Magnetne pojave. Glava Magneti

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Magnetne pojave. Glava Magneti"

Transcript

1 Glava 11 Magnetne pojave Ljudi odavno znaju za magnete i magnetne pojave. Najraniji podaci o tome potiču iz antičkih vremena i vezani su za oblast u Maloj Aziji koja se naziva Magnezija (sada je to deo zapadne Turske), odakle i dolazi reč magnet. Praktična primena magneta je nadjena mnogo kasnije kada je počela njihova upotreba za pravljenje kompasa za navigaciju. Ova primena je veoma značajna, ne samo zato što je omogućila plovidbu na velike daljine, već i zbog toga što je dovela da se magnetnim polovima da ju imena severni i juzni. Magneti danas igraju veoma važnu ulogu u našem životu. Svi električni motori, koji se koriste u frižiderima, za startovanje automobila, kretanje liftova,... sadrže u sebi magnete. Generatori koji proizvode električnu struju u hidroelektranama, kao i oni mnogo manji koji proizvode struju na biciklama (diname), takodje koriste magnete. Prilikom reciklaže otpada, veliki magneti se koriste da odvoje gvoždje od drugog otpada. Magnetna rezonanca (Magnetic Resonance Imaging - MRI) je veoma važan dijagnostički alat koji koristi magnetizam za ispitivanje aktivnosti mozga. Velika lista primena uključuje takodje (magnetne) trake za snimanje, detekciju udahnutnog azbesta, levitaciju super brzih vozova. Magnetizam se koristi za objašnjenje energijskih nivoa u atomima, kosmičkih zraka, zarobljavanje naelektrisanih čestica u van Alenovom pojasu, Magneti Svi magneti privlače gvoždje, ali oni mogu da privlače i odbijaju druge magnete. Eksperimenti pokazuju da svaki magnet ima dva pola. Ukoliko bi magnet oblika šipke okačili o kanap da slobodno visi (kao što je slučaj sa magnetnom iglom kompasa) on bi se orijentisao približno tako da jedan njegov pol pokazuje kao geografskom severnom polu a drugi ka geografskom južnom polu. Usled toga su i dva pola magneta nazvani severni i južni magnetni pol. Univerzalna karakteristika svih magneta je da se istoimeni polovi odbijaju a raznoimeni privlače. Eksperimenti su nadalje pokazali da je nemoguće odvojiti severni od južnog pola, kao što to možemo da uradimo kod naelektrisanja koja možemo da razdvojimo na pozitivna i negativna. Činjenica da magenti polovi uvek postoje u paru je tačna od pojava koje se dešavaju na veoma velikoj skali (sunčeve pege se uvek javljaju u parovima koji se sastoje od severnog i južnog magentnog pola) pa sve do pojava koje se mogu sresti na veoma malim 337

2 338 GLAVA 11. MAGNETNE POJAVE Slika 11.1: Zemljino magnetno polje. rastojanjima (atomi imaju i severne i južne polove kao i elektroni, protoni i neutroni). Slika 11.2: Raznoimeni polovi se privlače dok se istoimeni odbijaju. Feromagneti i elektromagneti. Elementarne struje Jake magnetne osobine imaju samo neki materijali, kao što su to na primer gvoždje, kobalt, nikal, gadolinijum. Takvi materijali se nazivaju feromagnetici. 1 Drugi materijali poseduju slabije magnetne osobine koje se mogu detektovati samo osetljivim instrumentima. Feromagnetici osim što ispoljavaju jake magnetne osobine koje se manifestuju njihovim privalčenjem ka magnetu u čijoj se blizini nalaze, mogu i da se namagnetišu, odnosno da i sami postanu (permanentni) magneti (slika 11.3). Kada se magnet postavi blizu nenamagnetisanog komada feromagnetnog materijala, on izaziva lokalnu magnetizaciju materijala i privlači ga. Ono što se u stvari dešava na mikroskopskoj skali je prikazano na slici Oblasti koje su označene na slici se nazivaju domeni i oni se ponašaju kao mali permanenetni magneti u obliku šipke. Unutar domena polovi pojedinačnih atoma su uredjeni na isti način, pri čemu se svaki atom sada ponaša kao magnet-šipka. Domeni su relativno 1 Naziv potiče od latinske reči za gvoždje, ferrum.

3 11.1. MAGNETI 339 Slika 11.3: Nenamagnetisani komad gvoždja se postavlja izmedju polova magneta, zagreva se i zatim hladi. Druga mogućnost je da se umesto zagrevanja lagano udara dok je u magnetnom polju. Gvoždje postaje permanentan magnet sa polovima kao na slici. Slika 11.4: Proces objedinjavanja domena tokom magnetizacije feromagnetika. i potpuno haotično orijentisani dok god je feromagnetni materijal nenamagnetisan. Kada se nadju u spoljašnjem magnetnom polju susedni domeni se orijentišu u njegovom pravcu i postaju veličine milimetra. Tako indukovana magnetizacija postaje permanentna ukoliko se materijal, kao na slici 11.3, zagreje pa ohladi, ili jednostvano lupka dok je u magnetnom polju. Suprotan proces, koji se zove demagnetizacija, odnosno uspostavljanja ponovne haotične orijentacije elementarnih magneta, odnosno domena, se uspostavlja jakim udarcem ili zagrevanjem magneta u odsustvu spoljašnjeg magnetnog polja. Tako se prilikom zagrevanja, povećava termalno kretanje što rastura orijentaciju domena i dovodi do uspostavlja njihovog slučajnog odnosno haotičnog rasporeda u prostoru. Za svaki feromagnetik postoji karkateristična temeperatura koja se naziva Kirijeva temeperatura iznad koje oni ne mogu da se namagnetišu. Kirijeva temperatura za gvoždje iznosi 1043 K, što je, kao što vidimo znatno iznad sobne temeprature. 2 Početkom 19. veka je otkriveno da električna struja stvara oko sebe magnetno polje. 3 Električna struja koja protiče kroz provodnik na taj način predstavlja magnet koji se, usled toga kako je nastao, naziva elektromagnet, a pojava elektromagnetizam. Elektromagneti se danas koriste praktično svuda, za podizanje i premeštanje havarisanih automobila na auto otpadima, do toga da se njima kontroliše putanja naelektrisanih čestica u akceleratorima. Na slici 11.5 je prikazana raspodela opiljaka gvoždja u prisustvu namotaja kroz koje 2 Neki elementi i legure imaju Kirijevu temperaturu prilično manju od sobne temeprature, drugim rečima oni se ponašaju kao feromagnetici ispod nje. 3 Prvi koji je to zapazio je danski fizičar Hans Christian Oersted ( ), koji je primetio da se magnetna igla kompasa pomera kada se nadje u blizini provodnika kroz koji protiče struja.

4 340 GLAVA 11. MAGNETNE POJAVE Slika 11.5: Raspodela opiljaka od gvoždja oko permanentnog magneta i oko elektromagneta. protiče električna struja i oko permanentnog magneta. Kao što se vidi ona je slična, a slične su i osnovne karakteristike elektromagneta i feromagneta, na primer njihovi polovi (severni i južni) ne mogu da se odvoje, istoimeni polovi se odbijaju dok se raznoimeni privlače,... Kombinacija feromagnetnih materijala i elektromagneta može da dovede do stvaranja jakih magnetnih polja (slika..), pa se tako ovaj efekat koristi kad god je potrebno stvoriti jake magnete. Granica do koje se može pojačavati magnetno polje je odredjena otopornošću provodne žice 4 tako da je za dobijanje izuzetno jakih polja potrebno koristiti supeprovodne materijale kod kojih je otpornost zanemarljivo mala. 5 Slika... pokazuje nekoliko primena elektromagneta i feromagneta u kombinaciji. Feromagnetni materijali se koriste kao memorijske komponente jer pravac i smer polarizacije može da se menja i briše. Najčesće korišćeni magentni medijumi su audio, video trake, i kompjuterski diskovi. Kao što je napomenuto, eksperimentom je pokazano da provodnik kroz koji protiče električna struja predstavlja zapravo elektromagnet. Prirodno se postavlja pitanje, ako je to tako, otkud onda magnetna svojstva feromagnetima? Slika 11.6 prikazuje modele koji opisuju kako elementarne elektčne struje koje postoje na submikroskopskom nivou dovode do pojave magnetizma. 6 Struje koje su izazvana kretanjem protona i elektrona, nam omogućuju da objasnimo feromagnetne ali i druge magnetne efekte. Feromagnetne osobine su, na primer, rezultat interakcije spinova 7 elektrona. U svemu tome ključno je uočiti da je električna struja 4 Ukoliko se previše zagreje ona može i da se istopi. 5 I ovde postoje ograničenja obzirom na to da superporovodne karakteristike materijala jaka magnetna polja razaraju. 6 Na slici je prikazan planetarni model atoma po kome elektroni orbitiraju oko jezgra atoma, kao planete oko sunca, po zatvorenoj putanji (što predstavlja elementarnu struju) i pri tome kreiraju magnetno polje sa severnim i južnim polom. Na drugom delu slike je prikazana uprošćena slika prema kojoj elektron predsavlja naelektrisano telo koje ima spin, odnosno rotira oko sopstvene ose. Usled toga se formira odgovarajuća elementarna struja a posledica toga je opet odgovarajuće magnetno polje, odnosno magnetni dipol. Napomenimo da ni planetarni model atoma kao ni ovakva predstava o elektronu nisu u saglasnosti sa modernom fizikom. 7 Pod spinom se misli na posebnu vrstu kretanja elektrona koja se uprošćeno može shvatiti kao njegova

5 11.1. MAGNETI 341 Slika 11.6: Magnetni dipoli atoma i elektrona u planetarnom modelu atoma i modelu elektrona kao naelektrisane lopte koja rotira oko sopstvene ose. odgovorna za pojave svih vrsta magnetizma a posledica toga je neodvojivost magnetnih polova. Kolo električne struje dakle uvek stvara magnetni dipol, odnosno uvek postoje u paru severni i južni pol. Kako do danas, izolovani severni i južni pol, odnosno magnetni monopoli nisu registrovani, ovakav pristup se na zadovoljavajuć način može da koriste za objašnjenje magnetnih pojava Linije magnetnog polja Ako posmatramo magnetnu iglu kompasa videćemo da ona oseća delovanje neke sile iako nije u direktnom fizičkom kontaktu sa magnetom koji je njen izvor. Kako ta dva magneta interaguju na daljinu, zodno je magnetne sile predstaviti preko odgovarajućeg magnetnog polja. Grafička predstava linija magnetnog polja je veoma korisna za vizuelizaciju jačine, pravca i smera magnetnog polja. Pravac i smer linija magnetnog polja se poklapaju sa pravcem i smerom igle kompasa (slika 11.7), što znači da je njihov smer u stvari smer severnog pola igle kompasa koja je postavljena na dato mesto u magnetnom polju. Mali -probni kompasi koji se koriste za testiranje magnetnog polje se biraju tako da budu dovoljno mali da ga ne poremete značajno, 9 odnosno oni nam samo pomažu da predstavimo magnetno polje koje potiče od tela koje ga stvara a ne od probnog magneta odnosno kompasa. Karakterisitke linija magnetnog polja su Pravac magnentog polja u bilo kojoj tački prostora se poklapa sa pravcem tangente na linju polja. Ako se u tu tačku prostora postavi mali kompas on će se orijentisati tako da prati pravac linije polja. rotacija oko sopstvene ose. 8 Preciznije je reći da magnetni monopoli do sada nisu registrovani, što ne znači da ne mogu da postoje. Istraživanja na subnuklearnom nivou se i danas vrše i moguće je da će oni nekada biti registrovani jer ne postoji ni jedan poznati razlog za njihovo odsustvo. Ukoliko budu pronadjeni, onda će morati da bude modifikovana do sada prihvaćen stav da su svi magnetni efekti posledica električnih struja. 9 Ovo je analogno testiranju električnog polja malim probnim naelektrisanjima.

6 342 GLAVA 11. MAGNETNE POJAVE N N S S Slika 11.7: Linije magnetnog polja su odredjene pravcem malih kompasa postavljenih oko magneta. Spojimo li sve strelice na kompasima dobijamo neprekidne linije magnetnog polja. Jačina magnetnog polja je proporcionalna gustini linija polja. Jačina polja je proporcionalna gustini linija polja. Ona je zapravo jednaka broju linija polja po jedinici površine normalne na linije. Linije magnetnog polja se nikada ne seku, što znači da je polje u svakoj tački prostora odredjeno jednoznačno. Linije magnetnog polja su neprekidne, formiraju zatvorene petlje bez početka ili kraja. Poslednja osobina je u vezi sa time da se severni i južni pol, datog magneta, ne mogu odvojiti. U tome se sastoji glavna razlika linija električnog i magnetnog polja. Linije električnog polja, kao što je rečeno započinju na pozitivnim a završavaju se na negativnim naelektrisanjima Magnetno polje B: Sila kojom magnetno polje deluje na naelektrisanje u kretanju. Kako izgleda mehanizam preko koga jedan magnet deluje na drugi? Odgovor se može naći ako se prisetimo da je magnetno poje izazvano strujom a da ona predstavlja struju naelektrisanja zapravo. U tom smislu magnetna sila deluje na nalektrisanja u kretanju pa na taj način deluje i na druge magnete koji su posledica upravo kretanja datih naelektrisanja, odnosno struje koju ona stvaraju. Zajedno sa Kulonovom i magnetna sila spada u fundamentalne. Ona je medjutim složenija usled niza faktora koji utiču na njenu veličinu, pravac i smer. Eksperimenti su pokazalil da je pravac magnetne sile F normalna na ravna koju formiraju brzina naelek- 10 Ukoliko bi se dokazalo postojanje magnetnih monopola onda bi linije magnetnog polja počinjale i završavale se na njima.

7 11.1. MAGNETI 343 trisane čestice i magnetno polje 11 B u koje ona ulazi, a da joj je smer odredjen pravilom desne ruke što je prikazano na slici Slika 11.8: Za dati pravac i smer polja i brzine naelektrisane čestice, pravac i smer delovanja magnetnog polja na česticu se odredjuje na način prikazan na slici. Prema ovom pravilu za odredjivanje pravca i smera magnetne sile koja deluje na pozitivno naelektrisanje u kretanju, potrebno je usmeriti palac duž brzine v a prste desene ruke u smeru magnetnog polja B. U tom slučaju je magnetna sila usmerena pod pravim uglom u odnosu na dlan. 12 Sila kojom magnetno polje deluje na negativno naelektrisanu česticu je jednaka po intenzitetu onoj kojom deluje na pozitivnu česticu a suprotnog je smera. Intenzitet magnetne sile F koja deluje na naelektrisanje q koje se kreće brzinom v u magnetnom polju jačine B, je dat izrazom F = qvb sin θ, (11.1) gde je θ ugao izmedju pravaca vektora v i B. Opisana sila kojom magnetno polje deluje na naelektrisanja u kretanju se naziva Lorencova sila. SI jedinica za jačinu magnetnog polja B je tesla (T) po našem velikom izumitelju Nikoli Tesli ( ). Da bi odredili vezu tesle sa drugim jedinicama SI rešićemo prethodnu jednačinu po B odakle je B = F qv sin θ, 1 T = 1 N C m/s = 1 N Am, (11.2) jer je C/s=A. Stara jedinica za jačinu magnentog polja gaus (G), pri čemu je 1 G= 10 4 T, se takodje veoma često koristi. Razlog za to je što Zemljino magnetno polje, na njenoj površini, iznosi samo oko T, odnosno 0,5 G, dok najjači permanentnih magneti stvaraju polje blizu 2T, a superprovodni dostižu i više od 10 T. 11 Na ovom mestu je za karakteristiku magnetnog polja uvedena veličina koja se označava sa B i koja nosi naziv magnetno polje ili vektor magnetnog polja. Ukoliko se proučava i proces magnetizacije supstance, ispostavlja se da mora da se uvede i veličina koja nosi naziv jačina magnetnog polja i obično označava sa H. Da bi se napravila jasna distinkcija izmedju ovih dveju veličina, obično se ona označena sa B naziva indukcijom magnetnog polja. 12 Jedan od načina da se lakše zapamti ovo pravilo bi moglo da bude podesćanje na činjenice da postoji jedna brzina čiji pravac i smer pokazuje palac a da ima više linija magnetnog polja čiji pravac i smer pokazuju ostali prsti. Sila je u pravcu i smeru u kome guramo na više dlanom.

8 344 GLAVA 11. MAGNETNE POJAVE Lorencova sila: primeri i primene Lorencova sila na naelektrisane čestice deluje tako da ih primorava da se kreću po kružnoj ili spiralnoj putanji. Primer za je kosmičko zračenje koje se sastoji od naelektrisanih čestica koje iz vasione dolaze do Zemlje pri čemu ih njeno magnetno polje primorava da se kreću po spirali. Protoni u velikim akceleratorima se takodje održavaju na kružnim putanjama uz pomoć magnetnih polja. Zakrivljena putanja naelektisanih čestica u magentnom polju je osnova mnogih prirodnih procesa a može da se koristi i za analizu snopova čestica u masenim spektrometrima. Kako u stvari magnetna sila izaziva kružno kretanje? Magnetna Slika 11.9: Prikaz kretanja negativno naelektrisane čestica u magnetnom polju normalnom na ravan papira. Magnetna sila je u tom slučaju normalna na brzinu i menja joj pravac ali ne i intenzitet pa se kao rezultat takvog delovanja čestica kreće po kružnici. sila je, kao što je napomenuto, uvek pod pravim uglom u odnosu na brzinu, tako da je njen rad jednak nuli. 13 Usled toga kinetička energija naelektrisane čestice koja se kreće kroz magnetno polje ostaje konstantna a time i intenzitet brzine. Iako se brzina ne menja po intenzitetu, uticaj magnentog polja postoji jer ono stalno menja pravac brzine i na taj način zakrivljuje putanju naelektrisane čestice. Najprostiji slučaj je kada se naelektrisana čestica kreće pod pravim uglom u odnosu na uniformno polje B, kao što je prikazano na slici Kako je ugao izmedju polja i brzine prav, Lorencova sila je F = qvb, a obzirom da se ona u ovom slučaju ispoljava kao centripetalna sila, intenzitet joj je F c = mv 2 /r pa se dobija qvb = mv2 r. Iz ovog izraza sledi da je poluprečnik kružne putanje u tom slučaju r = mv qb. (11.3) 13 Prisetimo se da rad zavisi od kosinusa ugla izmedju sile i pomeraja koji je paralelan brzini. Kako je kod Lorencove sile ovaj ugao prav, kosinus je jednak nuli pa je i rad takodje nula.

9 11.1. MAGNETI 345 Ukoliko brzina nije normalna u odnosu na magnetno polje, nju je pogodno razložiti na dve komponente, jednu koja je paralelna polju B i drugu koja je normalna na njega. Prethodni izrazi će ostati u važnosti ukoliko u njih unesemo komponentu bzine normalnu na vektor polja. Paralelna komponenta pri tome neće trpeti nikakav uticaj i ostaje nepromenjena a rezultujuće kretanje čestice je usled toga spirala. Na osnovu opisane interakcije je moguće razumeti kako nastaju neki prirodni fenomeni, kao što je na primer polarna svetlost (Aurora Borealis) ali i kako funkcionišu akceleratori naelektrisanih čestica. Naelektrisane čestice koje se približe magnetnom polju naime, bivaju zahvaćene njime krećući se spiralnim linijama što se može objasniti njihovim kretanjem oko linija magnetnog polja. Slika 11.10: Magnetna boca. Naelektrisana čestica se u neuniformnom mangetnom polju kreće po spirali oko polja i osciluje izmedju dve krajnje tačke. Sila magnetnog polja u blizini krajnjih tačaka ima komponentu koja tera česticu da se kreće po spirali natrag prema centru. Neki kosmički zraci, na primer, slede linije magnetnog polja Zemlje, i ulazeći u atmosferu blizu njenih magnetnih polova izazivaju efekat koji se na severnoj hemisferi naziva Aurora Borealis. Nalektrisane čestice koje dolaze do zemljinog magnetnog pola bivaju zahvaćene njime i formiraju dve oblasti u atmosferi koji se nazivaju van Alenovim pojasevima. 14 Ove čestice pri tome toliko zrače da se prilikom kosmičkih letova van Alenovi pojasevi izbegavaju. Na zemlji ima puno uredjaja u kojima se koristi magnetno polje za zadržavanje naelektrisanih čestica u njima. Najveću su svakako akceleratori čestica koji se koriste za ispitivanje strukture materija. 15 U njima se snopovoi naelektrisanih čestica ubrzavaju električnim poljima i sudaraju da bi se nakon toga analizirali efekti njihove interakcije. Pri tome snažna magnetna polja, osim što kontrolišu pravac kretanja čestica, imaju i funkciju fokusiranja čestica u snop sprečavajući na taj način njegovo širenje usled odbijanja istoimeno naelektrisanja. Manje egzotičan, ali zato uredjaj koji je od velike praktične važnosti u kome se koriste osobine magnetnih polja je pojačavač u mikrotalasnim rernama koji koristi mag- 14 Postoje dva pojasa, jedan se nalazi na 300 a drugi na km visine. 15 Najveći takav akcelerator se nalazi u Ženevi u laboratoriji CERN i naziva se LHC (Large Hadron Colider).

10 346 GLAVA 11. MAGNETNE POJAVE Slika 11.11: (a) Visokoenergetski elektroni i protoni, uglavnom emitovani sa Sunca, bivaju zahvaćeni magnetnim poljem Zemlje, pri čemu počnu da se okreću oko linija magnetnog polja krećući se velikim ubrzanjem. (b) Oni interaguju sa neutralnim molekulima na visini od km. Aurora Borealis (polarna svetlost) je jedan od rezultata rekombinacije jona i elektrona. Kada se dešava na južnom polu ova svetlost se zove Aurora Australis. netno polje za oscilovanje elektrona. Posledica oscilovanja elektrona su mikrotalasi koji se zatim emituju u rernu. Holov efekat Magnetno polje utiče, kako na izolovana naelektrisanja, tako i na ona koja se kreću u provodnicima. Posmatrajmo situaciju u kojoj se metalni provodnik kroz koji protiče struja (slobodni nosioci elektriciteta su elektroni) nalazi u magnetnom polju koje je pod pravim uglom u odnosu na pravac brzine naelektrisanja (slika 11.12). Na delu (a) slike elektroni su nosioci struje i kreću se na levo, a na delu (b) iste slike nosioci su pozitivna naelektrisanja koja se kreću na desno. Elektroni u kretanju osećaju dejstvo magnetnog polja koje na njih deluje Lorencovom silom na dole, pa se usled njihovog nagomilavanja na donjem delu provodnika, na gornjem javlja višak pozitivnih naelektrisanja. Razdvajanje naelektrisanja dovodi do stvaranja električnog polja E, a time i odgovarajuće elektromotorne sile. Ovaj efekat se, naziva Holov efekat po imenu emeričkog naučnika koji ga je otkrio godine. Holof efekat je veoma važan jer na osnovu njega može da se odredi da li su nosioci naelektrisanja u provodniku pozitivni ili negativni. Naime, sa slike (b) se vidi da, u slučaju kada su nosioci naelektrisanja pozitivni, Holova elektromotorna sila ima suprotan smer od one u slučaju (a) kada su nosioci negativni. Istorijski, ovaj efekat je iskorišćen da se utvrdi da su nosioci naelektrisanja u metalnim provodnicima upravo negativni elektroni a da pozitivnih nosioca ima u nekim poluprovodnicima. Danas se ovaj efekat koristi za ispitivanje kretanja naelektrisanja, njihove brzine drifta i gustine u materijalima. 16 Holov efekat ima i druge brojne primene, od odredjivanja brzine strujanja krvi (u krvi naime postoje i pozitvni i negativni joni) do preciznih merenja magnetne indukcije. Naime, 16 Pomenimo da je godine otkriveno da je prava priroda Holovog efekta kvantna za šta je... dodeljena i Nobelova nagrada.

11 11.1. MAGNETI 347 Slika 11.12: Holov efekat. (a) Elektroni se kreću na levo, a usled delovanja Lorencove sile skreću i na dole, usled čega dolazi do razdvajanja naelektrisanja i formiranja električnog polja E. (b) Ako u provodniku postoje pozitivni nosioci nalektrisanja, usled suprotnog delovanja Lorencove sile stvara se suprotno usmereno električno polje od onoga na (a) delu slike. proces razdvajanja naelektrisanja koja postoje u provodnoj sredini po znaku, koji se odvija usled delovanja magnetnog polja silom F = qvb, 17 ne može da ide bez ikakvih ograničenja. Posledica razdvajanja naelektrisanja je stvaranje električnog polja koje, sa svoje strane, deluje na naelektrisanja silom F e = qe koja sa gomilanjem naelektrisanja i porastom električnog polja raste, sve dok se ne izjednači sa magnetnom silom. Tada će važiti qe = qvb, odakle sledi da je vrednost električnog polja pri kome se to dešava E = vb. Slika 11.13: Holov efekat može da se iskoristi za merenje brzine fluida ukoliko u njemu ima slobodnih nosioca naelektrisanja. 17 Radi jednostavnosti je pretpostavljeno da je izmedju svih relevantnih vektora prav ugao.

12 348 GLAVA 11. MAGNETNE POJAVE Ukoliko je magnetno polje homogeno, biće homogeno i indukovano električno polje. U tom slučaju je veza napona ε i jačine električnog polja E, E = ε/l, gde je l prečnik provodnika na slici Odatle se za Holovu elektromotornu silu dobija ε = Blv, B, v i l su uzajamno normalni. (11.4) P r i m e r X. Sonda za Holov efekat se nalazi na arteriji, koja je u magnetnom polju od 0,100 T (slično slici 11.13). Kolika je Holova elektromotorna sila, ukoliko je prečnik arterije 4,00 mm a srednja brzina strujanja krvi 20,0 cm/s? Rešenje. ε = Blv = (0, 100 T)(4, m)(0, 200 m/s) = 80, 0 µv Delovanje magnetnog polja na provodnik kroz koji protiče struja Pošto naelektrisanja ne mogu da napuste provodnik, ukoliko se on nalazi u magnetnom polju, sila koja pri tome deluje na naelektrisanja u kretanju se prenosi na sam provodnik (slika 11.14). Pravac i smer delovanja se, obzirom da je ono posledica Lorencove sile, odredjuje na osnovu pravila desne ruke. Intenzitet sile koja deluje na provodnik može da bude veoma veliki obzirom da se u prosečnom provodniku nalazi veoma veliki broj slobodnih naelektrisanja. N F S + - I B Slika 11.14: Delovanje magnentog polja na provodnik kroz koji teče električna struja. Sila kojom magnetno polje deluje na svako naelektrisanje koje se kreće brzinom drifta v d je, u skladu sa jednačinom (11.1), F = qv d B sin θ. Pretpostavimo da je magnetno polje uniformno duž cele dužine žice l koja se nalazi u njemu a da je na drugim mestima jednako nuli. U tom slučaju je ukupna magnetna sila koja deluje na žicu jednaka F = (qv d B sin θ)(n), gde je N broj slobodnih nosica naelektrisanja i delu žice dužine l. Broj slobodnih nosioca naelektrisanja se može predstaviti kao N = nv gde je n broj slobodnih nosioca naelektrisanja po jedinici zapremine a V je zapremina tog dela žice koji se nalazi u polju. Zapremina dela žice dužine l je V = ls gde je S površina njenog poprečnog preseka, tako da se ukupna sila može zapisati u obliku F = (nqsv d )lb sin θ. Činioci u zagradi prethodnog izraza, prema (10.16), predstavljaju jačinu struje koja protiče kroz provodnik tako da ova jednačina dobija konačan oblik F = IlB sin θ, (11.5)

13 11.1. MAGNETI 349 koji predstavlja magnetnu silu kojom uniformno magnetno polje indukcije B deluje na provodnik dužine l kroz koji protiče struja jačine I. Ukoliko se obe strane ove jednačine podele dužinom provodnika koji se nalazi u magnetnom polju l, dobiće se izraz koji predstavlja magnetnu silu po jedinici dužine provodnika u uniformnom polju F/l = IB sin θ. Smer ove sile je odredjen pravilom desne ruke, pri čemu palac pokazuje smer struje, ostali prsti su u smeru magnetne indukcije a dlan je normalan na pravac sile koja je pri tome usmerena na gore (po analogiji sa slikom 11.8). Magnetna sila kojom magnetno polje deluje na provodnike sa strujom se koristi za dobijanje rada iz električne energije, što je osnova funkcionisanja elektromotora Magnentno polje provodnika sa strujom. Amperov zakon Kao što je već rečeno magnetno polje stvaraju naelektrisanja u kretanju, odnosno provodnici kroz koje protiče struja. Kolika struja je medjutim potrebna da se naprave velika magnetna polja, na primer jaka kao Zemljino? Poznato je da dalekovodi stvaraju magnetna polja koja utiču na pokazivanje igala kompasa. Upravo je i Ersted godine slučajno otkrio da provodnik kroz koji protiče struja utiče na pokazivanje igle kompasa i na osnovu toga zaključio da strujni provodnici stvaraju magnetno polje u prostoru oko sebe. Da li i kako oblik provodnika utiče na veličinu i oblik magnetnog polja? Ranije je već napomenuto da strujna kontura stvara magnetno polje koje je slično magnetnom polju magneta šipke. U kakvom su medjutim odnosu smer proticanja struje i orijentacija njenog magnetnog polja? Ovo su samo neka od pitanja koja se nameću prirodno kada razmišljamo o ovim procesima. Magnetno polje dugačkog pravolinijskog strujnog provodnika Magnentno polje spada u takozvana vektorska polja, odnosno da bi znali da ga opišemo na pravi način, potrebna je da u potpunosti znamo intenzitet vektora B kao i njegovu orijentaciju u prostoru, drugim rečima njegov pravac i smer. Jedan način da se to utvrdi je da se iskoristi kompas, zapravo više njih, koji se poredjaju u razne tačke polja, pa se na osnovu njihove orijentacije dolazi do zaključka o orijentaciji vektora magnetnog polja. 18 Na taj način se dolazi do zaključka da su linije magnetnog polja koje oko sebe stvara dugačak i prav provodnik, kružnice, (slika 11.15). Magnetno polje oko pravog provodnika se lako odredjuje pravilom desne šake prema kome, ako desnom šako obuhvatimo provodnik, tako da palac pokazuje smer struje, onda ostali prsti pokazuju pravac i smer magnetnog polja. Eksperimentima je pokazano da je intenzitet magnetnog polja koji oko sebe stvara pravolinijski strujni provodnik, na rastojanju r od njega, odredjen jednačinom B = µ 0 I 2π r, (11.6) gde je I jačina struje, a konstanta µ 0 = 4π 10 7 Tm/A je magnetna permeabilnost (propustljivost) vakuuma. Napomenimo da je konstanta µ 0 jedna od osnovnih konstanti u prirodi koja je takodje u odredjenoj vezi sa brzinom svetlosti. Pošto žicu smatramo veoma dugom, prirodno je da intenzitet magnetnog polja, osim od jačine struje, zavisi samo od rastojanja od žice r a ne i od mesta duž nje. 18 Intenzitet magnetnog polja se može utvrditi na osnovu Holovog efekta.

14 350 GLAVA 11. MAGNETNE POJAVE I I B B ( a) ( b) Slika 11.15: (a) Kompasi pokazuju da su linije magnetnog polja oko pravolinijskog provodnika kružnice sa centrom na provodniku. (b) Pravilo desne šake. Amperov zakon Rezultat koji je dobijen za magnetno polje beskonačno dugog pravolinijskog strujnog provodnika je mnogo važniji nego što izgleda na prvi pogled. Naime, svaki delić provodne žice proizvoljnog oblika stvara oko sebe magnetno polje kao da je reč o jako dugom pravolinijskom provodniku. Na taj način je ukupno magnetno polje, koje oko sebe stvara provodna kontura proizvoljnog oblika, vektorski zbir polja svakog njenog pojedinačnog delića. Ovo tvrdjenje se naziva Bio-Savarov zakon. Njegovo uopštenje koje povezuje magnetno polje i struje se naziva Amperov zakon. Zbog svog kompleksnog matematičkog zapisa, koji zahteva poznavanje elemenata više matematike, Bio-Savarov zakon na ovom mestu neće biti eksplicitno zapisan. Amperov pak zakon je deo sistema Maksvelovih jednačina koje na najkompletniji način omogućuju opisivanje svih elektromagnetnih pojava Magnetna sila izmedju dva paralelna provodnika sa strujom S obzirom na to da magnetna polja deluju na provodnike kroz koje protiče struja a i da sami provodnici stvaraju oko sebe magnetno polje, za očekivati je da izmedju dva takva provodnika takodje deluje odgovarajuća sila. Takva sila koja se javlja izmedju izmedju dva prava paralelna provodnika može da se odredi primenom onoga što je do sada izneto. Slika prikazuje provodnike kroz koje protiče struja, polja koja one stvaraju kao i sile kojima deluju jedan na drugoga. Pretpostavimo da želimo da dobijemo polje B 1 koje kreira provodnik kroz koji protiče struja I 1, i silu kojom on deluje na žicu 2 (to će biti sila F 2 ). Magnetno polje koje stvara struja I 1 na rastojanju r od nje je data izrazom (11.6), odnosno B 1 = µ 0 I 1 /(2πr). Ovo polje je uniformno (ima istu vrednost) duž provodnika sa strujom I 2 jer je on, budući da je paralelan sa prvim provodnikom, uvek na istom rastojanju od njega. Sila F 2 kojom ovo polje deluje na provodnik sa strujom I 2 je, prema (11.5), obzirom da je θ = π/2 u ovom slučaju F 2 = I 2 lb 1. U skladu sa trećim Njutnovim zakonom, sila kojom prvi provodnik deluje na drugi i ona kojom drugi deluje na prvi, su jednakog intenziteta i pravca, a samo se razlikuju po smeru, tako da, ukoliko zapisujemo samo izraz u kome figuriše intenzitet vektora F može da

15 11.1. MAGNETI 351 Slika 11.16: (a) Magnetno polje koje oko sebe stvara prav provodnik sa strujom je normalno na njega. (b) Sila izmedju dva paralelna provodnika je privlačna ukoliko su struje istog smera. Analogno se pokazuje da je sila odbojna ukoliko su stuje suprotno usmerene. izostavimo indeks provodnika. Ukoliko se još ovde zameni izraz za magneto polje (11.6), nakon deljenja dužinom žice l, dobija se F l = µ 0 I 1 I 2 2π r. (11.7) F/l je sila po jedinici dužine provodnika koja deluje izmedju dva strujna provodnika sa strujama I 1 i I 2 koji se nalaze na medjusobnom rastojanju r. Ova sila je pozitivna ukoliko struje teku u istom smeru a odbojna ako su suprotno usmerene. Definicija ampera, kao jedinice za jačinu struje je upravo bazirana na ovom izrazu. Naime, ukoliko se provodnici nalaze na rastojanju od 1 m, i kroz njih protiču struje od po 1 A, sila po jedinici dužine provodnika je F l = (4π 10 7 Tm/A)(1 A) 2 (2π)(1 m) = N/m. Kako je, kao što je u ovom izrazu i iskorišćeno µ 0 = 4π 10 7 Tm/A, sila po jedinici dužine provodnika je tačno 2π 10 7 N/m. Na osnovu ovoga je zvanična definicija ampera: Jedan amper je struja koja kada protiče kroz dva paralelna provodnika beskonačne dužine, koji su na rastojanju 1 m u vakuumu, van drugih magnetnih polja, izmedju njih izaziva silu od 2π 10 7 N/m, po jedinici dužine svakog provodnika Primene magnetizma Masena spektrometrija Kao što smo videli, naelektrisane čestice se, kada se nadju u magnetnom polju, kreću po zakrivljenim putanjama. Ukoliko je njihova brzina normalna u odnosu na magnetno polje, putanja je kružnica poluprečnika datog relacijom (11.3). Interesanto je da ta relacija može da se upotrebi za merenje mase naelektrisanih čestica, a uredjaj kojim se to radi se naziva maseni spektrometar. Ukoliko je poznato naelektrisanje q čestice koja uleće u magnetno polje poznate jačine B, na taj način, ostaje još samo brzina čestice kao nešto što treba na

16 352 GLAVA 11. MAGNETNE POJAVE neki način definisati da bi, na osnovu ove relacije mogla da se odredi njena masa. Na slici je prikazana principijelna šema masenog spektrometra. Iz izvora jona se dobijaju joni odredjenog naelektrisanja q, ubrzavaju se do neke brzine v, i usmeravaju u sledeći deo spektrometra, koji se naziva selektor brzina koji dozvoljava samo česticama sa odredjenim brzinama da prodju kroz njega. U selektoru brzina postoje i električno i magnetno polje, uajamno normalnih pravaca. Električno polje deluje na jon naelektrisanja q silom F e = qe, a magnetno, koje se nalazi takodje pod pravim uglom u odnosu na pravac brzine jona, Lorencovom silom F L = qvb pri čemu su polja tako usmerena da su ove sile suprotnih smerova. S obzirom na to, jedino oni joni za koje su ove dve sile u potpunosti jednake će se kretati po pravim linijama i moći da udju u sledeći deo masenog spetkrometra. Za takve česice, obzirom na jednakost sila, qe = qvb, nakon skraćicanja naelektrisanja jona, za brzinu važi - selektor brzina izvor jona F =qe E F E q v B od papira ka nama F =qvb B F B + 2r 1 m 1 2r 2 m 2 Slika 11.17: Šema masenog spektrometra sa selektorom brzina. v = E B. (11.8) To znači da se podešavanjem odnosa električnog i magnetnog polja iz snopa jona mogu izabrati joni odredjene brzine. U poslednjem delu spektrometra postoji samo uniformno magnetno polje, tako da se joni kreću po kružnicama poluprečnika proporcionalnog masi čestice (11.3). Poluprečnik putanje takodje zavisi i od nelektrisanja q jona, ali kako je

17 11.1. MAGNETI 353 ono celobrojni umnožak naelektrisanja elektrona, relativno lako ga je odrediti i napraviti razliku izmedju jona naelektrisanih različitim količinama elektriciteta. Katodne cevi, maglev vozovi,... Navedimo bez zalaženja u detalje još neke primene magnetnih polja. Medju najpoznatije spadaju katodne cevi i superbrzi vozovi. Katodne cevi su uredjaji koji se koriste za dobijanje slike u osciloskopima, radarskim sistemima, TV prijemnicima i kompjuterskim monitorima. Katodne cevi su zapravo vakuumirane staklene cevi u kojima se snop elektrona ubrzava i skreće sa putanje pod uticajem električnog ili magnetnog polja. Najbrži vozovi na svetu mogu da se kreću tako brzo jer je u velikoj meri umanjeno trenje koje se kod konvencionalnih vozova javlja izmedju točkova i pruge. Ovi vozovi usled delovanja magnetnog polja zapravo levitiraju na tračnici pa se zato nazivaju maglev vozovi. Poslednje tri decenije je velikog maha uzela primena nuklearne magnetne rezonance u medicinskoj dijagnostici. Razumevanje njenog principa rada zahteva poznavanje kvantne fizike pa se na ovom mestu ne možemo upuštati u to Elektromagnetna indukcija Do sada smo se upoznali sa time da stacionarna naelektrisanja stvaraju oko sebe električno polje, a nalektrisanja u kretanju, osim toga stvaraju i magnetno polje. Ispostavilo se medjutim, da i promene u magnetnom polju izazivaju stvaranje električnih polja. To je zapravo jedna u nizu činjenica koje ukazuju na to da se u prirodi veoma često srećemo sa simetrijama. Osnovni fizički zakoni ih poseduju a njihove posledice su veoma značajne. Izmedju elektriciteta i magnetizma takodje postoji simetrija. Kako struje stvaraju oko sebe magnetno polje, na osnovu ideje o simetriji trebalo bi očekivati i obrnuto, da magnetno polje može da stvori struju. 19 Istorijski, veoma brzo nakon što je Ersted otkrio da struje stvaraju magnetna polja, naučnici su se zapitali da li je moguće i obrnuto. Do pozitivnog odgovora se došlo nekih dvadesetak godina nakon Erstedovih eksperimenata. Majkl Faradej u Engleskoj i nezavisno od njega Džozef Henri u Americi, su izvršili eksperimente kojima je dokazano da se usled promena magnetnog polja strujnoj konturi stvara, odnosno indukuje elektromotorna sila. Ovaj proces se naziva elektromagnetna indukcija. 20 Rezultati tih eksperimenata su doveli do jednog od veoma važnih, osnovnih zakona elektromagnetizma koji je poznat pod nazivom Faradejev zakon indukcije. Danas je struja dobijena procesom indukcije osnova tehnološkog razvoja naše civilizacije. Generatori koji rade na osnovu tog procesa postoje svuda: u automobilima, na biciklama, u praktično svim vrstama elektrana,... Na tom principu rade i električne gitare, transformatori, neke vrste mikrofona, Holov efekat koji je obradjen takodje upućuje na takvu mogućnost. Naime u tom efektu se razdvajaju naelektrisanja delovanjem magnetnog polja i stvara se potencijalna razlika, što jeste preduslov za proticanje struje. 20 Ovaj proces treba razlikovati od naelektrisanja indukcijom.

18 354 GLAVA 11. MAGNETNE POJAVE Indukovana elektromotorna sila i mangentni fluks Uredjaj koji je Faradej 21 iskoristio da demonstrira pojavu da magnetno polje može da kreira struju je prikazan na slici Kada je prekidač zatvoren, magnetno polje stvara struja koja teče kroz gornje namotaje i prenosi se na donje. Galvanometar (osetljivi instrument za merenja jačine struje) se nalazi u donjem kolu i služi da registruje eventualnu struju u njemu. Faradej je primetio da uvek kada se prekidač uključi, galvanometar detektuje struju u jednom smeru a uvek kada se isključi struju koja teče u drugom smeru. Primetio je takodje da, ako prekidač neko duže vreme ostane otvoren ili zatvoren, galvanometar ne pokazuje postojanje struje u donjem kolu. Uključivanje i isključivanje prekidača, odnosno promene u magnetnom polju koje se pri tome dešavaju, izazivaju (indukuju) struju u donjem kolu. Struja u drugom kolu je zapravo posledica elektromotorne sile koja je pri tome indukovana, tako da se zapravo može reći da promene magnetnog polja izazivaju indukovanje elektromotorne sile. Slika 11.18: Faradejev uredjaj za demonstriranje stvaranja struje magnetnim poljem. Eksperiment koji je lako izvesti u svakoj fizičkoj laboratoriji je prikazan na slici Elektromotorna sila se, prema izloženom, indukuje u namotaju kada se magnet-šipka pomera napred-nazad kao što je prikazano na ovoj slici. Elektromotorna sila ima suprotan znak kada se kretanje vrši u suprotnom pravcu, a smer sile se takodje menja ako se promeni polaritet magneta. Umesto da se pokreće magnet, potpuno isti efekat se dobija ukoliko se, pomera namotaj, jer je kretanje, kao što je to u prvim glavama objašnjeno relativan pojam. Što je brže kretanje, veća je elektromotorna sila, a kada nema (relativnog) kretanja magneta i namotaja, elektromotorna sila je jednaka nuli. U većini generatora elekrične struje se za indukovanje elektromotorne sile koristi kretanje namotaja u magnetnom polju (slika 11.20) pri čemu se stvara naizmenična struja. Njen intenzitet zavisi od brzine rotacije i još nekih faktora. Prema izloženom, promena veličine ili smera magnetnog polja, stvara elektromotornu 21 Iako ima podataka koji ukazuju da je Henri prvi otkrio ovaj fenomen, obzirom da je Faradej prvi objavio svoje rezultate i izvršio detaljnije eksperimente, zakon indukcije nosi ime po njemu.

19 11.1. MAGNETI 355 Slika 11.19: Relativno kretanje magneta i namotaja izaziva elektromotornu silu u namotaju. Slika 11.20: Rotiranje namotaja u magnentom polju stvara elektromotornu silu.

20 356 GLAVA 11. MAGNETNE POJAVE normala na površ B B cos B S Slika 11.21: Fluksa magnetnog polja zavisi od veličine, površine kroz koju prolazi i ugla pod kojim se nalazi u odnosu na normalu te površi. silu. Eksperimenti pokazuju da je pri ovome ključna zapravo svaka promena veličine koja se naziva magnetni fluks, Φ, koji je definisan izrazom Φ = BS cos θ, (11.9) gde je B jačina magnetnog polja na površi površine S, a θ ugao izmedju vektora polja i normale na posmatranu površ (slika 11.21). Svaka promena magnetnog fluksa indukuje elektromotornu silu ε, a proces se, kao što je rečeno, naziva elektromagnetna indukcija. U skladu sa jednačinom (11.9), jedinica magnetnog fluksa je T m 2. Sa slike se vidi da je B cos θ = B, komponenta vektora B normalna na površ, pa je fluks Φ = B S, proizvod površine površi i komponente magnetnog polja normalno na nju. Indukcija nastaje kada se desi bilo kakva promena u fluksu magnetnog polja Φ. U Faradejevom eksperimentu, menjala se vrednost magnetnog polja B uključivanjem i isključivanjem prekidača. Isto se dešava i u eksperimentu prikazanom na slici pri pomeranju magneta-šipke. Kada pak rotira provodna kontura u magnetnom polju (11.21), menja se ugao θ a time i fluks. Smer i veličina elektromotorne sile će prema tome zavisiti od načina i brzine promene fluksa. Faradejev zakon indukcije i Lencovo pravilo Faradej je u eksperimentima pokazao da indukovana elektromotorna sila zavisi od samo nekoliko faktora. Ona je proporcionalna promeni fluksa Φ pri čemu je to veća što se njena promena izvrši za manji interval vremena t (inverzno je proporcionalna njemu). Na kraju, ustanovio je da će ona, ukoliko postoji N namotaja u kojima se indukuje elektromotorna sila, biti upravo toliko puta veća u odnosu na elektromotornu silu koja se indukuje u jednom namotaju. Iz toga je sledilo da je jednačina koja daje elektromotornu silu indukovanu usled promene fluksa magnetnog polja, u kalemu sa N namotaja, biti oblika ε = N Φ t. (11.10) Ova relacija je poznata pod nazivom Faradejev zakon elektromagnetne indukcije. Znak minus u Faradejevom zakonu indukcije je veoma važan. On ukazuje na to da indukovana elektromotorna sila dovodi do struje u provodnoj konturi koja ima takvo magnetno

21 11.1. MAGNETI 357 polje da ono kompenzuje promenu u fluksu Φ koja je dovela do njenog stvaranja. Ovo tvrdjenje je poznato kao Lencovo pravilo. Iako je i Faradej uočio da u izrazu (11.10) treba da stoji znak minus, jasnu fizičku interpretaciju te činjenice je dao Lenc pa se u njegovu čast to naziva Lencovo 22 pravilo (slika 11.22). Kada se magnet kreće ka konturi indukuje se struja čiji smer je takav da je fluks njenog magnetnog polja suprotno usmeren od rastućeg fluksa magneta koji se kreće ka njoj (deo (a) slike). Kada se magnet kreće u suprotnom smeru, fluks magnetnog polja indukovane struje je takav da kompenzuje smanjenje fluksa polja magneta (deo (b) slike). Slika 11.22: Ilustracija Lencovog pravila. Neke primene Faradejevog zakona Na slici (a) je prikazan pametna ringla koja se greje samo na onom mestu gde se nalazi posuda za kuvanje. Naime, ispod površine ringle, napravljene od posebne vrste stakla, se nalaze namotaji kroz koje prolazi struja oscilatornog karaktera. Ona stvara oko sebe oscilujuće magnentno polje koje pak indukuje struju u posudi za kuvanje. Obzirom da posuda poseduje odredjenu otpornost, električna energija indukovane struje prelazi u unutrašnju energiju izazivajući zagrevanje posude. Električna gitara takodje radi na principu elektromagnetne indukcije. Namotaji se u ovom slučaju nalaze blizu žice gitare koja je metalna pa se može namagnetisati. Permanentni magnet unutar namotaja tako uspeva da namagentiše deo žice koji mu je najbliži. Kada žica vibrira nekom frekvencijom, taj namagnetisani delić stvara promenjlivi magnenti fluks kroz namotaje. Promena fluksa indukuje elektromotornu silu u namotajima koja se dalje odvodi u pojačavač a odatle u zvučnike. 22 Po Nemačko-ruskom fizičaru Heinrich Lenz-u ( ) koji je nezavisno od Faradeja i Henrija, istraživao razne apsekte indukcije.

22 358 GLAVA 11. MAGNETNE POJAVE Slika 11.23: Primena indukcije: (a) za kuvanje i (b) za sviranje Energija magnetnog polja Induktivnost Elektromagnetna indukcija je proces u kome se elektromotorna sila stvara kao posledica promene fluksa magnetnog polja. Uredjaja koji koriste ovaj efekat a konstruisani su tako da se iz jednog kola u drugo indukuje struja željenog napona i jačine sa veoma malim gubicima u energiji se nazivaju transformatori. Da bi mogla da se uporedi efikasnost takvih uredjaja uvodi se nova fizička veličina koja se naziva induktivnost. Medjusobna induktivnost tako prikazuje koliko je efikasno prenošenje energije sa jednog kalema kroz koji protiče struja (obično se naziva primarni kalem ili primar) i koji usled toga oko sebe stvara magnetno polje odredjenog fluksa, na drugi (koji se naziva sekundarni kalem ili sekundar). Jedan ovakav proces je prikazan na slici U većini slučajeva gde nema promene u obliku kalemova, fluks magnetnog polja se menja samo usled promene jačine struje koja protiče kroz prvi kalem, pri čemu je zapravo bitno koliko brzo se ona menja, odnosno bitan je odnos I/ t, koji i izaziva indukciju. Promena struje I 1 u prvom kalemu, indukuje elektromotornu silu ε 2 u drugom, a jednačina koja to opisuje je oblika ε 2 = M I 1 t. (11.11) U ovoj jednačini je veličina označena sa M koeficijent medjusobne indukcije ova dva kalema, dok je znak minus posledica Lencovog pravila. Što je veći koeficijent M, efikasnije je prenošenje energije iz jednog kola u drugo. Jedinica koeficijenta indukcije je Henri u oznaci H, a iz prethodne relacije se vidi da je 1 H = 1 Vs/A = 1 Ωs. Ukoliko se pak u drugom kolu dešavaju promene struje I 2, u prvom kolu će biti indukovana elektromotorna sila ε 1 koja je jednaka ε 1 = M I 2 t. (11.12) Prema Faradejevom zakonu medjutim, u kolu postoji i efekat samoindukcije. Kada struja koja teče kroz kalem, raste sa vremenom, rastu i magnetno polje i fluks, indukujući

23 11.1. MAGNETI 359 Slika 11.24: Promene u prvom kalemu indukuju elektromotornu silu u drugom. u njemu elektromotornu silu koja, u skladu sa Lencovim pravilom, ima takav smer da se suprotstavlja povećanju struje. Ukoliko pak struja opada, indukuje se elektromotorna sila suprotnog znaka koja se suprotstavlja tom opadanju. Slično kao i u slučaju medjusobne indukcije, (samo)indukovana elektromotorna sila može da se zapiše u obliku ε = L I t, (11.13) gde je L koeficijent samoindukcije (induktivnost) kalema. Kako je prema Faradejevom zakonu indukcije, za kalem sa N namotaja, ε = N Φ/ t, na osnovu prethodnog izraza se, za koeficijent samoindukcije dobija Energija magnetnog polja L = N Φ I. U skladu sa Lencovim pravilom, indukcija u kolima je uvek takva da se suprotstavlja promenama koje su je izazvale. U odredjenom smislu tu postoji analogija sa masom kao merom inercije, kojom se telo suprotstavlja promenama njegove brzine. Kako se polazeći od koncepta mase i brzine tela dolazi do njegove kinetičke energije, tako se i u slučaju magnetnog polja može govoriti o odredjenoj vrsti energije. Ako posmatramo kalem kroz koji protiče struja, magnetno polje je direktno proporcionalno struji i njegovom koeficijentu indukcije. Bez navodjenja detalja izvodjenja, izraz koji pokazuje kolikom energijom raspolaže kalem koeficijenta samoindukcije L kroz koji protiče struja jačine I, glasi E L = 1 2 LI2. (11.14) Primetimo sličnost ovog izraza i izaraza za energiju kojom raspolaže kondenzator. Može da se pokaže da je, u ovom slučaju, gustina energije (magnetnog) polja gde je µ r relativna magnetna permeabilnost sredine. 23 w L = 1 2µ 0 µ r B 2, (11.15) 23 Ova veličina je u potpunosti analogna veličini ε r koja opisuje dielektrične osobine materijalne sredine.

24 360 GLAVA 11. MAGNETNE POJAVE Oscilacije u električnim kolima Kod oscilacija mehaničkih sistema, koje se odvija pod uticajem harmonijske sile F x = kx, posmatrana je zavisnost njegove elongacija, brzine i ubrzanja od vremena. Interesantno je da i u električnim kolima postoje oscilacije koje su analogne mehaničkim a odvijaju se u kolima koja u sebi imaju omski otpornik (on zapravo odgovara otpornosti provodnika koji povezuju ostale elemente) otpornosti R, kondenzator kapacitivnosti C i kalem, induktivnosti L. Pretpostavimo za početak da je otpornost provodnika koji povezuju kondenzator i kalem toliko mali da se može zanemariti. Obzirom da se prilikom prolaska struje kroz otpornike električna energija pretvara u toplotnu, otpornik u kolu je analogan sili trenja koja postoji kod prigušenog oscilovanja. U tom smislu je električno kolo koje se sastoji samo od kondenzatora i kalema analogno mehaničkom oscilatoru koji osciluje bez prigušenja, odnosno trenja. Parametri takvog, idealnog električnog kola, su kapacitivnost C i induktivnost L (slika 11.25). Slika 11.25: (a) Realno električno oscilatorno kolo sa uračunatom otpornošću provodnika i (b) idealno oscilatorno kolo bez otpornosti. Pretpostavimo da je, pre zatvaranja prekidača P, kondenzator napunjen količinom naelektrisanja Q 0, što je analogno izvodjenju opruge (klatna) iz ravnotežnog položaja. Kada se kolo zatvori, njime proteče struja i počinje pražnjenje kondenzatora jer sistem teži ravnotežnom stanju, odnosno stanju u kome je naelektrisanje ravnomerno rasporedjeno po njemu, odnosno situaciji u kojoj je potencijal jednak u svakoj tački provodnika. To, prema ranije rečenom odgovara situaciji u kojoj je napon izmedju ploča kondenzatora jednak nuli. Usled protoka naelektrisanja, od pozitivno naelektrisane ploče ka negativnoj, njegova količina na pločama kondenzatora se menja sa vremenom (Q(t)) kao i struja koja prolazi kroz kalem (I(t)). Usled promene struje na kalemu induktivnosti L se indukuje napon U, koji ima takav predznak da se suprotstavlja uzroku indukcije (Lencovo pravilo). Induktivnost se u ovom slučaju ispoljava kao inertnost kojom se sistem opire promeni kretanja (struje). Napon na kondenzatoru, prema (10.9) iznosi U = Q/C, gde je Q trenutno naelektrisanje kondenzatora. Na zavojnici tada vlada napon jednak indukovanoj elektromotornoj sili U = L I/ t, a ova dva napona su, pošto je zanemarena otpornost provodnika, jednaka, pa važi relacija I t + 1 Q = 0. (11.16) LC

25 11.2. ELEKTROMAGNETNI TALASI 361 Ova jednačina je potpuno analogna jednačini harmonijskog oscilovanja v t + k m x = 0,24 pa joj je i rešenje analogno i glasi Q = Q 0 cos ωt, (11.17) gde je ω = 1/(LC). Odavde su frekvencija i period oscilacija u posmatranom električnom kolu ν = 1 1 2π LC, T = 2π LC. (11.18) Može da se zaključi da svako električno kolo koje sadrži kondenzator kapacitivosti C i zavojnicu induktivnosti L ima frekvenciju kojom osciluje i koja zavisi samo od ovih parametara. U tom smislu se frekvencija data relacijom (11.18) naziva sopstvena frekvencija. Slika 11.26: Analogija izmedju izvodjenja klatna iz ravnotežnog položaja nakon čega ono osciluje i punjenja kondenzatora koji se nakon toga prazni, indukuje magnetno polje, ponovo puni, itd Elektromagnetni talasi Maksvelove jednačine Maksvelova teorija elektromagnetizma objedinjuje rezultate Ersteda, Faradeja, i drugih zajedno sa njegovim rezultatima. Škotlandjanin Džejms Klerk Meksvel 25 se smatra jednim od najvećih fizičara devetnaestog veka iako ne samo zbog doprinosa u opisivanju i razumevanju elektromagnetnih pojava. 26 Maksvelove jednačine će ovde biti iskazane rečima jer njihov, veoma elegantan, matematički zapis daleko prevazilazi nivo ovog teksta 24 Podsetimo se da je mehaničko oscilovanje prostog oscilatora opisano relacijom a + k m x = 0, gde je ubrzanje a jednako pomeni brzine v u jedinici vremena posmatranog intervala t. 25 James Clerk Maxwell ( ). 26 Iako je umro relativno mlad, on je, osim kompletne teorije elektromagnetnog polja, uspeo da razvije kinetičku teoriju gasova i da da veliki doprinos razumevanju vidjenja boja i prirode Saturnovih prstenova.

26 362 GLAVA 11. MAGNETNE POJAVE 1. Linije električnog polja imaju svoj početak (izvor) i kraj (ponor). One počinju na pozitivnim a završavaju se na negativnim naelektrisanjima. Jačina električnog polja je definisana kao sila po jediničnom probnom naelektrisanju, dok je intenzitet sile povezan sa dielektričnom propustljivošću vakuuma ε Linije magnetnog polja su zatvorene linije, nemaju ni kraj ni početak. 28 Intenzitet sile magnetnog polja je povezan sa magnetnom propustljivošću vakuuma µ Promenljivo magnetno polje stvara (indukuje) elektromotornu silu, odnosno električno polje. Smer indukovane elektromotorne sile je takav da se suprotstavlja promeni u magnetnom polju koja ju je izazvala Magentno polje stvaraju naelektrisanja u kretanju ili promenljivo električno polje. 31 Na prvi pogled Maksvelove jednačine su samo nešto malo opštije od glavnih zakona elektriciteta i magnetizma koji su već pominjani. Ono što se ne vidi ovde je simetrija 32 jednačina kada se one zapišu u odgovarajućoj matematičkoj formi, a od naročite važnosti je njegova hipoteza da promenljivo električno polje kreira magnetno polje. To je potpuno analogno (i simetrično) Faradejevom zakonu elektromagnetne indukcije. S obzirom na to da promenljivo električno polje stvara relativno slabo magnetno polje, u vreme kada je Maksvel izneo ovu hipotezu, nije ga bilo lako detektovati. Maksvel je medjutim izneo pretpostavku da naelektrisanja koja osciluju u kolima sa naizmeničnom strujom kreiraju promenljiva polja. On je predvideo da se ta polja zatim od izvora šire kroz prostor stvarajući talase slično talasima koje se na jezeru stvaraju bacanjem kamena u njega. Hipotetički talasi se sastoje od oscilujućih električnih i magnetnih polja i prema tome predstavljaju elektromagnetni (EM) talas. EM talasi bi morali da budu sposobni da deluju na naelektrisanja udaljena od izvora talasa, pa na taj način mogu da budu detektovani. Kombinujući svoje jednačine, izračunao je da brzina tih talasa u vakuumu mora da iznosi c = 1. (11.19) ε0 µ 0 Kada je ubacio vrednosti ovih dveju konstanti u gornji izraz, za brzinu je dobio c = m/s, što je predstavljalo, od ranije poznatu, vrednost brzine svetlosti u vakuumu. Na osnovu toga je Maksvel zaključio da je svetlost takodje EM talas koji ima takvu talasnu dužinu da je ljudsko oko osetljivo na njega. EM talasi mogu da postoje i na drugim talasni dužinama ali oni nisu vidljivi za naše oči. Na osnovu svega ovog je bilo jasno da ukoliko bi 27 Prva Maksvelova jednačina u tom smislu predstavlja uopštenu formu Gausovog zakona elektrostatike. 28 Ovakva njihova osobina je posledica ne postojanja magnetnih monopola. 29 U tom smislu je druga Maksvelova jednačina uopštenje Gausovog zakona za magnetizam. 30 Treća Maksvelova jednačina je prema tome Faradejev zakon elektromagnetne indukcije, uključujući i Lencovo pravilo. 31 Četvrta Maksevlova jednačina proširuje Amperov zakon dodajući još jedan izvor magnetizacije - promenljivo električno polje. 32 Maksvelova kompletna i simetrična teorija pokazuje da električna i magnetna sila predstavljaju različite manifestacije jedne iste stvari - elektromagnetne sile. Ova klasična unifikacija sila je jedan od motiva za savremene pokušaje ujedinjavanja četiri osnovnih sila u prirodi.

27 11.2. ELEKTROMAGNETNI TALASI 363 Maksvelova predvidjanja bila verifikovana to bi predstavljalo najveći trijumf u fizici nakon Njutna. Ekspermentalna potvrda je usledila nakon nekoliko godina, ali je u medjuvremenu Maksvel umro. Hercovi ogledi Nemački fizičar Hajnrih Herc 33 je prvi koji je uspeo da generiše i detektuje odredjeni tip elektromagnetnih talasa u laboratoriji. Počev od godine, on je izvršio seriju eksperimenata, kojima je uspeo ne samo da potvrdi postojanje elektromagnetnih talasa već i da utvrdi da se oni kreću brzinom svetlosti. Herc je koristio RLC kolo naizmenične struje sopstvene frekvencije ν = 1/(2π LC) i povezao na njega okvir od žice koji je na jednom mestu imao prekid (slika 11.27). Pri propuštanju struje visokog napona, na mestu prekida su nastajale varnice (ovaj prekid u kolu je zato nazvan varničar) što je bio vidljiv dokaz postojanja struje u kolu koja je generisala EM talase. Na odredjenoj udaljenosti od ovog kola, postavio je drugo kolo sa okvirom prikačenim na RLC kolo, koje je bilo podešeno da ima istu sopstvenu frekvenciju kao i prvo, pa je prema tome bilo sposobno da primi EM talase. To kolo je takodje imalo prekid-varničar, na kome su mogle takodje da se uoče varnice, koje su bile dokaz da je drugo kolo primilo EM talas. Herc je takodje proučavao refleksiju, refrakciju i interferenciju nastalih talasa čime je pokazao njihovu talasnu prirodu. Na osnovu intereferencione slike je odredjio talasnu dužinu ovih talasa a poznavajući njihovu frekvenciju, izračunao im je i brzinu prema formuli u = νλ, čime je pokazao da je reč o talasima koji se kreću brzinom jednakom brzini svetlosti u vakuumu. ~ R L transformator varnièar indukovane varnice C prijemnik Slika 11.27: Skica aprature koju je Herc koristio da generiše i detektuje EM talase Generisanje elektromagnetnih talasa Predstava o izgledu EM talasa se može steći ako se prouče uslovi njihovog nastanka. Uvek kada struja varira sa vremenom, menjaju se i odgovarajuća električna i magnetna polja, a ta promena se prostire kao talas. Najjednostavnije je zamisliti promenljivu struju koju stvara izvor naizmenične struje u dugačkoj pravoj žici (slika 11.28). 34 Električno polje koje postoji u momentu kada je naelektrisanje rasporedjeno na žici kao u momentu t = 0 na slici je prikazano pored žice i menja se sa vremenom usled promene raspodele naelektrisanja. Promenljivo električno polje, kao deo elektromagnentog polja, se 33 Heinrich Hertz ( ), jedinica za frekvenciju 1 Hz = 1 s 1 je nazvana tako njemu u čast. 34 Na ovoj slici je zapravo prikazana konstrukcija antene radio talasa.

28 364 GLAVA 11. MAGNETNE POJAVE Slika 11.28: Dugačka prava žica sa izvorom naizmenične struje. Prikazana je raspodela naelektrisanja u četiri različita, karakteristična, vremenska trenutka. udaljava od žice brzinom svetlosti. Detaljno razmatranje celog ciklusa prikazanog na ovoj slici ukazuje na periodičnu prirodu ovog procesa. U t = 0, kada su na anteni naelektrisanja maksimalno razdvojena, tako da su na vrhu negativna a dole pozitivna, u prostoru blizu nje postoji maksimalno električno polje usmereno ka njenom vrhu. Ciklus će biti završen kada raspodela bude opet takva. U vremenskom trenutku koji odgovara čevrtini ciklusa naelektrisanja su, prema tome, ravnomerno rasporedjena po provodniku, električno polje blizu nje je jednako nuli, a maksimum električnog polja se brzinom c udaljava od nje. U nastavku procesa, za t = T raspodela naelektrisanja je suprotna početnoj a električno polje opet dostiže maksimum ali je suprotno usmereno. Nakon toga, električno polje opet postaje jednako nuli a na kraju ciklusa dostiže početnu maksimalnu vrednost. Talas koji je pri tome nastao ima amplitudu koja je proporcionalna maksimalnoj udaljenosti naelektrisanja pri njihovom gomilanju na krajevima antene. Talasna dužina mu je proporcionalna periodu oscilovanja u provodniku i to je manja što je taj period manji a frekvencija veća. Struja u anteni stvara oko sebe i magnetno polje kao što je prikazano na slici Magnetno polje se takodje udaljava od antene istom brzinom, kao i električno sa kojim zajedno formira elektromagnetni talas u kome oba dela, električni i magnetni, imaju istu talasnu dužinu i period. Obzirom na prirodu indukovanja ova polja su stalno medjusobno pod pravim uglom. Kako su takodje pod pravim uglom u odnosu na pravac prostiranja radi se o transverzalnom talasu. Elektromagnetni talasi se od izvora udaljavaju u svim pravcima, a u slučaju antene kao na prethodnim slikama nema zračenja u pravcu nje. Iako je zračenje antene izazvano izvorom naizmenične struje koji ubrzava naelektrisane čestice u provodniku, bitno je da se uoči da će naelektrisane čestice uvek kada se ubrzavaju, bez obzira šta je izazvalo to ubrzanje, zračiti elektromagnente talase. Izmedju E i B-polja u elektromagnetnom talasu postoji odredjena veza. Da bi je razumeli zgodno je opet se vratiti na već opisanu antenu koja ih zrači. Što je jače električno polje formirano razdvajanjem nalektrisanja na anteni, jače je i magnetno polje koje će kasnije formirati električna struja. Kako je struja direktno proporcionalna naponu (Omov zakon) a napon direktno proporcionalan jačini električnog polja, magnetno i električno

29 11.2. ELEKTROMAGNETNI TALASI 365 Slika 11.29: (a) Struja u anteni stvara magnetno polje čije linije su kružne. (b) Električno i magntetno polje u datoj tački blizu žice su pod pravim uglom jedno u odnosu na drugo. (c) Periodične promene električnog i magnetnog polja stvaraju elektromagnetni talas koji se kroz datu sredinu prostire brzinom svetlosti. polja će takodje biti direktno proporcionalni. Pokazuje se da je njihov odnos, u bilo kom elektromagnetnom talasu, na bilo kom mestu u prostoru kroz koji se on prostire i u bilo kom momentu vremena, jednak brzini svetlosti E B = c. (11.20) Uobičajene promene električnih polja u antenama, od na primer V/m, prema tome, formiraju magnetno polje indukcije B = E/c = 1000 V/m/(3, m/s) = 3, T. Dobijena vrednost je veoma mala (podsetimo se da je magnetno polje Zemlje reda veličine 10 4 T, ali se može detektovati instrumentima sličnim onima koje je koristio Herc u svom eksperimentu. Zapravo, sistem koji ima istu sopstvenu frekvenciju kao elektromagnetni talas će pod njegovim uticajem početi i sam da osciluje. Svi radio i TV prijemnici rade na tom principu hvatajući elektromagnetne talase odgovarajućih talasnih dužina 35 koje zatim pojačavaju i prikazuju ih na ekranu Spektar elektromagnetnih talasa Elektromagnetni talasi se mogu klasifikovati u niz oblasti (radio, infracrvena, ultraljubičasta,...) koje poseduju sličnosti ali se i razlikuju po nekim karakteristikama. Obzirom na vezu izmedju talasne dužine, frekvencije i brzine elektromagnetnih talasa, c = νλ, što je veća frekvencija talasa manja je njihova talasna dužina. Slika prikazuje kako su razni tipovi elektromagnetnih talasa kategorizovani obzirom na talasnu dužinu, odnosno frekvenciju. Drugim rečima ona prikazuje elektromagnetni spektar. Radio talasi Ovaj tip talasa se uglavnom dobija iz električnih kola na način kojio je već opisan. Ime ovih talasa upravo i potiče od najšire upotrebe jednog dela ovih talasa za prenošenje zvučnih 35 Pri tome neke druge čija frekvencija ne odgovara njihovoj sopstvenoj frekvenciji neće detektovati.

30 366 GLAVA 11. MAGNETNE POJAVE Slika 11.30: Spektar elektromagnetnih talasa. informacija do radio aparata. Talasi sličnih frekvencija, iako ne potiču iz oscilatornih kola odnosno odgovarajućih antena, su po analogiji dobili isto ime. Na primer, na zemlju stižu i radio talasi iz kosmosa čiji izvor nisu vanzemaljske radio stanice već su uglavnom formirane odredjenim prirodnim fenomenima koji su se nekada odigravali u vasioni. Obzirom na široku primenu radio talasa, ova oblast spektra se deli na neke podkategorije, uključujući mikrotalase, talase koji se koriste u AM i FM radio stanicama, mobilnim telefonima i TV stanicama. Elektromagnenti talasi najnižih frekvencija (oko 60 Hz) se stvaraju dalekovodima za prenos električne energije i to predstavlja jednu vrstu gubitaka energije u takvim sistemima. 36 Radio talasi izuzetno niskih frekvencija (ELF talasi 37 ) frekvencije oko 1 khz se koriste za komuniciranje podmornica. Sposobnost radio talasa da prodju kroz slanu vodu je srazmerna njihovoj talasnoj dužini, što je veća talasna dužina oni mogu da dodju na veće rastojanje. Slana voda je zapravo dobar provodnik, jer sadrži jone, pa usled toga dobro apsorbuje radio talase većine frekvencija. Talasi frekvencija koje spadaju u ELF oblast se najslabije apsorbuju pa se zato i koriste za komunikaciju sa podmornicom koja se nalazi pod vodom (slika ). AM radi talasi se koriste za prenošenje komercijalnih radio signala u frekventnoj oblasti od 540 do 1600 khz. Oznaka AM se označava da je reč o amplitudnoj modulaciji, koja predstavlja metod za umetanje informacije u elektromagnetni talas (slika 11.32). Noseći talas ima osnovnu frekvenciju radio stanice, npr khz, dok mu amplituda varira, odnosno modulisana mu je zvučnim signalom. Rezultujući talas ima konstantnu frekvenciju, ali promenljivu amplitudu. Radio prijemnik prima talas na rezonantnoj-sopstvenoj frekvenciji nosećeg talasa. Njegove elektronske komponente su dizajnirane tako da varijacije u amplitudi nosećeg talasa mogu da reprodukuju kao originalni zvučni signal koji se zatim pojačava i odvodi na zvučnike ili snima na traku. 36 Postoje kontroverzni stavovi o štetnom uticaju ovih talasa na zdravlje ljudi tako da postoje tvrdjenja da boravak u blizini dalekovoda dovodi do raznih vrsta oboljenja uključujući i rak za šta do sada nema dokaza. 37 Extremely Low Frequency.

31 11.2. ELEKTROMAGNETNI TALASI 367 ELF radio talas Slika 11.31: (a) Dalekovod. (b) Da bi talas mogao da dodje do podmornice mora da ima veoma veliku talasnu dužinu, odnosno ekstremno nisku frekvenciju (ELF). Slika 11.32: Noseći, zvučni i amplitudno modulisani signal. FM radio talasi se takodje koriste u komercijalnim radio stanicama ali na frekventnoj oblasti od 88 do 108 MHz. Fm je oznaka za frekventnu modulaciju, što predstavlja drugi način za prenošenje informacije elektromagnetnim talasom (slika 11.33). U ovom slučaju noseći talas ima osnovnu frekvenciju radio stanice, na primer 101,5 MHz, koja je izmenjenja, odnosno modulisana frekvencijom zvučnog signala, proizvodeći na taj način talas konstantne amplitude ali promenljive frekvencije. Kako naše uvo ne čuje frekvencije iznad 20 khz (odnosno 0,020 MHz), frekvencija FM radio talasa može da varira od frekvencije nosećeg talasa najviše 0,020 MHz. To takodje znači da noseće frekvencije dve različite radio stanice ne mogu biti bliže od 0,020 MHz. Radio aparat koji prima FM radio talase stoga mora da bude podešen da rezonira na nosećoj frekvenciji i mora da ima električna kola koja mogu da osete varijacije u frekvenciji koje nose zvučne informacije. Slika 11.33: Noseći, zvučni i frekventno modulisani signal. FM radio talasi su manje osetljivi na šumove i smetnje od AM talasa a razlog je što šumovi u principu proizvode varijacije u amplitudi a ne u frekvenciji. FM prijemnik tako neće primiti talase čije se amplitude razlikuju od amplitude nosećeg talasa jer je konstruisan tako da je osetljiv jedino na varijacije u frekvenciji. Televizijski sistemi takodje koriste elektromagnente talase. Obzirom da u tom slučaju

Elektromagnetizam. Elektromagnetizam. Elektromagnetizam. Elektromagnetizam

Elektromagnetizam. Elektromagnetizam. Elektromagnetizam. Elektromagnetizam (AP301-302) Magnetno polje dva pravolinijska provodnika (AP312-314) Magnetna indukcija (AP329-331) i samoindukcija (AP331-337) Prvi zapisi o magentizmu se nalaze još u starom veku: pronalazak rude gvožđa

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

θ a ukupna fluks se onda dobija sabiranjem ovih elementarnih flukseva, tj. njihovim integraljenjem.

θ a ukupna fluks se onda dobija sabiranjem ovih elementarnih flukseva, tj. njihovim integraljenjem. 4. Magnetski fluks i Faradejev zakon magnetske indukcije a) Magnetski fluks Ako je magnetsko polje kroz neku konturu površine θ homogeno (kao na lici 5), tada je fluks kroz tu konturu jednak Φ = = cosθ

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Elektromagnetizam. Tehnička fizika 2 09/03/2018 Tehnološki fakultet

Elektromagnetizam. Tehnička fizika 2 09/03/2018 Tehnološki fakultet Elektromagnetizam Tehnička fizika 2 09/03/2018 Tehnološki fakultet Elektromagnetizam Elektromagnetizam je grana klasične fizike koja istražuje uzroke i uzajamnu povezanost električnih i magnetnih pojava,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

l = l = 0, 2 m; l = 0,1 m; d = d = 10 cm; S = S = S = S = 5 cm Slika1.

l = l = 0, 2 m; l = 0,1 m; d = d = 10 cm; S = S = S = S = 5 cm Slika1. . U zračnom rasporu d magnetnog kruga prema slici akumulirana je energija od,8 mj. Odrediti: a. Struju I; b. Magnetnu energiju akumuliranu u zračnom rasporu d ; Poznato je: l = l =, m; l =, m; d = d =

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II 1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

RAD, SNAGA I ENERGIJA

RAD, SNAGA I ENERGIJA RAD, SNAGA I ENERGIJA SADRŢAJ 1. MEHANIĈKI RAD SILE 2. SNAGA 3. MEHANIĈKA ENERGIJA a) Kinetiĉka energija b) Potencijalna energija c) Ukupna energija d) Rad kao mera za promenu energije 4. ZAKON ODRŢANJA

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri

Διαβάστε περισσότερα

Električne struje. Električne struje. Električne struje. Električne struje

Električne struje. Električne struje. Električne struje. Električne struje Električna struja (AP47-5) Elektromotorna sila (AP5-53) Omov zakon za deo provodnika i otpor provodnika (AP53-6) Omov zakon za prosto električno kolo (AP6-63) Kirhofova pravila (AP63-66) Vezivanje otpornika

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

FARADEJEV ZAKON ELEKTROMAGNETNE INDUKCIJE

FARADEJEV ZAKON ELEKTROMAGNETNE INDUKCIJE FARADEJEV ZAKON ELEKTROMAGNETNE NDUKCJE Faradejev zakon EM indukcije opšti oblik Dosadašnje analize su se odnosila na električna i magnetna polja kao vremenski nezavisne veličine. Magnento polje je stalan

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.

Διαβάστε περισσότερα

MAGNETNE POJAVE STACIONARNO MAGNETNO POLJE POLJE

MAGNETNE POJAVE STACIONARNO MAGNETNO POLJE POLJE MAGNETNE MAGNETNE POJAVE POJAVE -STACIONARNO STACIONARNO MAGNETNO MAGNETNO POLJE POLJE Magnetizam Magnetizam je fenomen da neki materijali deluju privlačnom ili odbojnom silom na druge materijale Magnetne

Διαβάστε περισσότερα

OTPORNOST MATERIJALA

OTPORNOST MATERIJALA 3/8/03 OTPORNOST ATERIJALA Naponi ANALIZA NAPONA Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa) Pa=N/m Pa=0 6 Pa GPa=0 9 Pa F (N) kn/cm =0 Pa N/mm =Pa Jedinična površina (m ) U tečnostima pritisak jedinica bar=0

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

V(x,y,z) razmatrane povrsi S

V(x,y,z) razmatrane povrsi S 1. Napisati izraz koji omogucuje izracunavanje skalarne funkcije elektricnog potencijala V(x,y,z) u elektrostaskom polju, ako nema prostornoo rasporedjenih elekricnih naboja. Laplaceova diferencijalna

Διαβάστε περισσότερα

Električne pojave. Glava Elektrostatika

Električne pojave. Glava Elektrostatika Glava 10 Električne pojave 10.1 Elektrostatika Još u antičkoj grčkoj, oko 500 godina pre nove ere, je bilo poznato da ćilibar, kada se protrlja, privlači komadiće slame. Današnja reč za elektricitet je

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Istorijski pregled nauke o magnetima

Istorijski pregled nauke o magnetima Istorijski pregled nauke o magnetima grad Magnesia u Maloj Aziji - nalazište magnetita legenda: pastira Magnusa s Krita - okovana obuća i pastirski štap privučeni magnetskom rudom (magnetitom Fe3O4) Kina,

Διαβάστε περισσότερα

1.2. Provodnici, izolatori i poluprovodnici

1.2. Provodnici, izolatori i poluprovodnici 1 1. Električno polje 1.1. Naelektrisanje Postoje dva tipa naelektrisanja. Jedan tip nazvan je pozitivno naelektrisanje, a drugi negativno naelektrisanje. Jedinica za količinu naelektrisanja je kulon (C).

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Elektrostatika. Dr Željka Tomić

Elektrostatika. Dr Željka Tomić Elektrostatika Dr Željka Tomić 23.12.2015 1 Elektrostatika KRZNO Ebonit Šipka Svila - - - - - - - +++++++ staklo Elektron Proton eutron 3 Naelektrisanje elektrona elementarno nalektrisanje e = 1,6022 10-19

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa Claudius Ptolemeus (100-170) - geocentrični sustav Nikola Kopernik (1473-1543) - heliocentrični sustav Tycho Brahe (1546-1601) precizno bilježio putanje nebeskih tijela 1600. Johannes Kepler (1571-1630)

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Kvantna optika Toplotno zračenje Apsorpciona sposobnost tela je sposobnost apsorbovanja energije zračenja iz intervala l, l+ l na površini tela ds za vreme dt. Apsorpciona moć tela je sposobnost apsorbovanja

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Elektrodinamika 2. zadaci sa prošlih rokova, emineter.wordpress.com

Elektrodinamika 2. zadaci sa prošlih rokova, emineter.wordpress.com Elektrodinamika zadaci sa prošlih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 5. jul 016. 1. Kružnica radijusa R deli ravan u kojoj se nalazi na dve oblasti. Unutrašnja oblast se održava na nultom potencijalu,

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

Snage u kolima naizmjenične struje

Snage u kolima naizmjenične struje Snage u kolima naizmjenične struje U naizmjeničnim kolima struje i naponi su vremenski promjenljive veličine pa će i snaga koja se isporučuje potrošaču biti vremenski promjenljiva Ta snaga naziva se trenutna

Διαβάστε περισσότερα

Test pitanja Statika fluida

Test pitanja Statika fluida Test pitanja Statika fluida 1. Agregatna stanja. čvrsto stanje - telo ima određeni oblik i zapreminu; tečno stanje - telo ima određenu zapreminu, a oblik zavisi od suda u kome se nalazi; gasovito stanje

Διαβάστε περισσότερα

Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će

Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će se bez obzira na masu kretati istim ubrzanjem Zanimljivo

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

Električne struje. EE15 8a Elektricne struje kratko.pdf

Električne struje. EE15 8a Elektricne struje kratko.pdf Električne struje Električna struja Elektromotorna sila Omov zakon za deo provodnika i otpor provodnika Omov zakon za prosto električno kolo Kirhofova pravila Vezivanje otpornika Rad, snaga i toplotno

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Banjoj Luci Elektrotehnički fakultet Katedra za opštu elektrotehniku

Univerzitet u Banjoj Luci Elektrotehnički fakultet Katedra za opštu elektrotehniku Univerzitet u Banjoj Luci Elektrotehnički fakultet Katedra za opštu elektrotehniku Laboratorijske vježbe iz predmeta: Osnovi elektrotehnike 2 Druga vježba Mjerenje intenziteta vektora magnetske indukcije

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROMAGNETNA ZRAČENJA

ELEKTROMAGNETNA ZRAČENJA ELEKTROMAGNETNA ZRAČENJA Mehanička kretanja Buka i vibracije predstavljaju talasna mehanička kretanja koja nastaju oscilovanjem tela i čestica elastične sredine oko svog ravnotežnog položaja. Mehanička

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα