( x) (( ) ( )) ( ) ( ) ψ = 0 (1)

Transcript

1 ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ ΘΕΣΗΣ ΟΡΜΗΣ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗΣ Στην προηγούµενη ανάρτηση, δείξαµε ότι η κατάσταση είναι κατάσταση ελάχιστης αβεβαιότητας των µη µετατιθέµενων ερµιτιανών τελεστών ικανοποιούνται οι ακόλουθες δύο συνθήκες B B c A A ( ( και AB + BA A B ( A, B, αν Σε κάθε κατάσταση, δείξαµε ότι, για τους A, B, ισχύει η γενικευµένη σχέση αβεβαιότητας A B A, B (3 Αν A, B p, η προηγούµενη σχέση γράφεται p [, p ] i p (4 Από την (4 βλέπουµε ότι η ελάχιστη αβεβαιότητα θέσης ορµής είναι. Οι ( και ( για την περίπτωση όπου A και B p γράφονται, αντίστοιχα, ( p p c, c C, (5 p + p p (6 Θα δούµε ότι η (6 ικανοποιείται αν η σταθερά c είναι καθαρά φανταστική, δηλαδή αν Re c. Στην αναπαράσταση θέσης, η εξίσωση (5 γράφεται d i p c( ( i ( p ( c( ( d ( ( ic i p ic i p i p + c( ( + ( ln ( ( + d ic ic i p e A ic ic i p ic ic i p + + d + ln ( + + d ( e Ae ( ic ic i p + Ae Θα αναζητήσουµε δέσµιες καταστάσεις ελάχιστης αβεβαιότητας, ώστε να είναι καλά ορισµένες οι µέσες τιµές της θέσης και της ορµής, και των τετραγώνων τους. Για να δέσµια, θα πρέπει >. είναι η γράφεται i( Rec+ i i( Rec+ i i p + Ae (7 ( Όµως. Τότε η

2 ( + ( + i Rec i i Rec i i p + i Rec i Re c i p i Re c i Rec i p Έτσι, η (7 γράφεται ( i Rec i Rec i p Ae (8 Η (8 είναι η γενική λύση της εξίσωσης (5 στην αναπαράσταση θέσης. Για να είναι η (8 κατάσταση ελάχιστης αβεβαιότητας, θα πρέπει να ικανοποιεί και τη συνθήκη (6. Πριν εξετάσουµε τη συνθήκη (6, ας συµµαζέουµε λίγο τον εκθέτη i Rec i Rec i p Είναι i Re c i p i( p Rec + (9 Και + + (( ( Αν αντικαταστήσουµε τις (9 και ( στην (8, θα πάρουµε irec i( p Rec i( p Rec i Rec ( ( + Ae Ae e e i( p Rec irec ( + Ae e e ( Η σταθερά A υπολογίζεται από τη συνθήκη κανονικοποίησης. Είναι i( p Rec i Rec i( p Rec irec ( + ( ( Ae e e A e e e e A e ( e

3 ( ( A e e A e e Από τη συνθήκη κανονικοποίησης θα πάρουµε d A e de ( Για να υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα µεταβλητής de (, κάνουµε την αλλαγή Τότε d d και :, (αυτό ισχύει επειδή <, που µε τη σειρά του ισχύει επειδή η κατάσταση είναι δέσµια Έτσι, το ολοκλήρωµα de Εποµένως de π d e ( γράφεται 4 π A e A e A e π π Επιλέγουµε, λαµβάνοντας υπόη τη συµµετρία φάσης της κυµατοσυνάρτησης, 4 A e π Οπότε, η ( γράφεται ( 4 i p Rec i Rec ( + e e e e π ( 4 i p Rec irec ( e e e π i Rec i p c 4 ( Re e e e π ( i Rec ( Re 4 Im ( i p c Im c c e e e ( π Αν, όπου η κλίµακα µήκους του αντίστοιχου ταλαντωτή, η mω ( γράφεται

4 i Rec i( p Rec 4 ( ( e e e π ( i Rec i( p Rec e e (3 όπου είναι η βασική κατάσταση του αρµονικού ταλαντωτή Θα εξετάσουµε τώρα αν και µε ποιες προϋποθέσεις η (3 ικανοποιεί τη συνθήκη (6, ώστε να είναι κατάσταση ελάχιστης αβεβαιότητας. Θα υπολογίσουµε τη µέση τιµή του τελεστή p + p. Για να απαλλαγούµε από την παράγωγο του γινοµένου ( τον τελεστή p, θα χρησιµοποιήσουµε τον µεταθέτη [, p ], που προέρχεται από i για να αντικαταστήσουµε τον ανεπιθύµητο τελεστή και να διευκολυνθούµε στις πράξεις. Θα έχουµε, p i p p i p p i [ ] Εποµένως, ο τελεστής p + p γράφεται p + p p i Η µέση τιµή p + p θα είναι p + p p i p i p + p p i (4 Παρατηρήστε ότι η µέση τιµή του τελεστή p πρέπει να έχει και φανταστικό µέρος, και µάλιστα αυτό πρέπει να είναι i, ώστε το άθροισµα του δεξιού µέλους της (4 να είναι πραγµατικός αριθµός, ο οποίος θα ισούται µε τη µέση τιµή του ερµιτιανού τελεστή p + p. Ο τελεστής p δεν είναι ερµιτιανός, έτσι η µέση τιµή του έχει και φανταστικό µέρος. Η µέση τιµή του τελεστή p είναι d p d i i d Χρειαζόµαστε την παράγωγο της (5 d. Από τη (3 θα πάρουµε irec i p Rec irec i p Rec 4 ( 4 ( + + ( e e e e π π Εποµένως i Rec i( p Rec ( ( + + ( i Rec i( p Rec ( ( + + ( (6 Αν αντικαταστήσουµε, η παράσταση µέσα στην παρένθεση γράφεται

5 ( Re ( Re i Rec i p c i Rec i p c ( + + ( + + i Rec i Rec i p i( Rec+ i i( Rec+ i i p ic i p + ( + c Rec+ i i Rec i( p Rec ic i p ( + + ( + Οπότε, η (6 γράφεται ic i p ( ( + ( (7 Αν αντικαταστήσουµε τη (7 στην τελευταία ισότητα της (5, θα πάρουµε ic i p p i d ( ( + ( c d ( ( ( + + p d ( ( c d ( ( d ( ( + p ( c + p p c + p (8 Χρειαζόµαστε τη µέση τιµή του τετραγώνου της θέσης,, η οποία είναι (9 d d d όπου στην τελευταία ισότητα χρησιµοποιήσαµε τη (3 (οι µιγαδικές φάσεις αλληλοεξουδετερώνονται στο γινόµενο Αν κάνουµε την αλλαγή µεταβλητής θα έχουµε d d :, + ( <, αφού η ( + Εποµένως από την (9 θα πάρουµε είναι δέσµια

6 ( d + d + + d + d + d + + ( Επειδή ( (διότι, η ( γράφεται + ( Παρατηρήστε ότι η ( µάς λέει ότι ( Αν αντικαταστήσουµε την ( στη (8, θα πάρουµε p c + p Έτσι, η (4 µάς δίνει για τη µέση τιµή του τελεστή p + p p + p c + p i (3 Για να είναι η ( κατάσταση ελάχιστης αβεβαιότητας, θα πρέπει να ικανοποιείται η συνθήκη (6, δηλαδή θα πρέπει p + p p. Οπότε, από την (3, για να είναι η ( κατάσταση ελάχιστης αβεβαιότητας, θα πρέπει c( i c i (4 Επειδή η ποσότητα ( ( είναι πραγµατικός αριθµός, από την (4 βλέπουµε ότι το c είναι καθαρά φανταστικός αριθµός, δηλαδή Re c (5 (η αβεβαιότητα θέσης στη βασική κατάσταση του αρµονικού Επειδή ταλαντωτή, και, θα είναι ( Οπότε η (4 γράφεται c i i Για Re c i, όπως αναµέναµε, αφού Re c και. c, η ( παίρνει τη µορφή, από τη (3,

7 i p i p 4 ( e e e π i p ( ( 4 e e (6 π Η (6 είναι µια γκαουσιανή συνάρτηση µε κέντρο τη µέση τιµή της θέσης, που πολλαπλασιάζεται µε µια µιγαδική φάση εξαρτώµενη γραµµικά από τη θέση και από τη µέση τιµή της ορµής. Η διασπορά της θέσης είναι, όπως δείξαµε (σχέση (,. Θα επιβεβαιώσουµε τώρα ότι η (6 είναι κατάσταση ελάχιστης αβεβαιότητας. Η αβεβαιότητα της θέσης δείξαµε ότι είναι (σχέση ( Η µέση τιµή της ορµής είναι τετραγώνου της ορµής. Ας την υπολογίσουµε. Είναι p d p Όµως d d d p pp i i d d d Οπότε p d (7 Από την (6 παίρνουµε ( 4 i p + p, εποµένως µάς λείπει µόνο η µέση τιµή του e π Εποµένως i p i p ( ( ( ( ( + + και i p i p i p ( ( ( ( + + (8 Αν αντικαταστήσουµε την (8 στην (7, θα πάρουµε

8 + ( + i p p d i p d ( ( d ( ( ( + p p d ( 4( i ( ( p d ( 4 ( ( p d ( ( i d ( ( ( + + ( p + p + i d ( ( d 4 ( ( p p p + p + i 4 ( + p + p ( p + p p p p p p p p + (9 Από τις ( και (9 προκύπτει ότι η αβεβαιότητα θέσης ορµής στην κατάσταση είναι ίση µε την αβεβαιότητα θέσης ορµής στη βασική κατάσταση του αρµονικού ταλαντωτή, που ξέρουµε ότι είναι ελάχιστη. είναι, λοιπόν, κατάσταση ελάχιστης αβεβαιότητας, και µάλιστα Η κατάσταση ( οι επιµέρους αβεβαιότητες θέσης και ορµής είναι ίσες µε τις αντίστοιχες αβεβαιότητες θέσης και ορµής της βασικής κατάστασης του αρµονικού ταλαντωτή. Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. skonstn@hotmil.com