1.3. Erori în calculele numerice

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1.3. Erori în calculele numerice"

Transcript

1 Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, /41

2 Cuprins Caracterizarea cantitativă a erorilor 1 Caracterizarea cantitativă a erorilor În mod absolut În mod relativ 2 3 de rotunjire de trunchiere inerente 4 Condiţionare Stabilitate 2/41

3 În mod absolut În mod relativ Eroarea absolută şi marginea ei Fie: x IR n - valoarea exactă a unei mărimi; x - valoarea aproximativă. Eroarea absolută e x IR n : Marginea erorii absolute a x IR: Dacă n = 1 rezultă e x = x x. (1) e x a x. (2) x a x x x + a x. (3) Echivalentă cu: x [ x a x, x + a x ]. Scrisă pe scurt ca: x = x ± a x. (4) 3/41

4 Eroarea relativă şi marginea ei În mod absolut În mod relativ Eroarea relativă ε x IR n : Marginea erorii relative r x IR ε x = e x x. (5) ε x r x. (6) Cel mai adesea, r x se exprimă în procente. Scriere pe scurt: x = x±r x %. (7) 4/41

5 Exemplu: π Caracterizarea cantitativă a erorilor În mod absolut În mod relativ x = x = 3.14 e x = a x = ε x = / r x = / = 0.06%. π = 3.14± sau π = 3.14±0.06%. 5/41

6 Concluzii Caracterizarea cantitativă a erorilor În mod absolut În mod relativ Relaţia "x = x±a x " unde x, x IR n şi a x IR se interpretează astfel: ( )e x IR n, e x a x, astfel încât x = x+e x, (8) Relaţia "x = x±r x %" unde x, x IR n, r x % = 100r x şi r x IR se interpretează astfel: ( )ε x IR n, ε x r x, astfel încât x = x+ x ε x. (9) În cazul unei mărimi scalare (n = 1), relaţia (9) se scrie x = x(1±ε x ), (10) semnul plus corespunzând unei valori x pozitive, iar semnul minus uneia negative. 6/41

7 Caracterizarea cantitativă a erorilor În funcţie de tipul cauzelor care le generează: 1 Erori de rotunjire - datorate reprezentării finite a numerelor reale; 2 Erori de trunchiere - datorate reprezentării finite a algoritmului; 3 Erori inerente - datorate reprezentării imprecise a datelor de intrare. 7/41

8 Cifre semnificative de rotunjire de trunchiere inerente Reprezentarea unui număr real în baza 10: x = f 10 n. (11) unde 0.1 f < 1. Cifrele părţii fracţionare se numesc cifre semnificative. Exemple: 3.14 = = /41

9 de rotunjire de trunchiere inerente Rotunjirea afectează reprezentarea numerelor reale f {}}{ x = 0. }{{} 10 n, (12) k cifre x = 0. }{{}### 10 n, (13) k cifre e x = x x = }{{} ### 10 n = 0.### 10 n k, k cifre (14) 9/41

10 de rotunjire de trunchiere inerente Rotunjirea afectează reprezentarea numerelor reale ε x = e x x = 0.### 10 n k 0. }{{}### 10 n = 0.### k k cifre (15) ε x k = 10 k+1. (16) Marginea erorii relative de rotunjire a unui sistem de calcul depinde doar de numărul de cifre semnificative ce pot fi memorate. Pentru un sistem de calcul ce lucrează cu k cifre semnificative, marginea erorii relative de rotunjire este 10 k+1. 10/41

11 Rotunjirea afectează calculele de rotunjire de trunchiere inerente Adunarea a două numere reale Intuitiv: pp. k = 3, x 1 + x 2 =? x 1 = 3.73 = x 2 = = x 2 = = = Rezultat: x 1 + x 2 = x 1. 11/41

12 Zeroul maşinii Caracterizarea cantitativă a erorilor de rotunjire de trunchiere inerente Zeroul (acurateţea, precizia,"epsilon-ul") maşinii = cel mai mic eps pentru care1 + eps > 1. ( )a <eps, 1+a = 1 (în calculator) în mod uzualeps = Matlab: eps Scilab%eps. Zeroul maşinii nu trebuie confundat cu cel mai mic număr reprezentabil în calculator şi care, în mod uzual are valoarea Consecinţă: adunarea numerelor reale în calculator nu este asociativă. 12/41

13 de rotunjire de trunchiere inerente Determinarea eps într-un mediu de programare funcţie zeroul_maşinii () real eps eps = 1 cât timp (1 + eps > 1) eps = eps/2 eps = eps*2 întoarce eps 13/41

14 Exemplu Caracterizarea cantitativă a erorilor de rotunjire de trunchiere inerente f(x) = f(x 0 )+ x x 0 1! sinus, x 0 = 0: f (x 0 )+ (x x 0) 2 f (x 0 )+ (17) 2! sin x = x x3 3! + x5 5! x7 7! + = ( 1) k x 2k+1 (2k + 1)!. (18) s = k=0 n ( 1) k x 2k+1 (2k + 1)!. (19) k=0 e s = s s x2n+1 (2n+1)!. (20) 14/41

15 de rotunjire de trunchiere inerente Algoritm cu controlul erorii de trunchiere funcţie sinus(x, e) ; întoarce valoarea funcţiei sinus in punctul x ; prin trunchierea seriei Taylor dezvoltată in 0 real x ; punctul în care se va evalua funcţia sin real e ; eroarea de trunchiere impusă real t, s întreg k t = x s = t k = 0 cât timp ( t > e) k = k + 1 x t = ( 1) t 2 (2k)(2k+1) s = s+t intoarce s 15/41

16 Rezultate numerice de rotunjire de trunchiere inerente t s(k) - s(k-1) k Iteratia k Modulul termenului curent al dezvoltării în serie Taylor a funcţiei sinus. Modulul diferenţei dintre sume parţiale consecutive la dezvoltarea în serie Taylor a funcţiei sinus. 16/41

17 de rotunjire de trunchiere inerente Efectul perturbaţiilor datelor de intrare y = f(x 1, x 2,..., x n ). (21) dy = f dx 1 + f f dx dx n. (22) x 1 x 2 x n y f x 1 + f f x x n. (23) x 1 x 2 x n x k = x k x k = e xk, (24) 17/41

18 de rotunjire de trunchiere inerente Eroarea absolută a rezultatului şi marginea ei e y = ȳ y = y: e y = n k=1 f x k e xk. (25) n f n e xk x k f n e xk x = f k x e x k k k=1 k=1 k=1 unde e xk a xk. Marginea erorii absolute a rezultatului a y = n f x a x k, k (26) k=1 n f x a x k. (27) k k=1 18/41

19 de rotunjire de trunchiere inerente Eroarea relativă a rezultatului şi marginea ei ε y = e y / y ε y = n k=1 f x k e xk y = n k=1 f e xk n x k y = f x k x k y ε x k. (28) k=1 Marginea erorii relative a rezultatului r y = n (ln f) x x k r xk. (29) k k=1 19/41

20 Cazuri particulare: +, - de rotunjire de trunchiere inerente Erori Adunare Scădere y = x 1 + x 2 y = x 1 x 2 Eroare absolută: e y = e x1 + e x2 e x1 e x2 majorată de: a y = a x1 + a x2 a x1 + a x2 x Eroare relativă: ε y = 1 εx1 x + x 1 +x 2 εx2 x 1 εx1 x 2 x 1 +x 2 x 1 x 2 εx2 2 x 1 x 2 x majorată de r y = 1 x rx1 + x 1 +x 2 x rx2 1 x rx1 + 2 x 1 +x 2 x 1 x 2 rx2 2 x 1 x 2 Erorile rezultatului adunării şi scăderii a două numere reale în funcţie de erorile datelor de intrare. NB! La adunare şi scădere marginile erorilor absolute se adună. Adunarea este o operaţie bine condiţionată. Scăderea este o operaţie prost condiţionată. 20/41

21 Exemplu Caracterizarea cantitativă a erorilor de rotunjire de trunchiere inerente x 1 = 1.23±1%, x 2 = 1.22±1% Scădere: r = 1.23/0.01 1/ /0.01 1/100 = = 2.45 = 245% x 1 x 2 = 0.01±245%. Adunare: r = 1.23/2.45 1/ /2.45 1/ / /100 = 1/100 = 1%. x 1 + x 2 = 2.45±1%. 21/41

22 Cazuri particulare: *, / de rotunjire de trunchiere inerente Erori Înmulţire Împărţire y = x 1 x 2 y = x 1 x2 Eroare absolută: e y = x 2 e x1 + x 1 e x2 1 x2 e x1 x 1 x 2 2 e x2 majorată de: a y = x 2 a x1 + x 1 a x2 1 x 2 ax 1 + x 1 x 2 2 a x2 Eroare relativă: ε y = ε x1 + ε x2 ε x1 ε x2 majorată de r y = r x1 + r x2 r x1 + r x2 Erorile rezultatului înmulţirii şi împărţirii a două numere reale în funcţie de erorile datelor de intrare. NB! La înmulţire şi împărţire marginile erorilor relative se adună. Înmulţirea şi împărţirea sunt operaţii bine condiţionate. 22/41

23 Scăderea trebuie evitată de rotunjire de trunchiere inerente ax 2 + bx + c = 0 x 1,2 = ( b ± b 2 4ac)/(2a) Ce se întâmplă dacă b > 0 şi b 2 4ac? Ce avantaj are următorul cod? dacă b > 0 x1 = ( b b 2 4ac)/(2a) altfel x1 = ( b + b 2 4ac)/(2a) x2 = c/(a x1) 23/41

24 Extragerea radicalului de rotunjire de trunchiere inerente y = x e y = df dx e x = 1 2 x e x, (30) ε y = e y y = 1 2 x x e x = e x 2x = ε x 2. (31) Dar rotunjirea nu poate fi ignorata! 24/41

25 Superpoziţia erorilor de rotunjire de trunchiere inerente eroarea relativă într-un calcul aproximativ = eroarea relativă produsă de calculul aproximativ cu numere exacte (eroarea de rotunjire) + eroarea relativă produsă de calculul exact cu numere aproximative (afectate deci de erori inerente). ȳ = y i (1+eps) = y(1+ε y )(1+eps) y(1+ε y +eps), de unde (ȳ y)/y = ε y +eps. ε x = ε x +eps. (32) 2 Eroarea relativă a oricărui rezultat numeric este cel puţin egală cu zeroul maşinii. 25/41

26 Condiţionare vs. stabilitate Condiţionare Stabilitate Condiţionarea se referă la comportarea problemei matematice la perturbaţii ale datelor. Stabilitatea se referă la comportarea algoritmului la perturbaţii ale datelor. 26/41

27 Condiţionare Caracterizarea cantitativă a erorilor Condiţionare Stabilitate Problemă matematică f formulată explicit: Fie f : D X şi d D. Să se găsească x X astfel încât f(d) = x. (33) O problemă este bine condiţionată dacă perturbaţii mici ale datelor conduc la perturbaţii mici ale rezultatului. 27/41

28 Condiţionare Stabilitate Reprezentări intuitive - problemă bine condiţionată D X d 1 f x 2 x 1 d 2 f D X d f x 28/41

29 Caracterizarea cantitativă a erorilor Condiţionare Stabilitate Reprezentări intuitive - problemă prost condiţionată D X d 1 f x 1 d 2 f x 2 D X d f x 29/41

30 Condiţionare Caracterizarea cantitativă a erorilor Condiţionare Stabilitate Problemă matematică poate fi formulată şi implicit: Fie g : X D şi d D. Să se găsească x X astfel încât g(x) = d. (34) 30/41

31 Condiţionare Stabilitate Reprezentări intuitive - problemă prost condiţionată rezultate x 2 x = f(d) date d 2 d 1 g(x) = d x 1 x 1 x 2 rezu d 1 d 2 date 31/41

32 Condiţionare Stabilitate Condiţionare - rezultat important Se demonstrează că între perturbaţia în date (reziduu) şi perturbaţia în rezultat (eroare) există următoarea relaţie: e x κ ε d, (35) unde κ este un scalar numit număr de condiţionare, care depinde de problema numerică abordată. (Vom reveni asupra lui la cursul următor). 32/41

33 Condiţionare - concluzii Condiţionare Stabilitate Reziduul nu dă informaţii despre eroare. Eroarea şi reziduul sunt legate prin numărul de condiţionare. Pentru o problemă cu număr de condiţionare mic, o perturbaţie mică în date va duce la o perturbaţie mică a rezultatului. Problemele matematice care au κ mare sunt prost condiţionate şi ele nu pot fi rezolvate cu ajutorul calculatorului. Pentru astfel de probleme, trebuie găsită o formulare matematică echivalentă din punct de vedere al rezultatului, dar bine condiţionată. 33/41

34 Condiţionare Stabilitate În cele ce urmează vom presupune că problema f este bine condiţionată şi pentru rezolvarea ei a fost conceput un algoritm f. 34/41

35 Caracterizarea cantitativă a erorilor Acurateţea unui algoritm Condiţionare Stabilitate Acurateţea unui algoritm se referă la eroarea soluţiei numerice. D X d f f x x eroare = O(eps) Reprezentarea intuitivă a unui algoritm a cărui precizie este ideală. În mod ideal, un algoritm este precis dacă: f(d) f(d) f(d) f(d) = "rezultatul algoritmului f aplicat datelor d". = O(eps). (36) 35/41

36 Stabilitatea unui algoritm Condiţionare Stabilitate Dar, rotunjirea datelor este inevitabilă, erorile se acumulează şi perturbă rezultatul. Este mai util să se ţintească stabilitatea algoritmului. Stabilitatea unui algoritm se referă la comportarea algoritmului atunci când datele de intrare sunt perturbate. Un algoritm f folosit pentru rezolvarea unei probleme f este stabil dacă f( d) f(d) = O(eps), (37) f(d) pentru ( ) d, d care satisfac d d / d = O(eps). Pe scurt, un algoritm stabil dă raspunsul aproape corect pentru date reprezentate aproape precis. 36/41

37 Condiţionare Stabilitate Ilustrarea stabilităţii unui algorim - problema Ax = b, unde A = [ x 2 = 1 x 1 + x 2 = 0 ] [ 1, b = 0 x 1 = 1, x 2 = 1. x = f(d) = [ 1, 1] T. Să considerăm acum că datele au fost perturbate: [ ] Ā =, x 1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 0 x 1 = x 2 = 1/( ) 1. Se poate demonstra că această problemă este bine condiţionată. ]. (38) (39) 37/41

38 Condiţionare Stabilitate Ilustrarea stabilităţii unui algorim - algoritmul f 1 Pasul 1: se înmulţeşte prima ecuaţie a sistemului cu ( ) şi se adună cu a doua, rezultând x 2 ; Pasul 2: se calculează x 1 din prima ecuaţie. La pasul 1 se ajunge la ecuaţia ( )x 2 = care, în calculator devine datorită rotunjirilor x 2 = 10 20, de unde va rezulta x 2 = 1, ceea ce este corect. La pasul 2 ecuaţia de rezolvat devine x = 1, de unde va rezulta x 1 = 0, ceea ce este greşit, foarte departe de valoarea adevărată. Acest algoritm este instabil. 38/41

39 Condiţionare Stabilitate Ilustrarea stabilităţii unui algorim - algoritmul f 2 Pasul 1: se înmulţeşte a doua ecuaţie a sistemului cu ( ) şi se adună cu prima, rezultând x 2 ; Pasul 2: se calculează x 1 din a doua ecuaţie. La pasul 1 se ajunge la ecuaţia ( )x 2 = 1, care în calculator devine x 2 = 1. La pasul 2 ecuaţia de rezolvat este x = 0, de unde x 1 = 1, ceea ce este corect. Algoritmul f 2 este stabil. Stabilitatea lui este foarte puternică, el a dat raspunsul exact pentru date de intrare aproape precise. 39/41

40 Condiţionare Stabilitate Concluzii - estimarea acurateţii unei solutii numerice 1 Se estimează numărul de condiţionare al problemei. Se continuă numai dacă problema matematică este bine condiţionată. 2 Se investighează stabilitatea algoritmului. Cel mai simplu este ca acest lucru să se realizeze experimental, rulându-se algoritmul pentru date perturbate. Dacă dispersia rezultatelor este mare atunci algoritmul este instabil şi trebuie schimbat. 3 Dacă algoritmul este stabil, atunci acurateţea finală (modulul erorii relative) este majorată de produsul dintre numărul de condiţionare şi modulul reziduului relativ. Despre un algoritm stabil care generează erori mici pentru probleme bine condiţionate se spune că este robust. 40/41

41 Condiţionare Stabilitate Lectura obligatorie pentru această săptămână Erori - Cap.2 din [1], Mihai Rebican, Daniel Ioan - Metode numerice in ingineria electrica - Îndrumar de laborator pentru studenţii facultăţii de Inginerie electrică, Editura Printech, 2013, disponibil la 41/41

Conf.dr.ing. Gabriela Ciuprina

Conf.dr.ing. Gabriela Ciuprina Conf.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică Suport didactic pentru disciplina Algoritmi Numerici, 2012 Cuprins 1 2 3 4 5 6 În

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Erorile sunt omniprezente. Februarie 2010

Erorile sunt omniprezente. Februarie 2010 Teoria erorilor şi aritmetică în virgulă flotantă Erorile sunt omniprezente Radu Tiberiu Trîmbiţaş Universitatea Babeş-Bolyai Februarie 2010 Radu Tiberiu Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai ) Teoria

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

ERORI ÎN CALCULUL NUMERIC

ERORI ÎN CALCULUL NUMERIC CALCUL NUMERIC. Erori în calculul numeric 1 ERORI ÎN CALCULUL NUMERIC 1. NUMERE APROXIMATIVE EROAREA ABSOLUTĂ ŞI RELATIVĂ Numărul a se numeşte aproximare a numărului A dacă valorile lor se deosebesc neînsemnat

Διαβάστε περισσότερα

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR 1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea

Διαβάστε περισσότερα

METODE DE CALCUL NUMERIC MATRICEAL. ALGORITMI FUNDAMENTALI

METODE DE CALCUL NUMERIC MATRICEAL. ALGORITMI FUNDAMENTALI METODE DE CALCUL NUMERIC MATRICEAL. ALGORITMI FUNDAMENTALI Bogdan Dumitrescu Corneliu Popeea Boris Jora Partea I Tuturor studenţilor, foşti, actuali sau viitori, precum şi copiilor noştri Andrei Octavia

Διαβάστε περισσότερα

Aparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1

Aparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 Aparate de măsurat Măsurări electronice Rezumatul cursului 2 MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 1. Aparate cu instrument magnetoelectric 2. Ampermetre şi voltmetre 3. Ohmetre cu instrument magnetoelectric

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 14. Polinoame

Capitolul 14. Polinoame Polinoame! Definirea noţiunii de polinom! Forma algebrică a polinoamelor! Reprezentarea polinoamelor în memoria calculatorului! Implementări sugerate! Probleme propuse! Soluţiile problemelor Capitolul

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

Curs 9: METODE NUMERICE UTILIZATE ÎN SIMULAREA SISTEMELOR DINAMICE

Curs 9: METODE NUMERICE UTILIZATE ÎN SIMULAREA SISTEMELOR DINAMICE Curs 9: METODE NUMERICE UTILIZATE ÎN SIMULAREA SISTEMELOR DINAMICE Noțiunea de sistem dinamic Clasificări Noțiunea de simulare Un sistem dinamic este o entitate care se caracterizează printr-un mod specific

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

Circuite electrice in regim permanent

Circuite electrice in regim permanent Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme apitolul. ircuite electrice in regim permanent. În fig. este prezentată diagrama fazorială a unui circuit serie. a) e fenomen este

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a V-a

Subiecte Clasa a V-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut

Διαβάστε περισσότερα

MULTIMEA NUMERELOR REALE

MULTIMEA NUMERELOR REALE www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Probleme pentru clasa a XI-a

Probleme pentru clasa a XI-a Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 3 I.S.A. Stabilitatea sistemelor liniare şi răspunsul în frecvență.

Laborator 3 I.S.A. Stabilitatea sistemelor liniare şi răspunsul în frecvență. Laborator 3 I.S.A. Stabilitatea sistemelor liniare şi răspunsul în frecvență. 1. Introducere...1 2. Stabilitatea sistemelor liniare...1 2.1 Stabilitatea internă...2 2.2 Stabilitatea externă...3 2.3. Exemple...4

Διαβάστε περισσότερα

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie) Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea sistemelor de control automat

Proiectarea sistemelor de control automat Paula Raica Departmentul de Automatică Str. Dorobantilor 7-73, sala C2, tel: 264-4267 Str. Baritiu 26-28, sala C4, tel: 264-22368 email: Paula.Raica@aut.utcluj.ro http://rocon.utcluj.ro/ts Universitatea

Διαβάστε περισσότερα

Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui

Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui - Introducere Αξιότιμε κύριε Πρόεδρε, Αξιότιμε κύριε Πρόεδρε, Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui Αγαπητέ κύριε, Αγαπητέ κύριε, Formal, destinatar de sex

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică

Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică Dorel Lucanu Faculty of Computer Science Alexandru Ioan Cuza University, Iaşi, Romania dlucanu@info.uaic.ro PA 2014/2015 D. Lucanu (FII - UAIC) Programare

Διαβάστε περισσότερα

Laborator biofizică. Noţiuni introductive

Laborator biofizică. Noţiuni introductive Laborator biofizică Noţiuni introductive Mărimi fizice Mărimile fizice caracterizează proprietăţile fizice ale materiei (de exemplu: masa, densitatea), starea materiei (vâscozitatea, fluiditatea), mişcarea

Διαβάστε περισσότερα

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =. Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

Εμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία

Εμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία - Εισαγωγή Stimate Domnule Preşedinte, Stimate Domnule Preşedinte, Εξαιρετικά επίσημη επιστολή, ο παραλήπτης έχει ένα ειδικό τίτλο ο οποίος πρέπει να χρησιμοποιηθεί αντί του ονόματος του Stimate Domnule,

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener 1 Caracteristica statică a unei diode Zener În cadranul, dioda Zener (DZ) se comportă ca o diodă redresoare

Διαβάστε περισσότερα

1. Reprezentarea numerelor şi operaţii aritmetice în sisteme de calcul.

1. Reprezentarea numerelor şi operaţii aritmetice în sisteme de calcul. 1. Reprezentarea numerelor şi operaţii aritmetice în sisteme de calcul. 1.1. Sisteme de reprezentare ale numerelor: a) Sistemul zecimal: baza sistemului este 10 simbolii (digiţi) sistemului sunt cifrele

Διαβάστε περισσότερα

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: (

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: ( Exemple e probleme rezolvate pentru curs 0 DEEA Recapitulare formule e calcul puteri ale numărului 0 n m n+ m 0 = 0 n n m =0 m 0 0 n m n m ( ) n = 0 =0 0 0 n Problema. Să se calculeze: a. 0 9 0 b. ( 0

Διαβάστε περισσότερα

Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y).

Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y). Ecuaţii diferenţiale Ecuaţii diferenţiale ordinare Ecuaţii cu derivate parţiale Ordinul unei ecuaţii Soluţia unei ecuaţii diferenţiale ordinare Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea de laborator nr. 14

Lucrarea de laborator nr. 14 Metode Numerice Lucrarea de laborator nr. 14 I. Scopul lucrării Integrarea numerică a ecuaţiilor diferenţiale şi a sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare II. Conţinutul lucrării 1. Generalităţi. 2.

Διαβάστε περισσότερα

2. CALCULE TOPOGRAFICE

2. CALCULE TOPOGRAFICE . CALCULE TOPOGRAFICE.. CALCULAREA DISTANŢEI DINTRE DOUĂ PUNCTE... CALCULAREA DISTANŢEI DINTRE DOUĂ PUNCTE DIN COORDONATE RECTANGULARE Distanţa în linie dreaptă dintre două puncte se poate calcula dacă

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl

Διαβάστε περισσότερα

ANEXA 4. OPERAŢII ARITMETICE IMPLEMENTĂRI

ANEXA 4. OPERAŢII ARITMETICE IMPLEMENTĂRI ANEXA 4. OPERAŢII ARITMETICE IMPLEMENTĂRI ADUNAREA ÎN BINAR: A + B Adunarea a două numere de câte N biţi va furniza un rezultat pe N+1 biţi. Figura1. Anexa4. Sumator binar complet Schema bloc a unui sumator

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh. Copyright Paul GASNER 1

2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh. Copyright Paul GASNER 1 2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh Copyright Paul GASNER Diagrame Karnaugh Tehnică de simplificare a unei expresii în sumă minimă de produse (minimal sum of products MSP): Există un număr minim

Διαβάστε περισσότερα

1Reziduuri şi aplicaţii

1Reziduuri şi aplicaţii Reziduuri şi aplicaţii În acest curs vom prezenta noţiunea de reziduu, modul de calcul al reziduurilor, teorema reziduurilor şi câteva aplicaţii ale teoremei reziduurilor, în special la calculul unor tipuri

Διαβάστε περισσότερα

Metode de sortare. Se dau n numere întregi, elemente ale unui vector a. Se cere să se aranjeze elementele vectorului a în ordine crescătoare.

Metode de sortare. Se dau n numere întregi, elemente ale unui vector a. Se cere să se aranjeze elementele vectorului a în ordine crescătoare. Metode de sortare Se dau n numere întregi, elemente ale unui vector a. Se cere să se aranjeze elementele vectorului a în ordine crescătoare. 1. Sortare prin selecţie directă Sortarea prin selecţia minimului

Διαβάστε περισσότερα

5.1. Noţiuni introductive

5.1. Noţiuni introductive ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 3 SISTEME DE FORŢE (continuare) CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 3.1. Momentul forţei în raport cu un punct...2 Test de autoevaluare

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Circuite cu diode în conducţie permanentă

Circuite cu diode în conducţie permanentă Circuite cu diode în conducţie permanentă Curentul prin diodă şi tensiunea pe diodă sunt legate prin ecuaţia de funcţionare a diodei o cădere de tensiune pe diodă determină valoarea curentului prin ea

Διαβάστε περισσότερα

II. 5. Probleme. 20 c 100 c = 10,52 % Câte grame sodă caustică se găsesc în 300 g soluţie de concentraţie 10%? Rezolvare m g.

II. 5. Probleme. 20 c 100 c = 10,52 % Câte grame sodă caustică se găsesc în 300 g soluţie de concentraţie 10%? Rezolvare m g. II. 5. Problee. Care ete concentraţia procentuală a unei oluţii obţinute prin izolvarea a: a) 0 g zahăr în 70 g apă; b) 0 g oă cautică în 70 g apă; c) 50 g are e bucătărie în 50 g apă; ) 5 g aci citric

Διαβάστε περισσότερα

Prelegerea 11. Securitatea sistemului RSA Informaţii despre p şi q

Prelegerea 11. Securitatea sistemului RSA Informaţii despre p şi q Prelegerea 11 Securitatea sistemului RSA Vom trece în revistă câteva modalităţi de atac ale sistemelor de criptare RSA. Ca o primă observaţie, RSA nu rezistă la un atac de tipul meet-in-the middle, strategia

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea filtrelor FIR prin metoda ferestrei

Proiectarea filtrelor FIR prin metoda ferestrei 1 Laboratorul 4 Proiectarea filtrelor FIR prin metoda ferestrei 4.1 Tema Înţelegerea metodei ferestrei pentru proiectarea filtrelor FIR. Rezolvarea unor probleme de proiectare de tip răspuns cu toleranţe

Διαβάστε περισσότερα

Programarea Calculatoarelor

Programarea Calculatoarelor Programarea Calculatoarelor Modul 1: Rezolvarea algoritmică a problemelor Introducere în programare Algoritm Obiectele unui algoritm Date Constante Variabile Expresii Operaţii specifice unui algoritm şi

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VI-a

Subiecte Clasa a VI-a Clasa a VI Lumina Math Intrebari (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns

Διαβάστε περισσότερα

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe

Διαβάστε περισσότερα

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45 Analizǎ matematicǎ Chiş Codruţa 2 Cuprins 1 Serii numerice 5 1.1 Definiţii. Exemple....................... 5 1.2 Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni pozitivi... 8 1.3 Criterii de convergenţǎ

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea nr. 7: Reprezentarea în frecvenţă a funcţiilor de transfer. Criterii de stabilitate

Lucrarea nr. 7: Reprezentarea în frecvenţă a funcţiilor de transfer. Criterii de stabilitate Lucrarea nr. 7: prezentarea în frecvenţă a funcţiilor de transfer. Criterii de stabilitate. Scopul lucrării Se va face analiza comportării în frecvenţă a sistemelor de reglare automate (reprezentarea hodografului

Διαβάστε περισσότερα

2. CONDENSATOARE 2.1. GENERALITĂŢI PRIVIND CONDENSATOARELE DEFINIŢIE UNITĂŢI DE MĂSURĂ PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI CONDENSATOARELOR SIMBOLURILE

2. CONDENSATOARE 2.1. GENERALITĂŢI PRIVIND CONDENSATOARELE DEFINIŢIE UNITĂŢI DE MĂSURĂ PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI CONDENSATOARELOR SIMBOLURILE 2. CONDENSATOARE 2.1. GENERALITĂŢI PRIVIND CONDENSATOARELE DEFINIŢIE UNITĂŢI DE MĂSURĂ PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI CONDENSATOARELOR SIMBOLURILE CONDENSATOARELOR 2.2. MARCAREA CONDENSATOARELOR MARCARE

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

A1. Valori standardizate de rezistenţe

A1. Valori standardizate de rezistenţe 30 Anexa A. Valori standardizate de rezistenţe Intr-o decadă (valori de la la 0) numărul de valori standardizate de rezistenţe depinde de clasa de toleranţă din care fac parte rezistoarele. Prin adăugarea

Διαβάστε περισσότερα

Probleme de la Olimpiadele Internationale de Matematica

Probleme de la Olimpiadele Internationale de Matematica Probleme de la Olimpiadele Internationale de Matematica Student Budescu Angela Grupa 13 1 Cuprins 1. Introducere...3. Scopul si durata...4 3. Obiective cadru (Competente generale)...5 4. Obiective specifice

Διαβάστε περισσότερα

Prelegerea 10. Sistemul de criptare RSA Descrierea sistemului RSA

Prelegerea 10. Sistemul de criptare RSA Descrierea sistemului RSA Prelegerea 10 Sistemul de criptare RSA 10.1 Descrierea sistemului RSA Sistemul de criptare RSA (Rivest - Shamir - Adlema este în acest moment cel mai cunoscut şi uzitat sistem cu cheie publică 1. Aceasta

Διαβάστε περισσότερα

Curs 6 Relatii de cointegrare

Curs 6 Relatii de cointegrare Curs 6 Relatii de cointegrare Intuitie: Doua serii de timp sunt in relatie de cointegrare daca nu sunt neaparat corelate, dar o combinatie liniara a lor este de medie si varianta constante: mai devreme

Διαβάστε περισσότερα