( ) * Λύση (α) Καθώς η Χαµιλτονιανή είναι ερµιτιανός τελεστής έχουµε ότι = = = = 0. (β) Απαιτούµε

Transcript

1 ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 3 Γενάρη ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες ΘΕΜΑ [ ] Θεωρούµε κβαντικό σύστηµα που περιγράφεται από την Χαµιλτονιανή H 3ε µ iε µε ιδιοσυναρτήσεις κάποιου ερµιτιανού τελεστή και ε πραγµατικός Να βρεθούν (α) η τιµή του µ (β) οι ιδιοτιµές και (γ) τα ιδιοδιανύσµατα του τελεστή της ενέργειας (δ) Να δειχθεί ότι τα ιδιοδιανύσµατα είναι ορθογώνια Θεωρούµε ένα φυσικό µέγεθος που περιγράφεται από τον τελεστή W µε στοιχεία µήτρας χρησιµοποιώντας τα ιδιοδιανύσµατα της ενέργειας της µορφής w W w όπου w πραγµατικός (ε) Να βρεθούν ποιες είναι οι δυνατές µετρούµενες τιµές για το φυσικό µέγεθος που περιγράφεται από τον τελεστή W Την χρονική στιγµή t µετράµε την µέση τιµή του τελεστή W και βρίσκουµε µηδενική τιµή (στ) Να βρεθεί η κυµατοσυνάρτηση του συστήµατος την τυχαία χρονική στιγµή t > (ζ) Αν την τυχαία χρονική στιγµή t > µετρήσω τα φυσικά µεγέθη W και H ποιες είναι οι δυνατές µετρούµενες τιµές και µε ποιες πιθανότητες; (η) Να υπολογιστεί ο ρυθµός µεταβολής της µέσης τιµής του τελεστή W χρησιµοποιώντας την σχέση µε τον d µεταθέτη i W [ W Η ] dt (α) Καθώς η Χαµιλτονιανή είναι ερµιτιανός τελεστής έχουµε ότι * H H µ iε (β) Απαιτούµε 3ε λ iε iε λ ε det λ( λ 3 ε) ε λ 3ελ ε λ ε λ (γ) Για το πρώτο ιδιοδιάνυσµα (λε) χρειάζεται να λύσω το αλγεβρικό σύστηµα: 3ε ε iε x iε ε y ε iε x iε ε y µε το περιορισµό της κανονικότητας x y (προσοχή x y είναι γενικά µιγαδικοί) Για το δεύτερο ιδιοδιάνυσµα (λ-5ε) χρειάζεται να λύσω το αλγεβρικό σύστηµα: 3ε ε iε x iε ε y ε iε x iε ε y µε το περιορισµό της κανονικότητας x y (προσοχή x y είναι γενικά µιγαδικοί) Οι ιδιοσυναρτήσεις της ενέργειας είναι ψ i i ψ 5 5 (δ) i i i i i i ψ ψ

2 λ w (ε) Απαιτούµε det λ w λ w λ w Οπότε οι δυνατές µετρούµενες τιµές για το w λ φυσικό µέγεθος που περιγράφεται από τον τελεστή W είναι οι w και w ψ ψ ψ ψ Ακόµα βρίσκουµε ότι οι ιδιοσυναρτήσεις είναι w w Έχουµε δηλαδή W w w w W -w -w -w Γνωρίζουµε ότι W c ψ W ψ c ψ W ψ c c ψ W ψ cos ϕ Ενώ από την µορφή του τελεστή W σε πίνακα καταλαβαίνουµε ότι W wψ ψ wψ ψ W c ψ wψ ψ wψ ψ ψ c ψ wψ ψ wψ ψ ψ c c ψ wψ ψ wψ ψ ψ cosϕ c c w cos ϕ άρα έχουµε Από την τελευταία σχέση καταλαβαίνουµε ότι έχουµε µηδενική µέση τιµή για c (οπότε και c ) ή για c (οπότε και c ) ή για cosϕ ϕ ± π / (στ) Έτσι η κυµατοσυνάρτηση του συστήµατος για t είναι µία από τις παρακάτω ψ( xt ) ψ ψ( xt ) ψ ± / ψ( xt ) P ψ Pe π ψ P ψ ± i P ψ Οπότε η κυµατοσυνάρτηση του συστήµατος την τυχαία χρονική στιγµή t > είναι ψ( xt ) ψ ψ( xt ) ψ ψ( xt ) P ψ e ± i P ψ e i ε t / i ε t / Μια ισοδύναµη µέθοδος είναι η ακόλουθη Αφού την χρονική στιγµή t µετράµε µηδενική µέση τιµή του τελεστή W και οι ιδιοτιµές είναι αντίθετες θα πρέπει να εµφανίζονται µε ίση πιθανότητα ηλαδή ψ ( x t ) e w w Οπότε ψ ( xt ) e ψ e ( e ) ( e ψ ψ ψ ) w w ψ ψ ( ) ( ) / / / / / / e e e e e e ψ ψ cos ( ϑ/ ) ψ i sin ( ϑ/ ) ψ όπου ϑ µια τυχαία γωνία Η έκφραση αυτή είναι ισοδύναµη µε την ψ( xt ) P ψ ± i P ψ Ακριβολογώντας η ( ϑ ) ψ i ( ϑ ) cos / sin / ψ είναι ισοδύναµη µε την P ψ i P ψ για ϑ π και P ψ i P ψ για π ϑ π (ε) Καθώς για τις δυο πρώτες περιπτώσεις έχουµε στάσιµη κατάσταση η µέτρηση της ενέργειας θα δίνει µε ενώ για τον τελεστή W θα µπορεί να εµφανισθούν % πιθανότητα την τιµή ε ( ψ ) ή την τιµή -ε ( ψ ) σε κάθε µέτρηση οι w και w µε ίση πιθανότητα (5%) ε Αν η κυµατοσυνάρτηση είναι η ψ( x t) P ψ e ± i P ψ e µε πιθανότητα την τιµή ε Ενώ για τον τελεστή W έχουµε P i t/ iεt/ ψ και µε πιθανότητα P την τιµή -ε η µέτρηση της ενέργειας θα δίνει ψ

3 w w w w ψ( xt ) P ψ e ± i P ψ e P e ± i P e i εt/ iεt/ i εt/ iεt/ i εt/ iεt/ i εt/ iεt/ Pe ± i Pe Pe i Pe w w Οπότε η ιδιοτιµή w εµφανίζεται µε πιθανότητα i εt/ iεt/ i εt/ iεt/ i εt/ iεt/ ± ± Pe i Pe Pe i Pe Pe i Pe i5 εt/ i5 εt/ ( ) P P i P P ± e e ± P( P) sin( 5 εt/ ) και προφανώς η ιδοτιµή -w εµφανίζεται µε πιθανότητα P( P) sin( 5 εt/ ) (η) Έχουµε d < W > < [W Η ] > όπου dt i [W Η ] WH HW ( wψ ψ wψ ψ )( ε ψ ψ ε ψ ψ ) ( ε ψ ψ ε ψ ψ )( wψ ψ wψ ψ ) ( εwψ ψ εwψ ψ ) ( εwψ ψ εwψ ψ ) 5εw( ψ ψ ψ ψ ) Άρα για τις δύο πρώτες περιπτώσεις ψ ( xt ) ψ ή ψ ( xt ) ψ έχουµε [W Η ] 5εw ψ ψ ψ ψ ψ 5εw ψ ψ ψ ψ ψ και ± ± d W dt < > Η κυµατοσυνάρτηση ψ( x t) P ψ e ± i P ψ e ( ) i εt/ iεt/ [W Η ] ψ( xt ) 5εw ψ ψ ψ ψ ψ( xt ) δίνει iεt/ iεt / iεt/ iεt / ( Pe ψ i Pe ψ )( 5εw( ψ ψ ψ ψ ))( P ψ e i P ψ e ) ± i5εt/ i5εt/ ( ) ( ) ( ) i5εw P P e i5εw P P e iεw P P cos 5εt / d dt και < W > ( εw/ ) P ( P ) cos( 5εt / ) ΘΕΜΑ [] Ηλεκτρόνιο βρίσκεται περιορισµένο σε συµµετρικό απειρόβαθο πηγάδι δυναµικού εύρους L Η αρχική νορµαλισµένη κυµατοσυνάρτηση του ηλεκτρονίου είναι πx πx ψ ( xt ) cos i c sin / L για x L/ όπου c πραγµατικός L L (α) Να βρεθεί µέση αρτιότητα (parity) την χρονική στιγµή t ψ x t (β) Να προσδιοριστεί η (γ) Να υπολογιστεί η µέση ενέργεια του συστήµατος (δ) Να υπολογιστεί η µέση αρτιότητα του συστήµατος την τυχαία χρονική στιγµή t Έχουµε

4 πx πx πx ic πx πx πx ic πx ic ψ ( xt ) cos ( i c sin ) / L cos sin cos cos sin ψ ψ L L L L L L L L L L L / / Άρα P και P / 3/ οπότε P (α) Η µέση αρτιότητα είναι (β) E * P P ( ) P ( ) / 3/ 5 ic ic ic ic c 3 c 3 6 iet / 3 iet / πx iet / i 3 πx iet ψ ( xt ) ψe i ψe cos e sin e / L L L L π E E ml 3E 3 π E PE PE 5 E 3E 5 E 3 E 8mL και όπου (γ) (δ) Έχουµε συµµετρικό δυναµικό οπότε η αρτιότητα διατηρείται ( d < P > < [P Η ] > < > ) dt i i Άρα την τυχαία χρονική στιγµή t θά έχει την ίδια τιµή µε αυτή της t ηλαδή P () t 5 ΘΕΜΑ 3 [5] Θεωρούµε ηλεκτρόνιο περιορισµένο σε µονοδιάστατο κβαντικό σύστηµα µε δυναµική ενέργεια V( x) cδ ( x) µε c 39 ev nm Να βρεθούν (α) η µέση ενέργεια του συστήµατος σε ev (β) η αβεβαιότητα της ενέργειας και (γ) η πιθανότητα (%) να βρεθεί το ηλεκτρόνιο στην περιοχή Χρήσιµες Φυσικές σταθερές [ nm nm] J s me 9 kg e 6 C Από τις παραδόσεις του µαθήµατος και από άσκηση στο βιβλίο ασκήσεων του Τραχανά γνωρίζουµε ότι έχουµε µία δέσµια κατάσταση µε ενέργειας στάσιµη κατάσταση (α) mc 3 ( 5 J s) mc x E και ιδιοσυνάρτηση ( x) γ e γ mc Ψ όπου γ Άρα έχουµε kg 39eV nm 9 kg 39 ev nm E E ev kg 39 6 J m kg m / s J ev ev ev 68 5 J (β) Σε στάσιµη κατάσταση η αβεβαιότητα ενέργειας έχει µηδενική τιµή (γ) Η πιθανότητα να βρεθεί το ηλεκτρόνιο στην περιοχή [ x x ] υπολογίζεται από την σχέση x x x x x x * * * x x x x x ( x) ( x) dx ( x) ( x) dx ( x) ( x) dx e γ e γ dx e γ dx e γ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ γ γ γ e γ x x Τώρα mc 9 kg 39eV nm 9 kg 39 6 J m kg m / s J γ m 5nm J Καθώς γ x 5 e e 36 6 η πιθανότητα είναι 6%

5 ΘΕΜΑ [75575] Ένας αρµονικός ταλαντωτής βρίσκεται στις δύο πρώτες ενεργειακές καταστάσεις του ψ x αν γνωρίζουµε ότι E 5/ x 3/8 (α) Προσδιορίστε την (β) Υπολογίστε την µέση τιµή της ορµής από την σχέση p ( Ψ ( x) pˆ Ψ ) x (γ) Υπολογίστε την µέση τιµή της ορµής χρησιµοποιώντας τους τελεστές a a Υπόδειξη: αx π n αx 3 (n ) π x / x / n Ψ Ψ α ( α) α π π e dx x e dx e xe (α) Έχουµε E PE PE (/ ) P (3 / ) P 5 / και καθώς P P βρίσκουµε P c / P c 3/ Ακόµα γνωρίζουµε ότι x c c x cosδ όπου x καθώς x / x / x / π π x Ψ ( x) xψ ( x) dx e x( xe ) dx x e dx x άρα x 3/ 8 c c x cosδ / 3 / / cosδ 3/ 8 cosδ cosδ δ Έτσι η κυµατοσυνάρτηση είναι Ψ ( x) (/) Ψ ( 3/) Ψ (β) Έχουµε * Ψ( x) Ψ 3Ψ Ψ 3Ψ p Ψ ( x) pˆ Ψ ( x) dx Ψ( x)( i ) dx i dx i Ψ Ψ 3 3 dx Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ i 3 Ψ dx Ψ Ψ Ψ dx Ψ dx Ψ Ψ Ψ Ψ dx Όπου τα ολοκληρώµατα Ψ µηδενίζονται καθώς Ψ Ψ Ψ είναι περιττές συναρτήσεις ενώ το ολοκλήρωµα πρέπει να δίνει µηδέν αλλιώς η µέση ορµή θα ήταν µιγαδική! (επιβεβαιώστε υπολογίζοντας και τα ολοκληρώµατα) Επίσης από την σχέση p c c p sinδ και καθώς δ βρίσκουµε άµεσα ότι p (γ) Η κυµατοσυνάρτηση είναι Ψ (/ ) ( 3 / ) (φορµαλισµος Dirac) έτσι ( ) i a a a a p Ψ Ψ a a a i i i i 3 3 i i i i i i i i i i i ΘΕΜΑ 5 [55555] Θεωρούµε µονοδιάστατο κβαντικό σύστηµα του οποίου η δυναµική ενέργεια είναι V( x) VΘ ( x) Θ( L x) 3 VΘ( x) Θ( L x) Σωµάτιο µάζας m και ενέργειας E V σκεδάζεται ερχόµενο από το (α) Αναπαραστείστε γραφικά την συνάρτηση δυναµικής ενέργειας (β) Γράψτε τις κυµατοσυναρτήσεις σε όλες τις περιοχές

6 (γ) Γράψτε όλες τις συνθήκες συνέχειας (δ) Σκιαγραφείστε την µεθοδολογία για την εύρεση του συντελεστή ανάκλασης ή διέλευσης x < Υπόδειξη: Η συνάρτηση βήµατος ορίζεται ως Θ ( x) x > Πάτρα8//3