Realni brojevi u pokretnom zarezu

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Realni brojevi u pokretnom zarezu"

Transcript

1 Realni brojevi u pokretnom zarezu Predstavljaju se pomoću osnove β (koja je uvek parna) i preciznosti p. Primer: β=10, p=4: broj 0.4 se predstavlja kao β=10, p=4: broj broj se predstavlja kao β=10, p=4: broj broj se predstavlja kao β=2 i p=10 broj 0.4 se predstavlja kao Opšti slučaj Oznake: ±d 0.d 1 d 2...d (p 1) β e d 0.d 1 d 2...d (p 1) značajni deo (eng. significand). Zapisuje se u brojčanom sistemu sa osnovom β, tj. 0 d i < β. β osnova e eksponent p preciznost. Zapis broja za koji važi da je d 0 0 se naziva normalizovan. U savremenim računarima β=2 ili β=16.

2 2 Zapis brojeva u pokretnom zarezu Različit zapis realnih brojeva u pokretnom zarezu kroz istoriju: pre-ieee754 format IEEE754 format IEEE854 format IEEE754R format

3 3 Formati zapisa realnih brojeva u pokretnom zarezu Slika 1: Formati zapisa relanih brojeva u pokretnom zarezu kroz istoriju

4 4

5 Slika 3: Formati zapisa relanih brojeva u pokretnom zarezu kroz istoriju (nastavak) 5

6 Slika 4: Formati zapisa relanih brojeva u pokretnom zarezu kroz istoriju (nastavak) 6

7 7 Primer zapisa sa binarnom osnovom - PDP-11, VAX Uvećani eksponent Frakcija Bit za znak Slika 5: Format zapisa realnog broja pomoću binarne osnove Važi Vrednost eksponenta se povećava za 1 dok frakcija postaje 0.d 0 d 1 d 2...d (p 1) Frakcija d 0 d 1 d 2...d (p 1) se predstavlja preko 24 bita, sa 23 binarne pozicije na mestima Eksponent se zapisuje u 8 bita na pozicijama uz uvećanje od 128.

8 8 Znak Eksponent Frakcija +15 = = /64 = = ( ) = = Provera vrednosti zapisa broja +15: Znak = + Eksponent = 4 (= ) Frakcija = (0.1111) 2 = Vrednost = Znak frakcija * 2 eksponent = ( ) * 2 4 = = = +15 Tabela 1: Zapis realnih brojeva u jednostrukoj tačnosti / binarna osnova

9 9 Za veličinu eksponenta e važi 2 7 e Za vrednost s kojom se predstavlja frakcija važi 2 1 s Na osnovu prethodnog, mogu se zapisati brojevi u intervalu x ( ) Medjutim, kako važi da je kod za broj predstavlja 0, opseg je x ( ) , odnosno < x <

10 Uvećani eksponent Frakcija Bit za znak 31 0 Produžetak frakcije Slika 6: Format zapisa realnog broja u dvostrukoj tačnosti pomoću binarne osnove Interval realnih brojeva koji mogu da se predstave u dvostrukoj tačnosti je x ( )

11 11 Zapis brojeva u pokretnom zarezu pomoću binarne osnove - IEEE754 format) Karakteristike izračunavanja sa realnim brojevima pre pojave standarda IEEE 754: 1. Slaba prenosivost numerički intenzivnih programa. 2. Postoje razlike u rezultatima u izvršavanju istog programa na različitim računarskim sistemima. 3. IEEE 754 poboljšava prenosivost programa propisujući algoritme za operacije sabiranja, oduzimanja, množenja, deljenja i izračunavanje kvadratnog korena način njihove implementacije načine zaokruživanja i ponašanja u graničnim slučajevima Neki problemi koji se javljaju pri izračunavanjima sa realnim brojevima su:

12 12 1. Veličina greške pri zapisu i zaokruživanju broja β=10 i p=3. Neka je rezultat izračunavanja , matematički tačna vrednost računata sa beskonačnom preciznošću Greška zapisa je veličine 2 jedinična vrednost na poslednjem mestu zapisa broja greška je jedinica na poslednjem mestu. Veličina jedinica na poslednjem mestu se označava sa ulp (eng. unit in the last place. U opštem slučaju, ako broj d 0.d 1...d (p 1) β e predstavlja broj z, tada je greška u zapisu d 0.d 1...d (p 1) (z/β e ) β p 1 ulp-a. Relativna greška je apsolutna vrednost razlike izmedju realnog broja i njegove reprezentacije podeljena sa apsolutnom vrednošću realnog broja. Na primer, relativna greška pri aproksimaciji sa je /

13 13 ulp i relativna greška zavise od tzv. mašinskog ε=(β/2)β p ; Relativna greška uvek zapisuje kao faktor od ε. Na primer, u prethodnom primeru je ε=(β/2)*β p =5*(10) 3 = Tako se relativna greška može izraziti kao (( / )/0.005)ε 0.12ε Razlika izmedju ulp i relativne greške: x = je aproksimiran sa x a = Greška je 0.5ulp, a relativna greška je 0.8ε. 8 x a : tačna vrednost je 8 x = 98.8, izračunata vrednost je 8 x a = Greška merena u ulp je 8 puta veća, relativna greška je ista. Ako je realan broj zapisan sa greškom od n ulp-a, tada je broj cifara obuhvaćenih greškom log β n, a ako je relativna greška nε tada je broj obuhvaćenih cifara log β n.

14 14 2. Cifre čuvari. Neka je npr. p = 6, β=10 i neka treba naći razliku : x = y = x-y = Tačan odgovor je 0.17, greška od oko 30 ulp-a; Operacija sa dodatnim ciframa, npr. sa P + 1 cifrom: x = y = x-y = Tačno zaokružene operacije. Operacije koje se izvode tako da se izračuna tačna vrednost a zatim zaokruži na najbliži broj u pokretnom zarezu se nazivaju tačno zaokružene. Zaokruživanje: na najbližu vrednost (4,48 4,5; 4,34 4,3; 4,45?) na parnu cifru (4,45 4,4)

15 15 Opis IEEE 754 β=2 ±1.d 1 d 2...d (p 1) 2 e bit za znak 8 bita 23bita uvećani eksponent frakcija a) Jednostruka tačnost bit za znak 11 bita uvećani eksponent 52 bita frakcija b) Dvostruka tačnost Slika 7: Format zapisa realnog broja prema standardu IEEE 754

16 16 Znak Eksponent Frakcija +15 = = /64 = = = ( ) = = = Provera vrednosti zapisa broja +15: Znak = + Eksponent = 3 (= ) Frakcija = (1.111) 2 = Vrednost = Znak frakcija * 2 eksponent = ( ) * 2 3 = = = +15 Tabela 2: Zapis realnih brojeva u jednostrukoj tačnosti prema IEEE 754 standardu

17 17 Parametar Format Jednostruki Jednostruki Dvostruki Dvostruki Četvorostruki prošireni prošireni Dužina formata Dužina eksponenta Dužina frakcije Preciznost (p) Najveći eksponent (emax) Najmanji eksponent (emin) Uvećanje eksponenta Nmax ( ) xxx ( ) xxx ( ) Nmin xxx xxx Dmin xxx xxx Precdek 6 9 xxx xxx Dmin Najmanji (po apsolutnoj vrednosti) predstavljivi denormalizovani broj Nmax Najveći (po apsolutnoj vrednosti) predstavljivi broj Nmin Najmanji (po apsolutnoj vrednosti) predstavljivi normalizovani broj Precdek Značajnih dekadnih cifara xxx Zavisi od implementacije Tabela 3: Pregled IEEE 754 formata zapisa

18 18 Specijalne vrednosti Označena nula Obavezno je dodefinisanje +0 = 0; Ne važi ekvivalencija x = y 1/x = 1/y za x = +0,y = 0. Utiče na znak rezultata, npr. +123*(-0) = -0; x važi 1/(1/x) = x (uključujući i x = ± ) Olakšana upotreba funkcija koje imaju potkoračenje i prekid u 0. Npr. definiše se log 0 =- i log x = NaN za svakio x<0. Ako x 0 tada log x= NaN; bez označene nule bi bilo log x =-. Denormalizovani brojevi Uvek važe relacije oblika x = y x y = 0. Programske naredbe oblika if (x<>y) then z=1/(x-y) ne izazivaju prekid zbog deljenja nulom. Smanjuje se broj programskih prekida zbog potkoračenja Bez denormalizovanih brojeva prethodni primeri ne bi važili za x = 1, i y = 1, Beskonačno Omogućava nastavak izvršavanja programa u slučaju prekoračenja. Nan (Not-a-number, nije broj) Tihi NaN. Signalizira izuzeto stanje kod aritmetičkih operacija, poredjenja, i konverzije kod operacija koje su deo standarda. Signalni NaN. Označava pojavu nedozvoljene operacije u programu. NaN omogućuje nastavak izvršavanja programa u slučaju pojave neke od prethodnih grešaka programu.

19 19 Uvećani Implicitni Klasa podataka Znak eksponent bit Frakcija Nula ± e min Denormalizovani brojevi ± e min Normalizovani brojevi ± e min e e max 1 proizvoljno Beskonačno ± e max +1 xxx 0 Tihi NaN ± e max +1 xxx f 0 =1, f r =proizvoljno Signalni NaN ± e max +1 xxx f 0 =0, f r 0 xxx Ne primenjuje se U aritmetičkim operacijama se dodaje 1 e min -1 Sadržaj polja za eksponent su sve nule e max +1 Sadržaj polja za eksponent su sve jedinice NaN Not-a-number f 0 Krajnje levi bit frakcije Ostali bitovi frakcije f r Tabela 4: Klase podataka u IEEE 754

20 20 Zaokruživanje u IEEE 754 Zaokruživanje se vrši svaki put kada rezultat operacije nije tačan. Postoje četiri moguća načina zaokruživanja: 1. Zaokruživanje na najbližu vrednost uz zaokruživanje na parnu cifru kada je medjurezultat na sredini (predefinisano) 2. Zaokruživanje prema + : Ako je broj pozitivan i ako postoji bar jedna jedinica na nekoj poziciji desno od poslednje pozicije koja se čuva u zapisu, na tom mestu se dodaje jedinica. Bez obzira na znak broja, odbace se svi bitovi desno od poslednje pozicije koja se čuva u zapisu. 3. Zaokruživanje prema - : Ako je broj negativan i ako postoji bar jedna jedinica na nekoj poziciji desno od poslednje pozicije koja se čuva u zapisu, na tom mestu se oduzima jedinica. Bez obzira na znak broja, odbace se svi bitovi desno od poslednje pozicije koja se čuva u zapisu. 4. Zaokruživanje ka 0

21 21 Specijalne vrednosti u aritmetičkim operacijama Ako podatak predstavlja normalizovani broj, denormalizovani broj ili nulu, rezultat se dobija u skladu sa uobičajenim načinom izračunavanja. Rezultat operacije koja ima beskonačno kao operand: zameni se sa konačnim brojem x i odredi granica kada x. Na primer, 45/ + = 0 jer lim 45/x = 0. x + Ako granica kada x ± ne postoji, tada je rezultat operacije NaN. Važi < bilo koji konačan broj < + Kada operacija uključuje i rezultat nije QNaN, rezultat je (+ ) = (- ) = (+ ) = (- ) = + (+ ) + (+ ) = + (+ ) - (- ) = + (- ) + (- ) = - (- ) - (+ ) = - Operacija QNaN formiran pomoću Sabiranje, oduzimanje (± ) ± (± ) Množenje 0 Deljenje 0/0, / Ostatak x REM 0, REM y Kvadratni koren x kada je x<0 Svaka operacija argument operacije = SNaN Tabela 5: Operacije koje proizvode Tihi NaN

22 22 Sabiranje i oduzimanje Neka x = x s 2 x e,y = y s 2 y e. Tada važi { (x s 2 x e y e ± y s ) 2 y e ako x e y e x ± y = (x s ± y s 2 y e x e ) 2 x e ako y e < x e Pri izvodjenju operacija se vodi računa o specijalnim vrednostima. c Osnovni koraci u algoritmu su 1. Provera postojanja specijalnih vrednosti. 2. Oduzimanje x y se se realizuje kao x + ( y) uz prethodnu promenu znaka argumenta y. 3. Ukoliko je jedan od sabiraka jednak nuli, vrednost drugog sabirka je rezultat sabiranja. 4. Sabirci se svode na jednake eksponente. 5. Saberu se frakcije sabiraka pri čemu se uzimaju u obzir njihovi znaci. Sabiranje se vrši po pravilima za sabiranje celih brojeva u zapisu znak i apsolutna vrednost. Ukoliko je dobijeni rezultat nula tada je ukupan zbir nula. Ako je pak pri sabiranju došlo do prekoračenja, dobijeni rezultat se pomera za jedno mesto udesno uz povećanje vrednosti eksponenta za jedan. Ako ovo povećanje vrednosti eksponenta dovede do prekoračenja, ukupan rezultat sabiranja je + ili - u zavisnosti od znaka broja. 6. Ako je rezultat sabiranja frakcija normalizovan zaokružuje se i fromira zbir kombinacijom zaokružene frakcije i eksponenta. Ako dobijeni rezultat nije normalizovan, pokušava se njegova normalizacija.

23 23 Množenje i deljenje Neka x = x s 2 x e,y = y s 2 y e. Tada važi: x y = (x s y s ) 2 x e+y e x/y = (x s /y s ) 2 x e y e Pri izvodjenju operacija se vodi računa o specijalnim vrednostima. Osnovni koraci u algoritmu za množenje su 1. Provera postojanja specijalnih vrednosti. 2. Ukoliko je bar jedan od činilaca jednak nuli, rezultat je Saberu se vrednosti eksponenata i od dobijenog zbira oduzme uvećanje. Ako je došlo do prekoračenja pri ovom sabiranju krajnji rezultat je ± u zavisnosti od znaka brojeva x i y. Ako je pak došlo do potkoračenja vrednosti eksponenta krajnji rezultat je pozitivna ili negativna (u zavisnosti od znaka brojeva x i y) nula. 4. Pomnože se frakcije brojeva. Množenje se vrši prema pravilima za množenje celih brojeva zapisanih pomoću znaka i apsolutne vrednosti. 5. Dobijeni rezultat se normalizuje sličnim postupkom kao kod sabiranja. 6. Broj (binarnih) cifara proizvodu je dvostruko veći od broja cifara vrednost koje su umnožene; cifre koje su višak se odbacuju u procesu zaokruživanja.

24 24 Osnovni koraci u algoritmu za deljenje su: 1. Provera postojanja specijalnih vrednosti. 2. Ako je delilac nula tada Ako je deljenik 0 količnik je ± u zavisnosti od znaka x. Ako je deljenik =0 tada je rezultat NaN. 3. Oduzmu se vrednosti eksponenata i na dobijenu razliku doda uvećanje. Ako je došlo do prekoračenja pri ovom sabiranju krajnji rezultat je ± u zavisnosti od znaka brojeva x i y. Ako je pak došlo do potkoračenja vrednosti eksponenta krajnji rezultat je pozitivna ili negativna (u zavisnosti od znaka brojeva x i y) nula. 4. Podele se frakcije brojeva. Deljenje se vrši prema pravilima za deljenje celih brojeva zapisanih pomoću znaka i apsolutne vrednosti. 5. Dobijeni rezultat se normalizuje sličnim postupkom kao kod sabiranja. 6. Dobijeni količnik se zaokružuje prema pravilima za zaokruživanje.

25 25 Izuzeta stanja, zastavice i zamke Kada dodje do izuzetog stanja (kao npr. deljenja sa nulom ili prekoračenja) predefinisana akcija po IEEE standardu je predavanje rezultata i nastavak sa radom. Po IEEE standardu postoji: prekoračenje, potkoračenje, deljenje sa nulom, pogrešna operacija i netačnost. Za svako od ovih izuzeća se postavlja posebna zastavica (eng. flag) koju korisnik može programski da ispituje. IEEE 754 omogućuje rad sa zamkama. Npr. do uslov until (x >= 100) Ne bi korektno radio jer poredjenje sa NaN uvek vraća netačno pa bi postojala opasnost ulaska u beskonačni ciklus.

26 26 Zapis brojeva u pokretnom zarezu pomoću heksadekadne osnove (IBM S/360, S/370, S390, z-series) Uvećani eksponent Frakcija Bit za znak Slika 8: Format zapisa realnog broja pomoću heksadekadne osnove Važi Osnova β=16 Eksponent se zapisuje u 7 bita na pozicijama uz uvećanje od 64. uz uvećanje za 64. Frakcija je normalizovana i zapisuje se sa 6 heksadekadnih cifara u 24 bita.

27 27 Za eksponent e važi Za frakciju s važi 2 6 e s Interval kome pripada realan broj x koji može da se zapiše uz korišćenje 32 bita je x ( ) , odnosno < x < Najmanji denormalizovani broj koji može da se zapiše je =

28 28 Znak Eksponent Frakcija +15 = = /64 = = = ( ) = = Provera vrednosti zapisa broja +15: Znak = + Eksponent = 1 (=65-64) Frakcija = (0.F) 16 = F 16 1 Vrednost = Znak frakcija * 16 eksponent = +F 16 1 * 16 1 = +F 16 = Tabela 6: Zapis realnih brojeva u jednostrukoj tačnosti / heksadekadna osnova

29 Uvećani eksponent Frakcija Bit za znak 31 0 Produžetak frakcije Slika 9: Format zapisa realnog broja u dvostrukoj tačnosti pomoću heksadekadne osnove Interval realnih brojeva koji mogu da se predstave u dvostrukoj tačnosti je x ( ) , odnosno < x < Najmanji denormalizovani broj koji može da se zapiše je

30 30 bit za znak bit za znak 7 bita 56 bita uvećani eksponent vt 7 bita uvećani eksponent mt frakcija veće težine (14 heksadekadnih cidara) bita frakcija manje težine (14 heksadekadnih cidara) 63 0 Slika 10: Format zapisa realnog broja u dvostrukoj proširenoj (četvorostrukoj) tačnosti pomoću heksadekadne osnove Interval realnih brojeva koji mogu da se predstave u dvostrukoj proširenoj (četvorostrukoj) tačnosti je x ( ) , odnosno < x < Najmanji denormalizovani broj koji može da se zapiše je

31 31 Bez obzira na izabrani način zapisa realnih brojeva, količina realnih brojeva koji mogu da se zapišu je ista, ali je gustina na pojedinim delovima brojčane ose različita (a) Zapis pomoću binarne osnove, pre-ieee754 format (b) Zapis pomoću binarne osnove - IEEE 754 format sa uključenim denormalizovanim vrednostima (c) Zapis pomoću heksadekadne osnove sa uključenim denormalizovanim vrednostima Slika 11: Gustina zapisa realnih brojeva (za jednostruku tačnost)

Realni brojevi i aritmetika

Realni brojevi i aritmetika Realni brojevi i aritmetika Realni brojevi u nepokretnom zarezu Moguće greške: 1. Nekorektno smeštanje tačke osnove. Na primer, neka je pri deklaraciji navedeno da se odvaja 15 binarnih mesta za razlomljeni

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Binarno kodirani dekadni brojevi

Binarno kodirani dekadni brojevi Binarno kodirani dekadni brojevi Koriste se radi tačnog zapisa mešovitih brojeva u računarskom sistemu. Princip zapisa je da se svaka dekadna cifra kodira odredjenim binarnim zapisom. Za uspešno kodiranje

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Celi brojevi su svi nerazlomljeni brojevi, pozitivni, negativni i nula. To su

Celi brojevi su svi nerazlomljeni brojevi, pozitivni, negativni i nula. To su Poglavlje 1 Brojevi i brojni sistemi Cvetana Krstev 1.1 O brojevima Prirodni brojevi su brojevi sa kojima se broji, uključujući i nulu: 0, 1, 2, 3,.... Pojam pozitivnih i negativnih brojeva nije definisan

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Obrada rezultata merenja

Obrada rezultata merenja Obrada rezultata merenja Rezultati merenja Greške merenja Zaokruživanje Obrada rezultata merenja Direktno i indirektno merene veličine Računanje grešaka Linearizacija funkcija Crtanje grafika Fitovanje

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Obrada signala

Obrada signala Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

2. POJAM KOMPLEMENTA, BINARNI BROJNI SISTEM I BINARNI BROJEVI SA ZNAKOM

2. POJAM KOMPLEMENTA, BINARNI BROJNI SISTEM I BINARNI BROJEVI SA ZNAKOM 2. POJAM KOMPLEMENTA, BINARNI BROJNI SISTEM I BINARNI BROJEVI SA ZNAKOM TEORIJA: KOMPLEMENT je dopuna datog broja do neke unapred definisane vrednosti. Koristi se za prikazivanje negativnih brojeva. Primenjuju

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Prediktor-korektor metodi

Prediktor-korektor metodi Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Deljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.

Deljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele: Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisati efikasan algoritam znači dati skup preciznih uputstava kako doći do rešenja zadatog problema Algoritmi se mogu opisivati:

Konstruisati efikasan algoritam znači dati skup preciznih uputstava kako doći do rešenja zadatog problema Algoritmi se mogu opisivati: Staša Vujičić Konstruisati efikasan algoritam znači dati skup preciznih uputstava kako doći do rešenja zadatog problema Algoritmi se mogu opisivati: pseudo jezikom prirodnim jezikom dijagramom toka. 2

Διαβάστε περισσότερα

MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA

MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA 1 Merenje Svaki eksperimentalni rad u fizici praćen je merenjem neke fizičke veličine. Izmeriti neku fizičku veličinu znači uporediti je sa standardnom

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

Tačno merenje Precizno Tačno i precizno

Tačno merenje Precizno Tačno i precizno MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA Izmeriti neku veličinu u fizici znači naći brojni odnos merene fizičke veličine prema vrednosti iste fizičke veličine, koja je dogovorno izabrana za jedinicu.

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija 18.02006. Prvi razred A kategorija Dokazati da kruжnica koja sadrжi dva temena i ortocentar trougla ima isti polupreqnik kao i kruжnica opisana oko tog trougla. Na i najve i prirodan broj koji je maƭi

Διαβάστε περισσότερα

1. Kontinualna i diskretna računska sredstva Kontinualna računska 2. Istorijat razvoja računarskih sistema premehanički period

1. Kontinualna i diskretna računska sredstva Kontinualna računska 2. Istorijat razvoja računarskih sistema premehanički period 1. Kontinualna i diskretna računska sredstva Sva računska sredstva se mogu podeliti na dve velike grupe, kontinualna i diskretna računska sredstva. Kontinualna računska sredstva se konstuišu tako da matematički

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Reprezentacija brojeva u

Reprezentacija brojeva u 1 Reprezentacija brojeva u računalu Cijeli i realni brojevi implementiraju se u računalu u unaprijed zadanom formatu koji propisuje koliko se binarnih znamenaka (bitova) koristi za prikaz broja i kako

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia. Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα