NEJEDNAKOSTI I PRIMENE

Transcript

1 NEJEDNAKOSTI I PRIMENE dr Jele Mojlović Prirodo-mtemtički fkultet Niš SADRŽAJ Nejedkosti izmed u brojih sredi Prime ejedkosti izmed u brojih sredi 6 Geometrijske ejedkosti Nejedkosti z elemete trougl Stereometrijske ejedkosti 0 4 Košijev ejedkost i primee 5 Jeseov ejedkost i primee 0

2 Jele Mojlović Nejedkosti izmed u brojih sredi Prvi pojm o ritmetičkoj sredii dv pozitiv broj potiče verovto još od Pitgorejc Pretpostvlj se d su oi jverovtije zli i z dobro poztu ejedkost izmed u ritmetičke i geometriske sredie dv pozitiv broj ) + b b b > 0 li se pouzdo z d je ovu ejedkost dokzo Euklid O se pokzuje elemetro korišćejem svojstv d z proizvolj dv pozitiv broj vži b) 0 Nime kvdrirjem leve stre prethode ejedkosti dobij se b + b 0 odkle očigledo sledi ) Nejedkost se često koristi i u sledećem ekvivletom obliku ) b + b b > 0 Ako levoj i desoj stri ejedkosti b + b dodmo + b dobijmo tkod e često korišćeu ejedkost ) + b) + b b > 0 Kko se u mogim mtemtičkim problemim jvljju ejedkosti s više od dv rzličit broj postvio se problem uopštej ejedkosti ) U tu svrhu uvodi se pojm ritmetičke i geometriske sredie z pozitivih brojev Sem tog uvode se još dv pojm brojih sredi odoso pojmovi kvdrte i hrmoijske sredie z pozitivih brojev Defiicij Nek je ) dt -tork pozitivih brojev sredi H ) brojev defiis izrzom H ) ; jihov geometrijsk sredi G ) je defiis s G ) ) ; jihov ritmetičk sredi A ) je defiis s A ) ; i jihov kvdrt sredi K ) je defiis s K ) Td je hrmoijsk Teorem Nejedkost izmed u ritmetičke i geometrijske sredie) Nek je dt -tork pozitivih brojev Td je 4) A ) G ) s jedkošću ko i smo ko je Dokz Dokzćemo teoremu mtemtičkom idukcijom Z ejedkost 4) postje ) tj +

3 Nejedkosti izmed u brojih sredi Pretpostvimo d je tvrd eje tčo z k tj d vži 5) A k ) G k ) i pokžimo d vži z k Možemo pretpostviti bez gubitk opštosti d je 0 < k Td je k k {}}{{}}{ k + k + + k 6) A k ) k k k Primetimo d je iz 6) k A k ) 0 tj + k A k ) > 0 Posmtrjmo k pozitivih brojev k + k A k ) z koje možemo primeiti idukcijsku pretpostvku 5) odoso vži k + + k A k ) k k k + k A k )) Kko je k + k k A k ) prethod ejedkost postje Odvde sledi d je k A k ) A k ) k A k ) k k + k A k )) 7) A k k ) k + k A k )) tj A k k ) A k) k + k A k )) Pokžimo sd d je 8) A k ) k + k A k )) k k G k k) Ako prethodu ejedkost podelimo s k > 0 dobijmo ekvivletu ejedkost A k ) + k A k )) k A k ) k + A k ) k A k )) 0 k A k )) + A k ) k A k )) 0 A k ) ) k A k )) 0 N osovu 6) su A k ) i k A k ) pozitivi brojevi p je i jihov proizvod pozitiv broj Dkle pethod ejedkost je tč odoso vži 8) Sd iz 7) i 8) sledi d je A k k ) Gk k ) tj A k) G k ) Dokžimo d jedkost u 4) vži ko i smo ko je Ako je očigledo immo jedkost u 4) S druge stre pretpostvimo d su br dv broj iz iz brojev rzličit med usobom primer Td je jer je Ovim je dokz zvrše > z ) ) > ) Nejedkost izmed u ritmetičke i geometrijske sredie zvćemo krtko ko GA) ejedkost dok ćemo u primem koristiti ozke 9) A ) A G) G ) odoso G ) G A) A )

4 4 Jele Mojlović Teorem Nejedkost izmed u geometrijske i hrmoijske sredie) Nek je dt - tork pozitivih brojev Td je 0) G ) H ) s jedkošću ko i smo ko je Dokz Nejedkost GA) z brojeve glsi ) ) G A) Prem Teoremi jedkost vži ko i smo ko je tj Iz ) sledi G ) ) + + H ) tj ejedkost izmed u geometrijske i hrmoijske sredie Teorem Nejedkost izmed u ritmetičke i kvdrte sredie) Nek je dt -tork pozitivih brojev Td je ) K ) A ) s jedkošću ko i smo ko je Dokz Ako se u idetitetu ) ) desoj stri jedkosti iskoristi ejedkost ) z i k i k tj d je i k i + k dobijmo ejedkost ) ) ) Kko su pozitivi iz ) sledi d je tj A ) K A) Ostje još d se pokže d jedkost u ) vži ko i smo ko je Ako je očigledo immo jedkost u ) S druge stre ko pretpostvimo d su br dv broj iz iz brojev rzličit med usobom primer immo d je jer je z Ovim je dokz zvrše ) ) < + <

5 Prime ejedkosti 5 Nejedkosti 0) i ) zivmo krće HG) ejedkost i AK) ejedkost respektivo dok ćemo u primem koristiti loge ozke ko kod ejedkosti izmed u ritmetičke i geometrijske sredie tj loge ozkm 9) Teoreme i kočo dju d je Immo i sledeć dv rezultt: H ) G ) A ) K ) Teorem 4 Ako je ) proizvolj -tork pozitivih brojev td je 4) mi{ } H ) Dokz Bez gubitk opštosti možemo pretpostviti d je 5) 0 < Td je mi{ } N osovu ejedkosti 5) je tko d je odkle sledi }{{} ) H ) čime je dokz zvrše Teorem 5 Ako je ) proizvolj -tork pozitivih brojev td je 6) K ) mx{ } Dokz Ko i u dokzu prethode teoreme bez gubitk opštosti možemo pretpostviti d vži 5) Td je mx{ } prem 5) immo d je tko d je odkle sledi K ) Dkle kočo immo d vži mi{ } H ) G ) A ) K ) mx{ } Pokze ejedkosti imju veom vžu ulogu i lze veom široku primeu u svim oblstim mtemtike

6 6 Jele Mojlović Prime ejedkosti izmed u brojih sredi Nejedkosti izmed u sredi mogu se koristiti d bi se pokzle moge druge ejedkosti izmed u ostlih i moge geometrijske ejedkosti o kojim ćemo govoriti u Poglvlju Štviše ejedkosti izmed u sredi lze svoju primeu i u rešvju jedči ejedči ko i u rešvju tkz problem ekstremih vredosti odoso odred ivj miimlih i mksimlih vredosti odred eih veliči U ovom poglvlju biće vedee primee ejedkosti izmed u sredi u pokzivju drugih ejedkosti ko i u rešvju jedči i ejedči Primer Dokzti d z proizvolje -torke relih brojevje ) i b b b ) vži ejedkost: Rešeje: Treb zprvo pokzti d je G ) + G b) G + b) + b b b + b ) + b ) + b ) tj ) x x x + y y y gde su x k k y k b k k k + b k k + b k Iz GA) ejedkosti je x x x G A) x + x + + x ; G A) y y y y + y + + y tko d sbirjem ovih ejedkosti uzevši u obzir d je x k + y k k dobijmo tj vži ) x x x + y y y x + x + + x + y + y + + y Primer Berulijev ejedkost) + α) + α α N Rešeje: Kko je + α 0 to je + α 0 Koristeće GA) ejedkost immo + α) }{{} ) G A) + α α > Dkle + α + α) Primer Dokzti ejedkost! < + N Rešeje: Prem GA) ejedkosti je! < ) + Primer 4 Dokzti d z sve pozitive rele brojeve b c tkve d je + b + c vži ejedkost + ) + ) + ) 64 b c 0 J Beroulli ) švjcrski mtemtičr

7 Prime ejedkosti 7 Rešeje: Korišćejem dtog uslov lev stre dte ejedkosti može se zpisti u sledećem obliku + ) + ) + ) + b + c + b c b c + + b + c što dlje primeom GA) ejedkosti povlči d je + ) + ) + ) A G) b c b + + b + c b b c 4 4 b c 4 4 b c 4 4 b c 64 b c Vži i opštije tvrd eje koje pokzujemo u sledećem primeru Primer 5 Pokzti d vži ejedkost + ) + ) + ) gde su k > 0 k tkvi d je Rešeje: Iz HG) ejedkosti je Kko je [ + ) + ) + )] / G H) k k + k + k + k + prethod ejedkost postje [ + ) + ) + )] / ) [ k c + + b + c c 4 4 b 4 c 4 64 ] / S druge stre iz ejedkosti hrmoijske i ritmetičke sredie uz korišćeje uslov + + immo d je Iz posledje ejedkosti dkle sledi d je odoso ) Sd iz ) i ) zključujemo d je A H) ) ) + ) [ + ) + ) + )] /

8 8 Jele Mojlović odkle stepeovjem dobijmo tržeu ejedkost Primer 6 Dokzti d z svk tri prirod broj b c vži ejedkost +b+c b +b+c c Rešeje: Iz HG) ejedkosti immo d je +b+c + b + c odoso G b b c c ) H b b c c ) }{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{} b c b c +b+c b b c c + + }{{ } + b + c + b + + }{{ b} b + c + + c }{{} c + b + c Primer 7 Ako su b c pozitivi reli brojevi dokzti d vže ejedkosti + b b + c c + + b)b + c) + c) 8bc i + + c b Rešeje: Prem ejedkosti ) je + b b + c c b + c bc odkle možejem direkto sledi prv ejedkost Pored tog primeom GA) ejedkosti immo d je + b b + c c + + c + A G) b + b c b + c c + b Korišćejem prve ejedkosti sd se dobij d je + b b + c c ) 6 c b Primer 8 Ako su b c pozitivi reli brojevi pokzti d vži ejedkost Rešeje: Uvedimo ozke S b + c + b + c + b + c + b + c + c + b S b b + c + c + b c + c + Primetimo jpre d je S + S Pored tog immo d je S + S + S + b + c) / ) + b) + c)b + c) /6 b c + b S c b + c + b + c + + b + + c Primeom ejedkosti izmed u hrmoijske i ritmetičke sredie je b + c + + b + A H) + c ) 9 b + c + + b + + c 9 + b + c) + c + b + b

9 Prime ejedkosti 9 tj S + S + S 9 Dkle S 9 S + S ) što je i treblo pokzti Primer 9 Dokzti d z pozitive rele brojeve b c vži ejedkost 4) b + b) + bcb + c) + c + c) 6bc Rešeje: Nko možej dt ejedkost postje b + b + c + c + b c + bc 6bc Dokžimo d je ov ejedkost tč Prem GA) ejedkosti immo odoso b + b + c + c + b c + bc 6 A G) 6 b b c c b c bc b + b + c + c + b c + bc b 6 c 6 6 b c Primer 0 Dokzti d z sve pozitive rele brojeve b c vži ejedkost 4 + b 4 + c 4 b c + b + c) Rešeje: N osovu AK) ejedkosti je 5) 4 + b 4 + c 4 K A) + b + c 4 + b 4 + c 4 + b + c ) Zbog iste AK) ejedkosti immo i d je 6) + b + c K A) Sd iz 5) i 6) immo d je + b + c + b + c + b + c) + b + c ) + b + c)4 9 7) Prem GA) ejedkosti je 4 + b 4 + c 4 + b + c)4 7 b c G A) + b + c Možejem posledje ejedkosti s + b + c > 0 dobij se + b + c) 7 b c + b + c) 4 7 b c + b + c) što zjedo s 7) dje 4 + b 4 + c 4 b c + b + c) Primer Ako su b c pozitivi reli brojevi dokzti d vži ejedkost 9bc + b + c) b + b + bc b + c + c c + + b + c

10 0 Jele Mojlović Rešeje: D bi smo dokzli levu ejedkosti primeimo jpre GA) ejedkost z brojeve b + b bc b + c c čime se dobij d je c + 8) b + b + bc b + c + c A G) b bc c ) / c + + b)b + c)c + ) S druge stre iz GA) ejedkost z brojeve + b + c b + c immo d je odoso + b)b + c)c + ) G A) što zjedo s 8) dje levu ejedkost: + b)b + c)c + ) b + b + bc b + c + c c + + b + b + c + c + + b + c) 9bc + b + c) b c + b)b + c)c + ) + b + c) Pokžimo sd desu ejedkost Njpre primeom ejedkosti HA) immo d je b + b H A) b + b c + bc H A) c + bc + c H A) + c Dkle od je b + b + bc b + c + c c + + b b b + b 4 + c + bc + c + bc 4 Dlje prem ) prethod ejedkost postje b + b + bc b + c + c c + + b + c Ovim je pokz i des str ejedkosti + + b + c + + c 4 + b + c Primer Nek su b i c pozitivi reli brojevi Dokzti d je b + b c + c b + b c + c + b + c 4 + b + bc + c c ) + b + c Rešeje: Ako uvedemo smeu x /b y b/c z c/ treb zprvo pokzti d z proizvolje pozitive rele brojeve x y z tkve d je x y z vži ejedkost x + y + z x + y + z Zist osovu ejedkosti izmed u kvdrte i ritmetičke sredie immo d je x + y + z K A) x + y + z

11 Prime ejedkosti odoso x + y + z x + y + z) x + y + z) x + y + z A G) x + y + z) x y z x + y + z Primer Nek su x x x pozitivi reli brojevi čiji je zbir jedk Dokzti d z svki pozitiv broj vži ejedkost x x x + x + x x x + x + + x x x + x Rešeje: x x x + x + x x x + x + + x x x + x A G) x x x x x x x + x x + x x + x x + x )x + x ) x + x ) x + x ) + x + x ) + + x + x ) x + x + + x ) Primer 4 Rešiti jedčiu x5 + 4 x x Rešeje: Primeom GA) ejedkosti immo 9) x5 + 4 x A G) x5 4 x x5 +x 4 + Tkod e 0) Iz 9) i 0) sd je x 5 + x 4 + A G) x 5 x 4 x x5 +x 4 + x x5 + 4 x x 4x 6 x U ejedkostim 9) i 0) jedkost vži ko i smo ko je x 5 x 4 tj ko je x što dkle predstvlj rešeje dte jedčie Primer 5 Rešiti ejedčiu x + 4x > + 6x Rešeje: Oblst defiisosti dte ejedčie je D [0 + ) Ako uvedemo smeu x 0 dobij se ejedči ) + > + Primeom GA) ejedkosti immo A G) A G) Od je ) + +

12 Jele Mojlović Dkle pokzli smo d z svko 0 vži ejedkost ) pri čemu jedkost vži kko je tj kko je 0 ili Kko je 0 x 0 i x rešeje ejedčie ) je x 0 ) ) Primer 6 Rešiti jedčiu x 4 + y 4 + 4xy Rešeje: Primeom GA) ejedkost je x 4 + y A G) 4 4 x 4 y 4 4 x y 4xy pri čemu jedkost vži kd je x 4 y 4 Dkle rešej jedčie su x y) { ) )} Primer 7 U skupu celih brojev rešiti jedčiu xy z + yz x + xz y Rešeje: Pre sveg x y z Z \ {0} Od immo jedčiu oblik xy) + yz) + xz) xyz odkle sledi d je xyz > 0 Kko je xyz Z to je xyz Sd primeimo GA) ejedkost brojeve xy) yz) xz) i dobijmo d je xyz xy) + yz) + xz) A G) xy) yz) xz) xyz xyz xyz Dkle xyz Prem tome rešej jedčie u skupu celih brojev su x y z) { ) ) ) )} Primer 8 Z koje vredosti prmetr postoji x R tkv d su brojevi A 5 +x + 5 x B C 5x + 5 x tri uzstop čl ritmetičkog iz Rešeje: Kko je A B > 0 immo A 5 5 x + ) A G) 5 x 5 0 C 5 x + 5 x A G) Brojevi A B C su tri uzstop čl ritmetičkog iz ko je A + C B p je A + C 0 + Dkle z postoji tržeo x Geometrijske ejedkosti Široku klsu ejedkosti koje se sreću u primem čie geometrijske ejedkosti Pod geometrijskom ejedkošću se jčešće podrzumev o ejedkost koj vži z elemete trougl ili eke druge geometrijske figure četvrougl kupe vljk lopte itd)

13 Nejedkosti z elemete trougl Nejedkosti z elemete trougl Nek su b c strice trougl ABC α β γ jim odgovrjući uglovi trougl h h b h c jim odgovrjuće visie t t b t c odgovrjuće težiše duži r i R redom poluprečici upise i opise kružice z dti trougo i s poluobim trougl Dokzćemo eke itereste ejedkosti koje vže izmed u ovih elemet proizvoljog trougl Primer Nejedkost ) 4 + b 4 + c 4 < b + b c + c ) je potreb i dovolj uslov d se dužim čije su veličie b c može kostruisti trougo Rešeje: Ako uvedemo ozke x b + c y + c b z + b c td je y + z b x + z c x + y Sd ejedkost ) možemo zpisti u ekvivleto obliku xyzx + y + z) > 0 tj ) b + c )c + b) + b c) + b + c) > 0 :) Ako su b c dužie stric trougl td je b + c > + c > b + b > c b + c ) + c b) + b c) > 0 odkle sledi d vži ejedkost ) :) Ako vži ejedkost ) odoso ) td kko je + b + c > 0 immo dv slučj: i) b + c > + c > b + b > c ili ii) dv od izrz b + c + c b + b c su egtiv Ako vži ii) pr b + c > 0 + c b < 0 + b c < 0 sbirjem posledje dve ejedkosti dobij se d je < 0 što je suproto pretpostvci d je duži duži tj pozitiv vredost Ako vži i) dužim b c može se kostruisti trougo Primer Dokzti d vži ejedkost: bc + b + c r R Rešeje: Polzimo od AK) ejedkosti z strice dtog trougl odkle je Zjući d je + b + c K A) + b + c + b + c + b + c s b c + b + c s b c P r s b c 4R tj b c 4 R P 4 R r s gde je P površi trougl iz prethode ejedkosti sledi d je b c + b + c s 4 R r s r R s

14 4 Jele Mojlović Primer Dokzti d vži ejedkost: Rešeje: Iz formul z površiu trougl: si α + b si β + c si γ 9r zključujemo d je P r + b + c) b si γ bc si α c si β ) si α + b si β + c si γ P bc + b P c + c P b P + b + c r + b + c) + b + c bc bc Primeom ejedkost izmed u geometrijske i ritmetičke sredie immo d je + b + c A G) b c + b + c A G) b c tko d se možejem prethodih ejedkosti dobij 4) + b + c) + b + c ) 9 b c 9 b c Sd iz ) i 4) sledi si α + b si β + c si γ 9 r Primer 4 Dokzti d vže ejedkosti: P s s r Rešeje: Iz Heroovog obrzc z površiu trougl P ss )s b)s c) immo d je 5) s )s b)s c) P s S druge stre primeom GA) ejedkosti z pozitive brojeve s s b s c dobij se s )s b)s c) G A) ) s + s b + s c ) s + b + c) s s ) s 7 Dkle prem 5) sd sledi d je P s4 s tj P 7 Kko je P r s iz prethode ejedkosti dobij s s r Primer 5 Dokzti d vži ejedkost: s + s b + s c + b + ) c Rešeje: Iz ejedkosti hrmoijske i ritmetičke sredie z dv pozitiv broj x + y x + y x y > 0

15 Nejedkosti z elemete trougl 5 sledi d vži ejedkost x + y 4 x + y x y > 0 Primeimo ove ejedkosti z svki od sledećih prov pozitivih brojev Dobijmo sledeće ejedkosti: s s b ; s s c ; s b s c s + s b s + s c 4 s + s b 4 s + b) 4 + b + c + b) 4 c 4 s + s c 4 b s b + s c 4 s b + s c 4 Sbirjem dobijeih ejedkosti immo d je s + s b + ) 4 s c + b + ) c odkle očigledo sledi trže ejedkost Primer 6 Dokzti d vži ejedkost: ss ) + ss b) ss c) + b c 9 4 Rešeje: Koristeći čijeicu d je x + y) 4xy immo d je Alogo je ss ) + b + c ss b) b b + c Sbirjem dobijeih ejedkosti dobij se b + c) 4 4bc 4 c b 4 ss c) c b c 4 bc 4 ss ) ss b) ss c) + b + c A G) bc 4 + c b 4 + b c 4 bc c b b c Primer 7 Dokzti d z uglove trougl vže sledeće ejedkosti: 6) 7) 8) 9) 0) si α si β si γ 8 cos α cos β cos γ 8 si α + si β + si γ cos α cos β cos γ 8 < cos α + cos β + cos γ

16 6 Jele Mojlović Rešeje: 6): Kko je si α s b)s c) b c si β s )s c) c si γ s )s b) b + c b) + b c) 4 b c b + c ) + b c) 4 c b + c ) + c b) 4 b dobij se si α si β si γ + b c) b + c ) + c b) 64 b c Kko su + b c b + c + c b pozitivi brojevi dobijmo ) si α si β si γ Ako su b c strice trougl td je b c) + b c) b + c ) + c b) 8 b c b c ) b c b) c tj + b c) b + c) b + c ) b c + ) b c + b) c + b) c Možejem prethodih ejedkosti immo d je + b c) b + c ) + c b) b c odoso ) Sd iz ) i ) sledi + b c) b + c ) + c b) b c si α si β si γ 8 čime smo pokzli 6) 7): Iz jedkosti i 6) sledi d je ) cos α + cos β + cos γ + 4 si α si β si γ cos α + cos β + cos γ N osovu GA) ejedkosti immo d je cos α + cos β + cos γ ) cos α cos β cos γ tko d iz ejedkosti ) od sledi d je cos α cos β cos γ ) 8 Dkle vži i ejedkost 7)

17 Nejedkosti z elemete trougl 7 8): Kko je prem siusoj teoremi ejedkost 8) se svodi 4) si α + b + c R R si β b R si γ c R D bi pokzli ovu ejedkost polzimo od idetitet tj + b + c R 5) + b + c 8 R + 8 R cos α cos β cos γ i ejedkosti izmed u ritmetičke i kvdrte sredie + b + c) + b + c Dkle immo d je + b + c) 8 R + 8 R cos α cos β cos γ Iz prethode ejedkosti i 7) dobij se d je 6) + b + c) odkle očigledo sledi d zist vži 4) 9): Korišćejem trigoometrijskog idetitet i ejedkosti 8) dobij se 8 R + 8 R 8 9 R cos α cos β cos γ si α + si β + si γ) 4 0): Korišćejem idetitet cos α cos β cos γ 4 8 cos α + cos β + cos γ + cos α cos β cos γ eposredo sledi lev ejedkost dok se des ejedkost dobij primeom 6) Primer 8 Dokzti d z uglove trougl vže sledeće ejedkosti: 7) 8) 9) tg α tg β tg γ 0 < α β γ < π ; tg α + tg β + tg γ ; ctg α + ctg β + ctg γ 9 Rešeje: 7): Polzeći od idetitet tg α tg β tg γ tg α+tg β +tg γ i koristeći GA) ejedkost tg α + tg β + tg γ tg α tg β tg γ dobij se tg α tg β tg γ G A) tg α tg β tg γ tj tg α tg β tg γ 7 tg α tg β tg γ odoso tg α tg β tg γ 7 tj tg α tg β tg γ

18 8 Jele Mojlović 8): Ako u idetitetu 0) tg α tgβ + tgβ tgγ + tgγ tgα uvedemo ozke x tg α y tgβ z tgγ immo d je xy + yz + zx Koristeći dobro poztu ejedkost x + y + z xy + yz + zx dobij se x + y + z što je i treblo pokzti 9): Ako uvedemo ozke x y z ko u prethodom dokzu i primeimo HA) ejedkost dobij se xy + yz + xz A H) xy + yz + xz Od iz idetitet 0) koji s uvedeim ozkm im oblik xy + yz + zx immo d je Sbirjem ejedkosti xy + yz + xz 9 ctgα ctgβ + ctgβ ctgγ + ctgγ ctgα 9 ctg α + ctg β ctg β + ctg γ ctg α + ctg γ ctg α ctgβ ctg β ctgγ ctg α ctgγ dobij se ctg α + ctg β + ctg γ ctgα ctgβ + ctgβ ctgγ + ctgγ ctgα 9 Primer 9 Dokzti d z elemete trougl vže ejedkosti ) 6 r + b + c R Rešeje: Iz GA) ejedkosti immo d je odoso + b c)b + c ) + c b) G A) + b c + b + c + + c b + b + c 7 + b c)b + c ) + c b) + b + c) Kko je + b c s c) b + c s ) + c b s b) prethod ejedkost postje ) 6 s )s b)s c) + b + c) s + b + c) Korišćejem Heroovog obrsc i jedkosti P r s dobij se 6 s )s b)s c) 6 P s 6 r s što zjedo s ) dje 08 r + b + c) odkle direkto sledi lev ejedkost Des ejedkost je pokz u Primeru 7 videti 4) )

19 Nejedkosti z elemete trougl 9 Primer 0 Prečik krug upisog u trougo jviše je jedk poluprečiku krug opisog oko istog trougl Rešeje: N osovu prethodog primer je 6r R tj r R Primer Dokzti d z elemete trougl vže ejedkosti ) P R + r) 4) 4P ) b c) 5) 6) b c R ) 4 P + b + c 9R U ovim ejedkostim vži zk jedkosti ko i smo ko je trougo jedkostrič Rešeje: ): Kko je + b + c R prem Primeru 9 immo d je R s R + r s + s + r s + s ) + r Primejujući sd odos izmed u ritmetičke i geometrijske sredie z brojeve s r iz prethode ejedkosti se dobij s 7) R + r s s / r) s r) / s P ) / U Primeru 5 smo pokzli d vži s P tko d iz 7) sd sledi d je R + r) s P ) / P ) / / P ) / P 4): Iz ejedkosti + b + c R tj s R korišćejem idetitet bc 4RP dobij se 8) 4P bc R bc s bc + b + c GA) ejedkost z strice trougl dje + b + c bc) / tj s 8) dje 4P bc) / odkle direkto sledi ejedkost 4) 5): Iz GA) ejedkosti z strice trougl i ejedkosti ) sledi G A) / bc) + b + c R + b + c bc) / što zjedo odkle direkto sledi ejedkost 5) 6): Iz ejedkosti izmed u kvdrte i geometrijske sredie z strice trougl i ejedkosti 4) je + b + c bc) / 4P odkle se dobij lev str ejedkosti 6) tj 4 P + b + c Des str ejedkosti direkto sledi iz idetitet 5) i ejedkosti 7) pokze u Primeru 7

20 0 Jele Mojlović Primer Dokzti d vže ejedkosti: Rešeje: Iz obrzc z površiu trougl: dobijmo d je r Dkle prv ejedkost se svodi h h b h c 7r h + h b + h c 9r P r + b + c) h b h b c h c P + b + c h h b h c P P b P c 8 P b c 8 P b c 7 8 P + b + c) tj + b + c) 7 b c Prethod ejedkost je tč osovu ejedkosti izmed u geometrijske i ritmetičke sredie z strice trougl odoso + b + c)/ b c) / D bi pokzli drugu ejedkost primetimo d je b + c h h b h c P r odkle osovu ejedkosti hrmoijske i ritmetičke sredie sledi dt ejedkost h + h b + h c A H) + + h h b h c r r Primer Ako je O cetr upisog krug u ABC D E F su redom tčke presek simetrl uglov α β γ s stricm b c td je 9) OA OD + OB OE + OC OF 6 0) OA OD OB OE OC OF 8 Rešeje: Nek je G tčk koj pripd prvoj AC tkv d je CG CD H tčk koj pripd prvoj AB tkv d je BH BD Slik ) Td je AOC ADG odkle sledi d je OA OD AC CD AB BC CD OA OD AC + AB CD + BC CD AC + AB BC b + c Slik

21 Stereometrijske ejedkosti Sličo iz sličosti trouglov ABO i AHD vži d je Sbirjem ovih jedkosti dobij se OB OE c + b OC OF + b c OA OD + OB OE + OC OF b + c + + c + + b bcb + c) + c + c) + b + b) b c bc Primeom ejedkosti 4) koj je pokz u Primeru 9 dobij se Tkod e immo d je OA OD OB OE OC OF + b)b + c) + c) bc OA OD + OB OE + OC OF 6 bc bc 6 bc + bcb + c) + c + c) + b + b) bc 8 bc bc 8 Stereometrijske ejedkosti Primer 4 Ptolomejev ejedkost) Nek su A B C D bilo koje četiri tčke u rvi Td vži ejedkost AB CD + AD BC AC BD Jedkost vži ko i smo ko je četvorougo ABCD tetivi s dijgolm AC i BD ili su tčke A B C D koliere pri čemu jed od tčk B i D leži izmed u tčk A i C drug e Rešeje: Nek je M tčk u rvi tkv d su CMB i CDA sliči i isto orjetisi Slik ) Td je CM BC CD CM BCM ACD AC DC CB DCM ACB CMD CBA AC BC AD odkle sledi d je BM MD AC sledi Ptolomejev ejedkost CD AB p iz ejedkosti trougl BM + MD BD AC Slik Slik D bi vžil jedkost tčke B M D morju biti koliere kko je u tom slučju CBD CAD četvorougo ABCD je tetivi ili vži posledji uslov vede u formulciji tvrd ej Primer 5 Ptolomejev ejedkost) Ako su P Q R T redom sredie stric AB CD DA BC prostorog četvorougl ABCD td je BC AD < P Q < BC + AD AB CD < ST < AB + CD

22 Jele Mojlović Rešeje: Nek prv p prolzi kroz tčku A i prlel je s prvom P Q K presek prve p i prve BQ Slik ) Td je CQ QD DQK BQC BQ QK BQC KQD DK BC U ADK vži DK + AD > AK P Q i DK AD < AK P Q odoso BC + AD > P Q i BC AD < P Q Sličo se pokzuje i drug ejedkost Primer 6 Ako je R poluprečik opise i r poluprečik upise sfere prvile četvorostre pirmide td je R + ) r Rešeje: Nek je osov ivic dte pirmide SABCD α ugo gib boče stre prem rvi osove i H visi pirmide Slik 4) Z poluprečik sfere opise oko pirmide vži ) R H R) + ) R H + H Slik 4 Kko je tgα H iz ) immo d je R 4 tg α + Uzevši u obzir d je r tgα tgα dobij se R r tg α + ) tgα tg α Iz [ + )t ] t t) > 0 z svko t 0 ) + t t t) + t 0 ) Ako uzmemo d je t tg α tg α uzevši u obzir d je tg α tg α dobij se + + tg 4 α tg α tg α ) tg α + α tg4 + α tg tg α tg α ) ) + tg α tg α tg α tg α ) tg α tg α + tg α tg α tgα + tgα tg α + tg α tg α tgα R r

23 Stereometrijske ejedkosti Primer 7 Ako su b c ivice P površi V zpremi prvouglog prlelopiped od vže ejedkosti 6V P P + b + c) Rešeje: N osovu ejedkosti ritmetičke i geometrijske sredie z brojeve b bc c immo b + bc + c) 7 b c odkle eposredo sledi prv ejedkost jer je P b+bc+c) i V bc Primetimo d jedkost vži ko i smo ko je b bc c tj b c Površi prvouglog prlelopipid je ) P b + bc + c) + b + c) + b + c ) Kko je zbog AK) ejedkosti + b + c K A) + b + c tj + b + c + b + c) iz ) sledi drug ejedkost Primer 8 Ako su r h V M redom poluprečik osove prvog kružog vjk jegov visi zpremi i površi omotč od vže ejedkosti V 4π 7 r + h) M π r + h) 54π V P Rešeje: Aritmetičk sredi brojev r/ r/ i h ije mj od jihove geometrijske sredie tj r + h r ) h / ) V / 4 4π odkle sledi prv od vedeih ejedkosti Drug ejedkost sledi iz GA) ejedkosti z brojeve r i h tj r + h Kko je P πr + rh) i V r π h immo P π r + V ) 4) π r Koristeći GA) ejedkost dobijmo odoso prem 4) je r + odkle sledi i treć ejedkost V π r + P 8π r + ) M / rh π π r + V π r r V π r + V π r V π r + V ) π r V π r V 4π V ) 7 V π r 4π Primer 9 Nek je H visi r poluprečik sredjeg krug prve zrubljee kupe Njbolj moguć proce z zpremiu te kupe je H r π V 4H r π

24 4 dr Jele Mojlović Rešeje: Nek su r r poluprečici osov prve zrubljee kupe Td je V Hπ r + r r + r) Primeom ejedkosti r r r + r r kko je 4r r + r ) dobij se r 4r r r + r ) r r 4r Kko je r + r ) r r r + r r + r V iz prethode ejedkosti direkto sledi dt Hπ ejedkost Dt proce je jbolj moguć jer z r r r je V Hr π z r 0 je V 4H r π 4 Košijev ejedkost i prime Polzeći od ejedkosti izmed u ritmetičke i geometrijske sredie može se pokzti Košijev ejedkost koj je dobro pozt i igr vžu ulogu u teoriji ejedkosti U literturi se t ejedkost jos ziv i ejedkost Koši-Bujkovskog ili Koši-Švrcov ejedkost ili ejedkost Koši-Švrc-Bujkovskog Teorem 4 Košijev ejedkost) Ako su dte dve -torke relih brojev ) i b b b ) td vži ) ) ) 4) k b k s jedkošću ko i smo ko je k b b b b k Dokz Ozčimo s A k B b k A k k A B k b k B Dokžimo jpre d je 4) Zist A k i A k i logo se pokzuje i drug jedkost Kko prem ) vži ejedkost k A A Bk k A A A k B k A k + B k z svko k sumirjem tih ejedkosti i korišćejem 4) dobij se 4) A k B k A k + Bk + AL Cuchy ) frcuski mtemtičr

25 Košijev ejedkosti primee 5 Kko je iz 4) zključujemo d je A k B k AB k b k AB k b k odoso ) ) ) k b k A B k b k Geometrijski dokz Košijeve ejedkosti: Z vektore ) b b b b ) je Kko je b b k b k k b b k b cos b ) iz čijeice d je cos b ) dobij se k b k k b k odkle direkto sledi ejedkost 4) Nejedkost izmed u ritmetičke i kvdrte sredie može se pokzti ko direkt posledic Košijeve ejedkosti Nime ek je b b b Td je iz 4) odoso ) što predstvlj AK) ejedkost ko su k > 0 k Tkod e ejedkost izmed u ritmetičke i hrmoijske sredie je posledic Košijeve ejedkosti Stvljjući u 4) d je k x k > 0 b k x k k dobijmo odoso x + x + + ) x x + x + + x ) ) x x x x x x x + x + + x x + x + + x što predstvlj HA) ejedkost Sledeć posledic Košijeve ejedkosti je zprvo specijl slučj ejedkosti Mikovskog z p ) koj će biti pokz u sledećem poglvlju vidi Teoremu 56)

26 6 dr Jele Mojlović Posledic 4 Z proizvolje -torke relih brojev ) i b b b ) vži ejedkost k + b k ) 44) k + b k Dokz Iz Košijeve ejedkosti se dobij d je k b k k b k Ako se lev i des str prethode ejedkosti pomoži s ztim im se dod b + b + + b dobij se k + k b k + b k k + k b k + b k odoso k + k b k + b k) k + b k ) k + b k odkle se dobij ejedkost 44) Dokzćemo ekoliko ejedkosti koristeći Košijevu ejedkost Primer 4 Dokzti d z svko x y z > 0 vži ejedkost x + y + z) x + y x) + 9 Rešeje: Stvljjući u Košijevu ejedkost d je x y z b x b y b z dobijmo x + y + z) x + y x) + x) + y) + z) ) ) x + ) ) y + z x x + y y + z z ) 9 Primer 4 Nek je + b + c Dokzti d je + b + c Rešeje: Iz Košijeve ejedkosti immo + b + c) + b + c ) + + ) tj + b + c / što je i treblo pokzti Primer 4 Dokzti ejedkost + c + b b + c + b + c Rešeje: Primeom Košijeve ejedkosti dobij se + c + b ) ) b + c + b + c + c + b + b + c

27 Košijev ejedkosti primee 7 Primer 44 Dokzti ejedkost + b + c b + bc + c Rešeje: b + bc + c Primer 45 Dokzti ejedkost + b + c ) + b + c ) + b + c k + k + + k ) k gde su k N i 0 i Rešeje: Ozčimo s A k k i Iz Košijeve ejedkosti je A k+ A k Alogo dobijmo d je i [ i k+ i ) ] [ i ) ] k i k+ i i ) k i A k odkle sledi d je Dkle A k A k A A 0 A k A A 0 A k A k A k A k A k A k A A 0 A A k A 0 A k A A k A 0 A k A A A 0 A A A A 0 A 0 A A k A A 0 A 0 Ak A k 0 Kko je A 0 iz prethode ejedkosti direkto sledi trže ejedkost tj d je k + k + + k ) k Npome Z proizvolju -torku pozitivih brojev ) veliči k + k + + k ziv se sredi red k Dkle prem prethodom primeru vidimo d je sredi red k već ili jedk od k-tog stepe ritmetičke sredie Primer 46 Nek su x y z pozitivi reli brojevi tkvi d je x + y + z Dokzti d je x x y + z + y y x + z + z z x + y

28 8 dr Jele Mojlović Rešeje: Primeom Košijeve ejedkosti vektore xy + xz yz + xy xz + yz ) x /4 y + z y /4 x + z z /4 ) x + y dobij se xy + xz x /4 y + z + yz + xy y /4 x + z + xz + yz z /4 ) x + y [ ) ) ) ] ) xy + xz + yz + xy + xz + yz x /4 + y + z ) y /4 ) z /4 + x + z x + y odoso 45) x 5/4 + y 5/4 + z 5/4) x x xy + yz + xz) y + z + y y x + z + z ) z x + y Dlje koristeći ejedkost ritmetičke sredie i sredie red 5/4 pokze u prethodom primeru immo 46) x 5/4 + y 5/4 + z 5/4 ) 4/5 x + y + z x 5/4 + y 5/4 + z 5/4) x + y + z) 5/ Njzd iz ejedkosti dokze u Primeru 44 direkto sledi d je 47) x + y + z) x + y + z + xy + yz + xz xy + yz + zx) Iz 45) 46) i 47) dobij se x x y + z + y y x + z + z z x + y x 5/4 + y 5/4 + z 5/4) xy + yz + xz) x + y + z)/ x + y + z) 5/ x + y + z) U redih ekoliko primer pokzćemo eke geometrijske ejedkosti primeom Košijeve ejedkosti Primer 47 Nek su b c dužie stric trougl Dokzti d vži ejedkost 48) b b) + b cb c) + c c ) 0 Rešeje: Nek je s + b + c Ozčimo s x s y s b z s c Immo d je s b) + s c) y + z b s c) + s ) z + x c s ) + s b) x + y tko d ejedkost 48) postje y + z) z + x)y x) + z + x) x + y)z y) + x + y) y + z)x z) 0 ili ko sred ivj 49) xy + yz + zx xyz x + y + z)

29 Košijev ejedkosti primee 9 Stvljjući u Košijevu ejedkost z d je yz zx xy b x b y b z dobij se tj yz x + zx y + xy z) xyz x + y + z)) xy + yz + zx )x + y + z) xyzx + y + z) xy + yz + zx što je ejedkost 49) čime je dokz dt ejedkost Primer 48 Dokzti d z svki trougo vži ejedkost t + b t b + c t c + b + c ) s jedkošću ko i smo ko je trougo jedkostrič Rešeje: Stvljjući u Košijevu ejedkost d je b c b t b t b b t c dobij se t + b t b + c t c ) + b + c )t + t b + t c) odoso 40) t + b t b + c t c + b + c t + t b + t c Nek su t t b t c rstojj izmed u težišt T i redom teme A B C Td je t t odkle sledi b + c t b t b c + b t c t c + b c t + t b + t c b + c 4) 4 + c + b b c b + c ) Sd iz 40) i 4) dobij se t + b t b + c t c + b + c 4 + b + c ) + b + c ) Primer 49 Nek je O proizvolj tčk uutr oštrouglog trougl ABC i x y z rstojj te tčke od stric trougl R je poluprečik krug opisog oko trougl Dokzti d vži ejedkost x + y + z R Rešeje: Stvljjući u Košijevu ejedkost z d je x by cz b b b b c dobij se 4) ) x + y + z x + by + cz) + b + ) c

30 0 dr Jele Mojlović Kko je x + by + cz P i P bc immo iz 4) 4R x + y + z ) P bc + c + b bc bc + c + b R Kko je b + bc + c + b + c vidi Primer 44) koristeći ejedkost 6) pokzu u Primeru koj glsi + b + c 9R dobijmo iz prethode ejedkosti ) 9R x + y + z R x + y + R z Primer 40 Dt je tetredr ABCD jegove ivice AD BD CD su uzjmo ormle pri čemu je AD BD b CD c Nek prv l prolzi kroz tčku D i seče stru ABC Dokzti d sum rstojj tčk A B C od prve l mj ili jedk od + b + c ) Z koji položj prve l vži zk jedkosti? Rešeje: Nek prv l seče stru ABC u tčki M Nek je ADM α BDM β CDM γ S sum rstojj tčk A B C od prve l Td je Primeom Košijeve ejedkosti dobij se odoso S si α + b si β + c si γ si α + b si β + c si γ) + b + c )si α + si β + si γ) S + b + c si α + si β + si γ Kko je cos α + cos β + cos γ od je si α + si β + si γ Zto je S + b + c ) Jedkost vži ko i smo ko je si α si β si γ odkle dobijmo b c si α si β b si γ c + b + c Dobijee jedkosti vže u slučju kd je b + c b + c c + b Tko jedkost S D gde je D + b + c vži kko svk od ivic AB BC AC tetredr ABCD ije mj od sprme ivice i si α D si β b D si γ c D 5 Jeseov ejedkost i primee Kko je formulcij Jeseove ejedkosti povez s koveksim fukcijm podsetimo se defiicije kovekse i kokve fukcije Defiicij 5 Z fukciju f : b) R kžemo d je koveks ko z svke dve tčke x x b) i svk dv eegtiv rel broj λ λ z koj je λ + λ vži 5) fλ x + λ x ) λ fx ) + λ fx ) Slik ) Fukcij f je kokv ko je fukcij f koveks tj ko z svke dve tčke x x b) i svk dv eegtiv rel broj λ λ z koj je λ + λ vži 5) fλ x + λ x ) λ fx ) + λ fx ) Slik b )

31 Jeseov ejedkosti prime Slik Slik b Teorem 5 Nek je fukcij f : b) R dv put diferecijbil b) ) Fukcij f koveks itervlu b) ko i smo ko je f x) 0 z svko x b) b) Fukcij f kokv itervlu b) ko i smo ko je f x) 0 z svko x b) Teorem 5 Jeseov ejedkost) Ako je f koveks fukcij [ b] x i [ b] z svko i od vži ejedkost ) x + x + + x f fx ) + fx ) + + fx ) 5) ko je f kokv fukcij [ b] vži ejedkost ) x + x + + x f fx ) + fx ) + + fx ) 54) Jedkost u 5) i 54) vži ko i smo ko je x x x Vži i opštije tvrd eje: Teorem 5 Jeseov ejedkost) Nek je f koveks fukcij [ b] Z proizvolje brojeve x i [ b] i i α α α Q + tkve d je α + α + + α vži ejedkost 55) f α x + α x + + α x ) α fx ) + α fx ) + + α fx ) Ako je f kokv fukcij [ b] vži ejedkost 56) f α x + α x + + α x ) α fx ) + α fx ) + + α fx ) Ko direkt posledic Jeseove ejedkosti slede moge ds pozte ejedkosti ko pr Jgov ejedkost Helderov ejedkost ejedkost Mikovskog i moge druge Teorem 54 4 Jgov ejedkost) Nek su p q R \ {0 } reli brojevi tkvi d je i x y eegtivi reli brojevi ) Ako je p > i q > td vži ejedkost 57) b) Ako je p < x > 0 y > 0 vži ejedkost 58) p + q x p p + yq q x y ; x p p + yq q x y U ob slučj jedkost vži ko i smo ko je x p y q IL Jese ) dski mtemtičr WYoug ) egleski mtemtičr

32 dr Jele Mojlović Dokz Posmtrjmo fukciju fx) l x u oblsti D 0 + ) Kko je f x) x < 0 z svko x D primeom ejedkosti 56) uzevši d je α /p α /q x x p x y q dobij se x p ) l p + yq q p l xp + q l yq l x y odkle očigledo sledi ejedkost 57) Teorem 55 5 Helderov ejedkost) Nek su ) i b b b ) proizvolje -torke pozitivih relih brojev i p q R \ {0 } tkvi d je p + Td q ) ko su p q pozitivi vži ejedkost 59) ) k b k p p k b q k ) q ; b) ko je p R ili q R vži obrut ejedkost tj 50) ) k b k p p k b q k ) q U ob slučj jedkost vži ko i smo ko su p i b q proporcioli Dokz A) Ozčimo s A Posmtrjmo fukciju fx) x p f x) p p k i B ) p p k A b q k Nejedkost 59) može se zpisti u obliku ) b q q k B u oblsti D 0 + ) Kko je p ) x p p q x p 0 z svko x D f je kokv fukcij u oblsti D Zto ko primeimo Teoremu 5 uzevši d je α k bq k B i x k p k b q k dobijmo b q k B p k b q k ) p b q k B ) p p k b q k B /p p k ) p B b q q p k k Kko je q q p i p q iz prethode ejedkosti sledi B q p k ) p p k ) p b q k ) q k b k B) Pretpostvimo d je p < 0 Ozčimo s P p/q Q /q Td su P Q pozitivi reli brojevi tkvi d je P + Sd možemo primeiti ejedkost 59) dokzu pod A) -torke Q 4 O Hölder ) emčki mtemtičr

33 Jeseov ejedkosti prime u u u ) v v v ) pozitivih relih brojev odred eih s u k q k v k k b k ) q k Dobij se b q k u k v k u P k odkle sledi ejedkost 50) ) P v Q k ) Q p k ) q p k b k ) q Teorem 56 Nejedkost 6 Mikovskog) Nek su ) i b b b ) proizvolje -torke eegtivih relih brojev i p R \ {0 } ) Ako je p > vži ejedkost 5) k + b k ) p ) p p k ) p + b q k ) q ; b) Ako je p < i brojevi k > 0 k vži obrut ejedkost tj 5) k + b k ) p ) p p k ) p + b q k ) q ; U ob slučj jedkost vži ko i smo ko je b b Dokz Pretpostvimo d isu svi brojevi x k y k k jedki uli jer u suprotom ejedkost je trivijl i ek je q R\{0 } tkv d je p + q k + b k ) p k k + b k ) p + primeimo Helderovu ejedkost dobijmo k + b k ) p p k ) p Ako ob sbirk desoj stri idetitet b k k + b k ) p ) k + b k ) p )q q + Kko je p )q p deljejem prethode ejedkosti s 5) Tvrd eje pod b) pokzuje se sličo b p k ) p k + b k ) p )q ) q k + b k ) p ) q dobij se ejedkost Pokzćemo sd eke ejedkosti korišćejem Jeseove ejedkosti Primer 5 Dokzti d z svk tri prirod broj b c vži ejedkost + b + c + b + c +b+c b +b+c c +b+c + b + c Rešeje: Z fukciju fx) l x x D 0 ) je f x) < 0 z svko x D Zto ko x uzmemo d je α + b + c α 5 H Mikowski ) emčki mtemtičr b + b + c α c + b + c

34 4 dr Jele Mojlović primeom ejedkosti 56) immo d je α l + α l b + α l c l α + α b + α c) + b + c +b+c b +b+c c +b+c + b + c čime je pokz des ejedkost D bi pokzli levu ejedkost posmtrjmo fukciju gx) x l x u oblsti D Kko je g x) /x > 0z svko x D fukcij g je koveks p primeom ejedkosti 55) z α α α dobij se + b + c l + b l b + c l c) l + b + c odkle direkto sledi lev ejedkost ) + b + c +b+c b b c c Npome Lev ejedkost je već pokz u Primeru 6 primeom ejedkosti izmed u hrmoijske i geometrijske sredie Primer 5 Nek su 0 α k π k Dokzti ejedkosti ) α + α + + α 5) si α + si α + + si α si ) si α si α si α si α + α + + α 54) Rešeje: Kko je z fx) si x f x) si x < 0 z svko x 0 π/) prv ejedkost sledi primeom Teoreme 5 Drug ejedkost se dobij primeom Teoreme 5 fukciju gx) lsi x) itervlu G 0 π/) Zist kko je g x) si < 0 z svko x G x prem 56) dobij se odkle sledi 54) lsi α ) + lsi α ) + + lsi α ) l si α + α + + α Npome Primetimo d z tj kd su α k k uglovi oštouglog trougl iz 5) i 54) dobijmo ejedkosti si α + si β + si γ si π 6 si α si β si γ si π 6 8 Drug ejedkost je već pokz u Primeru 7 Primer 5 Nek su α β γ uglovi trougl i N Dokzti ejedkosti ) 55) ctg α + ctg β + ctg γ + 56) tg α + tg β + tg γ + Rešeje: Z fukciju fx) ctg x je f x) )ctg x si 4 x + ctg x cos x si x > 0 x 0 π ) N Dkle fukcij f je koveks p prem Teoremi 5 sledi ctg α + β ctg + γ ctg ctg + β ctg + γ ) ctg ctg α + β + γ ) ctg α + β + γ 6 Drug ejedkost se može logo pokzti ctg π 6 ) + Npome Primetimo d je specijl slučj ejedkosti 55) z pokz u Primeru 8 vidi ejedkosti 9))