Βιομαθηματικά BIO-156. Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2016
|
|
- Θεοδοσία Λαμπρόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Βιομαθηματικά BIO-156 Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 216
2 Παράδειγμα Υποθετικός πληθυσμός βακτηρίων Ας υποθέσουμε ότι ένας πληθυσμός βακτηρίων αυξάνει με το χρόνο σύμφωνα με τη συνάρτηση N(t)=2 t, t (συνεχείς μεταβολές) 6 αριθμός βακτηρίων ( 1 ) χρόνος (ώρες) Πως μπορούμε να περιγράψουμε πλήρως την αύξηση του πληθυσμού;
3 Έλεγχος πληθυσμού κάθε μία ώρα t Ν(t) ΔN=N(t)-N(t-1) Αν ο πληθυσμός αυξανόταν κάθε μία ώρα, θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα μετασχηματισμού Nt1 2N t για να περιγράψουμε τις μεταβολές του πληθυσμού. Όμως το μέγεθος του πληθυσμού αλλάζει συνεχώς (σε κάθε δεδομένη χρονική στιγμή).
4 Έλεγχος πληθυσμού κάθε μισή ώρα t N (t) N N( t) N( t,5) N N( t) N( t t ) t t 1, - -,5 1,4142,4142,8284 1, 2,,5858 1,7116 1,5 2,8284,8284 1,6568 2, 4, 1,7116 2,3431 2,5 5,6569 1,6569 3,3137 3, 8, 2,3431 4,6863 Μέσος ρυθμός αύξησης μεταξύ t=1 και t=1,5 είναι 1,6568 εκατομμύρια βακτήρια ανά ώρα.
5 Έλεγχος πληθυσμού κάθε,1 ώρες. Οι μετρήσεις κοντά στο 1 t N (t) N N( t) N( t,1 ) N N( t) N( t t ) t t,9 1,8661,125 1,2496 1, 2,,1339 1,3393 1,1 2,1434,1434 1,4355 1,2 2,2974,1538 1,5385 Μεταβολές στο χρονικό διάστημα (1, 1+Δt) t N N t,1,139 1,3911,1,139 1,3868,1,139 1,3863 Καθώς το Δt μικραίνει, η μεταβολή του πληθυσμού, ΔΝ, μικραίνει, αλλά ο μέσος ρυθμός μεταβολής, ΔΝ/ Δt, πλησιάζει την τιμή 1,3863. Αυτή την τιμή θα N την ονομάζουμε στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής ( ). t t
6 Μέσος και στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής Η κλίση της ε1 είναι ο μέσος ρυθμός μεταβολής Η κλίση της ε2 είναι ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής
7 Όρια συναρτήσεων Ορισμός του ορίου: Έστω ένας πραγματικός αριθμός και f μια συνάρτηση, ορισμένη τουλάχιστον σε ένα σύνολο της μορφής (a, ) (, b). Λέμε ότι το όριο της f () είναι L όταν το τείνει στο και συμβολίζουμε με f ( ) L όταν για κάθε ε > υπάρχει δ > τέτοιο ώστε για κάθε με < - < δ να ισχύει f ()- L < ε
8 Όρια συναρτήσεων Αν το f ( ) L και L είναι πεπερασμένος αριθμός, λέμε ότι η f() συγκλίνει στο L. Αν το όριο δεν υπάρχει τότε λέμε ότι αποκλίνει. Συμβολισμός: f() L καθώς
9 Θεωρήματα για τα όρια 1. Αν f ( ) L και f ( ) M τότε L=M (μοναδικότητα του ορίου)
10 Πλευρικά όρια Αριστερό όριο: Έστω ένας πραγματικός αριθμός και f μια συνάρτηση, ορισμένη τουλάχιστον σε ένα σύνολο της μορφής (a, ). Λέμε ότι το όριο της f () είναι L όταν το τείνει στο από αριστερά και συμβολίζουμε με f ( ) L όταν για κάθε ε > υπάρχει δ > τέτοιο ώστε για κάθε με -δ < < να ισχύει f ()- L <ε Δεξιό όριο: Έστω ένας πραγματικός αριθμός και f μια συνάρτηση, ορισμένη τουλάχιστον σε ένα σύνολο της μορφής (a, ). Λέμε ότι το όριο της f () είναι L όταν το τείνει στο από δεξιά και συμβολίζουμε με f ( ) L όταν για κάθε ε > υπάρχει δ > τέτοιο ώστε για κάθε με < < +δ να ισχύει f ()- L <ε
11 Παράδειγμα Για τη συνάρτηση και Επειδή τα πλευρικά όρια δεν είναι ίσα, δεν υπάρχει L f ) ( L f ) ( L f ) ( και 1, 1, ) ( f 1 ) ( f 1 ) ( f ) ( f, Το όριο υπάρχει αν και μόνο αν
12 Τα σαν όρια συναρτήσεων Αν ένας πραγματικός αριθμός και f μια συνάρτηση, ορισμένη τουλάχιστον σε ένα σύνολο της μορφής (a, ) (, b), θα λέμε ότι f ( ) [ ] όταν για κάθε Μ R υπάρχει δ > τέτοιο ώστε για κάθε με < - < δ να ισχύει f () > Μ [αντίστοιχα f () < Μ] Παρόμοια ορίζονται και τα πλευρικά όρια.
13 Όριο συνάρτησης όταν Ορίζουμε f ( ) L R όταν για κάθε ε > υπάρχει Μ R τέτοιο ώστε για κάθε > Μ να ισχύει f ()- L < ε Ορίζουμε f ( ) L R όταν για κάθε ε > υπάρχει Μ R τέτοιο ώστε για κάθε < Μ να ισχύει f ()- L < ε Τα θεωρήματα που αναφέραμε ισχύουν και για όρια
14 Το όριο ρητών και εκθετικών συναρτήσεων καθώς Αν f() είναι μια συνάρτηση της μορφής f() = p()/q(), όπου p() είναι ένα πολυώνυμο βαθμού n και q() είναι ένα πολυώνυμο βαθμού m, τότε f ( ) p( ) q( ), L, δεν υπάρχει αν αν αν n m n m n m Η ίδια συμπεριφορά ισχύει για - e
15 Λογιστική καμπύλη (logistic curve) N( t) 1 K 1 e rt t Ν(t) μέγεθος του πληθυσμού τη χρονική στιγμή t, r και Κ θετικές σταθερές και Ν()=Ν >. K N, N( t) t 1 t K N K 1 e rt K επειδή t e t Ανεξάρτητα από την αρχική τιμή N, N( t) K. Το Κ ονομάζεται φέρουσα ικανότητα (carrying capacity). t
16 Συνέχεια συναρτήσεων Ορισμός: Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα Δ και Δ. Η f είναι συνεχής στο αν και μόνο αν f ( ) f ( ) Ορισμός: (Από τον ορισμό του ορίου ) Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής στο αν για κάθε ε > υπάρχει δ > τέτοιο ώστε για κάθε Δ με < - < δ να ισχύει f ()- f ( ) < ε Ορισμός: Μια συνάρτηση είναι συνεχής όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της.
17 Έλεγχος για τη συνέχεια μιας συνάρτησης στο = Ελέγχουμε αν 1. f() ορίζεται στο = 2. f ( ) υπάρχει 3. f ( ) f ( )
18 Είδη ασυνέχειας
19 Μονόπλευρη συνέχεια Μια f συνάρτηση λέγεται συνεχής στο από αριστερά αν και μόνο αν συνεχής στο από δεξιά αν και μόνο αν f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Συνέχεια σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] Για μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] διακρίνουμε τις περιπτώσεις: συνεχής σε κάθε σημείο του ανοικτού διαστήματος (α,β) συνεχής στο α από δεξιά συνεχής στο β από αριστερά
20 Μονόπλευρη συνέχεια Floor function f() =, ο μεγαλύτερος ακέραιος k ακέραιος f(k) =k k k f ( ) f ( ) k k 1 Ceiling function f() =, ο μικρότερος ακέραιος k ακέραιος f(k) =k k k f ( ) f ( ) k 1 k
21 Συνδυασμός συνεχών συναρτήσεων Έστω ότι α είναι μια σταθερά και οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο =. Τότε οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς: 1. a f 2. f+g 3. f g 4. f / g, αν g( ) Αν g() είναι συνεχής στο = με g( )=c και η f() είναι συνεχής στο =c, τότε η είναι συνεχής στο =. ( f g)( ) ( f g)( ) f [ g( )] f [ g( )] f [ g( )] f ( c)
22 Βασικές συνεχείς συναρτήσεις Πολυωνυμικές συναρτήσεις Ρητές συναρτήσεις Εκθετικές συναρτήσεις a, a, a 1 Λογαριθμικές συναρτήσεις log, a, a 1 a Συναρτήσεις δύναμης Τριγωνομετρικές συναρτήσεις
23 Θεώρημα ενδιάμεσης τιμής Αν f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] και c ένας αριθμός μεταξύ των f(α) και f(β) τότε υπάρχει τουλάχιστον ένας αριθμός ξ μεταξύ α και β τέτοιος ώστε f(ξ)=c Θεώρημα του Bolzano Αν f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] και f(α) f(β) <, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένας αριθμός ξ μεταξύ α και β τέτοιος ώστε f(ξ)= Θεώρημα μέγιστης-ελάχιστης τιμής Αν f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα κλειστό διάστημα [α,β], τότε υπάρχουν σημεία και στο [α,β] τέτοια ώστε f ( ) f ( ) f ( )
24 Προτεινόμενη Βιβλιογραφία C. Neuhauser Calculus for biology and medicine Pearson/Prentice Hall, 24 Chapter 3: Limits and Continuity F. R. Adler. Modeling the dynamics of life: calculus and probability for life scientists. Brooks/Cole, Chapter 2: Limits and Derivatives M. R. Cullen Mathematics for the biosciences. Techbooks, 1983 Sections: 6, 7
Βιομαθηματικά BIO-156. Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2019
Βιομαθηματικά BIO-156 Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 19 lika@uoc.gr Παράδειγμα Υποθετικός πληθυσμός βακτηρίων Ας υποθέσουμε ότι ένας πληθυσμός βακτηρίων αυξάνει με το χρόνο σύμφωνα
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156
Βιομαθηματικά BIO-156 Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 213 lika@biology.uoc.gr Παράδειγμα Υποθετικός πληθυσμός βακτηρίων Ας υποθέσουμε ότι ένας πληθυσμός βακτηρίων αυξάνει με το
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156
Βιομαθηματικά BIO-156 Παραγώγιση Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 213 lika@biology.uoc.gr Μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο αν και μόνο αν το όριο lim h + h h υπάρχει. Αν το όριο υπάρχει θα το ονομάζουμε
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156. Παραγώγιση. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2017
Βιομαθηματικά BIO-156 Παραγώγιση Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 217 lika@biology.uoc.gr Φυσική ερμηνεία της παραγώγου Μέσος ρυθμός μεταβολής της στο διάστημα [, +] με Δ= + - =, Στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156
Βιομαθηματικά BIO-156 Συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 2013 lika@biology.uoc.gr Συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα Τα συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα περιγράφουν φαινόμενα
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156. Συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2017
Βιομαθηματικά BIO-156 Συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 2017 lika@biology.uoc.gr Συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα Τα συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα περιγράφουν φαινόμενα
Διαβάστε περισσότεραΣυνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα Διαφορικές εξισώσεις
Βιομαθηματικά BIO-156 Συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα Διαφορικές εξισώσεις Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 2018 lika@uoc.gr Συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα Τα συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα περιγράφουν
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156. Ντίνα Λύκα. Εισαγωγικές έννοιες. Εαρινό Εξάμηνο, 2016
Βιομαθηματικά BIO-156 Εισαγωγικές έννοιες Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 2016 lika@biology.uoc.gr Μαθηματικά Μοντέλα στη Βιολογία Ένα μαθηματικό μοντέλο είναι ένα σύνολο υποθέσεων για κάποιο βιολογικό σύστημα
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156. Ντίνα Λύκα. Εισαγωγή. Εαρινό Εξάμηνο, 2018
Βιομαθηματικά BIO-156 Εισαγωγή Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 2018 lika@uoc.gr Μαθηματικά Μοντέλα στη Βιολογία Ένα μαθηματικό μοντέλο είναι ένα σύνολο υποθέσεων για κάποιο βιολογικό σύστημα, εκφρασμένες με
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156
Βιομαθηματικά BIO-156 Διακριτά στο χρόνο δυναμικά συστήματα Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 2013 lika@biology.uoc.gr Διακριτά στο χρόνο δυναμικά συστήματα περιγράφουν φαινόμενα που μεταβάλλονται ασυνεχώς. Αν
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις Μαθηματικών 2
Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 3 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Συνέχεια Συναρτήσεων 3.1 Όρισμός Συνεχούς Συνάρτησης Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνεχής στο x 0 Df αν υπάρχει το πραγματικός
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156. Ολοκλήρωση. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2017
Βιομαθηματικά BIO-56 Ολοκλήρωση Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 07 lik@biology.uo.gr Ορισμός αντιπαραγώγου ή παράγουσας ή αρχικής συνάρτησης Μια συνάρτηση F ονομάζεται αντιπαράγωγος της σε ένα διάστημα Ι, αν
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156
Βιομαθηματικά BIO-156 Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 013 lika@biology.uoc.gr Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε απλό ενδεχόμενο
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156. Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2017
Βιομαθηματικά BIO-156 Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 17 lika@biology.uoc.gr Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε απλό ενδεχόμενο
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 5: Συνέχεια συναρτήσεων και όρια στο άπειρο
Διάλεξη 5: Συνέχεια συναρτήσεων και όρια στο άπειρο Ακριβής ορισμός του πλευρικού ορίου Έστω ότι το πεδίο ορισμού της f x περιέχει ένα διάστημα d, c στα αριστερά του c. Η f x έχει αριστερό όριο L στο c
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156
Βιομαθηματικά BIO-56 Ολοκλήρωση Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 03 lik@biology.uo.gr Ορισμός αντιπαραγώγου ή πρωτεύουσας ή αρχικής συνάρτησης Μια συνάρτηση F ονομάζεται αντιπαράγωγος της σε ένα διάστημα Ι,
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)
Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις Μαθηματικών 2
Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 4 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 4 Παράγωγος Συνάρτησης 4.1 Έννοια Παραγώγου Ορισμός f(x) f(x 0 ) Μια συνάρτηση f ονομάζεται παραγωγίσιμη στο x 0 Df αν υπάρχει
Διαβάστε περισσότερα[ α π ο δ ε ί ξ ε ι ς ]
Γ' Λυκείου Κατεύθυνση [ α π ο δ ε ί ξ ε ι ς ] ε ξ ε τ α σ τ έ α ς ύ λ η ς 7-8 Επιμέλεια Κόλλας Αντώνης Όριο πολυωνυμικής στο Αν P( = αν ν + αν ν +... + α + α είναι πολυώνυμο του και, τότε: P( P( P( =...
Διαβάστε περισσότεραΗ Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΒιοµαθηµατικά BIO-156
Βιοµαθηµατικά BIO-56 Ολοκλήρωση Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάµηνο, 08 lik@uo.gr Ορισµός αντιπαραγώγου ή παράγουσας ή αρχικής συνάρτησης Μια συνάρτηση F ονοµάζεται αντιπαράγωγος της σε ένα διάστηµα Ι, αν F' για
Διαβάστε περισσότεραΜ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2017
Βιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 07 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολο υποθέσεων και του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις των πανελλαδικών εξετάσεων. Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις των πανελλαδικών εξετάσεων Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς wwwaskisopolisgr Η θεωρία των πανελλαδικών εξετάσεων [] [] Ορισμοί ) Πότε
Διαβάστε περισσότερα2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016
wwwaskisopolisgr o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: ώρες ΘΕΜΑ A A Να αποδείξετε ότι αν δύο συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο του πεδίου ορισμού τους, τότε και η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας ΚΑΠΟΙΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΕΝΝΟΙΕΣ Ν = {1,2,3,...} το σύνολο των φυσικών αριθμών Ζ = {0, ±1, ±2, ±3,..
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος
Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος. Πως ορίζεται η έννοια. Το όριο. To f() f() ; f() εφόσον υπάρχει είναι μονοσήμαντα ορισμένο; εξαρτιέται από τα άκρα α, β των ( α, ) και (, β ) ;. Πως ορίζονται τα πλευρικά
Διαβάστε περισσότεραΠολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1 ο
Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Οι απαντήσεις βρίσκονται μετά τις εκφωνήσεις Εξετάστε αν είναι αληθείς ή ψευδείς οι παρακάτω προτάσεις και αιτιολογήστε.
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 11 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οικονομικές Συναρτήσεις με μεταβλητούς ρυθμούς
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; (5 ΕΣΠ Β ) Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ΦΥΕ 10-3 η. Όριο - Συνέχεια - Παράγωγος - Ακρότατα. Βασικά θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού.
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ - 3 η ΟΣΣ Όριο - Συνέχεια - Παράγωγος - Ακρότατα Βασικά θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού Ανάπτυγμα Taylr Ολοκληρώματα τεχνικές ολοκλήρωσης ΟΔΠ - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (Α) Όριο
Διαβάστε περισσότεραdy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1
I. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταολές 3.(Οριακός) ρυθμός μεταολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι ασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία 8.Στάσιμα
Διαβάστε περισσότερα4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4. ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ Ή ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Παράγουσα ή αντιπαράγωγος μιας συνάρτησης f() ορισμένη στο D(f) λέγεται η συνάρτηση F() για την οποία ισχύει F ()=f(). ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: F()=
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2016
Βιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 06 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολο υποθέσεων και του οποίου
Διαβάστε περισσότεραQwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty. uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui
Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui ΟΡΙΟ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΌριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης Αγνοώ το πώς με βλέπει ο κόσμος αλλά στον εαυτό μου, φαίνομαι σαν να μην ήμουν τίποτα άλλο από ένα αγοράκι που παίζει στην ακρογιαλιά και κατά καιρούς
Διαβάστε περισσότεραΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE ΚΑΙ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ KAI ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ O μετασχηματισμός lc-ο αντίστροφος μετασχηματισμός
Διαβάστε περισσότεραΜ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότεραΟ μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156. Ντίνα Λύκα. Στοιχειώδεις Συναρτήσεις - Εφαρμογές. Εαρινό Εξάμηνο, 2016
Βιομαθηματικά BIO-56 Στοιχειώδεις Συναρτήσεις - Εφαρμογές Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 6 lik@biology.uoc.gr Περιεχόμενα Βασικές μαθηματικές έννοιες Ορισμός της συνάρτησης Άρτιες, περιττές και περιοδικές
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Ενότητα 12: Ακρότατα Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
Μαθηματικά Ενότητα 12: Ακρότατα Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες
Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 8 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2016 ΜΕΣΟΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Έστω η συνάρτηση συνολικής ζήτησης: p = D(q) = 50 2q
Διαβάστε περισσότερα1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:
Διαβάστε περισσότεραΓια να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :
Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14
Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες
Διαβάστε περισσότεραΒασικές ασκήσεις Βασική θεωρία. του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση: ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x
8 Συνέχεια συνάρτησης Ορισμός της συνέχειας 8. α) Πότε μια συνάρτηση f :A λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση:, αν < f() =, αν i) Να αποδείξετε ότι f() = 7 και να
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Θεωρία Συνόλων, Συναρτήσεις Πραγματικής Μεταβλητής, Όριο και Συνέχεια Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο τουr Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα)
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Σκοπός: Σκοπός του κεφαλαίου είναι αρχικά η υπενθύμιση βασικών εννοιών που αφορούν τον ορισμό, τις πράξεις και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αφ ενός και η μελέτη της
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.
Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Παράγωγος
Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της
Διαβάστε περισσότεραΣυνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ).
Κεφάλαιο 4 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα 411 Ερώτηση θεωρίας 1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Πότε μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (, ) αβ; Απάντηση Μια συνάρτηση f θα λέμε
Διαβάστε περισσότεραΣυνέχεια - Παράγωγος ως συνάρτηση. Γιάννης Σαριδάκης Σχολή Μ.Π.Δ., Πολυτεχνείο Κρήτης
4 η Διάλεξη Συνέχεια - Παράγωγος ως συνάρτηση 27 Σεπτεµβρίου 2016 Γιάννης Σαριδάκης Σχολή Μ.Π.Δ., Πολυτεχνείο Κρήτης ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ, ΤΟΜΟΣ Ι - Finney R.L. / Weir M.D. / Giordano F.R. Πανεπιστημιακές
Διαβάστε περισσότεραΕ π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ
Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. ΕΙΚΟΣΤΟ ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Έστω μια δυναμοσειρά a (x ξ) = a 0 + a (x ξ) + a 2 (x ξ) 2 + με ακτίνα σύγκλισης R και με ρ = lim a. Αν x = ξ, η δυναμοσειρά συγκλίνει και έχει άθροισμα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΓΕΝΙΚΕΣ (ημιτελές version )
ΘΕΩΡΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΓΕΝΙΚΕΣ (ημιτελές version 9-4-26) ΠΡΟΣΟΧΗ! Επισημαίνω ότι πιθανόν να υπάρχουν ατέλειες, ελλείψεις, επιπλέον περιττά στοιχεία ή και λάθη στις λύσεις.ετσι ο αναγνώστης πρέπει να χρησιμοποιεί
Διαβάστε περισσότεραsin(5x 2 ) sin(4x) e 5t 2 1 (ii) lim x 0 10x 3 (iii) lim (iv) lim. 10t sin(ax) = 1. = 1 1 a lim = sin(5x2 ) = 2. f (x) = sin x. = e5t 1 = 1 0 = 0.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Ι, Φυλλάδιο 3 Λύσεις Ασκήσεων. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια. sia) i) ποιες συνθήκες πρέπει να ισχύουν για τα a, β ώστε να έχει νόημα το όριο;) 0 siβ) si5 ) si4) cos cos
Διαβάστε περισσότεραΗ θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις
Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης (αποκλειστικά
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ
ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Διαβάστε περισσότεραf(x) f(c) x 1 c x 2 c
Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 2014 Σημειώσεις 1-12-14 Μ. Ζαζάνης 1 Πραγματικές Συναρτήσεις και Ορια Εστω S R ένα υποσύνολο του R και f : S R μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το S και τιμές στους πραγματικούς
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Ενότητα 13: Κυρτότητα Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
Μαθηματικά Ενότητα 13: Κυρτότητα Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο
Διαβάστε περισσότερααβ (, ) τέτοιος ώστε f(x
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]
Διαβάστε περισσότεραΣυνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα
8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)
Διαβάστε περισσότερα(a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b)
1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ Μερική Παράγωγος Μερικές Παράγωγοι Ορισμός 1: a) Εστω f(x y) : U R R μία συνάρτηση δύο μεταβλητών και (a b) ένα σημείο του U. Θεωρούμε ότι μεταβάλλεται μόνο το x ένω το y παραμένει σταθερό
Διαβάστε περισσότεραΌταν η s n δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει.
Όταν η s δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει. Παρατήρηση: Το αντίστροφο του προηγουμένου θεωρήματος δεν ισχύει. Παράδειγμα η σειρά με νιοστό όρο α = +-. Τότε lim α =0. Όμως s =α +α + +α = - + 3- +...+
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα #16: Βασικά Θεωρήματα του Διαφορικού Λογισμού Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
Διαβάστε περισσότεραΠερίληψη μαθημάτων Ι. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Με N θα συμβολίζουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών, δηλ. N = {1, 2, 3, 4, }.
Περίληψη μαθημάτων Ι. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Με N θα συμβολίζουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών, δηλ. N = {1, 2, 3, 4, }. Με Z θα συμβολίζουμε το σύνολο των ακεραίων αριθμών, δηλ. Z = N {0, 1, 2, 3, 4, }. Με Q θα
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 12-12-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Ας δούμε ένα παράδειγμα υπολογισμού ορίου με χρήση της συνέχειας της σύνθεσης συνεχών συναρτήσεων. Παράδειγμα. Θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο
Διαβάστε περισσότεραA2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ
A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία
Διαβάστε περισσότερα). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1,
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 MAΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που
Διαβάστε περισσότερα3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
1 2 3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 31 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω δύο σύνολα Α και Β ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ του συνόλου Α στο Β είναι η διμελής σχέση f A B για την οποία A αντιστοιχεί ένα και μόνο ένα y B δηλαδή
Διαβάστε περισσότεραx x = e, x > 0 έχει ακριβώς δυο Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ. Δίνεται η συνάρτηση f() ( )ln, >. Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ (, ] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ [, ). Στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Ανάλυση Ι
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 5: Όρια και Συνέχεια Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Παύλος Βασιλείου Σε όλους αυτούς που παλεύουν για έναν καλύτερο κόσμο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ
Διαβάστε περισσότερα4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4. ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ Ή ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Παράγουσα ή αντιπαράγωγος μιας συνάρτησης f( ορισμένη στο D(f) λέγεται η συνάρτηση F( για την οποία ισχύει F (=f(. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: F(= = df
Διαβάστε περισσότερατα βιβλία των επιτυχιών
Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β],
Θωμάς Ραϊκόφτσαλης ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Μέθοδος Α Αν μας ζητείτε να αποδείξουμε ότι ισχύει ένα από τα εξής: Α. Η εξίσωση f() έχει μια τουλάχιστον ρίζα ξ (α,β), Α. Υπάρχει ξ (α,β) έτσι ώστε f(ξ),
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μετασχηµατισµός-Z. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Μετασχηµατισµός-Z Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Μετασχηµατισµός - Ιδιότητες Μετασχηµατισµού- Γραµµικότητα Χρονική Ολίσθηση Κλιµάκωση
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ»
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Πεδίο
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Ενότητα 11: Θεώρημα Μέσης Τιμής Μονοτονία Συνάρτησης
Μαθηματικά Ενότητα 11: Θεώρημα Μέσης Τιμής Μονοτονία Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός
Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.: Η Συνέχεια Συνάρτησης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Ενότητα Β.: Η Συνέχεια
Διαβάστε περισσότερα1 ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα 1 ο
ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα ο Σε κάθε μια από τις ακόλουθες προτάσεις αφού πρώτα σημειώσετε το Σ (σωστή) ή το Λ (λανθασμένη), στη συνέχεια να δώσετε μια σύντομη τεκμηρίωση της όποιας απάντησή σας Αν για
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x β. τo σύνολο των σημείων του Α στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντας κάθε x Α. = f (x)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..: Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις Παράγωγος Συνάρτηση - Κεφ..3: Κανόνες Παραγώγισης
Διαβάστε περισσότεραΜη πεπερασµένα όρια και όριο στο άπειρο
Μη πεπερασµένα όρια και όριο στο άπειρο Λυγάτσικας Ζήνων Πρότυπο Πειρµαµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής 9 εκεµβρίου 203 Μη Πεπερασµένο Οριο Συναρτησεων στο x 0. Το Μη-πεπερασµένο Το Απειρο Ορισµός.
Διαβάστε περισσότερα2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ 8 ΟΡΙΣΜΟΣ, 9 Πότε μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της ; Απάντηση : Μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις
Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραx y f (x). f(a) {y R x A : y f(x)}.
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έννοια της πραγματικής συνάρτησης ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα), με την οποία κάθε στοιχείο A αντιστοιχίζεται
Διαβάστε περισσότεραI.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ: {f(x), y= f(x), y= y(x), F(x, y) = c}
I. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ: {f(), = f(), = (), F(, ) = c}.μηδενικά.μονοτονίες 3.Ασυνέχειες 4.Θετικές δυνάμεις 5.Αρνητικές δυνάμεις 6.Εκθετική 7.Λογαριθμική 8.Αλλαγή βάσης 9.Πολυωνυμικές.Ρητές.Σύνθεση.Πλεγμένες
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ)
ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ) A. Εύρεση Πεδίου Τιµών Συναρτήσεων ίνεται η συνάρτηση h, h ( ) = 4+, [ 1,4] Να βρεθεί το πεδίο τιµών της συνάρτησης. Η λογική για
Διαβάστε περισσότεραΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί Μία συνάρτηση f λέγεται: 1 γνησίως αύξουσα σ' ένα υποσύνολο Β του πεδίου ορισμού της όταν για κάθε 1, Β με 1 < ισχύει ότι f( 1 ) < f( ) γνησίως φθίνουσα σ' ένα υποσύνολο Β
Διαβάστε περισσότεραΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116
ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ορισμός παραγώγου συνάρτησης σε σημείο Μια συνάρτηση f (X) λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμογές παραγώγων. Διαφορικός Λογισμός μιας μεταβλητής Ι
Εφαρμογές παραγώγων Διαφορικός Λογισμός μιας μεταβλητής Ι Ακρότατα Α Θα δούμε πώς οι παράγωγοι βοηθούν στην αναζήτηση ακρότατων (μέγιστα και ελάχιστα) μιας συνάρτησης ώστε να αντιλαμβανόμαστε πώς εξελίσσεται
Διαβάστε περισσότεραΓια την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση x 0
5 Όριο συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση (δηλαδή όταν το βρίσκεται πολύ κοντά στο ) ή στο
Διαβάστε περισσότερα4 Συνέχεια συνάρτησης
4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156
ιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 03 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολουποθέσεωνκαιτουοποίουτο αποτέλεσμα
Διαβάστε περισσότεραA. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
Διαβάστε περισσότερα