משוואות דיפרנציאליות רגילות 80320

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "משוואות דיפרנציאליות רגילות 80320"

Transcript

1 1 משוואות דיפרנציאליות רגילות 832 דויד שיפרוט 25 ביוני 215 תוכן עניינים Á מבוא 2 1 הגדרות ÁÁ משוואות מסדר ראשון משוואה לינארי מסדר ראשון: משוואות לא לינאריות מסדר ראשון פתרון בהפרדת המשתנים משוואות מדויקות גורמי אינטגרציה משוואות הומוגניות משפט קיום ויחידות של פיקארד ÁÁÁ משוואות מסדר שני משוואות לינאריות מסדר שני ורונסקיאן אי תלות לינארית שיטות למציאת פתרון למשוואה הומוגנית הורדת סדר משוואות הומוגניות עם מקדמים קבועים שיטות למציאת פתרון מסוים שיטת הקבועות החופשיים וריאציה של פרמטרים È Ö Ñ Ø Ö Î Ö Ø ÓÒ Ó פתירת מד''ר מסדר שני בעזרת טורי חזקות חזרה לטורי חזקות פתרון למשוואות לינאריות מסדר שני בעזרת טורי חזקות משוואה. ÖÝ פתרון כללי בעזרת טורי חזקות למד''ר לינארי מסדר שני פתרון בעזרת טורי חזקות סביב נקודות סינגולריות משוואת אויילר n משוואות מסדר ÁÎ 9 מערכת משוואות ווריציא של פרמטרים מערכות של מד''ר מערכת משוואות של מד''ר לינאריות פתרון כללי של מערכת לינארית ורונסקיאן מערכת משוואות הומוגנית עם מקדמים קבועים Î בעיות תנאי שפה בעיות שטורים ליאוביל ËØÙÖÑ¹Ä ÓÚ ÐÐ Ä ÔÐ ÌÖ Ò ÓÖÑ התמרת לפלס ÎÁ

2 חלק Á מבוא הגדרה.1 משוואה דיפרנציאלי היא משוואה שמקשרת פונקציות עם נגזרותיה. למשוואה דיפרציאלית עם משתנה עצמאי יחיד נקרא משוואה דיפרנציאלי רגילה, למשוואה דיפרנציאלי עם מספר משתנים עצמאיים נקרא משוואה דיפרנציאלית חלקית. אנו נעסוק בקורס זה במשוואות דיפרנציאליות רגילות. 1 הגדרות הגדרה 1.1 הסדר של משוואה דיפרנציאלית, הוא הסדר של הנגזרת הגבוהה ביותר שמופיעה בה. המשוואה הדיפרנציאלית הרגילה הכללית ביותר מסדר n היא ביטוי מהצורה: Fx,ux,u x,...,u n x = כאשר F הוא פונקציה כלשהו. לרוב נכתוב באופן מקוצר משהו כמו: Fx,y,y,y,...,y n כאשר y פונקציה של x. למשל: y +2e x y +yy = x 4 y +2e x y +yy x 4 = y n = fx,y,y,...,y n 1 לרוב נדון במשוואות מסדר n, מהצורה: כלומרשניתןלבודדאתהנגזרתהגבוההביותר. משוואהמהצורה n Fx,y,y,y,...,y תוליךלמספרמשוואותמהצורה n 1.y n = fx,y,y,...,y למשל: y 2 +xy +4y = משוואה זו מוליכה ל y = x x 2 16y 2 ÓÖ y = x+ x 2 16y 2 שאלה: = +1 x 2 כמה פתרונות יש ב C,1 לפונקציות ממשיות? תשובה : כמה פתרונות יש ב C,1 לפונקציות מרוכבות? תשובה : 2 הגדרה 1.2 פתרון של משוואה מהצורה : y n = f x,y,y,...,y n 1 על קטע α,β הוא פונקציה: φ : α,β R φ n x = f x,φx,..,φ n 1 x כך שהנגזרות n φ,φ,...,φ קיימות ומקיימות: לכל α,β.x

3 שאלות מרכזיות: 1. קיום: האם יש פתרון? 2. יחידות: האם יש פתרון יחיד המקיים תנאים מסויימים? דוגמא: y = 3y על הקטע,. לכל φx = ce 3x c, R היא פתרון אפילו יש אינסוף פתרונות. אם נדרוש = 1 y אז יהיה פתרון יחיד. הגדרה 1.3 משוואה מהצורה = n F x,y,y,...,y נקראת לינארית אם F היא פונקציה לינארית של המשתנים n. y,y,y...,y באופן שקול המשוואה הכללית מסדר n, היא מהצורה: a n xy n +a n 1 xy n a xy = gx אם =,gx אזי המשוואה נקראת הומוגנית, ואם,gx אזי היא נקראת לא הומוגנית. משוואה שאיננה לינארית, נקראת לא לינארית.

4 חלק ÁÁ משוואות מסדר ראשון משוואות מסדר ראשון היא מהצורה: y = f x,y דוגמאות: 1 הסוג הפשוטה ביותר: fx y. = פתרונה הכללית היא y. = x ftdt+c הכוונה של אינטגרל זה, בחירת פונקציה קדומה כלשהי. y +Pxy = gx.y = sin2x y = 1 2cos2x+c 2 2 משוואה לינארי מסדר ראשון: משוואה לינארי מסדר ראשון היא משוואה מהצורה: מקרה ראשון: נתחיל מ = +ay y על,. מ''ניחוש'' רואים ש y = ce ax הוא פתרון. המשוואה שקולה ל lny = y y = a lny = ax+c y = ce ax כלומר y = ce ax הוא אוסף כל הפתרונות.כלומר כל פתרון למשוואה הוא מהצורה הזה תנאי טבעי שמוליך לפתרון יחיד מהצורה, y = y ב x = x כלומר.yx = y תנאי כזה נקרא בשם תנאי התחלה, או לפעמים תנאי שפה. ולבעייה הכוללת משוואה מסדר ראשון יחד עם תנאי כזה קוראים בעיית ערך התחלתי. ÈÖÓ Ð Ñ.ÁÒ Ø Ð Î ÐÙ.y = 2e ax לכן יש פה פתרון יחיד.c = 2 y = c y = ce ax היות והפתרון.y +ay =,y = 2 }{{} ÁÒ Ø Ð Î ÐÙ ÈÖÓ Ð Ñ y +ay = gx דוגמא: מקרה שני: כעת נסתכל על: נתבונן ב d dx eax y = e ax y +ae ax y = e ax y +ay = e ax gx e ax y = e at gtdt+c yx = e ax e at gtdt+ce ax כלומר כל פתרון של משוואה מהצורה זה, הוא מהצורה:.yx = e axx eat gtdt+ce ax מקרה הכללי: לבסוף נתבונן במשוואה דיפרנציאלי מהצורה: y +pxy = gx נחפש ux כך ש: uxy +u xy = uxy = uxy +pxy ux כנ''ל חייבת לקיים: uxpxy = u xy

5 lnux = u u = px lnux = ptdt ux = exp ptdt וזה יובטח אם [uxy] = uxgx uxy = utgtdt+c y = 1 ux utgtdt + c כעת: [ ].ux = exp כאשר x ptdt משפט 2.1 משפט היחידות למשוואות לינאריות מסדר ראשון אם הפונקציות p ו g הן רציפות על קטע פתוח α,β המכילה את הנקודה x, אזי קיימת פונקציה יחידה φx y = המקיימת את המשוואה: y +pxy = gx לכל α,β x ואשר גם מקיימת את תנאי ההתחלה yx = y עבור y R כלשהו. y = 1 ux utgtdt + c הוכחה: ניתן לראות מהחשבון שעשינו שכל פתרון הוא מהצורה: [ ],ux = exp וכן ש y כנ''ל הוא פתרון וזאת בגלל ש: רציפות p מבטיחה ש u מוגדרת, איננה מתאפסת, וגזירה. זה מצדיק שלכל עבור x ptdt פתרון y מתקיים השוויון.[uy] = ug בדומה, רציפות g מבטיחה של ug יש אינטגרל מוגדר וגזיר. לכן רציפות p ו g מצדיקה את החשבון שעשינו. ניתן גם לראות שעבור בחירה כלשהי של,ux קיים c יחיד שעבורו יתקיים תנאי ההתחלה. וזה מסיים את ההוכחה. ux = exp ptdt x צורה אלגברית לכתוב את הפחתרון היחיד היא: y = 1 usgsds+c ux x ואז = 1.ux ניקח גם: ואז כדי לקים את תנאי ההתחלה הדרוש yx = y נרצה: y = 1 usgsds+y, ux = exp ptdt ux x x Ì ÙÒ ÕÙ ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Ø Ò Ø Ð Ú ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ y +pxy = gx, yx = y דוגמא: 1 2 =,y y 2xy = 1 על., 2x.gx = 1,px = נציב בנוסחאות ונקבל. ux = exp 2tdt = e x2, y = e x2 e t2 dt 1 2

6 3 משוואות לא לינאריות מסדר ראשון משפט 3.1 משפטהקיוםוהיחידותלמשוואותמסדרראשוןתהי fx,y פונקציהרציפהבמלבן α,β γ,δ המקיימתבו תנאיליפשיציתבמידה שווה ב y, דהיינו קיים קבוע,K כך ש 2 fx,y 1 fx,y 2 < K y 1 y לכל α,β x ו γ,δ.y 1,y 2 תהי x,y נקודה במלבן, אזי קיים קטע מהצורה +h x h,x המוכל ב α,β כך שלבעיית הערך ההתחלתי y = fx,y,yx = y קיים פתרון יחיד φx y = המוגדר בקטע +h.x h,x הערות: 1 ייתכון קיום פתרון יחיד גם בלי קיום תנאי המשפט. 2 לקיום פתרון, מספיק לדרוש את רציפות f. הדרישה לקיום תנאי ליפשיץ במידה שווה ב y דרושה להבטחת היחידות. ˆy 2 fx,y 1 fx,y 2 = f y dy sup f y y 1 y 2 y 1 f קיימת ורציפה, אזי y 3 אם f במלבן. וזה מבטיח את תנאי ליפשיציות על מלבן קצת יותר y לכן תנאי טבעי המבטיח את קיום תנאי ליפשיצית המתאים הוא רציפות f במלבן. קטן. בפרט המשפט מתקיימת, אם דורשים פשוט רציפות של f ו y y = 2 3 x 3 2 = y הפתרון אינו יחיד. למשל 2 x = x1 = 3 x = y פתרון. 3 x 3 2 דוגמא: y =,y = y 1 3 על.[, פתרון גם כן. וגם = y גם פתרון. למעשה לכל > x: { x < x y = 3 2 y = ± [ 2 3 x x ] 3 2 x x x x = 3 3 x x 2 2 = 3 x x הוא פתרון. ברור ש = y עבור. x < x עבור,x > x x x הערה: הרבה פעמים הטוב שניתן לעשות הוא לקבל קשר מהצורה =.ψx,y קשר כזה נקרא נוסחה בלתי מפורשת ÓÖÑÙÐ.ÁÑÔÐ Ø לפעמים קשר כזה נקרא גם ''אינטגרל של המשוואה''. דוגמא:.y = x y ניתן להראות שכל הפתרונות מקיימים.x 2 +y 2 = c 2 ניתן לוודא זאת ע''י גזירה, 2yy +2x = yy +x = y = x y זה נותן: y = ± c 2 x 2 וזה מגדיר המון פתרונות. למשל:.y = c 2 x 2, c < x < c.1.y = c 2 x 2, c < x < c.2.3 { c2 x y = 2 c < x c 2 x 2 < x < c בהינתן תנאי התחלה כמו = 3 y. אז ניתן בדרך כלל, לבחור פתרון קונקרטי תקף בקטע כלשהו. במקרה הנ''ל: = 3.1 c y = 3 ומקבלים ש,y = 9 x 2 מהווה פתרון יחיד של בעיית התחלתי על הקטע. 3,3

7 7 Mx,y+Nx,y dy dx = 3.1 פתרון בהפרדת המשתנים dy ניתן תמיד לכתוב בתור: dx את fx,y =. dy נניח שניתן להעריך לצורה dx בפרט אם fx,y N = 1,M = אז ניתן לקבל את המשוואה fx,y = ˆ Mx+Ny dy dx = Mxdx = Nydy ˆ Mxdx = Nydy H 1 x+ H 2 ydy = d }{{ dx } dx H 1x+H 2 yx = H 1 x+h 2 yx = C d dx H2yx H 1 x H 1 x = H 2 y H 2 y = שניתן גם לכתוב כ ומכאן ניתן לקוות ש נסמן Mx.H 2y = Ny,H 1x = אזי נניח תנאי התחלה מהצורה.yx = y אז.C = H 1 x +H 2 y x Mtdt yˆ y Nsds H 1 x+h 2 yx = H 1 x +H 2 y H 1 x H 1 x = H 2 yx H 2 y x Mtdt+ yˆ y Nsds = dy dx = x2 1+y 2 x2 +1+y }{{} 2 dy }{{} dx Mx Ny = Ë Ô Ö Ð ÕÙ Ø ÓÒ דוגמא: dy dx = 3x2 +4x+2, y = 1 2y 1 דוגמא: 2y 1dy = 3x 2 +4x+2dx y 2 2y = x 3 +2x 2 +2x+c y = = c c = 3 y 2 y = x 3 +2x 2 +2x+3 y 2 2y +1 = x 3 +2x 2 +2x+4 y 1 = ± x 3 +2x 2 +2x+4 y = 1± x 3 +2x 2 +2x+4 לשים לב ש y = 1 y = 1 x 3 +2x 2 +2x+4 כדי שהשורש יהיה של מספר חיובי, חייבים לדרוש, 2 > x. לכן הפתרון תקף על,2.

8 x ψx,y+ y ψx,yy = }{{} ÇÖ Ò ÖÝ Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ø Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ú Ò Ý ψx,y=c Mx,y+Nx,yy = 3.2 משוואות מדויקות נניח שנתון ψx,y = C כקשר בין y ל x. ניתן לגזור, באותו הפוך, נניח שנתונה משוואה: ψ וכך ψx,y = C מגדיר את y כפונקציה גזירה של x, אזי : x = M, ψ y אם קיימת פונקציה ψx,y כך ש = N Mx,y+Nx,yy = x ψx,yx x ψx,yx = ψx,yx = C 2xy 3 +3x 2 y 2 y = x 2 y 3 x 2 y 3 = c y 3 = cx 2 c 1 3 x 2 3 x ואז ψx,y = C מגדיר את y כפונקציה של x. דוגמא: = y 2xy 3 +3x 2 y 2. M y M,N, N כולם פונקציות רציפות במלבן δ}.r = {x,y α < x < β, γ < y < אזי המשוואה x, M y Mx,y+Nx,yy = M N x,y = y x x,y משפט 3.2 יהיו היא משוואה דיפרנציאלי המדויקת ב R אם ורק אם מתקיים: N ψ ψ x,y = x אם ורק אם M ו N מקיימות את x,y x = Mx,y, y לכל נקודה ב R. כלומר קיימת פונקציה ψ המקיימת Nx,y = ψ אזי, x = M, ψ y M y = ψ y x = 2 ψ y x N x = ψ x y = 2 ψ x y ψx,y = M ונבנה ψ כנדרש: y Mt,ydt+hy ψ y x,y = Mt,ydt+h y = y הוכחה: כיוון ראשון: שקיימת ψ כנדרש מקיימת את = N M אם הן פומרציות רציפות. y = N x x,y = N x y Mt,ydt+h y לפי משפט ידוע מאינםי, כיוון שני: נניח ש M,N מקיימת את x,y h y = Nx,y x h y = N x M y M y t,ydt = }{{} M y x,y= N x x,y לכן y h בלתי תלויה ב x וניתן לקבל: hy = ˆy h tdt

9 9 ψx,y = Mt,ydt+ yˆ Nx,s M y t,sdt ds כלומר: בדיקה ש ψ שבנינו אכן ''עובדת'': ψ y = ˆ y [ ] ψ N x = Mx,y+ M x,s x s x,s ds }{{} M y t,ydt+nx,y = Ù M y x,y= N x x,y M t,ydt = Nx,y y M y = cosx+2xey = N x ψ = ysinx+x 2 e y +hy }{{} x Mt,ydt דוגמא: = y ycosx+2xe y + sinx+x 2 e y 1 נחזור על החישוב מההוכחה באופן מפורש. ψ = sinx+x 2 e y +h y y }{{} =N N = sinx+x 2 e y 1 h y = sinx+x 2 e y 1 sinx x 2 e y = 1 hy = y ψysinx+x 2 e y y ysinx+x 2 e y y = c }{{} הערה: לא נדרש פתרון כללי, מספיק למצוא איזושהו ψ. וכעת הוא פתרון בלתי מפורש של המשוואה המקורית.

10 3.2.1 גורמי אינטגרציה נניח שהמשוואה = Mx,ydx+Nx,ydy איננה מדוייקת. אם ניתן למצוא פונקציה µx,y כך ש = µx,ymx,ydx+nx,ydy מדוייקת עבור µ, אזי ניתן לפתור אותה באופן לא מפורשוהמשוואה ψx,y = C תהייה בלתי מפורש גם שלהמשוואה המקורית. התנאי ש = µx,ymx,ydx+nx,ydy תהייה מדוייקת הוא: y µm = µn M µ x y +µ M y = N µ x +µ N µ = M x M M y N µ x + y N x }{{} È ÖØ Ð Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ö Ø ÓÖ Ö דוגמא: = dy y 2 +xy dx x 2. נראה ש 1 2 µx,y = xy גורם אינטגרציה. M y = 2y +x, N x = 2x y µm x µn = 1 y x x y x y 2 = נכפיל ב µ הנ''ל. 1 y y 2 = 1 x + 1 x x y y 2 y = לכן.x,y,lnx+ x y מדוייקת ומובטח לכן שפתרון שלה יפתור את המשוואה המקורית. תרגיל: ניתן לפתור את המשוואה המדוייקת הנ''ל ולקבל את הקשר = C מקרים חשובים שבהם ניתן למצוא גורם אינטגרצייה אם קיים: אם µ פונקצייה של x בלבד או פונקציה של x בלבד. נניח µ פונקציה של x בלבד. = µm = µ M y y, µn = µ N x x +N N y µ M x = y N x µ N M 1 היא פונקצייה של x בלבד. N y N x הבעיה ניתנת לפתרון אם ורק אם M. אם y N אז כדי לפתורמשוואה מהצורה = Mx,y+Nx,yy ראשית נכתוב אותו בצורה = M x+n y אז לבדוק האם = x M 1 כי אז קיים µ גורם אינטגרציה y N y N x זה שווה ל אז זה משוואה מדוייקת ואז קיים פתרון. אם זה לא שווה אז לבדוק האם = תלויה ב x בלבד.

11 משוואות הומוגניות dy נקראת הומוגנית אם התלות של f ב x וב y היא רק ביחס dx הגדרה 3.3 משוואה מהצורה fx,y = מהצורה: dy y dx = F x. y x כלומר משוואה הומוגנית היא משוואה. dy משוואה כזו, ניתן לפתור כדלקמן. נסמן dx = y2 +2xy x = y 2 x +2 y x דוגמא: 2 y x = v y = xv dy dx = Fv, dy dx = xdv dx +v x dv dv +v = Fv dx dx = 1 x fv v dx x = dv Fv v המשוואה היא: כלומר, כלומר המשוואה ניתנת להפרדת משתנים ולכן ניתן לפתור. מהפתרון מקבלים את v כפונקציה של x, וממנו מחלצים את y, ע''י y. = xv אז עבור הדוגמא x dv dx +v = v2 +2v x dv dx = v2 +v 1 x dx = 1 vv +1 dv 1 1 x dx = v 1 dv ln x +ln c = ln v ln v +1 v +1 v ln cx = ln v +1 cx = v v +1 cx = v y v +1 = x y x +1 = y y +x cxy +x = y cx 2 = y1 cx y = cx2 1 cx.v עבור vופותרים = y x אז מציבים dy dx = F y x אם

12 ½¾ 4 משפט קיום ויחידות של פיקארד משפט 4.1 משפטהקיוםוהיחידותלמשוואותמסדרראשוןתהי fx,y פונקציהרציפהבמלבן α,β γ,δ המקיימתבותנאיליפשיציתבמידה שווה ב y, דהיינו קיים קבוע,K כך ש 2 fx,y 1 fx,y 2 < K y 1 y לכל α,β x ו γ,δ.y 1,y 2 תהי x,y נקודה במלבן, אזי קיים קטע מהצורה +h x h,x המוכל ב α,β כך שלבעיית הערך ההתחלתי y = fx,y,yx = y קיים פתרון יחיד φx y = המוגדר בקטע +h.x h,x הוכחה: נסמן ב Dמלבן סגור מהצורה, y y b, x x a המוכל במלבן המקורי. יהי M כך ש, fx,y M לכל.x,y D נגדיר min,h = המשוואה fx,y,y = קרובה, למשוואה האינטגרלית a, b M yx = y + x ft,ytdt במובן זה שפתרון רציף של המשוואה הדיפרנציאלית המקיים את תנאי ההתחלה מקיים את המשוואה האינטגרלית הנ''ל. נגדיר סדרת פונרציות באופן הבא: y 1 x = y + x ft,y dt x x y 2 x = y + ft,y 1 tdt x y n x = y + x ft,y n 1 tdt x אנחנונראהש 1=n y מתכנסת n לפתרוןרציףיחידבסביבהכלשהישל x כךשהגבולהרציףהנ''ל yx מוגדרהיטב. וכןשהוא פתרוןשלהמשוואה הדיפרנציאלית. אח''כ נראה ש yx הנ''ל מקיימת את תנאי ההתחלה, והיא הפתרון היחיד שמקיים אותו. נראה תחילה שעבור x x h מתקיים. y n x x b ההוכחה באינדוקציה. למה y n x x b 4.2 לכל.n N הוכחה: בסיס האינדוקציה: y 1 x y = ft,y dt b ft,y dt hm M M = b x x y n 1 x y b, x x h הנחת האינדוקציה: נניח ש y n x y ft,y n 1 tdt hm b M M = b x צעד האינדוקציה: x לכל y n x y n 1 x MKn 1 n! לכן נובע שעבור x x h מתקיים y n y b לכל.h N נראה גם ש x x n +h.x h,x ההוכחה שוב באינדוקציה. MKn 1 y n X y n 1 x לכל +h.x x h,x הוכחה: בסיס האינדוקציה: n! למה x x n 4.3 y 1 x y M x x הנחת האינדוקציה: נניח ש y n 1 x y n 2 x MKn 2 n 1! x x n 1 y n x y n 1 x = ft,y n 1 tdt ft,y n 2 dt ft,y n 1 t ft,y n 2 t x x x צעד האינדוקציה:

13 ½ MK n 1 K y n 1 t y n 2 t dt t x n 1 dt = ÁÒ ÙØ ÓÒ ÀÝÔÓØ n! x x MK n 1 n! x x n y + y j x y j 1 x j=1 n y n x = y + y j x y j 1 x j=1 נסתכל בטור: מתקיים: כלומר x y n היא סדרת הסכומים החלקיים של הטור. היות והאיבר הכללי של הטור חסום ע''י: MK j 1 j! x x j M Khj 1 h j! M Kh n 1 h n! n=1 והיות שהטור: n=1 y n x מתכנס במ''ש על +h] [x h,x לגבול: מתכנס בהחלט, נובעת ההתכנסות במ''ש של הסכומים החלקיים של הטור, דהיינו yx y n x yx = lim n y nx j=n+1 M Kh j 1 h = ǫ n j! כאשר, היות וההתכנסות במ''ש yx פונקציה רציפה, נראה שהיא פתרון של המשוואה: yx = lim y nx = y + lim f t,y n 1 tdt = y + lim f t,y n 1tdt = y + f t,ytdt n n n x x x lim n x f t,y n 1 tdt = x f t,ytdt נראה כעת ש נשים לב ש f t,y n 1 tdt f t,ytdt f t,y n 1 t f t,yt dt K y n 1 t yt dt < hkǫ n 1 x x x x lim n x f t,y n 1 tdt = d dx yx = d y + dx x f t,ytdt ft,ytdt = fx,y x ולכן מרציפות yx ו f נובע כעת:

14 14 x y + נובע ש yx גזירה. x הערה: מגזירות ft,ytdt נותר להראות יחידות. יהי µx פתרון אחר של המשוואה המקיים את התנאי ההתחלה, µx = y וכן x x h, µx y b µ.h δ מקיים: µx = y + x ft,µtdt ולכן: אינדוקציה, ÓÑÔÐ Ø µx y n x f t,µx f t,y n 1 t dt x µx y 1 x f t,µx f t,y t K µt y dt Kb x x x x מתקיים: ואם נניח: µx y n 1 x < Kn 1 b n 1! x x n µx y n x x K µt y n 1 t dt K n b t x n 1 dt = n 1! x K n b n! x x n אזי מכאן נובע כעת באינדוקצייה µx y n x Kn b n! x x n Kn bh n! n ולכן µx = lim n y nx = yx לכל, x x h ולכן מוכחח יחידות.yx דוגמא:,y = 1,y = ay ˆ y 3 x = 1+ y 2 x = 1+ x x y 1 x = 1+ x adt = 1+ax aa+atdt = 1+ax+a 2x2 2 a a+at+a dt 2t2 = 1+ax+a 2x a3x3 6 y n x y n 1 x = a ntn n! yx = ax n n! = e ax אז

15 ½ חלק ÁÁÁ משוואות מסדר שני y = f x,y,y משוואה דיפרנציאלי רגילה מסדר שני היא מהצורה: באופן כללי קביעת פתרון דורשת קביעת שני קבועים, למשל y = gx yx = c 1 +c 2 x+ gsds dt הפתרון הכללי הוא כאשר c 1 ו c 2 קבועים כלשהם. כדי לקבוע פתרון יחיד צריך לציין תנאים. מקובל מאוד לדון בתנאי התחלה מהצורה: y x = y, yx = y x,y,y של המרחב התלת מימדי במשתנים R רציפות בתחום פתוח f y, f y משפט 4.4 קיום ויחידות לשמוואות מסדר שני אם f,, x,,y,,y אזי קטע כלשהו סביב x שבו קיים פתרון יחיד של המשוואה fx,y,y y = המקיים את תנאי ההתחלה ואם y x = y, yx = y Px d2 y dx 2 +Qxdy +Rxy = Gx dx כלשהן. 5 משוואות לינאריות מסדר שני משוואה הלינארית הכללית מסדר שני היא מהצורה כאשר P,Q,R,G פונקציות דוגמאות: m d2 u dt +cdu +ku = Ft dt 1. משוואה של מסה על קפיץ: 2. משוואה של בסל: x 2 y +xy + x 2 v 2 y =.3 משוואה :Ä Ò Ö 1 x 2 y 2xy +αα+1y = משוואות לא לינאריות שיודעים לפתור 1. משוואות לא לינאריות פשוטות במיוחד מתקבלות במקרה ש f פונקציה רק של x,y או רק של y,y. במקרה ניתן לעבור למשוואה מסדר ראשון ע''י הצבה y v, = ואז מקבלים משוואה מסדר ראשון עבור v, ו y מתקבל מ v ע''י אינטגרציה..2 אם fx,y v = y,y = אז fx,v,v = משוואה מסדר ראשון. אם fy,y v = y,y = אז y = v = dv dx = dv dy dy dx = dv dy v dv dx = 1 v fy,v

16 ½ d 2 y dx 2 + Qx dy Px dx + Rx Px y = Gx Px אם Px לכל x, אז ניתן לחלק את המשוואה ב Px ולקבל: Gx gx = ואז נקבל משוואה מהצורה: Px y = fx,y,y,qx = Rx Px,px = Qx נסמן Px f y = qx, f = px y עבור +gx, f = pxy qxy ואז ותנאי משפט הקיום והיחידות מתקיימים אם p,q,g רציפות. אם הרציפות שלהן על קטע I, אזי התחום המתאים במרחב התלת מימדי הוא.I,, y,y קיים פתרון יחיד המקיימת משפט 5.1 משפט קיום ויחידות למד''רלינארי מסדר שני אם p,q ו g רציפות על קטע α,β I = אזי לכל R את המשוואה y +pxy +qxy = gx y x = y, yx = y על הקטע I ומקיים את תנאי ההתחלה וזאת בנקודה כלשהי.x I דוגמא: = y < x <,y +y =, y = 1,. מניחוש y = cosx,y = sinx פתרונות. נשים לב ש sinx y = מקיים את תנאי ההתחלה. אז מהמשפט נובע ש sinx y = הוא הפתרון היחיד. y +pxy +qxy = gx y +pxy +qxy = הגדרה 5.2 עבור המשוואה המשוואה ההומוגנית המתאימה היא: טענה 5.3 בהינתן פתרון מסויים כלשהו, ỹ, של ỹ +pxỹ +qxỹ = gx אזי כל הפתרונות של המשוואה הלא הומוגנית הם מהצורה y = ỹ +ËÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Ø ÓÑÓ Ò ÓÙ ÕÙ Ø ÓÒ הוכחה: יהי y פתרון של הלא הומוגנית, אזי 1. קל לראות ש y ỹ פתרון של ההומוגנית..2 ÕÙ Ø ÓÒ y +ËÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Ø ÓÑÓ Ò ÓÙ גם הוא פתרון. L[φ] = φ +pxφ +qxφ סימון: בהינתן p,q רציפות על קטע α, < x < β נסמן: זו אופרטור שפועל על פונקציות גזירות פעמיים על.α,β עבור כל φ גזירה פעמיים על,α,β,L[φ] = L[φ]x הוא פונקציה על.α,β

17 ½ דוגמא:,φx = sin3x, qx = 1+x,px = x 2 אזי L[φ]x = sin3x +x 2 sin3x +1+xsin3x = 9sin3x+3x 2 cos3x+1+xsin3x = = x 8sin3x+3x 2 cos3x L[y] = את המשוואה ההומוגנית ניתן כעת לכתוב בתור משפט 5.4 עיקרון הסופרפוזיצייה אם x y = y 2 x y, = y 1 שני פתרונות של המשוואה,L[y] אזי כל קומבינציה לינארית מהצורה yx = c 1 y 1 x+c 2 y 2 x כאשר c 1,c 2 הם קבועים כלשהם, גם היא פתרון של =.L[y] הוכחה: נתון = ] 1 L = [y 2 ] =,L[y ואז L[c 1 y 1 +c 2 y 2 ] = c 1 y 2 +c 2 y 2 +pc 1 y 1 +c 2 y 2 +qc 1 y 2 +c 2 y 2 = c 1 y 1 +c 2 y 2 +c 1 py 1 +c 2 py 2 +c 1 qy 1 +c 2 qy 2 = = c 1 L[y 1 ]+c 2 L[y 2 ] = + = הערה: העובדה ש ] 2 L[c 1 y 1 +c 2 y 2 ] = c 1 L[y 1 ] + c 2 L[y אומרת ש L הוא אופרטור לינארי. באופן יותר מלא, L הוא אופרטור לינארי דיפרנציאלי מסדר שני דוגמא: עבור = +y y 2 = cosx,y 1 = sinx,y הם פתרונות. משפט עיקרון הסופרפוזיצייה מבטיח שלכל y = c 1 sinx+c 2 cosx,c 1,c 2 R גם הוא פתרון של המשוואות. הגדרה 5.5 אומרים ששני פתרונות y 1 y, 2 של המשוואה = L[y] יוצרים קבוצה יסודית של פתרונות Ë Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð אם כל פתרון של המשוואה הנ''ל היא מהצורה c 1 y 1 +c 2 y 2 ידוע שעבור פתרון φ x,φx φ, קובעים את φ באופן יחיד, לכן כדי שיתקיים φ = c 1 y 1 +c 2 y 2 { c 1 y 1 x +c 2 y 2 x = φx c 1 y 1 x +c 2 y 2 x = φ x y1 x y 2 x y 1x y 2x c1 φx = c 2 φ x יש לדרוש: שניתן גם לכתוב כ אם נחשוב על זה כמערכת משוואות ל c 1 c, 2 יחיד אם הדטרמיננטה של מטריצת המקדמים איננה מתאפסת. כלומר y 1 x y 2 x y 1 x y 2 x = y 1x y 2 x y 1 x y 2 x c1 y1 x y 2 x = c 2 y 1 x y 2 x 1 φx φ x ומקבלים את הפתרון מ אם זה מתקיים עבור x כלשהו אזי יש בהכרח פתרון c 1 c, 2 יחיד למערכת, ו φx ו x c 1 y 1 x c+ 2 y 2 הם פתרונות המקיימים אותם תנאי התחלה ב x ולכן שווים על כל הקטע. בגלל יחידות פתרון

18 ½ משפט 5.6 אם p,q רציפות על קטע פתוח,α,β ואם y 1 y, 2 הם שני פתרונות של = L[y] בקטע הנ''ל המקיימים את התנאי y 1 xy 2x y 1xy 2 x עבור α,β x כלשהו. אזי כל פתרון של המשוואה בקטע הנ''ל ניתן להצגה באופן יחיד כצירוף לינארי של y 1 ו y. 2 הערה: במקרה כזה מקובל לקרוא לביטוי c 1 y 1 + c 2 y 2 כאשר c 1,c 2 קבועים לא מפורשים הפתרון הכללי של המשוואה. כלומר c 1 y 1 + c 2 y 2 כקיצור ל R}.{c 1 y 1 +c 2 y 2 c 1,c 2 דוגמא: עבור = +y y 2 = cosx,y 1 = sinx. < x <,y הם פתרונות. כמו כן y 1 xy 2x y 1xy 2 x = sin 2 x cos 2 x = sin 2 x+cos 2 x = 1 מכאן נובע שכל פתרון של המשוואה הוא מהצורה c. 1 sinx+c 2 cosx 5.1 ורונסקיאן הגדרה 5.7 בהינתן שתי פונקציות גזירות y 1 y, 2 על קטע פתוח כלשהו, הפונקצייה: y1 y 2 wy 1,y 2 = det y 2 y = y 1 y 2 y 1 y 2 2 נקראת הורונסקיאן ÏÖÓÒ Ò של.y 1,y 2 לעיתים אם ברור מהם y 1,y 2 נסמן את x wy 1,y 2 ע''י.wx משפט 5.8 אם p ו q רציפות על קטע פתוח α,β ואם y 1 y, 2 פתרונות של L[y] = y +py +qy = על,α,β אזי או ש 2 wy 1,y מתאפס על כל α,β או ש = x wy 1,y 2 לכל α,β. x הוכחה: y 2 y 1 +py 1 +qy 1 = y y 1 y 2 +py 1 y 2 y 2 y 1 +p y 1 y 2 y 1y 2 = 2 +qy 2 = w x = y 1 y 2 +y 1y 2 y 1y 2 y 1y 2 = y 1 y 2 y 1y 2 w +pw = נסמן x,wx = wy 1,y 2 אזי ולכן קיבלנו: wx = c exp כלומר w מקיים משוואה לינארי מסדר ראשון, שפתרונה הכללית ptdt ולכן w מקיים שוויון זה ל c כלשהו ומתאפס אם ורק אם = c. מסקנה w ים 5.9 שונים לכאורה, עבור זוגות שונים של פתרונות, נבדלים זה מזה רק בכפל בקבוע, בפרט יש פה נוסחא עד כדי קבוע לוורונסקיין שאיננה דורשת לפתור את המשוואה. משפט 5.1 אם p ו q רציפות על α,β אזי תמיד קיימת קבוצה יסודית של פתרונות של המשוואה = L[y] בקטע הנ''ל. הוכחה: נבחר α,β.x ממשפט הקיום ויחידות נובע שקיימת פתרונות y 1,y 2 המקיימים y 1 x = 1 y 1 x = y 2 x = y 2 x = 1 wy 1,y 2 x = y 1 x y 2 x +y 1 x y 2 x = 1 היות ו ומכאן נובע ש y 1 y, 2 מהווים קבוצה יסודית של פתרונות. באופן שקול הפתרון הכללי היא מהצורה c. 1 y 1 c+ 2 y 2

19 ½ אי תלות לינארית הגדרה 5.11 אומרים ששתי פונקציות f ו g על קטע α,β הן תלויות לינארית אם יש קבועים k 1 k, 2 שונים שניהם מאפס כך ש k 1 fx+k 2 gx = לכל α,β x. אומרים ששתי פונקציות הנ''ל בלתי תלויות לינארית על α,β אם הן אינן תלויות לינארית. משפט 5.12 אם f ו g פונקציית גזירות על α,β ואם wf,gx עבור α,β x כלשהו, אזי f ו g הן בלתי תלויות לינארית על הקטע. באופן שקול אם f ו g תלויות לינארית על α,β אז הוורונסקיין שלהן חייב להתאפס על כל.α,β הוכחה: נניח ש f ו g תלויות לינארית. אז יש k 1 k, 2 שונים מ כך ש k 1 fx+k 2 gx = k 1 f x+k 2 g x = f ו g גזירות על α,β ולכן: k 1 fx+k 2 gx = fx gx k 1 f x+k 2 gx = f x g x k1 = k 2 אז נוכל לכתוב את המשוואות הנ''ל: הדטרמיננטה המתאימה לזוגהמשוואות הנ''ל היא בדיוק.wf,gx הדטרמיננטה לא מתאפסת ולכן קיים פתרון יחיד. אז = 2 k, 1 = k סתירה. הערה: למשפט אין כיוון שני, כלומר ייתכן g wf, עבור שתי פונקציות גזירות יתאפס למרות שאינן תלויות לינארית. wf,g = fg f g = 2x 2 x x 2 x +x x = } {{ } 2x 2 x y +pxy +qxy = דוגמא: x x gx = x 2,fx = על. 1,1 אזי אבל f ו g בת''ל על 1,1. משפט 5.13 אם y 1,y 2 פתרונות של ואם p,q רציפות על,α,β אזי y 1 y, 2 הם בת''ל אם ורק אם 2 wy 1 y, אינם מתאפסים על.α,β 6 שיטות למציאת פתרון למשוואה הומוגנית 6.1 הורדת סדר נניח שעבור המשוואה = +qx y +pxy ידוע פתרון אחד x y. 1 נראה שניתן מכאן למצוא פתרון שני שהוא בת''ל ב x y. 1 נחפש פתרון מהצורה: y = vxy 1 x נשים לב ש: y = vy 1 +v y 1 y = vy 1 +2v y 1 +v y 1 נציב במשוואה ונקבל: v y 1 +py 1 +qy 1 } {{ } = +y 1 v + 2y 1 +py 1 v = y 1 v + 2y 1 +py 1 v = ולכן נשאר עם המשוואה:

20 ¾¼ v + p+2 y 1 y 1 v = לכן בכל קטע ש 1 y: v x = c exp זו משוואה לינארי מסדר ראשון ל v שפתרונה: pt+2 y 1 t y 1 t dt = cµx } {{ } µx µx = 1 y 1 x 2exp ptdt אז מתקיים: vx = c µtdt+k כעת מכאן yx = y 1 xvx = cy 1 x µtdt+ky 1 x לכן מקבלים שני פתרונות: ˆx y = y 1 x µtdt, y = y 1 x היות ש x µtdt לא יכול להיות קבוע, נובע שאלה הם שני פתרונות בת''ל. דוגמא: > x y 1 = x 1.2x 2 y +3xy y =, פתרון. נציב vx :y = x 1 y = x 1 v x 2 v y = x 1 v 2x 2 v +2x 3 v 2x2 x 1 v 2x 2 v +2x 3 v +3x x 1 v x 2 v x 1 v = = 2xv + 4+3v + 4x 1 3x 1 x 1 v = 2xv v }{{} = ולכן קיבלנו: 2xv v = ע''י הפרדת משתנים: v v = 2x v x = cx 1 2 vx = 2c 3 x3 2 +K מכאן: y 2 x = x 1 vx = 2 3 cx1 2 +Kx 1 = 3 2,c אזי: ניקח =,K y 2 x = x 1 2 מהווה פתרון בת''ל ב y. 1

21 משוואות הומוגניות עם מקדמים קבועים L[y] = ay +by cy = ad 2 +bd +c y = עבור.b,c R, a R נחפש פתרונות צהצורה y = e rx כי עבור פונקציה זוגזירה כופלת בקבוע = L[e ex ] = ae rx +be rx +ce rx = e rx ar 2 +br+c ar 2 +br+c = r 1,2 = b± b 2 4ac 2a לכן e rx פתרון אם''ם זו משוואה ריבועית ב r שפתרונותיה: r 1,2 יכולים להיות ממשיים או מרוכבים. אנחנו בכל מקרה מחפשים פתרונות ממשיים. נבדיל בין שלושה מקרים:.1 אם > 4ac b 2 אז קיים,r 1 r 2,r 1,r 2 R במקרה כזה r1+r2x we r1x,e r2x = r 2 r 1 3 ולכן e r2x,e r1x נותנים שני פתרונות בת''ל, ולכן: c 1 e r1x +c 2 e r2x y = e rx r 2 +5r+6 = r+3r+2 = r 1,2 = 2, 3 y = c 1 e 2x +c 2 e 3x c 1 +c 2 = 2c 1 3c 2 = 1 c 1 = 1 c 2 = 1 y = e 2x e 3x מהווה פתרון כללי של הבעייה. דוגמא: = 1 y.y +5y +6y =, y =, פתרון כללי: קיום תנאי התחלה: ומכאן הפתרון היחיד לבעיית הערך ההתחלתי הוא: y. = e b נשתמש בהורדת סדר לקבלת פתרון 2a x אזי המשוואה הריבועית נותנת רק פתרון אחד,,r 1 = r 2 = b.2 אם = 4ac b2 אז 2a שני: y = e b 2a x y = v e b 2a x b 2a ve b [ ] y = a v ba v + b2 4a 2v +b v b 2a v v b a v + b2 4a 2 v +cv = av b 2 2a x e b 2a x,e b מקבלים: ע''י הצבה במשוואה וחלוקה הגורם משותף 2a x 4a c }{{} = y = c 1 e r1x +c 2 xe e1x, r 1 = b 2a v = v = vx = c 1 x+c 2 לכן קיבלנו את הפתרון הכללי:

22 ¾¾.3 אם < 4ac b 2 אז.r 1 r 2,r 1,r 2 / R במקרה כזו מקבלים שני פתרונות מרוכבים מהצורה: e λ±iµx כאשר r1,2 = λ±iµ עבור.λ,µ R משפט 6.1 יהיו p ו q רציפות על α,β ונניח ש y = ux+ivx u,v ממשיות םצרון מרוכב של y +pxy +qxy = אזי u ו v הם פתרונות ממשיים של המשוואה. e λ±iµx = e λx e ±iµx e ±iµx = cosµx±isinµx y = c 1 e λx cosµx+c 2 e λx sinµx היות ו והיות ש מקבלים שהפתרון מהפשפט הכללי הוא: משפט 6.2 יהי y p פתרון של y +py +qy = g אזי כל פתרון כללי שלה היא מהצורה: yx = y p x+c 1 y 1 x+c 2 y 2 x y +py +q = עבור y 1 y, 2 שהם שני פתרונות בת''ל של המשוואה ההומוגנית המתאיה: דוגמא: y p = 2x 2 4x+ 7 2.y +4y +4y = 8x 2 +2 הוא פתרון מסויים. שני פתרונות בת''ל של ההומוגנית הם,.e 2x,xe 2x מכאן שהפתרון הכללי: y = c 1 e 2x +c 2 xe 2x +2x 2 4x שיטות למציאת פתרון מסוים עובדה: אם במשוואה: y +py +qy = g gx היא מהצורה: gx = g 1 x+g 2 x+...+g m x ואם y p,1 x,y p,2 x,...,y p,m x הם פתרונות שך המשוואה: y +py +qy = g i x עבור i = m,...,1,2 בהתאמה, אזי: y p,1 x+y p,2 x+...+y p,m x הוא פתרון של המשוואה המקורית.

23 ¾ y +4y = sinx y +4y = x y +4y = דוגמא:.y +4y = 1+x+sinx נסתכל במשוואות: קל לראות ש: 1 הים פתרונות של המשוואות הנ''ל בהתאמה. ולכן: 4 x 1 3 sinx y p x = x+ 1 3 sinx ay +by +cy = gx 7.1 שיטת הקבועות החופשיים עבור משוואה עם מקדמים קבועים מהצורה: שבה gx מורכבת מסכום של איברים שכל אחד הוא מכפלה של אקספוננטים,פולינומים, סינוסים או קוסינוסים, דהיינו gx היא סכום של איברים שכל אחד הוא מהצורה: { gx = e αx a n x n +a n 1 x n 1 cosβx +...+a sinβx ניתן למצוא פתרון שהוא סכום של איברים ''דומים'' ל gx. צריך רק ''לתאם'' את הקבועים המופיעים בפתרון. דוגמא:.y 3y 4y = 3e 2x ננסה,y p x = Ae 2x עבור A שהוא קבוע שיש למצוא: y p = 2Ae2x y p = 4Ae2x 3e2x = y 3y 4y = 4Ae 2x 6Ae 2x 4Ae 2x 6Ae 2x = 3e 2x A = 1 2 דוגמא: y. 3y 4y = 2sinx ננסה y, p = Asinx זה לא יעבוד לנו כי בנגזרת הראשונה יהיה לנו קוסינוס ולא נוכל להתקדם משם: y p 3y p 4y p = Asinx eacos 4Asinx = 5Asinx 3Acosx y p = Acosx Bsinx y p = Asinx Bcosx 2sinx = y p 3y p 4y p = 3A+3Bsinx+ 3A 5Bcosx 3A+3B = 2 3A 5B = A = 5 17 B = 3 17 אז ננסה :y p = Asinx+Bcosx אז כדי שהדבר יתקיים נדרוש ש: אז נקבל y p = 5 17 sinx+ 3 17cosx הוא פתרון. דוגמא:.y 3y 4y = 4x 2 משהו כמו Ax 2 לא יעבוד. יש לחשוב על 4x 2 כפולינום ממעלה שנייה, +x+ 4x 2 ולכסות: y p x = Ax 2 +Bx+C אז מקבלים 3 משוואות למקדמים של 1,x,x 2 וניתן לפתור: 2A 32Ax+B 4Ax 2 4Bx 4C = 4Ax 2 + 6A 4Bx+2A 3B 4C = 4x 2 y p x = x x 2 8 A = 1 B = 3 2 C = 13 8 אז נקבך : ניתן לסכם ניחושים שמובטח שיעבדו בטבלה: gx y p x p n x = a n x n +...+a x s A n x n +...+A P n xe { αx x s A n x n +...+A e αx p n xe αx sinβx cosβx x s [A n x n +...+A e αx cosβx+b n x n +...+B e αx sinβx] כאשר s הוא,1 או 2 והוא הקטן מביניהם שיבטיח ששום איבר של x y p איננו פתרון של המשוואה ההומוגנית.

24 ¾ 7.2 וריאציה של פרמטרים È Ö Ñ Ø Ö Î Ö Ø ÓÒ Ó נתון y x+pxy +qx = gx יהיו y 1 y, 2 שהם פתרונות בת''ל של המשוואה ההומוגנית. נחפש: y p x = u 1 xy 1 x+u 2 xy 1 x נגזור את y: p y p = u 1y 1 +u 2y 2 + u 1 y 1 +u 2 y 2 }{{} = ÙÑÔØ ÓÒµ y p = u 1y 1 +u 2y 2 y p = u 1 y 1 +u 2 y 2 +u 1y 1 +u 2y 2 u 1 y 1 +py 1 +qy 1 } {{ } = +u 2 y 2 +py 2 +qy 2 +u 1y 1 +u 2y 2 = g u 1y 1 +u 2y 2 = g }{{} = אם נציב במשוואה: u 1 u 2 y1 y 2 = y 1 y 2 1 g y1 y 2 y 1 y 2 u 1 u 2 = g לכן קיבלנו מערכת של שתי משוואות עבור u: u,1 2 { u 1 y 1 +y 2 y 2 = u 1y 1 +u 2y 2 = g ואת הפתרון הנ''ל ניתן גם לכתוב כ: u 1 = y 2g wy 1,y 2, u 2 = y 1 g wy 1,y 2 את זה ניתן לסכם במשפט. משפט 7.1 אם p,q ו g רציפות בקטע α,β ואם y 1 y, 2 הם שני פתרונות בת''ל של המשוואה ההומוגנית המתאימה למשוואה: y p x = y 1 x y +pxy qxy = gx ˆx y 2 tgt wy 1,y 2 t dt+y y 1 tgt 2x wy 1,y 2 t dt אזי פתרון מסויים של משוואה זו בקטע α,β נתון ע''י: שניתן לכתוב אותו באופן הבא: y p x = y1 ty 2 x y 1 xy 2 t y 1 ty 2 t y 1 ty gtdt 2t השיטה המומלצת לשימוש היא פשוט לזכור מה עשינו: 1. הצבת: y p = u 1 y 1 +u 2 y 2 2. דרישת: u 1y 1 +u 2y 2 =

25 ¾. y 2y +y = ex לשים לב שלא ניתן לפתור משוואה זאת באמצעות קבועים חפשיים. פה:.y 2 x = xe x,y 1 x = e x נרצה למצוא דוגמא: 1+x 2 פתרון מהצורה: y p = u 1 e x +u 2 xe x אז u 1y 1 +u 2y 2 = y p = u 1e x +u 2 x+1e x y p = u 1e x +u 2 x+2e x +u 2 ex נציב במשוואה ונקבל: u 1 e x +u 2 x+2e x +u 2e x 2u 1 e x 2u 2 x+1e x +u 1 e x +u 2 xe x = ex 1+x 2 u 2 ex = ex 1+x 2, u 1 ex = ex x 1+x 2 u 2 = 1 1+x 2, u 1 = x 1+x 2 u 2 = arctanx, u 1 = 1 2 ln 1+x 2 y p x = 1 2 ex ln 1+x 2 +xe x arctanx ומכאן יוצא שקיבלנו את הפתרון המסויים: a n x x n 8 פתירת מד''ר מסדר שני בעזרת טורי חזקות 8.1 חזרה לטורי חזקות טור חזקה הוא טור מהצורה: עבור.a n,x,x R יש רדיוס התכנסות [, ] כך שהטור מתכנס בהחלט עבור +R x x R,x ומתבדר מחוץ לקטע +R] [x R,x. עבור } b. x x < min{r a,r d a n x x n = dx. a n x x n +.R =, n!x n.1.r =, x n n!.2. R = 1, β R, n β x n.3.c a n x x n = n x x a n b n x x n = דוגמאות: לינאריות טורי חזקות: ca n x x n b n x x n = a n +b n x x n n na n x x n 1 = n+1a n+1 x x n a n b n k x x n k= גזירה איבר איבר: עבור : x x < R אם נחשוב על הטור כפונקציה fx = a n x x n פונקציה על +R.x R,x אזי f גזירה אינסוף פעמים: a n = fn x n!

26 ¾ fx = f n x n! x x n Ì ÝÐÓÖ Ë Ö Ó f ולכן אם ל f קיים פתרון בטור חזקות סביב x, אזי: פונקציה f : R R שיש לה פיתוח בטור חזקות בעל רדיוס התכנסות חיובי סביב x, קוראיםפונקצייה אנליטית ב x. בשביל ש f תהיה אנליטית ב x נדרוש: fx = f n x n! x x n גזירה אינסוף פעמים ב x. f שיתקיים השוויון בקטע פתוח לא ריק סביב.x למשל e x אנליטית בכל,x R ו e x2 איננו אנליטית ב =.x טענה 8.1 אם f,g אנליטיות ב x אזי גם cf,f +g,f.g אנליטית ב.x ואם gx אזי גם f g אנליטית ב.x טענה 8.2 אם f אנליטית ב x ולטור החזקות יש רדיוס התכנסות R, אזי f גם אנליטית בכל נקודה ב R + x. R,x 8.2 פתרון למשוואות לינאריות מסדר שני בעזרת טורי חזקות Pxy +Qxy +Rxy = נעסוק במשוואות מהצורה: בדרך כלל נתעניין במקרים שבהם,P,Q,R פולינומים ללא גורמים משותפים. נקודה x שבה Px נקראת נקודה רגילה של המשוואה. נקודה x שבה = Px נקראת נקודה סינגולרית שלהמשוואה. בכל מקרה מניחים ש P,Q,R רציפים ונתעניין בעיקר במקרה שהן אנליטיות. n=2 דוגמא: = +y y עבור < x.px = 1,Qx =,Rx = 1, < נחפש y = a n x n y = na n x n 1 = n+1a n+1 x n n=1 y = nn 1a n x n 2 = = y +y = [n+2n+1a n+2 +a n ]x n n+2n+1a n+2 x n n+2n+1a n+2 +a n = כך ש: לכן קיבלנו יחס רקורסיה: וזאת עבור...,,1,2,3 = n. נוכל להבהיר אגפים ולקבל: n+2n+1a n+2 +a n = n+2n+1a n+2 = a n a n+2 = n+2n+1 קשר כזה שקובע את כל המקדמים בהינתן מספר סופי נתון שלהם נקרה יחס רקורסיה. a קובע את.., 6 a 2 a, 4 a, ו a 1 קובע את,... 7.a 3,a 5,a אז: a 2 = a a 4 = a2 a 2n = = a 4 3 = a n+1 a 2! a 3 = a1 4! a 5 = a1 3 2 = a1 3! 5 4 = a1 5! 2n! a 2n+1 = 1 n a1 2n+1! 1 n 1 n y = a 2n! x2n +a 1 2n+1! x2n+1 = a cosx+a 1 sinx }{{}}{{} cosx sinx a n והטור מקבל את הצורה:

27 8.2.1 משוואה ÖÝ משוואה ÖÝ היא מהצורה y = xy עבור < x.rx = x,qx =,Px = 1, < כל נקודה רגילה. ניקח שוב =.x נחפש y = a n x n y = n=1 na nx n 1 = n+1a n+1x n y = n=2 nn 1a nx n 2 = אז מקבלים: n+2n+1a n+2x n אז: n+2n+1a n+2 x n = x a n x n = a n x n+1 n+2n+1a n+2 = a n 1 ולכל > n מקבלים ולכן a קובע את,... 9 a 1,a 3,a 6,a קובע את,... 1 a 4,a 7,a ו a 2 קובע את, a 5,a 8,a שהיות ו = 2,a מתקיים =... = 11.a 5 = a 8 = a קל לראות שמקבלים: [ ] x y = a [1+ ]+a 3n x 3n+1 1 x+ 3n 3n 1 3n n+1 3n 3n 2 3n n=1 n=1 { y 1 = 1, y 1 = y 2 =, y 2 = 1 Pxy +Qxy +Rxy = וזה מהצורה:.y = a y 1 +a 1 y 2 כאשר:.'' ÖÝ הנ''ל נקראות ''פונקציות ו y 2 y פתרון כללי בעזרת טורי חזקות למד''ר לינארי מסדר שני יהי מד''ר מסדר שני מהצורה: כאשר P,Q,R פונקציות אנליטיות. כאשר Px ניתן לחלק את המשוואה ב Px ולקבל משוואה מהצורה: y +pxy +qxy = כאשר p = Q P ו q = R P אנלטיות בנקודה. x נסמן את רדיוס התכנסות של p ו q ב ρ p ו.ρ q yx = Pxy +Qxy +Rx = a n x x n = ay 1 +by 2 משפט 8.3 אם x נקודה רגולרית של משוואה אזי הפתרון הכללי של המשוואה הוא מהצורה: כאשר y 1,y 2 בת''ל.

28 פתרון בעזרת טורי חזקות סביב נקודות סינגולריות במקרים רבים נתקלים במד''ר שאינן רגולריים בכל נקודה x. R נתעניין במיוחד בפתרון סביב נקדוות הסינגולריות. תזכורת: נקודה סינגולרית של המד''ר: Pxy +Qxy +Rx = הוא x המקיים =.Px נסמן fx,y,y y. = ליד נקודות סינגולריות, הפונקציה f איננה ליפשיצית ב y,y ולכן לא ניתן להשתמש במשפט קיום ויחידות..x = אנליטית ב y 1 x הם פתרונות של המשוואה. רק y 2 x = 1 x,y 1x = ניתן לראות ש x 2.x =,x 2 y 2y =.1 =.2 +2y.x =,x 2 y 2xy ניתן לראות ש y 1 = x ו y 2 x = x 2 הם פתרונות. אבל נשים לב ש = 2.y 1 = y ולכן אים פתרון עבור תנאי התחלה y. Pxy +Qxy +Rxy = lim x x Qx x x Px, lim x x 2 Rx x x Px דוגמאות: הגדרה 8.4 הנקודה x תקרא נקודה סינגולרית רגילה אם:.Px = היא נקודה סינגולרית. x.1 אנליטיות ב.x x x 2 Rx Px, x x Qx Px 2. הפונקציה נקודה סינגולרית שאיננה רגילה תקרא נקודה סינגולרית לר רגילה. הערה: תנאי שקול לכך ש x סינגולרית רגילה הוא קיום הגבולות α, 1, 1 x 2 y 2xy +αα+1y = דוגמא: משוואה Ä Ò Ö נקודות הסינגולריות של המשוואה הוא = ±1.x נבדוק עבור = 1.x 2x limx 1 x 1 1 x 2 lim x 12x x 11 x1+x = 1 x 1 2 αα+1 lim = x 1 1+x1 x ולכן = 1 x הוא נקודה סינגולרית רגילה משוואת אויילר דוגמא מרכזית משוואת אוילר L[y] = x 2 y +αxy +βy = = x היא נקודה סינגולרית רגילה. נצטמצם ל > x. ננחש פתרון מהצורה.yx = x r אז: y x = rx r 1 y x = rr 1x r 2 x2 rr 1x r 2 +αx rx r 1 +βx r = x r rr 1+αr +β = x r r 2 +α 1r +β = yx=e r אז נסמן.Fr = r 2 +α 1r +β x r Fr

29 מסקנה yx = x r 8.5 פתרון =.Fr r 1,2 = α 1± α 1 2 4β 2 הפתרונות הם: מקרה :1 אם > 4β α 1 אז 2 יש שני פתרונות,.x r1,x r2 כדי לראות שהפתרנות הנ''ל הם בת''ל צריך להראות ש r2.wx r1,x דוגמא: = 2y.r 1,2 = 2, 1,Fr = r 2 r 2 = r 2r+1,x 2 y אז x 1,x 2 הם פתרונות. α 1 r 1 = אז y 1 x = x r2 תהיה פתרון. ניתן למצוא פתרון שני בעזרת הורדת סדר. 2 מקרה :2 מקרה מנוון = 4β,α 1 2 במקרה זה נשים לב: L[x r ] = x r Fr = x r x r 1 2 נגזור אז ] r L[x לפי :r [ ] d d dr L[xr ] = L dr xr = L[lnx x r ] = d x r r r 2 1 = lnx x r r r 1 2 +x r 2r r 1 dr L[x r1 lnx] = lnxr r1 +x r = y 2 xx r1 lnx ÓÐÙØ ÓÒ אם נציב r = r 1 נקבל: מקרה < 3: 4β 1 α, 2 כלומר יש שני שורשים מרוכבים. r 1,2 = λ±iµ נשים לב ש: x r = e lnxr = e rlnx x λ±iµ = e λ±iµlnx x λ±iµ = e λlnx e ±iµlnx x λ±iµ = e λlnx cosµlnx±isinµlnx Pxy +Qxy +Rxy = x 2 y +x[xpx]y + [ x 2 qx ] y = x 2 y +x [ p +p 1 x+p 2 x ] y + [ q +q 1 x+q 2 x ] y = x 2 y +p xy +q y = Rx.qx = אז: Px מקרה כללי: לצורך הנוחות נחלק את ב Px ונכפול ב x 2 ונקבל:,px = Qx כאשר Px ולכן אם = n p n = q עבור 1 n נקבל את משוואת אוילר: ההתנהגות של הפתרונות ליד = x תקבע ע''פ השורשים של הפולינום: Fr = r 2 +p 1r+q ננחש פתרון של משוואה אוילר r x כפול טור חזקות: yx = x r a n x n = a n x n+r y x = n+rx n+r 1 a n y x = a n n+rn+r 1x n+r 2 x 2 qx = q n x n xpx = p n x n נחשב נגזרות: נשים לב ש:

30 3 תזכורת: מכפלה טורי חזקות: b n x n c n x n = d n x n כאשר, n d n = b i c n i i= x 2 y x = a n n+rn+r 1x n+r j x[xpx]y = p n x n a n n+rx n+r = j +r ka j k p k x j+r j= k= [ x 2 qx ] j yx = q n x n a n x n+r = a k a j k x j+r j= k= נציב את אלו כעת במשוואה: j +rj +r 1a j x j+r + j= j= k= j j k +ra j k p k x j+r + j= k= j a k a j k x j+r = נשווה מקדמים. נדרוש התאפסות המקדמים של כל חזקה. חזקת r: rr 1a +ra p +q a = a r 2 r+rp +q = a Fr = Fr = r 2 +p 1r+q n 1 Fr +ha n + a k r+kp n k +q n k = k= כאשר מקדם כללי.n+r ניתן לראות באינדוקציה המקדם של x n+r יהיה: השורשים r 1,r 2 של המשוואה =,Fr נקראים. ÜÔÓÒ ÒØ Ó Ë Ò ÙÐ Ö ØÝ מיחס הנסיגה ניתן לראות ש r a n = a n תלוי במשתנה.r מקרה ראשון: נניח שיש 2 פתרונות r 1.r 1 > r 2 הוא השורש הגדול ביותר של F ולכן +n Fr n לכל > n ולכן יחס הנסיגה מגדיר היטב את המקדמים 1 a, n r וקיבלנו פתרון: ] y 1 x = x [1+ r1 a n r 1 x n n=1 נקבע = 1.a אם +n Fr 2 נקבל פתרון נוסף: ] y 2 x = x [1+ r2 a n r 2 x n n=1 מקרה שני: מקרה נוסף ופשוט יחסית r 1 r, 2 מרוכבים כלומר חלק דימיוני. במקרה זה נקבל n+ Fr 1,2 עבור > n ולכן המשוואת הנסיגה מוגדרת היטב ונקבל פתרונות: [ ] y 1,2 x = x r cosµlnx±isinµlnx 1+ a n r 1,2 x n n=1 ולוקחים את חלק ממשי ומדומה בתור פתרונות. לא נתייחס למקרה של שורשים מרוכבים

31 31 y 1 x = x r 1+ n=1 L[yR,x] = a Frx r = a r r 1 2 x r p 1, נקבל פתרון: 2 מקרה שלישי: שורש כפול, = r 1 = r 2 a n rx n טריק:,yr,x = x r a n rx n טענה: ללא הוכחה לכל a n r n, כזירה במשתנה r. r a n נקבע ע''י יחס הנסיגה נגזור את שני האגפים לפי r r L[yr,x] = L r yr,x = a 2r r 1 x r +a r r 1 2 x r lnx [ ] L r r=r 1 yr,x = y 2 x = y 1 xlnx+x r+1 [1+ ] a r r 1x n n=1 נציב r = r 1 ונקבל: אז פתרון נוסף יהיה: משפט לסיכום: נניח ש = x נקודה סינגולרית רגילה של המשוואה: x 2 y +x[xpx]y +x 2 qxy = כלומר xpx = p n x n,x 2 qx = q m x n טוקי חזקות מתכנסים עבור. x < ρ ויהיו r 1,r 2 שורשי הפולינום Fr = r 2 +p 1r+q כך ש r 1 r 2 אם r 1,r 2 R אזי בכל אחד מהקטעים,ρ ו ρ, קיים פתרון מהצורה: ] y 1 x = x [1+ r1 a n r 1 x n n=1 מקרה רביעי: אם {} N r 1 r 2 / אזי קיים פתרון נוסף: ] y 2 x = x [1+ r2 a n r 2 x n n=1 אם r 1 = r 2 אזי: ] y 2 x = y 1 xln x + x [1+ r2 c n r 2 x n n=1 אם r 1 r 2 N אזי: ] y 2 x = ay 1 xln x + x [1+ r2 b r r 2 x n n=1 כאשר n b נקבעת ע''י הצבה במשוואה x 2 y +x[xpx]y +x 2 qxy = וייתכן ש = a.

32 ¾ חלק ÁÎ משוואות מסדר n F y n x = F x,y,y,...,y n = x,y,y,...,y n 1 משוואה כללית מסדר n היא מהצורה: מקרה יותר פשוט: P xy n +P 1 xy n P n y = Gx אנחנו נתעניין במקרה הלינארי: כאשר P i : α,β R רציפות. כלומר כאשר F לינארי במשתנים n.y,...,y נניח ש x P לכל α,β.x אז נוכל לחלק את הביטוי ב x P ונתעניין במשוואה: L[y] = y n +p 1 xy n p n xy = gx Pix p i x = לכל i n.1 כדי לקבוע פתרון יחיד יהיה להו n תנאי התחלה: כאשר x P y i x = y i R, i n 1 משפט 8.6 אם הפונקציות p 1,...,p n רציפות אזי קיים פתרון יחיד למשוואה gx y n + p 1 xy n p n xy = יחד עם תנאי התחלה.α,β על הקטע מוגדר ו y,y i x = y i R, i n 1 טענה 8.7 כל פתרון של המשוואה gx y n +p 1 xy n 1 +,,,+p n xy = היא מהצורה: y = ỹ +{ËÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ ÓÑÓ ÒÓÙ ÕÙ Ø ÓÒ} כאשר ỹ היא פתרון כלשהי של המשוואה הלא הומוגני. טענה 8.8 יהי.L[y] = y n +p 1 xy n 1 +,,,+p n xy אז.dimKerL = n נניח ש KerL.y 1,y 2,...,y n אם } n {y 1,...,y בסיס ל KerL אם ורק אם כל פתרון הומוגני הוא מהצורה c i R n y = c i y i, c i R i=1 9 מערכת משוואות,...,yn 1. y,y נתון תנאי התחלה,...,yn 1 c 1 y 1 x +c 2 y 2 x +...+c n y n x = y c 1 y 1 x +c 2 y 2 x +...+c n y n x = y c 1 y n 1 1 x +c 2 y n 1 2 x +c n y n n 1 x = y n 1 נוכל לכתוב את מערכת משוואות באופן הבא: y 1 x y 2 x y n x c 1 y y 1 x y 2 x y n x c 2 = y y n 1 1 x y n 1 2 x y n n 1 x }{{} A c n y n 1 wy 1,...,y n x = deta מסקנה: } n y} 1 y,..., בסיס ל KerL אם ורק אם ובמקרה זה האוסף } n y} 1 y, 2 y,..., יקרא מערכת יסודית של פתרונות. ניתן להשתמש בשיטת הורדת סדר גם במקרה זה. בהינתן פתרון yx ל =.L[y] ניתן לחפש פתרון vxyx y 1 x = והפונקציה v תהיה פתרון של מד''ר לינארי מסדר 1 n.

33 9.1 ווריציא של פרמטרים מניחים שידועים לנו n פתרונות הומוגנים בת''ל y. 1 y,..., n המטרה היא למצוא פתרון פרטי. נחפש פתרון מהצורה y p x = u 1 xy 1 x+...+u n xy n x u 1 ym u n ym n = נדרוש הפעם: m u 1y לכל n 2 m, נקבל: u ny n לכל n 2 m. ע''י הצבה של y p במשוואה ושימוש ב = m u ny n 1 n +...+u ny n 1 n y 1 x y 2 x y n x y 1 x y 2 x y n x y n 1 1 x y n 1 2 x y n n 1 = g } {{ x } A u 1 u 2 u n = g בתיב מטריציונית: תזכורת: יהי R. A GL n n אז: A 1 = AdjA deta כאשר AdjA i,j = 1 i+j M j,i כאשר M j,i דורמיננטה של המינור ה j,i. אז נקבל: u m = gxw mx wy!,...,y n כאשר w m x = 1 m+n detm n,m כאשר M n,m הוא המינור m,n של A. אז: y p x = n m=1 ˆx gtw m t y m x wy 1,...,y n t dt 1 מערכות של מד''ר n 1,y n = F t,y,..,y נגדיר x 1 t = yt x 2 t = y t x n t = y n 1 t מתקיים x 1 t = x 2t x 2 = x 3t x n t = y n 1 t = y n t = Ft,x 1 t,...,x n t

34 . F = F 1 F 2 F n קיבלנו מערכת של משוואות הדיפרנציאליות השקול למשוואה מסדר n שהתחלנו איתה. x 1 = F 1t,x 1 t,...,x n t x n = F nt,x 1,...,x n צורה יותר כללית: מערכת מהצורה: ניתן לרשום את המערכת בצורה וקטורית t F : R n+1 R n, xt = x 1 t,...,x n כאשר d dt xt = F t, xt עם תנאי התחלה xt = x R n. פריקוש גיאמטרית:.R n הור עקומה ב xt. x הוא המהירות של d dt xt גודל המהירות הוא. d x dt. d x dt t d x dt כיוון המהירות הוא משפט 1.1 משפט קיום ויחידות יהי b} D = {t, x R R n t t a, x x תיבה + 1 n מימדי, ו f : D R n פונקציה רציפה וליפשיצית במ''ש ב t במשתנה x, כלומר: Ft, x 1 Ft, x 2 K x 1 x 2 d x קיים פתרון יחיד ב h + t h,t כאשר hכאשר = min { a, M} b dt לכל x 1, x 2 ו R.t אזי למשוואה = F t, xt, xt = x.m = max Ft, x D x n+1 x n = ˆt t הערה: אם = b אז h = a ואם = a אז הפתרון מוגדר לכל.t הוכחה: סקיצה להוכחת משפט קיום ויחידות נגדיר את איטרציות פיקארד: x, t = x ˆt x k+1 t = x + t Fz, x k zdz לאורך כל ההוכחה הכל עובד בדיוק אותו דבר פרט להבדל שמחפיםים ב. האי שוויון ˆt ˆt Fz, xk zdz Fz, x k zdz M t t t t Fz,xn z ˆt Fz,x n 1 zdz Fz,xn z ˆt Fz,x n 1 z dz K x n+1 z x n z dz t t וגם: וכן הלאה. מראים בדרך זו ש x k סדרת קושי. כלומר הסדרה t sup x n t x m היא קושי. משפט זה מוכיח רטראוקטיבית את כל משפטי E קיון ויחידות שנוסחו בקורס למעת טורי חזקות.

35 x 1 = F 1 t,x 1,...,x n x 2 = F 2 t,x 1,...,x n x n = F n = t,x 1,...,x n 11 מערכת משוואות של מד''ר לינאריות יהי מערכת משוואות של מד''ר מסדר n: F = F 1 F 2 F n x = x 1 x 2 x n נסמן: ונכתוב את המערכת באופן הבא: x = F t, x אם F 1 F, 2 F,..., n פונקציות לינאריות של x 1 x, 2 x,..., n אזי המערכת היא לינארית אחרת היא נקראת לא לינראית. מערכת לינארי ניתן תמיד לכתוב באופן הבא: x 1 = P 1,1tx P 1,n tx n +g 1 t x 2 = P 2,1tx P 2,n tx n +g 2 t x n = P n,1tx P n,n tx n +g 1 t x = ˆP x+ g אז נוכל לכתוב בצורה: x = x 1 x 2 x n gt = g 1 t g 2 t g n t ˆP = P 1,1 P 1,2 P 1,n P 2,1 P 2,2 P 2,n P n,1 P n,2 P n,n כאשר הערה: נשים לב שלמערכת לינאריות יש צורה של מד''ר לינארי מסדר ראשון: x = ˆP x+ g x ˆP x = g משפט 11.1 משפטקיוםויחידותאם gו 1,..,g n Pרציפותבקטעפתוח α,β המכילאת 1,1,...,P n,n t,אזיקייםפתרוןיחיד t x 1 t,x 2 t,...,x n של המערכת המקיים את תנאי התחלה: x 1 t = x 1 x 2 t = x 2 x n t = x n xt = c 1 x 1 t+...+c n x n t.α,β והוא תקף ברטע, x 1,x 2,..,x n עבטר וקטור מספרים כלשהו 11.1 פתרון כללי של מערכת לינארית פתרון כללי של מערכת לינארי כנ''ל היא מהצורה: כאשר x 1,..., x n פתרונות בת''ל לינארי

36 x 1 t = x 1,1 t x 2,1 t x n,1 t x 2 t = x 1,2 t x 2,2 t x n,2 t x n t = x 1,1 t x 1,2 t x 1,n t x 2,1 t x 2,2 t x 2,n t ˆXt = x n,1 t x n,2 t x n,n t x 1,n t x 2,n t x n,n t ורונסקיאן יהי נכתוב אותם במטריצה: w x 1 t,..., x n t = det ˆXt אז נגדיר את הורונסקיאן של t x 1,...,t x n להיות: משפט w 11.2 מתאפס אם ורק אם x 1,..., x n תלויים לינארית. הערה: מערכת לינארי כנ''ל נקראת הומוגני אם =. gt 11.2 מערכת משוואות הומוגנית עם מקדמים קבועים נתעסק כעת במשוואות מהצורה x = ˆP x כאשר Pˆ היא מטריצה קבועה לא תלויה ב t, דהיינו מטרצת מספרים. במקרה כזה הפתרון הוא מהצורה: xt = eˆpt x eâ =  n n! הגדרה 11.3 לכל מטריצה  ב C M n מגדירים: כאשר ההתכנסות הטור הוא בנורמה: ˆB = sup ˆB x x =1 sup x =1  = sup  x x =1  x sup ˆB x x =1 n כאשר 2 i x = x הנורמה האוקלידי. נשים לב ש:  ˆB Ân  n i=1 m+l  n n! m  n n! = m+l n=m+1 eâ =  n n!  n n! m+k n=m+1  n n! n=m+1 נשים לב ש: מוגדרת היטב כי לכל  מטריצה מתקיים:  n! n לכן הטור הנ''ל מתכנס.

37 טענה 11.4 נניח ש C Ât = R M n ושגזירה במובן ש: 1 lim Ât+δ Ât δ δ קיים בנורמה האופרטור. אזי לכל x, Cn הפונקציה Ât x גזירה כפונקציה ב R ל C n ומתקיים: Ât x =  t x 1 Ât+δ Ât δ x  t x = 1 Ât+δ δ Ât Ât x 1 Ât+δ Ât δ  t x δ הוכחה: d 1 eˆpt = lim dt δ δ 1 t+δ n t n = lim ˆP n δ δ n! = n=1 eˆpt+δ 1 eˆpt = lim δ δ 1 n! ntn 1 ˆPn = = n=1 lim δ t+δ n ˆP n n! t+δ n t n ˆP n = δn! t n 1 n 1! ˆP ˆP n 1 = ˆP t n n! ˆP n = ˆPeˆPt d dt הוכחה: t n n! ˆP n = 1 n! tn ˆPn = eˆpt מסקנה ˆPe ˆPt 11.5 = כעת נרצה להצדיק את, כלומר שיכולים להחליף את סדר הגבולות. t+δ n t n ˆP n t n ˆP n N 1 t+δ n t n t n ˆP n 1 t+δ n t n + t n ˆP n δn! n! n! δ n! δ n=n+1 }{{}}{{}}{{} ברור שהאיבר שואף ל כאשר δ, וזאת לכל N. היות ו 1 < δ מתקיים: 1 δ t+δn t n = n n δ k k 1 t n k 2 n max1, t n k=1 וכן n 1 t n n t, ברור שיש > ct שעבור < 1 δ מתקיים לכל :n t+δ n t n t n < ct n δ N+1 ct n P ˆ n n! מכאן ש חסום ע''י: שהוא זנב של טור מתכנס ולכן שואף ל כאשר N. לכן ע''י לקיחת N מספיק גדול ניתן לדאוג לכך שהאיבר יהיה קטן מ ǫ. לכל > ǫ ולכן נובע ש: t+δ n t n ˆP n t n ˆP n δn! n! כאשר.δ

38 38 eˆpt x = ˆPeˆPt x אז מכאן נובע: כלומר מתקיים: x t = ˆP xt עבור e ˆPt y = lim N xt = eˆpt x עובדה מרכזית: אם y ו''ע של Pˆ עם ע''ע λ, אזי y גם ו''ע של eˆpt עם ע''ע e. λt N t n N ˆPn t n N ˆPn t n λ n y lim y = lim y = e λt y n! N n! N n! לכן אם Pˆ ניתנת לליכסון כך שיש לה n ו''ע ב''ת לינארית y 1, y 2,..., y n בעל ע''ע λ 1 λ,..., n אזי הפתרון הכללי הוא מהצורה: x1 = x 2 xt = n c k e λkt y k k=1 אם מס' הו''ע של Pˆ קטן מ n, עדיין קימת שיטה המבוססת על צורת ג'ורדן לקבלת פתרון כללי. x 2 bx 2 c 1x 1 a 1 = c a דוגמא: = +cy.ay +by נגדיר,x 2 = y = x 1,x 1 = y אזי: b a xt =exp. לקבלת פתרונות מפורשים נלכסן את המטריצה: λ 1 det c a λ+ b a x1 x 2 1 t c a b a = λ λ+ b + c a a = λ2 +λ b a + c a ניתן כמובן לומר פה ש x λ. 1,2 = ±b b 2 4ac וזה משחזר את הפתרון המקורי, שקיבלנו מקודם. 2a כלומר

39 חלק Î בעיות תנאי שפה נסתכל במשוואה: y = y על [,2π]. עבור = y2π y = נובע ש csinx עבור c R הוא פתרון כללי. עבור תנאי מצורה קצת שונה, y2π y = בלי דרישה נוספת, נובע ש: c 1 sinx+c 2 cosx פתרון כללי. כל הפתרונות של המשוואה מקיימים תנאי זה. עבור = y,,y2π = 1 אין פתרון. וכן אין פתרון ל y y2π = c אם 1.c עבור = 1,y y2π = 1 הפתרון הכללי הוא.cosx+c sinx נסתכל על בעייה תלוייה בפרמטר: y = λy, y = y2π = נשאל: עבור איזה ערכים של λ יש פתרונות ומהו אופיים. הפתרון הכללי ל > λ, הוא c 1 cos λx +c 2 sin λx אם = y אז = 1.c אם: y2π = sin λ2π = λ2π = nπ 2 n 2, λ = n λ = n = 1,2,3,... 2 c 1 e λx +c 2 e λx עבור < λ הפתרון הכללי של המשוואה הוא מהצורה: { n } sin 2 x n=1 וקל לראות שאלו פתרונות המקיימים את תנאי שפה. לכן קיבלנו בסיכום את אוסף הפתרונות הפונקציות: sin n 2 x,sinm 2 x = 2.λ n = n לבעייה יש את הצורה: 2 c sin פותר את בעיית תנאי השפה עבור n כאשר x 2 L[y] = λy, L[y] = y ˆ2π n m sin 2 x sin 2 x dx = δ n,m π אם נסתכל על: 1 π היא משפחה אורתונורמלית בממ''פ של הפונקציות הממשיות הרציפות על [2π,] עם: אז sin n 2 x n=1 ˆ2π f,g = f = N f n=1 n=1 ˆ2π f gdx n f n sin 2 x n 2 f n sin 2 x dx N f n = sin n 2 x,f כמן כן מדובר בבסיס אורתונורמלי, דהיינו: לכל פונקציה במרחב הנ''ל במובן ש: כאשר

40 ¼ בעיה אחרת: y = λy עם תנאי השפה: y2π.y = y 2π,y = הפתרון הכללי: c 1 cos λx +c 2 sin λx λ2π = 2nπ λ = n Z λ = n 2 ל λ. פתרון כזה מקיים את תנאי השפה אם''ם: ואז יש שני פתרונות בת''ל,,sinnx cosnx המקיימים את תנאי השפה עבור...,1,2,3 = n. המקרה = λ מיוחד ואז יש פתרון יחיד המקיים את תנאי השפה: yx = const = c cos 2 n ואוסף הפונקציות העצמיות: לכן קיבלנו אוסף הערכים העצמיים {1} {cosnx} n=1 {sinnx} n=1 כאשר לכל 1 n לערך העצמי n 2 מתאימות שתי פונקציות עצמיות בת''ל:,sinnx.cosnx אוסף הפונקציות העצמיים גם הוא בסיס אורתוגונלי למרחב הפונקציות הרציפות על [2π,] עם מ''פ: f,g = ˆ2π f gdx פיתוחים בבסיס אורתונורמלי המתאים נקראים ''טור פורייה''. 12 בעיות שטורים ליאוביל ËØÙÖÑ¹Ä ÓÚ ÐÐ 1. p פונקצייה ממשית רציפה. 2. q פונקצייה חיובי ממש רציפה. 3. r פונקצייה חיובי ממש גזירה ברציפות. כל זאת על קטע סגור.[a,b] R בעיית שטורים ליאוביל על [a,b] היא בעיית תנאי שפה הכוללת את המשוואה: [ rxy ] +[px+λgx]y = b 1 yb b 2 y b =, a 1 ya a 2 y a = יהיו : יחד עם תנאי השפה: כאשר a 1,a 2,b 1,b 2 R ו, 2.b 1,b 2,,a 1,a ערכי λ שעבורם יש פתרון לבעייה נקראים ערכים עצמיים שלה והפתרונות המתאימים שבגלל הלינאריות נקבעים עד כדי כפל בקבועה נקראים פונקציות עצמיות שלה. דוגמאות לתנאי שפה מהסוג המתאים: Ö Ð Ø שפה תנאי.ya = yb =.1 Æ ÙÑ ÒÒ שפה תנאי.y a = y b =.2.ya = y b =.3.y a = yb =.4 משפט 12.1 עבור בעיית שטורים לאיוביל כנ''ל, מתקיים: 1. יש לה סדרה אינסופי של ערכים עצמיים וכולם ממשיים. 2. לכל ערך עצמי יש רק פונקציה עצמית אחת עד כדי כפל בקבוע, לכומר הערכים העצמיים הם פשוטים. 3. פונקתיות עצמיות המתאימות לערכים עצמיים שונים, הם אורתוגונליות ביחס למכפלה הפנימית: ˆb f,g q = fx gx qxdx a על מרחב הפונקציות הממשיות הרציפות על [b,a].

41 ½ 4. הפונקציות העצמיות מהוות בסיס אורתוגונלי הממ''פ הנ''ל. הוכחה: הוכחה חלקית 2 נובע מיידית ממשפט הקיום ויחידות כי התנאי a a 1 ya a 2 y קובע את הפתרון עד כדי קבוע. ry m +p+λ m qy m = 3 נסתכל על שתי פונקציות עצמיות שונות y: n y, m ry n +p+λ n qy n = באותו אופן: נכפול את המשוואה הראשונה ב y n ואת השנייה ב y m ונקבל: y n ry m +y n p+λ m qy m y m ry n +y m p+λ n qy n = + y n ry m y m ry n = λ n λ m qy m y n = rb y n ry b m a ˆb a ry m y n dx y m ry a n b ˆb a ry n y m dx = λ n λ m ] ] [y n by m b y mby n b ra [y n ay m a y may n a ˆb a qy m y n dx = = λ n λ m y m,y n q ע''י אינוגרציה על [b,a], נובע: היות ו, 2 a 1,a מתקיים: ya = a 2 a 1 y a }{{} y a = a 1 a 2 ya }{{} או ואז או מתקיימים: אם מתקיים: y n ay ma y m ay na = a 2 a 1 y nay ma a 2 a 1 y may na = y n by m b y mby n b = בדומה יש התאפסות גם אם מתקיים היות ש: λ n λ m y m,y n q = לכן נובע שתמיד:. y m,y n q ומכאן ש λ n λ m נקבל ש = נשים לב שכל ע''ע צריך להיות ממשי. נניח ש α+iβ λ = ערך עצמי מרוכב בעל פונקצייה עצמית y. = u+iv אזי קל לראות ש u iv y = היא פונקציה עצמית עבור λ. = α iβ ע''י אותו חשבון מהוכחת 3 נובע: ˆ b λ λ a yxyxqxdx = λ λ = β = }{{} b yx 2 qxdx> a

42 ¾ חלק ÎÁ התמרת לפלס ÌÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ˆ Fs = L[f]s = e st ftdt ˆ e st ftdt הגדרה 12.2 בהינתן פונקצייה,f : [, R הפונקצייה המוגדר לכל s שערכו האינטגרל f. של ÌÖ Ò ÓÖÑ מוגדר ומתכנס, נקראת התמרת לפלס או טרנספורם לפלס Ä ÔÐ תזכורת: יהי g : R R אינטגרבילית רימן על הקטע,]. אז gtdt מתכנס אם lim R lim R Rˆ Rˆ gtdt gt dt קיים, ונאמר מתכנס בהחלט אם קיים. דוגמאות:.1 dx x 4 sin x 8 מתכנס, אבל לא מתכנס בהחלט. מתכנס אם β, > α אבל לא מתכנס בהחלט. e αt cos e βt.2 טענה 12.3 אם f,g פונקציות ממשיות על,] אזי בכל s שבה L[f]s וגם L[g]s מוגדרים ומתכנסים בהחלט, מוגדר גם +βg]s L[αf לכל α,β R ומתקיים: L[αf +βg]s = αl[f]s+βl[g]s ˆ ˆ ˆ αl[f]s+βl[g]s = α e st ftdt+β e st gtdt = e st αf +βgtdt = L[αf +βg]s הוכחה: טענה 12.4 אם f : [, R רציפה וקיימים קבועים > M,c שעבורם: f t < Me ct לכל,] t אזי טרנספורם לפלס של f מוגדר ומתכנס בהחלט על,c. ˆ e st f t ˆ dt Me s+ct dt < הוכחה: ל, c s מתקיים:

43 c > ל sup t ft e ct משפט 12.5 לאנוכיח טרנספורם לפלסהואטרנספורמצייה לינאריהפיכה ממרחבהפונקיות הרציפותעל, ] שעבורן < כלשהו למרחב מחלקות השקילות כאשר יחס השקילות הוא שיוויון החל ממקום מסויים שלפונקציות המוגדרות וגזירות אינסוף פעמים ברציפות על קטע מהצורה,c. בפרט 1 k k+1 k k ft = L[Fs] = lim F k k k! t t }{{} ÈÓ Ø³ ÒÚ Ö ÓÒ ÓÖÑÙÐ דוגמאות: = 1.1,ft אזי: ˆ Fs = L[1]s = e st dt = 1 s Fs = L [ ˆ ˆ e at] s = e st e at dt = e s at dt = 1 s a.2 at,ft = e אזי: השוויון הוא עבור ה s ים שיש התכנסות. [ משפט 12.6 אם f : [, R רציפה ומתקיימת ft < Me ct ו t f רציפה, אזי L[f] ו ] f L קיימים על c, ומתקיים: [ L f ] s = sl[f]s f מסקנה 12.7 אם f : [, R ואם n f 1,f 2,...,f קיימות ורציפות וגם קיימים >,c M > כך ש: ft < Me ct, f t < Me ct,..., f n 1 t < Me ct [ L f n] = s n L[f]s s n 1 f s n 2 f... sf n 2 f n 1 אזי n] L [ f קיים על c, ומתקיים: ft < Me ct, f t < Me ct [ L f ] s = s 2 L[f]s sf f הערה: בפרט, אם ו f רציפה אזי: [ L f ] Ṱ s = lim e st f tdt = lim e st ft T +s T T Ṱ e st ftdt = lim T e st ft f+s הוכחה: הוכחת המשפט Ṱ e st ftdt == sl[f]s f }{{} L[f]s

חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א'

חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א' מד''ח 4 - חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א' ( u) u u u < < שאלה : נתונה המד''ח הבאה: א) ב) ג) לכל אחד מן התנאים המצורפים בדקו האם קיים פתרון יחיד אינסוף פתרונות או אף פתרון אם קיים פתרון אחד או יותר

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur

פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur פתרון תרגיל --- 5 מרחבים וקטורים דוגמאות למרחבים וקטורים שונים מושגים בסיסיים: תת מרחב צירוף לינארי x+ y+ z = : R ) בכל סעיף בדקו האם הוא תת מרחב של א } = z = {( x y z) R x+ y+ הוא אוסף הפתרונות של המערכת

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד ... ( ) ( ) ( ) = L. uuruuruur. { v,v,v ( ) ( ) ( ) ( )

פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד ... ( ) ( ) ( ) = L. uuruuruur. { v,v,v ( ) ( ) ( ) ( ) פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד a d U c M ( יהי b (R) a b e ל (R M ( (אין צורך להוכיח). מצאו קבוצה פורשת ל. U בדקו ש - U מהווה תת מרחב ש a d U M (R) Sp,,, c a e

Διαβάστε περισσότερα

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות Mthemtics, Summer 20 / Exercise 3 Notes תרגיל 3 משפטי רול ולגראנז הערות. האם קיים פתרון למשוואה + x e x = בקרן )?(0, (רמז: ביחרו x,f (x) = e x הניחו שיש פתרון בקרן, השתמשו במשפט רול והגיעו לסתירה!) פתרון

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים והגדרות

רשימת משפטים והגדרות רשימת משפטים והגדרות חשבון אינפיניטיסימאלי ב' מרצה : למברג דן 1 פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסויים הגדרה 1.1. (פונקציה קדומה) יהי f :,] [b R פונקציה. פונקציה F נקראת פונקציה קדומה של f אם.[, b] גזירה ב F

Διαβάστε περισσότερα

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא

Διαβάστε περισσότερα

תרגול 1 חזרה טורי פורייה והתמרות אינטגרליות חורף תשע"ב זהויות טריגונומטריות

תרגול 1 חזרה טורי פורייה והתמרות אינטגרליות חורף תשעב זהויות טריגונומטריות תרגול חזרה זהויות טריגונומטריות si π α) si α π α) α si π π ), Z si α π α) t α cot π α) t α si α cot α α α si α si α + α siα ± β) si α β ± α si β α ± β) α β si α si β si α si α α α α si α si α α α + α si

Διαβάστε περισσότερα

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות 1 מוטיבציה למשפט הקיום והיחידות אנו יודעים לפתור משוואות דיפרנציאליות ממחלקות מסוימות, כמו משוואות פרידות או משוואות לינאריות. עם זאת, קל לכתוב משוואה דיפרנציאלית

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשעד פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. לכל אחת מן הפונקציות הבאות, קבעו אם היא חח"ע ואם היא על (הקבוצה המתאימה) (א) 3} {1, 2, 3} {1, 2, : f כאשר 1 } 1, 3, 3, 3, { 2, = f לא חח"ע: לדוגמה

Διαβάστε περισσότερα

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012 אינפי - תרגול 4 3 בינואר 0 רציפות במידה שווה הגדרה. נאמר שפונקציה f : D R היא רציפה במידה שווה אם לכל > 0 ε קיים. f(x) f(y) < ε אז x y < δ אם,x, y D כך שלכל δ > 0 נביט במקרה בו D הוא קטע (חסום או לא חסום,

Διαβάστε περισσότερα

x a x n D f (iii) x n a ,Cauchy

x a x n D f (iii) x n a ,Cauchy גבולות ורציפות גבול של פונקציה בנקודה הגדרה: קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a תקרא סביבה של a. קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a אך לא מכילה את a עצמו תקרא סביבה מנוקבת של a. יהו a R ו f פונקציה מוגדרת

Διαβάστε περισσότερα

גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות

גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות 08 005 שאלה גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות f ( ) f ( ) g( ) f ( ) ו- lim f ( ) ו- ( ) (00) lim ( ) (00) f ( בסביבת הנקודה (00) ) נתון: מצאו ) lim g( ( ) (00) ננסה להיעזר בכלל הסנדביץ לשם כך

Διαβάστε περισσότερα

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ משוואות רקורסיביות הגדרה: רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים למשל: T = Θ 1 if = 1 T + Θ if > 1 יונתן יניב, דוד וייץ 1 דוגמא נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת

Διαβάστε περισσότερα

סיכום מד"ר מרצה: מיכאל ז'יטומירסיקי נכתב ע"י: אדריאן קיריש נערך ע"י: תומר שטח 28 ביוני 2011

סיכום מדר מרצה: מיכאל ז'יטומירסיקי נכתב עי: אדריאן קיריש נערך עי: תומר שטח 28 ביוני 2011 סיכום מד"ר מרצה: מיכאל ז'יטומירסיקי נכתב ע"י: אדריאן קיריש נערך ע"י: תומר שטח 28 ביוני 2011 1 תוכן עניינים 3 משפט קיום ויחידות............................. 1 3............................ משוואות אוטונומיות

Διαβάστε περισσότερα

Logic and Set Theory for Comp. Sci.

Logic and Set Theory for Comp. Sci. 234293 - Logic and Set Theory for Comp. Sci. Spring 2008 Moed A Final [partial] solution Slava Koyfman, 2009. 1 שאלה 1 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהיו } 2,(p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ).Σ 2 = {p 2 p 1 },Σ 1 =

Διαβάστε περισσότερα

תרגול משפט הדיברגנץ. D תחום חסום וסגור בעל שפה חלקה למדי D, ותהי F פו' וקטורית :F, R n R n אזי: נוסחת גרין I: הוכחה: F = u v כאשר u פו' סקלרית:

תרגול משפט הדיברגנץ. D תחום חסום וסגור בעל שפה חלקה למדי D, ותהי F פו' וקטורית :F, R n R n אזי: נוסחת גרין I: הוכחה: F = u v כאשר u פו' סקלרית: משפט הדיברגנץ תחום חסום וסגור בעל שפה חלקה למדי, ותהי F פו' וקטורית :F, R n R n אזי: div(f ) dxdy = F, n dr נוסחת גרין I: uδv dxdy = u v n dr u, v dxdy הוכחה: F = (u v v, u x y ) F = u v כאשר u פו' סקלרית:

Διαβάστε περισσότερα

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות

Διαβάστε περισσότερα

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1 1 טורים כלליים 1. 1 התכנסות בהחלט מתכנס. מתכנס בהחלט אם n a הגדרה.1 אומרים שהטור a n משפט 1. טור מתכנס בהחלט הוא מתכנס. הוכחה. נוכיח עם קריטריון קושי. יהי אפסילון גדול מ- 0, אז אנחנו יודעים ש- n N n>m>n

Διαβάστε περισσότερα

gcd 24,15 = 3 3 =

gcd 24,15 = 3 3 = מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =

Διαβάστε περισσότερα

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V )

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V ) הצגות של חבורות סופיות c ארזים 6 בינואר 017 1 משפט ברנסייד משפט 1.1 ברנסייד) יהיו p, q ראשוניים. תהי G חבורה מסדר.a, b 0,p a q b אזי G פתירה. הוכחה: באינדוקציה על G. אפשר להניח כי > 1 G. נבחר תת חבורה

Διαβάστε περισσότερα

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim

Διαβάστε περισσότερα

חדוו"א 2 סיכום טענות ומשפטים

חדווא 2 סיכום טענות ומשפטים חדוו"א 2 סיכום טענות ומשפטים 3 ביוני 2 n S(f, T ) := (t k+ t k ) inf k= סכום דרבו תחתון מוגדר על ידי [t k,t k+ ] f אינטגרל רימן חלוקות של קטע חלוקה של קטע [,] הינה אוסף סדור סופי של נקודות מהצורה: טענה.2

Διαβάστε περισσότερα

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות

Διαβάστε περισσότερα

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A )

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A ) הסתברות למתמטיקאים c ארזים 3 במאי 2017 1 תוחלת מותנה הגדרה 1.1 לכל משתנה מקרי X אינטגרבילית ותת סיגמא אלגברה G F קיים משתנה מקרי G) Y := E (X המקיים: E (X1 A ) = E (Y 1 A ).G מדיד לפי Y.1.E Y

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( ) ... חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה נפריד למקרים:

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשעו ( ) ... חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה נפריד למקרים: לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( 2016 2015 )............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה.1

Διαβάστε περισσότερα

תרגול 1: מד"ר 1 הפרדת משתנים משוואות,, 0 הומוגניות משוואות מציבים לינאריות כאשר 0 המשוואה הומוגנית של כפונקציה של בלבד. משוואות ברנולי מסמנים או:

תרגול 1: מדר 1 הפרדת משתנים משוואות,, 0 הומוגניות משוואות מציבים לינאריות כאשר 0 המשוואה הומוגנית של כפונקציה של בלבד. משוואות ברנולי מסמנים או: אריאל סטולרמן 1 סיכומי תרגולים: סיכומים במד"ר 1 סמסטר קיץ 2009 (פרופ' ודים אוסטפנקו) תרגול 1: סוגים של מד"ר ודרכי פתרון: חשוב: לשים לב לקבוע c המצורף כתוצאה מאינטגרציה דרך פתרון שיטה צורה הפרדת משתנים

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות

רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות λ = 0 A. F n n ערך עצמי של A אם ורק אם A לא הפיכה..det(λ I ערך עצמי של λ F.A F n n n A) = 0 אם ורק אם: A v וקטור עצמי של Tהמתאים יהי T: V V אופרטור לינארי. אם λ F ערך עצמי של,T לערך העצמי λ, אזי λ הוא

Διαβάστε περισσότερα

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012)

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 6 נושא: תחשיב הפסוקים: הפונקציה,val גרירה לוגית, שקילות לוגית 1. כיתבו טבלאות אמת לפסוקים הבאים: (ג) r)).((p q) r) ((p r) (q p q r (p

Διαβάστε περισσότερα

= 2. + sin(240 ) = = 3 ( tan(α) = 5 2 = sin(α) = sin(α) = 5. os(α) = + c ot(α) = π)) sin( 60 ) sin( 60 ) sin(

= 2. + sin(240 ) = = 3 ( tan(α) = 5 2 = sin(α) = sin(α) = 5. os(α) = + c ot(α) = π)) sin( 60 ) sin( 60 ) sin( א. s in(0 c os(0 s in(60 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 0 s in(70 מתאים לזהות של cos(θsin(φ : s in(θ φ s in(θcos(φ sin ( π cot ( π cos ( 4πtan ( 4π sin ( π cos ( π sin ( π cos ( 4π sin ( 4π

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור הרצאה מס' 1. תורת הקבוצות. מושגי יסוד בתורת הקבוצות.. 1.1 הקבוצה ואיברי הקבוצות. המושג קבוצה הוא מושג בסיסי במתמטיקה. אין מושגים בסיסים יותר, אשר באמצעותם הגדרתו מתאפשרת. הניסיון והאינטואיציה עוזרים להבין

Διαβάστε περισσότερα

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית (1) - פתרון תרגיל 11

אלגברה לינארית (1) - פתרון תרגיל 11 אלגברה לינארית ( - פתרון תרגיל דרגו את המטריצות הבאות לפי אלגוריתם הדירוג של גאוס (א R R4 R R4 R=R+R R 3=R 3+R R=R+R R 3=R 3+R 9 4 3 7 (ב 9 4 3 7 7 4 3 9 4 3 4 R 3 R R3=R3 R R 4=R 4 R 7 4 3 9 7 4 3 8 6

Διαβάστε περισσότερα

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים קבוצות של מספרים ממשיים צעד ראשון להצטיינות קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים האיברים של הקבוצה אנו נתמקד בקבוצות של מספרים ממשיים בדרך כלל מסמנים את הקבוצה באות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית

תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית אנליזה נומרית 0211 סתיו - תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית נרצה לפתור את מערכת המשוואות יהי פתרון מקורב של נגדיר את השארית: ואת השגיאה: שאלה 1: נתונה מערכת המשוואות הבאה: הערך את השגיאה היחסית

Διαβάστε περισσότερα

co ארזים 3 במרץ 2016

co ארזים 3 במרץ 2016 אלגברה לינארית 2 א co ארזים 3 במרץ 2016 ניזכר שהגדרנו ווקטורים וערכים עצמיים של מטריצות, והראינו כי זהו מקרה פרטי של ההגדרות עבור טרנספורמציות. לכן כל המשפטים והמסקנות שהוכחנו לגבי טרנספורמציות תקפים גם

Διαβάστε περισσότερα

סיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין

סיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין סיכום אינפי 2 9 ביוני 200 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין אין המרצה או המתרגלים קשורים לסיכום זה בשום דרך. סוכם ע"י נגה רוטמן בשעות לא הגיוניות בעליל,

Διαβάστε περισσότερα

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 5 שנכתב על-ידי מאיר בכור. חקירת משוואה מהמעלה הראשונה עם נעלם אחד = הצורה הנורמלית של המשוואה, אליה יש להגיע, היא: b

Διαβάστε περισσότερα

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח.

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח. 1 תשע'א תירגול 8 אלגברה לינארית 1 טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של וקטור אם הוכחה: חד חד ערכית ויהי כך ש מכיוון שגם נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2 אלגברה ליניארית א' פתרון 3 4 3 3 7 9 3. נשתמש בכתיבה בעזרת מטריצה בכל הסעיפים. א. פתרון: 3 3 3 3 3 3 9 אז ישנו פתרון יחיד והוא = 3.x =, x =, x 3 3 הערה: אפשר גם לפתור בדרך קצת יותר ארוכה, אבל מבלי להתעסק

Διαβάστε περισσότερα

פולינומים אורתוגונליים

פולינומים אורתוגונליים פולינומים אורתוגונליים מרצה: פרופ' זינובי גרינשפון סיכום: אלון צ'רני הקורס ניתן בסמסטר אביב 03, בר אילן פולינומים אורתוגונאליים תוכן עניינים תאריך 3.3.3 הרצאה מרחב מכפלה פנימית (הגדרה, תכונות, דוגמאות)

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשעו (2016) לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות

תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות. פתרו את המשוואות הבאות. לא מספיק למצוא פתרון אחד יש למצוא את כולם! sin ( π (א) = x sin (ב) = x cos (ג) = x tan (ד) = x) (ה) = tan x (ו) = 0 x sin (x) + sin (ז) 3 =

Διαβάστε περισσότερα

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חח"ע ועל מכיוון שהיא מוגדרת ע"י. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חח"ע אז ועל פי הגדרת

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חחע ועל מכיוון שהיא מוגדרת עי. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חחע אז ועל פי הגדרת הרצאה 7 יהיו :, : C פונקציות, אז : C חח"ע ו חח"ע,אז א אם על ו על,אז ב אם ( על פי הגדרת ההרכבה )( x ) = ( )( x x, כךש ) x א יהיו = ( x ) x חח"ע נקבל ש מכיוון ש חח"ע נקבל ש מכיוון ש ( b) = c כך ש b ( ) (

Διαβάστε περισσότερα

משוואות דיפרנציאליות לינאריות הומוגניות עם מקדמים קבועים

משוואות דיפרנציאליות לינאריות הומוגניות עם מקדמים קבועים משוואות דיפרנציאליות לינאריות הומוגניות עם מקדמים קבועים עבור משוואה דיפרנציאלית הומוגנית מסדר 2 n y (n) +p 1 (t)y (n 1) +p 2 (t)y (n 2) + +p n (t)y = 0, אין דרך כללית למצוא באופן מפורש ביטויים לפתרונות

Διαβάστε περισσότερα

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך,

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 נושאי התרגול: פונקציות 1 פונקציות הגדרה 1.1 פונקציה f מ A (התחום) ל B (הטווח) היא קבוצה חלקית של A B המקיימת שלכל a A קיים b B יחיד כך ש. a, b f a A.f (a) = ιb B. a, b f או, בסימון

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 1. המערכת הלא הומוגנית גם כן. יתרה מזאת כל פתרון של (A b) הוא מהצורה c + v כאשר v פתרון כלשהו של המערכת ההומוגנית

אלגברה לינארית 1. המערכת הלא הומוגנית גם כן. יתרה מזאת כל פתרון של (A b) הוא מהצורה c + v כאשר v פתרון כלשהו של המערכת ההומוגנית אלגברה לינארית 1 Uטענה U: אם c פתרון של המערכת (A b) ו v פתרון של המערכת (0 A) אזי c + v פתרון של המערכת הלא הומוגנית גם כן. יתרה מזאת כל פתרון של (A b) הוא מהצורה c + v כאשר v פתרון כלשהו של המערכת ההומוגנית

Διαβάστε περισσότερα

פונקציות מרוכבות בדצמבר 2012

פונקציות מרוכבות בדצמבר 2012 פונקציות מרוכבות 80519 אור דגמי, or@digmi.org 30 בדצמבר 2012 אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ גנאדי לוין בשנת לימודים 2013 מייל של המרצב: levin@math.huji.ac.il אפשר לקבוע פגישה. הקורסלאמבוססעלאףספרספציפי,

Διαβάστε περισσότερα

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה.

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה. בחינת סיווג במתמטיקה.9.017 פתרונות.1 סדרת מספרים ממשיים } n {a נקראת מונוטונית עולה אם לכל n 1 מתקיים n+1.a n a האם הסדרה {n a} n = n היא מונוטונית עולה? הוכיחו תשובתכם. הסדרה } n a} היא אכן מונוטונית

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית מטריצות מטריצות הפיכות

אלגברה לינארית מטריצות מטריצות הפיכות מטריצות + [( αij+ β ij ] m λ [ λα ij ] m λ [ αijλ ] m + + ( + +C + ( + C i C m q m q ( + C C + C C( + C + C λ( ( λ λ( ( λ (C (C ( ( λ ( + + ( λi ( ( ( k k i חיבור מכפלה בסקלר מכפלה בסקלר קומוטטיב אסוציאטיב

Διαβάστε περισσότερα

פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן. (z z 0 ) m. c n = 1. 2πi γ (ξ z 0 ) n+1dξ, .a 1 = 1 f(z)dz בפרט,.a 2πi γ m וגם 0 0 < z z 0 < r בעיגול הנקוב z.

פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן. (z z 0 ) m. c n = 1. 2πi γ (ξ z 0 ) n+1dξ, .a 1 = 1 f(z)dz בפרט,.a 2πi γ m וגם 0 0 < z z 0 < r בעיגול הנקוב z. פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן הגדרה 5. טורלורןסביבקוטב z מסדרm שלפונקציה( f(z הואמהצורה n m a n(z z m. למשל,טורלורן שלהפונקציה e z /z 2 סביב הוא + 2./z 2 +/z+/2+/3!z+/4!z משפט 5. תהי f פונקציה אנליטית

Διαβάστε περισσότερα

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק יום א 14 : 00 15 : 00 בניין 605 חדר 103 http://u.cs.biu.ac.il/ brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק 29/11/2017 1 הגדרת קבוצת הנוסחאות הבנויות היטב באינדוקציה הגדרה : קבוצת הנוסחאות הבנויות

Διαβάστε περισσότερα

גירסה liran Home Page:

גירסה liran   Home Page: גירסה 1.00 26.10.03 סיכום באלגברה א מסמך זה הורד מהאתר.hp://uderwar.liveds.co.il אין להפיץ מסמך זה במדיה כלשהי, ללא אישור מפורש מאת המחבר. מחבר המסמך איננו אחראי לכל נזק, ישיר או עקיף, שיגרם עקב השימוש

Διαβάστε περισσότερα

{ : Halts on every input}

{ : Halts on every input} אוטומטים - תרגול 13: רדוקציות, משפט רייס וחזרה למבחן E תכונה תכונה הינה אוסף השפות מעל.(property המקיימות תנאים מסוימים (תכונה במובן של Σ תכונה לא טריביאלית: תכונה היא תכונה לא טריוויאלית אם היא מקיימת:.

Διαβάστε περισσότερα

סרוקל רזע תרבוח 1 ילמיסיטיפניא ןובשח

סרוקל רזע תרבוח 1 ילמיסיטיפניא ןובשח חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 עמוד חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 תוכן העניינים נושא עמוד נושא כללי 3 רציפות זהויות טריגונומטריות 4

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1

חשבון אינפיניטסימלי 1 חשבון אינפיניטסימלי 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ צליל סלע בקורס "חשבון אינפיניטסימלי 1" (80131) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו.

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב 2011 2010 פרופ' יעקב ורשבסקי אסף כץ 15//11 1 סמל לזנדר יהי מספר שלם קבוע, ו K שדה גלובלי המכיל את חבורת שורשי היחידה מסדר µ. תהי S קבוצת הראשוניים הארכימדיים

Διαβάστε περισσότερα

1 סכום ישר של תת מרחבים

1 סכום ישר של תת מרחבים אלמה רופיסה :הצירטמ לש ןדרו'ג תרוצ O O O O O O ןאבצ זעוב סכום ישר של תת מרחבים פרק זה כולל טענות אלמנטריות, שהוכחתן מושארת לקורא כתרגיל הגדרה: יהיו V מרחב וקטורי, U,, U k V תת מרחבים הסכום W U + U 2 +

Διαβάστε περισσότερα

אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים

אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים לכסון מטריצות יהי F שדה ו N n נאמר שמטריצה (F) A M n היא לכסינה אם היא דומה למטריצה אלכסונית כלומר, אם קיימת מטריצה הפיכה (F) P M n כך ש D P AP = כאשר λ λ 2 D = λ n

Διαβάστε περισσότερα

(Derivative) של פונקציה

(Derivative) של פונקציה נגזרת Drivtiv של פונקציה t הנגזרת היא המושג החשוב בקורס, ולה חשיבות מעשית רבה היא מכמתת את קצב השינוי של תופעה כלשהי פיסיקלית, כלכלית, וויזואלית דוגמאות: מהירות של עצם היא קצב השינוי במקומו, ולכן המהירות

Διαβάστε περισσότερα

טריגונומטריה הגדרות הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות

טריגונומטריה הגדרות הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות טריגונומטריה הגדרות הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות את הפונקציות הטריגונומטריות ניתן להגדיר באמצעות הקשרים בין הניצבים לבין היתר ובין הניצבים עצמם במשולש ישר זווית בלבד: לדוגמה: סינוס זווית BAC (אלפא)

Διαβάστε περισσότερα

( k) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) A Ω P( B) P A B P A P B תכונות: A ו- B ב"ת, אזי: A, B ב "ת. בינומי: (ההסתברות לk הצלחות מתוך n ניסויים) n.

( k) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) A Ω P( B) P A B P A P B תכונות: A ו- B בת, אזי: A, B ב ת. בינומי: (ההסתברות לk הצלחות מתוך n ניסויים) n. Ω קבוצת התוצאות האפשריות של הניסוי A קבוצת התוצאות המבוקשות של הניסוי A A מספר האיברים של P( A A Ω מבוא להסתברות ח' 434 ( P A B הסתברות מותנית: P( A B P( B > ( P A B P A B P A B P( B PB נוסחאת ההסתברות

Διαβάστε περισσότερα

F(z). y y. z 0 z z 0 z z 0 z. ( z) x iy z = = Re( z) Im( z) lim אז: arg. z z r ( ) ( ) ( ) z 0. i α ( ) ( ) אז. קיים אם: lim = lim = lim

F(z). y y. z 0 z z 0 z z 0 z. ( z) x iy z = = Re( z) Im( z) lim אז: arg. z z r ( ) ( ) ( ) z 0. i α ( ) ( ) אז. קיים אם: lim = lim = lim כללי מספרים מרוכבים: הקבוצה לא כוללת מספרים אינסופיים הקבוצה כוללת מספרים אינסופיים (מיוצגת ע"י ספירת רימן { } שורש יחידה: כל Z שיקיים נקרא שורש יחידה מדרגה,, ( חוקי מספרים מרוכבים:, e iy y i θ r e r r

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6

אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6 אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6 15 בינואר 016 1. יהי F שדה ויהיו q(x) p(x), שני פולינומים מעל F. מצאו פולינומים R(x) S(x), כך שמתקיים R(x),p(x) = S(x)q(x) + כאשר deg(q),deg(r) < עבור המקרים הבאים: (תזכורת:

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 2 משפטים וטענות

אלגברה לינארית 2 משפטים וטענות אלגברה לינארית 2 משפטים וטענות סוכם ע"פ הרצאות פרופ' מ.קריבלביץ' 1.2 אידאלים של פולינומים הגדרה 1.13 יהי F שדה. קבוצת פולינומים [x] I F נקראת אידיאל ב [ x ] F אם מתקיים:.0 I.1.2 לכל f 1, f 2 I מתקיים.f

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: נוסחאות נסיגה נוסחאות נסיגה באמצעות פונקציות יוצרות נוסחאות נסיגה באמצעות פולינום אופייני נוסחאות נסיגה לעתים מפורש לבעיה קומבינטורית אינו ידוע, אך יחסית קל להגיע

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעב (2012) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשס"ט

אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשסט 467 אלגברה א', סמסטר חורף תשס"ט, פתרונות לשיעורי הבית, עמוד מתוך 6 467 אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשס"ט תוכן עניינים : גליון שדות... גליון מרוכבים 7... גליון מטריצות... גליון 4 דירוג,

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי (2)

חשבון אינפיניטסימלי (2) חשבון אינפיניטסימלי (2) איתי שפירא 30 ביוני 2017 מתוך הרצאות מהאונברסיטה העברית 2017. i.j.shpir@gmil.com תוכן עניינים 1 מבוא והשלמות 5 1.1 כלל לופיטל................................. 5 1.2 חקירת פונקציות..............................

Διαβάστε περισσότερα

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון.

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון. Charles Augustin COULOMB (1736-1806) קולון חוק חוקקולון, אשרנקראעלשםהפיזיקאיהצרפתישארל-אוגוסטיןדהקולוןשהיהאחדהראשוניםשחקרבאופןכמותיאתהכוחותהפועלים ביןשניגופיםטעונים. מדידותיוהתבססועלמיתקןהנקראמאזניפיתול.

Διαβάστε περισσότερα

שדות הגדרת השדה: חשבון מודולו n: הגדרה: שדה F הוא קבוצה שיש בין אבריה שתי פעולות משפט: יהא F שדה. משפט: יהא F שדה ו- (mod )

שדות הגדרת השדה: חשבון מודולו n: הגדרה: שדה F הוא קבוצה שיש בין אבריה שתי פעולות משפט: יהא F שדה. משפט: יהא F שדה ו- (mod ) שדות הגדרת השדה: הגדרה: שדה F הוא קבוצה שיש בין אבריה שתי פעולות אחת נקראת חיבור ותסומן ב + האחרת נקראת כפל ותסומן ב * כך שתתקיימנה הדרישות הבאות: a, b F a b. סגירות לחיבור: F a F a 0 0 a a a, b, c F a

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים תרגולמס 5

מודלים חישוביים תרגולמס 5 מודלים חישוביים תרגולמס 5 30 במרץ 2016 נושאי התרגול: דקדוקים חסרי הקשר. למת הניפוח לשפות חסרות הקשר. פעולות סגור לשפות חסרות הקשר. 1 דקדוקים חסרי הקשר נזכיר כי דקדוק חסר הקשר הוא רביעיה =(V,Σ,R,S) G, כך

Διαβάστε περισσότερα

תרגול פעולות מומצאות 3

תרגול פעולות מומצאות 3 תרגול פעולות מומצאות. ^ = ^ הפעולה החשבונית סמן את הביטוי הגדול ביותר:. ^ ^ ^ π ^ הפעולה החשבונית c) #(,, מחשבת את ממוצע המספרים בסוגריים.. מהי תוצאת הפעולה (.7,.0,.)#....0 הפעולה החשבונית משמשת חנות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

"קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי

קשר-חם : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים "קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי נושא: חקירת משוואות פרמטריות בעזרת גרפים הוכן ע"י: אביבה ברש. תקציר: בחומר מוצגת דרך לחקירת

Διαβάστε περισσότερα

3-9 - a < x < a, a < x < a

3-9 - a < x < a, a < x < a 1 עמוד 59, שאלהמס', 4 סעיףג' תיקוני הקלדה שאלון 806 צריך להיות : ג. מצאאתמקומושלאיברבסדרהזו, שקטןב- 5 מסכוםכלהאיבריםשלפניו. עמוד 147, שאלהמס' 45 ישלמחוקאתהשאלה (מופיעהפעמיים) עמוד 184, שאלהמס', 9 סעיףב',תשובה.

Διαβάστε περισσότερα

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 1 מערכת המספרים השלמים בשיעור הקרוב אנו נעסוק בקבוצת המספרים השלמים Z עם הפעולות (+) ו ( ), ויחס סדר (>) או ( ). כל התכונות הרגילות והידועות של השלמים מתקיימות: חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות),

Διαβάστε περισσότερα

מערך תרגיל קורס סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי 2 למדעי המחשב

מערך תרגיל קורס סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי 2 למדעי המחשב מערך תרגיל קורס 89-33 סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי למדעי המחשב יוני 05, גרסה 0.9 מבוא נתחיל עם כמה דגשים: דף הקורס נמצא באתר.www.math-wiki.com שאלות בנוגע לחומר הלימודי מומלץ לשאול בדף השיחה באתר

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשעד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, 635865 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1. סדרה חשבונית שיש בה n איברים...2 3. האיבר

Διαβάστε περισσότερα

דף סיכום אלגברה לינארית

דף סיכום אלגברה לינארית דף סיכום אלגברה לינארית מרחבי עמודות, שורות, אפס: = = c + c + + c k k כל פתרון של המערכת : A=b נתונה מטריצה :m = מרחב השורות של המטריצה spa = spa מרחב העמודות של המטריצה { r, r, rm { c, c, c מרחב הפתרונות

Διαβάστε περισσότερα

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R תרגילים בתורת החשמל כתה יג שאלה א. חשב את המתח AB לפי משפט מילמן. חשב את הזרם בכל נגד לפי המתח שקיבלת בסעיף א. A 60 0 8 0 0.A B 8 60 0 0. AB 5. v 60 AB 0 0 ( 5.) 0.55A 60 א. פתרון 0 AB 0 ( 5.) 0 0.776A

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 7

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 7 אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 7 2 1 1 1 0 1 1 0 1 0 2 1 1 0 1 0 2 1 2 1 1 0 2 1 0 1 1 3 1 2 3 1 2 0 1 5 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 4 0 0 0.1 עבור :A לכן = 3.rkA עבור B: נבצע פעולות עמודה אלמנטריות

Διαβάστε περισσότερα

gra לא שימושי -rad רדיינים. רדיין = רק ברדיינים. נניח שיש לנו משולש ישר זוית. היחס בין שתי הצלעות שמול הזוית הישרה, נקבע ע"י הזוית.

gra לא שימושי -rad רדיינים. רדיין = רק ברדיינים. נניח שיש לנו משולש ישר זוית. היחס בין שתי הצלעות שמול הזוית הישרה, נקבע עי הזוית. A-PDF MERGER DEMO 56 פונקציות טריגונומטריות במחשבון בד"כ יש אופציות: deg מעלות מניח חלוקת המעגל ל 6 חלקים, כל אחד מעלה למה עשו 6? זה מספר עם הרבה מחלקים וזה גם קרוב ל 65 6 π π 6 π π α α α 6 8 π 6 57 ~

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסמלי 2 סיכומי הרצאות

חשבון אינפיניטסמלי 2 סיכומי הרצאות חשבון אינפיניטסמלי סיכומי הרצאות 9 ביולי מרצה: פרופ מתניה בן ארצי מתרגל: מני אקא mennyk@mth.huji.c.il סוכם ע י: אור שריר פניות לתיקונים והערות: tnidtnid@gmil.com הערה לקראת המבחנים כרגע חסרים מספר דברים

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה.

חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. מרצה: למברג דן תוכן העניינים 3 מספרים ממשיים 1 3.................................. סימונים 1. 1 3..................................

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי מתקדם II 21 ביוני 2012

חשבון אינפיניטסימלי מתקדם II 21 ביוני 2012 חשבון אינפיניטסימלי מתקדם 836 II אור דגמי, or@digmi.org ביוני אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ ארז לפיד בשנת לימודים נושאים לקורס. המרחב.C(K). קירוב ע י פולינומים, משפט Stone-Weirstrss

Διαβάστε περισσότερα

מרצה: פרופסור גיל אריאל סמסטר א 2017 תשע"ז

מרצה: פרופסור גיל אריאל סמסטר א 2017 תשעז חוברת הרצאות בקורס "משוואות דיפרנציאליות חלקיות" 88 24 2 בפברואר 27 מרצה: פרופסור גיל אריאל סמסטר א 27 תשע"ז ערך: איתי רוזנבאום מדח הרצאה ראשונה חזרה ממד"ר משפט פיקארד/לינדולף/קושי/ליפשיץ יהי D מלבן המכיל

Διαβάστε περισσότερα

n x 2 i x i x 2 i 1 x i A n = אשר מייצגים את השטח של איחוד של מלבנים, במקרה אחד החוסמים את הגרף מבחוץ, ובמקרה השני אשר חסומים בתוך הגרף.

n x 2 i x i x 2 i 1 x i A n = אשר מייצגים את השטח של איחוד של מלבנים, במקרה אחד החוסמים את הגרף מבחוץ, ובמקרה השני אשר חסומים בתוך הגרף. סיכומים בחדו"א 2 שירי ארטשטיין 22 co כל הזכויות שמורות לשירי ארטשטיין. אין להעתיק, לשכפל, לצלם, לתרגם, להקליט, לשדר, לקלוט ו/או לאכסן במאגר מידע בכל דרך ו/או אמצעי מכני, דיגיטלי, אופטי, מגנטי ו/או אחר

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס "אלגברה לינארית 2" (80135) באוניברסיטה העברית,

אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס אלגברה לינארית 2 (80135) באוניברסיטה העברית, אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס "אלגברה לינארית 2" (80135 באוניברסיטה העברית, 7 2006 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר באמצעות

Διαβάστε περισσότερα

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יח"ל

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יחל סדרות - הכנה לבגרות 5 יח"ל 5 יח"ל סדרות - הכנה לבגרות איברים ראשונים בסדרה) ) S מסמן סכום תרגיל S0 S 5, S6 בסדרה הנדסית נתון: 89 מצא את האיבר הראשון של הסדרה תרגיל גוף ראשון, בשנייה הראשונה לתנועתו עבר

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל בית 6 מבוא לתורת החבורות סמסטר א תשע ז

פתרון תרגיל בית 6 מבוא לתורת החבורות סמסטר א תשע ז פתרון תרגיל בית 6 מבוא לתורת החבורות 88-211 סמסטר א תשע ז הוראות בהגשת הפתרון יש לרשום שם מלא, מספר ת ז ומספר קבוצת תרגול. תאריך הגשת התרגיל הוא בתרגול בשבוע המתחיל בתאריך ג טבת ה תשע ז, 1.1.2017. שאלות

Διαβάστε περισσότερα

"קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי

קשר-חם : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים "קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי הנושא: פתרון בעיות באמצעות שיטת הנסיגה הוכן ע"י: תמר זמיר תקציר: בחומר מוגדר המושג רקורסיה

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( )

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( ) 9. חשבון אינטגרלי. עד כה עסקנו בבעיות של מציאת הנגזרת של פונקציה נתונה. נשאלת השאלה בהינתן נגזרת האם נוכל למצוא את הפונקציה המקורית (הפונקציה שנגזרתה נתונה)? זוהי שאלה קשה יותר, חשבון אינטגרלי דן בבעיה

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעד (2014) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות

חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות 13 בינואר 211 מרצה: אילון לינדנשטראוס מתרגל: רון רוזנטל סוכם ע י: אור שריר פניות לתיקונים והערות: tnidtnid@gmail.com אתר הסיכומים שלי: http://bit.ly/huji_notes

Διαβάστε περισσότερα

סיכום לינארית 1 28 בינואר 2010 מרצה: יבגני סטרחוב מתרגלת: גילי שול אין המרצה או המתרגלת קשורים לסיכום זה בשום דרך.

סיכום לינארית 1 28 בינואר 2010 מרצה: יבגני סטרחוב מתרגלת: גילי שול אין המרצה או המתרגלת קשורים לסיכום זה בשום דרך. סיכום לינארית 28 בינואר 2 מרצה: יבגני סטרחוב מתרגלת: גילי שול אין המרצה או המתרגלת קשורים לסיכום זה בשום דרך הערות יתקבלו בברכה nogarotman@gmailcom תוכן עניינים 3 מבוא והגדרות בסיסיות 6 שדות 7 המציין של

Διαβάστε περισσότερα

אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר

אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר דקדוק חסר הקשר דקדוק חסר הקשר הנו רביעיה > S

Διαβάστε περισσότερα

חידה לחימום. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד.

חידה לחימום. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד. חידה לחימום ( M ש- N > (כך מספרים טבעיים Mו- N שappleי appleתוappleים בעלי אותה הזוגיות (שappleיהם זוגיים או שappleיהם אי - זוגיים). המספרים הטבעיים מ- Mעד Nמסודרים בשורה, ושappleי שחקappleים משחקים במשחק.

Διαβάστε περισσότερα