Integrarea numerică. Prof.dr.ing. Gabriela Ciuprina. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică
|
|
|
- Ἰάειρος Βλαβιανός
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Algoritmi Numerici, /40
2 Cuprins Introducere 1 Introducere Importanţa evaluării integralelor Formularea problemei integrării numerice Idei de calcul numeric Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson 3 Analiza erorii Metoda trapezelor recursive Metoda Romberg 4 /40
3 Importanţa evaluării integralelor Importanţa evaluării integralelor Formularea problemei integrării numerice Idei de calcul numeric Relaţii utile pentru evaluarea unor mărimi: u = E dl ϕ = B da q = C Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale S D ρ dv dx dt t = f(x(t), f) x(t) = x(t 0 )+ f(x(t ), t ) dt t 0 "rezolvare" = "integrare" (în acest context) 3/40
4 Importanţa evaluării integralelor Formularea problemei integrării numerice Idei de calcul numeric Formularea problemei - cazul cel mai simplu Se dă funcţia f : [a, b] IR (cunoscută prin date sau prin cod) Se cere evaluarea numerică a integralei definite b a f(x) dx unde f este presupusă continuă şi mărginită. Numeric: idei inspirate din matematică. 4/40
5 Idei de calcul numeric (I) Importanţa evaluării integralelor Formularea problemei integrării numerice Idei de calcul numeric T. fundamentală a analizei Dacă f e continuă şi F este o primitivă a ei (F = f ) atunci b a f(x) dx = F(b) F(a) În problemele reale F nu este cunoscută aplicarea acestei metode este foarte grea / imposibilă. 5/40
6 Idei de calcul numeric (I) Importanţa evaluării integralelor Formularea problemei integrării numerice Idei de calcul numeric T. fundamentală a analizei Dacă f e continuă şi F este o primitivă a ei (F = f ) atunci b a f(x) dx = F(b) F(a) În problemele reale F nu este cunoscută aplicarea acestei metode este foarte grea / imposibilă. :( 5/40
7 y y Introducere Idei de calcul numeric (II) Importanţa evaluării integralelor Formularea problemei integrării numerice Idei de calcul numeric Semnificaţia geometrică a integralei x x 6/40
8 y y Introducere Idei de calcul numeric (II) Importanţa evaluării integralelor Formularea problemei integrării numerice Idei de calcul numeric Semnificaţia geometrică a integralei x x În calculator funcţiile nu au reprezentări continue. 6/40
9 y y Introducere Idei de calcul numeric (II) Importanţa evaluării integralelor Formularea problemei integrării numerice Idei de calcul numeric Semnificaţia geometrică a integralei x x În calculator funcţiile nu au reprezentări continue. : 6/40
10 y y Introducere Idei de calcul numeric (III) Importanţa evaluării integralelor Formularea problemei integrării numerice Idei de calcul numeric Definiţia integralei folosind sume Darboux Partiţia P : a = x 0 < x 1 <... < x n = b x x 7/40
11 y y Introducere Idei de calcul numeric (III) Importanţa evaluării integralelor Formularea problemei integrării numerice Idei de calcul numeric Definiţia integralei folosind sume Darboux Partiţia P : a = x 0 < x 1 <... < x n = b x x 7/40
12 Idei de calcul numeric (III) Importanţa evaluării integralelor Formularea problemei integrării numerice Idei de calcul numeric Definiţia integralei folosind sume Darboux Partiţia P : a = x 0 < x 1 <... < x n = b m i = inf{f(x) : x i x x i+1 } L(f,P) = n 1 i=0 m i(x i+1 x i ) M i = sup{f(x) : x i x x i+1 } U(f,P) = n 1 i=0 M i(x i+1 x i ) L(f,P) b a f(x) dx U(f,P) Dacă inf P U(f,P) = sup P L(f,P) atunci această valoare este integrala (Riemann). :) T. Orice funcţie continuă, mărginită, definită pe un domeniu închis este integrabilă Riemann. 7/40
13 Idei de calcul numeric (recap.) Importanţa evaluării integralelor Formularea problemei integrării numerice Idei de calcul numeric Metodele de integrare numerică Sunt inspirate de metodele care calculează arii; Cea mai simplă metodă - aria e aproximată de o reuniune de dreptunghiuri. f g, unde g este constantă pe porţiuni şi b a f(x) dx b a g(x) dx Aproximări mai rafinate pentru g pot conduce la rezultate mai bune. 8/40
14 Idei de calcul numeric Importanţa evaluării integralelor Formularea problemei integrării numerice Idei de calcul numeric Algoritmii depind de modul în care este definită funcţia: printr-un tabel de valori {x k, y k = f(x k )}, k = 0, n prin cod f(x) poate fi evaluat în orice x din domeniul de definiţie. 9/40
15 y Introducere Metoda dreptunghiurilor - Ideea Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson y i Li yi+1 1 y i+1 yi Ui x i i+1 x xi i+1 x L i = (x i+1 x i ) min(y i, y i+1 ) U i = (x i+1 x i ) max(y i, y i+1 ) n 1 L = L i i=0 n 1 U = i=0 U i 10/40
16 Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson Metoda dreptunghiurilor - Algoritm funcţie integrala_dreptunghi(n,x,y) ; calculează integrala numerică prin metoda dreptunghiurilor întreg n tablou real x[n], y[n] ; tabelul de valori, indici de la 0 L = 0 U = 0 pentru i = 0, n 1 m i = min(y i, y i+1 ) M i = max(y i, y i+1 ) h = x i+1 x i L = L + mh U = U + Mh val.l = L val.u = U întoarce val 11/40
17 Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson Metoda dreptunghiurilor - Algoritm funcţie integrala_dreptunghi(n,x,y) ; calculează integrala numerică prin metoda dreptunghiurilor întreg n tablou real x[n], y[n] ; tabelul de valori, indici de la 0 L = 0 U = 0 pentru i = 0, n 1 m i = min(y i, y i+1 ) M i = max(y i, y i+1 ) h = x i+1 x i L = L + mh U = U + Mh val.l = L val.u = U întoarce val T = O(5n) M = O(n) 11/40
18 Metoda dreptunghiurilor - Euler Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson f(x (j),t j ) dx = f(x(t), t) dt Euler implicit: x (j) x (j 1) h = f(x (j), t j ) x (j) = x (j 1) + hf(x (j), t j ) tj t j 1 t j 1 dx dt dt = h tj t j t j 1 f(x(t), t) dt x(t j ) x(t j 1 ) = I I aria dreptunghiului de înălţime coresp. lui t j x (j) x (j 1) = hf(x (j), t j ) t 1/40
19 Metoda dreptunghiurilor - Euler Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson f(x (j),t j ) dx = f(x(t), t) dt Euler implicit: x (j) x (j 1) h = f(x (j), t j ) x (j) = x (j 1) + hf(x (j), t j ) A "rezolva" ecuaţii diferenţiale = a "integra" ecuaţii diferenţiale tj t j 1 t j 1 dx dt dt = h tj t j t j 1 f(x(t), t) dt x(t j ) x(t j 1 ) = I I aria dreptunghiului de înălţime coresp. lui t j x (j) x (j 1) = hf(x (j), t j ) t 1/40
20 Metoda dreptunghiurilor - Euler Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson dx = f(x(t), t) dt Euler explicit: x (j) x (j 1) h = f(x (j 1), t j 1 ) x (j) = x (j 1) + hf(x (j 1), t j 1 ) A "rezolva" ecuaţii diferenţiale = a "integra" ecuaţii diferenţiale tj f(x (j 1),t j 1 ) t j 1 t j 1 dx dt dt = h tj t j t j 1 f(x(t), t) dt x(t j ) x(t j 1 ) = I I aria dreptunghiului de înălţime coresp. lui t j 1 x (j) x (j 1) = hf(x (j 1), t j 1 ) t 13/40
21 y y Introducere Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson Metoda dreptunghiurilor - Pe scurt În metoda dreptunghiurilor f este aproximată cu o funcţie g constantă pe porţiuni care încadrează inferior/superior funcţia. Variante mai bune g este liniară pe porţiuni - metoda trapezelor; g parabolă pe porţiuni - metoda Simson x Dreptunghiuri - L x 14/40
22 y y Introducere Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson Metoda dreptunghiurilor - Pe scurt În metoda dreptunghiurilor f este aproximată cu o funcţie g constantă pe porţiuni care încadrează inferior/superior funcţia. Variante mai bune g este liniară pe porţiuni - metoda trapezelor; g parabolă pe porţiuni - metoda Simson x Dreptunghiuri - U x 14/40
23 y y Introducere Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson Metoda dreptunghiurilor - Pe scurt În metoda dreptunghiurilor f este aproximată cu o funcţie g constantă pe porţiuni care încadrează inferior/superior funcţia. Variante mai bune g este liniară pe porţiuni - metoda trapezelor; g parabolă pe porţiuni - metoda Simson x Trapeze x 14/40
24 Metoda trapezelor - Ideea Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson T i = 1 (y i + y i+1 )(x i+1 x i ) y i T i y i x i x x i+1 n 1 T = i=0 T i T = 1 n 1 (y i +y i+1 )(x i+1 x i ) i=0 Obs: T = (L+U)/ 15/40
25 Metoda trapezelor - Ideea Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson T = 1 n 1 (y i + y i+1 )(x i+1 x i ) i=0 În cazul unui pas echidistant x i+1 x i = h, i = 0,...,n 1: ( n 1 ) T = h n 1 (y i + y i+1 ) = h n 1 y i + y i+1 = i=0 i=0 i=0 ( = h n 1 ) ( ) n y i + y i = h n 1 n 1 y 0 + y i + y i + y n = = h i=0 i=1 ( 1 y n y i + 1 y n i=1 ) i=1 i=1 (1) 16/40
26 Metoda trapezelor - Pe scurt Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson Integrala numerică este o combinaţie liniară a valorilor funcţiei. În metoda trapezelor coeficienţii sunt: y 0 y 1 y y n y n 1 y n h h h h h h Formulele de integrare numerică se mai numesc şi reguli de cuadratură. 17/40
27 Metoda trapezelor - Algoritm Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson funcţie integrala_trz(n,x,y) ; calculează integrala numerică prin metoda trapezelor întreg n tablou real x[n], y[n] ; tabelul de valori, indici de la 0 T = 0 pentru i = 0, n 1 h = x i+1 x i T = T +(y i + y i+1 )h întoarce T 18/40
28 Metoda trapezelor - Algoritm Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson funcţie integrala_trz(n,x,y) ; calculează integrala numerică prin metoda trapezelor întreg n tablou real x[n], y[n] ; tabelul de valori, indici de la 0 T = 0 pentru i = 0, n 1 h = x i+1 x i T = T +(y i + y i+1 )h întoarce T T = O(4n) M = O(n) 18/40
29 Metoda trapezelor - Algoritm Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson funcţie integrala_trz_uniform(n,x,y) ; calculează integrala numerică prin metoda trapezelor, pas echidistant întreg n tablou real x[1], y[n] ; tabelul de valori, indici de la 0 T = (y 0 + y n)/ h = x 1 x 0 pentru i = 1, n 1 T = T + y i întoarce Th 19/40
30 Metoda trapezelor - Algoritm Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson funcţie integrala_trz_uniform(n,x,y) ; calculează integrala numerică prin metoda trapezelor, pas echidistant întreg n tablou real x[1], y[n] ; tabelul de valori, indici de la 0 T = (y 0 + y n)/ h = x 1 x 0 pentru i = 1, n 1 T = T + y i întoarce Th T = O(n) M = O(n) 19/40
31 y Introducere Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson Metoda trapezelor - Eroarea de trunchiere locală - pe fiecare interval; globală - pe întreg domeniul x 0/40
32 Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson Metoda trapezelor - Eroarea de trunchiere Eroarea locală absolută: e loc = xk+1 x k f(x) dx xk+1 x k g(x) dx () e loc = e loc = f (ζ) xk+1 x k (f(x) g(x)) dx = xk+1 e interp (x) = f (ζ) (x x k)(x x k+1 ) xk+1 x k x k e interp (x) dx (x x k )(x x k+1 ) dx = f (ζ) 1 (x k+1 x k ) 3 e loc Ch 3 unde h = x k+1 x k e loc = O(h ) 1/40
33 Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson Metoda trapezelor - Eroarea de trunchiere Eroarea globală absolută: e g = b a e g = b n 1 (f(x) g(x)) dx = a b f(x) dx g(x) dx (3) a k=0 xk+1 n 1 (f(x) g(x)) dx = x k e g nch 3 = b a h Ch3 = O(h ) k=0 e loc,k /40
34 y Introducere Metoda Simpson - Ideea Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson x S i = xi+1 x i 1 g(x) dx unde g este polinomul de interpolare locală de ordin. S = S 1 + S 3 + +S n 1 Numărul de puncte din tabel trebuie să fie impar. 3/40
35 Metoda Simpson - Pe scurt Metoda dreptunghiurilor Metoda trapezelor Metoda Simpson În cazul unui pas echidistant, se demonstrează că ( 1 S i = h 3 y i y i + 1 ) 3 y i+1 y 0 y 1 y y 3 y 4 y n y n 1 y n h 3 4h 3 h 3 4h 3 h h 3 3 4h 3 h 3 e g = O(h 4 ) OBS: dacă funcţia e definită prin cod, este mai eficient să ajungem la o astfel de eroare folosind extrapolarea Richardson. 4/40
36 Metoda trapezelor - eroare Analiza erorii Metoda trapezelor recursive Metoda Romberg Pasul de integrare poate fi ales de utilizator. Eroarea globală de trunchiere O(h ) scade atunci când h scade; Dar rotunjirile? 5/40
37 Metoda trapezelor - eroare Analiza erorii Metoda trapezelor recursive Metoda Romberg Dacă pp. e yk /y k < eps şi e h = 0 atunci ( ) n h 1/ e y0 +1/ e yn + e yk e r h ( k=1 1/ y 0 eps+1/ y n eps+ ) n y k eps k=1 ChnM 0 eps = C(b a)m 0 eps = O(1) Integrala este mult mai robustă decât derivarea numerică. Nu numai că erorile de trunchiere sunt mai mici pentru acelaşi tip de funcţie de intepolare (lpp), dar şi efectul erorilor de rotunjire este mai mic. 6/40
38 Analiza erorii Metoda trapezelor recursive Metoda Romberg Metoda trapezelor - efort de calcul În cazul funcţiilor date prin cod operaţia de referinţă este evaluarea funcţiei de integrat. Numărul de evaluări de funcţii creşte cu atunci când h scade. Trebuie făcut un compromis între pasul de integrare şi efortul de calcul. Notasem: E mai bine să notăm acum: T = h (y n y n )+h i=1 y i 7/40
39 Analiza erorii Metoda trapezelor recursive Metoda Romberg Metoda trapezelor - efort de calcul În cazul funcţiilor date prin cod operaţia de referinţă este evaluarea funcţiei de integrat. Numărul de evaluări de funcţii creşte cu atunci când h scade. Trebuie făcut un compromis între pasul de integrare şi efortul de calcul. Notasem: E mai bine să notăm acum: T = h (y n y n )+h i=1 T = h (f(x n 1 0)+f(x n ))+h f(x i ) i=1 y i 7/40
40 Analiza erorii Metoda trapezelor recursive Metoda Romberg Metoda trapezelor - efort de calcul În cazul funcţiilor date prin cod operaţia de referinţă este evaluarea funcţiei de integrat. Numărul de evaluări de funcţii creşte cu atunci când h scade. Trebuie făcut un compromis între pasul de integrare şi efortul de calcul. Notasem: E mai bine să notăm acum: T = h (y n y n )+h i=1 T(f,P) = h (f(x n 1 0)+f(x n ))+h f(x i ) y i i=1 7/40
41 Analiza erorii Metoda trapezelor recursive Metoda Romberg Metoda trapezelor - efort de calcul În cazul funcţiilor date prin cod operaţia de referinţă este evaluarea funcţiei de integrat. Numărul de evaluări de funcţii creşte cu atunci când h scade. Trebuie făcut un compromis între pasul de integrare şi efortul de calcul. Notasem: E mai bine să notăm acum: T = h (y n y n )+h i=1 T(f,P) = h (f(x n 1 0)+f(x n ))+h f(x i ) unde P este o partiţie a domeniului: a = x 0, x 1,...,x n = b y i i=1 7/40
42 Trapeze recursive - Ideea Analiza erorii Metoda trapezelor recursive Metoda Romberg Se înjumătăţesc intervalele până când valoarea integralei nu se mai modifică; La fiecare pas se evaluează funcţia numai în punctele în care nu a mai fost evaluată. Partiţia iniţială: P 0 : a = x 0, x 1 = b Pasul iniţial: h 0 = b a Prima aproximaţie a integralei: T 0 = T(f,P 0 ) = b a (f(a)+f(b)) 8/40
43 Trapeze recursive - Ideea Analiza erorii Metoda trapezelor recursive Metoda Romberg P 1 : a = x 0, x (1) 1 = (a+b)/, x = b h 1 = (b a)/ T 1 = T(f,P 1 ) = h 1 (f(a)+f(b))+h 1f(x (1) 1 ) o evaluare nouă P : a = x 0, x () h = (b a)/ două evaluari noi 1, x(), x() 3, x 4 = b T = T(f,P ) = h (f(a)+f(b))+h 3 i=1 f(x () i ) 9/40
44 Trapeze recursive - Ideea Analiza erorii Metoda trapezelor recursive Metoda Romberg P m : a = x 0, x (m) 1, x (m),...,x m = b h m = (b a)/ m T m = T(f,P m ) = h m (f(a)+f(b))+h m 1 m (x (m) i ) i=1 Algoritmul se bazează pe următoarea relaţie de recurenţă: T m = 1 T m 1 m 1 + h m f(a+(i 1)h m ) T 0, T 1, T, T 3,... şi se opreşte atunci când diferenţa dintre două aproximaţii consecutive este mai mică decât o toleranţă impusă. i=1 30/40
45 Trapeze recursive - Alte notaţii Analiza erorii Metoda trapezelor recursive Metoda Romberg Alte notaţii, utile pentru ce urmează: (R - de la Romberg) T m = R(m, 0) R(m, 0) = 1 m 1 R(m 1, 0)+h f(a+(i 1)h) unde h = (b a)/ m. i=1 31/40
46 Extrapolarea Richardson - Ideea Analiza erorii Metoda trapezelor recursive Metoda Romberg La trapeze, eroarea globală este O(h ): I(h) = I 0 + Ch 1 Evaluăm integrala pentru h 0 : 0 I 1 = I 0 + Ch h/ h Reducem pasul la jumătate: I = I 0 + C I 0 = 4I I 1 3 ( ) h0 3/40
47 Extrapolarea Richardson Analiza erorii Metoda trapezelor recursive Metoda Romberg Obs: Formula care se obţine este exact formula Simpson (nr. impar de noduri). I 0 nu este chiar valoarea exactă (nici într-o aritmetică precisă), deoarece se demonstrează că eroare de trunchiere este mai precis I(h) = I 0 + c h + c 4 h 4 + c 6 h 6 + Mai corect este să aplicăm extrapolarea Richardson, aşa cum am procedat la derivare. 33/40
48 Analiza erorii Metoda trapezelor recursive Metoda Romberg Extrapolare Richardson - Ideea generală Se poate aplica pentru aproximarea cu acurateţe din ce în ce mai mare a unei mărimi I, pentru care există o funcţie ϕ(h). a.î. I = lim h 0 ϕ(h) ϕ(h) poate fi evaluată pentru orice h; are loc proprietatea: ϕ(h) = I a k h k (4) k=1 unde coeficienţii a k nu sunt cunoscuţi. Se alege un h potrivit şi se calculează numerele R(i, 0) = ϕ(h/ i ), i = 0,...,n. (5) 34/40
49 Analiza erorii Metoda trapezelor recursive Metoda Romberg Extrapolare Richardson - Ideea generală R(i, 0) reprezintă estimări ale lui I, dar estimări mai precise se pot obţine prin extrapolare Richardson. Se demonstrează că [Cheney]: R(i, j) = R(i, j 1)+(R(i, j 1) R(i 1, j 1))/(4 i 1), j = 0,...,i. (6) R(0, 0) R(1, 0) R(1, 1) R(, 0) R(, 1) R(, )... R(n, 0) R(n, 1) R(n, ) R(n, n) (7) 35/40
50 Metoda Romberg Analiza erorii Metoda trapezelor recursive Metoda Romberg Metoda Romberg = extrapolare Richardson pentru evaluarea integralelor Se dau: funcţia dată prin cod f ; informaţia despre ordinul erorii la care dorim să ajungem n. pentru i = 0, n R i,0 =... ; apel trapeze pentru j = 1, i R i,j = R i,j 1 +(R i,j 1 R i 1,j 1 )/(4 i 1) h = h/ 36/40
51 Introducere se bazează pe calcul de arii; Rezultatul final = combinaţie liniară ale valorilor funcţiei într-un număr de puncte; Metoda dreptunghiurilor O(h) Metoda trapezelor O(h ) Metoda Simpson O(h 4 ) Schemele recursive - îndesirea reţelei, se păstrează ordinul Romberg (Extrapolarea Richardson) - obţine estimări cu ordine din ce în ce mai precise 37/40
52 Alte aspecte Introducere Metodele se pot generaliza pentru calcul de integrare pe domenii multidimensionale cubice, dar efortul de calcul creşte cu creşterea dimensiunii domeniului; Pentru domenii multidimensionale cubice o metoda mai eficientă de integrare este metoda Gauss care pentru un număr fixat de puncte găseşte cei mai potriviţi coeficienţi ai combinaţiei liniare finale; În cazul domeniilor de orice formă, sau domeniilor de dimensiuni mari, este de preferat folosirea metodei Monte Carlo 38/40
53 Referinţe Introducere Minimal: [Ioan98] D. Ioan et al., Metode numerice in ingineria electrica, Ed. Matrix Rom, Bucuresti, (Capitolul 15) Alte recomandări: [Cheney] Ward Cheney and David Kincaid, Numerical Mathematics and Computing, Brooks/Cole publishing Company, /40
54 Tema 11 (din categoria "examen") Implementaţi şi testaţi o procedură de integrare numerică pentru a calcula rezistenţa conductorului analizat în a doua aplicaţie de la MDF (unde aţi rezolvat o ecuaţie Laplace într-un domeniu dreptunghiular). Scriti un scurt raport coerent, în care să justificăti: 1 Metoda de integrare numerică folosită. (5 pct) Testele pe care le-aţi făcut pentru validarea implementării. (15 pct) 3 Analiza influenţei pasului de discretizare asupra rezultatului. (10 pct) OBS: Şi această temă are pondere triplă faţa de alte teme din categoria "examen". 40/40
Integrarea numerică. Prof.dr.ing. Gabriela Ciuprina. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică
Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, 017-018 1/35 Cuprins Introducere 1 Introducere Importanţa evaluării
Integrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare. Cuprins. Prof.dr.ing. Gabriela Ciuprina
Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice,
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Curs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Interpolarea funcţiilor.
Interpolarea funcţiilor.. Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, 2017-2018 1/52 Cuprins Introducere 1 Introducere
SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
riptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Curs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Laborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale
Laborator 6 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Responsabili: 1. Surdu Cristina(anacristinasurdu@gmail.com) 2. Ştirbăţ Bogdan(bogdanstirbat@yahoo.com) Obiective În urma parcurgerii acestui laborator elevul
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
MARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy
Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,
Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Subiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Noţiuni introductive
Metode Numerice Noţiuni introductive Erori. Condiţionare numerică. Stabilitatea algoritmilor. Complexitatea algoritmilor. Metodele numerice reprezintă tehnici prin care problemele matematice sunt reformulate
Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
I. Noţiuni introductive
Metode Numerice Curs 1 I. Noţiuni introductive Metodele numerice reprezintă tehnici prin care problemele matematice sunt reformulate astfel încât să fie rezolvate numai prin operaţii aritmetice. Prin trecerea
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Teme de implementare in Matlab pentru Laboratorul de Metode Numerice
Teme de implementare in Matlab pentru Laboratorul de Metode Numerice As. Ruxandra Barbulescu Septembrie 2017 Orice nelamurire asupra enunturilor/implementarilor se rezolva in cadrul laboratorului de MN,
Subiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
1.3. Erori în calculele numerice
Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, 2017-2018 1/41 Cuprins Caracterizarea
Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Criptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Conf.dr.ing. Gabriela Ciuprina
Conf.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică Suport didactic pentru disciplina Algoritmi Numerici, 2012 Cuprins 1 2 3 4 5 6 În
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR
Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu
Laborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu
INTRODUCERE Laborator 1: ÎN ALGORITMI Întocmit de: Claudia Pârloagă Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu I. NOŢIUNI TEORETICE A. Sortarea prin selecţie Date de intrare: un şir A, de date Date de ieşire:
Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Cap.2. Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode directe (II)
Cap.2. Sisteme de ecuaţii algebrice liniare - metode directe (II) Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică Suport didactic
SEMINAR TRANSFORMAREA LAPLACE. 1. Probleme. ω2 s s 2, Re s > 0; (4) sin ωt σ(t) ω. (s λ) 2, Re s > Re λ. (6)
SEMINAR TRANSFORMAREA LAPLACE. Probleme. Foloind proprieaea de liniariae, ă e demonreze urmăoarele: in σ(, Re > ; ( + penru orice C. co σ( h σ( ch σ(, Re > ; ( +, Re > ; (3, Re > ; (4. Să e arae că penru
Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
z a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Curs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
METODE NUMERICE: Laborator #5 Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor: Jacobi, Gauss-Siedel, Suprarelaxare
METODE NUMERICE: Laborator #5 Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor: Jacobi, Gauss-Siedel, Suprarelaxare Titulari curs: Florin Pop, George-Pantelimon Popescu Responsabil Laborator: Mădălina-Andreea
Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:
Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,
Algoritmi numerici pentru analiza circuitelor electrice rezistive neliniare
numerici pentru analiza circuitelor electrice rezistive neliniare Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică Suport didactic
CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.
Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1
T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Probleme pentru clasa a XI-a
Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =
CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1
Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Metodele numerice de integrare se clasifică după tipul funcţiei de integrat şi valoarea limitelor de integrare.
INTEGRAREA NUMERICĂ 1. SCOPUL LUCRĂRII Prezentarea principiului integrării numerice precum şi a unor algoritmi consacraţi de integrare numerică, implementarea acestora în limbaje de nivel înalt (în particular
V O. = v I v stabilizator
Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,
Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,
INTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0
INTERPOLARE Se dau punctele P 0, P 1,..., P n in plan sau in spatiu, numite noduri si avand vectorii de pozitie r 0, r 1,..., r n. Problemă. Să se găsească o curbă (dintr-o anumită familie) care să treacă
Sisteme liniare - metode directe
Sisteme liniare - metode directe Radu T. Trîmbiţaş 27 martie 2016 1 Eliminare gaussiană Să considerăm sistemul liniar cu n ecuaţii şi n necunoscute Ax = b, (1) unde A K n n, b K n 1 sunt date, iar x K
CURS 11. Rădăcină unei ecuatii: Cum se defineste o rădăcină aproximativă?
CURS 11 Rezolvarea ecuaţiilor transcendente Fie ecuatia: f(x)=0 algebrică - dacă poate fi adusă la o formă polinomială transcendentă dacă nu este algebrică Ecuaţii algebrice: 3x=9; 2x 2-3x+2=0; x5=x(2x-1);
RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul
Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea
Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Conice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Integrale cu parametru
1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul
SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
( ) () t = intrarea, uout. Seminar 5: Sisteme Analogice Liniare şi Invariante (SALI)
Seminar 5: Sieme Analogice iniare şi Invariane (SAI) SAI po fi caracerizae prin: - ecuaţia diferenţială - funcţia de iem (fd) H() - funcţia pondere h - răpunul indicial a - răpunul la frecvenţă H(j) ăpunul
2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Curs 9: METODE NUMERICE UTILIZATE ÎN SIMULAREA SISTEMELOR DINAMICE
Curs 9: METODE NUMERICE UTILIZATE ÎN SIMULAREA SISTEMELOR DINAMICE Noțiunea de sistem dinamic Clasificări Noțiunea de simulare Un sistem dinamic este o entitate care se caracterizează printr-un mod specific
Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică. Algebră (1)
Universitatea din ucureşti.7.4 Facultatea de Matematică şi Informatică oncursul de admitere iulie 4 omeniul de licenţă alculatoare şi Tehnologia Informaţiei lgebră (). Fie x,y astfel încât x+y = şi x +
Proiectarea Algoritmilor 2. Scheme de algoritmi Divide & Impera
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Proiectarea Algoritmilor 2. Scheme de algoritmi Divide & Impera Cuprins Scheme de algoritmi Divide et impera Exemplificare
* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y).
Ecuaţii diferenţiale Ecuaţii diferenţiale ordinare Ecuaţii cu derivate parţiale Ordinul unei ecuaţii Soluţia unei ecuaţii diferenţiale ordinare Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f
4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice
Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl
Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
5.1. Noţiuni introductive
ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul
Aproximarea funcţiilor prin metoda celor mai mici pătrate
Aproximarea funcţiilor prin metoda celor mai mici pătrate Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina i Numerici, 2016-2017 1/60
există n0 N astfel ca pentru orice 1.Teoremă. Orice şir (xn)n din Q convergent la un, x Q are loc xn+p-xn ε (propritatea lui Cauchy).
TEOREME CAUCHY În 1810, Cauchy merge la Cherbourg pentru a lucra la fortificaţiile pentru invazia lui Napoleon în Anglia. In această perioadă produce câteva rezultate, inclsiv soluţia unei probleme puse
Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,