Αποκατάσταση Εικόνας

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αποκατάσταση Εικόνας"

Transcript

1 ΤΨΣ 50 Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Αποκατάσταση Εικόνας Τµήµα ιδακτικής της Τεχνολογίας και Ψηφιακών Συστηµάτων Πανεπιστήµιο Πειραιώς Περιεχόµενα Βιβλιογραφία Περιεχόµενα Ενότητας Ορισµός & Παραδείγµατα Μοντέλο Υποβάθµισης Ποιότητας Αντίστροφο Φιλτράρισµα Φίλτρα Wiener Αποκατάσταση µε βάση τα Ελάχιστα Τετράγωνα Τυφλή Αποσυνέλιξη Γεωµετρικοί Μετασχηµατισµοί Βιβλιογραφία: Πήτας [999]: Κεφάλαιο 8 Gonzales [00]: Capter 5 Gonzales [004]: Capter 5

2 Ορισµός & Παραδείγµατα Η βελτίωση ποιότητας εικόνας και η αποκατάσταση εικόνας είναι συγγενικές περιοχές Οι βασικές τους διαφορές είναι: Στη βελτίωση ποιότητας εικόνας τα κριτήρια επιτυχούς βελτίωσης είναι καθαρά υποκειµενικά στοχεύουν στη δηµιουργία εικόνων οι οποίες είναι περισσότερο αρεστές στους ανθρώπους Στην αποκατάσταση εικόνας τα κριτήρια βελτίωσης είναι περισσότερο µαθηµατικοποιηµένα και εποµένως αντικειµενικά Στην αποκατάσταση εικόνας θεωρείται ότι έχουµε µια πρότερη γνώση για το φαινόµενο της υποβάθµισης της εικόνας κάτι το οποίο δεν ισχύει στη βελτίωση ποιότητας Παραδείγµατα χρήσης αποκατάστασης εικόνων: Αντιµετώπιση θολώµατος blur) εικόνων Ηµιτονοειδής θόρυβος σε ακτινογραφίες φαινόµενο Moire) Υποβάθµιση ποιότητας λόγω των χαρακτηριστικών των film Μοντέλο Υποβάθµισης Ποιότητας Εικόνας Το µοντέλο υποβάθµισης εικόνων αλλά και της αποκατάστασης εικόνας επιδεικνύεται στο παραπάνω σχήµα Η αρχική εικόνα fxy) υποβαθµίζεται εξαιτίας της επίδρασης µιας διεργασίας υποβάθµισης Η[fxy)]) η οποία µοντελοποιείται µέσω µιας συνάρτησης υποβάθµισης xy) Η σηµασία της ορθής µοντελοποίησης είναι τεράστια στην αποκατάσταση εικόνας Εκτός της διεργασίας υποβάθµισης στην εικόνα επενεργεί και αθροιστικός θόρυβος nxy)

3 Μοντέλο Υποβάθµισης Ποιότητας Εικόνας ΙΙ) Η διαδικασία της αποκατάστασης αφορά την εύρεση µιας σχετικά καλής εκτίµησης f ˆ x y) της εικόνας fxy) µε: εδοµένη την υποβαθµισµένη εικόνα gxy) ιαθέσιµη τη µοντελοποίηση της διεργασίας υποβάθµισης µέσω µιας συνάρτησης xy) ιαθέσιµα κάποια στατιστικά χαρακτηριστικά του θορύβου nxy) όπως µέση τιµή και διασπορά Στόχος είναι η ελαχιστοποίηση της διαφοράς ανάµεσα στην και την fxy) f ˆ x y) Μοντέλο Υποβάθµισης Ποιότητας Εικόνας ΙΙΙ) Στις ειδικές περιπτώσεις στις οποίες είναι εφικτή η µοντελοποίηση της διεργασίας υποβάθµισης µέσω µιας Γραµµικής Χωρικά Αναλλοίωτης συνάρτησης xy) η διαδικασία υποβάθµισης περιγράφεται από τη σχέση: gxy) = xy)*fxy)+nxy) όπου * δηλώνει τη διαδικασία της συνέλιξης Από τις ιδιότητες του Μετασχηµατισµού Fourier η παραπάνω σχέση στο χώρο της συχνότητας έχει τη µορφή: Gu = u Fu+Nu 3

4 Μοντέλο Υποβάθµισης Ποιότητας Εικόνας ΙV) Η σχέση Gu = u Fu+Nu αποτελεί τη βάση για τη υλοποίηση των περισσότερων από τις µεθοδολογίες αποκατάστασης εικόνας Η συνάρτηση xy) είναι γνωστή και ως Point Spread Function PSF) ενώ ο µετασχηµατισµός Fourier της συνάρτησης u ονοµάζεται συχνά Optical Transfer Function OTF) Εξαιτίας της περιγραφής της διαδικασίας υποβάθµισης µέσω µιας συνελικτικής διαδικασίας η αποκατάσταση ονοµάζεται συχνά και αποσυνέλιξη Γραµµικά Χωρικά Αναλλοίωτα Συστήµατα Ένα σύστηµα είναι γραµµικό όταν: Η[k f xy)+ k f xy)] = k Η[f xy)]+ k [f xy)] Η παραπάνω σχέση δηλώνει ότι η απόκριση ενός γραµµικού συστήµατος στο άθροισµα δύο εισόδων ισούται µε το άθροισµα των αποκρίσεων στις επιµέρους εισόδους Επίσης η απόκριση στο πολλαπλάσιο µε µια σταθερά) µιας εισόδου ισούται µε την απόκριση στην είσοδο πολλαπλασιασµένο µε µια σταθερά Ένα σύστηµα είναι χωρικά αναλλοίωτο όταν: Η[fx-ay-b)] = gx-ay-a) όπου gxy) είναι η απόκριση του συστήµατος) Η παραπάνω σχέση δηλώνει ότι η απόκριση του συστήµατος περιγράφεται από την ίδια σχέση σε όλα τα σηµεία pixel) της εισόδου 4

5 Αποκατάσταση στη παρουσία θορύβου µόνο Μια ειδική περίπτωση υποβάθµισης ποιότητας έχουµε όταν υπάρχει µόνο επίδραση θορύβου και όχι διεργασία υποβάθµισης Στη περίπτωση αυτή η σχέση υποβάθµισης διαµορφώνεται ως: gxy) = fxy) + nxy) και στο χώρο της συχνότητας Gu = Fu+Nu Στις παραπάνω περιπτώσεις η διαδικασία αποκατάστασης εφαρµόζεται µε βάση τα στατιστικά χαρακτηριστικά του θορύβου και συγκεκριµένα την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας probability density function pdf) του θορύβου Υπάρχουν πολλές µοντελοποιήσεις θορύβων που βοηθούν στην αποκατάσταση εικόνας θόρυβος Gauss Rayleig gamma οµοιόµορφος κλπ) Προσθήκη θορύβου σε µια εικόνα και διάφορα µοντέλα θορύβου υλοποιούνται στη Matlab µε τη συνάρτηση imnoise Μοντελοποίηση Θορύβου Μερικές από τις συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας θορύβου φαίνονται στο διπλανό σχήµα Με διαθέσιµες τις συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας του θορύβου µπορούν εύκολα να εκτιµηθούν τα στατιστικά χαρακτηριστικά του θορύβου όπως µέση τιµή και διασπορά) τα οποία χρειάζονται για την αποκατάσταση εικόνας 5

6 Υποβάθµιση εικόνας και είδη θορύβου Θόρυβος Gauss => µοντελοποίηση αισθητήρων καταγραφής οι οποίοι λειτουργούν σε χαµηλά επίπεδα φωτισµού Θόρυβος salt & pepper => µοντελοποίηση κακής λειτουργίας διαφράγµατος συσκευών απεικόνισης Θόρυβος lognormal => µοντελοποίηση της συµπεριφοράς φωτογραφικού film Εκθετικός θόρυβος και θόρυβος gamma => µοντελοποίηση θορύβου καταγραφής εικόνας µε ακτίνες laser Εκτίµηση παραµέτρων θορύβου Ένας τρόπος εκτίµησης της πυκνότητας πιθανότητας του θορύβου σε µια εικόνα επιτυγχάνεται µε την λήψη ιστογραµµάτων σε οµοιόµορφες περιοχές της εικόνας εδοµένου ότι οι τιµές φωτεινότητας της εικόνας σε αυτές τις περιοχές είναι σταθερές οποιαδήποτε διακύµανση στα ιστογράµµατα οφείλεται στο θόρυβο 6

7 Εκτίµηση παραµέτρων θορύβου ΙΙ) ΦιλτράρισµαΘορύβου Το φιλτράρισµα του θορύβου µπορεί να γίνει είτε στο χώρο της εικόνας όταν υπάρχει µοντελοποίηση του θορύβου µέσω της αντίστοιχης pdf και κατά συνέπεια εκτίµηση των στατιστικών του θορύβου κυρίως της µέσης τιµής και της διασποράς) µε βάση της σχέσεις: gxy) = fxy) + nxy) αθροιστικός θόρυβος) gxy) = fxy) + nxy) fxy) πολλαπλασιαστικός θόρυβος) Είτε στο χώρο της συχνότητας κυρίως για απαλοιφή περιοδικού θορύβου µε πεπερασµένο φάσµα συχνοτήτων µε βάση τη σχέση: Gu = u+nu 7

8 ΦιλτράρισµαΘορύβου στο χώρο της εικόνας Υπάρχουν υλοποιηµένα πάρα πολλά φίλτρα για την απαλοιφή του θορύβου στο χώρο της εικόνας κατάλληλα για συγκεκριµένα είδη θορύβου Μερικά παραδείγµατα φίλτρων δίνονται στη συνέχεια: Αριθµητικού µέσου γραµµικό δηµιουργία µέσω της συνάρτησης fspecial average [mn])) Γεωµετρικού µέσου µη γραµµικό δεν υπάρχει συγκεκριµένη υλοποίηση στη Matlab) Αρµονικού µέσου µη γραµµικό δεν υπάρχει συγκεκριµένη υλοποίηση στη Matlab) Αντιαρµονικού µέσου µη γραµµικό δεν υπάρχει συγκεκριµένη υλοποίηση στη Matlab) Τάξης median min max - µη γραµµικά συναρτήσεις medfilt ordfilt) Ενδιάµεσου σηµείου µη γραµµικό δεν υπάρχει συγκεκριµένη υλοποίηση στη Matlab) ΦιλτράρισµαΘορύβου στο χώρο της συχνότητας Εφαρµόζεται σε περιπτώσεις περιοδικού θορύβου ο οποίος αναλύεται σε λίγες συχνότητες οι οποίες µπορούν να εντοπιστούν από το µετασχηµατισµό Fourier Gu της υποβαθµισµένης εικόνας gxy) Απαλοιφή θορύβου τέτοιας µορφής επιτυγχάνεται µε ζωνοφρακτικά φίλτρα και φίλτρα εγκοπής 8

9 Η συνάρτηση µεταφοράς µετασχηµατισµός Fourier) ενός ζωνοφρακτικού φίλτρου Butterwort δίνεται από τη σχέση: br u = D u W + D u D 0 ΦιλτράρισµαΕγκοπής Notc Filtering) n Η συνάρτηση µεταφοράς φίλτρου εγκοπής βλέπε διπλανό σχήµα) δίνεται από τη σχέση: br u = D 0 + D u D u n ΦιλτράρισµαΕγκοπής II) br u = D 0 + D u D u n D u και D u είναι οι αποστάσεις της συχνότητας u από τη συχνότητα που πρέπει να αποκοπεί και τη συµµετρική της υπενθυµίζεται ότι στο µετασχηµατισµό Fourier υπάρχει συµµετρία ως προς την αρχή των αξόνων) D 0 είναι η ακτίνα της εγκοπής µε κέντρο τη συχνότητα που αποκόπτεται 9

10 Αποκατάσταση µε θόρυβο & διεργασίας υποβάθµισης Στις περισσότερες περιπτώσεις η υποβάθµιση της εικόνας προέρχεται από συνδυασµό µιας διεργασίας υποβάθµισης που µπορεί να οφείλεται στο χρησιµοποιούµενο εξοπλισµό αλλά και στη παρουσία θορύβου Σε αυτές τις περιπτώσεις απαλοιφή του θορύβου µέσω της µοντελοποίησης του δεν είναι αρκετή Απαιτείται µοντελοποίηση της διεργασίας υποβάθµισης και εφαρµογή µεθόδων αποκατάστασης που την απαλείφουν ή τουλάχιστον την περιορίζουν Αποκατάσταση µε θόρυβο & διεργασίας υποβάθµισης ΙΙ) Η απαλοιφή των προβληµάτων που προκαλεί η διεργασία υποβάθµισης µπορεί να γίνει: Πειραµατισµό στις ρυθµίσεις του εξοπλισµού ώστε να περιοριστούν τα προβλήµατα αυτό στις περισσότερες περιπτώσεις δεν είναι εφικτό πχ Ακτινογραφίες ή όταν η πρόσβαση στον εξοπλισµό κοστίζει ή είναι δύσκολή) ηµιουργία µιας συνάρτησης xy) συχνά επονοµαζόµενης και ως PSF Point Spread Function) η οποία µοντελοποιεί τη διεργασία υποβάθµισης και εφαρµογή τεχνικών αποκατάστασης εικόνων image restoration) Αν η διεργασία υποβάθµισης δεν είναι γνωστή ή δεν µπορεί να µοντελοποιηθεί εύκολα τότε εφαρµόζεται µια µεθοδολογία αποκατάστασης εικόνων µε ταυτόχρονη εκτίµηση της xy) Η τεχνική αυτή είναι γνωστή και ως τυφλή αποσυνέλιξη blind deconvolution) 0

11 Μοντέλο Θολώµατος blurring function) Μια από της πιο συνηθισµένες διεργασίες υποβάθµισης της εικόνας είναι το θόλωµα blur) Το θόλωµα µπορεί να προέρχεται από δύο αιτίες: Συνθήκες λήψης της εικόνας πχ Ατµοσφαιρικές συνθήκες σε αεροφωτογράφηση ή κακή εστίαση φακού) Κίνηση είτε του αντικειµένου που απεικονίζεται είτε της κάµερας Τόσο στη µία όσο και στην άλλη περίπτωση η συνάρτηση η οποία µοντελοποιεί το θόλωµα έχει την τάση να διασκορπίζει µια φωτεινή σηµειακή πηγή όπως φαίνεται στο επόµενο σχήµα) αιτιολογώντας την ονοµασία Point Spread Function Μοντέλο Θολώµατος II) Η µοντελοποίηση της σε περιπτώσεις στατικής λήψης γίνεται µέσω ενός χαµηλοπερατού φίλτρου Gauss Βλέπε συνάρτηση fspecial gaussian size sigma) στη Matlab Η µοντελοποίηση της κίνησης µπορεί επίσης να προσοµοιαστεί µε εφαρµογή κατάλληλου φίλτρου Βλέπε συνάρτηση fspecial motion len teta) στη Matlab

12 Μοντέλο Θολώµατος IIΙ) Μοντέλο Θολώµατος IV) Στη διπλανή εικόνα το θόλωµα έχει µοντελοποιηθεί ως συνδυασµός διαγώνιας κίνησης αλλά και Γκαουσιανού φιλτραρίσµατος

13 Μοντέλο Θολώµατος V) Original Image Motion Blurred Image Blurred Image Sarpened Image Αντίστροφο Φιλτράρισµα Όταν η διεργασία υποβάθµισης µπορεί να µοντελοποιηθεί µέσω µιας συνάρτησης xy) η οποία είναι ΓΧΑ Γραµµική Χρονικά Αναλλοίωτη) τότε το µοντέλο υποβάθµισης δίνεται από τη σχέση: gxy)= xy)*fxy) + nxy) Από τις ιδιότητες του Μετασχηµατισµού Fourier προκύπτει ότι ισχύει η σχέση: Gu = u Fu+Νu Εποµένως αν γνωρίζουµε την xy) µπορούµε να σχηµατίσουµε µια εκτίµηση f ˆ x y) της fxy) από τη σχέση: f ˆ x y) = IDFT{ Fˆ u } όπου IDFT{} δηλώνει τον αντίστροφο Μετασχηµατισµό Fourier και ˆ N u F u = F u + u 3

14 Αντίστροφο Φιλτράρισµα ΙΙ) Η τεχνική του αντίστροφου φιλτραρίσµατος θα µπορούσε να είναι αποτελεσµατική αν: ˆ N u F u = F u + u εν υπήρχε θόρυβος στην υποβαθµισµένη εικόνα ή Ο µετασχηµατισµός Fourier του θορύβου Νu) ήταν γνωστός Ακόµα και στις παραπάνω περιπτώσεις όµως και επειδή ο πίνακας u περιέχει συνήθως πολλά µηδενικά ιδιαίτερα στις υψηλές συχνότητες και δεν είναι εν γένει αντιστρέψιµος η Fˆ u δεν προσεγγίζει ικανοποιητικά την Fu και εποµένως ούτε η fˆ x y) προσεγγίζει την fxy) Αντίστροφο Φιλτράρισµα III) 4

15 Φίλτρα Wiener Η αποκατάσταση µε φίλτρα Wiener προσπαθεί να απαλείψει τα µειονεκτήµατα και τα προβλήµατα της αποκατάστασης µε βάση το αντίστροφο φιλτράρισµα Για το σκοπό αυτό η εικόνα f ˆ x y) υπολογίζεται µε ελαχιστοποίηση του στατιστικού σφάλµατος: f ) e = E ˆf όπου Ε{ } δηλώνει την αναµενόµενη τιµή της ποσότητας εντός των αγκυλών Από την ελαχιστοποίηση της παραπάνω ποσότητας e = E f ˆf ) ) προκύπτει η σχέση στο πεδίο της συχνότητας: ˆ u F u = G u u Sn u u + S f u όπου: Φίλτρα Wiener ΙΙ) ˆ u F u = G u u Sn u u + S f u Ηu = µετασχηµατισµός Fourier της συνάρτησης υποβάθµισης * u = u u και Η*u ο αναστροφοσυζυγής του Ηu S f u = F u το φάσµα ισχύος της µη υποβαθµισµένης εικόνας fxy) S n u = N u το φάσµα ισχύος του θορύβου nxy) Το πρόβληµα µε τη χρήση της παραπάνω σχέσης είναι ότι στις περισσότερες περιπτώσεις δεν υπάρχει γνώση του S n u και σχεδόν ποτέ του S f u 5

16 Φίλτρα Wiener ΙΙI) Στην πράξη εφαρµόζεται η σχέση: ˆ u F u = G u u u R + όπου R είναι είτε: µια σταθερά ανάλογη της µέσης ισχύος του θορύβου προς τη µέση ισχύ της εικόνας ένας πίνακας που αντιπροσωπεύει τους λόγους ισχύος θορύβου προς εικόνα στις διάφορες συχνότητες Στη πράξη η τιµή του R υπολογίζεται µετά από διάφορες δοκιµές µια τεχνική που είναι γνωστή ως παραµετρικό φιλτράρισµα Wiener Φίλτρα Wiener ΙV) Για την υλοποίηση σε Matlab της αποκατάστασης µε βάση τα φίλτρα Wiener χρησιµοποιείται η συνάρτηση deconvwnr και αποτελεί υλοποίηση του παραµετρικού φιλτραρίσµατος Wiener 6

17 7 Φίλτρα Wiener V) Στην αποκατάσταση µε βάση τα ελάχιστα τετράγωνα η σχέση: εκφράζεται σε µορφή γινοµένου πινάκων ως: όπου τα g f n είναι διανύσµατα στήλες διάστασης MNx και έχουν προκύψει µε λεξικογραφική σάρωση των γραµµών των εικόνων πινάκων µεγέθους ΜxN) gxy) fxy) και nxy) Ο πίνακας Η έχει διαστάσεις MNxMN και έχει την παρακάτω µορφή: Αποκατάσταση µε βάση τα Ελάχιστα Τετράγωνα ) ) ) ) ) ) 0 0 y x n y i x m n f N M y x n y x f y x M i N + = + = = n f g + = = 0 3 M M M M 0 M M 0 µε = 0) 3) ) ) ) ) 0) ) ) ) ) 0) N N N N N N

18 Η εύρεση της f ˆ x y) γίνεται µε κριτήριο τη βελτιστοποίηση της οµοιοµορφίας της ελαχιστοποίηση της ποσότητα C): C = M N f x y) ) x= 0 y= 0 Αποκατάσταση µε βάση τα Ελάχιστα Τετράγωνα ΙΙ) υποκείµενης στον περιορισµό: τετράγωνα) ελάχιστα Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει η σχέση στο πεδίο της συχνότητας µετασχηµατισµοί Fourier) * ˆ u F u = u + γ P u G u g fˆ = n Αποκατάσταση µε βάση τα Ελάχιστα Τετράγωνα ΙΙI) όπου Η*u ο αναστροφοσυζυγής του Ηu γ µια παράµετρος που ρυθµίζεται έτσι ώστε να ικανοποιείται ο περιορισµός: g fˆ = n και Pu ο µετασχηµατισµός Fourier του επεκταµένου µε µηδενικά) διδιάστατου διακριτού τελεστή Laplace: 0 p x y) = Για την υλοποίηση σε Matlab της αποκατάστασης µε βάση τα ελάχιστα τετράγωνα χρησιµοποιείται η συνάρτηση deconvreg 8

19 Αποκατάσταση µε βάση τα Ελάχιστα Τετράγωνα ΙV) Για την επιτυχή αποκατάσταση της εικόνας µε βάση τα ελάχιστα τετράγωνα είναι κρίσιµα να υπάρχει γνώση της ισχύος του θορύβου που έχει επιδράσει στην εικόνα ποσότητα n = T n n) διότι βάσει αυτής ρυθµίζεται η παράµετρος γ Στο επόµενο σχήµα επιδεικνύεται η σηµασία της χρήσης µιας σχετικά σωστής εκτίµησης για την ισχύ του θορύβου που έχει επιδράσει στην εικόνα Τυφλή Αποσυνέλιξη Σε πολλές περιπτώσεις η γνώση της διαδικασίας υποβάθµισης της εικόνας δεν είναι γνωστή ή δεν είναι εύκολο να προσοµοιωθεί µε κάποια συνάρτηση Στις περιπτώσεις αυτές εφαρµόζεται µια επαναληπτική διαδικασία αποκατάστασης της εικόνας στην οποία σε κάθε επανάληψη έχουµε µια νέα εκτίµηση της xy) µε βάση την αρχή βελτιστοποίησης της µέγιστης πιθανοφάνειας maximum likeliood estimation) Παρόλο που στις παραπάνω περιπτώσεις δεν υπάρχει άλλη επιλογή για την αποκατάσταση της εικόνας µε βάση κάποια αντικειµενικά κριτήρια η τυφλή αποσυνέλιξη παρουσιάζει και µειονεκτήµατα: εν είναι εύκολο να γνωρίζεις πότε η επαναληπτική διαδικασία πρέπει να σταµατήσει Σχετικά χρονοβόρα µεθοδολογία λόγω των πολλών επαναλήψεων που µπορεί να χρειαστούν για να επιτευχθεί το επιθυµητό αποτέλεσµα 9

20 Τυφλή Αποσυνέλιξη ΙΙ) A = Blurred and Noisy True PSF Εφαρµογή της συνάρτησης deconvblind Deblured Image Recovered PSF Βασικές Γεωµετρικές Λειτουργίες Εικόνας Οι γεωµετρικές λειτουργίες εικόνας είναι αντίθετες των λειτουργιών σηµείου: αλλάζουν την τοποθεσία των pixel αλλά όχι την τιµή τους Μια γεωµετρική λειτουργία γενικά χρειάζεται δυο βήµατα: Μια ταύτιση χώρου των συντεταγµένων της εικόνας µας δίνει µια νέα συνάρτηση εικόνας J: Ji ) = Ii ) = I[ai ) bi )] Οι συντεταγµένες ai ) and bi ) δεν είναι γενικά ή συνήθως ακέραιοι! Για παράδειγµα: ai ) = i/35 bi ) = /45 Τότε Ji ) = Ii/35 /45) το οποίο έχει απροσδιόριστες συντεταγµένες! Έτσι συνεπάγεται η ανάγκη δεύτερης λειτουργίας: Μετατρέπουµε τις µη-ακεραίες συντεταγµένες ai ) και bi ) σε ακέραιες τιµές έτσι ώστε το J να µπορεί να παραστεί σε µορφή σειρών-στηλών πίνακα) 0

21 Παρεµβολή Πλησιέστερου Γείτονα Με απλή σκέψη: Οι γεωµετρικά µετασχηµατισµένες συντεταγµένες ταυτίζονται στις πλησιέστερες ακέραιες συντεταγµένες: Ji ) = I{INT[ai )+05] INT[bi )+05]} Σοβαρό µειονέκτηµα: Ξαφνικές αλλαγές της φωτεινότητας έχουν σαν αποτέλεσµα τις σπασµένές ακµές Για κάποια συντεταγµένη i ) είτε INT[ai )+05] < 0 ή INT[bi )+05] < 0 είτε INT[ai )+05] > N- ή INT[bi )+05] > N- τότε Ji ) = I{INT[ai )+05] INT[bi )+05]} δεν µπορεί να προσδιοριστεί Συνήθως θέτουµε το Ji ) = 0 για αυτές τις τιµές ιγραµµική Παρεµβολή ηµιουργία µιας πιο οµαλής παρεµβολής από την προσέγγιση του πλησιέστερου γείτονα ίδονται τέσσερις συντεταγµένες Ii 0 0 ) Ii ) Ii ) και Ii 3 3 ) η νέα εικόνα Ji ) υπολογίζεται ως ακολούθως: Ji ) = A 0 + A i + A + A 3 i όπου τα διγραµµικά βάρη A 0 A A και A 3 είναι το αποτέλεσµα της λύσης του πιο κάτω συστήµατος εξίσωσεων: A0 A = A A3 i i i i i0 0 i i i3 3 I i0 0) I i ) I i ) I i3 3) Ένας γραµµικός συνδυασµός των τεσσάρων πλησιέστερων τιµών Το πιο καλό ταίριασµα επιπέδου στις τέσσερις πλησιέστερες τιµές

22 Βασικοί Γεωµετρικοί Μετασχηµατισµοί Με τον όρο µετασχηµατισµοί αναφερόµαστε στο χειρισµό των θέσεων των pixels µε συγκεκριµένους τρόπους οι οποίοι τη χωροταξική διάταξη τους Οι κυριότεροι γεωµετρικοί µετασχηµατισµοί είναι: Μετατόπιση translation) γραµµική κίνηση Κλιµάκωση scaling) αλλαγή µεγέθους Αντικατοπτρισµός reflection) σχηµατισµός ειδώλου Περιστροφή rotation) Κύρτωση searing - skewing) Οι µετασχηµατισµοί µπορεί να εφαρµοστούν αριθµητικά µε εφαρµογή µαθηµατικών συναρτήσεων στις θέσεις των pixel Ένας γεωµετρικός µετασχηµατισµός απεικονίζει κάθε σηµείο Α x A y A ) του επιπέδου σε ένα άλλο σηµείο Β x B y B ) µέσω µίας συνάρτησης Τ έτσι ώστε: Τx A y A ) = x B y B ) ή πιο συνοπτικά: ΤΑ) = Β Οµοπαραλληλικοί affine) µετασχηµατισµοί Οι µετασχηµατισµοί αυτοί έχουν µια αρκετά απλή µορφή βλέπε συνάρτηση maketform στη Matlab Αν ένας τέτοιος µετασχηµατισµός απεικονίζει το σηµείο Α που αναφέραµε προηγουµένως σε ένα σηµείο Β τότε οι συντεταγµένες των δύο σηµείων θα συνδέονται µε τους τύπους: x B = a χ Α + c y A + l x y B = b χ Α + d y A + l y όπου a b c d l x l y σταθερές και a d διάφορο του b c Η µορφή που γράψαµε µπορεί να εκφραστεί σε µορφή πινάκων ως: x B y B ) = x A y A ) M + l x l y ) όπου ο Μ είναι ένας x πίνακας µε τη µορφή: a M = c c d

23 Μετατόπιση Η µετατόπιση είναι η πιο απλή γεωµετρική λειτουργία και δεν χρειάζεται παρεµβολή Η µετατόπιση ενός σηµείου σε ένα γεωµετρικό µετασχηµατισµό περιγράφεται από τις παραµέτρους l x l y ) Στον συγκεκριµένο µετασχηµατισµό ο πίνακας Μ έχει τη µορφή: 0 M = 0 Το αποτέλεσµα της εφαρµογής ενός τέτοιου µετασχηµατισµού σε ένα σηµείο Α είναι η µετατόπιση του A κατά l x και κατά l y αντίστοιχα στους άξονες x και y Κλιµάκωση Αλλαγή µεγέθους) Η µεγέθυνση / σµίκρυνση ενός σχήµατος κατά S x και S y αντίστοιχα στους άξονες x και y επιτυγχάνεται µε τον πολλαπλασιασµό των αντίστοιχων συντεταγµένων κάθε σηµείου του µε τα δύο αυτά ποσοστά µεγέθυνσης / σµίκρυνσης Για την υλοποίηση της παραπάνω λειτουργίας ο πίνακας Μ έχει τη µορφή: Sx M = 0 0 S y και το l x l y ) έχει τη µορφή 0 0) Θα πρέπει να σηµειώσουµε ότι αν κάποιο από τα S x S y είναι αρνητικό τότε ο συγκεκριµένος µετασχηµατισµός πέρα από τη µεταβολή των διαστάσεων του σχήµατος το µετατοπίζει στο συµµετρικό του σχήµατος κατά τους άξονες y και x αντίστοιχα 3

24 Κλιµάκωση ΙΙ) Για µεγάλη µεγέθυνση η µεγεθυσµένη εικόνα θα φαίνεται θολή αν χρησιµοποιηθεί απλή παρεµβολή πλησιέστερου γείτονα Η διγραµµική παρεµβολή δίνει καλύτερα αποτελέσµατα Η κλιµάκωση είναι και γνωστή ως ψηφιακό zoom Περιστροφή Στη περιστροφή ενός σηµείου κατά γωνία θ ως προς το κέντρο των αξόνων του συστήµατος συντεταγµένων ο πίνακας Μ έχει τη µορφή: cos θ ) M = sin θ ) sin θ ) cos θ ) και το l x l y ) έχει τη µορφή 0 0) Περιστροφή κατά 30 0 θ= 30 0 ) 4

25 Κύρτωση Η κύρτωση περιλαµβάνει τη µεταβολή των συντεταγµένων στον άξονα των x ενός σηµείου κατά ένα ποσό που είναι ανάλογο της συντεταγµένης του ίδιου σηµείου κατά τον άξονα των y Ένα παράδειγµα ενός τέτοιου µετασχηµατισµού αποτελεί η µετατροπή ορθής γραφής σε πλάγια italics) Κατά το µετασχηµατισµό αυτό η γενική µορφή του πίνακα Μ είναι: M = g και το l x l y ) έχει τη µορφή 0 0) Κύρτωση ΙΙ) Κάθετη κύρτωση g = = 0) Οριζόντια κύρτωση g=0 =5) 5

26 Σύνοψη Το υλικό που παρουσιάστηκε σε αυτή την ενότητα αναφέρεται στη αποκατάσταση ποιότητας εικόνας µε τεχνικές τόσο στο πεδίο της συχνότητας όσο και στο πεδίο του χώρου Στην αποκατάσταση εικόνας θεωρείται ότι υπάρχει γνώση της διαδικασίας υποβάθµισης της εικόνας και των στατιστικών του θορύβου Τα κριτήρια της αποκατάστασης είναι µαθηµατικές σχέσεις και αυτό διαφοροποιεί τις τεχνικές αποκατάστασης από τις τεχνικές βελτίωσης ποιότητας 6

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow

Διαβάστε περισσότερα

Ακαδηµαϊκό Έτος 2005 2006, Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης

Ακαδηµαϊκό Έτος 2005 2006, Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ Ι ΑΚΤΙΚΗΣ ΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΨΣ 5: ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 5 6 Χειµερινό Εξάµηνο Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Το

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Ενότητα 2 : Βελτιστοποίηση εικόνας (Image enhancement) Ιωάννης Έλληνας Τμήμα Η/ΥΣ Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση Χειμερινό Εξάμηνο 2013-2014 Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση 5 η Παρουσίαση : Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Διδάσκων: Γιάννης Ντόκας Σύνθεση Χρωμάτων Αφαιρετική Παραγωγή Χρώματος Χρωματικά

Διαβάστε περισσότερα

Digital Image Processing

Digital Image Processing Digital Image Processing Intensity Transformations Πέτρος Καρβέλης pkarvelis@gmail.com Images taken from: R. Gonzalez and R. Woods. Digital Image Processing, Prentice Hall, 2008. Image Enhancement: είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μια «ανώδυνη» εισαγωγή στο μάθημα (και στο MATLAB )

Μια «ανώδυνη» εισαγωγή στο μάθημα (και στο MATLAB ) Μια «ανώδυνη» εισαγωγή στο μάθημα (και στο MATLAB ) Μια πρώτη ιδέα για το μάθημα χωρίς καθόλου εξισώσεις!!! Περίγραμμα του μαθήματος χωρίς καθόλου εξισώσεις!!! Παραδείγματα από πραγματικές εφαρμογές ==

Διαβάστε περισσότερα

Ανακατασκευή εικόνας από προβολές

Ανακατασκευή εικόνας από προβολές Ανακατασκευή εικόνας από προβολές Μέθοδος ανακατασκευής με χρήση χαρακτηριστικών δειγμάτων προβολής Αναστάσιος Κεσίδης Δρ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός Θέματα που θα αναπτυχθούν Εισαγωγή στις τομογραφικές μεθόδους

Διαβάστε περισσότερα

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο;

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Συνήθως ο όρος φίλτρο υποδηλώνει µια διαδικασία αποµάκρυνσης µη επιθυµητών στοιχείων Απότολατινικόόροfelt : το υλικό για το φιλτράρισµα υγρών Στη εποχή των ραδιολυχνίων:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

Βελτίωση - Φιλτράρισμα εικόνας

Βελτίωση - Φιλτράρισμα εικόνας Βελτίωση - Φιλτράρισμα εικόνας /7 Βελτίωση εικόνας με φιλτράρισμα Το φιλτράρισμα εικόνας είναι ουσιαστικά η πράξη συνέλιξης μεταξύ της αρχικής εικόνας και ενός συνόλου συντελεστών που συνήθως ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων Περιεχόµενα Κεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά των Κυµάτων Είδη κυµάτων: Διαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της Διάδοσης κυµάτων Η Εξίσωση του Κύµατος

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform) Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : (α) Ταχύτητα ΚΜ: u KM = mu + mu m = u + u Εποµένως u = u u + u = u u, u = u u + u = u u (β) Διατήρηση ορµής στο ΚΜ: mu + mu = mv + mv u + u = V + V = 0 V = V

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 33 ΦακοίκαιΟπτικάΣτοιχεία. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 33 ΦακοίκαιΟπτικάΣτοιχεία. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 33 ΦακοίκαιΟπτικάΣτοιχεία ΠεριεχόµεναΚεφαλαίου 33 Λεπτοί Φακοί- ιάδοση Ακτίνας Εξίσωση Λεπτού Φακού-Μεγέθυνση Συνδυασµός Φακών ΟιεξίσωσητουΟπτικού Φωτογραφικές Μηχανές : Ψηφιακές και Φιλµ ΤοΑνθρώπινοΜάτι;

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΑΘΑΝΑΣΙΑ ΚΟΛΟΒΟΥ (Ε.Τ.Ε.Π.) 2012 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ Ο σκοπός αυτού

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΡΟΛΟΓΟΣ...17 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...19 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΣΧΕ ΙΑΣΗΣ 1.1 Μεθοδολογία σχεδίασης...25 1.2 Η διαδικασία της σχεδίασης...26 1.3 ηµιουργικότητα στη

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Οπτικής ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ

Εργαστήριο Οπτικής ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ Μάκης Αγγελακέρης 010 Σκοπός της άσκησης Να μπορείτε να εξηγήσετε το φαινόμενο της Συμβολής και κάτω από ποιες προϋποθέσεις δύο δέσμες φωτός, μπορεί να συμβάλουν. Να μπορείτε να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

Ενισχυτές Μετρήσεων. 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής

Ενισχυτές Μετρήσεων. 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής 3 Ενισχυτές Μετρήσεων 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής Πολλές φορές ένας ενισχυτής σχεδιάζεται ώστε να αποκρίνεται στη διαφορά µεταξύ δύο σηµάτων εισόδου. Ένας τέτοιος ενισχυτής ονοµάζεται ενισχυτής διαφοράς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ)

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) 0. Εισαγωγή Τα αποτελέσµατα πεπερασµένης ακρίβειας οφείλονται στα λάθη που προέρχονται από την παράσταση των αριθµών µε µια πεπερασµένη ακρίβεια. Τα αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 32 Φως: Ανάκλασηκαι ιάθλαση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 32 Φως: Ανάκλασηκαι ιάθλαση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 32 Φως: Ανάκλασηκαι ιάθλαση Γεωµετρική θεώρηση του Φωτός Ανάκλαση ηµιουργίαειδώλουαπόκάτοπτρα. είκτης ιάθλασης Νόµος του Snell Ορατό Φάσµα και ιασπορά Εσωτερική ανάκλαση Οπτικές ίνες ιάθλαση σε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Το απλό εκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 2. Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών ΔιακριτάΣήματαστοΧώροτης Συχνότητας

Διάλεξη 2. Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών ΔιακριτάΣήματαστοΧώροτης Συχνότητας University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη 2 Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών Γραμμικές Εξισώσεις Διαφορών με Σταθερούς Συντελεστές (Linear Constant- Coefficient

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΥΛΙΚΟΥ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΥΛΙΚΟΥ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΥΛΙΚΟΥ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Εισαγωγή Ηεµφάνιση ηλεκτρονικών υπολογιστών και λογισµικού σε εφαρµογές µε υψηλές απαιτήσεις αξιοπιστίας, όπως είναι διαστηµικά προγράµµατα, στρατιωτικές τηλεπικοινωνίες,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κεφάλαιο M6 Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κυκλική κίνηση Αναπτύξαµε δύο µοντέλα ανάλυσης στα οποία χρησιµοποιούνται οι νόµοι της κίνησης του Νεύτωνα. Εφαρµόσαµε τα µοντέλα αυτά

Διαβάστε περισσότερα

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes)

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) Πολλά ΧΠ δεν µπορούν να αναπαρασταθούν αριθµητικά. Τα ΧΠ χαρακτηρίζονται συµµορφούµενα και µη-συµµορφούµενα. Τα ΧΠ τέτοιου είδους ονοµάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Από την Θεωρία Θνησιµότητας Συνάρτηση Επιβίωσης : Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Η s() δίνει την πιθανότητα άτοµο ηλικίας µηδέν, ζήσει πέραν της ηλικίας. όταν s() s( ) όταν o

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Μαρίνα Χαραλαµπίδου Τµήµα Μαθηµατικών Τοµέας Αλγεβρας και Γεωµετρίας Πανεπιστηµίο Αθηνών Σεµινάριο Τοµέα Αλγεβρας και Γεωµετρίας 11/12/2012 1 / 47 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Σχήμα 1 Απόκλιση στον πυκνωτή (σωλήνας Braun)

Σχήμα 1 Απόκλιση στον πυκνωτή (σωλήνας Braun) Άσκηση Η3 Επαλληλία κινήσεων (Μετρήσεις με παλμογράφο) Εκτροπή δέσμης ηλεκτρονίων Όταν μια δέσμη ηλεκτρονίων εισέρχεται με σταθερή ταχύτητα U0=U,0 (παράλληλα στον άξονα z) μέσα σε έναν πυκνωτή, του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

Προηγμένες εφαρμογές των μαθηματικών στην ψηφιακή επεξεργασία σήματος με χρήση της Matlab

Προηγμένες εφαρμογές των μαθηματικών στην ψηφιακή επεξεργασία σήματος με χρήση της Matlab ATEI Κρήτης Παράρτημα Χανίων τμ. Ηλεκτρονικής Προηγμένες εφαρμογές των μαθηματικών στην ψηφιακή επεξεργασία σήματος με χρήση της Matlab Iterative Shadowgraphic Method (ISM) Παναγιώτης Αργυρέας 5/12/2010

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Μια εισαγωγή στο φίλτρο Kalman

Μια εισαγωγή στο φίλτρο Kalman 1 Μια εισαγωγή στο φίλτρο Kalman Το 1960, R.E. Kalman δημόσιευσε το διάσημο έγγραφό του περιγράφοντας μια επαναλαμβανόμενη λύση στο γραμμικό πρόβλημα φιλτραρίσματος διακριτών δεδομένων. Από εκείνη τη στιγμή,

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ 1 3.5 ΕΜΒ Ν ΚΥΚΛΙΚΥ ΙΣΚΥ ΘΕΩΡΙ Εµβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ : Ε = πρ Σηµείωση : Tο εµβαδόν του κυκλικού δίσκου, χάριν ευκολίας αναφέρεται σαν εµβαδόν του κύκλου. ΣΧΛΙ Για το εµβαδόν του κυκλικού δίσκου

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση του Φαινομένου του Μικροφωνισμού σε Ακουστικά Βαρηκοΐας

Αφαίρεση του Φαινομένου του Μικροφωνισμού σε Ακουστικά Βαρηκοΐας Αφαίρεση του Φαινομένου του Μικροφωνισμού σε Ακουστικά Βαρηκοΐας Νιαβής Παναγιώτης Επιβλέπων: Καθ. Γ. Μουστακίδης Περιεχόμενα Εισαγωγή Μικροφωνισμός σε ακουστικά βαρηκοΐας Προσαρμοστική αναγνώριση συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Δυσδιάστατη κινηματική ανάλυση. Τσιόκανος Αθανάσιος, Επ. Καθηγητής Βιοκινητικής

Δυσδιάστατη κινηματική ανάλυση. Τσιόκανος Αθανάσιος, Επ. Καθηγητής Βιοκινητικής Δυσδιάστατη κινηματική ανάλυση Τσιόκανος Αθανάσιος, Επ. Καθηγητής Βιοκινητικής Θέματα προς ανάλυση Αντικείμενο της κινηματικής ανάλυσης Καταγραφή της κίνησης Ψηφιοποίηση Υπολογισμός δεδομένων Η δυνατότητα

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικές Μέθοδοι στις Κατασκευές

Υπολογιστικές Μέθοδοι στις Κατασκευές Γενικά Για Τη Βελτιστοποίηση Η βελτιστοποίηση µπορεί να χωριστεί σε δύο µεγάλες κατηγορίες: α) την Βελτιστοποίηση Τοπολογίας (Topological Optimization) και β) την Βελτιστοποίηση Σχεδίασης (Design Optimization).

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών. Ανάκτηση Χρονισμού. Τρόποι Συγχρονισμού Συμβόλων. Συγχρονισμός Συμβόλων. t mt

Εισαγωγή. Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών. Ανάκτηση Χρονισμού. Τρόποι Συγχρονισμού Συμβόλων. Συγχρονισμός Συμβόλων. t mt Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών Συγχρονισμός Συμβόλων Εισαγωγή Σε ένα ψηφιακό τηλεπικοινωνιακό σύστημα, η έξοδος του φίλτρου λήψης είναι μια κυματομορφή συνεχούς χρόνου y( an x( t n ) n( n x( είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο 3: Διαλείψεις

Εργαστήριο 3: Διαλείψεις Εργαστήριο 3: Διαλείψεις Διάλειψη (fading) είναι η παραμόρφωση ενός διαμορφωμένου σήματος λόγω της μετάδοσης του σε ασύρματο περιβάλλον. Η προσομοίωση μίας τέτοιας μετάδοσης γίνεται με την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε φθηνότερη διαδροµή µε µη γραµµικό κόστος

Κίνηση σε φθηνότερη διαδροµή µε µη γραµµικό κόστος υποδο?ών?εταφράζεταισε?ίαγενικότερηεξοικονό?ησηπαραγωγικώνπόρωνγιατηκοινωνία. τεχνικέςυποδο?ές,όπωςείναιαυτοκινητόδρο?οι,γέφυρεςκ.λ.π.ηκατασκευήτέτοιων Μιααπ τιςβασικέςλειτουργίεςτουκράτουςείναιοεφοδιασ?όςτηςκοινωνίας?εβασικές

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 3 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Περιεχόμενα: Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Επανάληψη: Διακριτά στοιχεία μηχανικών δυναμικών συστημάτων Δυναμικά

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Αριθμητικά συστήματα Υπάρχουν 10 τύποι ανθρώπων: Αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x Λύση (ΘΕΜΑ ο ) Γ. Έστω οι συναρτήσεις : h ln με D 0, h f με D, h h h με 3 0, 0, ln h h D D / h D δηλαδή h3 h h ή D 0, h h h με 4 f,, h 3 D D / h D δηλαδή h4 h h ή D, Έτσι η εξίσωση h ln h f h 4 ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές

Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές Το πακέτο ΕXCEL: Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές Eπιμέλεια των σημειώσεων και διδασκαλία: Ευαγγελία Χαλιώτη* Θέματα ανάλυσης: - Συναρτήσεις / Γραφικές απεικονίσεις - Πράξεις πινάκων - Συστήματα εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D

Γραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα Σήμερα θα δούμε τα παρακάτω θέματα: Μετασχηματισμοί

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων (Pattern Recognition) Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayesian Decision Theory) Π. Τσακαλίδης

Αναγνώριση Προτύπων (Pattern Recognition) Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayesian Decision Theory) Π. Τσακαλίδης Αναγνώριση Προτύπων (Pattern Recognton Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayesan Decson Theory Π. Τσακαλίδης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayes Decson theory Στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Μορφές προϊόντων (1/3) Πλέγµα τριγώνων (polygon meshes) Εικόνες απόστασης (range images)

Μορφές προϊόντων (1/3) Πλέγµα τριγώνων (polygon meshes) Εικόνες απόστασης (range images) Μορφές προϊόντων (1/3) Νέφη σηµείων (point clouds) + Εύκολος τρόπος παρουσίασης στον Η/Υ + Ικανοποιητικό τελικό προϊόν για απλά σχήµατα / όψεις υσκολία ερµηνείας για αντικείµενα µε σύνθετες µορφές Απώλεια

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo

Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo ΦΥΣ 145 - Διαλ.09 Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo Χρησιμοποίηση τυχαίων αριθμών για επίλυση ολοκληρωμάτων Η μέθοδος Monte Carlo δίνει μια διαφορετική προσέγγιση για την επίλυση ενός ολοκληρώμτατος Τυχαίοι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ένα σύστηµα εκκρεµούς όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα: Πάνω στη µάζα Μ επιδρά µια οριζόντια δύναµη F l την οποία και θεωρούµε σαν είσοδο στο σύστηµα. Έξοδος του συστήµατος θεωρείται η απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Σφάλματα Μετρήσεων Συμβατικά όργανα μετρήσεων Χαρακτηριστικά μεγέθη οργάνων Παλμογράφος Λέκτορας Σοφία Τσεκερίδου 1 Σφάλματα μετρήσεων Επιτυχημένη μέτρηση Σωστή εκλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Εκτίμηση μη-γραμμικών χαρακτηριστικών

Εκτίμηση μη-γραμμικών χαρακτηριστικών Εκτίμηση μη-γραμμικών χαρακτηριστικών Μη-γραμμικά χαρακτηριστικά ή αναλλοίωτα μέτρα Διάσταση. Ευκλείδια. Τοπολογική 3. Μορφοκλασματική (συσχέτισης, πληροφορίας, μέτρησης κουτιών, ) Εκθέτες Lypunov (μεγαλύτερος,

Διαβάστε περισσότερα

R n R 2. x 2. x 1. x: συντεταγµένες του z

R n R 2. x 2. x 1. x: συντεταγµένες του z Αναγνώριση Προσώπου µε Σύγκριση Υπερεπιφανειών Θανάσης Ζάγουρας.Π.Μ.Σ Η.Ε.Π, Τµήµα Φυσικής, Πανεπιστήµιο Πατρών Επιβλέποντες: Σπ. Φωτόπουλος Γ. Οικονόµου Ανάλυση Εικόνων Προσώπου Πεδία Αναγνώρισης Προτύπων

Διαβάστε περισσότερα

Αναλογικά φίλτρα. Για να επιτύχουµε µια επιθυµητή απόκριση χρειαζόµαστε σηµαντικά λιγότερους συντελεστές γιαένα IIR φίλτροσεσχέσηµετοαντίστοιχο FIR.

Αναλογικά φίλτρα. Για να επιτύχουµε µια επιθυµητή απόκριση χρειαζόµαστε σηµαντικά λιγότερους συντελεστές γιαένα IIR φίλτροσεσχέσηµετοαντίστοιχο FIR. Τα IIR φίλτρα είναι επαναληπτικά ή αναδροµικά, µε την έννοια ότι δείγµατα της εξόδου χρησιµοποιούνται από το σύστηµα για τον υπολογισµό τν νέν τιµών της εξόδου σε επόµενες χρονικές στιγµές. Για να επιτύχουµε

Διαβάστε περισσότερα

Μετρήσεις γεωµετρικών µεγεθών µε χρήση διαστη- µόµετρου, µικρόµετρου και σφαιρόµετρου

Μετρήσεις γεωµετρικών µεγεθών µε χρήση διαστη- µόµετρου, µικρόµετρου και σφαιρόµετρου Μ7 Μετρήσεις γεωµετρικών µεγεθών µε χρήση διαστη- µόµετρου, µικρόµετρου και σφαιρόµετρου A. Προσδιορισµός της πυκνότητας στερεού σώµατος B. Εύρεση της εστιακής απόστασης συγκλίνοντα φακού. Σκοπός Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 ΦΥΣΙΟΛΟΓΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ I. ΤΙΤΛΟΣ: ΣΦΑΙΡΙΚΟΙ & ΚΥΛΙΝ ΡΙΚΟΙ ΦΑΚΟΙ Πέµπτη, 10 Μαρτίου 2005. Μαίρη Τζιράκη, Κουνής Γεώργιος

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 ΦΥΣΙΟΛΟΓΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ I. ΤΙΤΛΟΣ: ΣΦΑΙΡΙΚΟΙ & ΚΥΛΙΝ ΡΙΚΟΙ ΦΑΚΟΙ Πέµπτη, 10 Μαρτίου 2005. Μαίρη Τζιράκη, Κουνής Γεώργιος ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 ΦΥΣΙΟΛΟΓΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ I ΤΙΤΛΟΣ: ΣΦΑΙΡΙΚΟΙ & ΚΥΛΙΝ ΡΙΚΟΙ ΦΑΚΟΙ Πέµπτη, 10 Μαρτίου 2005 Μαίρη Τζιράκη, Κουνής Γεώργιος Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης είναι η µελέτη των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ

ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007 ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΔΟΡΥΦΟΡΩΝ ΔΙΟΝΥΣΟΥ Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 157 80 Ζωγράφος Αθήνα Τηλ.: 210 772 2666 2668, Fax: 210 772 2670 ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Εικόνα. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 05-1

Εικόνα. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 05-1 Εικόνα Εισαγωγή Ψηφιακή αναπαράσταση Κωδικοποίηση των χρωμάτων Συσκευές εισόδου και εξόδου Βάθος χρώματος και ανάλυση Συμβολική αναπαράσταση Μετάδοση εικόνας Σύνθεση εικόνας Ανάλυση εικόνας Τεχνολογία

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Κ. Ψυχαλίνος Πάτρα 005 . METAΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE. Ορισμοί Μετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο συχνότητας.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Βασικό Θεωρητικό Υπόβαθρο

Εισαγωγή Βασικό Θεωρητικό Υπόβαθρο ΤΨΣ 150 Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Εισαγωγή Βασικό Θεωρητικό Υπόβαθρο Νικόλας Τσαπατσούλης Επίκουρος Καθηγητής Π..407/80 Τµήµα ιδακτικής της Τεχνολογίας και Ψηφιακών Συστηµάτων Πανεπιστήµιο Πειραιώς Τι

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ...3

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ...3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ- ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ...3 ΕΝΟΤΗΤΑ 3.. Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ-Z...4 3... ΟΡΙΣΜΌΣ...4 3... ΎΠΑΡΞΗ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΎ-Z...5 3..3. ΙΔΙΌΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΎ-Z... ΕΝΟΤΗΤΑ 3..

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο.

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 63 6. Άσκηση 6 Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. 6.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης αυτής, καθώς και των δύο εποµένων, είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα