Celi brojevi su svi nerazlomljeni brojevi, pozitivni, negativni i nula. To su

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Celi brojevi su svi nerazlomljeni brojevi, pozitivni, negativni i nula. To su"

Transcript

1 Poglavlje 1 Brojevi i brojni sistemi Cvetana Krstev 1.1 O brojevima Prirodni brojevi su brojevi sa kojima se broji, uključujući i nulu: 0, 1, 2, 3,.... Pojam pozitivnih i negativnih brojeva nije definisan u sistemu prirodnih brojeva. Celi brojevi su svi nerazlomljeni brojevi, pozitivni, negativni i nula. To su brojevi:..., 3, 2, 1, 0,1, 2, 3,.... U osnovi, prirodni brojevi nisu nenegativni celi brojevi jer koncept pozitivnog i negativnog nije ugra - den u sistem prirodnih brojeva. Racionalni brojevi su brojevi koji se mogu izraziti kao količnik dva cela broja s tim što imenilac ne sme biti 0. Naime, racionalni brojevi se mogu predstaviti u obliku p/q gde su p (brojilac) i q (imenilac) celi brojevi i q je različito od 0 (q 0). Primer Mešoviti broj (složeni broj) 5 1 je racionalan broj jer se može predstaviti 2 u obliku razlomka 11/2. Zapisi, ( 2)/3, 2/( 3), 2/3 predstavljaju isti, negativan racionalan broj, a zapisi ( 2)/( 3) i 2/3 predstavljaju isti pozitivan racionalan broj. Racionalni brojevi, kao i celi brojevi mogu pozitivni, negativni i nula. Notacija p/q vodi u beskonačno mnogo istovetnih notacija. Na primer, 1/2 = 2/4 = 3/6 =... i 0 = 0/1 = 0/2 = 0/3 =.... Celi brojevi su takode - racionalni brojevi jer se svaki ceo broj p može predstaviti u obliku p/1. Realni brojevi se ne mogu predstaviti ni jednom konačnom notacijom, ali ako se uvede pojam decimalnog zapisa koji se nikada ne završava, onda su to svi brojevi koji se mogu predstaviti u obliku celog broja iza koga sledi, možda 1

2 2 POGLAVLJE 1. BROJEVI I BROJNI SISTEMI i beskonačan, decimalni razvoj. Svi racionalni brojevi, a prema tome i svi celi brojevi, su realni brojevi. Naime, svaki racionalni broj ima decimalnu reprezentaciju koja može biti konačna ili beskonačna. Na primer, 1/4 = 0.25, to jest 1/4 je racionalni broj koji ima konačnu decimalnu reprezentaciju. S druge strane, 326/1100 = , što znači da je 326/1100 racionalni broj koji ima beskonačnu decimalnu reprezentaciju u kojoj se obrazac 63 beskonačno ponavlja. Realni brojevi koji nisu racionalni nazivaju se iracionalni brojevi. To su brojevi čija beskonačna decimalna reprezentacija nikada ne dolazi u tačku odakle počinje beskonačno ponavljanje nekog obrasca. Kvadratni koren broja 2, je primer iracionalnog broja koji se može aproksimirati proizvoljno izabranim konačnim brojem decimalnih cifara, na primer 2 = , ali stvarni realni broj nema konačnu reprezentaciju niti se u njegovom decimalnom zapisu pojavljuje petlja u kojoj se cifre ponavljaju. Primer iracionalnog broja je i broj π (koji predstavlja odnos obima kruga i prečnika). 1.2 Osobine broja 0 Ponekad se pogrešno govori da broj 0 nije ni paran ni neparan, pa nije na odmet da se istaknu neki razlozi zašto svrstavanje nule u parne brojeve nije proizvoljno: 1. Parni brojevi su deljivi sa 2 bez ostatka, dok neparni brojevi pri deljenju sa 2 daju ostatak 1. Prema tome i 0 je paran broj. 2. Zbir dva parna broja je paran broj, zbir dva neparna broja je tako - de paran broj, dok je zbir parnog i neparnog broja neparan broj. Kako je zbir bilo kog broja i 0 uvek taj isti broj, ova pravila važe samo ako je nula nedvosmisleno paran broj. 3. Proizvod dva neparna broja je neparan, dok svi ostali slučajevi daju paran rezultat. Kako je proizvod bilo kog broja i 0 uvek 0, ova opšta pravila važe samo ako je 0 paran broj. Bilo koji broj stepenovan brojem 0 kao rezultat daje broj 1. Podsetimo se da a n znači da se broj a množi sa a n puta, a n = a } a {{ a... a }, ali ova n definicija očigledno ima smisla samo ako je n pozitivan ceo broj. Postavlja se pitanje koju vrednost treba izabrati za slučaj n = 0 a da to ne bude proizvoljno. Jedan način da se pokaže da a 0 treba da bude 1 je uopštavanje izraza a n a m = a (n+m)

3 1.3. BROJNI SISTEMI 3 koji se može ilustrovati sledećim primerima: = 3 5 (9 27 = 243) = 2 3 (2 4 = 8) Da bi se održala opštost mora da važi: a 0 a m = a (0+m) = a m Da bi ova jednakost važila, a 0 mora biti 1 i to mora da važi za bilo koju vrednost a. Znači, a 0 = 1 se može smatrati posledicom opštih pravila a ne proizvoljnom konvencijom koju treba zapamtiti. Deljenje sa nulom nije dozvoljeno. Bližim razmatranjem vidi se da sve specijalne osobine broja 0 potiču otuda što 0 treba da ima takve osobine koje ne krše neko opšte prihvaćeno pravilo. Pokazuje se da je zabrana deljenja sa 0 nužna jer bi dozvola deljenja s nulom obavezno narušila neko opšte prihvaćeno pravilo. Razmotrimo, na primer, koju vrednost bi trebalo da ima količnik 0/0. Jedno pravilo kaže da je n/n = 1 za svako n 0. S druge strane, drugo pravilo je da je 0/n = 0 za svako n 0. Prema tome, ako bi bilo 0/0 = 1 onda bi bilo narušeno drugo pravilo, a ako bi bilo 0/0 = 0 onda bi bi bilo narušeno prvo pravilo. Ako bi neka treća vrednost bila izabrana kao vrednost od 0/0 onda bi oba pravila bila narušena. To je jedan od razloga zašto ni jedna vrednost ne može biti dodeljena ovom količniku a slično bi se moglo pokazati i za druge slučajeve deljenja s nulom. 1.3 Brojni sistemi Brojni sistemi su notacije koje služe za zapisivanje brojeva. Oni mogu biti nepozicioni i pozicioni. Karakteristika nepozicionih brojnih sistema je da vrednost cifre ne zavisi od pozicije u broju. Primer nepozicionog brojnog sistema su Rimski brojevi. Cifre ovog brojnog sistema su I, V, X, L, C, D i M, čije su vrednosti, redom, 1, 5, 10, 50, 100, 500 i U Rimskom broju III cifra I ima uvek istu vrednost 1, a vrednost broja se dobija sabiranjem vrednosti svih cifara. U Rimskim brojevima IV i VI cifra I opet ima istu vrednost 1 samo što se vrednost broja dobija oduzimanjem, sabiranjem prve cifre od druge, odnosno sabiranjem prve i druge cifre. Naime, kod računanja vrednosti broja pravilo oduzimanja se primenjuje kada cifra manja po vrednosti prethodi većoj. Pozicioni brojni sistemi su brojni sistemi kod kojih vrednost koju predstavlja cifra u zapisu broja zavisi od cifre i njene pozicije u zapisu broja. Broj različitih cifara brojnog sistema zove se osnova brojnog sistema.

4 4 POGLAVLJE 1. BROJEVI I BROJNI SISTEMI Primer U svakodnevnoj je upotrebi decimalni (ili dekadni) brojni sistem. On koristi deset cifara: 0, 1, 2, 3,..., 9. Osnova ovog brojnog sistema je 10. U broju 326 cifra 3 ima vrednost 300 cifra 2 vrednost 20 a cifra 6 vrednost 6. Taj broj se može analizirati na sledeći način: 326 = U broju 4.23 cifra 4 ima vrednost 4, cifra 2 vrednost 2 desetinke a cifra 3 vrednost 3 stotinke. Ovaj broj može se analizirati na sledeći način: 4.23 = Osim dekadnog, u čestoj je upotrebi i binarni brojni sistem. On koristi samo dve cifre, 0, 1 a osnova ovog brojnog sistema je 2. Primer Broj 1001 u binarnoj notaciji (čita se jedan-nula-nula-jedan binarno, a ne hiljadu jedan, a da bi se izbegla zabuna nekad zapisuje i kao ) znači dekadno = 9. Broj znači dekadno = 2 + 1/2 + 1/4 = Pretvaranje iz jednog brojnog sistema u drugi Konverzija iz decimalne u binarnu notaciju sastoji se u pronalaženju načina da se broj predstavi u obliku zbira brojeva koji su stepen broja 2. Broj bi se mogao predstaviti na sledeći način u obliku zbira brojeva koji su stepen broja 2 (uz pomoć tablice stepena broja 2): 77 = = = = = = U opštem slučaju, pretvaranje iz dekadnog u brojni sistem s osnovom n sastoji se u zapisivanju broja u obliku zbira brojeva koji su stepen te osnove n. Do takvog zapisa se može doći ako se broj b podeli osnovom n: neka je d celobrojni deo količnika a r ostatak pri deljenju (stoga je r < n). Ovaj ostatak je cifra najmanje težine u zapisu brojnog sistema sa osnovom n. Sada se broj b može zapisati u obliku b = n d + r, a postupak deljenja se može primeniti na na celobrojni deo količnika d: neka je d 1 celobrojni deo količnika a r 1 ostatak pri deljenju. Ovaj ostatak je cifra sledeća po težini u zapisu broja. Sada se broj d može zapisati u obliku d = n d 1 + r 1, a broj b u obiliku b = n (n d 1 + r 1 ) + r. Postupak se ponavlja sve dok celobrojni deo količnika ne postane jednak 0 u svakom koraku dobija se sledeća cifra

5 1.3. BROJNI SISTEMI 5 po težini u zapisu broja. Na primeru pretvaranja broja u brojni sistem s osnovom 2 ovaj postupak daje sledeći rezultat: 77 = = 2 ( ) + 1 = 2 (2 ( ) + 0) + 1 = 2 (2 (2 ( ) + 1) + 0) + 1 = 2 (2 (2 (2 ( ) + 1) + 1) + 0) + 1 = 2 (2 (2 (2 (2 ( ) + 0) + 1) + 1) + 0) + 1 = 2 (2 (2 (2 (2 (2 ( ) + 0) + 0) + 1) + 1) + 0) + 1 Ako se dobijeni ostaci pri deljenju zapišu obrnutim redosledom u odnosu na onaj u kom su izračunati dobiaj zapis broja u binarnom brojnom sistemu Ceo postupak se šematski može prikazati na sledeći način: 77 : 2 ostatak 1 38 : 2 ostatak 0 19 : 2 ostatak 1 9 : 2 ostatak 1 4 : 2 ostatak 0 2 : 2 ostatak 0 1 : 2 ostatak 1 0 kraj Isti broj bi se preveo u brojni sistem sa osnovom 4 na sledeći način: 77 : 4 ostatak 1 19 : 4 ostatak 3 4 : 4 ostatak 0 1 : 4 ostatak 1 0 kraj Prema tome = U računarstvu se često koristi i brojni sistem sa osnovom 16 koji se naziva heksadecimalni brojni sistem. Njegovih 16 cifara predstavlja se dekadnim ciframa od 0 do 9 i slovima engleskog alfabeta od A do F, tako da je: A 16 = D 16 = B 16 = E 16 = C 16 = F 16 = Tako se heksadecimalni broj A2F analizira na sledeći način: A2F 16 = A F 16 0 = = = = = Dekadni broj 77 bi se preveo u brojni sistem sa osnovom 16 na sledeći način:

6 6 POGLAVLJE 1. BROJEVI I BROJNI SISTEMI Prema tome = 4D : 16 ostatak 13 = D 16 4 : 16 ostatak 4 = kraj Primer Decimalna vrednost brojs AD65 16 je: Primer AD65 16 = = = = = = Heksadecimalna vrednost broja je: : 16 ostatak : 16 ostatak 0 58 : 16 ostatak 10 3 : 16 ostatak 3 0 kraj Prema tome = 3A Kada su u pitanju brojni sistemi kod kojih je osnova jednog stepen osnove drugog, onda je prevo - denje iz jednog u drugi brojni sistem jednostavnije. Takav je, na primer, slučaj heksadecimalnog i binarnog brojnog sistema jer je 16 = 2 4. Tada se broj iz heksadecimalnog brojnog sistema prevodi u broj u binarnom brojnom sistemu zamenom svake heksadecimalne cifre njenom binarnom vrednošću zapisanom sa 4 cifre. Na primer, A2F 16 = Broj se iz binarnog brojnog sistema prevodi u heksadecimalni brojni sistem tako što se binarne cifre grupišu u grupe od četiri cifre (ovde je četiri stepen osnove 2 koja daje drugu osnovu 16) počev od cifara manje težine ka ciframa veće težine. Na primer, {}}{ 1010 { 0010 }}{{ 1111 }}{ 2 = A2F 16 Da bismo se uverili u ispravnost ovog postupka prevedimo oba broja u dekadni brojni sistem: A2F 16 = =

7 1.3. BROJNI SISTEMI 7 = = = = = 2048 {}} { + {}}{ 32 + { }} { = Formalnije se opravdanje za ovakav postupak nalazi u sledećem: A2F 16 = A F 16 0 = = ( ) (2 4 ) 2 + ( ) (2 4 ) 1 + ( ) (2 4 ) 0 = = = = Računanje u pozicionim brojnim sistemima Osnovne računske operacije se u svim pozicionim brojnim sistemima izvode u osnovi na isti način. Na primer, da bismo sabrali dva broja, 153 i 98 u dekadnom brojnom sistemu postupili bismo na sledeći način: Postupak sabiranja počinje od cifara najmanje težine, odnosno od jedinica. Treba, dakle, sabrati cifre najmanje težine 3 i 8. Rezultat je broj 11 koji je veći od 9, najveće cifre u ovom brojnom sistemu, pa zadržavamo cifru 1 kao cifru najmanje težine rezultata a cifru 1 na poziciji desetica pamtimo kao prenos. Zatim se sabiraju cifre 5 i 9 na poziciji desetica uz dodavanje prenosa. Rezultat je broj 15 > 9 pa postupamo opet na isti način: zadržavamo cifru 5 na poziciji desetica a cifru 1 pamtimo kao prenos na poziciji stotina. Konačan rezultat je broj 251. Sabiranje u binarnom brojnom sistemu obavlja se na isti način: prenos rezultat = = = Sledeći primer binarnog sabiranja je: prenos rezultat = = = 68 10

8 8 POGLAVLJE 1. BROJEVI I BROJNI SISTEMI Sličan je slučaj i sa operacijom oduzimanja. Da bismo u dekadnom brojnom sistemu oduzeli broj 98 od broja 1053 postupili bismo na sledeći način: Oduzimanje počinje od cifara najmanje težine, odnosno od jedinica. Treba, dakle, oduzeti 8 od 3. Kako to nije moguće pozajmljuje se jedna destica a na mestu desetica u umenjeniku ostaje cifra 4. Oduzima se na mestu jedinica 8 od 13, pa je cifra jedinica rezultata 5. Prelazi se na oduzimanje cifara desetica, cifra 9 oduzima se od cifre 4. Kako to nije moguće pozajmljuje se jedna stotina, a kako ni to nije moguće jer je cifra stotina 0, pozajmljuje se jedna hiljada. Kao rezultat ove operacije, na cifri hiljada u umenjeniku pojavljuje se nula, na cifri stotina 10, a posle pozajmice 9. Na mestu desetica oduzima se 9 od 14, pa je cifra desetica rezultata 5. Kako u umanjiocu nema više cifara, konačan rezultat je 955. Oduzimanje u binarnom brojnom sistemu obavlja se na isti način: pozajmica rezultat = = = Sledeći primer binarnog oduzimanja je: pozajmica rezultat = = = U dekadnom pozicionom brojnom sistemu u svim brojevima deljivim sa 10 cifra najmanje težine je 0. Zašto je to tako može se ilustrovati na primeru broja 540. Taj broj se može analizirati na sledeći način: 540 = = = 10 (5 10+4), a to znači da je broj 540 u kome je cifra jedinica 0 deljiv sa 10. Slično se može ilustrovati da su u brojevima koji su deljivi sa 100 = 10 2 i cifre jedinica i cifre desetica 0. Isto važi i u opštem slučaju. U broju koji je deljiv osnovom brojnog sistema cifra najmanje težine je 0, a u broju koji je deljiv m-tim stepenom osnove brojnog sistema m cifara najmanje težine u tom broju su 0. Tako je u binarnom brojnom sistemu svaki broj deljiv osnovom 2 cifra najmanje težine 0. Na primer, broj može se analizirati na sledeći način: = = 2 ( ), a to znači da je broj deljiv sa 2. Ako taj broj pretvorimo u dekadni brojni sistem = još jednom ćemo se uveriti u to.

9 1.4. ZADACI 9 Primer Binarni broj deljiv je sa 8, što se može pokazati na sledeći način: = = = = = 2 3 ( ) = = 8 ( ) = 8 13 = 104 Da bi se u dekadnom pozicionom brojnom sistemu broj pomnožio sa 10 treba na zapis broja dopisati 0, što znači da cifra jedinica postaje 0, prethodna cifra jedinica postaje cifra desetica, prethodna cifra desetica postaje cifra stotina, i tako redom. Zašto je to tako može se ilustrovati na primeru množenja broja 53 brojem 10. Analiza proizvoda daje sledeće ( ) 10 = = = 530, a to znači da je na zapis broja 53 dopisana cifra 0. Isto važi i u opštem slučaju. Množenje broja osnovom pozicionog brojnog sistema svodi se na dopisivanje 0 na zapis broja, a množenje broja m-tim stepenom osnove svodi se na dopisivanje m nula na zapis broja. Na primer, množenje binarnog broja osnovom 2 može se analizirati na sledeći način: ( ) 2 = = = Oba broja = 11 i = 22 prevedena u dekadni brojni sistem pokazuju se da je prvi polovina drugog. Slično važi i za operaciju deljenja. Deljenje broja osnovom pozicionog brojnog sistema svodi se na otpisivanje poslednje cifre (cifre najmanje težine) iz zapisa broja, a deljenje broja m-tim stepenom osnove svodi se na otpisivanje m cifara najmanje težine iz zapisa broja. Na primer, deljenje binarnog broja stepenom osnove 2 2 može se analizirati na sledeći način: ( ) : 2 2 = ( )+( ) : 2 2 = : 2 2, a to znači da je celobrojni deo količnika dok je ostatak pri deljenju Deljenik = 27, delilac 2 2 = 4, celobrojni deo količnika = 6 i ostatak pri deljenju 11 2 = 3 pretvoreni u dekadni brojni sistem još jednom potvrduju - ispravnost ovog postupka. 1.4 Zadaci Primer jednog testa 1. a) Rimski broj MMDXLIX pretvoriti u dekadni brojni sistem. b) Broj 2794 pretvoriti iz dekadnog brojnog sistema u rimski broj.

10 10 POGLAVLJE 1. BROJEVI I BROJNI SISTEMI 2. a) Koja je najveća cifra u pozicionom brojnom sistemu sa osnovom 7? b) Koje su vrednosti cifara u broju 123 7? c) Koja je dekadna vrednost broja 123 7? 3. Broj predstaviti u brojnom sistemu sa osnovom a) Odrediti u binarnom brojnom sistemu tri broja koja neposredno prethode broju b) Odrediti u heksadekadnom brojnom sistemu tri broja koja neposredno slede iza broja 2AF E a) Binarno sabrati brojeve i b) Rezultat dobijen pod a) pretvoriti u heksadekadni brojni sistem, ne pretvarajući u dekadni sistem Rešenja zadataka 1. a) MMDXLIX 2549 b) 2794 MMDCCXCIV 2. a) 6 b) Cifra 3 ima vrednost 3, cifra 2 ima vrednost 2 7 = 14, cifra 1 ima vrednost = 49 c) = = Vrednost broja u brojnom sistemu sa osnovom 5 je: Prema tome = : 5 ostatak : 5 ostatak 4 77 : 5 ostatak 2 15 : 5 ostatak 0 3 : 5 ostatak 3 0 kraj 4. a) Ta tri broja su: , , b) Ta tri broja su: 2AF F 16, 2B00 16, 2B a) Zbir brojeva i je b) { 1010 }}{ 1010 {}}{{ 0001 }}{ 2 = AA1 16.

11 1.4. ZADACI Zadaci za vežbu 1. Broj pretvoriti u: a) brojni sistem s osnovom 2; b) brojni sistem s osnovom 16; c) brojni sistem s osnovom Pretvoriti u brojni sistem s osnovom 10: a) broj u binarnom brojnom sistemu; b) broj B3F D u heksadecimalnom brojnom sistemu; c) broj u sistemu s osnovom Pretvoriti u binarni brojni sistem (ne pretvarajući u dekadni brojni sistem): a) broj ; b) broj B3F D u heksadecimalnom brojnom sistemu; c) broj Pretvoriti u heksadekadni brojni sistem (ne pretvarajući u dekadni brojni sistem): a) broj ; b) broj ; 5. Ne pretvarajući u dekadni brojni sistem, odrediti za broj : a) tri sledeća broja; b) tri prethodna broj. 6. Ne pretvarajući u dekadni brojni sistem, odrediti za broj C0F D 16 : a) tri sledeća broja; b) tri prethodna broj. 7. Ne pretvarajući u dekadni brojni sistem, sabrati brojeve: a) i ; b) i ;

12 12 POGLAVLJE 1. BROJEVI I BROJNI SISTEMI c) AB3F 16 i 1D Ne pretvarajući u dekadni brojni sistem, oduzeti: a) od ; b) od ; c) F 9 16 od 1D Ne pretvarajući u dekadni brojni sistem, odrediti koji od navedenih brojeva su deljivi sa 2, koji sa 4 a koji sa 8: a) b) c) d) Ne pretvarajući u dekadni brojni sistem, odrediti količnik i ostatak pri deljenju sa 2, 4 i 8 brojeva: a) b) c)

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Binarno kodirani dekadni brojevi

Binarno kodirani dekadni brojevi Binarno kodirani dekadni brojevi Koriste se radi tačnog zapisa mešovitih brojeva u računarskom sistemu. Princip zapisa je da se svaka dekadna cifra kodira odredjenim binarnim zapisom. Za uspešno kodiranje

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

2. POJAM KOMPLEMENTA, BINARNI BROJNI SISTEM I BINARNI BROJEVI SA ZNAKOM

2. POJAM KOMPLEMENTA, BINARNI BROJNI SISTEM I BINARNI BROJEVI SA ZNAKOM 2. POJAM KOMPLEMENTA, BINARNI BROJNI SISTEM I BINARNI BROJEVI SA ZNAKOM TEORIJA: KOMPLEMENT je dopuna datog broja do neke unapred definisane vrednosti. Koristi se za prikazivanje negativnih brojeva. Primenjuju

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

DELJIVOST CELIH BROJEVA

DELJIVOST CELIH BROJEVA DELJIVOST CELIH BROJEVA 1 Osnovne osobine Definicija 1.1 Nea su a 0 i b celi brojevi. Ao postoji ceo broj m taav da je b = ma, onda ažemo da je a delitelj ili fator broja b, b je sadržalac, višeratni ili

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Realni brojevi u pokretnom zarezu

Realni brojevi u pokretnom zarezu Realni brojevi u pokretnom zarezu Predstavljaju se pomoću osnove β (koja je uvek parna) i preciznosti p. Primer: β=10, p=4: broj 0.4 se predstavlja kao 4.000 10 1 β=10, p=4: broj broj 564000000000000000000000000

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom.

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. 1 Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. Pravilo 2. Svaki atribut entiteta postaje atribut relacione šeme pod istim imenom. Pravilo 3. Primarni ključ entiteta postaje

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola. Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo

Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola. Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo January 24, 2012 Uvod U Bosni i Hercegovini već pedesetak godina se organizuju

Διαβάστε περισσότερα

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1. 09.0200 Prvi razred A kategorija Ako je n prirodan broj, dokazati da 3n 2 + 3n + 7 nije kub nijednog prirodnog broja. U trouglu ABC je ABC = 60. Neka su D i E redom preseqne taqke simetrala uglova CAB

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Prediktor-korektor metodi

Prediktor-korektor metodi Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu

Διαβάστε περισσότερα

1. Kontinualna i diskretna računska sredstva Kontinualna računska 2. Istorijat razvoja računarskih sistema premehanički period

1. Kontinualna i diskretna računska sredstva Kontinualna računska 2. Istorijat razvoja računarskih sistema premehanički period 1. Kontinualna i diskretna računska sredstva Sva računska sredstva se mogu podeliti na dve velike grupe, kontinualna i diskretna računska sredstva. Kontinualna računska sredstva se konstuišu tako da matematički

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

4 Matrice i determinante

4 Matrice i determinante 4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

b = k a. Govorimo jošda a dijeli b ipišemo a b.

b = k a. Govorimo jošda a dijeli b ipišemo a b. 1 DJELJIVOST 1.1. Djeljivost. Prosti brojevi Količnik dvaju prirodnih brojeva nije uvijek prirodni broj. Tako na primjer, broj 54 8 nije prirodan, jer 54 nije djeljiv s 8. Broj 221 jest prirodan, jer 221

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Eksponencijalna i logaritamska funkcija

Eksponencijalna i logaritamska funkcija 16 1. UVOD U ANALIZU Rešenje. Kako je ovo neprava funkcija, deljenjem nalazimo da je (11) f() = 1 + 5 6 + 1 3 5 + 6 = 1 + 5 6 + 1 ( )( 3). Prema postupku navedenom u teoremi 1.7, važi razlaganje odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

Relacije poretka ure denja

Relacije poretka ure denja Relacije poretka ure denja Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je ➀ refleksivna ➁ antisimetrična ➂ tranzitivna Umesto relacija poretka često kažemo i parcijalno ured enje ili samo ured enje.

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Prosti brojevi. Uvod

Prosti brojevi. Uvod MLADI NADARENI MATEMATIČARI Marin Getaldic Prosti brojevi 20.12.2015. Uvod Definicija 1. Kažemo da je prirodan broj p prost broj ako ima točno dva (različita) djelitelja (konkretno, to su 1 i p). U suprotnom

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

ZADATAKA IZ MATEMATIKE 2

ZADATAKA IZ MATEMATIKE 2 Mr VENE T BOGOSLAVOV ZBIRKA REŠENIH ZADATAKA IZ MATEMATIKE 5 ispravljeno izdanje ZAVOD ZA UDŽBENIKE BEOGRAD Redaktor i recenzent DOBRILO TOŠIĆ Urednik MILOLJUB ALBIJANIĆ Odgovorni urednik MILORAD MARJANOVIĆ

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA

RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA PRIBLIŽNI BROJ I GREŠKA tača vredost ekog broja X prblža vredost ekog broja X apsoluta greška Δ = X X graca apsolute greške (gorja graca) relatva greška X X

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia. Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

for := to do

for <brojacka_promenljiva> := <pocetna_vrednost> to <krajnja_vrednost> do <naredba> Naredbe ponavljanja U većini programa se javljaju situacije kada je potrebno neku naredbu ili grupu naredbi izvršiti više puta. Ukoliko je naredbu potrebno izvršiti konačan i mali broj puta, problem je

Διαβάστε περισσότερα

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

Norme vektora i matrica

Norme vektora i matrica 2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

Skup prirodnih brojeva označavamo s N. N = {1, 2, 3, 4, 5,...,n,...}.

Skup prirodnih brojeva označavamo s N. N = {1, 2, 3, 4, 5,...,n,...}. 1 REALNI BROJEVI 1.1. Skupovi brojeva Upitamo li nekoga tko nije matematičar, ili mu matematika barem nije osobito bliska, čime se bavi ta znanost, vjerojatno će odgovoriti brojevima. Premda odgovor baš

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA

PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA 1. Prvo predavanje - funkcije i prirodni brojevi Cilj predavanja u prvoj sedmici je podsećanje na skupove brojeva koji su se koristili u prethodnom školovanju,

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα