Βιομαθηματικά BIO-156. Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2019

Transcript

1 Βιομαθηματικά BIO-156 Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 19

2 Παράδειγμα Υποθετικός πληθυσμός βακτηρίων Ας υποθέσουμε ότι ένας πληθυσμός βακτηρίων αυξάνει με το χρόνο σύμφωνα με τη συνάρτηση N(t)= t, t (συνεχείς μεταβολές) 6 αριθμός βακτηρίων ( 1 ) χρόνος (ώρες) Πως μπορούμε να περιγράψουμε πλήρως την αύξηση του πληθυσμού;

3 Έλεγχος πληθυσμού κάθε μία ώρα t Ν(t) ΔN=N(t+1)-N(t) Αν ο πληθυσμός αυξανόταν κάθε μία ώρα, θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα μετασχηματισμού Nt1 N t για να περιγράψουμε τις μεταβολές του πληθυσμού. Όμως το μέγεθος του πληθυσμού αλλάζει συνεχώς (σε κάθε δεδομένη χρονική στιγμή).

4 Έλεγχος πληθυσμού κάθε μισή ώρα t N(t) N N( t,5) N( t) N N( t t) N( t ) t t 1,,414,884,5 1,414,5858 1,7116 1,,,884 1,6568 1,5,884 1,7116,3431, 4, 1,6569 3,3137,5 5,6569,3431 4,6863 3, 8, 3,3137 6,674 Μέσος ρυθμός αύξησης μεταξύ t=1 και t=1,5 είναι 1,6568 εκατομμύρια βακτήρια ανά ώρα.

5 Έλεγχος πληθυσμού κάθε,1 ώρες. Οι μετρήσεις κοντά στο 1 t N (t) N N( t) N( t,1 ) N N( t) N( t t ) t t,9 1,8661,1339 1,3393 1,,,1434 1,4355 1,1,1434,1538 1,5385 1,,974,1649 1,6489 Μεταβολές στο χρονικό διάστημα (1, 1+Δt) t N N t,1,139 1,3911,1,139 1,3868,1,139 1,3863 Καθώς το Δt μικραίνει, η μεταβολή του πληθυσμού, ΔΝ, μικραίνει, αλλά ο μέσος ρυθμός μεταβολής, ΔΝ/ Δt, πλησιάζει την τιμή 1,3863. Αυτή την τιμή θα N την ονομάζουμε στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής ( ). t t

6 Μέσος και στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής από γεωμετρική άποψη N(t)= t Η κλίση της ε1 είναι ο μέσος ρυθμός μεταβολής Η κλίση της ε είναι ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής

7 Όρια συναρτήσεων Ορισμός του ορίου: Έστω ένας πραγματικός αριθμός και f μια συνάρτηση, ορισμένη τουλάχιστον σε ένα σύνολο της μορφής (a, ) (, b). Λέμε ότι το όριο της f () είναι L όταν το τείνει στο και συμβολίζουμε με L όταν για κάθε ε > υπάρχει δ > τέτοιο ώστε για κάθε με < - < δ να ισχύει f ()- L < ε Η f() βρίσκεται εδώ Για κάθε εδώ

8 Θεωρήματα για τα όρια L, M, πραγματικοί αριθμοί L Αν και M τότε L=M (μοναδικότητα του ορίου)

9 Όρια συναρτήσεων Αν το L και L είναι πεπερασμένος αριθμός, λέμε ότι η f() συγκλίνει στο L. Αν το όριο δεν υπάρχει τότε λέμε ότι αποκλίνει. Συμβολισμός: f() L καθώς

10 Πλευρικά όρια Αριστερό όριο: Έστω ένας πραγματικός αριθμός και f μια συνάρτηση, ορισμένη τουλάχιστον σε ένα σύνολο της μορφής (a, ). Λέμε ότι το όριο της f () είναι L όταν το τείνει στο από αριστερά και συμβολίζουμε με L όταν για κάθε ε > υπάρχει δ > τέτοιο ώστε για κάθε με -δ < < να ισχύει f ()- L <ε Δεξιό όριο: Έστω ένας πραγματικός αριθμός και f μια συνάρτηση, ορισμένη τουλάχιστον σε ένα σύνολο της μορφής (,b). Λέμε ότι το όριο της f () είναι L όταν το τείνει στο από δεξιά και συμβολίζουμε με L όταν για κάθε ε > υπάρχει δ > τέτοιο ώστε για κάθε με < < +δ να ισχύει f ()- L <ε

11 Σχέση μεταξύ πλευρικών και αμφίπλευρων ορίων Το όριο L L υπάρχει αν και μόνο αν και L Παράδειγμα Για τη συνάρτηση, f ( ) 1, 1, f ( ) 1 και f ( ) 1 Επειδή τα πλευρικά όρια δεν είναι ίσα, f ( ) δεν υπάρχει

12 Τα σαν όρια συναρτήσεων Αν ένας πραγματικός αριθμός και f μια συνάρτηση, ορισμένη τουλάχιστον σε ένα σύνολο της μορφής (a, ) (, b), θα λέμε ότι f ( ) [ ] όταν για κάθε Μ R υπάρχει δ > τέτοιο ώστε για κάθε με < - < δ να ισχύει f () > Μ [αντίστοιχα f () < Μ] Παρόμοια ορίζονται και τα πλευρικά όρια. y 1 Η συνάρτηση αυξάνει χωρίς όριο όταν το πλησιάζει το

13 Όριο συνάρτησης όταν Ορίζουμε L R όταν για κάθε ε > υπάρχει Μ R τέτοιο ώστε για κάθε > Μ να ισχύει f ()- L < ε Ορίζουμε L R όταν για κάθε ε > υπάρχει Μ R τέτοιο ώστε για κάθε < Μ να ισχύει f ()- L < ε Τα θεωρήματα που αναφέραμε ισχύουν και για όρια

14 Το όριο ρητών και εκθετικών συναρτήσεων καθώς ± Αν f() είναι μια συνάρτηση της μορφής f() = p()/q(), όπου p() είναι ένα πολυώνυμο βαθμού n και q() είναι ένα πολυώνυμο βαθμού m, τότε, αν n m p ( ) L, αν n m q ( ) + αν n m, αν n m p ( ) L, αν n m q ( ) αν n m e e

15 Λογιστική καμπύλη (logistic curve) N( t) 1 K 1 e rt t Ν(t) μέγεθος του πληθυσμού τη χρονική στιγμή t, r και Κ θετικές σταθερές και Ν()=Ν >. K N, N( t) t 1 t K N K 1 e rt K επειδή t e t Ανεξάρτητα από την αρχική τιμή N, N( t) K. Το Κ ονομάζεται φέρουσα ικανότητα (carrying capacity). t

16 Ασκήσεις Να βρεθούν τα όρια

17 Συνέχεια συναρτήσεων Ορισμός: Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα Δ και Δ. Η f είναι συνεχής στο αν και μόνο αν f ( ) Ορισμός: (Από τον ορισμό του ορίου ) Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής στο αν για κάθε ε > υπάρχει δ > τέτοιο ώστε για κάθε Δ με < - < δ να ισχύει f ()- f ( ) < ε Ορισμός: Μια συνάρτηση είναι συνεχής όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της.

18 Έλεγχος για τη συνέχεια μιας συνάρτησης στο = Ελέγχουμε αν 1. f() ορίζεται στο =. υπάρχει 3. f ( ) f ( )

19 Είδη ασυνέχειας

20 Μονόπλευρη συνέχεια Μια f συνάρτηση λέγεται συνεχής στο από αριστερά αν και μόνο αν συνεχής στο από δεξιά αν και μόνο αν Συνέχεια σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] Για μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] διακρίνουμε τις περιπτώσεις: συνεχής σε κάθε σημείο του ανοικτού διαστήματος (α,β) συνεχής στο α από δεξιά συνεχής στο β από αριστερά

21 Μονόπλευρη συνέχεια-παραδείγματα Floor function f() =, ο μεγαλύτερος ακέραιος k ακέραιος f(k) =k k k k k 1 Ceiling function f() =, ο μικρότερος ακέραιος k ακέραιος f(k) =k k k k 1 k

22 Συνδυασμός συνεχών συναρτήσεων Έστω ότι α είναι μια σταθερά και οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο =. Τότε οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς: 1. a f. f+g 3. f g 4. f / g, αν g( ) Αν g() είναι συνεχής στο = με g( )=c και η f() είναι συνεχής στο =c, τότε η είναι συνεχής στο =. ( f g)( ) ( f g)( ) f [ g( )] f [ g( )] f [ g( )] f ( c)

23 Βασικές συνεχείς συναρτήσεις Πολυωνυμικές συναρτήσεις Ρητές συναρτήσεις Εκθετικές συναρτήσεις a, a, a 1 Λογαριθμικές συναρτήσεις log, a, a 1 a Συναρτήσεις δύναμης Τριγωνομετρικές συναρτήσεις

24 Θεώρημα ενδιάμεσης τιμής Αν f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] και c ένας αριθμός μεταξύ των f(α) και f(β) [f(α) f(β)] τότε υπάρχει τουλάχιστον ένας αριθμός ξ μεταξύ α και β τέτοιος ώστε f(ξ)=c

25 Θεώρημα του Bolzano Αν f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] και f(α) f(β) <, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένας αριθμός ξ μεταξύ α και β τέτοιος ώστε f(ξ)= Θεώρημα μέγιστης-ελάχιστης τιμής Αν f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα κλειστό διάστημα [α,β], τότε υπάρχουν σημεία και στο [α,β] τέτοια ώστε f ( ) f ( ) f ( )

26 Ασκήσεις Να ορίσετε το α ώστε η συνάρτηση f() να είναι συνεχής Για ποιες τιμές των α και β η συνάρτηση f() είναι συνεχής;, 1, ) ( a a f 1, 3 1 -, 3,, ) ( f

27 Προτεινόμενη Βιβλιογραφία C. Neuhauser Calculus for biology and medicine Pearson/Prentice Hall, 4 Chapter 3: Limits and Continuity F. R. Adler. Modeling the dynamics of life: calculus and probability for life scientists. Brooks/Cole, Chapter : Limits and Derivatives.1-.3 M. R. Cullen Mathematics for the biosciences. Techbooks, 1983 Sections: 6, 7