Celi brojevi su svi nerazlomljeni brojevi, pozitivni, negativni i nula. To su

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Celi brojevi su svi nerazlomljeni brojevi, pozitivni, negativni i nula. To su"

Transcript

1 Poglavlje 1 Brojevi i brojni sistemi Cvetana Krstev 1.1 O brojevima Prirodni brojevi su brojevi sa kojima se broji, uključujući i nulu: 0, 1, 2, 3,.... Pojam pozitivnih i negativnih brojeva nije definisan u sistemu prirodnih brojeva. Celi brojevi su svi nerazlomljeni brojevi, pozitivni, negativni i nula. To su brojevi:..., 3, 2, 1, 0,1, 2, 3,.... U osnovi, prirodni brojevi nisu nenegativni celi brojevi jer koncept pozitivnog i negativnog nije ugra - den u sistem prirodnih brojeva. Racionalni brojevi su brojevi koji se mogu izraziti kao količnik dva cela broja s tim što imenilac ne sme biti 0. Naime, racionalni brojevi se mogu predstaviti u obliku p/q gde su p (brojilac) i q (imenilac) celi brojevi i q je različito od 0 (q 0). Primer Mešoviti broj (složeni broj) 5 1 je racionalan broj jer se može predstaviti 2 u obliku razlomka 11/2. Zapisi, ( 2)/3, 2/( 3), 2/3 predstavljaju isti, negativan racionalan broj, a zapisi ( 2)/( 3) i 2/3 predstavljaju isti pozitivan racionalan broj. Racionalni brojevi, kao i celi brojevi mogu pozitivni, negativni i nula. Notacija p/q vodi u beskonačno mnogo istovetnih notacija. Na primer, 1/2 = 2/4 = 3/6 =... i 0 = 0/1 = 0/2 = 0/3 =.... Celi brojevi su takode - racionalni brojevi jer se svaki ceo broj p može predstaviti u obliku p/1. Realni brojevi se ne mogu predstaviti ni jednom konačnom notacijom, ali ako se uvede pojam decimalnog zapisa koji se nikada ne završava, onda su to svi brojevi koji se mogu predstaviti u obliku celog broja iza koga sledi, možda 1

2 2 POGLAVLJE 1. BROJEVI I BROJNI SISTEMI i beskonačan, decimalni razvoj. Svi racionalni brojevi, a prema tome i svi celi brojevi, su realni brojevi. Naime, svaki racionalni broj ima decimalnu reprezentaciju koja može biti konačna ili beskonačna. Na primer, 1/4 = 0.25, to jest 1/4 je racionalni broj koji ima konačnu decimalnu reprezentaciju. S druge strane, 326/1100 = , što znači da je 326/1100 racionalni broj koji ima beskonačnu decimalnu reprezentaciju u kojoj se obrazac 63 beskonačno ponavlja. Realni brojevi koji nisu racionalni nazivaju se iracionalni brojevi. To su brojevi čija beskonačna decimalna reprezentacija nikada ne dolazi u tačku odakle počinje beskonačno ponavljanje nekog obrasca. Kvadratni koren broja 2, je primer iracionalnog broja koji se može aproksimirati proizvoljno izabranim konačnim brojem decimalnih cifara, na primer 2 = , ali stvarni realni broj nema konačnu reprezentaciju niti se u njegovom decimalnom zapisu pojavljuje petlja u kojoj se cifre ponavljaju. Primer iracionalnog broja je i broj π (koji predstavlja odnos obima kruga i prečnika). 1.2 Osobine broja 0 Ponekad se pogrešno govori da broj 0 nije ni paran ni neparan, pa nije na odmet da se istaknu neki razlozi zašto svrstavanje nule u parne brojeve nije proizvoljno: 1. Parni brojevi su deljivi sa 2 bez ostatka, dok neparni brojevi pri deljenju sa 2 daju ostatak 1. Prema tome i 0 je paran broj. 2. Zbir dva parna broja je paran broj, zbir dva neparna broja je tako - de paran broj, dok je zbir parnog i neparnog broja neparan broj. Kako je zbir bilo kog broja i 0 uvek taj isti broj, ova pravila važe samo ako je nula nedvosmisleno paran broj. 3. Proizvod dva neparna broja je neparan, dok svi ostali slučajevi daju paran rezultat. Kako je proizvod bilo kog broja i 0 uvek 0, ova opšta pravila važe samo ako je 0 paran broj. Bilo koji broj stepenovan brojem 0 kao rezultat daje broj 1. Podsetimo se da a n znači da se broj a množi sa a n puta, a n = a } a {{ a... a }, ali ova n definicija očigledno ima smisla samo ako je n pozitivan ceo broj. Postavlja se pitanje koju vrednost treba izabrati za slučaj n = 0 a da to ne bude proizvoljno. Jedan način da se pokaže da a 0 treba da bude 1 je uopštavanje izraza a n a m = a (n+m)

3 1.3. BROJNI SISTEMI 3 koji se može ilustrovati sledećim primerima: = 3 5 (9 27 = 243) = 2 3 (2 4 = 8) Da bi se održala opštost mora da važi: a 0 a m = a (0+m) = a m Da bi ova jednakost važila, a 0 mora biti 1 i to mora da važi za bilo koju vrednost a. Znači, a 0 = 1 se može smatrati posledicom opštih pravila a ne proizvoljnom konvencijom koju treba zapamtiti. Deljenje sa nulom nije dozvoljeno. Bližim razmatranjem vidi se da sve specijalne osobine broja 0 potiču otuda što 0 treba da ima takve osobine koje ne krše neko opšte prihvaćeno pravilo. Pokazuje se da je zabrana deljenja sa 0 nužna jer bi dozvola deljenja s nulom obavezno narušila neko opšte prihvaćeno pravilo. Razmotrimo, na primer, koju vrednost bi trebalo da ima količnik 0/0. Jedno pravilo kaže da je n/n = 1 za svako n 0. S druge strane, drugo pravilo je da je 0/n = 0 za svako n 0. Prema tome, ako bi bilo 0/0 = 1 onda bi bilo narušeno drugo pravilo, a ako bi bilo 0/0 = 0 onda bi bi bilo narušeno prvo pravilo. Ako bi neka treća vrednost bila izabrana kao vrednost od 0/0 onda bi oba pravila bila narušena. To je jedan od razloga zašto ni jedna vrednost ne može biti dodeljena ovom količniku a slično bi se moglo pokazati i za druge slučajeve deljenja s nulom. 1.3 Brojni sistemi Brojni sistemi su notacije koje služe za zapisivanje brojeva. Oni mogu biti nepozicioni i pozicioni. Karakteristika nepozicionih brojnih sistema je da vrednost cifre ne zavisi od pozicije u broju. Primer nepozicionog brojnog sistema su Rimski brojevi. Cifre ovog brojnog sistema su I, V, X, L, C, D i M, čije su vrednosti, redom, 1, 5, 10, 50, 100, 500 i U Rimskom broju III cifra I ima uvek istu vrednost 1, a vrednost broja se dobija sabiranjem vrednosti svih cifara. U Rimskim brojevima IV i VI cifra I opet ima istu vrednost 1 samo što se vrednost broja dobija oduzimanjem, sabiranjem prve cifre od druge, odnosno sabiranjem prve i druge cifre. Naime, kod računanja vrednosti broja pravilo oduzimanja se primenjuje kada cifra manja po vrednosti prethodi većoj. Pozicioni brojni sistemi su brojni sistemi kod kojih vrednost koju predstavlja cifra u zapisu broja zavisi od cifre i njene pozicije u zapisu broja. Broj različitih cifara brojnog sistema zove se osnova brojnog sistema.

4 4 POGLAVLJE 1. BROJEVI I BROJNI SISTEMI Primer U svakodnevnoj je upotrebi decimalni (ili dekadni) brojni sistem. On koristi deset cifara: 0, 1, 2, 3,..., 9. Osnova ovog brojnog sistema je 10. U broju 326 cifra 3 ima vrednost 300 cifra 2 vrednost 20 a cifra 6 vrednost 6. Taj broj se može analizirati na sledeći način: 326 = U broju 4.23 cifra 4 ima vrednost 4, cifra 2 vrednost 2 desetinke a cifra 3 vrednost 3 stotinke. Ovaj broj može se analizirati na sledeći način: 4.23 = Osim dekadnog, u čestoj je upotrebi i binarni brojni sistem. On koristi samo dve cifre, 0, 1 a osnova ovog brojnog sistema je 2. Primer Broj 1001 u binarnoj notaciji (čita se jedan-nula-nula-jedan binarno, a ne hiljadu jedan, a da bi se izbegla zabuna nekad zapisuje i kao ) znači dekadno = 9. Broj znači dekadno = 2 + 1/2 + 1/4 = Pretvaranje iz jednog brojnog sistema u drugi Konverzija iz decimalne u binarnu notaciju sastoji se u pronalaženju načina da se broj predstavi u obliku zbira brojeva koji su stepen broja 2. Broj bi se mogao predstaviti na sledeći način u obliku zbira brojeva koji su stepen broja 2 (uz pomoć tablice stepena broja 2): 77 = = = = = = U opštem slučaju, pretvaranje iz dekadnog u brojni sistem s osnovom n sastoji se u zapisivanju broja u obliku zbira brojeva koji su stepen te osnove n. Do takvog zapisa se može doći ako se broj b podeli osnovom n: neka je d celobrojni deo količnika a r ostatak pri deljenju (stoga je r < n). Ovaj ostatak je cifra najmanje težine u zapisu brojnog sistema sa osnovom n. Sada se broj b može zapisati u obliku b = n d + r, a postupak deljenja se može primeniti na na celobrojni deo količnika d: neka je d 1 celobrojni deo količnika a r 1 ostatak pri deljenju. Ovaj ostatak je cifra sledeća po težini u zapisu broja. Sada se broj d može zapisati u obliku d = n d 1 + r 1, a broj b u obiliku b = n (n d 1 + r 1 ) + r. Postupak se ponavlja sve dok celobrojni deo količnika ne postane jednak 0 u svakom koraku dobija se sledeća cifra

5 1.3. BROJNI SISTEMI 5 po težini u zapisu broja. Na primeru pretvaranja broja u brojni sistem s osnovom 2 ovaj postupak daje sledeći rezultat: 77 = = 2 ( ) + 1 = 2 (2 ( ) + 0) + 1 = 2 (2 (2 ( ) + 1) + 0) + 1 = 2 (2 (2 (2 ( ) + 1) + 1) + 0) + 1 = 2 (2 (2 (2 (2 ( ) + 0) + 1) + 1) + 0) + 1 = 2 (2 (2 (2 (2 (2 ( ) + 0) + 0) + 1) + 1) + 0) + 1 Ako se dobijeni ostaci pri deljenju zapišu obrnutim redosledom u odnosu na onaj u kom su izračunati dobiaj zapis broja u binarnom brojnom sistemu Ceo postupak se šematski može prikazati na sledeći način: 77 : 2 ostatak 1 38 : 2 ostatak 0 19 : 2 ostatak 1 9 : 2 ostatak 1 4 : 2 ostatak 0 2 : 2 ostatak 0 1 : 2 ostatak 1 0 kraj Isti broj bi se preveo u brojni sistem sa osnovom 4 na sledeći način: 77 : 4 ostatak 1 19 : 4 ostatak 3 4 : 4 ostatak 0 1 : 4 ostatak 1 0 kraj Prema tome = U računarstvu se često koristi i brojni sistem sa osnovom 16 koji se naziva heksadecimalni brojni sistem. Njegovih 16 cifara predstavlja se dekadnim ciframa od 0 do 9 i slovima engleskog alfabeta od A do F, tako da je: A 16 = D 16 = B 16 = E 16 = C 16 = F 16 = Tako se heksadecimalni broj A2F analizira na sledeći način: A2F 16 = A F 16 0 = = = = = Dekadni broj 77 bi se preveo u brojni sistem sa osnovom 16 na sledeći način:

6 6 POGLAVLJE 1. BROJEVI I BROJNI SISTEMI Prema tome = 4D : 16 ostatak 13 = D 16 4 : 16 ostatak 4 = kraj Primer Decimalna vrednost brojs AD65 16 je: Primer AD65 16 = = = = = = Heksadecimalna vrednost broja je: : 16 ostatak : 16 ostatak 0 58 : 16 ostatak 10 3 : 16 ostatak 3 0 kraj Prema tome = 3A Kada su u pitanju brojni sistemi kod kojih je osnova jednog stepen osnove drugog, onda je prevo - denje iz jednog u drugi brojni sistem jednostavnije. Takav je, na primer, slučaj heksadecimalnog i binarnog brojnog sistema jer je 16 = 2 4. Tada se broj iz heksadecimalnog brojnog sistema prevodi u broj u binarnom brojnom sistemu zamenom svake heksadecimalne cifre njenom binarnom vrednošću zapisanom sa 4 cifre. Na primer, A2F 16 = Broj se iz binarnog brojnog sistema prevodi u heksadecimalni brojni sistem tako što se binarne cifre grupišu u grupe od četiri cifre (ovde je četiri stepen osnove 2 koja daje drugu osnovu 16) počev od cifara manje težine ka ciframa veće težine. Na primer, {}}{ 1010 { 0010 }}{{ 1111 }}{ 2 = A2F 16 Da bismo se uverili u ispravnost ovog postupka prevedimo oba broja u dekadni brojni sistem: A2F 16 = =

7 1.3. BROJNI SISTEMI 7 = = = = = 2048 {}} { + {}}{ 32 + { }} { = Formalnije se opravdanje za ovakav postupak nalazi u sledećem: A2F 16 = A F 16 0 = = ( ) (2 4 ) 2 + ( ) (2 4 ) 1 + ( ) (2 4 ) 0 = = = = Računanje u pozicionim brojnim sistemima Osnovne računske operacije se u svim pozicionim brojnim sistemima izvode u osnovi na isti način. Na primer, da bismo sabrali dva broja, 153 i 98 u dekadnom brojnom sistemu postupili bismo na sledeći način: Postupak sabiranja počinje od cifara najmanje težine, odnosno od jedinica. Treba, dakle, sabrati cifre najmanje težine 3 i 8. Rezultat je broj 11 koji je veći od 9, najveće cifre u ovom brojnom sistemu, pa zadržavamo cifru 1 kao cifru najmanje težine rezultata a cifru 1 na poziciji desetica pamtimo kao prenos. Zatim se sabiraju cifre 5 i 9 na poziciji desetica uz dodavanje prenosa. Rezultat je broj 15 > 9 pa postupamo opet na isti način: zadržavamo cifru 5 na poziciji desetica a cifru 1 pamtimo kao prenos na poziciji stotina. Konačan rezultat je broj 251. Sabiranje u binarnom brojnom sistemu obavlja se na isti način: prenos rezultat = = = Sledeći primer binarnog sabiranja je: prenos rezultat = = = 68 10

8 8 POGLAVLJE 1. BROJEVI I BROJNI SISTEMI Sličan je slučaj i sa operacijom oduzimanja. Da bismo u dekadnom brojnom sistemu oduzeli broj 98 od broja 1053 postupili bismo na sledeći način: Oduzimanje počinje od cifara najmanje težine, odnosno od jedinica. Treba, dakle, oduzeti 8 od 3. Kako to nije moguće pozajmljuje se jedna destica a na mestu desetica u umenjeniku ostaje cifra 4. Oduzima se na mestu jedinica 8 od 13, pa je cifra jedinica rezultata 5. Prelazi se na oduzimanje cifara desetica, cifra 9 oduzima se od cifre 4. Kako to nije moguće pozajmljuje se jedna stotina, a kako ni to nije moguće jer je cifra stotina 0, pozajmljuje se jedna hiljada. Kao rezultat ove operacije, na cifri hiljada u umenjeniku pojavljuje se nula, na cifri stotina 10, a posle pozajmice 9. Na mestu desetica oduzima se 9 od 14, pa je cifra desetica rezultata 5. Kako u umanjiocu nema više cifara, konačan rezultat je 955. Oduzimanje u binarnom brojnom sistemu obavlja se na isti način: pozajmica rezultat = = = Sledeći primer binarnog oduzimanja je: pozajmica rezultat = = = U dekadnom pozicionom brojnom sistemu u svim brojevima deljivim sa 10 cifra najmanje težine je 0. Zašto je to tako može se ilustrovati na primeru broja 540. Taj broj se može analizirati na sledeći način: 540 = = = 10 (5 10+4), a to znači da je broj 540 u kome je cifra jedinica 0 deljiv sa 10. Slično se može ilustrovati da su u brojevima koji su deljivi sa 100 = 10 2 i cifre jedinica i cifre desetica 0. Isto važi i u opštem slučaju. U broju koji je deljiv osnovom brojnog sistema cifra najmanje težine je 0, a u broju koji je deljiv m-tim stepenom osnove brojnog sistema m cifara najmanje težine u tom broju su 0. Tako je u binarnom brojnom sistemu svaki broj deljiv osnovom 2 cifra najmanje težine 0. Na primer, broj može se analizirati na sledeći način: = = 2 ( ), a to znači da je broj deljiv sa 2. Ako taj broj pretvorimo u dekadni brojni sistem = još jednom ćemo se uveriti u to.

9 1.4. ZADACI 9 Primer Binarni broj deljiv je sa 8, što se može pokazati na sledeći način: = = = = = 2 3 ( ) = = 8 ( ) = 8 13 = 104 Da bi se u dekadnom pozicionom brojnom sistemu broj pomnožio sa 10 treba na zapis broja dopisati 0, što znači da cifra jedinica postaje 0, prethodna cifra jedinica postaje cifra desetica, prethodna cifra desetica postaje cifra stotina, i tako redom. Zašto je to tako može se ilustrovati na primeru množenja broja 53 brojem 10. Analiza proizvoda daje sledeće ( ) 10 = = = 530, a to znači da je na zapis broja 53 dopisana cifra 0. Isto važi i u opštem slučaju. Množenje broja osnovom pozicionog brojnog sistema svodi se na dopisivanje 0 na zapis broja, a množenje broja m-tim stepenom osnove svodi se na dopisivanje m nula na zapis broja. Na primer, množenje binarnog broja osnovom 2 može se analizirati na sledeći način: ( ) 2 = = = Oba broja = 11 i = 22 prevedena u dekadni brojni sistem pokazuju se da je prvi polovina drugog. Slično važi i za operaciju deljenja. Deljenje broja osnovom pozicionog brojnog sistema svodi se na otpisivanje poslednje cifre (cifre najmanje težine) iz zapisa broja, a deljenje broja m-tim stepenom osnove svodi se na otpisivanje m cifara najmanje težine iz zapisa broja. Na primer, deljenje binarnog broja stepenom osnove 2 2 može se analizirati na sledeći način: ( ) : 2 2 = ( )+( ) : 2 2 = : 2 2, a to znači da je celobrojni deo količnika dok je ostatak pri deljenju Deljenik = 27, delilac 2 2 = 4, celobrojni deo količnika = 6 i ostatak pri deljenju 11 2 = 3 pretvoreni u dekadni brojni sistem još jednom potvrduju - ispravnost ovog postupka. 1.4 Zadaci Primer jednog testa 1. a) Rimski broj MMDXLIX pretvoriti u dekadni brojni sistem. b) Broj 2794 pretvoriti iz dekadnog brojnog sistema u rimski broj.

10 10 POGLAVLJE 1. BROJEVI I BROJNI SISTEMI 2. a) Koja je najveća cifra u pozicionom brojnom sistemu sa osnovom 7? b) Koje su vrednosti cifara u broju 123 7? c) Koja je dekadna vrednost broja 123 7? 3. Broj predstaviti u brojnom sistemu sa osnovom a) Odrediti u binarnom brojnom sistemu tri broja koja neposredno prethode broju b) Odrediti u heksadekadnom brojnom sistemu tri broja koja neposredno slede iza broja 2AF E a) Binarno sabrati brojeve i b) Rezultat dobijen pod a) pretvoriti u heksadekadni brojni sistem, ne pretvarajući u dekadni sistem Rešenja zadataka 1. a) MMDXLIX 2549 b) 2794 MMDCCXCIV 2. a) 6 b) Cifra 3 ima vrednost 3, cifra 2 ima vrednost 2 7 = 14, cifra 1 ima vrednost = 49 c) = = Vrednost broja u brojnom sistemu sa osnovom 5 je: Prema tome = : 5 ostatak : 5 ostatak 4 77 : 5 ostatak 2 15 : 5 ostatak 0 3 : 5 ostatak 3 0 kraj 4. a) Ta tri broja su: , , b) Ta tri broja su: 2AF F 16, 2B00 16, 2B a) Zbir brojeva i je b) { 1010 }}{ 1010 {}}{{ 0001 }}{ 2 = AA1 16.

11 1.4. ZADACI Zadaci za vežbu 1. Broj pretvoriti u: a) brojni sistem s osnovom 2; b) brojni sistem s osnovom 16; c) brojni sistem s osnovom Pretvoriti u brojni sistem s osnovom 10: a) broj u binarnom brojnom sistemu; b) broj B3F D u heksadecimalnom brojnom sistemu; c) broj u sistemu s osnovom Pretvoriti u binarni brojni sistem (ne pretvarajući u dekadni brojni sistem): a) broj ; b) broj B3F D u heksadecimalnom brojnom sistemu; c) broj Pretvoriti u heksadekadni brojni sistem (ne pretvarajući u dekadni brojni sistem): a) broj ; b) broj ; 5. Ne pretvarajući u dekadni brojni sistem, odrediti za broj : a) tri sledeća broja; b) tri prethodna broj. 6. Ne pretvarajući u dekadni brojni sistem, odrediti za broj C0F D 16 : a) tri sledeća broja; b) tri prethodna broj. 7. Ne pretvarajući u dekadni brojni sistem, sabrati brojeve: a) i ; b) i ;

12 12 POGLAVLJE 1. BROJEVI I BROJNI SISTEMI c) AB3F 16 i 1D Ne pretvarajući u dekadni brojni sistem, oduzeti: a) od ; b) od ; c) F 9 16 od 1D Ne pretvarajući u dekadni brojni sistem, odrediti koji od navedenih brojeva su deljivi sa 2, koji sa 4 a koji sa 8: a) b) c) d) Ne pretvarajući u dekadni brojni sistem, odrediti količnik i ostatak pri deljenju sa 2, 4 i 8 brojeva: a) b) c)

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Binarno kodirani dekadni brojevi

Binarno kodirani dekadni brojevi Binarno kodirani dekadni brojevi Koriste se radi tačnog zapisa mešovitih brojeva u računarskom sistemu. Princip zapisa je da se svaka dekadna cifra kodira odredjenim binarnim zapisom. Za uspešno kodiranje

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1. 09.0200 Prvi razred A kategorija Ako je n prirodan broj, dokazati da 3n 2 + 3n + 7 nije kub nijednog prirodnog broja. U trouglu ABC je ABC = 60. Neka su D i E redom preseqne taqke simetrala uglova CAB

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA

MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA 1 Merenje Svaki eksperimentalni rad u fizici praćen je merenjem neke fizičke veličine. Izmeriti neku fizičku veličinu znači uporediti je sa standardnom

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Norme vektora i matrica

Norme vektora i matrica 2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015.

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Matematika Viša razina Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Autor: Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Naslov: Matematika Viša razina Izdanje: 4. izdanje Urednica: Ana Belin,

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD Predmet: Mašinski elementi Proraþun vratila strana 1 Dimenzionisati vratilo elektromotora sledecih karakteristika: ominalna snaga P 3kW Broj obrtaja n 14 min 1 Shema opterecenja: Faktor neravnomernosti

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Tačno merenje Precizno Tačno i precizno

Tačno merenje Precizno Tačno i precizno MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA Izmeriti neku veličinu u fizici znači naći brojni odnos merene fizičke veličine prema vrednosti iste fizičke veličine, koja je dogovorno izabrana za jedinicu.

Διαβάστε περισσότερα

Matrica se definiše kao niz brojeva (ili algebarskih simbola) smještenih u redove i kolone.

Matrica se definiše kao niz brojeva (ili algebarskih simbola) smještenih u redove i kolone. Matrice Uvod u matrice i vektore Pretpostavite da ste odgovorni za iznajmljivanje automobila zaposlenicima svoje firme Sedmični najmovi za različite veličine automobila su: kompaktni 9KM, srednji 60KM,

Διαβάστε περισσότερα

KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ

KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA / VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ SADRŽAJ. SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. NESTACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. STACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. skripta. Januar 2013.

Linearna algebra. skripta. Januar 2013. Linearna algebra skripta Januar 3 Reč autora Ovaj tekst je nastao od materijala sa kursa Linearna algebra i analitička geometrija za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta

Διαβάστε περισσότερα

Polinomske jednaqine

Polinomske jednaqine Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava, xk.g. 2005/06. Polinomske jednaqine 13.6.2006. Naslov se odnosi na određivanje polinoma po jednoj ili vixe promenljivih (sa npr. realnim ili kompleksnim

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Prirodoslovno matematički fakultet Matematički odjel

Prirodoslovno matematički fakultet Matematički odjel Prirodoslovno matematički fakultet Matematički odjel Zagreb, 31.01.006. Petra Deković Terezija Guzmić Danijel Kolarić Petra Korenić Nina Mikolaj Marin Žuvela Ovom nastavnom cjelinom uvode se u petom razredu

Διαβάστε περισσότερα

GRAFOVI. Ljubo Nedović. 21. februar Osnovni pojmovi 2. 2 Bipartitni grafovi 8. 3 Stabla 9. 4 Binarna stabla Planarni grafovi 12

GRAFOVI. Ljubo Nedović. 21. februar Osnovni pojmovi 2. 2 Bipartitni grafovi 8. 3 Stabla 9. 4 Binarna stabla Planarni grafovi 12 GRAFOVI Ljubo Nedović 21. februar 2013 Sadržaj 1 Osnovni pojmovi 2 2 Bipartitni grafovi 8 3 Stabla 9 4 Binarna stabla 11 5 Planarni grafovi 12 6 Zadaci 13 1 2 1 Osnovni pojmovi Iz Vikipedije, slobodne

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE Nada Miličić Miloš Miličić ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE II deo II izdanje Akademska misao Beograd, 2011 Dr Nada Miličić, redovni profesor Dr Miloš Miličić, redovni profesor ELEMENTI VIŠE MATEMATIKE II DEO

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 1. U kojim od spojeva ispod je iznos pada napona na otporniku R=100 Ω približno 0V?

Zadatak 1. U kojim od spojeva ispod je iznos pada napona na otporniku R=100 Ω približno 0V? Zadatak 1. U kojim od spojeva ispod je iznos pada napona na otporniku R=100 Ω približno 0V? a) b) c) d) e) Odgovor: a), c), d) Objašnjenje: [1] Ohmov zakon: U R =I R; ako je U R 0 (za neki realni, ne ekstremno

Διαβάστε περισσότερα

Program za tablično računanje Microsoft Excel

Program za tablično računanje Microsoft Excel Program za tablično računanje Microsoft Excel Teme Formule i funkcije Zbrajanje Oduzimanje Množenje Dijeljenje Izračun najveće vrijednosti Izračun najmanje vrijednosti 2 Formule i funkcije Naravno da je

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L UPUTSTVO ZA UPOTREBU. 1 Prskalica je pogodna za rasprsivanje materija kao sto su : insekticidi, fungicidi i sredstva za tretiranje semena. Prskalica je namenjena za kućnu upotrebu,

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

ISKAZI. U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obično se sreću rečenice koje su ili tačne

ISKAZI. U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obično se sreću rečenice koje su ili tačne ISKAZI U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obično se sreću rečenice koje su ili tačne ili netačne, tj rečenice koje imaju logičkog smisla.ovakve rečenice se u matematici nazivaju iskazi.dakle,

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

Standardne digitalne komponente (moduli)

Standardne digitalne komponente (moduli) Sabirači/oduzimači, množači, Aritmetički komparatori, ALU Vanr.prof.dr.Lejla Banjanović- Mehmedović Standardne digitalne komponente (moduli) Složeni digitalni sistemi razlaganje funkcije na podfunkcije

Διαβάστε περισσότερα

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe,

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, O SKUPOVIM Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, skupine, mnoštva neke vrste objekata, stvari, živih bića i dr. Tako imamo skup stanovnika nekog grada, skup

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Otvorene mreže. Zadatak 1

Otvorene mreže. Zadatak 1 Otvorene mreže Zadatak Na slici je data otvorena mreža u kojoj je rocesor centralni server. Prosečan intenzitet ulaznog toka rocesa u sistem iznosi X rocesa/sec. Posle rocesorske obrade, roces u % slučajeva

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Prirodni i cijeli brojevi

1.1. Prirodni i cijeli brojevi BROJEVI Upitate li nekoga, kome matematika i nije osobito bliska, c ime se matematic ari bave, moz ete oc ekivati odgovor: brojevima! I premda bas i nije toc an, odgovor nije neobic an. Jer, prva iskustva

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Pregled pojmova veličina i njihovih jedinica koje se koriste pri osnovnim izračunavanjima u hemiji dat je u Tabeli 1. Tabela 1. Veličine i njihove jedinice

Διαβάστε περισσότερα

5. Upi{i brojeve 14, 15, 16, 17, 18 i 19 u krugove, ali tako da zbirovi na svakoj od stranica zami{qenog trougla budu me usobno

5. Upi{i brojeve 14, 15, 16, 17, 18 i 19 u krugove, ali tako da zbirovi na svakoj od stranica zami{qenog trougla budu me usobno Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije DRU[TVO MATEMATI^ARA SRBIJE OP[TINSKO TAKMI^EWE IZ MATEMATIKE U^ENIKA OSNOVNIH [KOLA 15.03.2008. III RAZRED 1. Izra~unaj: a) 52 10 + 12, b) 7 8 + 124, v)

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

4.4.1 Zbrajanje i oduzimanje u binarnom sustavu Zbrajanje i oduzimanje u heksadecimalnom sustavu

4.4.1 Zbrajanje i oduzimanje u binarnom sustavu Zbrajanje i oduzimanje u heksadecimalnom sustavu Sadržaj 1 Uvod 5 2 Povijesni razvoj računalnih sustava 7 2.1 Prva računalna pomagala................ 7 2.2 Mehanička računalna................... 8 2.3 Moderna računala..................... 11 2.4 Komercijalna

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

Projektovanje informacionih sistema 39

Projektovanje informacionih sistema 39 Projektovanje informacionih sistema 39 Glava 3 3.0 Osnove relacione algebre - uvod Za manipulisanje podacima i tabelama u relacionim bazama podataka potrebna su osnovna znanja iz relacione algebre. Relaciona

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu I Definisanje frekventnih karakteristika Dinamički modeli sistema se definišu u vremenskom, Laplace-ovom

Διαβάστε περισσότερα

Devizno tržište. Mart 2010 Ekonomski fakultet, Beograd Irena Janković

Devizno tržište. Mart 2010 Ekonomski fakultet, Beograd Irena Janković Devizno tržište Devizni urs i devizno tržište Devizni urs - cena jedne valute izražena u drugoj valuti Promene deviznog ursa utiču na vrednost ative i pasive oje su izražene u stranoj valuti Devizni urs

Διαβάστε περισσότερα

Gradimir V. Milovanović MATEMATIČKA ANALIZA I

Gradimir V. Milovanović MATEMATIČKA ANALIZA I Gradimir V. Milovanović Radosav Ž. D ord ević MATEMATIČKA ANALIZA I Predgovor Ova knjiga predstavlja udžbenik iz predmeta Matematička analiza I koji se, počev od školske 2004/2005. godine, studentima Elektronskog

Διαβάστε περισσότερα

Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija

Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija Erna Oklapi Gimnazija Novi Pazar ernaoklapii@yahoo.com Sanela Numanović Gimnazija Kruševac sanelanumanovic@yahoo.com Rezime U ovom radu predstavljen

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija Društvo matematičara Srbije Pripreme za Juiorske olimpijade školske 007/008 -Dord e Baralić Tel:063/706-706-6 e-mail:djolebar@ptt.yu Matematička idukcija Primer 1. Dokazati da je > za sve N. Ituitivo zamo

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

Diskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić

Diskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić Diskretna matematika Prof. dr Olivera Nikolić onikolic@singidunum.ac.rs 1 OSNOVNI POJMOVI MATEMATIČKE LOGIKE 2 1. Diskretna matematika 2. Kontinualna matematika 3 Pojam diskretne matematike Diskretna matematika

Διαβάστε περισσότερα

MALA NOVOGRČKA GRAMATIKA

MALA NOVOGRČKA GRAMATIKA MALA NOVOGRČKA GRAMATIKA I II ARISTOTELOV UNIVERZITET U TESALONIKI INSTITUT ZA NOVOGRČKE STUDIJE Fondacija Manolisa Trijandafilidisa Manolis A. Trijandafilidis MALA NOVOGRČKA GRAMATIKA Preveo i priredio

Διαβάστε περισσότερα

Dr. Miljenko Crnjac, Mr. Dragan Jukić, Dr. Rudolf Scitovski MATEMATIKA. Osijek, 1994.

Dr. Miljenko Crnjac, Mr. Dragan Jukić, Dr. Rudolf Scitovski MATEMATIKA. Osijek, 1994. Dr. Miljenko Crnjac, Mr. Dragan Jukić, Dr. Rudolf Scitovski MATEMATIKA Osijek, 994. M. Crnjac, D. Jukić, R. Scitovski Matematika Udžbenik U-6 Recenzenti: Prof.dr.sc. Hrvoje Kraljević Prof.dr.sc. Harry

Διαβάστε περισσότερα

LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE

LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE 0 4 0 1 Lanci za vešanje tereta prema standardu MSZ EN 818-2 Lanci su izuzetno pogodni za obavljanje zahtevnih operacija prenošenja tereta. Opseg radne temperature se kreće

Διαβάστε περισσότερα

EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE

EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE **** MLADEN SRAGA **** 0. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE α LOGARITMI Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: Mladen Sraga

Διαβάστε περισσότερα

Programiranje I. Smer Informatika Matematički fakultet, Beograd. Jelena Tomašević, Sana Stojanović November 16, 2005

Programiranje I. Smer Informatika Matematički fakultet, Beograd. Jelena Tomašević, Sana Stojanović November 16, 2005 Programiranje I Beleške sa vežbi Smer Informatika Matematički fakultet, Beograd Jelena Tomašević, Sana Stojanović November 16, 2005 1 1 Specifikacija sintakse programskih jezika, meta jezici Za opis programskih

Διαβάστε περισσότερα

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače 00. 4. razred-rješenja. 00 + 00 + 00 3 + 00 4 + 00 = 00 ( + + 3 + 4 + ) = 00 = 300... UKUPNO 4 BODA. 96 8 : 4 + 0 ( 68 66 ) = 96 7 + 0 = 89 + 0 = 09...

Διαβάστε περισσότερα

Racionalni algebarski izrazi

Racionalni algebarski izrazi . Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

ZNANSTVENI KALKULATOR UPUTSTVO ZA UPOTREBU

ZNANSTVENI KALKULATOR UPUTSTVO ZA UPOTREBU ZNANSTVENI KALKULATOR UPUTSTVO ZA UPOTREBU TIPKOVNICA HR-1 FAST ČR a. s. i UPRAVLJAČKE TIPKE 1 Tipka za isključenje Pritiskom ove tipke, kalkulator se isključuje. Funkcija automatskog isključenja (A.

Διαβάστε περισσότερα

Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike

Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike Tijekom ocjenjivanja nacionalnih ispita i ispita državne mature, neovisno o razini, uvidjeli smo neke probleme pri rješavanju zadataka. Ovdje želimo navesti

Διαβάστε περισσότερα

SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi

SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I Skupovi, funkcije, brojevi mr.sc. TATJANA STANIN 009. Kratak pregled predavanja koja se izvode na učiteljskom

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu

Διαβάστε περισσότερα