukcije tj y = f ( y' = f '( Teorem 4: Ako je y = prirodi roj td je y ' = Teorem 5: Ako je y = si od je y'= cos Teorem 6: Ako je y = cos td je y' = si Teorem 7: Ako je dt proizvod dviju fukcij y = u v ( u = u( v = v( ) td je izvod ovod proizvod: y ' = ( uv)' = u' v + uv' Nejr Hodzic & Amr Trk Skiuto s wwwetf 5

16 Skript z usmei ispit iz IM u Teorem 8: Ako je dt količik dviju fukcij y = v ( u = u( v = v( v( ) td je izvod ' u u' v v' u ovog količik y' = = v v Teorem 9: Ako je y = log od je y'= log e Specijlo z =e immo (l ' = Teorem : Ako je y= od je y '= l Specijlo z =e je ( e )' = e Teorem : Nek je iverz fukcij f ( ) eprekid u tčki y=f( td je ( f )'( y) = f '( 3 Izvodi i diferecijli višeg red Izvod f' fukcije f zivmo prvim izvodom fukcije f Izvod drugog red fukcije f defiiše se ( ) ko izvod fukcije g(=f'( Ako je defiis izvod red - u ozci f td se izvod red ( ) defiiše ko izvod fukcije f () Izvod red ul f je po defiiciji jedk fukciji f Z fukciju koj u tčki im koč izvod red kžemo d je u toj tčki put diferecijil Ljicov formul z -ti izvod proizvod: Ako fukcije u( i v( imju koče izvode do red u tčki od fukcij u( v( im izvod red u toj tčki i vži: ( ) ( k ) ( k ) ( u( v( ) = u ( v ( k= k 33 Osove teoreme diferecijlog rču Frmtov teorem: Ako fukcij f im u tčki lokli ekstrem i ko u toj tčki im izvod od je f'( )= Rolleov teorem: Nek je fukcij f defiis [ ] pri čemu vži: fukcij je eprekid [ ] fukcij im izvod (koč ili eskoč) () 3 f()=f() Td postoji c ( ) tko d je f'(c)= Cuchyjev teorem: Nek su f i g fukcije defiise [ ] (<) z koje vži: f i g su eprekide [ ] f i g imju izvode ( ) 3 g '( z svko ( ) f ( ) f ( ) Td postoji c ( ) tko d je = g( ) g( ) f '( c) g'( c) Lgrgeov teorem: Nek je fukcij f defiis [ ] (<) i ek vži: f je eprekid [ ] f im izvod () Nejr Hodzic & Amr Trk Skiuto s wwwetf 6

17 Skript z usmei ispit iz IM f ( ) f ( ) Td postoji c ( ) tko d je = f '( c) 34 L' Hospitlovo prvilo i Tylorov formul L' Hospitlovo prvilo: Nek su fukcije f i g defiise i diferecijile u ekoj okolii tčke (osim možd u smoj tčki ) gdje je R Nek je lim f ( = lim g( = ili ± i ek je f ( f '( g '( u ekoj okolii tčke Td je lim = lim ko postoji (koč ili g( g'( eskoč grič vrijedost s dese stre Tylorov formul: Ako fukcij f im u tčki koče izvode do red defiišemo poliom () ' '' ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) T pomoću T ( = ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) o!!!! Poliom T ziv se Tylorov poliom stepe fukcije f u okolii tčke Nek fukcij f im koče izvode do red u tčki i ek je T je Tylorov poliom stepe u okolii tčke Td je f ( = T ( + o(( ) ) ( ) Tylorov formul Z = rzvoj se ziv Mkloreov Nek fukcij f im u okolii tčke koče izvode do red + i ek je R ( = f ( T ( Td se R može predstviti u sljedećim olicim: ( + ) f ( + θ( )) + Lgrgeov osttk: R ( = ( ) θ () ( + )! ( + ) f ( + θ( )) + Cuchyjev osttk: R ( = ( θ) ( ) θ ()! 35 Primje izvod ispitivje (tok i crtje grfik) fukcij Primje prvog izvod: Teorem: D i fukcij f( u ekoj tčki rsl potreo je i dovoljo d vrijedi f'(> Teorem: D i fukcij f( u ekoj tčki opdl potreo je i dovoljo d vrijedi f'(< Teorem: D i fukcij f( iml mksimum u tčki : potreo je d je f'( )= dovoljo je d prvi izvod fukcije f( pri prolzu kroz tčku mijej zk s pozitivih egtive vrijedosti Teorem: D i fukcij f( iml miimum u tčki : 3 potreo je d je f'( )= 4 dovoljo je d prvi izvod fukcije f( pri prolzu kroz tčku mijej zk s egtivih pozitive vrijedosti Teorem: Fukcij f( u tčki im prevoju tčku ko je f'( )= f'( e mijej zk z deso i lijevo od tčke Primje drugog izvod: Teorem: Nek je u tčki = prvi izvod fukcije f( jedk uli tj f'( )= Nejr Hodzic & Amr Trk Skiuto s wwwetf 7

18 Skript z usmei ispit iz IM Ako je pri tome u toj tčki drugi izvod egtiv tj f''( )< td fukcij f( im u tčki mksimum Ako je td u toj tčki drugi izvod pozitiv tj f''( )> fukcij f( im u tčki miimum N itervlim kojim je f''(> fukcij je koveks N itervlim kojim je f''(< fukcij je kokv Ako je drugi izvod fukcije f( itervlim ( ) i ( ) rzličitog predzk od fukcij u tčki prelzi iz kovekse u kokvu gru i oruto Tčk ziv se prevoj tčk fukcije f( 36 Pojmovi primitive fukcije i eodređeog itegrl Defiicij: Nek je f fukcij defiis itervlu () Ako postoji fukcij F tkv d je: F '( = f ( ( < < ) td kžemo d je F primitiv fukcij fukcije f itervlu () Defiicij: Nek je F proizvolj primitiv fukcij fukcije f itervlu () Neodređei itegrl fukcije f u ozci f ( d defiiše se pomoću: f ( d = F( + C ( c = cost < < ) 37 Osov svojstv i osove metode izrčuvj eodređeog itegrl Osoie: Itegrl diferecijl: df ( = d[ f ( d] = f ( + C ; specijlo: fd = + C Itegrl zir jedk je ziru itegrl sirk tj [ f ( ± g( ] d = f ( d ± g( d 3 Itegrl proizvod kostte i fukcije jedk je proizvodu kostte i itegrl fukcije tj K f ( d = K f ( d K-kostt Metode izrčuvj: Metod zmjee (supstitucije) Smje = ϕ(t) : Ako su fukcije f ϕ i ϕ ' eprekide td je: f ( d = f ( ϕ ( t)) ϕ'( t) dt + C Smje t = ϕ( : Ako fukcij ϕ im iverzu fukciju ψ = ϕ i ko su fukcije ϕ ψ i ψ ' eprekide td je: f ( ϕ ( ) d = f ( t) ψ '( t) dt + C Metod prcijle itegrcije Ako su u i v diferecijile fukcije promjeljive ekom itervlu od je u ( dv( = u( v( v( du( + C Nejr Hodzic & Amr Trk Skiuto s wwwetf 8

19 Skript z usmei ispit iz IM 38 Pojmovi određeog (Riemovog) itegrl i itegrilosti relih fukcij jede rele promjeljive Defiicij: Z ogričeu fukciju f : [] K ( [ ] R K R) kžemo d je itegril po Riemu segmetu [] ko je f ( d = f ( d Td se roj I : = f ( d( = I) = f ( d( = I) segmetu [ ] i piše se I = f ( d ziv (određei) Riemov itegrl fukcije f Pri tome se i zivju dojom i gorjom gricom itegrl respektivo; fukcij f ziv se poditegrlom fukcijom (itegrdom) izrz f (d ziv se poditegrli izrz Promjeljiv se ziv itegrcio promjeljiv ili vrijl itegrirj Z fukciju z koju postoji određei itegrl segmetu [ ] kžemo d je itegril tom segmetu 39 Klse itegrilih fukcijosov svojstv određeog itegrl NAPOMENA!!!!! OVAJ ODGOVOR JE NETACAN VRACAO JE RADI OVOGA POTRAZITE U KNJIZI:!!!!! Klse: Rciole fukcije Prolem itegrcije ovih fukcij svodi se lžeje itegrl olik: = d u ( ) = d v k k ( + p + q) = d w k k ( + p + q) k Irciole fukcije Nek je poditegrl fukcij olik p / q p / q p q R k / k ( ) pi qi Z; i = k / Smjeom q = t q = NZS q q q ) doije se itegrl rciole fukcije ( k t Trigoometrijske fukcije Smje: si = + t t dt cos = d = + t + t Osov svojstv: Lierost Ako su fukcije f i g itegrile [ ] td je itegril i fukcij α f + βg gdje su α i β proizvolje kostte i vži jedkost: ( + βg( ) d = α f ( d + Ako je fukcij f itegril [ ] [ c d] [ ] ( α f β g( d td je itegril i proizvoljom itervlu 3 Aditivost Nek su c proizvolji reli rojevi Ako je fukcij f itegril jvećem od itervl [ ][ c][ c] td je f ( d = f ( d + f ( d c c Nejr Hodzic & Amr Trk Skiuto s wwwetf 9

20 Skript z usmei ispit iz IM 4 Ako je ( g( f = i [ ] fukcij itegril [ ] osim u kočo mogo tčk i ko je jed od ovih od je i drug i vži jedkost: f ( d = g( d 4 Teorem o sredjoj vrijedosti određeog itegrl Fudmetle teoreme itegrlog rču Teorem: (Prv teorem o sredjoj vrijedosti određeog itegrl) f g R i g ( (ili ( te ek je Nek su [ ] g ) z svki [ ] m : = if f ( M : = sup f ( Td postoji roj μ ( m μ M ) tkv d je f ( g( d = μ g( d [ ] Teorem: (Drug teorem o sredjoj vrijedosti određeog itegrl) Ako fukcij f : [ ] K ([ ] R K R) f ( z svki [ ] i g R[ ] od postoji [ ] e rste segmetu [ ] ξ tko d je f ( g( d = f ( ) g( d Ako fukcij f : [ ] K ([ ] R K R) e opd segmetu [ ] svki [ ] i g R[ ] od postoji [ ] f g( d f ( Teorem: (Osov teorem itegrlog rču) Ako je f R[ ] ξ [ ] f ( z η tko d je ( = ) g( d od je fukcij φ ( ) : = f ( t) dt z diferecijl fukcij u svkoj tčki [ ] u kojoj je fukcij f eprekid i pri tom vži φ '( ) = f ( (u toj tčki) Teorem: (Osov formul itegrlog rču Drug osov teorem itegr rču) f R i skup tčk prekid fukcij f je jviše prerojiv skup fukcij F Ako je [ ] proizvolj primitiv fukcij f segmetu [ ] (Njut- Ljicov formul) od vži formul f ( d = F( ) F( ) 4 Metod smjee (supstitucije) promjeljive i metod prcijle itegrcije z izrčuvje određeog itegrl Metod zmjee (supstitucije): Nek su f i ϕ tkve fukcije d je: ϕ ' eprekid [ ] f eprekid rgu R (ϕ ) fukcije ϕ ϕ ( ) = α ϕ( ) = β Td je: β f ( d = f ( ϕ( t)) ϕ' ( t) dt α η Nejr Hodzic & Amr Trk Skiuto s wwwetf

21 Skript z usmei ispit iz IM Metod prcijle itegrcije: Nek su fukcije u = u( i v = v( zjedo s svojim izvodim u '( i v '( eprekide [ ] td je: ( uv )' d = ( uv' + u' v) d = udv + vdu pri čemu svi ovi itegrli postoje jer su poditegrle fukcije eprekide [ ] Po Njut-Ljicovoj formuli it će: ( uv )' d = ( uv) udv = ( uv) vdu 4 Pojmovi esvojstveih itegrl prve i druge vrste i jihove glve vrijedosti Defiicij: Nek je fukcij f defiis polusegmetu : = [ + ) ekom segmetu [ ] J J i ek je itegril Ako postoji grič vrijedost lim + f ( d od tu griču vrijedost zivmo esvojstveim itegrlom prve vrste fukcije f polusegmetu J i + ozčvmo s f ( d Defiicij: Nek je fukcij J : [ ) ( R) f : J K( K R) itegril proizvoljom segmetu [ β ] J vrijedost lim β β = pri čemu je sigulr tčk i ek je fukcij Ako postoji grič f ( d od tu griču vrijedost zivmo esvojstveim itegrlom druge vrste fukcij f polusegmetu J i ozčvmo s f ( d Defiicij: Nek je f : [ ] \ {} c K ( K R c ( )) fukcij koj je eogriče u ekoj okolii tčke c Ako z proizvoljo dovoljo mlo roj ε > postoje itegrli c ε f ( d i c ε f ( d i ko postoji grič vrijedost lim f ( d + + f ( d td se t grič ε c+ ε c+ ε vrijedost ziv glv vrijedost ili Cuchyjev glv vrijedost esvojstveog itegrl f ( d i pišemo VP c ε f ( d = lim f ( d + + f ( d ε c+ ε Nejr Hodzic & Amr Trk Skiuto s wwwetf

22 Skript z usmei ispit iz IM 43 Osovi kriterijumi z kovergeciju esvojstveih itegrl Apsolut kovergecij Teorem: (Cuchyjev opći kriterij kovergecije esvojstveih itegrl) D i esvojstvei itegrl f ( d koji im sigulritet u tčki ( R ili = + ) kovergiro potreo je i dovoljo d z svki ε > postoji β = β ( ε ) < β < tko d z svki pr β < < vži f ( d < ε < Defiicij: Ako kovergir itegrl f ( d od kžemo d esvojstvei itegrl f ( d psoluto kovergir Svki koverget esvojstvei itegrl koji ije i psoluto koverget ziv se uslovo koverget ili semikoverget Teorem: (Dirihleov kriterij z ispitivje epsolute kovergecije) i ek su ispujei ovi uslovi: Nek su f i g rele fukcije defiire [ ) R f [ ) im ogričeu primitivu fukciju α f ( t) dt ; g mootoo teži uli kd Td esvojstvei itegrl f ( g( d kovergir Teorem: (Aelov kriterij z kovergeciju esvojstveih itegrl) Nek su f i g rele fukcije defiire [ ) R fukcij g je mooto i ogriče Td itegrl i ek kovergir itegrl f ( d f ( g( d kovergir 44 Defiicije pojmov površie lik u rvi dužie luk krive površie orte površi i zpremie ortog tijel i orsci z izrčuvje vrijedosti tih veliči Defiicij: Kžemo d je figur D izmjeriv ko je zivmo površiom figure D i ozčvmo s P(D): P = P Pri tome zjedičku vrijedost P i P c P = f ( d = f ( d f ( d Teorem: Nek su ϕ (t) i ψ (t) α t β eprekide fukcije koje imju i eprekide izvode Td se kriv L određe jedčim = ϕ( t) y = ψ ( t) α t β može rektificirti β (isprviti) Pri tome je duži s izosi: s = ( ϕ' ( t) ψ ' ( t) ) Zpremi i površi ortog tijel: + α dt c Nejr Hodzic & Amr Trk Skiuto s wwwetf

23 Skript z usmei ispit iz IM Ako grfik krive y = f ( rotir oko -ose o opisuje rotcioo tijelo čij je zpremi V = f π ( d površi omotč je S = π f ( + f ' ( d 45 Pojmovi oiče psolute i uiforme kovergecije iz i red fukcij Cuchyjev i Weierstrssov kriterij uiforme kovergecije Svojstv uiformo kovergetih fukciolih izov i redov Defiicij: Z iz ( f ) relih fukcij defiirih skupu D( R) kžemo d kovergir u tčki D ko kovergir iz ( f ( )) u R tj ko postoji koč grič vrijedost lim f ( ) Z iz ( f ) kžemo d kovergir M ( D) k gričoj fukciji F ko je F( = lim f ( z svki M Defiicij: Ako z svki ε > postoji prirodi roj N = N(ε ) tkv d je f ( f ( < ε z svki >N i svki M ( R) od kžemo d iz ( f ) uiformo kovergir skupu M k fukciji F i pišemo f ( F( ( M ) Teorem: (Cuchyjev kriterij uiforme kovergecije fukciolih izov) D i iz relih fukcij defiirih D( R) rvomjero kovergiro k gričoj fukciji skupu M ( D) potreo je i dovoljo d z svki ε > postoji prirod roj N = N(ε ) tkv d je f ( fm( < ε z svki m > N i z svki M Red fukcij ( kovergir prem fukciji f u tčki ko iz prcijlih sum f = k k = kovergir prem fukciji f u tčki Fukcioli red i ( psoluto kovergir u tčki M ko kovergir red čiji su i= človi psolute vrijedosti člov red tj ko kovergir red i ( i= Teorem: (Cuchyjev kriterij) D i red i ( io uiformo koverget skupu M potreo je i dovoljo d z svki i= ε > postoji prirodi roj N = N(ε ) tkv d je + ( + + ( m ( < ε z sve m > N( m N ) i z svki M Defiicij: Z red i ( kžemo d je mjorir skupu M ( R) ko postoji i= koverget pozitivi red c i tkv d je z svki i= c ( c ( c ( M zdovolje iz ejedkosti Nejr Hodzic & Amr Trk Skiuto s wwwetf 3

24 Skript z usmei ispit iz IM Teorem: (Weierstrssov kriterij) Fukcioli red koji je mjorir skupu M uiformo kovergir tom skupu 46 Pojm stepeog (potecijlog) red Aelov stv (kriterij kovergecije) rdijus i itervl kovergecije z stepee redove = Stepei red je red olik ) = + ( ) + + ( ) gdje su ( + rele kostte (koeficijeti stepeog red) Teorem: (Aelov stv) Ako stepei red = kovergir z koji vži < ko stepei red = R z koji vži > = od o psoluto kovergir z svki R z divergir z = od o divergir z svki Teorem: Z svki stepei red koji kovergir r z jedo postoji itervl = ( R R) R tkv d stepei red psoluto kovergir u svkoj tčki itervl divergir z svku spoljšju tčku tog itervl Defiicij: Itervl ( R R) zove se itervl kovergecije R> je jegov poluprečik kovergecije 47 Aelov teorem i osov svojstv stepeog red Teorem: (Aelov teorem) Stepei red R ξ R ) gdje je = ξ ( R R) proizvolj kko kovergir psoluto ili uslovo krju itervl kovergecije =R (ili = R ) Teorem: (Cuchy-Hdmrdov stv) rvomjero kovergir segmetu [ ξ ] (ili [ ] Poluprečik kovergecije red = Teorem: Stepei red = itervlu kovergecije ( RR) dt je s Teorem: Sum stepeog red = kovergecije Teorem: Sum red = diferecirti čl po čl R = lim sup rvomjero kovergir [ ] koji je sdrž u jegovom je eprekid fukcij jegovom itervlu itervlu (-RR) je diferecijil fuckij i red se može Nejr Hodzic & Amr Trk Skiuto s wwwetf 4

25 Skript z usmei ispit iz IM Teorem: Stepei red koji je sdrž u jegovom = itervlu kovergecije (-RR) ( R ) itegrirti čl po čl i poluprečik kovergecije doijeog red je R 48 Tylorov red može se svkom segmetu [ ] Defiicij: Tylorov red rele fukcije f u tčki jeog dome D( R) u kojoj o im koč izvod proizvoljog red je stepei red: ( ) f ( ) f ( ) + f '( )( ) + + ( ) +! Ako je = red se zove Mcluriov Teorem: Tylorov red u tčki rele fukcije f kovergir rzmku ( R) k fukciji f kko iz osttk Tylorove formule kovergir k tom rzmku Teorem: Dovolj uslov d fukciju f možemo prikzti jeim Tylorovim redom u okolii tčke je d postoje reli rojevi R> i M> tkvi d vrijedi: ( ) fukcij f im sve derivcije f ( u itervlu ( R + R) ( z svki N je f ) ( M R < < + R < 49 Stepei redovi s kompleksim človim Kompleksi stepei red je svki red z pri čemu je z C i C z svki N (Vrijede iste teoreme ko i z stepee redove s relim človim osim teoreme o itegrciji) Nejr Hodzic & Amr Trk Skiuto s wwwetf 5