Αποκατάσταση Εικόνας

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αποκατάσταση Εικόνας"

Transcript

1 ΤΨΣ 50 Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Αποκατάσταση Εικόνας Τµήµα ιδακτικής της Τεχνολογίας και Ψηφιακών Συστηµάτων Πανεπιστήµιο Πειραιώς Περιεχόµενα Βιβλιογραφία Περιεχόµενα Ενότητας Ορισµός & Παραδείγµατα Μοντέλο Υποβάθµισης Ποιότητας Αντίστροφο Φιλτράρισµα Φίλτρα Wiener Αποκατάσταση µε βάση τα Ελάχιστα Τετράγωνα Τυφλή Αποσυνέλιξη Γεωµετρικοί Μετασχηµατισµοί Βιβλιογραφία: Πήτας [999]: Κεφάλαιο 8 Gonzales [00]: Capter 5 Gonzales [004]: Capter 5

2 Ορισµός & Παραδείγµατα Η βελτίωση ποιότητας εικόνας και η αποκατάσταση εικόνας είναι συγγενικές περιοχές Οι βασικές τους διαφορές είναι: Στη βελτίωση ποιότητας εικόνας τα κριτήρια επιτυχούς βελτίωσης είναι καθαρά υποκειµενικά στοχεύουν στη δηµιουργία εικόνων οι οποίες είναι περισσότερο αρεστές στους ανθρώπους Στην αποκατάσταση εικόνας τα κριτήρια βελτίωσης είναι περισσότερο µαθηµατικοποιηµένα και εποµένως αντικειµενικά Στην αποκατάσταση εικόνας θεωρείται ότι έχουµε µια πρότερη γνώση για το φαινόµενο της υποβάθµισης της εικόνας κάτι το οποίο δεν ισχύει στη βελτίωση ποιότητας Παραδείγµατα χρήσης αποκατάστασης εικόνων: Αντιµετώπιση θολώµατος blur) εικόνων Ηµιτονοειδής θόρυβος σε ακτινογραφίες φαινόµενο Moire) Υποβάθµιση ποιότητας λόγω των χαρακτηριστικών των film Μοντέλο Υποβάθµισης Ποιότητας Εικόνας Το µοντέλο υποβάθµισης εικόνων αλλά και της αποκατάστασης εικόνας επιδεικνύεται στο παραπάνω σχήµα Η αρχική εικόνα fxy) υποβαθµίζεται εξαιτίας της επίδρασης µιας διεργασίας υποβάθµισης Η[fxy)]) η οποία µοντελοποιείται µέσω µιας συνάρτησης υποβάθµισης xy) Η σηµασία της ορθής µοντελοποίησης είναι τεράστια στην αποκατάσταση εικόνας Εκτός της διεργασίας υποβάθµισης στην εικόνα επενεργεί και αθροιστικός θόρυβος nxy)

3 Μοντέλο Υποβάθµισης Ποιότητας Εικόνας ΙΙ) Η διαδικασία της αποκατάστασης αφορά την εύρεση µιας σχετικά καλής εκτίµησης f ˆ x y) της εικόνας fxy) µε: εδοµένη την υποβαθµισµένη εικόνα gxy) ιαθέσιµη τη µοντελοποίηση της διεργασίας υποβάθµισης µέσω µιας συνάρτησης xy) ιαθέσιµα κάποια στατιστικά χαρακτηριστικά του θορύβου nxy) όπως µέση τιµή και διασπορά Στόχος είναι η ελαχιστοποίηση της διαφοράς ανάµεσα στην και την fxy) f ˆ x y) Μοντέλο Υποβάθµισης Ποιότητας Εικόνας ΙΙΙ) Στις ειδικές περιπτώσεις στις οποίες είναι εφικτή η µοντελοποίηση της διεργασίας υποβάθµισης µέσω µιας Γραµµικής Χωρικά Αναλλοίωτης συνάρτησης xy) η διαδικασία υποβάθµισης περιγράφεται από τη σχέση: gxy) = xy)*fxy)+nxy) όπου * δηλώνει τη διαδικασία της συνέλιξης Από τις ιδιότητες του Μετασχηµατισµού Fourier η παραπάνω σχέση στο χώρο της συχνότητας έχει τη µορφή: Gu = u Fu+Nu 3

4 Μοντέλο Υποβάθµισης Ποιότητας Εικόνας ΙV) Η σχέση Gu = u Fu+Nu αποτελεί τη βάση για τη υλοποίηση των περισσότερων από τις µεθοδολογίες αποκατάστασης εικόνας Η συνάρτηση xy) είναι γνωστή και ως Point Spread Function PSF) ενώ ο µετασχηµατισµός Fourier της συνάρτησης u ονοµάζεται συχνά Optical Transfer Function OTF) Εξαιτίας της περιγραφής της διαδικασίας υποβάθµισης µέσω µιας συνελικτικής διαδικασίας η αποκατάσταση ονοµάζεται συχνά και αποσυνέλιξη Γραµµικά Χωρικά Αναλλοίωτα Συστήµατα Ένα σύστηµα είναι γραµµικό όταν: Η[k f xy)+ k f xy)] = k Η[f xy)]+ k [f xy)] Η παραπάνω σχέση δηλώνει ότι η απόκριση ενός γραµµικού συστήµατος στο άθροισµα δύο εισόδων ισούται µε το άθροισµα των αποκρίσεων στις επιµέρους εισόδους Επίσης η απόκριση στο πολλαπλάσιο µε µια σταθερά) µιας εισόδου ισούται µε την απόκριση στην είσοδο πολλαπλασιασµένο µε µια σταθερά Ένα σύστηµα είναι χωρικά αναλλοίωτο όταν: Η[fx-ay-b)] = gx-ay-a) όπου gxy) είναι η απόκριση του συστήµατος) Η παραπάνω σχέση δηλώνει ότι η απόκριση του συστήµατος περιγράφεται από την ίδια σχέση σε όλα τα σηµεία pixel) της εισόδου 4

5 Αποκατάσταση στη παρουσία θορύβου µόνο Μια ειδική περίπτωση υποβάθµισης ποιότητας έχουµε όταν υπάρχει µόνο επίδραση θορύβου και όχι διεργασία υποβάθµισης Στη περίπτωση αυτή η σχέση υποβάθµισης διαµορφώνεται ως: gxy) = fxy) + nxy) και στο χώρο της συχνότητας Gu = Fu+Nu Στις παραπάνω περιπτώσεις η διαδικασία αποκατάστασης εφαρµόζεται µε βάση τα στατιστικά χαρακτηριστικά του θορύβου και συγκεκριµένα την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας probability density function pdf) του θορύβου Υπάρχουν πολλές µοντελοποιήσεις θορύβων που βοηθούν στην αποκατάσταση εικόνας θόρυβος Gauss Rayleig gamma οµοιόµορφος κλπ) Προσθήκη θορύβου σε µια εικόνα και διάφορα µοντέλα θορύβου υλοποιούνται στη Matlab µε τη συνάρτηση imnoise Μοντελοποίηση Θορύβου Μερικές από τις συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας θορύβου φαίνονται στο διπλανό σχήµα Με διαθέσιµες τις συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας του θορύβου µπορούν εύκολα να εκτιµηθούν τα στατιστικά χαρακτηριστικά του θορύβου όπως µέση τιµή και διασπορά) τα οποία χρειάζονται για την αποκατάσταση εικόνας 5

6 Υποβάθµιση εικόνας και είδη θορύβου Θόρυβος Gauss => µοντελοποίηση αισθητήρων καταγραφής οι οποίοι λειτουργούν σε χαµηλά επίπεδα φωτισµού Θόρυβος salt & pepper => µοντελοποίηση κακής λειτουργίας διαφράγµατος συσκευών απεικόνισης Θόρυβος lognormal => µοντελοποίηση της συµπεριφοράς φωτογραφικού film Εκθετικός θόρυβος και θόρυβος gamma => µοντελοποίηση θορύβου καταγραφής εικόνας µε ακτίνες laser Εκτίµηση παραµέτρων θορύβου Ένας τρόπος εκτίµησης της πυκνότητας πιθανότητας του θορύβου σε µια εικόνα επιτυγχάνεται µε την λήψη ιστογραµµάτων σε οµοιόµορφες περιοχές της εικόνας εδοµένου ότι οι τιµές φωτεινότητας της εικόνας σε αυτές τις περιοχές είναι σταθερές οποιαδήποτε διακύµανση στα ιστογράµµατα οφείλεται στο θόρυβο 6

7 Εκτίµηση παραµέτρων θορύβου ΙΙ) ΦιλτράρισµαΘορύβου Το φιλτράρισµα του θορύβου µπορεί να γίνει είτε στο χώρο της εικόνας όταν υπάρχει µοντελοποίηση του θορύβου µέσω της αντίστοιχης pdf και κατά συνέπεια εκτίµηση των στατιστικών του θορύβου κυρίως της µέσης τιµής και της διασποράς) µε βάση της σχέσεις: gxy) = fxy) + nxy) αθροιστικός θόρυβος) gxy) = fxy) + nxy) fxy) πολλαπλασιαστικός θόρυβος) Είτε στο χώρο της συχνότητας κυρίως για απαλοιφή περιοδικού θορύβου µε πεπερασµένο φάσµα συχνοτήτων µε βάση τη σχέση: Gu = u+nu 7

8 ΦιλτράρισµαΘορύβου στο χώρο της εικόνας Υπάρχουν υλοποιηµένα πάρα πολλά φίλτρα για την απαλοιφή του θορύβου στο χώρο της εικόνας κατάλληλα για συγκεκριµένα είδη θορύβου Μερικά παραδείγµατα φίλτρων δίνονται στη συνέχεια: Αριθµητικού µέσου γραµµικό δηµιουργία µέσω της συνάρτησης fspecial average [mn])) Γεωµετρικού µέσου µη γραµµικό δεν υπάρχει συγκεκριµένη υλοποίηση στη Matlab) Αρµονικού µέσου µη γραµµικό δεν υπάρχει συγκεκριµένη υλοποίηση στη Matlab) Αντιαρµονικού µέσου µη γραµµικό δεν υπάρχει συγκεκριµένη υλοποίηση στη Matlab) Τάξης median min max - µη γραµµικά συναρτήσεις medfilt ordfilt) Ενδιάµεσου σηµείου µη γραµµικό δεν υπάρχει συγκεκριµένη υλοποίηση στη Matlab) ΦιλτράρισµαΘορύβου στο χώρο της συχνότητας Εφαρµόζεται σε περιπτώσεις περιοδικού θορύβου ο οποίος αναλύεται σε λίγες συχνότητες οι οποίες µπορούν να εντοπιστούν από το µετασχηµατισµό Fourier Gu της υποβαθµισµένης εικόνας gxy) Απαλοιφή θορύβου τέτοιας µορφής επιτυγχάνεται µε ζωνοφρακτικά φίλτρα και φίλτρα εγκοπής 8

9 Η συνάρτηση µεταφοράς µετασχηµατισµός Fourier) ενός ζωνοφρακτικού φίλτρου Butterwort δίνεται από τη σχέση: br u = D u W + D u D 0 ΦιλτράρισµαΕγκοπής Notc Filtering) n Η συνάρτηση µεταφοράς φίλτρου εγκοπής βλέπε διπλανό σχήµα) δίνεται από τη σχέση: br u = D 0 + D u D u n ΦιλτράρισµαΕγκοπής II) br u = D 0 + D u D u n D u και D u είναι οι αποστάσεις της συχνότητας u από τη συχνότητα που πρέπει να αποκοπεί και τη συµµετρική της υπενθυµίζεται ότι στο µετασχηµατισµό Fourier υπάρχει συµµετρία ως προς την αρχή των αξόνων) D 0 είναι η ακτίνα της εγκοπής µε κέντρο τη συχνότητα που αποκόπτεται 9

10 Αποκατάσταση µε θόρυβο & διεργασίας υποβάθµισης Στις περισσότερες περιπτώσεις η υποβάθµιση της εικόνας προέρχεται από συνδυασµό µιας διεργασίας υποβάθµισης που µπορεί να οφείλεται στο χρησιµοποιούµενο εξοπλισµό αλλά και στη παρουσία θορύβου Σε αυτές τις περιπτώσεις απαλοιφή του θορύβου µέσω της µοντελοποίησης του δεν είναι αρκετή Απαιτείται µοντελοποίηση της διεργασίας υποβάθµισης και εφαρµογή µεθόδων αποκατάστασης που την απαλείφουν ή τουλάχιστον την περιορίζουν Αποκατάσταση µε θόρυβο & διεργασίας υποβάθµισης ΙΙ) Η απαλοιφή των προβληµάτων που προκαλεί η διεργασία υποβάθµισης µπορεί να γίνει: Πειραµατισµό στις ρυθµίσεις του εξοπλισµού ώστε να περιοριστούν τα προβλήµατα αυτό στις περισσότερες περιπτώσεις δεν είναι εφικτό πχ Ακτινογραφίες ή όταν η πρόσβαση στον εξοπλισµό κοστίζει ή είναι δύσκολή) ηµιουργία µιας συνάρτησης xy) συχνά επονοµαζόµενης και ως PSF Point Spread Function) η οποία µοντελοποιεί τη διεργασία υποβάθµισης και εφαρµογή τεχνικών αποκατάστασης εικόνων image restoration) Αν η διεργασία υποβάθµισης δεν είναι γνωστή ή δεν µπορεί να µοντελοποιηθεί εύκολα τότε εφαρµόζεται µια µεθοδολογία αποκατάστασης εικόνων µε ταυτόχρονη εκτίµηση της xy) Η τεχνική αυτή είναι γνωστή και ως τυφλή αποσυνέλιξη blind deconvolution) 0

11 Μοντέλο Θολώµατος blurring function) Μια από της πιο συνηθισµένες διεργασίες υποβάθµισης της εικόνας είναι το θόλωµα blur) Το θόλωµα µπορεί να προέρχεται από δύο αιτίες: Συνθήκες λήψης της εικόνας πχ Ατµοσφαιρικές συνθήκες σε αεροφωτογράφηση ή κακή εστίαση φακού) Κίνηση είτε του αντικειµένου που απεικονίζεται είτε της κάµερας Τόσο στη µία όσο και στην άλλη περίπτωση η συνάρτηση η οποία µοντελοποιεί το θόλωµα έχει την τάση να διασκορπίζει µια φωτεινή σηµειακή πηγή όπως φαίνεται στο επόµενο σχήµα) αιτιολογώντας την ονοµασία Point Spread Function Μοντέλο Θολώµατος II) Η µοντελοποίηση της σε περιπτώσεις στατικής λήψης γίνεται µέσω ενός χαµηλοπερατού φίλτρου Gauss Βλέπε συνάρτηση fspecial gaussian size sigma) στη Matlab Η µοντελοποίηση της κίνησης µπορεί επίσης να προσοµοιαστεί µε εφαρµογή κατάλληλου φίλτρου Βλέπε συνάρτηση fspecial motion len teta) στη Matlab

12 Μοντέλο Θολώµατος IIΙ) Μοντέλο Θολώµατος IV) Στη διπλανή εικόνα το θόλωµα έχει µοντελοποιηθεί ως συνδυασµός διαγώνιας κίνησης αλλά και Γκαουσιανού φιλτραρίσµατος

13 Μοντέλο Θολώµατος V) Original Image Motion Blurred Image Blurred Image Sarpened Image Αντίστροφο Φιλτράρισµα Όταν η διεργασία υποβάθµισης µπορεί να µοντελοποιηθεί µέσω µιας συνάρτησης xy) η οποία είναι ΓΧΑ Γραµµική Χρονικά Αναλλοίωτη) τότε το µοντέλο υποβάθµισης δίνεται από τη σχέση: gxy)= xy)*fxy) + nxy) Από τις ιδιότητες του Μετασχηµατισµού Fourier προκύπτει ότι ισχύει η σχέση: Gu = u Fu+Νu Εποµένως αν γνωρίζουµε την xy) µπορούµε να σχηµατίσουµε µια εκτίµηση f ˆ x y) της fxy) από τη σχέση: f ˆ x y) = IDFT{ Fˆ u } όπου IDFT{} δηλώνει τον αντίστροφο Μετασχηµατισµό Fourier και ˆ N u F u = F u + u 3

14 Αντίστροφο Φιλτράρισµα ΙΙ) Η τεχνική του αντίστροφου φιλτραρίσµατος θα µπορούσε να είναι αποτελεσµατική αν: ˆ N u F u = F u + u εν υπήρχε θόρυβος στην υποβαθµισµένη εικόνα ή Ο µετασχηµατισµός Fourier του θορύβου Νu) ήταν γνωστός Ακόµα και στις παραπάνω περιπτώσεις όµως και επειδή ο πίνακας u περιέχει συνήθως πολλά µηδενικά ιδιαίτερα στις υψηλές συχνότητες και δεν είναι εν γένει αντιστρέψιµος η Fˆ u δεν προσεγγίζει ικανοποιητικά την Fu και εποµένως ούτε η fˆ x y) προσεγγίζει την fxy) Αντίστροφο Φιλτράρισµα III) 4

15 Φίλτρα Wiener Η αποκατάσταση µε φίλτρα Wiener προσπαθεί να απαλείψει τα µειονεκτήµατα και τα προβλήµατα της αποκατάστασης µε βάση το αντίστροφο φιλτράρισµα Για το σκοπό αυτό η εικόνα f ˆ x y) υπολογίζεται µε ελαχιστοποίηση του στατιστικού σφάλµατος: f ) e = E ˆf όπου Ε{ } δηλώνει την αναµενόµενη τιµή της ποσότητας εντός των αγκυλών Από την ελαχιστοποίηση της παραπάνω ποσότητας e = E f ˆf ) ) προκύπτει η σχέση στο πεδίο της συχνότητας: ˆ u F u = G u u Sn u u + S f u όπου: Φίλτρα Wiener ΙΙ) ˆ u F u = G u u Sn u u + S f u Ηu = µετασχηµατισµός Fourier της συνάρτησης υποβάθµισης * u = u u και Η*u ο αναστροφοσυζυγής του Ηu S f u = F u το φάσµα ισχύος της µη υποβαθµισµένης εικόνας fxy) S n u = N u το φάσµα ισχύος του θορύβου nxy) Το πρόβληµα µε τη χρήση της παραπάνω σχέσης είναι ότι στις περισσότερες περιπτώσεις δεν υπάρχει γνώση του S n u και σχεδόν ποτέ του S f u 5

16 Φίλτρα Wiener ΙΙI) Στην πράξη εφαρµόζεται η σχέση: ˆ u F u = G u u u R + όπου R είναι είτε: µια σταθερά ανάλογη της µέσης ισχύος του θορύβου προς τη µέση ισχύ της εικόνας ένας πίνακας που αντιπροσωπεύει τους λόγους ισχύος θορύβου προς εικόνα στις διάφορες συχνότητες Στη πράξη η τιµή του R υπολογίζεται µετά από διάφορες δοκιµές µια τεχνική που είναι γνωστή ως παραµετρικό φιλτράρισµα Wiener Φίλτρα Wiener ΙV) Για την υλοποίηση σε Matlab της αποκατάστασης µε βάση τα φίλτρα Wiener χρησιµοποιείται η συνάρτηση deconvwnr και αποτελεί υλοποίηση του παραµετρικού φιλτραρίσµατος Wiener 6

17 7 Φίλτρα Wiener V) Στην αποκατάσταση µε βάση τα ελάχιστα τετράγωνα η σχέση: εκφράζεται σε µορφή γινοµένου πινάκων ως: όπου τα g f n είναι διανύσµατα στήλες διάστασης MNx και έχουν προκύψει µε λεξικογραφική σάρωση των γραµµών των εικόνων πινάκων µεγέθους ΜxN) gxy) fxy) και nxy) Ο πίνακας Η έχει διαστάσεις MNxMN και έχει την παρακάτω µορφή: Αποκατάσταση µε βάση τα Ελάχιστα Τετράγωνα ) ) ) ) ) ) 0 0 y x n y i x m n f N M y x n y x f y x M i N + = + = = n f g + = = 0 3 M M M M 0 M M 0 µε = 0) 3) ) ) ) ) 0) ) ) ) ) 0) N N N N N N

18 Η εύρεση της f ˆ x y) γίνεται µε κριτήριο τη βελτιστοποίηση της οµοιοµορφίας της ελαχιστοποίηση της ποσότητα C): C = M N f x y) ) x= 0 y= 0 Αποκατάσταση µε βάση τα Ελάχιστα Τετράγωνα ΙΙ) υποκείµενης στον περιορισµό: τετράγωνα) ελάχιστα Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει η σχέση στο πεδίο της συχνότητας µετασχηµατισµοί Fourier) * ˆ u F u = u + γ P u G u g fˆ = n Αποκατάσταση µε βάση τα Ελάχιστα Τετράγωνα ΙΙI) όπου Η*u ο αναστροφοσυζυγής του Ηu γ µια παράµετρος που ρυθµίζεται έτσι ώστε να ικανοποιείται ο περιορισµός: g fˆ = n και Pu ο µετασχηµατισµός Fourier του επεκταµένου µε µηδενικά) διδιάστατου διακριτού τελεστή Laplace: 0 p x y) = Για την υλοποίηση σε Matlab της αποκατάστασης µε βάση τα ελάχιστα τετράγωνα χρησιµοποιείται η συνάρτηση deconvreg 8

19 Αποκατάσταση µε βάση τα Ελάχιστα Τετράγωνα ΙV) Για την επιτυχή αποκατάσταση της εικόνας µε βάση τα ελάχιστα τετράγωνα είναι κρίσιµα να υπάρχει γνώση της ισχύος του θορύβου που έχει επιδράσει στην εικόνα ποσότητα n = T n n) διότι βάσει αυτής ρυθµίζεται η παράµετρος γ Στο επόµενο σχήµα επιδεικνύεται η σηµασία της χρήσης µιας σχετικά σωστής εκτίµησης για την ισχύ του θορύβου που έχει επιδράσει στην εικόνα Τυφλή Αποσυνέλιξη Σε πολλές περιπτώσεις η γνώση της διαδικασίας υποβάθµισης της εικόνας δεν είναι γνωστή ή δεν είναι εύκολο να προσοµοιωθεί µε κάποια συνάρτηση Στις περιπτώσεις αυτές εφαρµόζεται µια επαναληπτική διαδικασία αποκατάστασης της εικόνας στην οποία σε κάθε επανάληψη έχουµε µια νέα εκτίµηση της xy) µε βάση την αρχή βελτιστοποίησης της µέγιστης πιθανοφάνειας maximum likeliood estimation) Παρόλο που στις παραπάνω περιπτώσεις δεν υπάρχει άλλη επιλογή για την αποκατάσταση της εικόνας µε βάση κάποια αντικειµενικά κριτήρια η τυφλή αποσυνέλιξη παρουσιάζει και µειονεκτήµατα: εν είναι εύκολο να γνωρίζεις πότε η επαναληπτική διαδικασία πρέπει να σταµατήσει Σχετικά χρονοβόρα µεθοδολογία λόγω των πολλών επαναλήψεων που µπορεί να χρειαστούν για να επιτευχθεί το επιθυµητό αποτέλεσµα 9

20 Τυφλή Αποσυνέλιξη ΙΙ) A = Blurred and Noisy True PSF Εφαρµογή της συνάρτησης deconvblind Deblured Image Recovered PSF Βασικές Γεωµετρικές Λειτουργίες Εικόνας Οι γεωµετρικές λειτουργίες εικόνας είναι αντίθετες των λειτουργιών σηµείου: αλλάζουν την τοποθεσία των pixel αλλά όχι την τιµή τους Μια γεωµετρική λειτουργία γενικά χρειάζεται δυο βήµατα: Μια ταύτιση χώρου των συντεταγµένων της εικόνας µας δίνει µια νέα συνάρτηση εικόνας J: Ji ) = Ii ) = I[ai ) bi )] Οι συντεταγµένες ai ) and bi ) δεν είναι γενικά ή συνήθως ακέραιοι! Για παράδειγµα: ai ) = i/35 bi ) = /45 Τότε Ji ) = Ii/35 /45) το οποίο έχει απροσδιόριστες συντεταγµένες! Έτσι συνεπάγεται η ανάγκη δεύτερης λειτουργίας: Μετατρέπουµε τις µη-ακεραίες συντεταγµένες ai ) και bi ) σε ακέραιες τιµές έτσι ώστε το J να µπορεί να παραστεί σε µορφή σειρών-στηλών πίνακα) 0

21 Παρεµβολή Πλησιέστερου Γείτονα Με απλή σκέψη: Οι γεωµετρικά µετασχηµατισµένες συντεταγµένες ταυτίζονται στις πλησιέστερες ακέραιες συντεταγµένες: Ji ) = I{INT[ai )+05] INT[bi )+05]} Σοβαρό µειονέκτηµα: Ξαφνικές αλλαγές της φωτεινότητας έχουν σαν αποτέλεσµα τις σπασµένές ακµές Για κάποια συντεταγµένη i ) είτε INT[ai )+05] < 0 ή INT[bi )+05] < 0 είτε INT[ai )+05] > N- ή INT[bi )+05] > N- τότε Ji ) = I{INT[ai )+05] INT[bi )+05]} δεν µπορεί να προσδιοριστεί Συνήθως θέτουµε το Ji ) = 0 για αυτές τις τιµές ιγραµµική Παρεµβολή ηµιουργία µιας πιο οµαλής παρεµβολής από την προσέγγιση του πλησιέστερου γείτονα ίδονται τέσσερις συντεταγµένες Ii 0 0 ) Ii ) Ii ) και Ii 3 3 ) η νέα εικόνα Ji ) υπολογίζεται ως ακολούθως: Ji ) = A 0 + A i + A + A 3 i όπου τα διγραµµικά βάρη A 0 A A και A 3 είναι το αποτέλεσµα της λύσης του πιο κάτω συστήµατος εξίσωσεων: A0 A = A A3 i i i i i0 0 i i i3 3 I i0 0) I i ) I i ) I i3 3) Ένας γραµµικός συνδυασµός των τεσσάρων πλησιέστερων τιµών Το πιο καλό ταίριασµα επιπέδου στις τέσσερις πλησιέστερες τιµές

22 Βασικοί Γεωµετρικοί Μετασχηµατισµοί Με τον όρο µετασχηµατισµοί αναφερόµαστε στο χειρισµό των θέσεων των pixels µε συγκεκριµένους τρόπους οι οποίοι τη χωροταξική διάταξη τους Οι κυριότεροι γεωµετρικοί µετασχηµατισµοί είναι: Μετατόπιση translation) γραµµική κίνηση Κλιµάκωση scaling) αλλαγή µεγέθους Αντικατοπτρισµός reflection) σχηµατισµός ειδώλου Περιστροφή rotation) Κύρτωση searing - skewing) Οι µετασχηµατισµοί µπορεί να εφαρµοστούν αριθµητικά µε εφαρµογή µαθηµατικών συναρτήσεων στις θέσεις των pixel Ένας γεωµετρικός µετασχηµατισµός απεικονίζει κάθε σηµείο Α x A y A ) του επιπέδου σε ένα άλλο σηµείο Β x B y B ) µέσω µίας συνάρτησης Τ έτσι ώστε: Τx A y A ) = x B y B ) ή πιο συνοπτικά: ΤΑ) = Β Οµοπαραλληλικοί affine) µετασχηµατισµοί Οι µετασχηµατισµοί αυτοί έχουν µια αρκετά απλή µορφή βλέπε συνάρτηση maketform στη Matlab Αν ένας τέτοιος µετασχηµατισµός απεικονίζει το σηµείο Α που αναφέραµε προηγουµένως σε ένα σηµείο Β τότε οι συντεταγµένες των δύο σηµείων θα συνδέονται µε τους τύπους: x B = a χ Α + c y A + l x y B = b χ Α + d y A + l y όπου a b c d l x l y σταθερές και a d διάφορο του b c Η µορφή που γράψαµε µπορεί να εκφραστεί σε µορφή πινάκων ως: x B y B ) = x A y A ) M + l x l y ) όπου ο Μ είναι ένας x πίνακας µε τη µορφή: a M = c c d

23 Μετατόπιση Η µετατόπιση είναι η πιο απλή γεωµετρική λειτουργία και δεν χρειάζεται παρεµβολή Η µετατόπιση ενός σηµείου σε ένα γεωµετρικό µετασχηµατισµό περιγράφεται από τις παραµέτρους l x l y ) Στον συγκεκριµένο µετασχηµατισµό ο πίνακας Μ έχει τη µορφή: 0 M = 0 Το αποτέλεσµα της εφαρµογής ενός τέτοιου µετασχηµατισµού σε ένα σηµείο Α είναι η µετατόπιση του A κατά l x και κατά l y αντίστοιχα στους άξονες x και y Κλιµάκωση Αλλαγή µεγέθους) Η µεγέθυνση / σµίκρυνση ενός σχήµατος κατά S x και S y αντίστοιχα στους άξονες x και y επιτυγχάνεται µε τον πολλαπλασιασµό των αντίστοιχων συντεταγµένων κάθε σηµείου του µε τα δύο αυτά ποσοστά µεγέθυνσης / σµίκρυνσης Για την υλοποίηση της παραπάνω λειτουργίας ο πίνακας Μ έχει τη µορφή: Sx M = 0 0 S y και το l x l y ) έχει τη µορφή 0 0) Θα πρέπει να σηµειώσουµε ότι αν κάποιο από τα S x S y είναι αρνητικό τότε ο συγκεκριµένος µετασχηµατισµός πέρα από τη µεταβολή των διαστάσεων του σχήµατος το µετατοπίζει στο συµµετρικό του σχήµατος κατά τους άξονες y και x αντίστοιχα 3

24 Κλιµάκωση ΙΙ) Για µεγάλη µεγέθυνση η µεγεθυσµένη εικόνα θα φαίνεται θολή αν χρησιµοποιηθεί απλή παρεµβολή πλησιέστερου γείτονα Η διγραµµική παρεµβολή δίνει καλύτερα αποτελέσµατα Η κλιµάκωση είναι και γνωστή ως ψηφιακό zoom Περιστροφή Στη περιστροφή ενός σηµείου κατά γωνία θ ως προς το κέντρο των αξόνων του συστήµατος συντεταγµένων ο πίνακας Μ έχει τη µορφή: cos θ ) M = sin θ ) sin θ ) cos θ ) και το l x l y ) έχει τη µορφή 0 0) Περιστροφή κατά 30 0 θ= 30 0 ) 4

25 Κύρτωση Η κύρτωση περιλαµβάνει τη µεταβολή των συντεταγµένων στον άξονα των x ενός σηµείου κατά ένα ποσό που είναι ανάλογο της συντεταγµένης του ίδιου σηµείου κατά τον άξονα των y Ένα παράδειγµα ενός τέτοιου µετασχηµατισµού αποτελεί η µετατροπή ορθής γραφής σε πλάγια italics) Κατά το µετασχηµατισµό αυτό η γενική µορφή του πίνακα Μ είναι: M = g και το l x l y ) έχει τη µορφή 0 0) Κύρτωση ΙΙ) Κάθετη κύρτωση g = = 0) Οριζόντια κύρτωση g=0 =5) 5

26 Σύνοψη Το υλικό που παρουσιάστηκε σε αυτή την ενότητα αναφέρεται στη αποκατάσταση ποιότητας εικόνας µε τεχνικές τόσο στο πεδίο της συχνότητας όσο και στο πεδίο του χώρου Στην αποκατάσταση εικόνας θεωρείται ότι υπάρχει γνώση της διαδικασίας υποβάθµισης της εικόνας και των στατιστικών του θορύβου Τα κριτήρια της αποκατάστασης είναι µαθηµατικές σχέσεις και αυτό διαφοροποιεί τις τεχνικές αποκατάστασης από τις τεχνικές βελτίωσης ποιότητας 6

Ακαδηµαϊκό Έτος , Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης

Ακαδηµαϊκό Έτος , Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ, ΤΜΗΜΑ Ι ΑΚΤΙΚΗΣ ΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΨΣ 50: ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 005 006, Χειµερινό Εξάµηνο Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Η εξέταση

Διαβάστε περισσότερα

Βελτίωση Ποιότητας Εικόνας: Επεξεργασία στο πεδίο της Συχνότητας

Βελτίωση Ποιότητας Εικόνας: Επεξεργασία στο πεδίο της Συχνότητας ΤΨΣ 150 Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Βελτίωση Ποιότητας Εικόνας: Επεξεργασία στο πεδίο της Τµήµα ιδακτικής της Τεχνολογίας και Ψηφιακών Συστηµάτων Πανεπιστήµιο Πειραιώς Εκτίµηση Απόκρισης Περιεχόµενα Βιβλιογραφία

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Ενότητα 3 : Αποκατάσταση εικόνας (Image Restoration) Ιωάννης Έλληνας Τμήμα Η/ΥΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow

Διαβάστε περισσότερα

Κατάτµηση Εικόνων: Ανίχνευση Ακµών και Κατάτµηση µε Κατωφλίωση

Κατάτµηση Εικόνων: Ανίχνευση Ακµών και Κατάτµηση µε Κατωφλίωση ΤΨΣ 50 Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Κατάτµηση Εικόνων: Ανίχνευση Ακµών και Κατάτµηση µε Κατωφλίωση Τµήµα ιδακτικής της Τεχνολογίας και Ψηφιακών Συστηµάτων Πανεπιστήµιο Πειραιώς Περιεχόµενα Βιβλιογραφία

Διαβάστε περισσότερα

Digital Image Processing

Digital Image Processing Digital Image Processing Αποκατάσταση εικόνας Αφαίρεση Θορύβου Πέτρος Καρβέλης pkarvelis@gmail.com Images taken from: R. Gonzalez and R. Woods. Digital Image Processing, Prentice Hall, 2008. Αποκατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

Digital Image Processing

Digital Image Processing Digital Image Processing Φιλτράρισμα στο πεδίο των Πέτρος Καρβέλης pkarvelis@gmail.com Images taken from: R. Gonzalez and R. Woods. Digital Image Processing, Prentice Hall, 2008. Φίλτρο: μια διάταξη ή

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕΣ 04: Συµπίεση και Μετάδοση Πολυµέσων. Περιεχόµενα. Βιβλιογραφία. Εικόνες και Πολυµεσικές Εφαρµογές. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας.

ΒΕΣ 04: Συµπίεση και Μετάδοση Πολυµέσων. Περιεχόµενα. Βιβλιογραφία. Εικόνες και Πολυµεσικές Εφαρµογές. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας. ΒΕΣ 04: Συµπίεση και Μετάδοση Πολυµέσων Εικόνα και Πολυµεσικές Εφαρµογές Περιεχόµενα Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Σηµειακές µέθοδοι Φίλτρα γειτνίασης Γεωµετρικές µέθοδοι Εικόνες και Πολυµεσικές Εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ

ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ Συµπληρωµατικές Σηµειώσεις Προχωρηµένο Επίπεδο Επεξεργασίας Εικόνας Σύνθεση Οπτικού Μωσαϊκού ρ. Γ. Χ. Καρράς Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών Τοµέας Μηχανολογικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΣ 03: Αναγνώριση Προτύπων και Ανάλυση Εικόνας. KEΣ 03 Αναγνώριση Προτύπων και Ανάλυση Εικόνας. Κατάτµηση Εικόνων:

ΚΕΣ 03: Αναγνώριση Προτύπων και Ανάλυση Εικόνας. KEΣ 03 Αναγνώριση Προτύπων και Ανάλυση Εικόνας. Κατάτµηση Εικόνων: KEΣ 3 Αναγνώριση Προτύπων και Ανάλυση Εικόνας Κατάτµηση Εικόνων: Ανίχνευση Ακµών Τµήµα Επιστήµης και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Πελοποννήσου Περιεχόµενα Βιβλιογραφία Περιεχόµενα Ενότητας

Διαβάστε περισσότερα

Ακαδηµαϊκό Έτος 2005 2006, Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης

Ακαδηµαϊκό Έτος 2005 2006, Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ Ι ΑΚΤΙΚΗΣ ΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΨΣ 5: ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 5 6 Χειµερινό Εξάµηνο Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Το

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Ενότητα 2 : Βελτιστοποίηση εικόνας (Image enhancement) Ιωάννης Έλληνας Τμήμα Η/ΥΣ Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Κατάτµηση εικόνας σε οµοιόµορφες περιοχές

Κατάτµηση εικόνας σε οµοιόµορφες περιοχές KEΣ 03 Αναγνώριση Προτύπων και Ανάλυση Εικόνας Κατάτµηση εικόνας σε οµοιόµορφες περιοχές ΤµήµαΕπιστήµης και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Πελοποννήσου Εισαγωγή Κατάτµηση µε πολυκατωφλίωση Ανάπτυξη

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Αναπαράστασης Περιοχών

Μέθοδοι Αναπαράστασης Περιοχών KEΣ 3 Αναγνώριση Προτύπων και Ανάλυση Εικόνας Μέθοδοι Αναπαράστασης Περιοχών ΤµήµαΕπιστήµης και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Πελοποννήσου Εισαγωγή Χαρακτηριστικά χώρου Χαρακτηριστικά από µετασχηµατισµό

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ Εισαγωγή /4 Το σχήμα και το μέγεθος των δισδιάστατων αντικειμένων περιγράφονται με τις καρτεσιανές συντεταγμένες x, y. Με εφαρμογή γεωμετρικών μετασχηματισμών στο μοντέλο

Διαβάστε περισσότερα

Digital Image Processing

Digital Image Processing Digital Image Processing Intensity Transformations Πέτρος Καρβέλης pkarvelis@gmail.com Images taken from: R. Gonzalez and R. Woods. Digital Image Processing, Prentice Hall, 2008. Image Enhancement: είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Σκοπός του µαθήµατος Η Συστηµατική Περιγραφή: των Σηµάτων και των Συστηµάτων Τι είναι Σήµα; Ένα πρότυπο µεταβολών µιας ποσότητας που µπορεί να: επεξεργαστεί αποθηκευθεί

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Μωσαϊκά-Συρραφή Εικόνων Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση Χειμερινό Εξάμηνο 2013-2014 Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση 5 η Παρουσίαση : Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Διδάσκων: Γιάννης Ντόκας Σύνθεση Χρωμάτων Αφαιρετική Παραγωγή Χρώματος Χρωματικά

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 4 η : Βελτίωση Εικόνας. Καθ. Κωνσταντίνος Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 4 η : Βελτίωση Εικόνας. Καθ. Κωνσταντίνος Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 4 η : Βελτίωση Εικόνας Καθ. Κωνσταντίνος Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Εισαγωγή στις τεχνικές βελτίωσης εικόνας

Διαβάστε περισσότερα

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό ΗΜΥ 429 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1 (i) Βασική στατιστική 2 Στατιστική Vs Πιθανότητες Στατιστική: επιτρέπει μέτρηση και αναγνώριση θορύβου και

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα. ΕΠΛ 422: Συστήµατα Πολυµέσων. Γραφικά Υπολογιστών. Βιβλιογραφία

Περιεχόµενα. ΕΠΛ 422: Συστήµατα Πολυµέσων. Γραφικά Υπολογιστών. Βιβλιογραφία Περιεχόµενα ΕΠΛ 422: Συστήµατα Πολυµέσων Γραφικά Υπολογιστών Γραφικά και Εικόνα Μοντέλα γραφικών Επεξεργασία Γραφικών Τύποι (format) γραφικών Γραφικά και WWW Βιβλιογραφία Καγιάφας [2000]: Κεφάλαιο 5, [link]

Διαβάστε περισσότερα

Ακαδημαϊκό Έτος , Χειμερινό Εξάμηνο Διδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης

Ακαδημαϊκό Έτος , Χειμερινό Εξάμηνο Διδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΕΣ 3: ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΚΟΝΑΣ Ακαδημαϊκό Έτος 7 8, Χειμερινό Εξάμηνο Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού χρόνου DTFT

Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού χρόνου DTFT Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ Κεφάλαιο 3 ο DTFT -7- Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού χρόνου DTFT (discrete time Fourier transform) 3.. Εισαγωγικά. 3.. Είδη µετασχηµατισµών Fourier Με την ονοµασία Μετασχηµατισµοί Fourier

Διαβάστε περισσότερα

University of Cyprus. Σχεδιασμός Οπτικών Συστημάτων (Απεικόνιση) ό

University of Cyprus. Σχεδιασμός Οπτικών Συστημάτων (Απεικόνιση) ό University o Cyprus Biomedical Imaging and Applied Optics Σχεδιασμός Οπτικών Συστημάτων (Απεικόνιση) ό Φακοί για Απεικόνιση Δημιουργία εικόνας με ένα φακό Ιδανικός (Ideal) λεπτός (thin) φακός 1 1 1 = +

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

Συµπίεση Ψηφιακών Εικόνων: Συµπίεση µε Απώλειες. Πρότυπα Συµπίεσης Εικόνων

Συµπίεση Ψηφιακών Εικόνων: Συµπίεση µε Απώλειες. Πρότυπα Συµπίεσης Εικόνων ΤΨΣ 5: Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας ΤΨΣ 5 Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Συµπίεση Ψηφιακών Εικόνων: Συµπίεση µε απώλειες Πρότυπα Συµπίεσης Εικόνων Τµήµα ιδακτικής της Τεχνολογίας και Ψηφιακών Συστηµάτων Πανεπιστήµιο

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Βασικές Έννοιες Σήματα Κατηγορίες Σημάτων Συνεχούς/ Διακριτού Χρόνου, Αναλογικά/ Ψηφιακά Μετασχηματισμοί Σημάτων Χρόνου: Αντιστροφή, Κλιμάκωση, Μετατόπιση Πλάτους Βασικά

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας 1 Εισαγωγή Το μεγαλύτερο μέρος των δεδομένων που καλούμαστε να επεξεργαστούμε είναι πολυδιάστατα.

Διαβάστε περισσότερα

Μια «ανώδυνη» εισαγωγή στο μάθημα (και στο MATLAB )

Μια «ανώδυνη» εισαγωγή στο μάθημα (και στο MATLAB ) Μια «ανώδυνη» εισαγωγή στο μάθημα (και στο MATLAB ) Μια πρώτη ιδέα για το μάθημα χωρίς καθόλου εξισώσεις!!! Περίγραμμα του μαθήματος χωρίς καθόλου εξισώσεις!!! Παραδείγματα από πραγματικές εφαρμογές ==

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Χωρικές Περιγραφές και Μετασχηµατισµοί

Χωρικές Περιγραφές και Μετασχηµατισµοί Χωρικές Περιγραφές και Μετασχηµατισµοί Νίκος Βλάσσης Τµήµα Μηχανικών Παραγωγής και ιοίκησης Πολυτεχνείο Κρητης Ροµποτική, 9ο εξάµηνο ΜΠ, 2007 Ροµπότ SCR 1 Περιεχόµενα Στοιχεία γραµµικής άλγεβρας Χωρικές

Διαβάστε περισσότερα

Ανακατασκευή εικόνας από προβολές

Ανακατασκευή εικόνας από προβολές Ανακατασκευή εικόνας από προβολές Μέθοδος ανακατασκευής με χρήση χαρακτηριστικών δειγμάτων προβολής Αναστάσιος Κεσίδης Δρ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός Θέματα που θα αναπτυχθούν Εισαγωγή στις τομογραφικές μεθόδους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ [Κ. ΠΑΠΑΜΙΧΑΛΗΣ ρ ΦΥΣΙΚΗΣ] Τίτλος του Σεναρίου ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Μελέτη των µετασχηµατισµών

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί 2 & 3

Μετασχηµατισµοί 2 & 3 Μετασχηµατισµοί & 3 Περιγράφονται σαν σύνεση βασικών: µετατόπιση αλλαγή κλίµακαςπεριστροφή στρέβλωση Χωρίζονται σε γεωµετρικούς (εδώ) και αξόνων (αντίστροφοι) Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών Θέση

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Σύνθεση Πανοράµατος Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΤΙΚΗ FOURIER. Γ. Μήτσου

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΤΙΚΗ FOURIER. Γ. Μήτσου ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΙΚΗΣ - ΟΠΟΗΛΕΚΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & /Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΙΚΗ FOURIER Γ. Μήτσου Μάρτιος 8 Α. Θεωρία. Εισαγωγή Η επεξεργασία οπτικών δεδοµένων, το φιλτράρισµα χωρικών συχνοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. σελ. Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii

Περιεχόμενα. σελ. Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii Περιεχόμενα Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή... 1 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων... 2 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac...

Διαβάστε περισσότερα

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων.

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. 2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γενικά τι είναι - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. Κατηγορίες των συστηµάτων ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος των επιτρεποµένων εισόδων και εξόδων. Ιδιότητες των

Διαβάστε περισσότερα

17-Φεβ-2009 ΗΜΥ Ιδιότητες Συνέλιξης Συσχέτιση

17-Φεβ-2009 ΗΜΥ Ιδιότητες Συνέλιξης Συσχέτιση ΗΜΥ 429 7. Ιδιότητες Συνέλιξης Συσχέτιση 1 Μαθηματικές ιδιότητες Αντιμεταθετική: a [ * b[ = b[ * a[ παρόλο που μαθηματικά ισχύει, δεν έχει φυσικό νόημα. Προσεταιριστική: ( a [ * b[ )* c[ = a[ *( b[ * c[

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα Περιεχόμενα Κεφάλαιο - Ενότητα σελ 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac 1.3 Συνάρτηση του Heaviside 1.4 Οι συναρτήσεις Β, Γ και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος.

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. 3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier ενός µη περιοδικού

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1: Χρήση ψηφιακών φίλτρων για επεξεργασία σηµάτων συνεχούς χρόνου

Σχήµα 1: Χρήση ψηφιακών φίλτρων για επεξεργασία σηµάτων συνεχούς χρόνου ΜΑΘΗΜΑ 6: ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ 6. Εισαγωγή Τα φίλτρα είναι µια ειδική κατηγορία ΓΧΑ συστηµάτων τα οποία τροποποιούν συγκεκριµένες συχνότητες του σήµατος εισόδου σε σχέση µε κάποιες άλλες. Η σχεδίαση ψηφιακών

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα. ΕΠΛ 422: Συστήµατα Πολυµέσων. Βιβλιογραφία. Εισαγωγή. Συµπίεση εικόνων: Το πρότυπο JPEG. Εισαγωγή. Ευθύς µετασχηµατισµός DCT

Περιεχόµενα. ΕΠΛ 422: Συστήµατα Πολυµέσων. Βιβλιογραφία. Εισαγωγή. Συµπίεση εικόνων: Το πρότυπο JPEG. Εισαγωγή. Ευθύς µετασχηµατισµός DCT Περιεχόµενα ΕΠΛ : Συστήµατα Πολυµέσων Συµπίεση εικόνων: Το πρότυπο JPEG Εισαγωγή Ο µετασχηµατισµός DCT Το πρότυπο JPEG Προετοιµασία εικόνας / µπλοκ Ευθύς µετασχηµατισµός DCT Κβαντισµός Κωδικοποίηση ηµιουργία

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας 6 Ncola Tapaoul Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο 4 Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο;

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Συνήθως ο όρος φίλτρο υποδηλώνει µια διαδικασία αποµάκρυνσης µη επιθυµητών στοιχείων Απότολατινικόόροfelt : το υλικό για το φιλτράρισµα υγρών Στη εποχή των ραδιολυχνίων:

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη ΙΙ. Ενότητα 2: Αντίληψη. Μουστάκας Κωνσταντίνος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

Τεχνητή Νοημοσύνη ΙΙ. Ενότητα 2: Αντίληψη. Μουστάκας Κωνσταντίνος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τεχνητή Νοημοσύνη ΙΙ Ενότητα 2: Αντίληψη Μουστάκας Κωνσταντίνος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Αντίληψη 2 Περιεχόμενα ενότητας Αντίληψη 3 Αντίληψη

Διαβάστε περισσότερα

E[ (x- ) ]= trace[(x-x)(x- ) ]

E[ (x- ) ]= trace[(x-x)(x- ) ] 1 ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Σε αυτό το μέρος της πτυχιακής θα ασχοληθούμε λεπτομερώς με το φίλτρο kalman και θα δούμε μια καινούρια έκδοση του φίλτρου πάνω στην εφαρμογή της γραμμικής εκτίμησης διακριτού

Διαβάστε περισσότερα

DIP_04 Βελτιστοποίηση εικόνας. ΤΕΙ Κρήτης

DIP_04 Βελτιστοποίηση εικόνας. ΤΕΙ Κρήτης DIP_04 Βελτιστοποίηση εικόνας ΤΕΙ Κρήτης ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΙΚΟΝΑΣ Σκοπός µιας τέτοιας τεχνικής µπορεί να είναι: η βελτιστοποίηση της οπτικής εµφάνισης µιας εικόνας όπως την αντιλαµβάνεται ο άνθρωπος, η τροποποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Ο μετασχηματισμός Fourier

Ο μετασχηματισμός Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier είναι από τα διαδεδομένα εργαλεία μετατροπής δεδομένων και συναρτήσεων (μιας ή περισσοτέρων διαστάσεων) από αυτό που ονομάζεται περιοχή χρόνου (time domain) στην περιοχή συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση γεωµετρικών περιορισµών σε µικρά µόρια µε αλγεβρικές µεθόδους

Επίλυση γεωµετρικών περιορισµών σε µικρά µόρια µε αλγεβρικές µεθόδους Επίλυση γεωµετρικών περιορισµών σε µικρά µόρια µε αλγεβρικές µεθόδους Επαµεινώνδας. Φριτζίλας Μ Ε Βιοπληροφορικής Τµήµα Βιολογίας ΕΚΠΑ 17 Φεβρουαρίου 2005 Τί σηµαίνει ο τίτλος ; γεωµετρικός περιορισµός:

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου

Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο 3, Ενότητες 3. 3.8 Παρασκευόπουλος [5]:

Διαβάστε περισσότερα

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Πολλά προβλήματα λύνονται μέσω δισδιάστατων απεικονίσεων ενός μοντέλου. Μεταξύ αυτών και τα προβλήματα κίνησης, όπως η κίνηση ενός συρόμενου μηχανισμού.

Διαβάστε περισσότερα

Ο μετασχηματισμός Fourier

Ο μετασχηματισμός Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier είναι από τα διαδεδομένα εργαλεία μετατροπής δεδομένων και συναρτήσεων (μιας ή περισσοτέρων διαστάσεων) από αυτό που ονομάζεται περιοχή χρόνου (time domain) στην περιοχή συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα Προσαρµοστικά Συστήµατα

Εισαγωγή στα Προσαρµοστικά Συστήµατα ΒΕΣ 06 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Εισαγωγή στα Προσαρµοστικά Συστήµατα Νικόλας Τσαπατσούλης Επίκουρος Καθηγητής Π..407/80 Τµήµα Επιστήµη και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Πελοποννήσου

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Έγχρωµων Εικόνων

Επεξεργασία Έγχρωµων Εικόνων ΤΨΣ 150 Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Επεξεργασία Έγχρωµων Εικόνων Τµήµα ιδακτικής της Τεχνολογίας και Ψηφιακών Συστηµάτων Πανεπιστήµιο Πειραιώς Περιεχόµενα Βιβλιογραφία Περιεχόµενα Ενότητας Εισαγωγή - Βασικά

Διαβάστε περισσότερα

Απεικόνιση Υφής. Μέρος Α Υφή σε Πολύγωνα

Απεικόνιση Υφής. Μέρος Α Υφή σε Πολύγωνα Απεικόνιση Γραφικά ΥφήςΥπολογιστών Απεικόνιση Υφής Μέρος Α Υφή σε Πολύγωνα Γ. Γ. Παπαϊωάννου, - 2008 Τι Είναι η Υφή; Η υφή είναι η χωρική διαμόρφωση των ποιοτικών χαρακτηριστικών της επιφάνειας ενός αντικειμένου,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικό υπόβαθρο. Κεφάλαιο 3. Μαθησιακοί στόχοι. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Σημεία και διανύσματα

Μαθηματικό υπόβαθρο. Κεφάλαιο 3. Μαθησιακοί στόχοι. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Σημεία και διανύσματα Κεφάλαιο 3 Μαθηματικό υπόβαθρο Μαθησιακοί στόχοι Μετά την ολοκλήρωση αυτού του κεφαλαίου, ο αναγνώστης θα είναι σε θέση: Να γνωρίζει τις βασικές ιδιότητες και να πραγματοποιεί πράξεις των σημείων και των

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

DIP_04 Σημειακή επεξεργασία. ΤΕΙ Κρήτης

DIP_04 Σημειακή επεξεργασία. ΤΕΙ Κρήτης DIP_04 Σημειακή επεξεργασία ΤΕΙ Κρήτης ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΙΚΟΝΑΣ Σκοπός μιας τέτοιας τεχνικής μπορεί να είναι: η βελτιστοποίηση της οπτικής εμφάνισης μιας εικόνας όπως την αντιλαμβάνεται ο άνθρωπος, η τροποποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Α: Γραμμικά Συστήματα Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Αλγόριθµοι Αποτελέσµατα Επίλογος Ορισµός του Προβλήµατος Ευθυγράµµιση : Εύρεση ενός γεωµετρικού µετασχηµατισµού που ϕέρνει κοντά δύο τρισδιάσ

Εισαγωγή Αλγόριθµοι Αποτελέσµατα Επίλογος Ορισµός του Προβλήµατος Ευθυγράµµιση : Εύρεση ενός γεωµετρικού µετασχηµατισµού που ϕέρνει κοντά δύο τρισδιάσ Εισαγωγή Αλγόριθµοι Αποτελέσµατα Επίλογος Αλγόριθµοι Ευθυγράµµισης Τρισδιάστατων Αντικειµένων Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Εθνικό & Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών 20 Οκτωβρίου 2005 Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier CLR, κεφάλαιο 3 Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Συµπίεση Εικόνας: Το πρότυπο JPEG

Συµπίεση Εικόνας: Το πρότυπο JPEG ΒΕΣ : Συµπίεση και Μετάδοση Πολυµέσων ΒΕΣ Συµπίεση και Μετάδοση Πολυµέσων Συµπίεση Εικόνας: Το πρότυπο JPEG ΒΕΣ : Συµπίεση και Μετάδοση Πολυµέσων Εισαγωγή Σχεδιάστηκε από την οµάδα Joint Photographic Experts

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER Ανάλυση σημάτων και συστημάτων Ο μετασχηματισμός Fourier (DTFT και DFT) είναι σημαντικότατος για την ανάλυση σημάτων και συστημάτων Εντοπίζει

Διαβάστε περισσότερα

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ:

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ: Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ καθώς είναι από τα σημαντικότερα κομμάτια της Άλγεβρας με τις περισσότερες εφαρμογές ΔΕΝ πρέπει να αποστηθίζεται και κυρίως ΔΕΝ πρέπει να γίνεται αντιπαθητική. Για τη σωστή εκμάθηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

οµή δικτύου ΣΧΗΜΑ 8.1

οµή δικτύου ΣΧΗΜΑ 8.1 8. ίκτυα Kohonen Το µοντέλο αυτό των δικτύων προτάθηκε το 1984 από τον Kοhonen, και αφορά διαδικασία εκµάθησης χωρίς επίβλεψη, δηλαδή δεν δίδεται καµία εξωτερική επέµβαση σχετικά µε τους στόχους που πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα ΕΠΛ 422: στα Συστήµατα Πολυµέσων. Βιβλιογραφία. ειγµατοληψία. ηµιουργία ψηφιακής µορφής πληροφορίας στα Συστήµατα Πολυµέσων

Περιεχόµενα ΕΠΛ 422: στα Συστήµατα Πολυµέσων. Βιβλιογραφία. ειγµατοληψία. ηµιουργία ψηφιακής µορφής πληροφορίας στα Συστήµατα Πολυµέσων Περιεχόµενα ΕΠΛ 422: Συστήµατα Πολυµέσων Ψηφιακή Αναπαράσταση Σήµατος: ειγµατοληψία Βιβλιογραφία ηµιουργία ψηφιακής µορφής πληροφορίας στα Συστήµατα Πολυµέσων Βασικές Έννοιες Επεξεργασίας Σηµάτων Ψηφιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

6-Aνίχνευση. Ακμών - Περιγράμματος

6-Aνίχνευση. Ακμών - Περιγράμματος 6-Aνίχνευση Ακμών - Περιγράμματος Ανίχνευση ακμών Μετατροπή 2 εικόνας σε σύνολο ακμών Εξαγωγή βασικών χαρακτηριστικών της εικόνας Πιο «συμπαγής» αναπαράσταση Ανίχνευση ακμών Στόχος: ανίχνευση ασυνεχειών

Διαβάστε περισσότερα

Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου

Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ο ανάστροφος πίνακας του [ j ] σημειώνεται με [ j ] (δηλαδή οι γραμμές γίνονται στήλες αντίστροφα Ιδιότητες: ( ( B B ( R ( B B Ο αντίστροφος ενός τετραγωνικού πίνακα [ j ]

Διαβάστε περισσότερα

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΗΑ ΨΕΣ /4/2013 2:12 πµ

ΣΤΗΑ ΨΕΣ /4/2013 2:12 πµ ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 4/4/3 : πµ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος ΨΕΣ Η Επεξεργασία Σήµατος µέσω της ψηφιοποίησής του και της επεξεργασίας µε ηλεκτρονικό υπολογιστή ή ειδικά ολοκληρωµένα κυκλώµατα

Διαβάστε περισσότερα

Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L.

Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L. Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδια(ΑΚΠα) Να µελετηθεί το απειρόβαθο κβαντικό πηγάδι µε θετικές ενεργειακές καταστάσεις ( E > ). Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 2 Επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Τυχαίες μεταβλητές: Βασικές έννοιες Τυχαία μεταβλητή: Μεταβλητή της οποίας δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή (σε αντίθεση με τις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 3 ΒΕΛΤΙΩΣΗ ΕΙΚΟΝΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ. ( ) 1, αν Ι(i,j)=k hk ( ), διαφορετικά

ΑΣΚΗΣΗ 3 ΒΕΛΤΙΩΣΗ ΕΙΚΟΝΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ. ( ) 1, αν Ι(i,j)=k hk ( ), διαφορετικά ΑΣΚΗΣΗ 3 ΒΕΛΤΙΩΣΗ ΕΙΚΟΝΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Αντικείμενο: Εξαγωγή ιστογράμματος εικόνας, απλοί μετασχηματισμοί με αυτό, ισοστάθμιση ιστογράμματος. Εφαρμογή βασικών παραθύρων με την βοήθεια του ΜΑΤLAB

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 10. Σχεδιασμός Φίλτρων. Κεφ. 7.0-7.2. Φίλτρο Διαφοροποιεί το φάσμα ενός σήματος Π.χ. αφήνει να περάσουν ή σταματά κάποιες συχνότητες

Διάλεξη 10. Σχεδιασμός Φίλτρων. Κεφ. 7.0-7.2. Φίλτρο Διαφοροποιεί το φάσμα ενός σήματος Π.χ. αφήνει να περάσουν ή σταματά κάποιες συχνότητες University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη 10 Κεφ. 7.0-7.2 Φίλτρο Διαφοροποιεί το φάσμα ενός σήματος Π.χ. αφήνει να περάσουν ή σταματά κάποιες συχνότητες Σχεδιασμός Φίλτρου Καθορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Βελτίωση Ποιότητας Εικόνας: Επεξεργασία στο πεδίο της Εικόνας

Βελτίωση Ποιότητας Εικόνας: Επεξεργασία στο πεδίο της Εικόνας ΤΨΣ 15 Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Βελτίωση Ποιότητας Εικόνας: Επεξεργασία στο πεδίο της Εικόνας Τµήµα ιδακτικής της Τεχνολογίας και Ψηφιακών Συστηµάτων Πανεπιστήµιο Πειραιώς Περιεχόµενα Βιβλιογραφία Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θ.Ε. ΠΛΗ22 ( ) ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ #1 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θ.Ε. ΠΛΗ22 ( ) ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ #1 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θ.Ε. ΠΛΗ (0-3) ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ # ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Στόχος της άσκησης είναι η εξοικείωση με γραφικές παραστάσεις βασικών σημάτων και πράξεις, καθώς και τον υπολογισμό ΜΣ Fourier βασικών σημάτων με τη χρήση

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : (α) Ταχύτητα ΚΜ: u KM = mu + mu m = u + u Εποµένως u = u u + u = u u, u = u u + u = u u (β) Διατήρηση ορµής στο ΚΜ: mu + mu = mv + mv u + u = V + V = 0 V = V

Διαβάστε περισσότερα

Έγχρωµο και Ασπρόµαυρο Φως

Έγχρωµο και Ασπρόµαυρο Φως Έγχρωµο και Ασπρόµαυρο Φως Χρώµα: κλάδος φυσικής, φυσιολογίας, ψυχολογίας, τέχνης. Αφορά άµεσα τον προγραµµατιστή των γραφικών. Αν αφαιρέσουµε χρωµατικά χαρακτηριστικά, λαµβάνουµε ασπρόµαυρο φως. Μόνο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστηµάτων

Κεφάλαιο 1. Αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστηµάτων Κεφάλαιο Αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστηµάτων. Εισαγωγή Η µοντελοποίηση πολλών φυσικών φαινοµένων και συστηµάτων και κυρίως αυτών που εξελίσσονται στο χρόνο επιτυγχάνεται µε

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 1-2-ΠΙΝΑΚΕΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΠΑΝΗΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 1-2-ΠΙΝΑΚΕΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΠΑΝΗΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 1-2-ΠΙΝΑΚΕΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2010-2011 ΠΑΝΗΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΙΝΑΚΑΣ Ένας πίνακας Α με στοιχεία από το σύνολο F (συνήθως θεωρούμε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

Εντάξεις δικτύων GPS. 6.1 Εισαγωγή

Εντάξεις δικτύων GPS. 6.1 Εισαγωγή 6 Εντάξεις δικτύων GPS 6.1 Εισαγωγή Oι απόλυτες (X, Y, Z ή σχετικές (ΔX, ΔY, ΔZ θέσεις των σηµείων, έτσι όπως προσδιορίζονται από τις µετρήσεις GPS, αναφέρονται στο γεωκεντρικό σύστηµα WGS 84 (Wrld Gedetic

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα διαλέξεων 2ης εβδοµάδας

Περιεχόµενα διαλέξεων 2ης εβδοµάδας Εισαγωγή οµή και πόροι τηλεπικοινωνιακού συστήµατος Σήµατα Περιεχόµενα διαλέξεων 1ης εβδοµάδας Εισαγωγή Η έννοια της επικοινωνιας Ιστορική αναδροµή οµή και πόροι τηλεπικοινωνιακού συστήµατος οµή τηλεπικοινωνιακού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Σκοπός του µαθήµατος Η Συστηµατική Περιγραφή: των Σηµάτων και των Συστηµάτων 2 Τι είναι Σήµα; Ένα πρότυπο

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3.

Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3. ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 3.1 - Cpright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 2012. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται

Διαβάστε περισσότερα