Μετατροπεσ Παραςταςεων

Transcript

1 Δρ. Χρήστος Ηλιούδης

2 Μεηαηποπή ζε δςαδικο ) 346/2 = 173 με ςπόλοιπο 0 2) 173/2 = 86 με ςπόλοιπο 1 3) 86/2 = 43 με ςπόλοιπο 0 4) 43/2 = 21 με ςπόλοιπο 1 5) 21/2 = 10 με ςπόλοιπο 1 6) 10/2 = 5 με ςπόλοιπο 0 7) 5/2 = 2 με ςπόλοιπο 1 8) 2/2 = 1 με ςπόλοιπο 0 1 [ x0 x1 x x0 x1 x1 x x0 01 ] 0 [ x x x x x x x 1 0 ] [ x x x x x x ] [ x x x x x ] [ x x x x ] [ x x x ] [ x x ] [ x ] 9) 1/2 = 0 με ςπόλοιπο 1

3 Μεηαηποπή ζε δεκαεξαδικό ) 346/16 = 21 με ςπόλοιπο 10 = Α 2) 21/16 = 1 με ςπόλοιπο 5 0x15Α [ Α ] [ 5 Α ] 3) 1/16 = 0 με ςπόλοιπο 1

4 Αζκηζη: Μεηαηποπή δεκαδικού ζε δεκαεξαδικό 135, 139, 196 4

5 C 7 11 B 4 (87) 16 =(135) 10 (8B) 16 =(139) 10 (C4) 16 =(139) 10

6 Θζματα διάλεξησ μζκοδοσ διαδοχικϊν πολ/μϊν Μθ Αρικμθτικζσ μζκοδοι μετατροπισ Μετατροπι από το δυαδικό ςτο οκταδικό ςφςτθμα Mετατροπι από το οκταδικό ςτο δυαδικό Προςκεςθ και αφαιρεςθ μθ προςθμαςμενων ακεραιων 6

7 μζκοδοσ διαδοχικϊν πολ/μϊν Η μζκοδοσ αφορά τθ μετατροπή του κλαςματικοφ μζρουσ μιασ παράςταςθσ ενόσ αρικμοφ από το R ςτο Q είναι γνωςτι ςαν μζκοδοσ διαδοχικϊν πολ/μϊν με τθ βάςθ του ςυςτιματοσ μετάβαςθσ και με αρικμθτικι του ςυςτιματοσ αναχϊρθςθσ 7

8 Αλγόρικμοσ διαδοχικϊν πολλαπλαςιαςμϊν Β0: Αρχικόσ πολλαπλαςιαςτζοσ = Παράςταςθ ςτο R Β1: Πολλαπλαςιάηουμε (Πολ/μόσ ςτο R) τον πολ/ςτζο με το Q. Β2: Μετατρζπουμε το ακζραιο μζροσ του γινομζνου από το R ςτο Q και το ςθμειϊνουμε Β3: ΑN το κλαςματικό μζροσ του γινομζνου είναι μθδζν ΣΟΣΕ πθγαίνουμε ςτο βιμα B4 ΔΙΑΦΟΡΕΣΙΚΑ τοποκετοφμε το κλαςματικό μζροσ του γινομζνου ςτθ κζςθ του πολ/ςτζου και πθγαίνουμε ςτο βιμα Β1 Β4: χθματίηουμε τθ νζα παράςταςθ ςτο Q, με MSD μετά το βαςικό ςθμείο το πρϊτο από τα ακζραια μζρθ των διαδοχικϊν πολ/μϊν και LSD το τελευταίο. 8

9 Mετατροπι του ςτο δυαδικό x 2 x 2 x 2 x 2 x Άρα = Τπάρχει περίπτωςθ οι ςυνεχείσ πολ/μοί να μθ δϊςουν ποτζ γινόμενο με μθδενικό κλαςματικό μζροσ. Σότε κατά τθ κρίςθ μασ ςταματάμε τουσ πολ/μοφσ ζχοντασ υπόψθ ότι όςουσ περιςςότερουσ πολ/μοφσ εκτελζςουμε τόςο μεγαλφτερθ ακρίβεια επιτυγχάνουμε. 9

10 Μετατροπι του ςτο δυαδικό ςφςτθμα x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x Άρα = ( ) 2 μετατροπι κατά προςζγγιςθ 10

11 Μετατροπι του αρικμοφ 0,5626 ςτο δυαδικό ςφςτθμα Βάση 0, = 1, ,125 2 = 0,25 0 0,25 2 = 0,5 0 0,5 2 = 1,0 1 Έηζι ο ανηίζηοισορ δςαδικόρ απιθμόρ ηος 0,5625 είναι ο 0,

12 Δεκαδικόσ με ακζραιο και κλαςματικό μζροσ θ μετατροπι ενόσ αρικμοφ του δεκαδικοφ ςυςτιματοσ που διακετει ακζραιο και κλαςματικό μζροσ γίνεται: Μετατρζποντασ ξεχωριςτά το ακζραιο και το κλαςματικό μζροσ και ςυνδυάηοντασ μετά τα αποτελζςματα. 12

13 Μετατροπι του αρικμοφ 41,6875 ςτο δυαδικό ςφςτθμα Βάςη Πηλίκο Υπόλοιπο 41:2 = :2 = :2 = :2 = :2 = :2 = Βάση Ακζραιο Μζροσ 0, = 1, , = 0,75 0 0,75 2 = 1,5 1 0,5 2 = 1,0 1 Έηζι ο ανηίζηοισορ δςαδικόρ απιθμόρ ηος 41,6875 είναι ο ,

14 Μη αριθμητικζσ μζθοδοι μετατροπήσ Oι μζκοδοι αυτζσ αφοροφν μετατροπζσ παραςτάςεων αρικμϊν από το δυαδικό, ςτο οκταδικό, ι δεκαεξαδικό και αντίςτροφα ςτθρίηονται ςτθ ςχζςθ που υπάρχει μεταξφ των βάςεων των τριϊν ςυςτθμάτων, όπου 8 = 2 3 και 16=

15 Μετατροπή από το δυαδικό ςτο οκταδικό ςφςτημα κάκε οκταδικό ψηφίο αντιςτοιχεί ςε τρία (3) δυαδικά ψηφία Οκταδικό Δυαδικό

16 Μετατροπή από το δυαδικό ςτο οκταδικό ςφςτημα Χωρίηουμε τθ δυαδικι παράςταςθ του αρικμοφ ςε ομάδεσ των 3 bits. Αν ο αρικμόσ είναι ακζραιοσ, αρχίηουμε τθν ομαδοποίθςθ από τα δεξιά προσ τα αριςτερά. Αν ο αρικμόσ ζχει ακζραιο και κλαςματικό μζροσ, θ ομαδοποίθςθ γίνεται προσ δφο κατευκφνςεισ. Η μία από το δυαδικό ςθμείο και προσ τα δεξιά και θ άλλθ από το δυαδικό ςθμείο και προσ τα αριςτερά. Μετά τθν ομαδοποίθςθ μετατρζπουμε τισ τριάδεσ ςε οκταδικά ψθφία. 16

17 = (;) Αν τα ψθφία του δυαδικοφ αρικμοφ δεν είναι αρκετά για να ςυμπλθρϊςουμε ακζραιο αρικμό από τριάδεσ, τότε ςυμπληρώνουμε την ελλιπή τριάδα με μη ςημαντικά μηδενικά 17

18 Μετατροπή από το δυαδικό ςτο = (;) οκταδικό ςφςτημα

19 = (;) = (;)

20 ( ) 2 = ( ) 2 = (3363) 8 ( 20

21 ( ) 2 ( ) 8 21

22 Mετατροπή από το οκταδικό ςτο δυαδικό Αν ζχουμε ζναν αρικμό με παράςταςθ ςτο οκταδικό ςφςτθμα αναλφουμε ζνα προσ ζνα τα ψθφία του ςε ομάδεσ των τριϊν bit, διατθρϊντασ τθ κζςθ του βαςικοφ ςθμείου. Σα ψθφία του δυαδικοφ ςυνενϊνονται και ςχθματίηουν τθν παράςταςθ του αρικμοφ ςτο δυαδικό. Tα μθ ςθμαντικά ψθφία (μθδενικά) απομακρφνονται. 22

23 = (;) Άρα =

24 (123.45) 8 = (;) 2 (123.45) 8 = ( )

25 Μετατροπή από το δυαδικό ςτο δεκαεξαδικό Ακολουκοφμε τθν ίδια μζκοδο με αυτιν τθσ μετατροπισ από το δυαδικό ςτο οκταδικό με μια μόνο διαφορά. Η ομαδοποίθςθ γίνεται ςε ομάδεσ των τεςςάρων Bits αντί των τριϊν 25

26 = = (;) (176) 16 Παρατθροφμε και πάλι, ότι ςυμπλθρώνουμε τθ αρχικι παράςταςθ με μθδενικά από δεξιά (για το κλαςματικό μζροσ) και από αριςτερά (για το ακζραιο μζροσ) για να ςχθματίςουμε πλιρθσ τετράδεσ 26

27 = (;) Β. Β 4 = 3Β.Β

28 2ΒΕD.A1 16 =(;) 2 2 B E D. A ΒΕD.A1 16 = ( ) 2 απομακρφνουμε τα μθδενικά που βρίςκονται αριςτερά ι δεξιά και δεν επθρεάηουν τθν αρικμθτικι τιμι τθσ παράςταςθσ του αρικμοφ 28

29 Mετατροπι από το δεκαεξαδικό ςτο οκταδικό και αντίςτροφα Ενδιάμεςθ μζκοδοσ ζχει δυο βιματα. το πρϊτο βιμα γίνεται θ μετατροπι τθσ δεκαεξαδικισ παράςταςθσ τοφ αρικμοφ ςτο δυαδικό ςφςτθμα με τθν μζκοδο των τετράδων. το δεφτερο βιμα γίνεται θ μετατροπι τθσ δυαδικισ παράςταςθσ, που δθμιουργικθκε από το πρϊτο βιμα, ςτο οκταδικό με τθ μζκοδο των τριάδων. Η μζκοδοσ λειτουργεί και αντίςτροφα. 29

30 2BED 16 = (;) 8 2 B E D ΒΗΜΑ 1: BHMA

31 (CB3.15) 16 = (CB3.15) 16 =(;) 2 ( ) 2 C B

32 ( ) 8 = ( ) 2 (306.D) 16 = ( ) 2 32

33 Προςκεςθ και αφαιρεςθ μθ προςθμαςμενων ακεραιων Oι βαςικζσ πράξεισ ς' ζνα ςφςτθμα αρίκμθςθσ είναι θ πρόςκεςθ και αφαίρεςθ. Η πρόςκεςθ παραςτάςεων αρικμϊν ςτα κεςιακά ςυςτιματα αρίκμθςθσ, γίνεται πάντα με τθν ίδια μζκοδο και είναι ανεξάρτθτθ τθσ βάςθσ του ςυςτιματοσ. Εκείνο που αλλάηει από ςφςτθμα ςε ςφςτθμα είναι ο πίνακασ πρόςκεςθσ του ςυςτιματοσ. Ο πίνακασ μιασ βαςικισ πράξθσ περιζχει όλουσ τουσ ςυνδυαςμοφσ των ψθφίων του ςυςτιματοσ ανά δφο. 33

34 Πίνακασ πρόςκεςθσ δεκαδικοφ ςυςτιματοσ Σε κάθε ζεύγορ τηθίυν ηος δεκαδικού ζςζηήμαηορ ανηιζηοισεί ένα τηθίο ηος ζςζηήμαηορ και ένα κπαηούμενο (ηα μηδενικά κπαηούμενα παπαλείπονηαι). Το κπαηούμενο είναι ηο μηδέν ή ηο ένα κπαηούμενο 34

35 πρόςκεςθ Γίνονται τόςεσ μονοψιφιεσ προςκζςεισ όςα και τα ψθφία των προςκετζων. Κάκε μονοψιφια πρόςκεςθ δζχεται ζνα κρατοφμενο (κρατοφμενο ειςόδου) από τθ προθγουμζνθ και παράγει ζνα κρατοφμενο (εξόδου) για τθν επομζνθ. Σο κρατοφμενο ειςόδου προςτίκεται ςτο αποτζλεςμα τθσ μονοψιφιασ πρόςκεςθσ. Η πρόςκεςθ των LSD των δφο προςκετζων ζχει αρχικό κρατοφμενο 0. Σο κρατοφμενο τθσ τελευταίασ πρόςκεςθσ είναι και το MSD του αποτελζςματοσ 35

36 δυαδικι πρόςκεςθ x y z FA C S 36

37 μονοψήφια πρόςθεςη Κρατοφμενα Προςκετζοσ Προςκετζοσ 'Άκροιςμα x y z S C

38 δανεικό τηθίο Αφαίρεςη Η ππάξη ηηρ αθαίπεζηρ ππαγμαηοποιείηαι με ηην ςπόθεζη όηι ο μειυηέορ είναι μεγαλύηεπορ από ηον αθαιπεηέο 38

39 Διαδικαςία τθσ Αφαίρεςθσ Η διαδικαςία αποτελείται από ζνα πλικοσ από μονοψιφιεσ αφαιρζςεισ όςεσ και το πλικοσ των ψθφίων του μειωτζου (ι αφαιρετζου). Κάκε μια από τισ μονοψιφιεσ αφαιρζςεισ δζχεται ζνα δανεικό ψθφίο ειςόδου Β-in από τθν προθγουμζνθ και παράγει ζνα δανεικό ψθφίο εξόδου B-out για τθ επομζνθ Σο δανεικό ψθφίο ειςόδου μιασ αφαίρεςθσ προςτίκεται ςτον αφαιρετζο πριν γίνει θ αφαίρεςθ. Η διαδικαςία των διαδοχικϊν αφαιρζςεων αρχίηει από το LSB προσ το MSB με δανεικό ψθφίο τθσ πρϊτθσ αφαίρεςθσ το μθδζν. 39

40 αφαίρεςθ ςτο δυαδικό ςφςτθμα

41 Πίνακασ αλικειασ μονοψιφιασ αφαίρεςθσ bin X Y S = X-(Y+B-in) b-out

42 Δανεικά ψθφία Μειωτζοσ Αφαιρετζοσ Διαφορά

43 πρακτικι μζκοδο πρόςκεςθσ και αφαίρεςθσ Πίνακεσ μονοψιφιασ πρόςκεςθσ και αφαίρεςθσ μποροφν να αναπτυχκοφν για το οκταδικό και για το δεκαεξαδικό ςφςτθμα αρίκμθςθσ Κρατ Χ 1 9 Β Τ C 7 E X +Y E 1 9 F E 1 9 F 43

44 Ερωτιςεισ - ςυηιτθςθ