TEORIJA ODLUČIVANJA. Od 1960-prva udruzenja-orsa,tims.

Transcript

1 TEORIJA ODLUČIVANJA Pregled razvoja nauke o odlučivanju (1) Ljudi su se oduvek bavili odlucivanjem! Dugo je vladalo misljenje da je odlucivanje prevashodno socijalna, a ne tehnicka aktivnost. Pre 1930-razlika izmedju prakticnih potreba donosioca odluke i teorije koja je do tada razvijena,zato je kasnijedoslo do priblizavana iz vise razloga: 1. Pojave naucne organizacije rad, 2. DO su poceli da u vecoj meri izucavaju sociologiju(bihevioristicki aspect odlucivanja), 3. I ekeonomisti su poceli takodje u vecoj meri da ukljucuju svoje ideje u odlucivanje, 4. Pojave teorije igara, 5. Ipak najznacajnije-razvoj niza metoda-metoda operacionih istrazivanja. Od 1960-prva udruzenja-orsa,tims. Neke specificnosti razvoja nauke o odlucivanju: 1. Pragamatski pristup, 2. Veliki naglasak u izucavanju i analizi okruzenja, 3. Veci znacaj dobijanju zadovoljavajucih resenja nego optimalnih resenja, 4. Ulazu se max napori za bolju integraciju kvantitativne analize sa analizama ponasanja i okruzenja u resavanju problema, 5. Racunarska tehnologija Jedan od osnovnih problema zadovoljenje prakticno neogranicen broj sopstvenih zelja-to se moze postici: 1. Povecanjem raspolozivih sred., 2. Ogranicavanjem individualnih zelja i potreba. Sistem def. (10) je celina sastavljena od skupa delova, sa određenim vezama između tih delova i njihovim atributima, koji služe za zadovoljenje neke funkcije. Proces odlučivanja čine: 1. def. Sistema i njegovih parametara; 2. utvrđivanje kriterijuma odlučivanja, odnosno ciljeva; 3. formulisanje veza između parametara i kriterijuma tj. metoda; 4. generisanje alternativa (proemnom vrednosti parametara); 5. izbor akcije koja najviše zadovoljava kriterijum. Opšte karakteristike odluka (12) vezane za posmatrani problem odlučivanja: 1. Važnost odluke Sve odluke nemaju istu važnost 2. Vreme i troškovi (donošenja odluke) Vrednost odluke ne sme biti manja od troškova nastalih pri njenom donošenju 3. Stepen složenosti svake odluke raste ako je za njeno donošenje potrebno: Razmatrati veći broj promenljivih Operisati sa strogo zavisnim promenljivim Koristiti nekompletne ili nepuzdane podatke koji opisuju promenljive. 1

2 Razlika između rešavanja problema i donošenja odluka (14) Između rešavanja problema i donošenja odluke ne sme se staviti znak jednakosti, iako se u praksi ova dva pojma svode na isto. Rešavanje problema često zavisi od donošenja odluka i bez njih rešavanje problema ne bi imalo smisla. Rešavanje problema je širi pojam od donošenja odluka. Teorija odlučivanja def. (20): Proces koji koristeći naučne metode i sistemska istraživanja pomaže donosiocu odluke u određivanju izbora optimalne akcije. Odluka def. (20): Intelektualni rezultat u jednom tekućem procesu evaluacije alternativa koji se sprovodi radi postizanja određenog cilja. (Momenat koji se sprovodi radi postizanja cilja.) Odlučivanje def. (20): Odlučivanje je izbor između mogućih alternativa aktinosti (pri čemu broj aktivnosti treba da bude veći od 1). Taj izbor je moguće napraviti na različite načine koristeći: 1. Tehnike odlučivanja, 2. Pravila odlučivanja i 3. Veštine odlučivanja. Donosilac odluke (20,21) - može biti svako ko radi u poslovnom okruženju. To može biti pojedinac ili grupa ljudi. Donosilac odluke je onaj ko zeli da dostigne aproksimativnu racionalnost u cilju max zadovoljenja organizacionih ciljeva unutar datog skupa ogranicenja. Moody (1983) Do se svrstavaju u nekoliko kategorija: 1. Ekonomsko DO (interes u korisnom i praktičnom), 2. Estetičari (vrednost u harmoniji, individualnosti, pompi i moći), 3. Teoretičari (zainteresovani za otkrivanje istine), 4. Socijalni (vole ljude, pitaju za mišljenje, nesebični i simpatični), 5. Politički (zainteresovani za moć i uticaj), 6. Religiozni (spiritualnost). Priprema odlučivanja (21) sve ono što prethodi samom činu neposrednog odlučivanja. Analitičari (21) ljudi koji vrše PRIPREMU ODLUČIVANJA, uočavaju karakteristike probelma, vrše njgovo modeliranje i od kojih se očekuje da reše problem. Cilj (21) Željeno stanje sistema, željeni izlaz ili željeni podskup u prostoru stanja sistema. Najčešće se iskazuje f-jom cilja. Ograničenja (21) su posledica stanja sistema, ograničenost resursa, tehničkih i tehnoloških karakteristika mašine, biološke granice... Odluke (22) po Mori (1980) mogu biti: 2

3 1. Strateške značajnije i sa dugoročnim posledicama. Odnose se na planiranje i programiranje razvoja. Osnovni kriterijum njihovog vrednovanja je EFEKTIVNOST SISTEMA. Donosi ih najviše poslovno rukovodstvo. 2. Taktičke Obezbeđuju realizaciju strateških odluka. Osnovni kriterijum njihovog vrednovanja je EFIKASNOST SISTEMA. Donosi ih srednje rukovodstvo. 3. Operativne Svakodnevne odluke, kojie donosi operativno rukovodstvo. Njima se obezbeđuje osnova za realizaciju obaveza i promena na višim nivoima odlučivanja. Vrste odluka Akcijom (23) alternativom se podrazumeva ono što donosiocu odluke stoji na raspolaganju kao mogućnost izbora prilikom odlučivanja. Strategija = skup akcija Uslovni izlazi predstavljaju izlaze iz procesa odlučivanja koji zavise od specifičnog stanja prirode problema. Kako se vrši prelazak iz tabele žaljenja u tabele plaćanja? Tabela plaćanja je matrica koja povezuje uslovne izlaze raspoloživih akcija u zavisnosti od stanja prirode. Plaćanja (66) predstavljaju posledice koje nastaju izborom pojedinih akcija i opisuju uticaj od strane donosioca odluke pri različitim stanjima, a koje se odnose na problem. Žaljenje (25) se definiše kao apsolutna vrednost razlike plaćanja, koje se posmatra za izabrano stanje, i plaćanja, koje se prethodno dobije za najbolju akciju. Žaljenje je propušteni profit zbog neizbora najbolje akcije u slučaju odigravanja pojedinog stanja. Žaljenje = plaćanje za izabranu akciju plaćanje za najbolju akciju. Nikad nije negativno i može se iskazati f-jom žaljenja. Naučiti tabele žaljenja i plaćanja i njihove primere (24-25) Tri vrste odlučivnja u klasičnoj teoriji odlučivanja (25): 1. PRI IZVESNOSTI slučaj kada su sve činjenice vezane za stanja prirode poznate. 2. PRI RIZIKU slučaj kada je stanje prirode (ne)poznato ali postoji objektivna ili empirijska evidencija koja DO omogućuje da različitim stanjima prirode dodeli odgovarajuće verovatnoće nastupanja. (Proveriti za rizik koja je tačnija definicija, ona iz investicija ili ona iz knjige TO) 3

4 3. PRI NEIZVSNOSTI stanje prirode nepoznato i nepoznate sve informacije na osnovu kojih bi se mogle dodeliti verovatnoće nastupanja pojedinih stanja. Tipologija odluka po SIMON-u (1960) na (26): 1. Programirane rutinske odluke koje se stalno ponavljaju i može se definisati procedura koju treba koristiti za njihovo donošenje. (Generičke) 2. Neprogramirane su nove (nesvakodnevne) nestruktuirane i značajne odluke. Ne postoje metode za koje se unapred zna da mogu biti korišćene, jer su i odluke nove. (Jedinstvene) Faze procesa odlučivanja po SIMON-u (35): 1. Obaveštavanje o problemu za koji se donosi odluka (istraživanje okruženja, prikupljanje i obrada podataka, ostala potrebna istraživanja radi identifikacije problema), 2. Projektovanje u smislu određivanja, razvoja i analize mogućih alternativa ili akcija (proces razumevanja problema, generisanja rešenja i testiranje dozvoljivosti rešenja), 3. Izbor određene akcije iz skupa raspoloživih. 4. Nakon Simona je izdvojena Primena kao 4. faza MIS Menadžment informacioni sistemi EOP Elektronska obrada podataka MT Menadžment teorija OI Operaciona istraživanja SPO Sistemi za podršku u dolučivanju Faze procesa odlučivanja Faze procesa odlučivanja po autorima knjige (Za veću ocenu): 1. Evidentiranje problema 2. Rangiranje problema 3. Definicija problema 4. Sakupljanje činjenica 5. Predviđanje budućnosti 6. Formiranje modela 7. Rešavanje problema (modela) 8. Vrednovanje rezultata 4

5 9. Donošenje odluke 10. Kontrola izvršenja 11. Analiza posledica tog izvršenja. Modeli (41): Model predstavlja sintetsku apstrakciju realnosti (to je uprošćena slika objektivne stvarnosti). Modeli moraju obuhvatiti samo bitne osobine pojave koju predstavljaju. Model Rivett Def. (42): Model predstavlja skup logičkih relacija, bilo kvantitativnih bilo kvalitativnih, koje će povezati relevantne karakteristike stvarnosti bitne za problem koji se rešava. f(x1,x2,...,xm;y1,y2,...,yn) x-kontrolabilni faktori, y-nekontrolabilni faktori Modeli se prave radi rešavanja realnih problema koji u svojoj suštini predstavljaju želju za postizanjem nekog cilja, odnosno ciljeva. Koristi od upotrebe modela: 1. omogućavaju analizu i eksperimentisanje sa složenim problemima 2. ekonomisanje resursima koji se koriste 3. vreme za analizu pojave se smanjuje 4. koncentracija na bitne karakteristike pojave Karakteristike, vrste modela - Tersine(45): KARAKTERISTIKE MODELI MODELA 1. FUNKCIJE a) Deskriptivni mape, šeme b) Prediktivni - simulacioni c) Normativni mat. program 2. STRUKTURA a) Ikonički modeli atoma b) Analogni grafički sistemi, PERT mreže c) Simbolički simulacioni modeli 3. STEPEN a) Deterministički - izvesnost SLUČAJNOSTI b) Rizik za nepoznata stanja (poznata P) c) Neizvesnost za nepoznata stanja (nepoznata P) d) Konflikt modeli planiranja 4. VREMENSKA a) Statički relacije među objektima nezavisne su od vremena ZAVISNOST b) Dinamički postoji vremenska zavisnost 5. OPŠTOST a) Specijalizovani za specif. probleme b) Opšti npr. redovi čekanja 6. STEPEN a) Kvalitativni npr.izbor njabolje alternative KVALIFIKACIJE b) Kvantitativni numerički rezultat 7. DIMENZIONALNOST a) Dvodimenzionalni b) Višedimenzionalni 8. ZATVORENOST a) Zatvoreni 5

6 b) Otvoreni Sl. Proces modeliranja Matrica efikasnosti, Mora: U klasičnoj teoriji odlučivanja modeli se najčešće prikazuju kao skup vektora: 1. Alternativa (akcija ili strategija) a 2. Mogućih okolnosti (ili stanja prirode) s Izbor određene akcije a i (i=1,2,,...,m) u dati okolnostima s j (j=1,2,...,n) obezbeđuje određene efekte e ij. Moguće okolnosti Alternative S 1 S S n a 1 e 11 e e 1n a 2 e 21 e e 2n a m e m e m2.... e m 1 n 6

7 Matrica sadrži mxn rešenja sa raznim stepenom efikasnosti, od kojih treba izabrati ono koje je optimlano. Izbor takvog rešenja se vrši odgovarajućim metodama i tehnikama. Metode i tehnika, pravila i veštine odlučivanja (49) METODA: Skup pravila u izvođenju ili obavljanju nekog posla čija primena omogućava ostvarenje nekog cilja. TEHNIKA: Skup pravila u izvođenju ili obavljanju nekog posla, naročito s obzirom na upotrebu tehničkih sredstava. PRAVILA: Prethodno određeni vodiči (testovi) za prosuđivanje VEŠTINE: Sposobnost efektivnog korišćenja nečijeg znanja u rešavanju problema. Koraci u izboru metoda ili tehnika plaćanja Primena modela odučivanja(55) Primena modela je uspešna ako donosilac odluke koristi model pri odlučivanju i ako mu model daje korisne informacije (upravljački model treba da poveća efikasnost odlučivanja). Elementi sistema primene modela su: 1. Problem, 2. Donosilac odluke, 3. Organizaciono okruženje, 4. Analitičar i 5. Model AKO BILO KOJI ELEMENT NIJE U SKLADU SA CILJEM, PRIMENA MODELA NEĆE DATI OPTIMALNO REŠENJE. 7

8 Pre početka stvaranja sistema primene modela potrebno je specificirati problem. Porebno je dovoljno znanja o problemu da bi se stvorio model koji će ga najbolje rešiti. Komponente sistema primene modela (56) Područje odlučivanja (57) Odlučivanje se odigrava na nekoliko nivoa: 1. Na nivou pojedinaca različiti donosioci odluka će se u istim situacijama ponašati različito, u zavisnosti od iskustva, obrazovanja, stečenih veština u odlučivanju itd. 2. Grupno odlučivanje Prednosti: (1) lakše sagledavanje problema (2) lakša mogućnost dolaska do alternativa (3) odluka će pogodovati više društvu ili organizaciji nego pojedincu. Nedostaci: (1) sporost u odlučivanju (2) prirodna nesklonost grupe ka inicijativi (3) teškoće oko definisanja strategija. 3. Organizaciono odlučivanje Problemi u organizaciji su slabo struktuirani. Koristi programirane odluke, često koriste pravilo palca (kruna-pismo). Donosi odluke koje su ograničene i pristrasne zbog tzv lokalne racionalnosti. 4. Globalno ili metaorganizaciono odlučivanje Posmatra se ukupnost svih organizacija (jedne zemlje) kao sistem preduzeća. Bernthal - Odluke koje se donose na tom nivou, orjentisane su ka (1) opštoj dobrobiti potrošača, (2) alokaciji resursa i (3) proizvodnji i distribuciji dobara i usluga. Odluke se donose i na nivou celokupnog društva, a cilj je zadovoljenje socijalnog blagostanja građana. Drvo odlučivanja (63) - pod drvetom odlučivanja se podrazumeva skup povezanih grana, gde svaka grana predstavlja ili alternativu odlučivanja ili stanje. Po uobičajenoj konvenciji čvor iskazan kvadratom predstavlja alternativu odlučivanja (čvor odlučivanja) a kružić predstavlja stanje (čvor mogućnosti). Obeležavanje svih alternativa odlučivanja, svih mogućih stanja i definisanja drveta odlučivanja naziva se struktuiranjem problema. 8

9 Graničenje problema (65) Predstavlja način analize dodatnih alternativa odlučivanja (stanja), kada se razmatra jednostavniji primer, a potom se sprovodi IF-THEN analiza uvođenjem dodatnih pretpostavki i ispitivanjem njihovih uticaja na optimalnu odluku. Analiza neizvesnosti (65) predstavlja dodeljivanje verovatnoća svim stanjima koja se odnose na posmatrani problem. Verovatnoće moraju da odražavaju verovanja, informacije i ocene donosioca odluke (zato su subjektivne). Kriterijum očekivanih korisnosti (67) predstavlja kriterijum izbora najbolje akcije, kada donosilac odluke dodeljuje svoje vrednosti koristi (preferencija) svim posledicama, računa očekivanu korisnost i bira akciju za koju je ona najveća. Kriterijum očekivane novčane vrednosti (68) je onaj kriterijum kada se donosilac odluke ne izlaže rizičnom ponašanju prema posledicama. On tada može izračunati očekivane novčane vrednosti ishoda svake akcije i izabrati onu za koju je ta vrednost max. Vrednosna analiza vremenskih preferencija (69) predstavlja postupak kojim se utvrđuje struktura vremenskih preferencija, tako što se računa sadašnja vrednost posledica, a zatim se primenjuje kriterijum očekivanih novčanih vrednosti ili kriterijum očekivanih korisnosti za nalaženje najbolje akcije. Analiza odlučivanja (69) je struktuiranje i određivanje neizvesnosti i rizika i izbor najbolje akcije. Analiza obezbeđuje i praktičan metod za prikupljanje dodatnih inf. u cilju smanjivanja neizvesnosti vezanih za problem i nalaženje optimalne strategije u svetlu tih novih inf. Takođe se može odrediti i koliko bi stajalo prikupljanje perfektne inf. i da li je njeno prikupljanje ekonomski opravdano. (Korigovana definicija, zbog lakšeg pamćenja) Modeli analize odlučivanja (70) Sastoji se iz pet koraka: 1. Struktuiranje problema nabrajanje svih mogućih alternativa odlučivanja, stanja i određivanje plaćanja [ ai, sj, pij ]. 2. Analiza neizvesnosti dodeljivanje verovatnoća svim mogućim stanjima [V(sj)]. 3. Analiza korisnosti i preferencija dodeljivanje preferencija za rizične posledice. 4. Izbor optimalne akcije Izbor na osnovu kriterijuma očekivane novčane vrednosti ili kriterijuma očekivane korisnosti. 5. Prikupljanje novih inf. prikupljanje dodatnih inf. radi smanjenja neizvesnosti i izbor najbolje akcije u svetlu novih informacija. Modeli: 1. Analiza odlučivanja sa apriori verovatnoćama-odlučivanje pri riziku prati korake 1,2 i 4 modela analize odlučivanja. 2. Analiza odlučivanja bez apriori verovatnoće 3. Analiza odlučivanja sa korisnostima prati korake 1,2,3 i 4 modela analize odlučivanja. 4. Analiza odlučivanja sa uzorkovanje prati korake 1,2,4 i 5 modela analize odlučivanja. 5. Drvo odlučivanja ili modeli višeetapne analize odlučivanja Odlučivanje pri izvesnosti (73) predstavlja donošenje odluka kada su poznate sve činjenice vezane za stanja prirode problema, tj. kada postoji samo jedno stanje (ili veći broj poznatih stanja od kojih se sa punom sigurnošću zna koje će se odigrati). 9

10 ANALIZA ODLUČIVANJA BEZ APRIORI VEROVATNOĆE (78) Kada donosilac odluke nije u mogućnosti da pojedinim stanjima dodeli odgovarajuće verovatnoće za izbor najbolje akcije mu stoji na raspolaganju izvestan broj prikladnih metoda. 5 metoda za izbor najbolje akcije bez apriori verovatnoća: 1. MAXIMIN (profit pesimističan kriterijum) 2. MINIMAX (troškovi pesimističan kriterijum) 3. MAXIMAX 4. Princip maksimalne verodostojnosti 5. Metoda Laplasovog kriterijuma PR. Problem novogodišnje jelke: potražnja između 8 i 12 jelki (raspoložive akcije 8,9,10,11,12) Nabvana cena 15$ Prodajna cena 40$ Cena posle Nove god. 5$ Akcije a 1: nabavka 8 jelki a 2: nabavka 9 jelki a 3: nabavka 10 jelki a 4: nabavka 11 jelki a 5: nabavka 12 jelki Stanja (potraživanja) 8 S 1 9 S 2 10 S 3 11 S 4 12 S MAXIMIN (80) ili kriterijum pesimizma Izabrati akciju za koju je minimalni (profit po alternativama) maksimalan. To je trazenje najgore posledice, a potom izbor najpovoljnije najgore posledice po D.O. Potrebno je naći vrednost koja zadovoljava: p profit a alternativa (akcija) s stanje Akcija 8 jelki MINIMAX (82) kriterijum žaljenja Izabira se akcija koja obezbeđuje minimum maksimalnih žaljenja. Izabrati akciju za koju je maksimalno žaljenje minimalno. 10

11 Žaljenje je propušteni profit zbog neizbora najbolje akcije u slučaju odigravanja pojedinog stanja. ž žaljenje a alternativa (akcija) s stanje Ako D.O. izabere akciju ai, a odigra se stanje sj, tada je zaljenje (plaćanje,profit) Zij=Mi-pij MAXIMAX (85) kriterijum optimizma Trazenje najbolje posledice, a potom izbor najpovoljnije najbolje situacije. Izabrati akciju za koju je maksimalni profit maksimalan. p profit a alternativa (akcija) s stanje Akcija 12 jelki Kriterijum maksimalne verodostojnosti (86) Donosilac odluke dodeljuje verovatnoće nastupanja svim stanjima i nalazi stanje sa maksimalnom verovatnoćom pojavljivanja. DO zatim upoređuje plaćanja svih raspoloživih akcija u odnosu na to stanje i bira akciju sa najpovoljnijim plaćanjem (profitom). Izabrati akciju za koju je profit maksimalan, gde ta akcija mora da odgovara stanju koje ima maksimalnu verovatnoću odigravanja. s ij stanje koje ima najveću verovatnoću odigravanja. a akcija koja odgovara toj vrednosti (akcija verodostojnosti) LaPlace-ov kriterijum (87) polazi od pretpostavke da se ako donosilac odluke ne vodi računa o verovatnoćama odigravanja pojedinih stanja može prema njima ponašati kao da će se odigrati sa podjednakom verovatnoćom. Dodeljuju se verovatnoće za m stanja S 1,... S m : Sa ovako dodeljenim verovatnoćama, primenjujući kriterijum očekivane novčane vrednosti, treba izabrati akciju za koju je očekivani profit maksimalan. LaPlaceov kriterijum: Izabrati akciju za koju je očekivani profit maksimalan p i - očekivani profit od akcije a i( njabolja akcija), p i= pij V ( sj ) pij- očekivani profit (plaćanje), ako se izabere akcija a i, a desi se stanje s j. m j=

12 V( s j) verovatnoća pojavljivanja stanja s j. Za slučaj da su plaćanja izražena profitom, mogu se najpre izračunati očekivani profiti za sve akcije i onda izabrati akciju koja obezbeđuje max od tih očekivanih profita. ANALIZA ODLUČIVANJA SA APRIORI VEROVATNOĆAMA -odlučivanje pri riziku (89) Kriterijum očekivane novčane vrednosti (ONV) (91) Samo kada je DO neutralan u odnosu na rizik primenjuje se kriterijum ONV. Def.: Očekivana novčana vrednost akcije a i, ONV ( a i): Ako je promenljiva stanja s diskretna i ako uzima vrednosti s 1,s 2,...,s m, sa raspodelom apriori verovatnoća V(s 1 ), V(s 2 ),...,V(s m ), tada se očekivana novčana vrednost akcije ai obeležena sa ONV(a i ) može definisati kao: m ONV(a i ) = pij V ( sj ) j= 1 pi- očekivani profit (plaćanje), ako se izabere akcija a i, a desi se stanje s j. V( s j) verovatnoća pojavljivanja stanja s j. ONV kriterijum: Slučaj profita (92): Izabrati akciju za koju je očekivana novčana vrednost maksimalna, tj. izabrati akciju akako je: ONV kriterijum: Slučaj troškova (92): Izabrati akciju za koju je očekivana novčana vrednost minimalna, tj. izabrati akciju akako je: gde je ONV(a i ) očekivana novčana vrednost akcije a i 12

13 Primena ONV kriterijuma (93): Podrazumeva nekoliko koraka: 1. Određivanje alternativa odlučivanja a 1 i a 2 i svih mogućih stanja s j (j =1,2,...,n). 2. Određivanje plaćanja (profita)(pij). 3. Dodeljivanje apriori verovatnoća V( s j) svim stanjima. 4. Računanje očekivane novčane vrednosti, ONV( a 1 ) i ONV( a 2). 5. Primena ONV kriterijuma i izbor optimalne akcije. Kriterijum očekivanih žaljenja (Očekivanih gubitaka prilike) (95): Izbor najbolje akcije za probleme sa dve raspoložive akcije može se izvršiti računajući očekivana žaljenja svake akcije i potom birajući akciju za koje je očekivano žaljenje minimalno. Očekivano žaljenje akcije a i, OŽ(a i ): Def.: Ako su promenljive stanja s diskretne i uzimaju vrednost s 1,s 2,...,s m sa apriori verovatnočama V(S 1 ), V(S 2 )..., V(S j ),..., V(s m ), respektivno i ako su ž ij žaljenja (ili gubitak prilike) akcije a i za dato stanje s j tada se očekivano žaljenje akcije a i, obeleženo sa OŽ(a i ), može izračunati: žij- žaljenje ako se izabere akcija a i, a desi se stanje s j. V( s j) verovatnoća pojavljivanja stanja s j. OŽ kriterijum: Izabrati akciju za koju je očekivano žaljenje minimalno, tj. Izabrati akciju a k ako je: - Primena OŽ kriterijuma pored izbora optimalne strategije, definiše i OVPI. Očekivana vrednost perfektne informacije, OVPI (98) predstavlja očekivano žaljenje najbolje akcije. OVPI = OŽ (ai) Za svako stanje perfektna informacija obezbeđuje max. profit Cena neizvesnosti predstavlja iznos koji uprava može potrošiti u cilju pribavljanja najbolje informacije radi smanjenja neizvesnosti. Cena neizvesnosti = očekivanoj vrednosti perfektne informacije Primena OŽ kriterijauma: Podrazumeva nekoliko koraka: 13

14 1. odrediti alternative odlučivanja a 1 i a 2 i sva moguća stanja s j (j=1,2,...,m) 2. odrediti sva žaljenja tj. sve gubitke prilike 3. dodeliti apriori verovatnoće V(S j ) svim stanjima 4. izračunati OŽ(a 1 ) i OŽ(a 2 ) 5. primeniti kriterijum OŽ i izabrati optimalnu akciju 6. OVPI=OŽ najbolje akcije Inkrementalna analiza (100) služi za određivanje najbolje akcije. Kako se vrši prelazak tabele ŽALJENJA u tabelu OČEKIVANIH ŽALJENJA tako što se u tabeli žaljenja ponderi pomnože sa svakom alternativom, a potom se alternative saberu i dobija se tabela očekivanih žaljenja. 14

15 ANALIZA ODLUČIVANJA SA UZORKOVANJEM Uslovne verovatnoće (109): V(X 1 s 1 ) je uslovna verovatnoća slabe prodaje (X 1 ) za dato stanje slabe potražnje s 1, itd. Apriori i aposteriorne verovatnoće (110,112): Apriori verovatnoće su obeležene sa V(s j ), a uslovne verovatnoće sa V(X k s j ). Sada donosilac odluke mora da primeni Bayes-ovu teoremu u cilju određivanja aposteriornih verovatnoća koje se obeležavaju sa V(s j X k ). One se nazivaju i revidiranim verovatnoćama (zavise od informacije uzorka Xk). Bayes-ova teorema za opšti slučaj glasi: Odnosno: Aposteriorna verovatnoća (revidirana verovatnoća) [V(s j X)] predstavlja odnos između proizvoda apriori verovatnoće i uslovne verovatnoće [V(s j ) V(X s j )] i proizvoda sume apriori n verovatnoće i uslovne verovatnoće [ V(s j ) ( X s j) ] j= 1 V. Funkcija Optimalnog pravila odlučivanja ili optimalne strategije (116): Gde je: X 1 Slaba prodaja X 2 Srednja prodaja X 3 Visoka prodaja Ako je predviđena slaba prodaja, novi proizvod ne treba lansirati na tržište (a2), a ako je predviđanje prodaje srednje ili visoko, optimalna odluka je da novi proizvod treba lansirati na tržište (a1). Uopšteno: svaki rezultat experimenta Xn se može povezati sa jednom akcijom a i i def. odgovarajuće pravilo odlučivanja. 15

16 Optimalno pravilo odlučivanja Očekivani rizik optimalne strategije (117): OR(PO *,n) tako se obeležava očekivani rizik optimalne strategije. OŽ (ai, Xk) očekivano žaljenje najbolje akcije a i, ako se prethodno dogodi X k V(X k ) verovatnoća pojavljivanja X k n obim uzoraka PO* - očekivano žaljenje Očekivani rizik optimalne strategije [OR(PO *,n)] je moguće učiniti manjim ako se obim uzorka [n] poveća. Očekivana vrednost informacije uzorka, OVIU(n) (119): OVIU(n) = OVPI - OR(PO *,n) = (Оčekivano žaljenje najbolje akcije, sa apriori verovatnoćama) (Očekivani rizik optimalne strategije) Očekivana vrednost informacije uzorka indicira da li postoji bilo kakva korist (dobit) prilikom sticanja informacija iz uzorkovanja. Takođe pokazuje koliko tačno treba platiti troškove uzorkovanja. OVIU(n) zavisi od veličine uzorka (n). Vrednost OVIU(n) će rasti i težiti veličini OVPI, sve dok se n povećava. Očekivana čista dobit od uzorkovanja, OČDU(n) (119): Očekivana čista dobit od uzorkovanja predstavlja rezultat dodatne analize u cilju sagledavanja da li će uzorkovanje obezbediti čistu dobit. Očekivana čista dobit od uzorkovanja je: Gde T(n) predstavlja troškove uzorkovanja sa n opservacija. OČDU zavisi od veličine uzorka (n) Proces uzorkovanja ne treba sprovoditi ako je OČDU(n) manje od 0. Analiza ekstenzivne forme (Analiza odlučivanja sa uzorkovanjem) podrazumeva: Prvo se prikupe novi podaci i odrede uslovne P, zatim se korišćenjem Bejesove formuleodrede aposteriori P, OŽ kriteriju. OŽ se priemnjuje na kraju i dobija se optimalna akcija. Na osnovu toga se definišu PO*, 16

17 (PO*,n), OVIU(n) i OČDU(n)

18 Optimalni plan uzorkovanja (122): Određivanje optimalne veličine uzorka zavisi od OČDU(n). Uzorkovanje se može preduzeti kada je OČDU(n)>0. OR(PO*,n) opada ako se n povećava, dok vrednost troškova uzrokovanja T(n) raste sa porastom n. Zbog toga se smanjenje OR(PO*,n) optimalne strategije može postići jedino stalnim povećnjem troškova uzorkovanja. Troškovi uzorkovanja se mogu izraziti sa: T(n) = t + f ntp Dodajući OR(PO*,n) na T(n) dobija se ukupni rizik za PO* za datu veličinu uzorka n. Ako se taj ukupni rizik od PO* obeleži sa UR(PO*,n) tada imamo: UR(PO*,n) = OR(PO*,n) + T(n) = OR(PO*,n) + t + r ntp Kada n raste, očekivani rizik OR(PO*,n) će opadati, a troškovi uzorkovanja T(n) će rasti. To ukazuje da ukupni rizik UR(PO*,n) u početku opada, a posle izvesne vrednosti (n*) počinje da raste. U toj tački (n*), ukupni rizik je minimalan i zbog toga se ta vrednost bira kao optimalna veličina uzorka. OČDU(n) najpre raste a potom, posle određene vrednosti za n, opada. Vrednost za OČDU(n) je maksimalna u tački n*. Za veličinu uzorka do vrednosti n* očekivana čista dobit od uzorkovanja će rasti, a potom će opadati. To ponašanje f-je OČDU(n), kao i OVIU(n) je prikazano na sledećem grafiku: 18

19 Sekvencijalno odlučivanje (143) predstavlja takvu potencijalnu situaciju, za koju donosilac odluke može odložiti donošenje odluke (izbor akcije iz skupa alternativnih akcija) u cilju dobojanja dodatnih informacija o stanjima prirode i to može činiti beskonačno dugo. Za modeliranje problema sekvencijalnog odlučivanja najčešće se koristi tehnika drveta odlučivanja. Postoje tri slučaja: 1. bez uzorkovanja 2. uzimanje samo jednog uzorka 3. sekvencijalni slučaj 1.Odlučivanje bez uzorkovanja DO se nalazi u tački grananja tj. čvoru odlučivanja. Treba da izvrši izbor između akcija a 1 i a 2 predstavljenim tzv. granama, na čijim se krajevima nalaze čvorovi mogućnosti (krug). Na krajevima tih grana se nalaze vrednosti žaljenja, a iznad samih grana (apriori) verovatnoće nastupanja odgovarajućeg stanja prirode. Izračunavanje se vrši u povratnom hodu tj. s desna u levo. Za svaki čvor mogućnosti se izračunavavrednost korišćenja OŽ, tvog čvora, sumirajući proizvode žaljenja i apriori verovatnoću. Po dobijanju očekivanih vrednosti za svaki čvor mogućnosti, DO bira akciju sa namnjim očekivanim žaljenjem, a sve ostalo precrtava. Mogućnosti se odnose na odigravanje nepoznatih stanja prirode zbog čega se iz tih čvorova i granaju po 3 grane. 2. Odlučivanje sa uzimanjem samo jednog uzorka Prelazna etapa ka sekvencijalnom probelmu odlučivanja jeste mogućnost DO da u cilju pribavljanja dodatnih info. obavi samo jedan experiment. Mogućnost obavljanja experimenta predstvalja treću granu drveta odlučivanja. Pošto DO ne zna koji će rezultat dobiti treba da izračuna verovatnoću svakog mogućeg rezultata. Marginalna P rezultata uzorna je suma samo zajedničkih verovatnoća. DO treba da dodeli čvoru očekivanu vrednost koja se računa na osnovu marginalnih verovatnoća svakog mogućeg rezultata uzorka i ekonomskih posledica. 3. Sekvencijalni slučaj (150) 19

20 Postoje situacije kada se donosilac odluke ne može zadovoljiti rezultatima dobijenim proračunima na osnovu samo jednog eksperimenta. Tada se pribegava preduzimanju novih eksperimenata, sve u cilju zadovoljenja potreba donosioca odluke za relevantnim informacijama. Tu se radi o procesima uzorkovanja (jedan za drugim sekvencijalno), pri čemu veličina uzorka ne mora u svim slučajevima da bude ista. Da bi se mogućnost uzorkovanja do beskonačnosti eliminasale potrebbno je definisati pravilo zaustavljanja sekvencijalnog uzorkovanja koje je ekonomske prirode. Pri formiranju drveta odlučivanja stalno se upoređuju očekivane vrednsoti plaćanja ili žaljenja konačnih akcija sa troškovima uzorkovanja. Uzorkovanje se ne treba vršiti ako ukoliko se nađe na bilo kom delu drveta akcija čija su očekivana žaljenjaili plaćanja manja od troškova uzorkovanja. Time se grananje na tom delu završava. Apriori (ulazne) verovatnoće ove analize jesu aposteriori verovatnoće nastajanja stanja prethodnog nivoa odlučivanja. Rizik Def. (157) predstavlja mogućnost realizacije neželjene posledice nekog događaja. Rizik podrazumeva dve osnovne komponente: 1. Neželjenji gubitak ili posledicu i 2. Neizvesnost u odigravanju posledica. Rizik se može proceniti dodeljivanjem verovatnoća odigravanjima rezultata. Analiza rizka (156) pruža donosiocu odluke logički okvir koji mu omogućava izbor najbolje akcije. Scenario analize rizika (158): Analiza rizika se bavi neizvenošću koja postoji u posmatranom problemu. Ona obezbeđuje logičku kvantitativnu proceduru u proceni neizvesnosti i evaluaciji projekata. 1. Kriterijum i relevantne promenljive indetifikuju se svi faktori koji uticu na kriterijumsku promenljivu i oni u sebi nose neizvesnost, zato ih treba posmatrati kao slučajne promenjive. 2. Merenje promenljivih merenje moze biti kompleksno(treba odrediti neku skalu), ali negde to ne mora biti slucaj.treba biti max oprezan radi min gresaka! 3. Veze zavisnosti-nezavisnosti izmedju promenjivih kriterijumska promenjiva zavisi od nekoliko nezavisnih promenjivih izmedju kojih je moguce ustanoviti i funkcijonalnu zavisnost. 4. Ocenjivanje raspodela verovatnoća (161) donosilac odluke može koristiti sopstvena ubeđenja i procene prilikom ocenjivanja raspodela verovatnoća, kao zamenu za objektivne podatke. Korišćenje subjektivnih ulaznih podataka, kao integralnog dela procesa evaluacije je jedna od osobina analize rizika. Pristup analize rizika (159): Rizik koji postoji u svakom projektu meri se verovatnoćom zbivanja neželjenog događaja. Na bazi te verovtanoće će se vršiti evaluacija projekta. 20

21 21

22 Metode koje se mogu koristiti za ocenu raspodela verovatnoća: 1. Direktna metoda (161) podrazumeva ocenu pojedinačnih verovatnoća za sve moguće rezultate. Može se koristiti samo ako su raspodele verovatnoća diskretne i ako su rezultati koji se odnose na raspodele konačni. Ne može se primeniti u slučaju većeg broja rezultata i za slučaj kontinulanih raspodela verovatnoća. 2. Parametarska metoda (162) Je metoda koja se koristi kada je poznato ili kada je moguće proceniti parametre raspodele verovatnoće. Tada je i sama raspodela poznata u potpunosti. Primer 1 (Normalna raspodela) - Ako poznajemo ili možemo proceniti srednju vrednost ekonomske mere povraćaja µ i njenu standardnu devijaciju δ, možemo u potpunosti opisati stohastičko ponašanje ekonomske mere povraćaja sredstava. Primer 2 Ako poznajemo pesimističku, najverovatniju i optimističku procenu troškova konstrukcije, može se oceniti i odgovarajuća trouglasta raspodela verovatnoća. 3. Metoda ocene pet tačaka (162) Ovom metodom se najpre ocenjuje pet vrednosti : najmanja, 25%, 50%, 75% i najveća a potom se određuje odgovarajuća kumulativna raspodela verovatnoća. 4. Delphi metoda (164) je metoda za struktuiranje procesa grupnih komunikacija takvih da se proces smatra efektivnim ako omogućava grupi pojedinaca, kao celini da rešava složeni problem. Sama tehnika podrazumeva dva koncepta: 1) Struktuirani proces komunikacije proces ima definisani cilj ili skup ciljeva i postoji plan akcije ka dostizanju cilja. 22

23 2) Sistematski pristup Procedura primene Delphi metode: Od članova grupe se na prvom sastanku traži da pojedinačno daju mišljenje i razloge za svoju procenu o vrednosti parametara raspodele. Informacija se prikuplja i obrađuje, a ako je postignut konsenzus proces se nastavlja. Ako nije kopija obrade se dostavlja svakom pojedincu koji treba da izvrše reviziju svojih procena. Proces se nastavlja kroz više iteracija dok se ne dođe do konsensusa. 5. Raspodela verovatnoće kriterijumske promanjive - krit. prom. zavisi od veceg broja drugih po pravilu slučajnih promenjivih, i tim promanjivim je moguce dodeliti raspodele verovatnoca koristeci neku od prethodnih diskutovanih metoda. (Ovaj postupa se ne može koristiti ako su promenljive zavisne.) 6. Monte Carlo tehnika (167) je simulaciona tehnika koja koristi nekoliko uzoraka relevantne promenljive pri raznim stanjima i kombinuje rezultate radi generisanja raspodele verovatnoće za kriterijumsku promenljivu. DO koristi punu informaciju sadržanu u raspodeli verovatnoće za kriterijumsku promenljivu, procenjuje rizike pri evaluaciji i preuzima najbolju akciju. Koraci sprovođenja analize rizika: 1. Indetifikovanje kriterijumske promenjive i relevantnih promenjivih, 2. Opisati kako je moguće izmeriti sve promenljive, 3. Istraživanje veza zavisnost-nezavisnost izmedju promenjivih, 4. Ocenjivanje raspodele verovatnoće za sve promenjive, 5. Određivanje raspodela verovatnoća kriterijumske promenjive, 6. Monte Carlo simulacija, 7. Evaluacija projekta. Evaluacija projekta: Tradicionalne metode nasuprot primeni metode analize rizika (169): TRADICIONALNE METODE 1. Konzervativna metoda prilagođavanja - kada je neto Gv<o ne treba prihvatiti=godisnja primanja godisnja isplata-povracaj kapitala 2. Pesimističko-optimistička metoda podrazumeva korišćenje obe, pesimističke i optimističke procene za sve ili samo neke promenljive koje su relevantne za projekat. Pesimistička procena opisuje zbivanja neželjenih posledica, dok optimistička procena opisuje zbivanja poželjnih posledica. Ove procene služe za evaluaciju projekta pod ekstremnim uslovima. 3. Rizik-popust metoda podrazumeva korišćenje kamatne stope koja treba da reflektuje stepen rizika koji se odnosi na posmatrani projekat. Što je rizik veći, biće veća i kamatna stopa. 4. Metoda očekivane novčane vrednosti odnosi se na izbor projekta sa najvećom očekivanom novčanom vrednošću. Na taj način moguće je izabrati projekat sa neželjenim posledicama (primer iz knjige str 174). Ukoliko pri evaluaciji 2 projekta stoje na 23

24 raspolaganju 2 kriterijuma: očekivana vrednost i standardna devijacija projekta, potrebno je pri njihovom izboru koristiti obe mere. 5. Metoda očekivanje-varijansa procedura metode očekivanje-varijansa podrazumeva uključenje u evaluaciju projekta i očekivane vrednosti i standardne devijacije. Za svaki projekat se računa veličina V definisana kao: V = µ - Aδ gde su: V vrednost: očekivanje-varijansa, µ očekivana novčana vrednost, δ standardna devijacija, A koeficijent averzije prema riziku, pri čemu je on jedank A = [k(µ)] ½, gde je k preferenca ili f-ja korisnosti. Kada rukovodilac projekta jedanput proceni µ, δ i A koji se odnose na projekat, može ih evaluirati i potom izabrati najbolju akciju. Projekat će biti prihvaćen ako je V 0, dok je u slučaju ibora izbeđu više projekata najbolji onaj koji ima maksimalnu vrednost za V. PREDNOSTI I MANE ANALIZE RIZIKA (185) Prednosti: Primena analize rizika obezbeđuje: 1. korišćenje procenjenih raspodela svih relevantnih promenjivih koje utiču na kriterijumsku promenljivu, određivanje raspodele verovatnoće te iste kriterijumske promenljive i mogućnosti primene pune informacije sadržane u raspodeli u cilju evaluacije projekta. Zbog toga je za evaluaciju projekta analiza rizka mnogo pogodnija nego metode koje evaluacioni proces baziraju samo na pojedinačnim ocenama. 2. efektivan način uklapanja subjektivnih ulaza u proces analize, 3. okvir za identifikovanje faktora koji utiču na projekat. 4. efikasnu komunikaciju između više strana koje moraju međusobno sarađivati u procesu procenjivanja raspodela verovatnoća. Mane Donosilac odluke ne razmatra određene posledice projekta eksplicitno na formalan način. On može imati svoje preference za neke posledice, ali ih ne procenjuje na osnovu preferenci ili funkcija korisnosti. Zbog toga ih ne može uključiti u analizu evaluacije projekta. Teorija korisnosti (195): Korisnost je odnos donosioca odluke prema riziku i neizvesnosti. Korisnost je numericka pretpostavka ukusa preference razlicitih ljudi, a formira se u situacijama suocavanja D.O. sa rizikom i nezivesnoscu. Korist je broj koji predstavlja indeks korisnosti. Većoj vrednosti se dodeljuje veća korist, a manjoj manja korist i potom treba definisati donje i gornje ogranicenje: V.K(max dobit)+v.k(dobit=0)=k(sigurna dobit) 24

25 Funkcija korisnosti opisuje maksimalnu sigurnu sumu novčanih sredstava koja može biti zamenjena specifičnom situacijom (kocku, lutriju) sa određenom verovatnoćom. Ekvivalent novčane izvesnosti (ENI) predstavlja tačku kada će donosilac odluke biti potpuno indiferentan između kockanja i sigurnog dobitka. Korisnost u odlučivanju: Postoje tri tipicna slucaja odlucivanja i to: 1. u uslovima izvesnosti, 2. rizika i 3. neizvesnosti. Pri svakom od njih DO ima jedinstven cilj koji se odnosi na izbor varijante sa najvećim efektom. Različite ličnosti suočene sa situacijama vršenja izbora mogu rzličito reagovati, a neki od njih su: 1. davanje prednosti nekoj alternative(zavisi od ukusa pojedinca), 2. razne licnosti mogu razlicito proceniti verovatnocu nastupanja dogadjaja, 3. ono sto je za jednu osobu velika dobit ili veliki gubitak za drugu je samo malenkost. Oblici f-je korisnosti (212): 1. Kada je f-ja korisnosti donosioca odluke konkavnog oblika, onda je reč o osobi sa averzijom prema riziku (Odbojnost od rizika). Sl. Funkcija korisnosti koja ispoljava averziju prema riziku 2. Kada je f-ja korisnosti donosioca odluke konveksnog oblika, onda je reč o osobi koja rado ulazi u rizik, odnosno o osobini sklonosti ka riziku. 2. Postoji situacija kada je donosilac odluke sklon riziku pri manjim novčanim iznosima, ali se potom ponaša saglasno averziji prema riziku tada imamo: 25

26 Tipične matematičke f-je u teoriji korisnosti (217): To su: 1. Eksponencijalna f-ja, 2. Kvadratna f-ja, 3. Logaritamska f-ja. ili 1. Eksponencijalna f-ja korisnosti: K(x) = 1 e kx 1 kx K(x) = (1 e ) k gde su: x dimenzija vrednosti k pozitivna const. e = 2,

27 2. Logaritamska f-ja korisnosti: K(x) = log(x+b) gde su: x dimenzija vrednosti b const. Primer za b=1 3. Kvadratna f-ja korisnosti: K(x) = a + bx cx² gde su: x dimenzija vrednosti a,b,c const. pri čemu je c>0 27

28 28

29 Višeatributivna teorija korisnosti Atribut (222) - sredstvo evaluacije nivoa dostizanja nekog kriterijuma, odnosno cilja. Višetributivna teorija korisnosti se razvila iz koncepta tzv. Neizvesnosti ishoda, pri čemu se javlja na dva nacina kao: 1. neizvesnost ishoda, 2. nesivesnost vrednosti atributa. Najbolja akcija je akcija sa najvecom ocekivanom korisnosti Model dekompozicije (224) se može prikazati kroz: 1. Aditivnu, tj. zbirnu formu korisnosti: K( A, A,..., A ) = gde je: ck ( A ) 1 2 n i i i i= 1 n K i ( A i ) marginalna f-ja korisnosti definisana za atribut A i c koeficijent koji garantuje konzistentnost merenja preko atributa. i 2. Multiplikativnu formu dekompozicije: K( A, A,..., A ) = a+ ck ( A ) 1 2 n i i i i= 1 n gde je: a const. koja zavisi od koeficijenata c c,..., c 1, 2 n 3. Multilinearna dekompozicija korisnosti polazi od pretpostavke da je za svako i=1,2,...,n atribut A i nezavisno koristan od ostalih atributa. Metod višeatributivne korisnosti sa aditivnom formom (226): Koraci kod Obersonea: 1. Def. cilja problema 2. Def. skupa atributa 3. Rangiranje atributa 4. Dodeljivanje težina pojedinim atributima 5. Normalizovanje težina 6. Def. graničnih vrednosti (ograničenja) za sve atribute 7. Def. krivih korisnosti za svaki atribut 8. Enumeracija performansi atributa za svaku posmatranu akciju 9. Pretvaranje vrednosti performansi atributa (iz koraka 8) u odgovarajuće korisnosti za akcije koje nisu eliminisane na osnovu narušavanja ograničenja iz koraka

30 10. Računanje kompozitne korisnosti za svaku alternativu 11. Biranje alternative sa maksimalnom kompozitnom sigurnošću. Izbor najbolje akcije treba izvršiti na osnovu maksimalne vrednosti očekivane kompozitne korisnosti. 30

31 Fuzzy sistemi (236): Teorija Fuzzy skupova predstavlja pogodan matematički aparat za modeliranje različitih procesa u kojima dominira neizvesnost, višeznačnost, subjektivnost, neodređenost... Prvi rad američki profesor Lotfi Zadeh, Teorija fuzzy skupova omogućava tretiranje onih nedovoljno preciznih pojava koje se ne mogu modelirati samo teorijom verovatnoće ili intervalnom matematikom. Kada neodređenost potiče od nepreciznosti u komunikacij među ljudima ovakve se neodređenosti modeliraju teorijom fuzzy skupova. Teorija fuzzy skupova (rasutih, rasplinutih skupova), predstavlja pogodni matematički aparat za modeliranje različitih procesa u kojima dominira neizvesnost, višeznačnost, subjektivnost, neodređenost, itd.. Teorija fuzzy skupova omogućava tretiranje onih nedovoljno preciznih pojava koje se ne mogu modelirati samo teorijom verovatnoće ili intervalnom matematikom. Prema tome, neodređenost kao pojam može se posmatrati kroz sledeće kategorije: kada dati uslovi koji karakterišu pojam ne određuju jedinstveno očekivani rezultat, ovakve pojave se obično modeliraju teorijom verovatnoće; kada nije moguće, (a nije ni potrebno) precizno znati posmatrane vrednosti, ovakve neodređenosti se obično tretiraju intervalnom matematikom; kada neodređenost potiče od nepreciznosti u komunikaciji među ljudima (npr. visoki ljudi, niska temperatura, slaba prodaja), ovakve se neodređenosti modeluju teorijom fuzzy skupova. Definicija fuzzy skupa (rasutih skupova) (238): Fuzzy skup A se definiše kao skup uređenih parova {X, µa(x)}, gde je X konačan skup X=x 1 +x 2 + +x n, a µa(x) funkcija pripadnosti, (+ označava uniju elemenata, a ne matematičku operaciju sabiranja). Pripadnost elemenata x skupu A se u teoriji fuzzy skupova opisuje funkcijom prpadnosti µa(x) na sledeći način: 1, akko _ x _ pripada _ skupu _ A µa(x)= 0, akko _ x _ ne _ pripada _ skupu _ A Skup A i elementi x, y, z i p Može se videti sa slike da je µa(x) = 1, µa(y) = 1, µa(z) = 1 i µa(p) = 0 µa(x) predstavlja stepen pripadnosti elemenata x skupu A. Ukoliko je µa(x) veće, utoliko ima više istine u tvrđenju da element x pripada skupu A. 31

32 - Fuzzy skup A definisan na skupu X se najčešće prikazuje u obliku: A = µa(x 1 )/x 1 + µa(x 2 )/x µa(x n )/x n = [µa(x i )/x i ] - U slučaju da X nije konačan skup, rasuti skup A definisan na skupu X se izražava kao: A = f x [µa(x)/x] Osnovne osobine fuzzy skupova (240): 1. Jednakost fuzzy skupova: Fuzzy skupovi A i B, definisani na skupu X, su jednaki (A=B) akko za svako x X važi µa(x) = µb(x) 2. Podskup fuzzy skupova: Fuzzy skup A je podskup fuzzy skupa B ( A B) akko za svako x X važi µa(x) µb(x) 3. Visina fuzzy skupa: predstavlja najveću vrednost stepena pripadnosti. Na sledećoj slici prikazani su fuzzy skupovi A i B sa visinama 0.6 i 1 respektivno. 4. Normalizovan fuzzy skup: ima stepen pripadnosti bar jednog svog elementa jednak Komplementnost fuzzy skupa: Komplement fuzzy skupa A je fuzzy skup Ā, takav da je µā(x) = 1- µa(x). 6. Konveksnost fuzzy skupa: Fuzzy skup A je konveksan akko važi: ηa( λx1 + (1 λ ) x2) ηa( x1 ) ηa( x2) x x X λ 0,1 2 1, i [ ] Operacije nad fuzzy skupovima (242):

33 2. 3. Dekartov proizvod fuzzy skupova A 1,A 2,...,A n definisanih na skupovima X 1,X 2,...,X n respektivno, označavamo kao A 1 *A 2...*A n, a funkcija pripadnosti se izračunava kao: µ A1 * A 2 *...*An (X 1,X 2,...,X n ) = µa 1 (X 1 ) i µa 2 (X 2 ) i... i µa n (X n ). Fuzzy relacija (243): Nakon definisanja Dekartovog proizvoda fuzzy skupova, moguće je definisati i fuzzy relaciju izmedu skupova A i B. Def. Fuzzy skup definisan na A*B, pri čemu uređeni parovi (a,b) pripadaju relaciji sa stepenom pripadnosti koji se nalazi u intervalu od 0 do 1 pradstavlja fuzzy relaciju između skupova A i B. Fuzzy broj (244) predstavlja normalizovan i konveksan fuzzy skup koji karakteriše interval poverenja [a1, a2] i stepen sigurnosti α (α može biti u intervalu od 0 do 1). 33

34 Osnovni oblici fuzzy broja (245): Sl. Fuzzy broj, interval poverenja i stepen sigurnosti 1. Trouglasti fuzzy broj definisan je sledećim oblikom: A = (a1, a2, a3) gde su: a1 donja (leva) granica fuzzy broja. a2 vrednost fuzzy broja sa najvećim stepenom pripadnosti i a3 gornja (desna) granica fuzzy broja. Sl. Trouglasti fuzzy broj A 2. Trapezoidni fuzzy broj definisan je sledećim oblikom: A = (a1, a2, a3, a4) Sl. Trapezoidni fuzzy broj A Nad fuzzy brojevima su definisane i osnovne operacije, tako da za rasplinute brojeve sa stepenom uverenosti α: Xα=[x 1 α, x 2 α ], i Yα= [y 1 α, y 2 α] važi: Xα( )Yα=[ x 1 α y 1 α, x 2 α y 2 α], 34

35 gde predstavlja simbol jedne od 4 osnovne računske operacije: sabiranje, oduzimanje, množenje ili deljenje tj. { +, -, *, / }. Normalizovan fuzzy broj, znači da bar jedan član fuzzy skupa A mora imati stepen sigurnosti 1. Sl. Fuzzy skupovi B i C ne mogu biti fuzzy brojevi 35

36 Fuzzy matematicko programiranje Pretpostavimo da postoji jedna ili više kriterijumskih funkcija. Označimo sa: G - skup koji predstavlja rasutu oblast definisanosti skupa kriterijumskih funkcija. C - označićemo rasuti skup koji predstavlja rasuti skup definisanosti skupa ograničenja. G i C - rasuti skupovi definisani na skupu X. Prema Bellman-u i Zadeh-u (1970) rasuta oblast definisanosti rešenja je okarakterisana skupom D čija je funkcija pripadnosti: µd(x) = min { µg(x), µc(x) } D - presek rasutih skupova G i C. Neka je sada cilj iskazan težnjom da želimo da "x bude znatno veće od b" i pretpostavimo da u modelu imamo ograničenja tipa "x je znatno manje od a". Cilj je okarakterisan rasutim skupom G, a ograničenje rasutim skupom C. Najčešće ćemo za finalno rešenje uzeti neko iz skupa rešenja kojima odgovara najveći stepen pripadnosti skupu D. Skup finalnih rešenja definišemo kao: A f = {x f µd(x f ) > µd(x)}, za svako x e X Funkcije pripadnosti rasutih skupova G, C, D. Fuzzy linearno programiranje Opšta matematička formulacija zadatka linearnog programiranja se definiše na sledeći način: max F = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c n x n p.o. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m x 1, x 2, x n

37 Prilikom rešavanja problema linearnog programiranja u kojima postoji rasutost pojedinih koeficijenata i/ili ograničenja, Tanaka i Asai (1984) su uveli pojam "nivoa zadovoljenja" h. Oni pod nazivom nivo zadovoljenja h podrazumevaju vrednost (između 0 i 1) sa kojom su (u najgorem slučaju) zadovoljenje sve kriterijumske funkcije i sva ograničenja postavljenog problema rasutog matematičkog programiranja. µ C i h i = 1,m. µ G j h j = 1,n. µc i (h) - funkcija pripadnosti i-tog postavljenog ograničenja, µg j (h) - funkcija pripadnosti j-tog postavljenog cilja, m - ukupan broj ograničenja, n - ukupan broj ciljeva (kriterijumskih funkcija). Prilikom rešavanja primera fuzzy linearnog programiranja, mogući su sledeći slučajevi: - kada su rasplinuti koeficijenti u ograničenjima, - kada su rasplinuti koeficijenti u funkciji kriterijuma, - kada su rasplinuti koeficijenti slobodnog člana u ograničenjima. Fuzzy logika (259) Kao osnova fuzzy sistema omogućuje donošenje odluka na osnovu nepotpunih informacija, a modeli zasnovani na fuzzy logici se sastoje od IF-THEN pravila. Prednost primene fuzzy logike je ta što se ona zasniva na formalno uspostavljenoj teoriji i kao takva predstavlja osnovu za uspostavljanje naučnog pristupa za izgradnju tehnologije i izbor elemenata tehnološkog procesa u uslovima nepotpunih, nepreciznih, nejasnih i nepouzdanih informacija. IF-THEN pravilo je: IF vrednost promenljive x VELIKA THEN vrednost promenljive y MALA Funkcije pripadnosti skupova VELIKA i MALA IF-THEN-ELSE: IF vrednost promenljive x VELIKA THEN vrednost promenljive y MALA 37

38 ELSE IF vrednost promenljive x SREDNJA THEN vrednost promenljive y SREDNJA ELSE IF vrednost promenljive x MALA THEN vrednost promenljive y VELIKA Grubi skup (264) Osnovna predpostavka u teoriji grubih skupova je da se svaki predmet (objekat) rasprave povezuje sa nekom informacijom (podatkom). To znači da je svaki objekat prikazan pomoću odredenih informacija o njemu. Više objekata opisanih istom informacijom su nerazberivi (međusobno slični), odnosno ne mogu se medusobno razlikovati s obzirom na dostupne informacije. Relacija generisana na ovaj način se naziva relacija nerazberivosti (nerazdvojivosti objekata) i ona predstavlja matematičku osnovu teorije grubih skupova. Def. Grubi skup predstavlja skup objekata, kao delova Univerzuma (konačnog skupa objekata), povezanih relacijama nerazberivosti ( I ), tj. svaki grubi skup sačinjavaju objekti koji se ne mogu sa sigurnošću svrstati u neki od skupova. Ova relacija može da bude jednačina ili nejednačina. Relacija I treba da objasni činjenicu da je naše znanje o elementima posmatranog univerzuma ograničeno i da smo zato u nemogućnosti da ih razlikujemo. To znači da ne možemo operisati sa pojedinim elementima (objektima) već sa skupovima sličnih objekata, koji su sa matematičke tačke gledišta klase ekvivalencije relacije I. Grubi skupovi ne mogu precizno da se razvrstaju po pojedinim oblastima. Osnovne operacije teorije grubih skupova (264): Svaki grubi skup ima svoje granične elemente, tj. objekte koji ne mogu sa sigurnošću da se klasifikuju kao članovi skupa ili njegovog komplementa. Donja i gornja aproksimacija grubih skupova, predstavlja par preciznih koncepata, kojim se karakteriše svaki grubi koncept. One predstavljaju dve osnovne operacije grubih skupova. 1. Donja aproksimacija sadrži sve objekte koji sigurno pripadaju skupu. 2. Gornja aproksimacija sadrži sve objekte koji verovatno pripadaju skupu, tj. za koje se ne može sa sigurnošću reći da li pripadaju skupu ili ne. I ( X ) = I ( X ) = { x U : I( x) X 0}, { x U : I( x) X} U je konačan skup objekata nazvan Univerzum, x je podskup Univerzuma. Granična oblast grubog skupa B I (X ) je razlika između gornje i donje aproksimacije: 38