- PDF ΔΩΡΕΑΝ Λήψη

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download ""

Ἡρώδης Αντωνοπούλου
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Παραγώγιση συναρτήσεων με το πρόγραμμα Maxima ΜΗ ΕΙΝΑΙ ΒΑΣΙΛΙΚΗΝ ΑΤΡΑΠΟΝ ΕΠΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΝ Αθανάσιος Σταυρακούδης 14 Νοεμβρίου / 27

2 Συνέχεια συνάρτησης f (x) f (x) = log(x 2) + 2 f (x) = x/2 f (x) = sin 2 x x 2 / 27

3 Συνέχεια συνάρτησης Ορισμός Μια συνάρτηση f (x) που ορίζεται σε ένα ανοιχτό διάστημα στο οποίο ανήκει το σημείο x = a είναι συνεχής σε αυτό το σημείο, αν για οποιοδήποτε ɛ > 0 υπάρχει κάποιο δ > 0 έτσι ώστε να ισχύει f (x) f (a) < ɛ, οπότε x a < δ 3 / 27

4 Παράγωγος συνάρτησης Παραγωγίσιμη συνάρτηση Μια συνάρτηση f (x) που ορίζεται στο ανοιχτό διάστημα (α, β) R στο οποίο ανήκει το σημείο x = a είναι παραγωγίσιμη σε αυτό το σημείο, αν το παρακάτω όριο υπάρχει και είναι πεπαρασμένος αριθμός: όπου h = x a f (a + h) f (a) lim x a h Ισχύει f (a + h) f (a) f (x) f (a) lim = lim x a h h 0 h 4 / 27

5 Παράγωγος ως κλίση εφαπτομένης Κλίση ευθείας: y x 5 35 = 6 ( 4) = = 4 5 / 27

6 Παραγώγιση συναρτήσεων με το Maxima 6 / 27

7 Παραγώγιση περισσότερο πολύπλοκων συναρτήσεων 7 / 27

8 Παράγωγοι μεγαλύτερης τάξης d 2 d x 2 x 3 = 6 x d 2 cos x = cos x d x 2 d 3 d x 3 ( x e x ) = 3 e x x e x d 4 d x 4 ( 1 ) = 24 x x 5 8 / 27

9 Παράγωγοι μεγαλύτερης τάξης 9 / 27

10 Μερικές και ολικές παράγωγοι συναρτήσεων πολλών μεταβλητών Εστω η συνάρτηση δύο μεταβλητών: Οι μερικές παράγωγοι είναι: f (x, y) = x 2 + y 2 df (x) dx = 2x και df (y) = 2y dx Ο υπολογισμός στο Maxima μπορεί να γίνει ως εξής: 1 f(x, y) := x^2 + y^2; 2 diff(f(x, y), x); 3 diff(f(x, y), y); 10 / 27

11 Μερικές και ολικές παράγωγοι συναρτήσεων πολλών μεταβλητών 11 / 27

12 Ορισμός συναρτήσεων παραγώγων f (x) = x 2 Πως μπορούμε να ορίσουμε τη συνάρτηση της παραγώγου: Εστω η συνάρτηση: g (x) = f (x) = 2 x Με χρήση του τελεστή διπλού εισαγωγικού: 1 f(x) := x^2; 2 g(x) := (diff(f(x), x)); Με χρήση της συνάρτησης define: 1 f(x) := x^2; 2 define(g(x), diff(f(x), x)); 12 / 27

13 Ορισμός συναρτήσεων παραγώγων 13 / 27

14 Εφαπτομένη σημείου y = f (x) x + f (a) a f (a) 14 / 27

15 Εφαπτομένη σημείου 1 f(x) := x^2-6*x+20; 2 g(x) := ( diff(f(x), x, 1) ); 3 a : 1; 4 g(a); 5 xy : [[a, f(a)]]; 6 h(x) := ( g(a)*x+f(a)-a*g(a) ); 7 plot2d( [f(x), h(x), [discrete, xy]], 8 [x, a-5, a+5], [ylabel, "f(x)"], 9 [style, [lines, 2, 1], [lines, 2, 2], 10 [points, 3, 5, 1]], 11 [legend, ""], 12 [gnuplot_preamble, "set grid"]); 15 / 27

16 Συνάρτηση με ένα ακρότατο f (x) = 3 x 2 12 x / 27

17 Υπολογισμός σημείου ακρότατου Η συνάρτηση: έχει ακρότατο στο σημείο όπου: το οποίο μπορεί να υπολογιστεί ως: 1 f(x) := 3*x^2-12*x +17; 2 f1(x) := (diff(f(x), x)); 3 sol : solve(f1(x)=0, x); 4 x0 : rhs(sol[1]); 5 f(x0); 6 f1(x0); f (x) = 3 x 2 12 x + 17 f (x) = 6 x 12 = 0 17 / 27

18 Συνάρτηση με περισσότερα από ένα ακρότατα Εστω η συνάρτηση: f (x) = x 4 4 x 3 2 x x / 27

19 Συνάρτηση με περισσότερα από ένα ακρότατα f (x) = x 4 4 x 3 2 x x Η εξίσωση της παραγώγου της: 4 x 3 12 x 2 4 x + 12 = 0 έχει τρεις ρίζες: x = 1, x = 1, x = 3 19 / 27

20 Συνάρτηση με περισσότερα από ένα ακρότατα 1 f(x) := x^4-4*x^3-2*x^2 + 12*x + 120; 2 f1(x) := (diff(f(x), x)); 3 sol : solve(f1(x)=0); 4 x1 : rhs(sol[1]); 5 x2 : rhs(sol[2]); 6 x3 : rhs(sol[3]); 7 f2(x) := (diff(f(x), x, 2)); 8 f2(x1); 9 f2(x2); 10 f2(x3); 1: ορισμός συνάρτησης 2: ορισμός πρώτης παραγώγου 3: επίλυση της εξίσωσης f (x) = : ανάθεση τιμών των ριζών σε μεταβλητές 7: ορισμός δεύτερης παραγώγου (προαιρετικά) 8 10: εξέταση αρνητικών ή θετικών τιμών, μέγιστο ή ελάχιστο; 20 / 27

21 Βελτιστοποίηση συνάρτησης δύο μεταβλητών Συνάρτηση κερδών από την πώληση δύο προϊόντων: π (x, y ) = 0.4 x y x y x + 60 y / 27

22 Βελτιστοποίηση συνάρτησης δύο μεταβλητών Το ακρότατο (αν υπάρχει) μπορεί να βρεθεί ως εξής: 1 pi : -0.4*x^2-0.1*y^2-0.08*x*y + 120*x + 60*y - 400; 2 pi1x : (diff(pi, x)); 3 pi1y : (diff(pi, y)); 4 crit : solve([pi1x=0, pi1y=0], [x, y]); 22 / 27

23 Βελτιστοποίηση συνάρτησης δύο μεταβλητών π (x, y) = 0.4 x y x y x + 60 y 400 Η μερική παράγωγος ως προς x είναι: π x Η μερική παράγωγος ως προς y είναι: π y = 0.8 x 0.08 y = 0.08 x 0.2 y + 60 Επίλυση του συστήματος 0.8 x 0.08 y = x 0.2 y + 60 = 0 23 / 27

24 Εσσιανή μήτρα H(f ) = 2 f x f x 2 x 1. 2 f x n x 1 2 f x 1 x 2 2 f 2 f x 2 2. x 1 x n 2 f x 2 x n f x n x 2 2 f xn 2 Η εσσιανή μήτρα (Hess matrix) είναι τετραγωνική μήτρα με στοιχεία τις δεύτερης τάξης παραγώγους μιας συνάρτησης. Θετικά ορισμένη Μέγιστο Αρνητικά ορισμένη Ελάχιστο Για την περίπτωση που εξετάζουμε: H(π) = 2 π x π y x 2 π x y 2 π y 2 = [ 0.8 ] / 27

25 Καθολική βελτιστοποίηση Πολυσύνθετο πρόβλημα. Περισσότερες από 5000 επιστημονικές εργασίες το χρόνο. Εξειδικευμένα περιοδικά και συνέδρια. Βασικό πρόβλημα σε όλες τις επιστήμες, και στα Οικονομικά. Πολυάριθμες υπολογιστές μέθοδοι προσέγγισης. gr/stavrakoudis/?menu=psoe 25 / 27

Καθολική βελτιστοποίηση Πολυσύνθετο πρόβλημα. Περισσότερες από 5000 επιστημονικές εργασίες το χρόνο. Εξειδικευμένα περιοδικά και συνέδρια. Βασικό πρόβλημα σε όλες τις επιστήμες, και στα Οικονομικά.

26 Καθολική βελτιστοποίηση Πολυσύνθετο πρόβλημα. Περισσότερες από 5000 επιστημονικές εργασίες το χρόνο. Εξειδικευμένα περιοδικά και συνέδρια. Βασικό πρόβλημα σε όλες τις επιστήμες, και στα Οικονομικά. Πολυάριθμες υπολογιστές μέθοδοι προσέγγισης. gr/stavrakoudis/?menu=psoe Αν κάποιος πλανόδιος πωλητής πρέπει να επισκεφτεί όλες τις πρωτεύουσες των νομών της Πελοποννήσου, ποια είναι η συντομότερη διαδρομή που πρέπει να επιλέξει; 26 / 27

27 Σχόλια και ερωτήσεις Σας ευχαριστώ για την προσοχή σας Είμαι στη διάθεσή σας για σχόλια, απορίες και ερωτήσεις 27 / 27

Σχετικά έγγραφα

Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές I

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές I Παραγώγιση και ολοκλήρωση συναρτήσεων με το Maxima Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Αθανάσιος Σταυρακούδης Άδειες Χρήσης Το παρόν