ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ. e-class:

Transcript

1 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ e-class: 1

2 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ - Ειςαγωγι Επίλυςθ προβλθμάτων που δεν επιδζχονται αναλυτικι λφςθ Πραγματοποίθςθ επίπονων πράξεων ςε Η/Υ Προςομοίωςθ φυςικϊν προβλθμάτων Οπτικι αναπαράςταςθ λφςεων και φαινομζνων Η εφρεςθ προςεγγιςτικισ λφςθσ για ζνα δεδομζνο πρόβλθμα Η εφρεςθ των ορίων ακρίβειασ τθσ προςζγγιςθσ αυτισ 10/12/2017 2

3 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ - Φλθ Ειςαγωγι Αρικμθτικοί Υπολογιςμοί Ειςαγωγι ςτισ Μεκόδουσ Monte Carlo Επίλυςθ μθ γραμμικϊν Εξιςϊςεων Επίλυςθ Γραμμικϊν ςυςτθμάτων Παρεμβολι Μζκοδοσ Ελαχίςτων Τετραγϊνων Παραγϊγιςθ Ολοκλιρωςθ Επίλυςθ Συνικων διαφορικϊν Εξιςϊςεων Ειςαγωγι ςτθν επίλυςθ Μερικϊν Διαφορικϊν Εξιςϊςεων 10/12/2017 3

4 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Βιβλιογραφία Συγγράμματα ςτον Εφδοξο: Αρικμθτικι Ανάλυςθ, Μιςυρλισ Αρικμθτικζσ Υπολογιςτικζσ Μζκοδοι ςτθν Επιςτιμθ και τθ Μθχανικι, Pozrikidis Αρικμθτικι Ανάλυςθ με εφαρμογζσ ςε MATHEMATICA και MATLAB, Παπαγεωργίου, Τςίτουρασ Δειγματολθπτικι Ξενόγλωςςθ Βιβλιογραφία Computational Physics, Koonin, Meredith Computational Physics, Landau, Paez Computational Physics, Hjorth-Jensen Computational Physics, Anagnostopoulos και ελλθνικά: Numerical Recipes in C, Press, Teukolsky, Vetterling, Flannery Numerical Analysis, Burden, Faires Numerical Methods or Physics, Garcia Introduction to Computer Simulation Methods, Gould, Tobochnik, Christian Περιςςότερθ Ξενόγλωςςθ Βιβλιογραφία 4

5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Υπολογιςτικά Εργαλεία Οποιαδιποτε γλϊςςα προγραμματιςμοφ προτιμάτε (C, C++, Fortran, Java κ.λ.π.) ςε οποιοδιποτε λειτουργικό ςφςτθμα προτιμάτε (Linu, Windows, Mac) Ή ακόμθ, οποιοδιποτε πρόγραμμα αρικμθτικισ ανάλυςθσ (Mathematica, MATLAB, Maple κ.λ.π.) με χριςθ όμωσ δικϊν ςασ υπολογιςτικϊν προγραμμάτων ROOT data analysis ramework (περιλαμβάνει C, C++ compiler) 10/12/2017 5

6 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Υπολογιςτικά εργαλεία root Περιβάλλον root C compiler Στατιςτικι ανάλυςθ Γραφικι απεικόνιςθ Φυςικά, μπορείτε να χρθςιμοποιιςετε οποιαδιποτε άλλθ πλατφόρμα κζλετε 6

7 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Υπολογιςτικά εργαλεία root Για να κατεβάςουμε το root επιλζγουμε από το μενοφ download -> All Releases 7

8 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Υπολογιςτικά εργαλεία root Επιλζγουμε κάποια Release που να περιλαμβάνει ζκδοςθ ςυμβατι με το λειτουργικό μασ ςφςτθμα. π.χ

9 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Υπολογιςτικά εργαλεία root Και κατεβάηουμε τθν binary distribution που μασ ταιριάηει. π.χ. Ubuntu 14 gcc4.8 ι Windows Visual Studio

10 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Υπολογιςτικά εργαλεία root Σϊηετε το αρχείο zip, το αποςυμπιζηετε και ζχετε μια δομι φακζλων όπωσ δίπλα Στο φάκελο bin βρίςκεται το εκτελζςιμο root.ee το οποίο ςασ ανοίγει το παράκυρο εντολϊν Στο φάκελο macros ςϊηετε τον κϊδικα τθσ C aaa.c που κζλετε να εκτελζςετε δίνοντασ τθν εντολι. aaa.c ςτο παράκυρο εντολϊν 10

11 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ - Μεκοδολογία Μετατροπι του ςυνεχοφσ αναλυτικοφ προβλιματοσ ςε διακριτό Δθμιουργοφμε πλζγμα ςθμείων όπου πραγματοποιοφμε δειγματολθψία των μεγεκϊν που μασ ενδιαφζρουν Ακρίβεια αποτελζςματοσ ςχετίηεται με τθν επιλογι του αρικμοφ των ςθμείων του πλζγματοσ κακϊσ και τθν τάξθ ακρίβειασ τθσ παρεμβολισ που πραγματοποιοφμε (ςφάλμα αποκοπισ) Γίνονται πολλζσ πράξεισ με αρικμοφσ, θ αναπαράςταςθ των οποίων ζχει πεπεραςμζνθ ακρίβεια (ςφάλμα ςτρογγυλοποίθςθσ) 10/12/

12 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Σφάλμα αποκοπισ Ζνα παράδειγμα: Ανάπτυγμα Taylor τθσ () γφρω από το 0 () R () P () n n n k k k n n n k n P 0 0 ) ( 0 0 ) ( !! ) (... 2! ) ( ) ( ) ( ) (! 1 n () () R 1 n 0 1 n n Σφάλμα Αποκοπισ 10/12/

13 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Σφάλμα αποκοπισ Παραδείγματοσ ςυνζχεια: Ζςτω ()=cos() και 0 =0 Και κζλουμε να υπολογίςουμε το 2θσ και 3θσ τάξθσ πολυϊνυμο Taylor () sin(), () cos(), () sin(), (4) () cos() (0) 1, (0) 0, (0) 1, (0) 0 Οπότε για n=2 και =0.1, ζχουμε τθν προςζγγιςθ cos() (0) (0) (0) 2! 3 2 sin( ()) ( ()) 3! cos (01. ) ± /12/

14 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Σφάλμα αποκοπισ Παραδείγματοσ ςυνζχεια: Ζςτω ()=cos() και 0 =0 Και κζλουμε να υπολογίςουμε το 2θσ και 3θσ τάξθσ πολυϊνυμο Taylor () sin(), () cos(), () sin(), (4) () cos() (0) 1, (0) 0, (0) 1, (0) 0 Οπότε για n=3 και =0.1 ζχουμε τθν προςζγγιςθ cos( ) (0) (0) (0) 2! 2 cos( ( )) (0) 3! 2 (4) ( ( )) 4! cos (01. ) ± Πραγματικι τιμι /12/

15 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Σφάλμα αποκοπισ Παραδείγματοσ ςυνζχεια: Ζςτω ()=cos() και 0 =0 Και κζλουμε να υπολογίςουμε το 2θσ και 3θσ τάξθσ πολυϊνυμο Taylor Με πολυϊνυμο Taylor 2 ου βακμοφ ζχουμε τθν προςζγγιςθ: cos(0.1)= ± Με πολυϊνυμο Taylor 3 ου βακμοφ ζχουμε τθν προςζγγιςθ: cos(0.1)= ± Με πραγματικι τιμι /12/

16 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Αναπαράςταςθ αρικμϊν ςτον υπολογιςτι Οι υπολογιςτζσ χρθςιμοποιοφν δυαδικό ςφςτθμα Υπενκφμιςθ: (10) ςθμαίνει: Αντίςτοιχα (2) ςθμαίνει: Επομζνωσ (2) = 5.75 (10) 10/12/

17 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Αναπαράςταςθ αρικμϊν ςτον υπολογιςτι Οι υπολογιςτζσ χρθςιμοποιοφν δυαδικό ςφςτθμα Οι ακζραιοι χρθςιμοποιοφν όλα τα διακζςιμα bits εκτόσ από ζνα που χρθςιμοποιείται για το πρόςθμο. Επομζνωσ οι ακζραιοι αναπαρίςτανται με τθν ακριβι τιμισ τουσ ςτθ μνιμθ του υπολογιςτι ςτθν περιοχι τιμϊν [-2 n-1-1, 2 n-1-1] 16bits: =32,767 32bits: 2,147,483,647 Οι πραγματικοί αρικμοί αναπαρίςτανται με τθν κανονικοποιθμζνθ επιςτθμονικι γραφι των αρικμϊν με τθ μορφι κινθτισ υποδιαςτολισ. π.χ = Κλαςματικό μζροσ (mantissa) Εκκζτθσ (eponent) 10/12/

18 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Αναπαράςταςθ Αρικμϊν ςτον υπολογιςτι Από τθν εμπειρία μασ ςε υπολογιςμοφσ περιμζνουμε ότι οι ιςότθτεσ που εμφανίηονται ςτισ διπλανζσ πράξεισ κα είναι πάντα αλθκείσ Στον Η/Υ όμωσ θ αναπαράςταςθ των αρικμϊν ζχει αναγκαςτικά πεπεραςμζνα ψθφία που εξαρτάται από τον αρικμό των bits που δεςμεφονται ςτθ μνιμθ για τθν αναπαράςταςθ του αρικμοφ /12/

19 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Αναπαράςταςθ αρικμϊν ςτον υπολογιςτι Οι υπολογιςτζσ χρθςιμοποιοφν δυαδικό ςφςτθμα για τθν αναπαράςταςθ πραγματικϊν αρικμϊν με κινθτι υποδιαςτολι Single precision Double precision 10/12/

20 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Αναπαράςταςθ Αρικμϊν Στον Η/Υ όμωσ θ αναπαράςταςθ των αρικμϊν ζχει αναγκαςτικά πεπεραςμζνα ψθφία που εξαρτάται από τον αρικμό των bits που δεςμεφονται ςτθ μνιμθ για τθν αναπαράςταςθ του αρικμοφ. Δυαδικι αναπαράςταςθ αρικμϊν ςτον Η/Υ Αν χρθςιμοποιοφμε 64 bits για τθν αναπαράςταςθ ενόσ πραγματικοφ αρικμοφ χρθςιμοποιοφμε: 1 bit για το πρόςθμο 11 bits για τον εκκζτθ (eponent) ζκταςθ = bits για το κλαςματικό τμιμα (mantissa) 10/12/

21 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Αναπαράςταςθ Αρικμϊν Ζςτω για παράδειγμα ο αρικμόσ s=0 κετικόσ αρικμόσ 10/12/

22 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ακρίβεια αναπαράςταςθσ αρικμϊν ςτον υπολογιςτι Αναπαράςταςθ κινθτισ υποδιαςτολισ (loating point) Κάκε κετικόσ πραγματικόσ αρικμόσ μζςα ςτα αρικμθτικά όρια του Η/Υ ~ ~ μπορεί να καταλιξει ςτθν παραπάνω μορφι είτε αποκόπτοντασ τα επιπλζον ψθφία (chopping) είτε ςτρογγυλεφοντασ και αποκόπτοντασ τα επιπλζον ψθφία (rounding) Απόλυτο ςφάλμα p l( p) Σχετικό ςφάλμα p l( p) p 10/12/

23 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ακρίβεια αναπαράςταςθσ αρικμϊν ςτον υπολογιςτι #include <iostream> #include <math> void akribeia() { FILE * pfile; pfile = open ("akrivia_loat.tt","w"); loat one=1.; loat eps=1.; or(int i=0; i<40; i++) { eps=eps/2.; one=1.+eps; print(pfile, "%1.20 \n",one); } close (pfile); } /12/

24 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ακρίβεια αναπαράςταςθσ αρικμϊν ςτον υπολογιςτι #include <iostream> #include <math> void akribeia() { FILE * pfile; pfile = open ("akrivia_double.tt","w"); double one=1.; double eps=1.; or(int i=0; i<40; i++) { eps=eps/2.; one=1.+eps; print(pfile, "%1.20 \n",one); } close (pfile); } /12/

25 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Αρικμθτικοί Υπολογιςμοί Παράδειγμα Ι: =5/7, y=1/3 και χρθςιμοποιοφμε αναπαράςταςθ 5 ψθφίων και αποκοπι l() = και l(y) = /12/

26 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Αρικμθτικοί Υπολογιςμοί Παράδειγμα Ι ςυνζχεια: Ζςτω επιπλζον: u= , v= και w= l(u) = l(v) = και l(w)= Υπολογιςμοί που παρουςιάηουν μεγάλο ςφάλμα ςτρογγυλοποίθςθσ: Αφαίρεςθ ςχεδόν ίςων αρικμϊν Διαίρεςθ με πολφ μικροφσ αρικμοφσ Πολλαπλαςιαςμόσ με μεγάλουσ αρικμοφσ 10/12/

27 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Αρικμθτικοί Υπολογιςμοί Παράδειγμα ΙΙ: 10/12/

28 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Αρικμθτικοί Υπολογιςμοί Παράδειγμα ΙΙ ςυνζχεια: Ζςτω p 0 =1 και p 1 =1/3 τότε c 1 =1 και c 2 =0 Αν όμωσ χρθςιμοποιοφμε αναπαράςταςθ 5 ςθμαντικϊν ψθφίων τότε p^0= και p^1= οπότε c^1= και c^2= Σε αυτιν τθν περίπτωςθ και το ςφάλμα ςτρογγυλοποίθςθσ 10/12/

29 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Αρικμθτικοί Υπολογιςμοί Παράδειγμα ΙΙΙ: 10/12/

30 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Αρικμθτικοί Υπολογιςμοί Παράδειγμα ΙΙΙ ςυνζχεια: Ζςτω p 0 =1 και p 1 =1/3 τότε c 1 =1 και c 2 = -2/3 Αν όμωσ χρθςιμοποιοφμε αναπαράςταςθ 5 ςθμαντικϊν ψθφίων τότε p^0= και p^1= οπότε c^1= και c^2= Σε αυτιν τθν περίπτωςθ και το ςφάλμα ςτρογγυλοποίθςθσ 10/12/

31 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Αρικμθτικοί Υπολογιςμοί Παράδειγμα ΙΙ αποτελζςματα: Παράδειγμα ΙΙΙ αποτελζςματα: Σφάλμα που αυξάνεται εκκετικά Αςτάκεια Σφάλμα που αυξάνεται γραμμικά Ευςτάκεια 10/12/