Να εκτιµηθούν οι ιδιοκαταστάσεις του συστήµατος για τις δέσµιες καταστάσεις.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Να εκτιµηθούν οι ιδιοκαταστάσεις του συστήµατος για τις δέσµιες καταστάσεις."

Transcript

1 Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδια(ΑΚΠα), < Θεωρούµε κβαντικό πηγάδι µε δυναµικό της µορφής V( ) = VΘ( ), Να εκτιµηθούν οι ιδιοκαταστάσεις του συστήµατος για τις δέσµιες καταστάσεις V Ε Ι ΙΙ Σχήµα ΑΚΠα1 Σχηµατική αναπαράσταση του κβαντικού πηγαδιού µε δυναµικό της, < µορφής V( ) = µε V > VΘ( ), Μεθοδολογία- Εξισώσεις Schrödinger Αρχικά γράφουµε τις εξισώσεις Schrödinger για τις περιοχές διαφορετικού δυναµικού Η εξίσωση Schrödingerι για την περιοχή είναι ( ) me = Eψ ( ) ( ) ( ) ψ + k ψ m d =, ενώ για την περιοχή Ι είναι ( ) mv ( E) + V ψ ( ) = Eψ ( ) ψ ( ) k ψ ( ) m d = (δέσµιες καταστάσεις, δηλαδή E < V ) Οι λύσεις των διαφορικών εξισώσεων στις δύο περιοχές είναι προφανώς k k ψ ( ) = A cosk + B sin k, ψ ( ) = A e + B e Συνοριακές συνθήκες-εξίσωση ιδιοτιµών Ενέργειας Καθώς από την συνοριακή συνθήκη της κυµατοσυνάρτησης στο =, έχουµε ψ ( = ) =, εκτιµούµε ότι A = ψ ( = ) = A cosk + B sink = A =, ενώ από το γεγονός ότι η ( ) κυµατοσυνάρτηση για να είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιµη πρέπει να µηδενίζεται για πολύ µεγάλα, εκτιµούµε ότι ( ( ) k k k A = ψ = A e + Be = Ae = A = ) Οι ενεργειακές καταστάσεις του πηγαδιού υπολογίζονται από την σχέση που προκύπτει από τις συνοριακές συνθήκες στη θέση = ηλαδή έχουµε k ψ ( = ) = ψ ( = ) B sink = B e ψ ( = ) = ψ ( = ) k B cosk = k B e k

2 ιαιρώντας τις δύο αυτές σχέσεις βρίσκουµε την συνθήκη από την οποία εκτιµούµαι τις δυνατές k ενεργειακές καταστάσεις tan k = k Η συνθήκη αυτή δεν είναι παρά η συνθήκη που έχουµε βρει για τις περιττές λύσεις του συµµετρικού τετραγωνικού πηγαδιού πάχους (βλέπε άσκηση ΠΚΠα και οποιοδήποτε βιβλίο Κβαντοµηχανικής) Καθώς οι λύσεις όπου µηδενίζεται η κυµατοσυνάρτηση στο =, είναι οι περιττές ψ ( ) = ψ( ) ψ() = ψ() ψ() = ) Ουσιαστικά οι λύσεις του προβλήµατος αυτού ( { } δεν είναι παρά ΑΚΠα) οι περιττές λύσεις του συµµετρικού τετραγωνικού πηγαδιού πάχους (σχήµα 5, 4,5 4, 3,5 3,,5, 1,5 1,,5, -,5-1, -1,5 -, V Σχήµα ΑΚΠα Σχηµατική αναπαράσταση του κβαντικού πηγαδιού µε δυναµικό της, < µορφής V( ) = µε V > Παρατηρούµε ότι το δυναµικό αυτό VΘ( ), µπορεί να προέρθει από ένα δυναµικό συµµετρικού τετραγωνικού πηγαδιού πάχους ([-,]), όταν θεωρήσουµε ότι το µισό δυναµικό απειρίζεται Από το σχήµα αυτό γίνεται φανερό ότι οι λύσεις του συµµετρικού πηγαδιού µε άρτια αρτιότητα δεν είναι αποδεκτές λύσεις για το µη συµµετρικό πηγάδι, καθώς στην θέση = δεν µηδενίζονται Αντιθέτως, οι περιττής αρτιότητας λύσεις µηδενίζονται στην θέση = και είναι οι λύσεις του προβλήµατος αυτού Γραφική διερεύνηση λύσεων Προφανώς οι ακριβείς λύσεις του προβλήµατος ιδιοτιµών µπορούν να βρεθούν µόνο αριθµητικά (εκτός από κάποιες ειδικές ή οριακές περιπτώσεις, µπορείτε να σκεφτείτε κάποιες;) από την επίλυση ως προς k me E Ε(Ε<V, δέσµιες καταστάσεις) της εξίσωσης tan k = tan = k V E Πρώτη µέθοδο Μια προσεγγιστική εκτίµηση των ιδιοτιµών της ενέργειας µπορούµε να πάρουµε από την εξής γραφική mv µέθοδο Καθώς k + k = U, µπορούµε να θέσουµε k = U cos ϑ, k = U sinϑ, όπου ϑ µια γωνία µε τον µοναδικό περιορισµό να βρίσκεται στο πρώτο τεταρτηµόριο ( ϑ π /), καθώς αµφότερα k, k > και το ίδιο θα πρέπει να ισχύει για το cos ϑ,sinϑ >

3 k Η σχέση tan k = γίνεται k cosϑ sin( ϑ π / ) tan k = = = tan( ϑ π / ) sinϑ cos( ϑ π / ) k= ϑ π /+ nπ, όπου n είναι ένας µη µηδενικός ακέραιος (n= δίνει αρνητικό ) Η τελευταία σχέση γράφεται ισοδύναµα, k = U cos ϑ = ϑ+ (n 1) π / Ορίζοντας την γεωµετρική (καθώς εξαρτάται από τα γεωµετρικά στοιχεία του πηγαδιού) παράµετρο λ U, οι ιδιοκαταστάσεις του συστήµατος υπολογίζονται από την σχέση λ cos ϑ = ϑ+ mπ / cos ϑ = ϑ/ λ+ mπ /( λ ), όπου m (=1,3,5, ) θετικός περιττός ακέραιος Η ακριβής λύση της παραπάνω αλγεβρικής σχέσης γίνεται αριθµητικά Μπορούµε να έχουµε όµως µια προσεγγιστική εκτίµηση των ιδιοενεργειών του συστήµατος µέσω της γραφικής αναπαράστασης της µη γραµµικής εξίσωσης k 1,5 m=3 1,,75,5,5 m=1 cosθ,,,,4,6,8 1, 1, 1,4 1,6 1,8, θ θ π/ 3 1 θ Σχήµα ΑΚΠα3 Γραφική αναπαράσταση της µη γραµµικής εξίσωσης cos ϑ = ϑ/ λ+ mπ /( λ), από την οποία υπολογίζονται οι ιδιοενέργειες του συστήµατος Ουσιαστικά οι γραφικές λύσεις περιγράφονται από τα σηµεία τοµής του γραφήµατος της συνάρτησης cosϑ (για ϑ π /) και της ευθείας ϑ / λ+ mπ /( λ) Στο παρόν σχήµα η παράµετρος λ ( = U = mv / ) έχει την τιµή 5 (τι πάχος πηγαδιού δίνει αυτή την τιµή, αν V = 4meV ;) Οι δύο ευθείες τέµνουν τον κάθετο άξονα στα σηµεία που προσδιορίζονται από το mπ /( λ ) Είναι δηλαδή 1π και 3π για m=1,3 αντίστοιχα Από τις τοµές των δύο αυτών ευθειών ϑ, ϑ στην γραφική) µε την συνάρτησης cosϑ, βρίσκουµε τις ζητούµενες γωνίες ( 1 3 Από την σχέση k = U cosϑ me = mv cosϑ E = V (cosϑ), εκτιµούµε τις ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας Προφανώς στο παράδειγµα του παρόντος σχήµατος, οι ιδιοκαταστάσεις είναι δύο, καθώς η επόµενη τιµή του m(=5), περιγράφει ευθεία που τέµνει τον κάθετο άξονα σε τιµή µεγαλύτερη από την µονάδα (5π ) και προφανώς δεν υπάρχει σηµείο τοµής της ευθείας αυτής µε την συνάρτηση cosϑ (το τελευταίο ισχύει εφόσον η κλίση της ευθείας είναι πάντα θετική, καθώς 1/ λ = 1/( U ) > ) εύτερη µέθοδο Προσεγγιστική εκτίµηση των ιδιοενεργειών του συστήµατος µπορεί να πραγµατοποιηθεί µέσω της k γραφικής αναπαράστασης της σχέσης tan k = Η οποία γράφεται ισοδύναµα k

4 k k tan k = ( k ) tan = = k k ( = U ( k ) ) λ (σχήµα ΑΚΠα4) (ακτίνια) Σχήµα ΑΚΠα4 Γραφική αναζήτηση λύσεων της µη γραµµικής εξίσωσης tan = λ, από την οποία υπολογίζονται οι ιδιοενέργειες του συστήµατος Ουσιαστικά οι γραφικές λύσεις περιγράφονται από τα σηµεία τοµής του γραφήµατος της συνάρτησης tan και της συνάρτησης λ (η οποία ορίζεται στην περιοχή [,λ], καθώς για >λ έχουµε Ε>V και η ποσότητα στην ρίζα γίνεται αρνητική) Στο παρόν σχήµα η παράµετρος λ ( = U = mv / ) έχει την τιµή 5 (ίδια µε αυτή του προηγούµενου σχήµατος ΑΚΠα3) Οι δύο καµπύλες τέµνονται σε δύο σηµεία πλην του τετριµµένου στην αρχή των αξόνων (περιγράφει την λύση =, που δεν έχει φυσική σηµασία καθώς µηδενίζονται και οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις) Προφανώς τα δύο αυτά σηµεία περιγράφουν τις ίδιες ιδιοενέργειες µε αυτές που εκτιµήθηκαν στο σχήµα ΑΚΠα3 Πράγµατι, η δεύτερη λύση (υψηλότερης ενέργειας) αντιστοιχεί σε πολύ κοντά στο λ (βλέπε γραφική όπου η τοµή των καµπυλών είναι πολύ κοντά στην περιοχή που η καµπύλη του δεξιού µέρους απειρίζετα) ηλαδή λ k U E V Η περίπτωση αυτή αντιστοιχεί στην λύση που περιγράφεται από την γωνία θ 3 (του προηγούµενου σχήµατος) η οποία είναι κοντά στο µηδέν και δίνει E = V (cos ϑ) E V Μπορείτε να ελέγξετε, προσεγγιστικά τι συµβαίνει για την άλλη ιδιοκατάσταση της ενέργειας; Παρατηρούµε στο σχήµα ΑΚΠα5, ότι ο αριθµός των δυνατών ιδιοκαταστάσεων του κβαντικού συστήµατος εξαρτάται άµεσα από το λ (για τιµές της ανεξάρτητης µεταβλητής µεγαλύτερες του λ, η συνάρτηση λ δεν ορίζεται) Για λ =14, που είναι µικρότερο του π/ δεν έχουµε καµία λύση, δηλαδή στο πηγάδι δυναµικού δεν υπάρχει καµία ιδιοκατάσταση ενέργειας Όταν το λ είναι στην περιοχή π/ έως 3π/, έχουµε µία λύση κοκ Ο αριθµός των ιδιοκαταστάσεων εκτιµάται από την σχέση nt[ λ / π ] (όπου nt δίνει το ακέραιο µέρος του αριθµού, δηλαδή ο ακέραιος που προκύπτει από την αποκοπή του δεκαδικού µέρους του αριθµού) Έχουµε δηλαδή, ότι ο αριθµός εκτιµάται από την σχέση nt[ λ/ π ] + Mode( nt[ λ / π],) / (όπου Mode( nt [ λ / π ],), είναι το υπόλοιπο της ( ) διαίρεσης το ακεραίου nt[ λ / π ] µε το, όπου πρακτικά είναι όταν ο ακέραιος είναι ζυγός και 1 όταν είναι µονός) Τώρα η τιµή του λ, εξαρτάται από τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά του πηγαδιού, δηλαδή από το πάχος και το ύψος του, καθώς λ ( = U = mv / ) Αν το πάχος εκτιµάται σε Ǻ

5 και το δυναµικό σε ev το λ υπολογίζεται από την σχέση λ = V, αν το σωµάτιο που βρίσκεται στο πηγάδι είναι ηλεκτρόνιο Στην γενική περίπτωση οποιοδήποτε σωµατιδίου µάζας m, ο τύπος διαφοροποιείται σε λ = V m/ m, όπου e m είναι η µάζα του ηλεκτρονίου e λ= λ= 4 λ= 74 λ= Γενικά, από την σχέση cos ϑ = ϑ/ λ+ mπ /( λ), καταλαβαίνουµε ότι για να έχουµε µία τουλάχιστον δέσµια ιδιοκατάσταση στο πηγάδι δυναµικού θα πρέπει λ > π /, δηλαδή π /( λ ) < 1 Έτσι για δεδοµένο δυναµικό η παραπάνω συνθήκη σηµαίνει > π / 8 mv (πχ για V 1meV η () Σχήµα ΑΚΠα5 Γραφική αναζήτηση λύσεων της µη γραµµικής εξίσωσης tan = λ, για διάφορες τιµές του λ Παρατηρούµε ότι ο αριθµός των δυνατών ιδιοκαταστάσεων του κβαντικού συστήµατος εξαρτάται άµεσα από το λ Ο αλγόριθµος είναι απλός, ο αριθµός των ιδιοκαταστάσεων είναι ίσος µε το µισό του ακεραίου µέρους του λόγου λ / π όταν το ακέραιο µέρος είναι άρτιος ακέραιος και ίσος µε το µισό του ακεραίου µέρους του λόγου λ / π µειωµένο κατά µία µονάδα όταν το ακέραιο µέρος είναι περιττός ακέραιος Ενδεικτικά παραθέτουµε πίνακα µε τιµές των γεωµετρικών παραµέτρων του πηγαδιού και τα αντίστοιχα λ από τα οποία εκτιµάται ο αριθµός των δέσµιων ιδιοκαταστάσεων του πηγαδιού (Ǻ) V (mev) λ Αριθµός δέσµιων ιδιοκαστάσεων V συνθήκη δίνει > 97Ǻ) Ενώ για δεδοµένο πάχος, η αντίστοιχη συνθήκη είναι V > /8m (πχ για =1Ǻ η συνθήκη δίνει V = 9411m ev ) π =

6 Από την στιγµή που γνωρίζουµε τις ιδιοενέργειες, γνωρίζουµε και τα κυµατανύσµατα k, k Έτσι υπολογίζουµε ακριβώς τις ιδιοσυναρτήσεις Οι σχέσεις προκύπτουν από τον νορµαλισµό των ιδιοσυναρτήσεων (βλέπε πρόβληµα ΠΚΠα) Νορµαλισµός: + k B B B k 1= Ψ sin sin d + Ψ d = B k d + B e d = k + e = 4k k k B (καθώς B sin k = Be sin k 1 1 ) = + + = sin k k tank k k B ( ) sin k 1 k k + k B 1+ k k (αφού tan k = ) = + + = B = k k k k k 1 + k και k k k k k B = B sin k e = = e ( = Uo) k 1+ k k 1 + k U + k me m όπου τα k, k προσδιορίζονται από k = και k = ( V E ) Παρατηρούµε, ότι ουσιαστικά έχουµε τις εκφράσεις του τετραγωνικού δυναµικού, µε µοναδική διαφορά το αριθµητικό συντελεστή (), ο οποίος οφείλεται στο γεγονός ότι η ολοκλήρωση γίνεται στο µισό διάστηµα (,) Προσπαθήστε να επιβεβαιώσετε ότι για την περίπτωση που το πεπερασµένο δυναµικό γίνεται πολύ µεγάλο (V ), τα αποτελέσµατα µας ταυτίζονται µε αυτά του απλού απειρόβαθου πηγαδιού 1/

7 Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδιβ(ΑΚΠβ), > Θεωρούµε κβαντικό πηγάδι µε δυναµικό της µορφής V( ) = VΘ ( + a) Θ( a), Να εκτιµηθούν οι ιδιοκαταστάσεις του συστήµατος V Ε Ι - -a ΙΙ a Σχήµα ΑΚΠβ1 Σχηµατική αναπαράσταση του κβαντικού πηγαδιού µε δυναµικό της, > µορφής V( ) = µε V Στο δυναµικό αυτό, όλες οι > VΘ( a) Θ ( + a), δυνατές ενεργειακές καταστάσεις είναι δέσµιες Αρχικά ασχολούµαστε µε την περίπτωση E < V Η εξίσωση Schrödingerι για τις περιοχές και ΙΙΙ είναι ( ) me = Eψ ( ) ( ) ( ) ψ + k k ψ m d =, ( ) me = Eψ ( ) ( ) ( ) ψ + k = k ψ m d =, ενώ για την περιοχή Ι είναι ( ) mv ( E) + V ψ ( ) = Eψ ( ) ψ ( ) k = γ ψ ( ) m d = (για E < V ) Οι λύσεις των διαφορικών εξισώσεων στις τρεις περιοχές είναι προφανώς γ γ ψ ( ) = A cos k + B sin k, ψ ( ) = A e + B e, ψ ( ) = A cos k + B sink Από την συνοριακή συνθήκη της κυµατοσυνάρτησης στο =-, έχουµε ψ ( = ) =, εκτιµούµε ότι ψ ( ) = A cosk B sink= A = B tank Έτσι ψ ( ) = A cosk + B sin k = ( B / cos k)sink cos k + ( B / cos k)cosksink = C sin k( + ) Ανάλογα βρίσκουµε ότι η ψ ( ) = C sin k( ) Αµφότερες οι εκφράσεις είναι αναµενόµενες καθώς είναι αυτές που µηδενίζονται για =- και = αντίστοιχα Ακόµα, καθώς το δυναµικό είναι συµµετρικό (V( ) = V( ) ), οι ιδιοκαταστάσεις του συστήµατος θα είναι άρτιες ή περιττές Για να συµβαίνει αυτό, καθώς ψ ( ) = C sin k( + ) =± ψ ( ) =± C sin k( ) C = C Θα πρέπει C =± C, όπου το αρνητικό(θετικό) πρόσηµο αντιστοιχεί στις άρτιες(περιττές) ιδιοκαταστάσεις

8 Η λύση στην ενδιάµεση περιοχή είναι προφανώς της µορφής ψ ( ) = A coshγ= D coshγ, για γ γ γ γ τις άρτιες λύσεις Καθώς ψ ( ) = Ae + Be = ψ ( ) = Ae + Be, δίνει A = B Ενώ για τις περιττές έχουµε ( ) A e γ B e γ ψ = + = ψ ( = A e γ B e γ, που εκτιµά ότι ) A = B, δηλαδή λύση της µορφής ψ ( ) = A sinhγ= D sinhγ Για να βρούµε τις ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας χρησιµοποιούµε τις σχέσεις από τις συνοριακές συνθήκες στα σηµεία ασυνέχειας του δυναµικού ( = ± a ) Λόγω της συµµετρίας του προβλήµατος η οποία έχει ήδη εκφραστεί στις ιδιοσυναρτήσεις µας, δεν χρειάζεται παρά να χρησιµοποιήσουµε τις συνθήκες σε ένα σηµείο ασυνέχειας (µπορείτε να αποδείξετε ότι ισχύει;) Εργαζόµαστε στο = a Άρτιες λύσεις Συνέχεια συνάρτησης, ψ ( a) = ψ ( a) D coshγa= C sin k( a ) Συνέχεια παραγώγου συνάρτησης, ψ ( a) = ψ ( a) Dγ sinhγa= Ckcos k( a ) ιορώντας τις δυο αυτές σχέσεις βρίσκουµε την συνθήκη για την εκτίµηση των ιδιοενεργειών tan k ( a) tanh γ a= k/ γ Περιττές λύσεις Συνέχεια συνάρτησης, ψ ( a) = ψ ( a) D sinhγa= C sin k( a ) Συνέχεια παραγώγου συνάρτησης, ψ ( a) = ψ ( a) Dγ coshγa= Ckcos k( a ) ιαιρώντας τις δυο αυτές σχέσεις βρίσκουµε την συνθήκη για την εκτίµηση των ιδιοενεργειών tan k ( a)coth γ a= k/ γ Για αµφότερες τις περιπτώσεις παρατηρούµε ότι όταν το πάχος του ενδιάµεσου φράγµατος γίνεται πολύ µεγάλο (a ), οι ιδιοενέργειες ταυτίζονται µε αυτές του προηγούµενου προβλήµατος(όταν προφανώς και, έτσι ώστε a) Πράγµατι, αµφότερα tanh γ a, cothγ a 1 για a και η δυο παραπάνω συνθήκες γίνονται tan k ( a) = k/ γ Η τελευταία είναι η συνθήκη που βρήκαµε στο προηγούµενο πρόβληµα και περιγράφει δυο ανεξάρτητα πηγάδια (σε άπειρη απόσταση), όπως αυτά του προηγούµενου προβλήµατος (ΑΚΠα) µε πάχος ( a) Ας προχωρήσουµε τώρα σε µια γραφική διερεύνηση των ιδιοσυναρτήσεων Αρχίζουµε µε τις περιττές ιδιοενέργειες Η εξίσωση που τις περιγράφει είναι tan k ( a)coth γ a= k/ γ, η οποία γράφεται ισοδύναµα k a tan k ( a) = tanh γa tan = tanh λ γ, όπου k ( a) κα λ a λ ( a) mv / Από την γραφική ΑΠΚβ παρατηρούµε ότι όσο ο λόγος a ( a ) = r/ a τείνει στο άπειρο (για σταθερό πάχος πηγαδιού a) η tanh a λ τείνει στην µονάδα και όπως είναι αναµενόµενο το σύστηµα γίνεται ισοδύναµο µε αυτό του προηγούµενου προβλήµατος (σύγκρινε το σχήµα ΑΚΠβ για r= και το σχήµα ΑΚΠα4) Στην περίπτωση που έχουµε ενδιάµεσες τιµές του r (πχ r=16 δηλαδή το πάχος του φράγµατος έχει 16 φορές το πάχος του πηγαδιού), παρατηρούµε ότι έχουµε δύο δυνατές ιδιοτιµές ενέργειας Μάλιστα, η πρώτη ιδιοκατάσταση έχει τιµή πρακτικά ίδια µε αυτή του προηγούµενου προβλήµατος (άπειρο φράγµα δυναµικού) Στις άλλες δύο περιπτώσεις που µελετάµε, µε φράγµα δυναµικού σχετικά µικρό (r=4) η πολύ µικρό (r=), βρίσκουµε ότι µία µόνο ιδιοκατάσταση υπάρχει στο σύστηµα Η οποία τώρα είναι διαφορετική από αυτή του µεγάλου φράγµατος δυναµικού (σύγκρινε τα σηµεία τοµής των περιπτώσεων µε r= και 4 µε το σηµείο τοµής των περιπτώσεων µε r=16 και ) Μάλιστα, όσο µικρότερο είναι το φράγµα δυναµικού τόσο περισσότερο είναι µετατοπισµένη η ιδιοτιµή της ενέργειας του συστήµατος ηλαδή, για πεπερασµένο πάχος φράγµατος η ενέργεια της περιττής ιδιοκατάστασης είναι µεγαλύτερη από την ενέργεια της θεµελιώδους κατάστασης του συστήµατος µε άπειρο πάχος

9 φράγµατος Οριακά όταν το r τείνει στο µηδέν το σηµείο τοµής είναι το =π (είναι αναµενόµενο; σε ποία ενέργεια αντιστοιχεί; πρακτικά έχουµε ένα απειρόβαθο πηγάδι πάχους ) Για τα µικρά φράγµατα δυναµικού (α µικρό), ( λ ) tanh r r λ (καθώς 3 tanh w ( w+ w /3)/( + w ) w), έχουµε tan = r / (δηλαδή η δεύτερη εξίσωση γίνεται γραµµική, όπως επιβεβαιώνεται στο σχήµα ΑΚΠβ) r= r= r=16-6 r= (ακτίνια) Σχήµα ΑΚΠβ Γραφική αναζήτηση λύσεων της µη γραµµικής εξίσωσης a tan = tanh λ, από την οποία υπολογίζονται οι ιδιοενέργειες του λ a συστήµατος για τις ιδοσυναρτήσεις µε περιττή αρτιότητα Οι γραφικές λύσεις περιγράφονται από τα σηµεία τοµής του γραφήµατος της συνάρτησης tan και της λ tanh a λ ( a) = λ tanh r λ (η οποία συνάρτησης ( ) ( ) ορίζεται στην περιοχή [,λ]) Ενώ χρησιµοποιούµε την παράµετρο r, r a/( a), η οποία είναι ο λόγος του πάχους του φράγµατος δυναµικού µε το πάχος εκάστου πηγαδιού δυναµικού (βλέπε σχήµα ΑΚΠβ1) Στο παρόν σχήµα η παράµετρος λ ( = U = mv / ) έχει την τιµή 5 (ίδια µε αυτή του προηγούµενου σχήµατος ΑΚΠα3 και ΑΚΠα4) Τα αποτελέσµατα σχολιάζονται στο κείµενο Συνεχίζουµε µε τις άρτιες ιδιοενέργειες Η εξίσωση που τις περιγράφει είναι tan k ( a) tanh γ a= k/ γ, η οποία γράφεται ισοδύναµα a tan = coth λ (όπου πάλι k ( a) ) Από την γραφική ΑΠΚβ3 λ a παρατηρούµε ότι όσο ο λόγος a ( a ) = r/ τείνει στο άπειρο (για σταθερό πάχος πηγαδιού a ) a η coth a λ τείνει στην µονάδα και η τιµή της ιδιοενέργειας συµπίπτει µε αυτή των περιττών λύσεων (σύγκρινε µε το σχήµα ΑΚΠβ, είναι αναµενόµενο, οι ιδιοσυναρτήσεις είναι διαφορετικές (εκφυλισµός);) Στις περιπτώσεις που µελετάµε, µε φράγµα δυναµικού σχετικά µικρό (r=4) η πολύ µικρό (r=), βρίσκουµε ότι υπάρχουν στο σύστηµα δύο ιδιοκαταστάσεις Η µικρότερης ενέργειας ιδιοκατάσταση είναι διαφορετική από αυτή του µεγάλου φράγµατος δυναµικού (σύγκρινε τα σηµεία τοµής των περιπτώσεων µε r= και 4 µε το σηµείο τοµής των περιπτώσεων

10 µε r=16 και ) Μάλιστα, όσο µικρότερο είναι το φράγµα δυναµικού τόσο περισσότερο είναι µετατοπισµένη η ιδιοτιµή της ενέργειας του συστήµατος ηλαδή, για πεπερασµένο πάχος φράγµατος η ενέργεια της άρτιας ιδιοκατάστασης είναι µικρότερη από την ενέργεια της θεµελιώδους κατάστασης του συστήµατος µε άπειρο πάχος φράγµατος Είναι πολύ ενδιαφέρον να παρατηρήσουµε ότι υπάρχει και δεύτερη ιδιοκατάσταση της ενέργειας, η οποία είναι κοντά στην αντίστοιχη ιδιοκατάσταση του µονού πηγαδιού (προηγούµενο πρόβληµα), αλλά είναι πάντα µικρότερη ενεργειακά (που φαίνεται αυτό;) Πάντως για r πολύ µικρό το τείνει στο 3π/ Οριακά όταν το r τείνει στο µηδέν το σηµείο τοµής είναι το =π (είναι αναµενόµενο; σε ποία ενέργεια αντιστοιχεί; έχουµε ένα απειρόβαθο πηγάδι πάχους ) Για τα µικρά φράγµατα δυναµικού (α µικρό, -α δεδοµένο, άρα r µικρό), ( λ ) coth r r λ ( λ ) 3 (καθώς coth w ( + w ) /( w+ w / 3) 1/ w), έχουµε tan = / r( ) (δηλαδή η δεύτερη εξίσωση γίνεται παραβολική) r= 16-5 r= 4 r= r= (ακτίνια) Σχήµα ΑΚΠβ3 Γραφική αναζήτηση λύσεων της µη γραµµικής εξίσωσης a tan = coth λ, από την οποία υπολογίζονται οι ιδιοενέργειες του λ a συστήµατος για τις ιδοσυναρτήσεις µε άρτια αρτιότητα Οι γραφικές λύσεις περιγράφονται από τα σηµεία τοµής του γραφήµατος της συνάρτησης tan και της λ coth a λ ( a) = λ coth r λ (η οποία συνάρτησης ( ) ( ) ορίζεται στην περιοχή [,λ]) Ενώ χρησιµοποιούµε την παράµετρο r, r a/( a), η οποία είναι ο λόγος του πάχους του φράγµατος δυναµικού µε το πάχος εκάστου πηγαδιού δυναµικού (βλέπε σχήµα ΑΚΠβ1) Στο παρόν σχήµα η παράµετρος λ ( = U = mv / ) έχει την τιµή 5 (ίδια µε αυτή του προηγούµενου σχήµατος ΑΚΠα3 και ΑΚΠα4) Τα αποτελέσµατα σχολιάζονται στο κείµενο Γενικά παρατηρούµε ότι ενώ στο µονό πηγάδι έχουµε δύο δέσµιες ιδιοκαταστάσεις (σχήµα ΑΚΠα4) στο διπλό πηγάδι µε το ίδιο πάχος και το ίδιο βάθος µπορούµε να έχουµε δύο, τρεις ή και τέσσερις δέσµιες ιδιοκαταστάσεις Ο αριθµός των ιδιοκαταστάσεων εξαρτάται από το πάχος του φράγµατος δυναµικού Έτσι όπως γίνεται φανερό από τα σχήµατα ΑΚΠβ και ΑΚΠβ3, για πολύ µικρό r(r=), δηλαδή για πολύ µικρού πάχους φράγµα δυναµικού έχουµε µόνο δύο ιδιοκαταστάσεις (µία άρτια και µία περιττή, µε µικρότερη και µεγαλύτερη ενέργεια από την ενέργεια του µονού πηγαδιού, αντίστοιχα) Για µεγαλύτερο πάχος φράγµατος r(r=4), δηλαδή για σχετικά µικρού πάχους φράγµα δυναµικού έχουµε τρεις ιδιοκαταστάσεις ύο άρτιας αρτιότητας ιδιοσυναρτήσεις (η µία είναι η

11 θεµελιώδης) και µία ενδιάµεσης ενέργειας σε σχέση µε τις άλλες δύο µε περιττή αρτιότητα Για µεγαλύτερου πάχους φράγµατα δυναµικού (πχ r=16 και ), έχουµε τέσσερις δέσµιες ιδιοκαταστάσεις (δύο άρτιες και δύο περιττές) Από τον φοιτητή, αναµένουµε τα εξής: (a) Να τις παρουσιάσει σχηµατικά ( ζωγραφίσει ) για όλες τις δυνατές περιπτώσεις (από δύο µέχρι τέσσερις ιδιοκαταστάσεις) Να παρατηρήσει ότι η σειρά που εµφανίζονται είναι άρτια-περιττήάρτια-περιττή Μάλιστα να ελέγξει πόσο κοντά είναι οι δύο υψηλότερες ιδιοκαταστάσεις στο χείλος του πηγαδιού Βάσει αυτού να εξηγηθεί πότε έχουµε 3 και πότε 4 ιδιοκαταστάσεις (πότε δηλαδή η τέταρτη ιδιοκατάσταση, είναι οριακά µέσα ή έξω από το πηγάδι) (b) Να διευρευνυθούν οι ιδιοσυναρτήσεις σε σχέση µε απλούς γραµµικούς συνδυασµούς των ιδιοκαταστάσεων των απλών πηγαδιών Ξεκινήστε από την περίπτωση που το φράγµα δυναµικού είναι σε πολύ µεγάλη απόσταση και ουσιαστικά έχουµε δύο ανεξάρτητα πηγάδια (c) Να διερευνήσετε τι γίνεται σε σχέση µε την παράµετρο λ, που χαρακτηρίζει τα γεωµετρικά στοιχεία του πηγαδιού (d) Τέλος να συζητηθεί η περίπτωση που το V µηδενίζεται E > V για την περιοχή και ΙΙΙ δεν διαφοροποιείται σε σχέση µε την προηγούµενη περίπτωση ( Στην συνέχεια αναζητούµε λύσεις για την περίπτωση όπου Προφανώς η εξίσωση Schrödingerι E < V ) (ακτίνια) Σχήµα ΑΚΠβ4 Γραφική αναζήτηση λύσεων της µη γραµµικής εξίσωσης a tan tanh λ + =, από την οποία υπολογίζονται οι ιδιοενέργειες του a λ + συστήµατος για τις ιδοσυναρτήσεις µε άρτια αρτιότητα Οι γραφικές λύσεις περιγράφονται από τα σηµεία τοµής του γραφήµατος της συνάρτησης ( ) tan tan r λ + και της συνάρτησης λ + (κόκκινη καµπύλη) Η παράµετρος λ ( = U = mv / ) έχει την τιµή 5, ενώ η παράµετρο r, r a/( a), η οποία είναι ο λόγος του πάχους του φράγµατος δυναµικού µε το πάχος εκάστου πηγαδιού δυναµικού έχει την τιµή Παρατηρούµε ότι υπάρχει απειρία δέσµιων καταστάσεων Ενώ για την περιοχή Ι είναι ( ) mv ( E) + V ψ ( ) = Eψ ( ) ψ ( ) k = γ ψ ( ) m d =

12 Η εξίσωση αυτή διαφέρει από την προηγούµενη στο ότι έχουµε στην θέση του γ το γ Έτσι πρακτικά µπορούµε να ακολουθήσουµε την προηγούµενη µεθοδολογία και στα τελικά αποτελέσµατα να αντικαταστήσουµε το γ = γ µε το iγ = γ Έτσι η λύση στην περιοχή ΙΙ είναι i i ( ) D cosh i D ( e γ γ ψ = γ = + e ) / = D cosγ, για τις άρτιες λύσεις και ( i i i i ( ) D sinh i D ( e γ γ e )/ id e γ ψ = γ = = e γ )/i= id sinγ για τις περιττές Ανάλογα έχουµε για τις ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας Άρτιες λύσεις Την συνθήκη tan k ( a)tanh ia γ = k/ iγ tan k ( a)tan γa= k/ γ Περιττές λύσεις Την συνθήκη tan k( a)coth iγ a= k/ iγ tan k( a)cot γa= k/ γ Προχωράµε στην γραφική εκτίµηση των λύσεων για τις άρτιες λύσεις Παρατηρούµε ότι υπάρχουν άπειρα σηµεία τοµής των συναρτήσεων του αριστερού και του δεξιού µέρους της εξίσωσης ιδοτιµών Ανάλογα αποτελέσµατα βρίσκουµε για τις περιττές λύσεις Τέλος συζητάµε σύντοµα την περίπτωση που το V µηδενίζεται Στην περίπτωση αυτή το υπό µελέτη σύστηµα αναµένεται ταυτίζεται µε αυτό του απειρόβαθου δυναµικού Προφανώς για V =, γ = k, και έχουµε για τις ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας Άρτιες λύσεις tan k ( a) tan γ a= k/ γ tan k ( a) tan ka= 1 tan k ( a) = cot ka= tan( π / ka), δίνει ότι k ( a) = ( π / ka) + nπ k= (n+ 1) π /, όπου το n παίρνει τιµές,1, Περιττές λύσεις Η συνθήκη tan k ( a)cot γ a= k/ γ tan k ( a)cotka= 1 tan k ( a) = tanka= tan( π ka), δίνει ότι k ( a) = ( π ka) + nπ k= ( n+ 1) π, όπου το n παίρνει τιµές,1, Οι παραπάνω συνθήκες είναι οι συνθήκες για απειρόβαθο πηγάδι δυναµικού πάχους (k = mπ, αλλά µε m=1,,3, ) Τι γίνεται στην περίπτωση πού E = V εξίσωση Schrödingerι για την περιοχή Ι είναι ; Ας αναζητηθεί από τον φοιτητή, λαµβάνοντας υπόψη ότι η ( ) + V ψ ( ) = Eψ ( ) ψ ( ) = m d Τέλος αναµένεται από τον σπουδαστή να συζητηθεί αν υπάρχει η δυνατότητα το δυναµικό V να το χειριστούµε ως διαταραχή Σίγουρα, αυτό έχει νόηµα όταν έχουµε πεπερασµένο δυναµικό για το µεγάλο πηγάδι και όχι απειρόβαθο (πχ V 1 δυναµικό), οπότε η θεωρία διαταραχών εφαρµόζεται όταν V V 1

x L I I I II II II Ακόµα αφού η συνάρτηση στην θέση x=0 είναι συνεχής, έχουµε την παρακάτω συνθήκη. ηλαδή οι ιδιοσυναρτήσεις είναι

x L I I I II II II Ακόµα αφού η συνάρτηση στην θέση x=0 είναι συνεχής, έχουµε την παρακάτω συνθήκη. ηλαδή οι ιδιοσυναρτήσεις είναι Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδι3α(ΑΚΠ3α), x > Θεωρούµε κβαντικό πηγάδι µε δυναµικό της µορφής V( x) x Να εκτιµηθούν οι ιδιοκαταστάσεις του συστήµατος για (α) c> και (β) c< Για την περίπτωση (α) να µελετηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L.

Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L. Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδια(ΑΚΠα) Να µελετηθεί το απειρόβαθο κβαντικό πηγάδι µε θετικές ενεργειακές καταστάσεις ( E > ). Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 30 Αυγούστου 2010 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 2,5 ώρες.

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 30 Αυγούστου 2010 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 2,5 ώρες. ΘΕΜΑ [5575] ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 3 Αυγούστου ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής) ιάρκεια εξέτασης,5 ώρες (α) Να αποδειχθεί ότι για οποιοδήποτε µη εξαρτώµενο από τον χρόνο τελεστή Α, ισχύει d A / dt = A,

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 13 ο, 30 Οκτωβρίου 2008 (9:00-11:00).

Μάθηµα 13 ο, 30 Οκτωβρίου 2008 (9:00-11:00). Μάθηµα ο 0 Οκτωβρίου 008 (9:00-:00) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΜΕ ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Άσκηση 9 Έστω ένα κβαντικό σύστηµα το οποίο περιγράφεται από τρεις ενεργειακές καταστάσεις (ιδιοτιµές ενέργειας

Διαβάστε περισσότερα

( ) * Λύση (α) Καθώς η Χαµιλτονιανή είναι ερµιτιανός τελεστής έχουµε ότι = = = = 0. (β) Απαιτούµε

( ) * Λύση (α) Καθώς η Χαµιλτονιανή είναι ερµιτιανός τελεστής έχουµε ότι = = = = 0. (β) Απαιτούµε ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 3 Γενάρη ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες ΘΕΜΑ [555555553] Θεωρούµε κβαντικό σύστηµα που περιγράφεται από την Χαµιλτονιανή H 3ε µ iε µε ιδιοσυναρτήσεις κάποιου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Τελική (επί πτυχίω) Εξέταση: 17 Ιούνη 2013 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ΘΕΜΑ 1[ ]

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Τελική (επί πτυχίω) Εξέταση: 17 Ιούνη 2013 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ΘΕΜΑ 1[ ] ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Τελική (επί πτυχίω Εξέταση: 17 Ιούνη 13 ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής ΘΕΜΑ 1[1515] Θεωρούµε κβαντικό σύστηµα που περιράφεται από την Χαµιλτονιανή, ε H 4ε 1 1 3i 1 1, µε 1, ιδιοσυναρτήσεις κάποιου

Διαβάστε περισσότερα

. Να βρεθεί η Ψ(x,t).

. Να βρεθεί η Ψ(x,t). ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου II Άσκηση 1: Εάν η κυματοσυνάρτηση Ψ(,0) παριστάνει ένα ελεύθερο σωματίδιο, με μάζα m, στη μία διάσταση την χρονική στιγμή t=0: (,0) N ep( ), όπου N 1/ 4. Να βρεθεί η

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά

Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά Δομή Διάλεξης Τετραγωνικό Πηγάδι Δυναμικού: Δέσμιες καταστάσεις - ιδιοτιμές Οριακές Περιπτώσεις: δ δυναμικό, άπειρο βάθος Σκέδαση σε μια διάσταση: Σκαλοπάτι

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013

Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013 ΘΕΜΑ 1: ( 3 µονάδες ) Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013 Ηλεκτρόνιο κινείται επάνω από µία αδιαπέραστη και αγώγιµη γειωµένη επιφάνεια που

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 21: Δέλτα πηγάδι δυναμικού. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 21: Δέλτα πηγάδι δυναμικού. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 21: Δέλτα πηγάδι δυναμικού Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να μελετήσει το δέλτα πηγάδι δυναμικού, το οποίο αποτελεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Κίνηση σε κεντρικά δυναµικά 1.1.1 Κλασική περιγραφή Η Χαµιλτωνιανή κλασικού συστήµατος που κινείται

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Διαταραχών ΙΙ: Εκφυλισμένες Καταστάσεις

Θεωρία Διαταραχών ΙΙ: Εκφυλισμένες Καταστάσεις Θεωρία Διαταραχών ΙΙ: Εκφυλισμένες Καταστάσεις Δομή Διάλεξης Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών: Γενική Μέθοδος για την αντιμετώπιση των απειρισμών λόγω εκφυλισμού Εφαρμογή σε διεγερμένη κατάσταση υδρογόνου

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 53 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος

Διαβάστε περισσότερα

κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει

κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει Πρόβλημα 22. Θεωρούμε το ακόλουθο πρόβλημα συνοριακών τιμών για τη εξίσωση του Laplace u + u = 0, 1 < < 1, 1 < < 1, u(, 1) = f(), u(, 1) = 0, u( 1, ) = 0, u(1, ) = 0. α) Σωστό ή λάθος; Αν f( ) = f() είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 31 Γενάρη 2012 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες.

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 31 Γενάρη 2012 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες. ΘΕΜΑ 1[1] ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 31 Γενάρη 1 ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες Ηλεκτρόνιο βρίσκεται σε δυναµικό απειρόβαθου πηαδιού και περιράφεται από την 1 πx πx κυµατοσυνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z

Διαβάστε περισσότερα

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική Ι 2o Σετ Ασκήσεων. Άσκηση 1

Κβαντομηχανική Ι 2o Σετ Ασκήσεων. Άσκηση 1 Κβαντομηχανική Ι 2o Σετ Ασκήσεων Άσκηση 1 Ξεκινάμε με την περίπτωση Ε

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Αθηνών. προς το χρόνο και χρησιµοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυµατοσυνάρτησης.

Πανεπιστήµιο Αθηνών. προς το χρόνο και χρησιµοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυµατοσυνάρτησης. Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Φυσικής Κβαντοµηχανική Ι Α Καρανίκας και Π Σφήκας Άσκηση 1 Η Hamiltonian ενός συστήµατος έχει τη γενική µορφή Δείξτε ότι Υπόδειξη: Ξεκινείστε από τον ορισµό της αναµενόµενης τιµής,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι (Τµήµα Α. Λαχανά) 1 Φεβρουαρίου 2010

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι (Τµήµα Α. Λαχανά) 1 Φεβρουαρίου 2010 ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τµήµα Α Λαχανά) Φεβρουαρίου ΘΕΜΑ : Θεωρήστε τις δύο περιπτώσεις όπου η κυµατική συνάρτηση ψx) που περιγράφει µονοδιάστατη κίνηση σωµατιδίου σε απειρόβαθο πηγάδι δυναµικού µε τα τοιχώµατα

Διαβάστε περισσότερα

5 Παράγωγος συνάρτησης

5 Παράγωγος συνάρτησης 5 Παράγωγος συνάρτησης Ας ϑεωρήσουµε µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το [a, b]. Για κάθε 0 [a, b] ορίζουµε µια νέα συνάρτηση µε τύπο µε πεδίο ορισµού D(Π 0 ) = D(f ) { 0 }. Την συνάρτηση Π 0 Π 0 () =

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ Κυματική εξίσωση Schrödiger Η δυνατότητα ενός σωματιδίου να συμπεριφέρεται ταυτόχρονα και ως κύμα, δηλαδή να είναι εντοπισμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

H = H 0 + V (0) n + Ψ (1) n + E (2) (3) >... Σε πρώτη προσέγγιση µπορούµε να δεχτούµε ότι. n και E n E n

H = H 0 + V (0) n + Ψ (1) n + E (2) (3) >... Σε πρώτη προσέγγιση µπορούµε να δεχτούµε ότι. n και E n E n 3 Θεωρία διαταραχών 3. ιαταραχή µη εκφυλισµένων καταστάσεων 3.. Τοποθέτηση του προβλήµατος Θέλουµε να λύσουµε µε τη ϑεωρία των διαταραχών το πρόβληµα των ιδιοτιµών και ιδιοσυναρτήσεων ενός συστή- µατος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ II (ΑΠΕΙΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ/ΠΕΡΙΟΧΕΣ), και τις ενεργειακές στάθμες του, 2. E E E, όπου ˆ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ II (ΑΠΕΙΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ/ΠΕΡΙΟΧΕΣ), και τις ενεργειακές στάθμες του, 2. E E E, όπου ˆ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ II (ΑΠΕΙΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ/ΠΕΡΙΟΧΕΣ) Στο απειρόβαθο πηγάδι με τοιχώματα στα σημεία x, θα υπολογίσουμε τη διασπορά της ενέργειας,, για τη μικτή κατάσταση με 5 x x x 8 μέσα στο πηγάδι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι. Πρόχειρο ιαγώνισµα: 11 Νοεµβρίου 2008 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 1 ώρα.

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι. Πρόχειρο ιαγώνισµα: 11 Νοεµβρίου 2008 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 1 ώρα. Μάθηµα 6 ο, Νοεµβρίου 8 (9:-:). ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Πρόχειρο ιαγώνισµα: Νοεµβρίου 8 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης ώρα. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΗΤΡΩΟΥ: ΕΤΟΣ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΘΕΜΑ [4] Σωµάτιο εριγράφεται

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 8 Παραβολή Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός Παραβολή είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από µια σταθερή ευθεία (δ) που λέγεται διευθετούσα της παραβολής και από

Διαβάστε περισσότερα

Thanasis Xenos ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑΣ

Thanasis Xenos ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑΣ thanasisenos@yahoo.gr Thanasis Xenos )Αν µια συνάρτηση f είναι, τότε είναι γνησίως µονότονη; Η πρόταση δεν αληθεύει, διότι για παράδειγµα η συνάρτηση, f ( ) = είναι - και δεν είναι γνησίως µονότονη., >

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Καταρχήν θα µελετήσουµε την συνάρτηση f Η f γράφεται f ( ) = ( x + )( x ) ( x ) ή ακόµα f ( ) = u( x,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ MSc PROGRAM ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Ι Ι ΚΟΥΓΙΑΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΑΝΤΙΡΡΙΟ 0-0 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Το

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 14-15, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: Πρόβλημα 1. Για κάθε μια από τις

Διαβάστε περισσότερα

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας 5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της µορφής: Ax + By +Γ= 0, µε Α 0 ηβ 0 () και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής () παριστάνει ευθεία γραµµή.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

1 η Εργασία Ηµεροµηνία αποστολής: 19 Νοεµβρίου 2006

1 η Εργασία Ηµεροµηνία αποστολής: 19 Νοεµβρίου 2006 η Εργασία Ηµεροµηνία αποστολής: 9 Νοεµβρίου 6. α. Να βρεθεί η γωνία µεταξύ των διανυσµάτων a = i + j k και b = 6 i j + k. β. Να δείξετε ότι τα διανύσµατα a, b, c είναι ορθογώνια και µοναδιαία. a = ( i

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - Α ΠΡΟΣΗΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ Μέχρι τώρα ξέρουµε να βρίσκουµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου βαθµού ή δεύτερου βαθµού Για να βρούµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου f πρώτου f βαθµού µεγαλύτερου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ 5 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Προθεσµία παράδοσης 6/5/08

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ 5 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Προθεσµία παράδοσης 6/5/08 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 7-8 ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ 5 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ Προθεσµία παράδοσης 6/5/8 5//8 Άσκηση Α) Από τον νόµο µετατόπισης του Wien (σχέση (.6) σελ. 5 του βιβλίου των Serwy-Moses-Moyer) έχουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγµατικό µέρος φανταστικό µέρος u( x, y) x y = και v( x, y) = ( x + y xy), όπου = x+

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι. Προπτυχιακό Πρόγραµµα Σπουδών Τµήµατος Φυσικής Πανεπιστήµιο Πατρών Χειµερινό εξάµηνο 2004-2005 ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι. Προπτυχιακό Πρόγραµµα Σπουδών Τµήµατος Φυσικής Πανεπιστήµιο Πατρών Χειµερινό εξάµηνο 2004-2005 ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Προπτυχιακό Πρόγραµµα Σπουδών Τµήµατος Φυσικής Πανεπιστήµιο Πατρών Χειµερινό εξάµηνο 4-5 ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Ανδρέας Φ. Τερζής Πάτρα Γενάρης 5 ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΕΛΕΣΤΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΕΣ [ΠΙΝΑΚΕΣ]

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 (α) ============================================================== Έχουµε L = π, εποµένως η σειρά Fourier είναι: 1 2 a. cos. a n. b n.

Άσκηση 1 (α) ============================================================== Έχουµε L = π, εποµένως η σειρά Fourier είναι: 1 2 a. cos. a n. b n. http://elear.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 69795 Ενδεικτικές απαντήσεις 6ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 7-8: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

x όπου Α και a θετικές σταθερές. cosh ax [Απ. Οι 1, 2, 5] Πρόβλημα 3. Ένα σωματίδιο μάζας m κινείται στο πεδίο δυναμικής ενέργειας ( x) exp

x όπου Α και a θετικές σταθερές. cosh ax [Απ. Οι 1, 2, 5] Πρόβλημα 3. Ένα σωματίδιο μάζας m κινείται στο πεδίο δυναμικής ενέργειας ( x) exp ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ (Υποχρεωτικό 4 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ. Σκαρλάτος Προβλήματα Σειρά # 5 : Η εξίσωση Schrödinger και η επίλυσή της σε απλά κβαντικά συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Χρονοανεξάρτητη Μη-Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών

Χρονοανεξάρτητη Μη-Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών Χρονοανεξάρτητη Μη-Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών Δομή Διάλεξης Ανασκόπηση συμβολισμού Dirac Διαταραχές σε σύστημα δύο καταστάσεων Η γενική μέθοδος μη-εκφυλισμένης θεωρίας διαταραχών Εφαρμογή: Διαταραχή

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Άσκηση 1. Έστω ότι η συνάρτηση f: R R είναι γνησίως αύξουσα στο R και η γραφική της παράσταση τέµνει τον άξονα y y στο. Να λύσετε την ανίσωση: f(x 9)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου.

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου. Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου. Ανδρέας Ζούπας 22 Ιανουαρίου 203 Οι λύσεις απλώς προτείνονται και σαφώς οποιαδήποτε σωστή λύση είναι αποδεκτή! Θέµα-

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

ˆ ˆ. (τελεστής καταστροφής) (τελεστής δημιουργίας) Το δυναμικό του συστήματός μας (αρμονικός ταλαντωτής μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο) είναι

ˆ ˆ. (τελεστής καταστροφής) (τελεστής δημιουργίας) Το δυναμικό του συστήματός μας (αρμονικός ταλαντωτής μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο) είναι ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΕ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ, ΒΑΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ, ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ Ξεκινώντας από τους τελεστές δημιουργίας και καταστροφής

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις

Διάλεξη 1: Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Διάλεξη : Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Βασικές Αρχές της Κβαντομηχανικής H κατάσταση ενός φυσικού συστήματος περιγράφεται από την κυματοσυνάρτησή του και αποτελεί το πλάτος πιθανότητας να βρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 9 ου Set Ασκήσεων Κβαντομηχανικής Ι

Λύσεις 9 ου Set Ασκήσεων Κβαντομηχανικής Ι Λύσεις 9 ου Set Ασκήσεων Κβαντομηχανικής Ι Disclaimer: Οι δυο ασκήσεις ζητούν τις κυματοσυναρτήσεις, τις ενέργειες, τις τιμές (x 1 x 2 ) 2 των διαφόρων καταστάσεων και τη διόρθωση από διαταραχή, για μποζόνια

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ Θεωρία της στροφορμής Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Υπενθύμιση βασικών εννοιών της στροφορμής κυματοσυνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την. Παρατηρήσεις - Σχόλια f

Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την. Παρατηρήσεις - Σχόλια f Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την οποία σε κάθε στοιχείο χ ενός συνόλου Α αντιστοιχούµε ακριβώς ένα στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β. Το σύνολο Α λέγεται πεδίο ορισµού ( ή σύνολο ορισµού ) της

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Μια γενική έκφραση της κυματοσυνάρτησης στον χώρο των ορμών για μια δέσμια κατάσταση

Μια γενική έκφραση της κυματοσυνάρτησης στον χώρο των ορμών για μια δέσμια κατάσταση Μια γενική έκφραση της κυματοσυνάρτησης στον χώρο των ορμών για μια δέσμια κατάσταση Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. spiroskonstantogiannis@gmail.com Δεκεμβρίου 07 //07 Coprigt Σπύρος Κωνσταντογιάννης,

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Παραδείγµατα στην συνέχεια συναρτήσεων

4.3 Παραδείγµατα στην συνέχεια συναρτήσεων 5. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο R. 6. Η συνάρτηση sin είναι συνεχής στο R. 7. Η συνάρτηση cos είναι συνεχής στο R. 8. Η συνάρτηση tan είναι συνεχής σε κάθε R µε k π + π/2, k Z. 9. Η συνάρτηση cotan είναι

Διαβάστε περισσότερα

1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( )

1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( ) Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι β ( f () f () ) + α ηµ d β α = [f () ηµ] - [f () συν] β α. ( ) β) Αν f () = ηµ, να αποδείξετε ότι f () + f ()

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 φάση Η έννοια των ταυτόσημων σωματιδίων Ταυτόσημα αποκαλούνται όλα τα σωματίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ Θέμα α) Δείξτε ότι οι διακριτές ιδιοτιμές της ενέργειας σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα δεν είναι εκφυλισμένες β) Με βάση το προηγούμενο ερώτημα να δείξετε ότι μπορούμε να διαλέξουμε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

x - 1, x < 1 f(x) = x - x + 3, x

x - 1, x < 1 f(x) = x - x + 3, x Σελίδα από 4 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Του Αντώνη Κυριακόπουλου Εισαγωγή Στην εργασία αυτή παραθέτω χρήσιµες επισηµάνσεις στις βασικές έννοιες των πραγµατικών συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Η ύλη της εργασίας είναι οι ενότητες 5, 6 και 7 από τον Λογισµό µιας Μεταβλητής Η άσκηση αφορά στην έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. ΣΚΑΡΛΑΤΟΣ, ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. ΣΚΑΡΛΑΤΟΣ, ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 5 Επίλυση της εξίσωσης Schrödinger σε απλά κβαντικά συστήματα Ι. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Κάθε φυσικά πραγματοποιήσιμη φυσική κατάσταση ενός (μονοσωματιδιακού) κβαντικού συστήματος περιγράφεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.). Έστω z ο µιγαδικός αριθµός z i, µε, R. (α) ίνεται η εξίσωση: z

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι Άσκηση 1: Θεωρήστε δύο ορθοκανονικά διανύσματα ψ 1 και ψ και υποθέστε ότι αποτελούν βάση σε ένα χώρο δύο διαστάσεων. Θεωρήστε επίσης ένα τελαστή T που ορίζεται στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 23: Σκέδαση σε τετραγωνικά δυναμικά. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 23: Σκέδαση σε τετραγωνικά δυναμικά. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 23: Σκέδαση σε τετραγωνικά δυναμικά Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να μελετήσει την περίπτωση σκέδασης σε σκαλοπάτι

Διαβάστε περισσότερα

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής.

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής. ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου V Άσκηση : Οι θεμελιώδεις σχέσεις μετάθεσης της στροφορμής επιτρέπουν την ύπαρξη ακέραιων και ημιπεριττών ιδιοτιμών Αλλά για την τροχιακή στροφορμή L r p γνωρίζουμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ο Μονοδιάστατος Γραµµικός Αρµονικός Ταλαντωτής 1.1.1 Εύρεση των ιδιοτοµών και ιδιοσυναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 24 ης Ιουνιου 2005

Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 24 ης Ιουνιου 2005 ΑΤΜΟΦ Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 4 ης Ιουνιου 005. Ερωτηση που αφορα στις ασκησεις του εργαστηριου. Α) Με βάση τη σχέση που συνδέει τις αποστάσεις α και b με την εστιακή απόσταση του σφαιρικού

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 23: Ασκήσεις. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 23: Ασκήσεις. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 23: Ασκήσεις Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Άσκηση 23.1 Ηλεκτρόνιο βρίσκεται περιορισμένο σε πηγάδι δυναμικού της μορφής 0, 0 x a V x = V 0, a x b +, x

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 3 Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ο ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 6. Λ 8. Λ. Σ 7. Σ 9. Λ 3. Λ 8. Λ 3. Σ 4. Σ 9. Σ 3. α) Σ 5. Σ. Σ β) Σ 6.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 6ο κεφάλαιο: Συναρτήσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

α) Η γενική εξίσωση του αρµονικού κύµατος είναι. Συγκρίνοντάς την µε µία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων, έστω την εξίσωση

α) Η γενική εξίσωση του αρµονικού κύµατος είναι. Συγκρίνοντάς την µε µία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων, έστω την εξίσωση Λύση ΑΣΚΗΣΗ 1 α) Η γενική εξίσωση του αρµονικού κύµατος είναι. Συγκρίνοντάς την µε µία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων, έστω την εξίσωση, προκύπτει: και Με αντικατάσταση στη θεµελιώδη εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 7: Διερεύνηση εξίσωσης Schro dinger και απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 7: Διερεύνηση εξίσωσης Schro dinger και απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 7: Διερεύνηση εξίσωσης Schro dinger και απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να σκιαγραφηθεί

Διαβάστε περισσότερα

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ.Ε. ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΕΣ ΙΕΓΕΡΣΕΙΣ

ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ.Ε. ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΕΣ ΙΕΓΕΡΣΕΙΣ ΣΧΟΛΗ. Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ Σ.Α.Ε. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ.Ε. ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΕΣ ΙΕΓΕΡΣΕΙΣ ρ. Α. Μαγουλάς Οκτώβριος 4 Η συνάρτηση δ ( και η παράγωγός της Ορίζεται ως εξής: δ ( ανωµαλο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα