4. NAIZMJENIČNE STRUJE

Transcript

1 4. NAZMJENČNE SJE 4. Prosoperodčne harončne velčne njhove osnovne karakerske elekroehnc se najčešće prjenjuju uređaj koj korse nazjenčnu sruju "". Kod nazjenčne sruje jenja se, oko vreena, nenze sjer. Nazjenčne sruje nasaju u elekrčno kolu u koje djeluju nazjenčne elekrooorne sle e (odnosno napon u). sruje es-e su perodčne funkcje vreena zadovoljavaju uslov: ( ) ( + ) ; e() e( + ) u() u( + ) Velčna nazva se peroda perodčne funkcje o je vreensk nerval poslje koga se funkcja ponavlja. eorjskoj elekroehnc sruja je prosoperodčna harončna funkcja vreena (snusna sruja). Zbog oga će dalje, ako drugačje ne bude napoenuo, ovdje nazjenčna sruja b sarana snusodalno. Nazjenčna sruja (napon, es) karakerše se (Slka 4.): renuno vrjednošću (u, e), aksalno vrjednošću (apludo) (, E ), rajanje punog cklusa (perodo) l broje peroda u jednc vreena (učesanošću, frekvencjo) f f (4.) Očgledno je da je jednca za učesanos /sec. Ova jednca a poseban nazv jedan herc (Hz; Hz () /s). Slka 4. Snusna sruja u funkcj vreena. česanos nazjenčne sruje za napajanje elekroenergeskh uređaja eđunarodno je sandardzovana znos 5 Hz. pak, u zeljaa Sjeverne aerke djelu Japana ovaj sandard nje prhvaćen, e je, kao sandardna, usvojena učesanos od 6Hz. Za pokreanje brzohodnh elekrooora korse se učesanos (4-)Hz. Za napajanje ndukconh peć, koje se korse za opljenje eala za zagrjavanje eala rad erčke obrade, korse se učesanos do 5MHz. ssea radodfuzje srjeću se učesanos do 3xHz. Kod vsokofrekvennh uređaja, ujeso učesanos, šroko se kors, kao velčna koja karakerše nazjenčn sgnal, alasna dužna λ. alasna dužna je defnsana na osnovu brzne prosranja alasa v učesanos f, (odnosno perode) v λ v [ ]. (4.) f Velčna π - ω πf [ s ] (4.3) šroko se kors u elekroehnc nazva se kružna učesanos (kružna frekvencja, fazna brzna). renuna vrjednos snusodalne sruje ože se zračuna, za blo koj renuak vreena, preko njene aksalne vrjednos faze (ugla pojeraja) ω na sljedeć načn

2 snω (4.4) Dakle, pr predsavljanju nazjenčne sruje, na apscsu, ujeso vreena, ože se nanos ugao ω, kao šo je o predsavljeno na slc 4.. /4 / 3/4 π/ π 3 π/ π ω Slka 4. Nazjenčna sruja u funkcj ugla vreena Za blo koju od snusodalno projenljvh velčna, oguće je uvjek odabra počeak računanja vreena ako da se počeak snusode poklapa sa koordnann počeko (, ω). Projene nekolko snusodalnh velčna ogu se odvja uz nek eđusobn pojeraj u vreenu. akv slučajeva, kaže se da su nazjenčne velčne fazno pojerene. Na slc 4.3 predsavljene su dvje nazjenčne sruje razlčo pojerene po faz. Sruja sa slke 4.3a pojerena je u jednu sranu, a sruja sa slke 4.3b u drugu sranu u odnosu na koordnann počeak. Na slc 4.3c prkazano je sanje obje sruje ako da se počeak prve sruje poklopo sa koordnann počeko. ω ω ω Ψ -Ψ -Ψ a) b) c) 4.3 Dvje sruje fazno pojerene predsavljene u: a) b) azlč koordnann ssea; c) so koordnanno sseu. Za počenu fazu ψ kaže se da je pozvna ako je renuna vrjednos snusodalne velčne, pr, pozvna, obrano, za počenu fazu ψ kaže se da je negavna kad je renuna vrjednos velčne, pr, negavna. Za velčnu sa pozvno počeno fazo kaže se da prednjač, a za velčnu sa negavno počeno fazo kaže se da kasn u odnosu na velčnu čja je počena faza jednaka nul. opše slučaju, renuna vrjednos nazjenčne velčne zražava se kao sn( ω+ ϕ ) (4.5) s šo ϕ ože b: pozvno, negavno l jednako nul. 4. Efekvna vrjednos nazjenčne velčne Pr jerenju davanju podaaka o vrjednos nazjenčne sruje, u elekroehnčkoj praks se očgledno ne govor o renunoj vrjednos sruje. osalo, pošo se sruja jenja, o renunoj vrjednos sruje se ože govor sao ako se odred renuak posaranja. Već sa grafčke predsave nazjenčne sruje, jasno je da je njena srednja vrjednos u oku jedne perode jednaka nul, j. da je:

3 d. Među, česo se, da b se sakla uloga pojednh nazjenčnh velčna u određen efeka elekrčne sruje, za kvanavno zražavanje nazjenčnh velčna, kors srednja vrjednos odgovarajuće velčne ne za vrjee jedne perode, već za vrjee / (za jednu poluperodu). ako je za sruju odnosno / / π sr d sn( ω) / / π π cos( ω) π π cos( ω) π π sr sr Esr E π π π sn( ω) d( ω), (4.6) za sve r neresanne snusodalne velčne (sruja, napon es). Kao osnovna karakerska za kvanavno zražavanje nazjenčnh velčna, kors se njhova efekvna vrjednos. občajeno je da se kao efekvna vrjednos nazjenčne sruje ef () sara ona vrjednos sruje, koja b da je salna, za vrjee, prolazeć kroz erogen opor, oslobodla su kolčnu oploe kao a nazjenčna sruja. Da b se došlo do ove vrjednos, dakle, reba poć od d. Odavde se, zvlačenje sređvanje odgovarajućeg zraza, dobja: d sn ( ) d ω cos( ) d ω Na slčan načn defnču se efekvne vrjednos napona es E, pa važ E E. (4.7) Pogodnos davanja podaaka u efekvn vrjednosa sruje napona je očgledna. o su vrjednos koje jern nsruen drekno jere. S se vrjednosa drekno, pooću Džulovog zakona, ože sračuna srednja snaga kojo se oslobađa oploa u kolu: P l P /, sl. Još jedno da podsjeo da zraz (4.6) (4.7) važe sao za prosoperodčne (snusne) velčne. Odnos zeđu efekvne srednje vrjednos nazjenčne velčne ξ/sr nazva se fakor oblka, za snusne velčne, znos ξo,. 4.3 Predsavljanje nazjenčnh velčna obrn vekora-fazora ehanc (eorja haronjskh osclacja) razrađen je eod vekorskh djagraa, koj oogućava da se haronjsko osclovanje predsav projekcjo nekog radjus-vekora na nepokrenu osu, pr njegovo obranju salno brzno. Na slc 4.4 predsavljen je radjus vekor A koj se obrće salno ugaono brzno ω suprono kreanju kazaljke na

4 sau. Položaj oga vekora u renuku odgovara pozvno sjeru ose x. Projekcja radjus-vekora na ordnanu osu, pr njegovo obranju salno ugaono brzno ω, jenja se prea a Asn( ω ), šo je, na slc 4.4 predsavljeno odgovarajućo snusodo u funkcj ω. a a ω A ω π Slka 4.4 Predsavljanje haronjske osclacje obrn vekoro. Naveden eod, očgledno je, ože b prjenjen za predsavljanje nazjenčnh (snusnh) velčna, šo je lusrovano, na prjeru čer nazjenčne velčne, slko 4.5. Velčnaa predsavljen na slc 4.5, očgledno, odgovaraju zaps e E sn( ω + ); e E sn( ω + ψ ); sn( ω ψ ); sn( ω + ψ ). 3 4 Kako je kod snusodalnh velčna odnos aksalnh efekvnh vrjednos / konsana ( ), o se ove velčne ogu predsav radjus-vekora čj odul odgovaraju efekvn vrjednosa. Dakle, prosoperodčne funkcje vreena ogu se predsav obrn vekora (fazora). Pošo se fazor obrću so ugaono brzno ω, on su, dakle, eđusobno nepokren, e je njhov eđusobn položaj u blo ko drugo renuku s kao u renuku. Na aj načn, oguće je prosoperodčne velčne sabra grafčk. E ω ψ 4 ψ 3 ψ E Slka 4.5 Čer elekrčne velčne predsavljene obrn vekora. Među, ovakva, grafčka eoda, nje pogodna za rješavanje ole složenjeg kola, jer ne pruža ogućnos dublje, precznje obuhvanje analze složenog kola. 4.4 Predsavljanje nazjenčnh velčna kopleksn kolčnaa Analza alo složenjeg kola za nazjenčnu velčnu preko renunh vrjednos predsavljala b ukorpan posao rješavanja ssea dferencjalnh jednačna. S druge srane, analza sh pooću vekorskh velčna podrazujeva složene operacje nad vekora. Ove eškoće su uslovle raženje eoda koj b pojednosavo analzu kola za nazjenčnu sruju. Značajan korak naprjed u rješavanju složenh kola, načno je Šajnec (894. god.). On je grafčko predsavljanje obrn vekora zajeno analčko predsavo pooću kopleksnog broja. Na aj načn, geoerjske operacje sa fazora svode se na algebarske operacje sa kopleksn brojeva. e se proble rješavanja dferencjalnh jednačna svod na rješavanje algebarskh jednačna sa

5 kopleksn brojeva. Ovaj eod občno se nazva sbolčk eod sa kopleksn brojeva Da b se objasno ovaj eod, valja se prvo podsje da je opš oblk kopleksnog broja Z Z + jx, gdje je: realna koponena kopleksnog broja (realna osa) X agnarna koponena kopleksnog broja (agnarna osa) j - agnarna jednca, nazvana agnarno zao šo je j, šo nje slučaj kod jednog realnog broja. (podsjeo da je: j 3 j j j l j j j j j a da je eksponencjaln oblk kopleksnog broja jϕ Z Z e. Veza zeđu ova dva oblka je Ojlerov obrazac ϕ e j cosϕ + j snϕ, e je Z Z cosϕ + jz snϕ, l e{ Z} Z cosϕ X { Z} Z snϕ, sa odulo kopleksnog broja Z Z + X X argueno kopleksnog broja ϕ arcg Ako ugao fazora sa realno oso zavs od vreena Θ ( ω + ϕ) ada se kopleksn broj pše u oblku: j( ω + ϕ ) j( ω+ ϕ ) z ( ) Z e Ze Ovh nekolko konsaacja, koje su čaocu poznae z kopleksnog računa, korsćeo kod rješavanja elekrčnh kola nazjenčne sruje. Soga, navedo ovdje sljedeće: neka je elekrooorna sla prosoperodčna funkcja vreena, čja je renuna vrjednos daa u oblku: e( ) E sn( ω + ϕ). Ona se ože zraz u kopleksno oblku: j( ω +ϕ ) e ( ) E e (4.8) zvod po vreenu ovog kopleksnog zraza je: de j( ω+ ϕ ) jωee jωe, (4.9) d a negral sog zraza je: j( ω+ ϕ ) ed Ee e (4.) jω jω ajuć prehodno u vdu, uvjek se, na osnovu kopleksnog predsavnka, ože jednoznačno odred orgnalna funkcja kao agnarn do kopleksne kolčne. Ako u lnearno elekrčno kolu (kolu sa konsann paraera, C) sv zvor aju su učesanos, ada napon na krajeva pojednh eleenaa kola, sruje u nja, aju su učesanos. Fazne razlke zeđu pojednh nazjenčnh velčna su konsanne, pa ako se. za cjelo kolo, usvoj s počen renuak, fazne razlke osaju jednake razlkaa počenh faza odgovarajućh velčna (, e u). Na osnovu prehodnog, ože se, z oblka za renunu vrjednos neke velčne, nać njen kopleksn predsavnk, za šo je neophodno poznava apludnu l efekvnu vrjednos e snusne velčne njenu počenu fazu.

6 4.5 Sruja u kolu: erogene, kapacvne ndukvne opornos Pr zučavanju kola jednosjerne sruje konsaoval so da sruja u akvo kolu, za određenu vrjednos es, zavs sao od erogene opornos kola. S druge srane, sruje u kola sa kondenzaora javljaju se kroz grane sa kondenzaora sao pr punjenju pražnjenju kondenzaora, dok u usaljen reža zčezavaju, e kondenzaor u akvoj gran, za usaljeno sanje, predsavlja prekd grane. Slčno, elekroagnena ndukcja javlja se sao pr projen fluksa, odnosno projen sruje koja zazva aj fluks. Dakle, kale, koj se karakerše ndukvnošću, ne pruža opor salnoj, već sao projenljvoj sruj. Zbog oga, prsusvo kalea u gran kola jednosjerne sruje za usaljena sanja valja sara krako vezo. Sasv drugačje eku proces u kola za nazjenčnu sruju. Nazjenčn napon, l nazjenčna es, u kolu sa kondenzaoro zazva neprekdno ponavljanje procesa punjenja pražnjenja kondenzaora, šo govor o oe da se, u oku jedne perode, kondenzaor ponaša čas kao prjenk (uza energju kada napon rase kondenzaor se pun) a čas kao zvor (vraća energju kada doveden napon opada kondenzaor se prazn). Dakle, prsusvo kondenzaora u kolu za nazjenčnu sruju, pr usaljeno sanju, reba uvaž preko neke posebne opornos, koju kondenzaor zazva u odnosu na nazjenčnu sruju. S druge srane, u kaleu se javlja elekroagnena ndukcja pr svakoj projen fluksa, j. pr svakoj projen, pa snusnoj projen sruje kao uzroka pojave fluksa. Pr oe, u kaleu se ndukuje akva es koja ež da suzbje uzrok svoje pojave. Ovo, akođe, govor o oe da kale pruža nek posebn opor projenaa sruje kroz njega, šo se ne sje zanear pr analz kola za nazjenčnu sruju, koja sadrže ovakve eleene, n kada se rad o saconarn reža. Poja saconarnog sanja ovdje a drug ssao nego kad se rad o kola jednosjerne sruje. Nae, saconarn se sara ono sanje pr koje se nazjenčne velčne neprekdno jenjaju u vreenu, al se, pr oe, e projene, u oku vreena posaranja, salno ponavljaju, j., pr oe ne dolaz do projena njhovh apluda n učesanos. Poenućeo sao kao čnjencu, da je akvna (erogena) opornos veća pr nazjenčnoj nego pr jednosjernoj sruj, j. da je k (4.) gdje je K> nazva se fakor poskvanja. Kažo sao još da je k uolko veće ukolko je učesanos nazjenčne sruje veća ukolko je presjek provodnka već. Važno je napoenu da ne posoje elekroehnčk uređaj, n eleen, koj pružaju sao jedan oblk opornos procanju nazjenčne sruje. Među, pojedn vdov opornos, kod nekh uređaja l eleenaa, ogu b donann, e je česo dozvoljeno druge oblke opornos zanear pr nek analzaa. Ako se pođe od oga da je uvjek oguće odabra olko al nerval vreena posaranja nazjenčnh velčna odnosa eđu nja, u koje se e velčne ogu sara konsann (saln), ada nje neophodno dokazva da sv algor za rješavanje kola jednosjerne sruje važe za kola za nazjenčnu sruju, ako se računa sa odgovarajuć renun vrjednosa nazjenčnh velčna, j. važ :

7 u ; u k ; k ; p u. (4.) Jedan od eoda za analzu kola za nazjenčnu sruju oslanja se na algore dae zrazo (4.). pored oga šo je ovaj eod dosa složen neprakčan, zbog njegovog zvornog značaja, valja ga prjen na neke jednosavne prjere kola Opornk u kolu nazjenčne sruje Kada je na krajeve kola sa slke 4.6a doveden napon oblka u sn( ω ), o naponu, u svako renuku vreena, ora drža ravnoežu pad napona na opornku ako da je: u u, u u u a) odnosno Odavde je pu u / P ϕ b) c) Slka 4.6 Opornk u kolu nazjenčne sruje: a) Kolo; b) Vreensk djagra; c) Vekorsk djagra. u u. u sn( ) sn( ) f.o. ω ω. (4.3) Ovo je lusrovano vreensk (Slka 4.6b) vekorsk djagrao (Slka 4.6c). z zraza (4.3) sa ovh slka, jasno je da su, u ovakvo kolu, projene napona sruje jednovreene, j. da nsu eđusobno fazno pojeren, pa kažeo da je sruja u faz sa napono. Dakle, erogena opornos ne uče na projenu faznog sava sruje u odnosu na napon koj je uzrokovao u sruju. Pored zraza za renunu vrjednos nazjenčne sruje u/, jednosavno je uoč odnose zeđu aksalnh efekvnh vrjednos. (4.4) renuna snaga ovoga kola, saglasno (4.), je

8 p u sn sn( ω) ( ω) sn sn( ω) ( ω) sn( ω) [( cos(ω) ] sn( ω) - cos(ω). Prv član u konačno zrazu za renunu snagu (4.5) predsavlja srednju, l akvnu, snagu P, dok drug član predsavlja perodčnu koponenu renune snage koja oscluje oko srednje vrjednos dvosruko učesanošću napajanja, pa je srednja vrjednos e koponene, za vrjee, jednaka nul. renuna snaga p u opornku nea negavnh vrjednos šo govor o oe da se čava snaga, koja dolaz u opornk, roš u njeu (prevara u oplou) da se nkakav njen do ne vraća zvoru (rež) Kale u kolu nazjenčne sruje (4.5) Kolo sa kaleo predsavljeno je na slc 4.7a. Neka su krajev kola prključen na napon u sn( ω). Pod ucaje ovog napona, kroz kolo će proeć sruja. Da b se u kolu usposavla ravnoeža, ora b u u, pa, kako je: dφ d ( ) u e d, d d d o je u d, d odnosno d sn( ω ), d šo, razdvajanje projenljvh, dovod do d sn( ω ) d. negraljenje ljeve desne srane ovog zraza, dobja se cos( ω) sn( ω π / ) sn( ω π / ) (4.6) ω ω Čnjenca da sruja kroz ovo kolo fazno zaosaje za ugao π/ za napono, šo se da uoč z zraza (4.6), prkazana je na slkaa 4.7b 4.7c. Prozvod ω označava se sa X nazva se ndukvno opornošću l reakanso. Saglasno prehodn zraza, očgledno, važ: a) u ; X E X X u (d/d). (4.7) u pu π/ π 3 π/ ω π ϕ - π/ b) c) Slka 4.7 Kale u kolu nazjenčne sruje; a) Kolo; b) Djagra u funkcj ω; c) Vekorsk djagra. f.o.

9 renuna snaga p predsavlja brznu projene energje agnenog polja kalea p jednaka je: p u sn( ω) [ cos( ω) ] sn( ω) cos( ω) sn(ω ) (4.8) z zraza (4.8) jasno je da je srednja (akvna) snaga jednaka nul (P). Dakle, kale nazjenčno, sa učesanošću f (vd slku 4.7b), uza energju z reže (zvora) vraća je soj. Ova energja se angažuje na "svaranje" agnenog polja u okoln kalea vraća rež pr "ukdanju" oga polja Kondenzaor u kolu nazjenčne sruje Kada se na ulaz kola sa slke 4.8a dovede napon oblka usn(ω), o naponu ora drža ravnoežu uc: Kako je u C q / C, o je u q / C, pa važ odakle se dobja: du d u. u c dq C d C, C du C d sn( ω ) ωccos( ω ) d d, l: sn( ω+ π / ), (4.9) gdje je: ωc / ωc ω / C. (4.) a) u u q/c C C u pu π/ π 3π/ ω π ϕ π/ f.o. b) c) Slka 4.8 Kondenzaor u kolu nazjenčne sruje: a) Kolo; b) Djagra u funkcj ω; c) Vekorsk djagra.

10 Sruja u kolu sa kondenzaoro (čso kapacvno operećenje) pojerena je u odnosu na doveden napon za π/, šo se vd z zraza (4.9) sa djagraa 4.8b 4.8c, prednjač dovedeno naponu za aj ugao. Velčna /ωc označava se sa ωc X C, nazva se kapacvna opornos l kapacvna reakansa. skladu sa razaranja z ovog djela, ože se psa ; Xc X Srednja vrjednos renune snage kola c Xc. (4.) p u uc sn( ω ) (4.) jednaka je nul (P). Dakle, kondenzaor nazjenčno, uz učesanos f, pra energju z reže (pun se) odaje energju rež (prazn se). 4.6 Popuno proso kolo nazjenčne sruje Na slc 4.9 prkazano je popuno proso kolo nazjenčne sruje. Popuno, zao šo kolo, os akvnog eleena zvora (reže) nazjenčne sruje, sadrž sva r pasvna eleena; opornk opornos, kale ndukvnos kondenzaor kapacvnos C. Proso kolo, zao, šo sadrž sao jednu granu, u kojoj su redno vezan pasvn eleen. C u u u u C + u u C Slka 4.9 Popuno proso kolo nazjenčne sruje ješavanje kola najčešće se svod na određvanje sruje u kolu, kada su pozna paraer kola;, C vrjednos nazjenčnog napona u (es-e e). Kao šo je pokazano za proso kolo jednosjerne sruje, na osnovu zakona o održanju energje, u svako renuku ora b zadovoljena jednačna ravnoeže elekrčnh sla u kolu: u u u uc. Neka je za kolo sa slke 4.9 na krajeve kola doveden napon oblka u cosω. Jednačna ravnoeže elekrčnh sla ože se psa u for: d cos ω uc (4.3) d odnosno, kako je u C q / C dq/d ao: d q dq q + + cosω. (4.4) d d C Ova dferencjalna nehoogena jednačna drugog reda sa konsann koefcjena (paraer, C se ne jenjaju oko posaranja) poznao je, a rješenje, koje se sasoj od zbra opšeg parkularnog rješenja. Opše rješenje, eđu, veoa brzo ež nul. Parkularno rješenje, koje je u ovo slučaju prosoperodčna sruja, opsuje usaljen rež (saconarno sanje) nazjenčne sruje.

11 M ćeo zuč sao usaljen rež, j. ražćeo zraz za sruju u kolu, ne neposredno nakon prključenja kola na zvor (režu), već sruju koja se u kolu usal poslje zvjesnog vreena. Prakčno se ože uze da se u kolu usposavlja usaljen rež već poslje nekolko l- l krosekund. Kako je napon, kao uzročnk kreanja elekrcea u kolu, osclaorna funkcja, nucja navod da rješenje bude akođe osclaorna funkcja, koja ože b fazno pojerena u odnosu na napon, pa rješenje jednačne (4.4) poražo u oblku: q q sn( ω ϕ). (4.5) Dakle, za rješenje je neophodno odred q fazn sav ϕ. ajuć u vdu da je: dq ωq cos( ω ϕ), (4.6) d drug zvod po vreenu: d q ω q sn( ω ϕ). (4.7) d vrso l zraze (4.5), (4.6) (4.7) u jednačnu (4.4) ao: ω sn( ω ϕ ) + ω cos( ω ϕ ) cos ω C (4.8) q Korseć adcone eoree za snus kosnus razlke uglova, gornja jednačna se ože napsa u pogodnje oblku: ω C cos ϕ + ω sn ϕ sn ω + (4.9) + ω sn ϕ + ω cos ϕ cos ω cos ω C q Kako ravnoeža elekrčnh sla u kolu ora b zadovoljena u svako renuku, o ljeva srana jednačne (4.9) ora b denčk jednaka desnoj sran. o je oguće sao ako je na ljevoj sran član uz sn ω jednak nul, a član uz cos ω jednak desnoj sran, j. ω cosϕ + ωsnϕ (4.3) C ω + C snϕ ω cosϕ (4.3) q z jednačna (4.3) (4.3) ožeo odred ražene nepoznae velčne q ϕ. z jednačne (4.3) drekno sljed: ω C X X C X ϕ arcg ω arcg arcg, (4.3) a nakon kvadrranja sabranja jednačna (4.3) (4.3) sljed: q (4.33) ω ω + X + ω ωc Sada je usaljena nazjenčna sruja, koja predsavlja prnudne osclacje pod dejsvo nazjenčnog napona: dq ωq cos( ω ϕ) (4.34) d l kako je uobčajeno da se označava:

12 cos( ω ϕ) (4.35) Maksalna vrjednos sruje, očgledno je z obrasca (4.33), je: (4.36) + X Z + ω ωc gdje je Z pedansa kola. Prea oe, pedansa l prvdna opornos kola se sasoj od: erogena l akvna opornos, Ω X ω - ndukvna opornos, Ω X C - kapacvna opornos, Ω ω C X X X C - reakvna opornos l kraće reakansa kola. Sv ov opor se jere u oa, al, kao šo pokazuje jednačna (4.36), on se ne sabraju jednosavno, već na načn koj podsjeća na Pagorno pravlo za pravougaon rougao. Zadržo našu pažnju još alo na posarano proso kolu. Kolo ože b realzovano sa razlč vrjednosa paraeara, C (oguće je da kolo ne sadrž /l C). Ako je ndukvn opor već od kapacvnog, kolo nazvao preežno ndukvno kolo, ada je ugao faznog sava ϕ pozvan, pa sruja kasn za napono za ugao ϕ. Obrnuo, ako je kapacvn opor već od ndukvnog, kolo nazvao preežno kapacvno kolo, ugao ϕ je negavan sruja prednjač naponu za ugao ϕ. ako realno kolo ne ože b realzovano bez akvne opornos, pak se, u eorjsk razaranja, kolo sa kaleo za koje važ da je X >> sara čso ndukvn. Kao šo je pokazano ranje sruja u kaleu kasn za ugao ϕ π /. Kada je realzovano kolo sa kondenzaoro, u koe je X C >>, sarao ga čso kapacvn, a sruja u njeu prednjač naponu za ϕ π /. z zraza za pedansu (4.36) se vd, da opornos kola nazjenčne sruje zavs od učesanos f napona na koj je kolo prključeno ( ω πf ). česanos, pr kojoj je zadovoljen uslov X X C, nazva se rezonanna učesanos, a pojava se nazva rezonancja. Očgledno, pr rezonancj je pedansa nalna Z Z n, pa je sruja u kolu aksalna. Ova neresanna pojava se kors u nog prakčn prjenaa. Prelasko na vekorsku nerpreacju, ože se reć da vekoru dovedenog napona drže ravnoežu dvje koponene, koje su eđusobno fazno pojerene za π/, kako je o lusrovano slko 4.a. Θ X f.o. Θ X f.o. Z ϕ X S ϕ P Q X a) b) c) d) Slka 4. Djagra,, C - kola; a) Djagra aksalnh vrjednos; b) Djagra efekvnh vrjednos;c) rougao pedanse; d) rougao snaga. Kada se sve koponene djagraa sa slke 4.a podjele sa / dobja se vekorsk djagra efekvnh vrjednos velčna, kakav je prkazan na slc 4.b. Sa ovh slka jasno se uočavaju jednakos

13 + X + X, odakle se dobjaju zraz za odgovarajuće sruje:. (4.37) + X + X z rougla napona sa slke 4.c, ože se dob fazn pojeraj napona u odnosu na sruju: X X X g X θ C. (4.38) Velčna Z + X + ( X XC) (4.39) predsavlja neku uopšenu opornos kojo se kolo suprosavlja procanju sruje kroz njega. Očgledno je da se pedansa ože predsav rouglo kao šo je o učnjeno na slc 4.c, na kojoj je θ zajenjeno sbolo ϕ koj se češće srjeće u leraur. Koponene pedanse (opor reakansa X) ogu se sračuna preko: Zcos ϕ X X XC Zsnϕ. (4.4) Blans snaga u C kolu jasno se da sagleda z rougla sa slke 4.d, dobjenog kada su srance rougla sa slke 4.b ponožene sa. Shodno Džulovo zakonu, koponena predsavlja srednju (akvnu) snagu kola občno se označava sa P, a zražava u W. Analogno ovoe, defnsana je koponena X kao reakvna snaga kola, ona se označava sa Q, a zražava u VAr (vol-aper reakvn). Prozvod ( +X ) / nazva se ukupna, l prvdna, snaga občno se označava sa S zražava u VA (vol-aper). Dakle, važe relacje P ; Q X S. (4.4) z rougla snaga sa slke 4.d jasn su odnos P Scos ϕ cos ϕ Q Ssnϕ snϕ. (4.4) Velčna cosϕ nazva se fakor snage predsavlja jednu od osnovnh velčna kojo se kvanavno karakeršu kola za nazjenčnu sruju. 4.7 Osnovn zakon kola u kopleksno oblku jθ Ako na krajeva kola za nazjenčnu sruju djeluje napon e, kroz njega jψ eče sruja e, a kad kolo, pored akvne opornos sadrž reakvnu, preežno ndukvnu, opornos, ada odgovarajuć djagra u kopleksnoj ravn zgleda kao na slc 4.. +j Z ϕ ψ θ + Slka 4. Djagra ravnoeže napona u kopleksnoj ravn. Velčna, koja je jednaka odnosu kopleksnog napona na krajeva prjenka kopleksne sruje kroz aj prjenk, Z nazva se kopleksna opornos l pedansa prjenka X

14 e e jθ Z j( θ ψ ) e jψ Ovdje Z/ predsavlja oduo pedanse, a ϕθ-ψ njen arguen. Dakle, kada je prjenk preežno ndukvnog karakera, ada sruja zaosaje (kasn) u odnosu na napon, l napon prednjač sruj (θ>ψ), pa je ϕ>, e je: jϕ Z Ze Z cos ϕ+ jz sn ϕ + jx. suprono, sruja prednjač naponu (θ<ψ), pa je ϕ<, e je: jϕ Z Ze Z cos ϕ jz sn ϕ jx. Shodno prehodno, ože se napsa zraz za sruju j( θ ϕ ) jψ e e. (4.43) Z Z Ovaj zraz predsavlja kopleksn skaz Oovog zakona. zrazo (4.) skazan je, zeđu osalog, Krhofov zakon preko renunh vrjednos. slučaju kad su sruje:,,...,k,... snusodalnog oblka, shodno ranj razaranja, se se ogu predsav u kopleksno oblku važ: k, (4.44) šo predsavlja zraz za Krhofov zakon u kopleksno oblku. Drug Krhofov zakon u kopleksno oblku ože se zves polazeć od zraza za Krhofov zakon zražen preko renunh vrjednos prjenjen na prozvoljnu konuru koja sadrž prozvoljan broj grana u nja zvore, opornke, kondenzaore kalee d k e k kk + k + kd. d Ck Kada su es prosoperodčne harončke funkcje vreena, u lnearno elekrčno kolu napon sruje bće sog oblka, pa važ: E k [ k + j( X X C )] k. Konačno, zraz za Drug krhofov zakon u kopleksno oblku ože se napsa kao E k Z k k. (4.45) Dakle, rješavanje, kako prosh ako složenh, kola za nazjenčnu sruju, za usaljena sanja, vrš se prea algora znje kada su razarana kola salnh sruja sao šo se, pr rješavanju kola za nazjenčnu sruju, rad sa kopleksn kolčnaa. e jϕ Kopleksn oblk snage u kolu nazjenčne sruje Ako su pozna napon sruja u kolu nazjenčne sruje u kopleksno oblku ( jθ jψ e e ), ada je prvdnu snagu oguće zračuna na sljedeć načn S, (4.46) gdje je konjugovana vrjednos sruje. Odgovarajuć sjenaa, prehodn zraz dobja oblk jθ jψ j( θ ψ ) jϕ S e e e e S cosϕ + js snϕ P + jq. (4.47) ealn do kopleksne prvdne snage predsavlja akvnu snagu P S cos cos ϕ ϕ, (4.48)

15 a agnarn do prvdne snage predsavlja reakvnu snagu Q S sn ϕ snϕ, (4.49) pa je Q S P + Q ϕ arcg. (4.5) P Za preežno ndukvn prjenk ( X > X C ) je Q> pa se sara da on roš reakvnu snagu. Kada je prjenk preežno kapacvan ( X < X C ),onda je Q<, e se sara da on prozvod (generše) reakvnu snagu. 4.8 Prelazna sanja u proso kolu Pod prelzn sanje podrazujevaćeo projene sruja napona nasalh zbog projene konfguracje kola ovaranje l zavaranje prekdača. Našu pažnju zadržaćeo sao na pros kola sa konsann paraera, C jednosjern elekrooorn slaa Punjenje kondenzaora ealno elekrčno kolo sa kondenzaoro ne ože se zves bez erogene opornos, pa je na sl.4.. na red sa C povezan. E S Slka 4. Punjenje kondenzaora renuku zavoro prekdač S. Pod dejsvo es-e E, kroz kolo će proeć zvjesna sruja. Kako so već vše pua naglasl, u svako renuku, za kolo ora da važ jednačna dnačke ravnoeže elekrčnh sla: E u uc l E dq Q (4.5) d C Ponovo da ova jednačna prosče z zakona o održanju energje. Preuredo l jednačnu (4.5) u oblk: dq d + C Q E (4.5) prepoznaćeo nehoogenu dferencjalnu jednačnu prvog reda sa konsann koefcjena konsano sa desne srane. ješenje ovakve jednažne, kao šo je poznao, sasoj se od zbra opšeg parkularnog rješenja: p Q C E + A e p + ; p C C negraconu konsanu A određujeo z počenh uslova. Neka je u renuku (neposredno prje uključenja prekdača), na pločaa kondenzaora bla kolčna elekrcea Q. renuku + (neposredno poslje uključenja prekdača), kolčna elekrcrea na pločaa ora osa sa. Kad ovo ne b blo ako, o b značlo da se, za beskonačno krako vrjee, kolčna elekrcea na pločaa kondenzaora povećala, a e b se povećala elekrosačka energja kondenzaora za beskonačno krako vrjee, a o je oguće sao sa C c

16 beskonačno velko snago. Pošo u prrod nea pojava koje se odvjaju beskonačno velko snago, ora b: za Q CE + A A Q CE ( Q CE) e Q CE +, (4.53) Q E dq C e. (4.54) d Velčna C nazva se vreenska konsana kola jer se u sekundaa: V C As C( ) ΩF s A V A posebno slučaju, nače u prakčnoj prjen najčešć slučaj, ako je kondenzaor u renuku uključenja prekdača bo prazan (j. Q ), jednačne (4.53) (4.54) posaju: Q CE e ; (4.55) E e (4.56) Na sl.4.3. predsavljen je djagra projene napona (uq/c) sruje prea jednačnaa (4.55) (4.56). c, E E/,638 E,36 E/ Slka 4.3 Projena napona sruje za vrjee punjenja kondenzaora Sa djagraa se vd da napon rase po eksponencjalno zakonu, a sruja naglo porase na vrjednos E/, a za po eksponencjalno zakonu pada na nulu. Dakle, kroz kondenzaor sruja ože eć sao dok se kondenzaor pun. Kada se kondenzaor napun napon na njeu porase do vrjednos EMS-e zvora kojoj ada drž ravnoežu. c Pražnjenje kondenzaora Pražnjenje kondenzaora nazvao sanje koje nasaje neposredno poslje zavaranja prekdača u kolu na sl S C c Slka 4.4 Pražnjenje kondenzaora Kondenzaor je napunjen kolčno elekrcea Q. On, dakle, raspolaže elekrčno Q Cc energjo: W E, gdje je c napon koj vlada na njegov pločaa. Pod C

17 ucaje ovog napona kroz kolo će proeć određena sruja. svako renuku važ jednačna ravnoeže elekrčnh sla: dq d + C Q (4.57) Za počen uslov, Q Q, rješenje jednačne (4.57) daje: Q Q e (4.58) Q C e Znak nus za sruju znač da ona eče u sjeru suprono u odnosu na punjenje, kada je ekla pod ucaje es-e E, a sada eče pod ucaje napona kondenzaora. Projena napona sruje daa je na sl.4.5. Sruja, prolazeć kroz opornk, zagrjeva ga prea Džulovo zakonu. Na aj načn, elekrosačka energja kondenzaora prevorena je u oplonu energju, koju opornk odaje okoln. Napoeno, da ako u oku prelaznog procesa, dakle, prje usposavljanja saconarnog sanja (blo punjenja blo pražnjenja kondenzaora) dođe do ovaranja prekdača-prekd procesa- sruja će naglo pas na nulu, a na pločaa kondenzaora će se zadrža zaečen napon., c c Slka 4.5 Projena sruje napona pr pražnjenju kondenzaora Prelazne pojave u ndukvno kolu azorćeo prelaznu pojavu u kolu prea sl.4.6, u koe jednosjerna es-a E napaja redno vezan erogen opor ndukve koefcjena saondukcje. S E Slka 4.6 ndukvno kolo Kada se zavor prekdač, pod ucaje es-e E, kroz kolo će proeć sruja. svako renuku ora da posoj dnačka ravnoeža elekrčnh sla:

18 E d (4.59) d ad zvora roš se na zagrjavanje provodnka svaranje agnenog polja. ndukve, dakle, raspolaže agneno energjo: W M. (4.6) Jednačnu (4.59) napšo u pogodnje oblku: d + E (4.6) d p + ; p Zbr parkularnog opšeg rješenja je: E + A e (4.6) Pr određvanju negracone konsane A polazo od sledećeg rezona: Ako je prje zavaranja prekdača sruja u koju bla, onda u renuku nakon zavaranja prekdača + sruja ora b. Ako o ne b blo ako, značlo b da za beskonačno krako vrjee agnena energja od nule porase na određenu vrjednos, a o b značlo da se rad orao obavlja beskonačno velko snago. Kako u prrod nea procesa koj se obavljaju beskonačno snago, ora da važ: E E + A; A, pa je rješenje: E e. (4.63) Ova projena sruja predsavljena je na sl.4.7. E /,638 E/ Slka 4.7 Projena sruje u ndukvno kolu H Vs A ( ) s; Ω A V predsavlja, dakle, vrjee, jer se u sekundaa nazva se vreenska konsana kola. Prea (4.63), ek nakon beskonačno dugog vreena, sruja će posa konsanna E/. Među, već nakon seka vreena od nekolko vreenskh konsan sruju u kolu ožeo sara usaljeno.

19 Ša će se des ako ovoro prekdač kada kroz kale eče određena sruja? Korseć rezon u prehodno razaranju, zaključujeo da sruja ne ože renuno pas na nulu, jer b o značlo renuno sanjenje energje sa određene vrjednos na nulu, a o ope znač vršenje rada beskonačno snago, šo nje oguće. Ovaranje prekdača zazva sanjenje sruje šo uzrokuje ndukovanje elekrooorne sle saondukcje koja, po encovo zakonu, djeluje u sjeru sruje, nasoj da je održ. Ova es-a saondukcje dovoljno je velka da svor elekrčn luk zeđu konaka prekdača, na aj načn, zadrž sruju u kolu. Sruja u kolu će eć dok se agnena energja kalea ne uroš na zagrjavanje opora u kolu na oplou oslobođenu u elekrčno luku. Dealjnje razaranje prekdanja sruje u ndukvno kolu zahjevalo b obuhvaanje elekrčnog luka, koj a nelnearnu zavsnos zeđu sruje napona, a o zlaz z okvra našeg neresovanja.