IZRAČUN UPORNOSTI IN REAKTANCE VODA

Transcript

1 IZRAČUN UPORNOSTI IN REAKTANCE VODA Seminarska naloga pri predmetu Razdelilna in industrijska omrežja Podiplomski magistrski študij elektrotehnike, smer elektroenergetika Avtor: Jaka Jenškovec, univ. dipl. inž. el. Mentor: prof.dr. Grega Bizjak, univ. dipl. inž. el. Ljubljana, Marec 2017

2 Kazalo vsebine Uvod... 4 Vrste daljnovodov in kablovodov... 5 Splošno o impedancah elementov elektroenergetskega sistema... 8 Ohmska upornost nadzemnih vodov Induktivnost nadzemnih vodov Induktivnost trifaznega sistema Induktivnost simetriranega trifaznega sistema Simetriranje na dvosistemskem vodu Simetrično prepletanje β Posebno prepletanje γ dvosistemskega voda Induktivnost razcepljenih vodnikov Impedanca zanke vodnik-zemlja Trifazni vod brez zaščitne vrvi z upoštevano zemljo Trifazni simetrirani vod z zaščitno vrvjo Induktivnost, reaktanca in impedanca kablovoda Domača naloga Upornost vodnika Nična upornost brez zaščitne vrvi in z zaščitno vrvjo Induktivnost in reaktanca Izračun direktne in nične impedance brez zaščitne vrvi Izračun direktne in nične impedance z zaščitno vrvjo Medsebojna in nična impedanca zaščitne vrvi do ostalih faz Vprašanja in odgovori Zaključek Viri in literatura

3 Kazalo slik Slika 1: Daljnovod jelka... 5 Slika 2: Daljnovod Y... 6 Slika 3: Daljnovod sod... 6 Slika 4: Profil enosistemskega 110 kv kablovoda pri polaganju v trikot... 7 Slika 5:Profil enosistemskega 110 kv kablovoda pri polaganju paralelno neposredno v kabelski jarek... 7 Slika 6: Impedance induktivnih elementov elektroenergetskega sistema... 8 Slika 7: Impedančni koti elementov elektroenergetskega sistema... 8 Slika 8: Četveropol voda z vzdolžno impedanco... 9 Slika 9: Nazivni π model voda s koncentriranimi parametri... 9 Slika 10: Nazivni T model voda s koncentriranimi parametri Slika 11: Model voda s porazdeljenimi parametri Slika 12: Ekvivalentni π model voda Slika 13: Ponazoritev zanke vodnik-zemlja Slika 14: Magnetno polje okoli vodnika Slika 15: Magnetna poljska jakost znotraj in zunaj vodnika Slika 16: Ekvivalentni polmeri daljnovodnih vrvi glede na njihove geometrijske polmere Slika 17: Snopasti vodniki Slika 18: Velika oddaljenost fiktivnega nevtralnega vodnika od faznih vodnikov Slika 19: Nesimetrični trifazni sistem Slika 20:Načini namestitve vodnikov na daljnovodne stebre Slika 21:Značilne vrednosti srednjih razdalj za različne napetosti Slika 22: Prikaz razporeditve vodnikov pri dvosistemskem vodu Slika 23: Prikaz simetričnega prepletanje β dvosistemskega voda Slika 24: Primer posebnega prepletanja γ dvosistemskega voda Slika 25: Dva snopa vodnikov Slika 26: Potek ničnih tokov vzdolž daljnovoda Slika 27: Zanka vodnik-zemlja Slika 28: Zanka dva vodnika-zemlja Slika 29: Carsonova razdalja v odvisnosti od specifične upornosti tal Slika 30: Določitev lastne in medsebojne impedance zanke vodnik-zemlja Slika 31: Značilna razmerja med ničnimi in obratovalnimi upornostmi in reaktancami Slika 32: Odvisnost konstante k od števila niti v vodniku pri frekvenci f = 50 Hz Slika 33: Daljnovod z linijskimi vodniki

4 Uvod Daljnovod je naprava za prenašanje električne moči na večje razdalje. Elektroenergetiki skladno z mednarodno elektrotehnično terminologijo uporabljajo izraz nadzemni električni vod. Električni vod je lahko tudi podzemni. Ta se imenuje kablovod. Daljnovod je nadzemni električni vod, ki prenaša večje moči na večje razdalje in je zgrajen za napetosti nad 1000 voltov. Zelo so razširjeni tudi nadzemni vodi pod 1000 voltov. Te imenujemo nizkonapetostni vodi, ki razdeljujejo električno energijo do naših domov. Električne vode nad 1000 voltov imenujemo srednjenapetostni vodi (od 10 do 35 kv) in visokonapetostni vodi (od 110 do 400 kv). ELES kot sistemski operater prenosnega omrežja Slovenije skrbi za visokonapetostnih daljnovodov. Distribucijska elektro podjetja, teh je v Sloveniji pet, pa skrbijo za srednjenapetostne daljnovode v dolžini več kot kilometrov in okoli 800 kilometrov visokonapetostnih 110 kv daljnovodov. Nizkonapetostni vodi se uporabljajo za oskrbo širšega prebivalstva. Ti povezujejo transformatorske postaje in priključna mesta odjemalca električne energije. V mestih se običajno namesto daljnovodov, uporabljajo kablovodi. Na podeželju ravno obratno. Srednjenapetostni vodi povezujejo razdelilne transformatorske postaje in transformatorske postaje. Za tovrstne vode, se v mestih uporabljajo tako daljnovodi kot kablovodi, na podeželju seveda pogosteje daljnovodi. Visokonapetostni vodi pa povezujejo razdelilne transformatorske postaje, elektrarne in sosednje države. Za prenos se uporabljajo daljnovodi, oziroma v le redkih primerih kablovodi. 4

5 Vrste daljnovodov in kablovodov Glede na število sistemov poznamo enosistemske in dvosistemske daljnovode. Pri enosistemskih daljnovodih je na stebru nameščen en trifazni sistem, ki ga sestavljajo trije vodniki, ki so pod napetostjo in po katerih teče električni tok. Vsi trije vodniki so priključeni na enako visoko napetost in po njih teče enako velik tok, razlika pa je v fazi valovanja v posameznem vodniku. V Sloveniji se uporablja izmenični tok 50 Hz (V Ameriki 60 Hz), kar pomeni, da v vodnikih tok in napetost nihata sinusno in 50 krat v sekundi zamenjata svojo smer. V vseh treh vodnikih, ki skupaj tvorijo en trifazni sistem, pa se tok in napetost razlikujejo v tem, da so med seboj časovno zamaknjene za 120. Ko je tok ali napetost v enem vodniku doseže svojo najvišjo vrednost (npr pri 450 ), je v preostalih dveh negativen in po velikosti zavzame polovično vrednost. Torej je vsota vseh treh tokov v tem trenutku enaka 0. To je pomembna ugotovitev, saj za trifazni sistem za vsak trenutek velja, da je vsota vseh tokov v vodnikih enaka 0. Če je pri enosistemskem daljnovodu na enem stebru nameščen en trifazni sistem, pa sta pri dvosistemskem daljnovodu nameščena dva trifazna sistema, zato dvosistemski daljnovod omogoča dvakrat večji prenos električne energije. Poleg vodnikov, ki so del trifaznega sistema, so na daljnovodnih stebrih nameščeni tudi zaščitni vodniki, običajno eden ali dva, ki so namenjeni odvajanju strele. Daljnovodi se razen po nazivni napetosti in po številu nameščenih sistemov razlikujejo tudi po razporeditvi vodnikov. Za enosistemske 220 in 400 kv daljnovode se uporabljajo stebri tipa jelka in Y, za dvosistemske pa tipa sod. Slika 1: Daljnovod jelka 5

6 Slika 2: Daljnovod Y Slika 3: Daljnovod sod V Sloveniji moramo za prenos 110 kv po kabelskem vodu izbrati ustrezen kabel, ki je tokovno zmogljiv. Predlagan tipski 110 kv kabel ima bakrene vodnike prereza 630 mm 2 ali aluminijaste vodnike prereza 800 mm 2. Enožilni kabli 110 KV se polagajo na dva načina. Prvi način je položitev v trikotno formacijo in drugi način je paralelna položitev, z medsebojnim razmikom najmanj za debelino kabla. V glavnem se v 110 kv omrežju uporabljajo trije enožilni kabli položeni v trikot, saj se večinoma uporabljajo v gosto poseljenih področjih, ki imajo običajno prostorske omejitve. Pri dvosistemskih kablovodih je vsak sistem namenjen neodvisnemu obratovanju enega sistema od drugega, kar upoštevamo pri geometrijski razporeditvi kablov in s tem pri zadostnem razmiku med posameznimi kablovodnimi sistemi. 6

7 Kable se polaga direktno v kabelski jarek, ki je izveden po postopku odprtega kopa. To je najpogosteje uporabljena metoda polaganja kablov, ki hkrati zagotavlja tudi najoptimalnejše obratovalne pogoje. Pri tem pa morajo biti izpolnjeni naslednji pogoji: globina polaganja, širina trase, formacija polaganja v povezavi z izbiro načina ozemljitve kovinskih zaslonov in ustrezno število sistemov za zagotavljanje zahtevane prenosne zmogljivosti. Širina trase polaganja kablovoda je odvisna od formacije polaganja, razdalje med fazami, števila sistemov in posameznih razdalj med sistemi. Širina kabelskega jarka enosistemskega 110 kv kablovoda pri formaciji polaganja v trikot se giblje okrog 1,2 m, v primeru dvosistemskega kablovoda pa okrog 2,5 m. V primeru polaganja v ravninski formaciji so širine jarka nekoliko večje in sicer pri enosistemskem kablovodu približno 3,2 m in dvosistemskem kablovodu približno 5 m. Slika 4: Profil enosistemskega 110 kv kablovoda pri polaganju v trikot Slika 5:Profil enosistemskega 110 kv kablovoda pri polaganju paralelno neposredno v kabelski jarek V Sloveniji je zelo veliko položenih kablovodov s suho izolacijo. Te imamo v HE Vuzenica, ki povezuje elektrarno in 110 kv stikališče, HE Zlatoličje, NEK, HE Plave, RTP Podlog, RTP Divača, RTP Koper, RTP Brestanica, RTP Moste, HE Boštanj, HE Blanca, RTP Zlato polje, RTP Labore, RTP Železniki, TE Ljubljana- Polje, TE Ljubljana-RTP Beričevo, RTP Litostroj-RTP Šiška in včasih TE Šostanj. 7

8 Splošno o impedancah elementov elektroenergetskega sistema Spodaj imamo izpeljavo električnih parametrov elektroenergetskih vodov. Na začetku imamo podane nekatere splošne ugotovitve glede impedanc, ki načeloma veljajo za vse elemente elektroenergetskega sistema. Kot vemo, impedanco prostih vodov oziroma kablovodov opisujemo običajno v komponentni obliki Z = R + jx. Medtem ko je ohmska upornost R snovno-geometrijska lastnost, določa reaktanco X poleg tega še razporeditev vodnikov v prostoru. R in X sta odvisna od snovnih parametrov, frekvence, oblike vodnikov in njihove razporeditve v prostoru. Ne glede na vrednosti za R, X in Z je impedančni kot φ = arctg(x/r) za različne elemente zelo različen. To trditev si lahko ponazorimo v Gaussovi ravnini na sliki 6. Slika 6: Impedance induktivnih elementov elektroenergetskega sistema V tabeli na sliki 7, so podani impedančni koti elementov elektroenergetskega sistema pri obratovalni frekvenci. Slika 7: Impedančni koti elementov elektroenergetskega sistema Zaradi zgoraj navedenih razlik sta trikotnik padcev napetosti in razlika napetosti na začetku in koncu voda po velikosti in kotu močno različni. 8

9 Za določitev vektorja vhodnih in izhodnih veličin uporabimo teorijo četveropolov ter pojem verižne matrike [A] [ U 1 ] = [ a b I 1 c d ] [U 2 ] = [A] [ U 2 ]. I 2 I 2 Za primer na sliki 8 velja a=1, b=z, c=0, d=1. Slika 8: Četveropol voda z vzdolžno impedanco Tako dobimo enačbi U 1 = U 1 + Z I 2, I 1 = I 2. Z inverzno verižno matriko izrazimo izhodne veličine [ U 2 I 2 ] = [A] 1 [ U 1 I 1 ] = [B] [ U 1 I 1 ]. Če predstavitev voda z vzdolžno impedanco ne zadostuje, lahko model natančneje predstavimo s π ali T vezjem, ki ga sestavljajo koncentrirane imitance voda. V tem primeru je ponazorjena tudi kapacitivnost vodov. Nazivno π vezje je prikazano na sliki 9. Slika 9: Nazivni π model voda s koncentriranimi parametri 9

10 Vhodni veličini zapišemo z enačbama U 1 = U 2 + (V 2 Y 2 + I 2) Z, Konstante verižne matrike pri π vezju so enake I 1 = U 1 Y 2 + U 2 Y 2 + I 2. a = (1 + Z Y 2 ), b = Z, c = (Y + Y2 Z Z Y ), d = (1 + ). 4 2 Nazivno T vezje je prikazano na sliki 10. V tem primeru veljata enačbi ali U 1 = I 1 Z 2 + U 2 + I 2 Z 2, I 1 = I 2 + (V 2 + I 2 Z 2 )Y U 1 = (1 + Z Y 2 ) U 2 + (Z + Z2 Y 4 ) I 2, I 1 = Y U 2 + (1 + Z Y 2 )I 2. Slika 10: Nazivni T model voda s koncentriranimi parametri Konstante verižne matrike pri T modelu so enake a = (1 + Z Y 2 ), b = (Z + Z2 Y 4 ), c = Y, d = (1 + Z Y 2 ). V primeru več zaporedno vezanih prvih ali drugih modelov velja, da je skupna verižna matrika enaka zmnožku vseh verižnih matrik A = A 1 A 2 A 3 A n. 10

11 V teoriji dolgih vodov in pri obratovanju prehodnih pojavov pogosto zaradi natančnosti uporabljamo model s porazdeljenimi parametri. Predpostavimo, da vod lahko razdelimo na veliko število inkrementalnih delcev dolžine dx, kakor je prikazano na sliki 11. Slika 11: Model voda s porazdeljenimi parametri Napetost prek delca voda in delni polnilni tok v delcu sta podana z ali du = I Z dx, di = U Y dx, Z diferenciranjem po x dobimo du dx = I Z, di dx = U Y. d 2 U dx 2 = Z U Y, d 2 I dx 2 = Y I Z. Linearni diferencialni enačbi drugega reda lahko rešimo po klasični poti ali s pomočjo Laplaceove transformacije. Zapišemo rešitev U(x) = (ch Z Y x)u 2 + ( Z Y sh Z Y x) I 2, I(x) = ( Z Y sh Z Y x) U 2 + (ch Z Y x)i 2. 11

12 Izraz γ = Z Y = α + jβ predstavlja konstanto širjenja, izraz Z v = Z Y pa karakteristično valovno upornost. Z upoštevanjem gornjih enačb pridemo do povezave med nazivnim (Slika 9) in ekvivalentnim π vezjem(slika 12) Z π = Z ( sh γx γx ), Y π = Y ( 2 2 th γx γx γx 2 ). Slika 12: Ekvivalentni π model voda Problem impedanc elementov trifaznih sistemov si je dobro ogledati nekoliko podrobneje. Vsaki fazi lahko pripišemo vsaj eno impedanco, ki je na splošno nekoliko različna od impedanc v ostalih dveh fazah. To lahko sledi že iz tega, ker imamo različno razporeditev faznih vodnikov na daljnovodnih stebrih, pri čemer že na prvi pogled ni možno doseči popolne elektromagnetne enakopravnosti faz. Če jo že dosežemo med fazami, je ne dosežemo do zemlje oziroma, če dosežemo enakost do zemlje, se poruši enakost med fazami. Tako lahko za različne fazne napetosti uporabimo simetrične komponente. V elektroenergetskih sistemih načeloma želimo doseči enakopravnost faz, zaradi tega se uvaja ukrep prepletanj daljnovodnih faznih vodnikov, pri čemer zavzame vsak fazni vodnik vzdolž neke na tri enake dele razdeljene trase vse tri možne položaje na stebrih. 12

13 Ohmska upornost nadzemnih vodov Pod pojmom obratovalna ohmska upornost trifaznih nadzemnih vodov in kablovodov običajno razumemo ohmsko upornost faznih vodnikov na kilometer dolžine ob normalni frekvenci 50 Hz. Če računamo za Ameriko, bi bila frekvenca 60 Hz. Za omenjene vode je predpostavljeno, da ob upoštevanju nesimetričnih obremenitev izhajamo iz ohmske upornosti direktnega oziroma sofaznega zaporedja, ki je enaka ohmski upornosti inverznega zaporedja. Na splošno v simetričnem sistemu govorimo o aktivni obratovalni ohmski upornosti, kjer se upošteva kožni pojav, bližinski pojav, izgube v sosednjih armaturah itd. Ohmsko upornost ali rezistanco za nek vodnik - vrv preprosto izračunamo iz enačbe R = ρ A (Ω), kjer je A aktivni električni prerez faznega vodnika, ρ pa specifična ohmska upornost, ki je seveda za različne materiale različna. Pogosto se R' izraža s prevodnostjo, in sicer ρ = 1/γ, γ za baker je 56*10 6 S/m in za aluminij 35,38*10 6 S/m. Na ohmsko upornost ima znaten vpliv temperatura vodnika, ki se v praksi spreminja, s čimer se spreminja tudi ohmska upornost. Če se običajno podaja ohmska upornost pri temperaturi 20, izračunamo pri drugi temperaturi upornost vodnika R ϑ =R 20(1 + α 20 (ϑ 20 0 )), kjer je α temperaturni koeficient za ohmsko upornost, α Cu = 0,00393 /, α Al = 0, /. Poglejmo si še nekatere značilnosti rezistance vodov. Normalno si predstavljamo, da pri kombiniranih vodnikih Al/Fe prevaja samo Al. Ker pa Al žice napredujejo vzdolž voda v obliki spirale, teče tok okrog jeklenega jedra kot v tuljavi. Jeklo se magnetizira in v njem se pojavijo vrtinčni tokovi in s tem dodatne joulske izgube. Navidezno se povečuje ohmska upornost. Ta pojav je značilen za enoplastne vrvi. Pri večplastnih vrveh imamo žice navite enkrat v levo drugič v desno, magnetno polje se tako kompenzira. Kljub temu pa je treba računati pri prereznem razmerju 6:1 z navideznim povečanjem ohmske upornosti za 5 % v območju velikosti električnega toka 100 A in za % v območju termičnega mejnega toka. Z gostoto električnega toka se namreč povečuje upornost 13

14 Podobno se dogaja v kablih za trifazni tok, kjer se zaradi varovalne železne armature ohmska upornost vodnikov poveča za približno 10 %, pri večjih prerezih pa tudi za 20 %, zaradi tega so kabli pogosto brez armature. Tudi homogeni vodniki večjih prerezov imajo pri izmeničnih tokovih povečano ohmsko upornost. To se zgodi zaradi znanega kožnega pojava (skin efekta) in bližinskega učinka. Kožni pojav povzroča, da je pri izmeničnem toku gostota toka bliže površini večja kot v notranjosti vodnika. Bližinski učinek pa povzroča, da v vodniku zaradi tokov v sosednjih vodnikih nastopi neenaka gostota toka. Ob upoštevanju faktorja ys, ki predstavlja kožni pojav in faktorja yp, ki predstavlja bližinski učinek, korigiramo in dobimo R v =R 20(1 + α 20 (ϑ 20 0 ))(1+y s + y p ) Pri kombiniranih vrveh upoštevamo pri izračunu polmera vrvi celotni prerez kombinirane vrvi. Pri znanem skupnem prerezu in ob upoštevanju polnilnega faktorja lahko ocenimo zunanji polmer vrvi z naslednjim izrazom r v = 1,3 A Al+A Fe. 2 Pri novejših obratovalnih napetostih se danes v vsaki fazi običajno uporablja n vzporednih, z distančniki med seboj povezanih vodnikov v snopu. Če je obratovalna ohmska upornost enega vodnika v snopu R', znaša obratovalna ohmska upornost snopastega vodnika R s = R n. Poglejmo še ohmsko upornostjo pri ničnem sistemu tokov. Če imajo trifazni vodi nevtralni vodnik enakega prereza kot fazni vodniki, upoštevamo za nični sistem tokov poleg ohmske upornosti enega faznega vodnika še trojno vrednost nevtralnega vodnika, torej R 0 = R f + 3R n Ker trifazni daljnovodi nimajo nevtralnega vodnika, nastopajo nične komponente tokov le pri zemeljskih stikih. Pri zemeljskih stikih tečejo toki ničnega sistema skozi zemljo, ki ima določeno ohmsko upornost, v takem primeru velja R n = R z. Zanimivo je, da pri nizkih frekvencah ohmska upornost zemlje ni odvisna od specifične prevodnosti tal, temveč le od obratovalne frekvence R z f 10 3 (Ω/km) 14

15 Torej pri f = 50 Hz velja R z = 0,05 Ω/km in f = 60 Hz velja R z = 0,06 Ω/km. Ob upoštevanju enačbe dobimo R 0 = R f + 0,15 (Ω/km) R 0 = R f + 0,18 (Ω/km) Prva vrednost nam predstavlja izračun za Evropo, kjer uporabljamo frekvenco 50 Hz, drugi izračun pa bi uporabili v Ameriki. Ponazorimo si fizikalno razlago dejstva, da ohmska upornost zemlje oziroma tal ni odvisna od specifične ohmske upornosti terena. Odločilno vlogo pri tem igra induktivna upornost. Na sliki 13 si predstavljajmo dvoje tokovnih vlaken, kot dela zanke vodnik zemlja. Induktivna upornost druge zanke je večja od prve. Ker obe tokovni niti goni ista gonilna napetost, lahko sklepamo, da bo gostota toka ob površini zemlje večja kot v njeni notranjosti in to zato, ker imajo zanke z gibljivimi tokovnimi nitmi v notranjosti zemlje večjo reaktanco. Če je specifična ohmska upornost terena večja, se poveča debelina sloja, po katerem teče tok. Če pa je specifična ohmska upornost terena manjša, postane tudi debelina sloja, po katerem se tok vrača, manjša. Pravimo lahko, da se slabša prevodnost tal kompenzira z ustrezno večjim prerezom in obratno. Slika 13: Ponazoritev zanke vodnik-zemlja 15

16 Na kratko omenimo še nekaj o ohmski upornosti kablov, ki ni odvisna samo od uporabljenega materiala žil (Cu ali Al), ampak tudi od same konstrukcije kablov. Ohmska upornost kabelskih žil se pogosto računa po enačbi R = R 20 ξ ϑ + R = R 20 R ϑ R 20 + R = R 20(1 + α 20 (ϑ 20 0 )) + R Kjer je R'20 upornost za enosmerni tok pri 20 C, ξ ϑ je temperaturni korekcijski faktor in R je dodatna upornost pri 50 Hz, odvisno od tipa kabla. V dodatni upornosti so upoštevani kožni pojav, bližinski pojav in povečanje upornosti zaradi vrtinčnih tokov in histereznih izgub v plaščih in armaturah. Te vrednosti so podane v tabelah. 16

17 Induktivnost nadzemnih vodov Opazujmo okrogli dolgi vodnik, kot je prikazan na sliki 14. Povratni tok je neskončno daleč in ne moti magnetnega polja opazovanega vodnika, tako da lahko predpostavimo magnetne silnice okoli vodnika kot koncentrične kroge. Če se tok časovno spreminja, se časovno spreminja tudi magnetno polje. Časovna sprememba magnetnega pretoka skozi določeno zanko povzroča v tej zanki inducirano napetost. Pri tem so važni magnetni sklepi ψ ki ob konstantni permeabilnosti obdajajočega prostora določajo lastno induktivnost tokokroga L = ψ I = NФ I Splošno torej velja trditev, da je induktivnost sorazmerna s številom elektromagnetnih sklepov, torej zmnožku ovojev in magnetnega pretoka. Vzemimo en sam ovoj brez železnega jedra in pošljimo skozi 1 A. Pojavil se bo magnetni pretok, ki bo imel npr. Ф0 webrov. To število, torej magnetni pretok, ki ga je povzročil tok 1 A v tem ovoju, je merilo za induktivnost tega ovoja. Če bi v ta ovoj dali železno jedro, bi se gostota zelo povečala, v istem razmerju pa bi se povečala tudi induktivnost tega ovoja. Vzemimo sedaj dva ovoja v zraku in spet pošljimo skozi tok 1 A. Vsak ovoj zase bi dal Ф0 webrov, torej oba skupaj 2Ф0 webrov. Pričakovali bi, da bo induktivnost dvakrat večja, izvajanja pa nam pokažejo, da je štirikrat večja kot pri enem samem ovoju. Torej za induktivnost ni merodajna samo množina webrov. Iz prve Maxwellove enačbe ali Amperovega zakona H dl=i izračunamo magnetno poljsko jakost, ki je v vsaki točki krožnice polmera r (slika 14) enaka po absolutni vrednosti in ima tangencialno smer na krožnico, tako da lahko zapišemo H dl = H dl. Ker ima H konstantno vrednost na krožnici ga izpostavimo pred integral. Integral elementa poti dl po krožnici polmera r pa je 2πr. Iz povedanega sledi In magnetna poljska jakost za r>rv H2πr = i H(r) = i 2 πr Če opazujemo magnetno polje znotraj vodnika, potem je r < rv. V tem primeru ne moremo govoriti o celotnem toku vodnika. V kolikor zanemarimo kožni pojav, govorimo o enakomerni gostoti toka skozi vodnik, tako dobimo 17

18 2πrH = ( r r v ) 2 i in H(r) = 1 2 π r r v 2 i Vidimo, da je H znotraj vodnika premo sorazmerna polmeru, medtem ko je zunaj vodnika obratno sorazmeren polmeru, kar kaže slika 15. Slika 14: Magnetno polje okoli vodnika Slika 15: Magnetna poljska jakost znotraj in zunaj vodnika 18

19 Gostota magnetnega pretoka zunaj vodnika na oddaljenosti r od osi vodnika je enka B(r) = μh(r) = μ i 2πr, kjer μ = μ rμ 0 in dalje μ r relativna permeabilnost, μ 0 pa permeabilnost praznega prostora (μ 0=4π 10 4 H/km). Ker je relativna permeabilnost zraka enaka ena, bomo v nadaljevanju namesto μ uporabili kar μ 0. Magnetni pretok skozi površino diferencialne širine dr in dolžine l je dφ= μ 0l 2πr idr. Za magnetni pretok skozi ploskev dolžine l in širine d2-d1 lahko zapišemo Φ12= μ 0l 2π i d 2 dr d 1 r = μ 0l 2π iln d 2 d 1 S tem je magnetni pretok na dolžini l med površino vodnika (d1 = rv) in oddaljenost d od osi vodnika (d2 = d) enak Φzun= μ 0l 2π i ln d r v. Iz zgornje enačbe z upoštevanjem permeabilnosti konstante zraka dobimo izraz za magnetni pretok zunaj vodnika na 1km dolžine Φ'zun= i ln d r v. S pomočjo enačbe za magnetni pretok Φ12 lahko zapišemo izraz za induktivnost L. Ker tokovna zanka ni sklenjena, je izpeljani magnetni pretok le del magnetnega pretoka danega vodnika, zato bomo L imenovali koeficient indukcije L 12 = Φ 12 i = μ 0l 2π ln d 2 d 1 in koeficient lastne indukcije, kadar se navezuje na zunanji magnetni pretok do razdalje d L zun = Φ i = μ 0l 2π ln d r v 19

20 Če v zgornjih dveh izrazih vstavimo vrednost za μ0 in za dolžino l vrednost 1 km, dobimo številčne enačbe za oba koeficienta indukcije L 12 = ln d 2 d 1 - (H/km), L zun = ln d r v - (H/km). Za izračun skupne induktivnosti zanke, ki jo tvorijo opazovani vodnik z nekim drugim vodnikom, moramo upoštevati še prispevek magnetnega pretoka v samem vodniku. Ta prispevek podajamo z notranjo induktivnostjo vodnika, ki je izpeljana s pomočjo energije magnetnega polja. Z upoštevanjem izraza za jakost magnetnega polja v notranjosti vodnika lahko zapišemo izraz za gostoto energije magnetnega polja v vodniku w = μh2 2 = μi2 r 2 2 4π 2 r v 4. Celotna magnetna energija v vodniku dolžine l je enaka r W = v wdv = r μi2 r 2 v 0 l2πrdr = μi2 l 8π 2 r4 v 4πr4 r 3 dr = 0 v 0 r v μi 2 l 16π. S pomočjo izraza za energijo v notranjosti vodnika lahko izračunamo notranjo induktivnost L not = 2W i 2 = μl 8π. Z upoštevanjem vrednosti za relativno permeabilnost približno ena in enote dolžine 1 km dobimo naslednji številčni izraz L not = (H/km). Vsota notranje induktivnosti vodnika in koeficienta lastne indukcije, navezane na zunanji magnetni pretok na 1 km dolžine, je L = L not + L zun = ( ln d r v ) 10 4 (H/km). Zgornji izraz, pomnožen z jω in tokom v danem opazovanem vodniku, nam poda induktivni padec napetosti v opazovani zanki vodnik-poljubni vodnik, ki leži v oddaljenosti d. Oba člena v zgornjem izrazu lahko sestavimo L = (ln d r v ) = (ln d r v + lne 0,25 ) = ln kar pomeni, da je d r v e 0,25, L = ln d r e, 20

21 kjer je r e = r v e 0,25 =0,779 r v. Zadnji izraz predstavlja ekvivalentni polmer vodnika. Z ekvivalentnim polmerom smo v koeficient lastne indukcije vključili še notranjo induktivnost vodnika. Če bi namesto opazovanega polnega vodnika s polmerom rv vzeli cev z neskončno tanko steno z ekvivalentnim polmerom re, bi bili lastni indukciji enaki. Zgoraj izračunani ekvivalentni polmer velja samo za masivni cilindrični vodnik. Daljnovodne vrvi so sestavljene iz večjega števila žic. Za posamezne vrvi so v tabeli na sliki 16 podani ekvivalentni polmeri, vrednosti so odvisne od števila uporabljenih žic v vrvi. Razmerje med ekvivalentnim in geometrijskim polmerom vrvi podaja ekvivalentni faktor vrvi fe. Slika 16: Ekvivalentni polmeri daljnovodnih vrvi glede na njihove geometrijske polmere Če je posamezna faza sestavljena iz snopa večjega števila vrvi, polmer vodnika nadomestimo z ekvivalentnim polmerom snopa n n 1 r es = nr v r d, kjer je rv polmer delnih vodnikov snopa, a je razdalja med vodniki snopa, n je število vodnikov v snopu in r d = a 2 sin π n. 21

22 Slika 17: Snopasti vodniki Pri različnem številu vodnikov v snopu dobimo izraze za ekvivalentni polmer snopa n = 2: r d = a 2, r es = r v a, n = 3: r d = a 3, r 3 es = r v a 2, n = 4: r d = a, r 4 es = 2r v a 3, 2 6 n = 6: r d = a, r es = 6r v a 5. 22

23 Induktivnost trifaznega sistema Pri sinusnih veličinah in uporabi tokovnih fazorjev predpostavimo, da za izmenični trifazni sistem velja IL1 + IL2 + IL3 = 0. Vzemimo, da je nevtralni vodnik fiktivno nameščen na veliki oddaljenosti in so njegove razdalje do faznih vodnikov enake, in sicer dl1n= dl2n= dl3n= dn. Za magnetne pretoke med posameznim faznim in nevtralnim vodnikom tako lahko zapišemo ΦL1N= IL1LL11+ IL2 LL12 + IL3 LL13, ΦL2N= IL1LL21+ IL2 LL22 + IL3 LL23, ΦL3N= IL1LL31+ IL2 LL32 + IL3 LL33. Pri čemer so LL11, LL22 in LL33 koeficienti lastne indukcije, LL12= LL21= LL23= LL32 in LL13= LL31 pa koeficienti medsebojne induktivnosti med posameznimi fazami. Glede na izpeljavo iz prehodnega poglavja lahko, npr. za fazo L1, zapišemo μ ΦL1N= 0 l IL1 ln d N + μ 0l 2π r e 2π IL2 ln d N + μ 0l d L12 2π IL3 ln d N d L13 = μ 0l 2π [( IL1+ IL2+ IL3) lnd N + IL1 ln 1 r e + IL2 ln 1 d L12 + IL3 ln 1 d L13 ] in z upoštevanjem začetne enačbe tega poglavja ΦL1N= μ 0l 2π [IL1 ln 1 r e + IL2 ln 1 d L12 + IL3 ln 1 d L13 ]. 23

24 Slika 18: Velika oddaljenost fiktivnega nevtralnega vodnika od faznih vodnikov Dobili smo torej koeficient lastne indukcije faze L1 L1=LL11= μ 0l 2π ln 1 r e in koeficiente medsebojne indukcije med fazama L1 in L2 ter med fazama L1 in L3 LL12= μ 0l 2π ln 1 d L12, LL13= μ 0l 2π ln 1 d L13. Pri nadaljnjem izvajanju predpostavimo, da so enaki fazni vodniki razporejeni v ogliščih enakostraničnega trikotnika, tako da velja dl12 = dl23 = dl13 = d. Tako lahko zapišemo koeficient medsebojne indukcije trifaznega sistema Lm= LL12 = LL23 = LL13 = μ 0l 2π ln 1 d. Z prejšnjimi enačbami vpeljemo pojem koeficient fazne indukcije 24

25 LL1 = 1 I L1 (IL1lL11+ IL2lL12+ IL3lL13). Ob zgoraj omenjeni simetriji faznih vodnikov in upoštevanjem IL1 = -( IL2+ IL3) dobimo LL1= μ 0l 2π (ln 1 r e + I L2+I L3 I L1 ln 1 d ) =μ 0l 2π (ln 1 r e ln 1 d ) = μ 0l 2π ln d r e. Analogno seveda velja tudi za LL2 in LL3 LL1 = LL2 = LL3=L1- Lm. Zadnjo obliko zgornjega izraza smo pri simetričnih pogojih dobili za direktno in inverzno impedanco. Lahko zaključimo, da dobljeni koeficient fazne indukcije predstavlja koeficient indukcije direktnega in inverznega sistema. 25

26 Induktivnost simetriranega trifaznega sistema Iz konstrukcijskih razlogov vodniki večinoma niso nameščeni na stebrih simetrično. Zaradi tega nastopi: neenakomerna tokovna porazdelitev med fazami, povečan vpliv induktivnosti in kapacitivnosti na sosednje telefonske napeljave, neenakomerna napetost posameznih faz do zemlje. Na sliki 19 so prikazani neenakomerni porazdeljeni vodniki različnih faz enakih prerezov. Zaradi enakih prerezov so tudi koeficienti lastnih indukcij posameznih faznih vodnikov enaki, medtem ko različne razdalje med vodniki pomenijo različne koeficiente medsebojnih indukcij med posameznimi faznimi vodniki. r el1 = r el2 = r el3 L L11 = L L22 = L L33, d L12 d L23 d L13 L L12 L L23 L L13, Slika 19: Nesimetrični trifazni sistem Da bi bile vse fazne impedance enake, izvajamo simetriranje ali prepletanje vodnikov. Predpostavimo prepletanje na tretjinah dolžine trase. Tako lahko zapišemo, da je IL1LL1 = IL1LL11 + IL2 L L12 +L L23 +L L IL3 L L13+L L12 +L L23 3 = IL1LL11 + (IL2+ IL3) L L12+L L23 +L L13. 3 Z zgornjim izrazom in ob upoštevanju IL1 = -(IL2+ IL3) izrazimo koeficient fazne indukcije Z izrazom LL1 = μ 0l 2π (ln 1 r e 1 3 ln 1 d L12 d L23 d L13 ). 26

27 3 dsr = d L12 d L23 d L13, ki predstavlja srednjo geometrijsko razdaljo vodnikov, dobimo LL1 = μ 0l 2π lnd sr r e S prepletanjem smo tako dosegli, da so fazne impedance enake Z L1 = Z L2 = Z L3 = Z = R + jω μ 0l 2π ln d sr r e. Ponovno lahko ugotovimo, da je Z v bistvu predstavlja impedanco direktnega oziroma inverznega sistema Z 11 = Z 22 = Z = Z 1 Z m, pri čemer je in Z 1 = R + jω μ 0l 2π ln 1 r e Z m = jω μ 0l 2π ln 1 d sr. Če vstavimo številsko vrednost za μ 0 in upoštevamo frekvenco 50 Hz, dobimo za 1 km dolžine faznega vodnika naslednjo obratovalno impedanco simetriranega sistema ali izraženo z desetiškim logaritmom Z = R + jx = R + j6, ln d sr r e Z = R + j0,1445 log d sr r e. V spodnji tabeli so podane običajne srednje vrednosti dsr pri različnih napetostnih nivojih in za različne oblike namestitve vodnikov na daljnovodne stebre. 27

28 Slika 20:Načini namestitve vodnikov na daljnovodne stebre Slika 21:Značilne vrednosti srednjih razdalj za različne napetosti 28

29 Simetriranje na dvosistemskem vodu Poglejmo še razmere pri dvosistemskem daljnovodu, za katerega je razporeditev faz shematično prikazano na sliki 22. Dejstvo je, da oba sistema vplivata drug na drugega. Poleg lastne in medsebojne induktivnosti med fazami posameznega sistema LL11, LL22, LL33, LL44, LL55, LL66, LL12, LL13, LL23, LL45, LL46, LL56 so sedaj dodatno prisotne še medsebojne induktivnosti med fazami različnih sistemov. Proučimo primer za medsebojne induktivnosti med fazo L1 prvega sistema in posameznimi fazami drugega sistema LL14 = μ 0l 2π ln 1 d L14, LL15 = μ 0l 2π ln 1 d L15, LL16 = μ 0l 2π ln 1 d L16. Slika 22: Prikaz razporeditve vodnikov pri dvosistemskem vodu Tudi tu predpostavimo, da je izvedeno simetriranje prepletanje faz. Poglejmo dva značilna primera: simetrično prepletanje β in posebno prepletanje γ. 29

30 Simetrično prepletanje β Primer simetričnega prepletanja β prikazuje slika 23. Upoštevati moramo delovanje tokov IL4, IL5 in IL6 v sistemu II na razmere v sistemu I. Ker je ta vpliv v vsaki tretjini voda drugačen, moramo iskati srednjo vrednost koeficientov polja oziroma medsebojne induktivnosti. Opazujmo torej magnetni pretok med vodniki, npr. faze L1, v sistemu I in vodniki sistema II. Ob upoštevanju prepletanja lahko zapišemo ΦL1-II = ( L L14+ L L25 + L L36 3 ) I L4 + ( L L15+ L L26 + L L34 3 ) I L5 + ( L L16+ L L24 + L L35 ) I 3 L6. Ker je I L4 = (I L5 + I L6 ) in L L15 = L L24, L L26 = L L35 ter L L34 = L L16, dobimo ΦL1-II = ( L L14+ L L25 + L L36 3 L L15+ L L26 + L L34 ) I 3 L4 in z upoštevanjem osnovnih izrazov za induktivnost ΦL1-II = I L4 μ 0l 2π ln 3 d L15d L26 d L34 d L14 d L25 d L36 Slika 23: Prikaz simetričnega prepletanje β dvosistemskega voda Če predpostavimo, da oba trifazna sistema obratujeta vzporedno, kar pomeni, da je I L1 = I L4, zgornji enačbi lahko dodamo vpliv sistema I na fazo L1 istega sistema in dobimo 30

31 ΦL1= I L1 μ 0l 2π [ln d sri r e 3 + ln d L15d L26 d L34 ]. d L14 d L25 d L36 Iz tega sledi izraz za obratovalno induktivnost vzporedno obratujočega dvosistemskega daljnovoda L = μ 0l 2π ln d sri r e D 1 D 2, Kjer je dsri srednja geometrijska razdalja med vodniki sistema I in sta D1 in D2 določena kot 3 D 1 = d L15 d L26 d L34, 3 D 2 = d L14 d L25 d L36. Pri upoštevanju frekvence 50 Hz in pretvorbi naravnega logaritma v desetiškega dobimo obratovalno reaktanco na kilometer dolžine X = 0,1445 log d sri r e D 1 D 2 in dalje obratovalno impedanco na kilometer dolžine Z = R + j0,1445 log d sri r e D 1 D 2. Do enakega rezultata lahko pridemo tudi z izpeljavo s padci napetosti v zankah faznih vodniknevtralni vodnik. Če imamo nesimetrično razporeditev faz velja kjer je L = μ 0l 2π ln d sri r e D 1 D 3 D 2, 3 D 3 = d L16 d L24 d L35. V tem primeru je potrebno prepletanje na vsaki šestini dolžine daljnovoda. 31

32 Posebno prepletanje γ dvosistemskega voda Če je dvosistemski vod prepleten na način, prikazan na sliki 24, odpravimo magnetno delovanje med sistemom I in II. Oglejmo si najprej tok I L5 v sistemu II, ki vpliva na tok I L1 v sistemu I. ΦL15 = I L5 ( L L15 + L L14 + L L16 + L L26 + L L25 + L L24 + L L34 + L L36 + L L35 ). 9 Slika 24: Primer posebnega prepletanja γ dvosistemskega voda Za magnetni pretok, ki ga povzročita tok I L6 ali I L4 v sistemu II in deluje na fazo L1 v sistemu I, dobimo enake vrednosti v oklepaju kot pri izrazu ΦL15. Če pri seštevku vseh treh pretokov izraze v oklepaju izpostavimo in upoštevamo, da je vsota tokov I L4, I L5 in I L6 enaka nič, je tudi njihov vpliv na sistem I enak nič. Za kilometer dolžine dobimo za induktivnost izraz L = μ 0l 2π ln d sri r e, ki je enak izrazu pri enosistemskem trifaznem sistemu. Opisani način prepletanja se zaradi relativne kompleksnosti v praksi ne uporablja. 32

33 Induktivnost razcepljenih vodnikov Predpostavimo, da imamo dva snopa vodnikov, kakor je prikazano na sliki 25. V snopu I teče tok I v eno smer, medtem ko se tok v snop II vrača. Vzporedni vodniki vsake skupine naj bodo med seboj enaki. V prvem snopu je n vodnikov in vsak od njih prevaja tok I/n. V snopu II pa je m vodnikov, od katerih vsak prevaja tok I/m. Slika 25: Dva snopa vodnikov Poglejmo najprej magnetni pretok med vodnikom 1 v sistemu I in vsemi ostalimi vodniki v obeh sistemih. Iz dosedanjih izpeljav je razumljivo, da velja Φ1-I II = I [ 1 n (L 11 + L L 11 n) 1 m (L 12 + L L 12 m) ]. Za magnetni pretok med obema sistemoma lahko dalje zapišemo ΦI II = 1 n (Φ1-I II + Φ1'-I II + + Φ1n -I II ), iz česar lahko sklepamo, da je induktivnost prvega snopa oziroma sistema I in dalje L1 = 1 n 2 (L 11 + L 11 + L L 11 n + L L 1 1 n + + L 1 n 1 + L 1 n L 1 n 1 n ) 1 mn (L 12 + L L 12 m + L L 1 2 m + + L 1 n 2 + L 1 n L 1 n 2 m ) L1 = μ 0l 2π ln d es r es, 33

34 kjer je geometrijska srednja razdalja med snopoma enaka des = mn (d 12 d 12 d 12 m)(d 1 2d 1 2 d 1 2 m) (d 1 n 2d 1 n 2 d 1 n 2 m) medtem ko je geometrijski srednji ali ekvivalentni polmer snopa I enak n res = 2 (d 11 d 11 d 11 n)(d 1 1d 1 1 d 1 1 n) (d 1 n 1d 1 n 1 d 1 n 1 n) Geometrijska srednja razdalja snopa des predstavlja mn-ti koren mn faktorjev. Ti faktorji tvorijo zmnožek razdalj vseh n vodnikov snopa I do m vodnikov snopa II. Za vsak vodnik v snopi I obstaja seveda m razdalj do vseh vodnikov v snopu II, v snopu I pa je n takih vodnikov, zato imamo mn razdalj. Ekvivalentni polmer res predstavlja n 2 -ti koren n 2 faktorjev. V snopu I je namreč n vodnikov in za vsak vodnik obstaja n razdalj do sosednjih vodnikov, če poleg dejanskih razdalj do sosednjih vodnikov v snopu I štejemo tudi vsakokratni ekvivalentni polmer vsakega vodnika (ekvivalentne polmere smo tu označevali kar z d11, d1'1',, d1 n 1 n ).., 34

35 Impedanca zanke vodnik-zemlja Problem izračuna impedanc postaja nekoliko zahtevnejši, kakor hitro je treba upoštevati kot povratno pot v trifaznih sistemih tudi zemljo in morebitne ozemljene zaščitne vrvi nadzemnih vodov. V takih primerih je primerno, da ločimo lastne impedance vsakega vodnika od medsebojnih impedanc zaradi prisotnosti ostalih vodnikov, po katerih tečejo tokovi. Specifična upornost zemlje je za tokovno porazdelitev v območju zemlje odločilnega pomena. Če je specifična upornost zemlje velika, se tok porazdeli po večji površini in seže globlje v zemljo. S tem se induktivnost zaradi povečanja razdalje povečuje. Tako lahko razložimo tudi znani pojav: kadar se trasa daljnovoda lomi, se nični tokovi v zemlji vračajo tako, da ne sledijo najkrajšim potem, za katere bi bile reaktance ustreznih zank pač večje. Če bi namreč ti tokovi tekli vzdolž tetiv danih krivin, bi bil magnetni pretok, ki bi ga objemali, in z njim induktivna upornost večja, kot če tečejo vzdolž daljnovoda (slika 26). Slika 26: Potek ničnih tokov vzdolž daljnovoda Če idealiziramo primer in predpostavimo, da je upornost zemlje R z = 0, lahko govorimo o: a) lastni induktivnosti zanke vodnik-zemlja L L11 z = μ 0 2h ln, 2π r e Slika 27: Zanka vodnik-zemlja 35

36 b) o medsebojni induktivnosti zanke dva vodnika-zemlja L L12 z = μ 0 ln d L12. 2π d L12 Slika 28: Zanka dva vodnika-zemlja Poglejmo še specifično upornost zemlje ρ z. Carson je prišel do zaključka, da segajo silnice v zemljo v odvisnosti od specifične upornosti tal, in sicer po enačbi (slika 29) d C = 93,1 ρ z (m). Do te Carsonove razdalje, ki je seveda fiktivna, se računajo le magnetne silnice. Slika 29: Carsonova razdalja v odvisnosti od specifične upornosti tal Povrnimo se nazaj na prejšnja primera. V prvem primeru smo torej opisali lastno induktivnost L L11 z = L 1 ter v drugem medsebojna induktivnost L L12 z = L m. Drugi primer ponazorimo še drugače. Na sliki 30 vzemimo, da sta znana gonilna napetost E in tok I L1, kakor tudi v drugem vodniku inducirana napetost U. Tako bi dobili lastno in medsebojno impedanco Z 1 = E I L1 in Z m = U I L1. 36

37 Slika 30: Določitev lastne in medsebojne impedance zanke vodnik-zemlja Dejansko moramo računati, da je R z > 0. To dejstvo upoštevamo pri obeh izrazih za induktivnost, kjer uporabimo Carsonovo razdaljo L L11 z = μ 0 ln d C 2π r e L L12 z = μ 0 ln d C. 2π d L12 Za rezistanco smo še dejali, da je praktično konstantna in neodvisna od specifične upornosti tal. Če ρ z narašča, narašča tudi prerez po katerem teče tok, tako da R z ostane nespremenjena R z = μ 0fπ 4 f 10 3 (Ω/km). Za impedanco na kilometer dolžine ob upoštevanju zgornjih enačb dobimo Z L11 z = R + R z + jωln d C r e Z L12 z = R z + jωln d C d L12. Lahko zapišemo, da pri μ 0 = 4π 10 4 H/km in frekvenci 50 Hz velja R z = 0,0493 0,05 Ω/km ter dodatno pri pretvorbi naravnega v desetiški logaritem Z L11 z = R + 0,05 + j0,1445log d C, r e Z L12 z = 0,05 + j0,1445log d C d L12. 37

38 Trifazni vod brez zaščitne vrvi z upoštevano zemljo Zdaj imamo dovolj osnov, da si lahko ustvarimo popolnejšo sliko o impedancah trifaznih daljnovodov. Tri lastne impedance so zaradi enakih faznih vodnikov med seboj enake Z L11 z = Z L22 z = Z L33 z = Z 1 z, Z 1 z = R + R z + j0,1445log d C. r e Pri izvedenem simetriranju imamo enake tudi medsebojne impedance Z L12 z = Z L23 z = Z L13 z = Z m z, Z m z = R z + j0,1445log d C. d sr Ob transformaciji v simetrični sistem ob že znanih izpeljavah dobimo Z 11 = Z 22 = Z 1 z Z m z = R + j0,1445log d L12d L23 d L13 3 r e, Z 00 = Z 1 z + 2Z m z = R + 3R z + j0,1445log (log d C + 2log d C ), r e d sr = Z 0 = R + 0,15 + j3 0,1445 log d C Z 00 pri tem je pri nični impedanci razumljivo, da izraz 3 r es = r e d2 sr, 3 r e d2 sr predstavlja ekvivalenten polmer snopa treh faznih vodnikov. Pri dvosistemskem daljnovodu predpostavimo, da imamo snop šestih vodnikov. Lahko sklepamo, da so induktivnosti in reaktance za nični sistem tokov znatno večje od obratovalnih. Poglejmo si primer izračuna nične in obratovalne reaktance enosistemskega 110 kv daljnovoda z vodniki Al/Fe 240/40 mm 2, za katere je re = 10,3 mm, geometrijska srednja fazna razdalja pa dsr = 4 m. Ekvivalentni polmer snopa treh faznih vodnikov znaša 3 r es = r e d2 sr 3 = 10, = 548 mm Vrednost obratovalne reaktance je enaka X 11 = 0,1445 log 4000 = 0,374 Ω/km 10,3 Za vlažna tla (ρ z = 50 Ωm, d C = 658 m) za nično reaktanco sledi X 00 = X 0 = 3 0,1445 log = 1,335 Ω/km 548 Vidimo, da je nična reaktanca daljnovodov več kot trikrat večja od obratovalne. 38

39 Trifazni simetrirani vod z zaščitno vrvjo Ker je zaščitna vrv ozemljena, se nični tokovi ne pojavljajo samo v zemlji, ampak tudi v zaščitni vrvi. Z upoštevanjem simetriranja lahko prisotne elektromagnetne vplive zapišemo v matričnem zapisu. Ob prehodu na simetrične komponente dobimo pri simetriranem daljnovodu z zaščitno vrvjo nično impedanco in obratovalno reaktanco. Z 00x = Z 1 zx + 2Z m zx, ) 2 Z 00x = Z 1 z + 2Z m z 3 (Z x z Z xx = Z 00 3 (Z x z) 2 Z xx Z 11x = Z 22x = Z 1 zx Z m zx = Z 1 z Z m z = Z 11 = Z 22. Zaščitna vrv ima vpliv le na nično ali homopolarno impedanco. Obratovalna impedanca ostane nespremenjena. Pri izračunu korekcijskega člena za nično impedanco potrebujemo izraz za medsebojno impedanco med snopom faznih vodnikov skupaj z zaščitnim vodnikom proti zemlji Z x z = 0,05 + j0,1445 log d C 3. d L1x d L2x d L3x Razdalje d L1x, d L2x in d L3x predstavljajo oddaljenost faznih vodnikov od zaščitnega vodnika. Drugi izraz, ki ga potrebujemo, je induktivnost med zaščitnim vodnikom in zemljo Z xx = R zv + 0,05 + j0,1445 log d C, r ez pri čemer je R zv upornost na enoto dolžine zaščitnega vodnika in r ez ekvivalentni polmer zaščitnega vodnika. Računi kažejo, da se pri prisotni strelovodni oziroma zaščitni vrvi nična reaktanca za nekaj odstotkov zniža, nična ohmska upornost pa zviša. Za približne račune nekateri avtorji priporočajo upoštevanje značilnih razmerij med ničnimi in obratovalnim upornostmi in reaktancami trifaznih daljnovodov 39

40 Slika 31: Značilna razmerja med ničnimi in obratovalnimi upornostmi in reaktancami V omenjeni tabeli je pod obratovalno reaktanco dvosistemskih daljnovodov mišljena reaktanca dveh paralelnih sistemov, torej X 1 = 0,2 Ω/km. Pri zelo visokih frekvencah in udarnih potujočih valovih vdre električni tok le zelo plitvo v zemljo. Če to globino zanemarimo, imamo opravka z razmerami, kot neskončno dobri prevodnosti tal. Nično induktivnost potem računamo s preprosto zrcalno sliko, kot pri lastni induktivnosti zanke vodnik-zemlja. 40

41 Induktivnost, reaktanca in impedanca kablovoda Induktivnost trižilnega kabla ( s tremi jedri) ali treh samostojnih kablov sestoji iz dveh delov. Prvi del je lastna induktivnost, drugi del pa je medsebojna induktivnost z drugima dvema jedroma. Skupna induktivnost je podana z enačbo: L = K + 0,2 ln 2S d [mh/km], pri čemer je K konstanta, vezana na formacijo (število niti) vodnika, S predstavlja središčno razdaljo med vodniki v kablu in d označuje premer vodnika. Za 2, 3 in 4 žilne kable, katerih vodniki so krožnega preseka moramo zgornjo formulo za induktivnost pomnožiti z 1,02. Konstanta K je torej vezana na število niti oziroma posameznih žic v vodniku. Poglejmo si sedaj, kakšne vrednosti lahko zavzame ta konstanta pri tipičnih vodnikih. Slika 32: Odvisnost konstante k od števila niti v vodniku pri frekvenci f = 50 Hz Iz induktivnosti prav lahko določimo tudi induktivno reaktanco vodnika. Za eno fazo kabelskega voda je ta podana z enačbo Fazno impedanco kabla določimo po enačbi X = 2πfL 10 3 [Ω/km]. Z = R 2 + X 2 [Ω/km], kjer je R izmenična upornost pri delovni temperaturi voda. 41

42 Domača naloga Za daljnovod napetosti 110 kv na trasi HE Vuzenica RTP Vuzenica z vodniki Al/Fe 240/40 mm 2 in zaščitno vrvjo Fe 50 mm 2 določite parametre: R1(Ω), R0(Ω), X1(Ω), X0(Ω) za trajno in kratkotrajno obremenitev Upoštevamo podatke iz slike. Daljnovod je dolg 0,2 km. Podatki: a1 = 4,5 m a2 = 0,0 m a3 = 4,5 m az= 2,9 m h1 = 12,6 m h2 = 12,6 m h3 = 12,6 m Slika 33: Daljnovod z linijskimi vodniki hz = 15,3 m f = 3,0 m Na sliki vidimo primer treh linijski vodnikov. Pri izračunih sem si pomagal z Matlab-om v katerega sem vpisal začetne pogoje, enačbe in na koncu dobil izračune. Upornost vodnika Obratovalna ohmska upornost nam predstavlja upornost faznega vodnika na km dolžine pri frekvenci 50 Hz. Za izračun upornosti vodnika sem uporabil spodnjo enačbo, katero sem zapisal v Matlab-u R 1nakm = ρ 0[Al] A[Al] n = 1000 = 0,1175 Ω/km, R 1 = R 1nakm l = 0,1175 0,2 = Ω, kjer, ρo pomeni specifična ohmska upornost. Ta je za vsak material drugačna. V tem primeru gre za vrv sestavljeno iz aluminija in železa. Ker je prevodnost aluminija veliko večja od prevodnosti železa predpostavimo, da ves tok teče po aluminiju. 42

43 Zaradi tega za izračun upornosti vodnika izberemo le specifično upornost aluminija. Ta znaša ρal=28,2 nωm. A[Al] pa je električni presek vodnika. Prav tako, kot smo vzeli za specifično upornost samo aluminij, tudi tukaj uporabimo v enačbi le prerez aluminija. Prva vrednost je upornost voda na kilometer, druga vrednost pa je direktna upornost voda. Ker nimamo snopa, je n=1. Nična upornost brez zaščitne vrvi in z zaščitno vrvjo Ker naš daljnovod nima nevtralnega vodnika, se nične komponente tokov pojavljajo le pri zemeljskih stikih. Zemlja ima določeno ohmsko upornost, ki pa je odvisna le od obratovalne frekvence in ne od prevodnosti tal. Tako je ohmska upornost pri ničnem sistemu tokov vsota upornosti faznega vodnika in trojne vrednosti nevtralnega vodnika oz. upornost zemlje. R zem f 10 3 = Ω/km R 0nakm = R 1nakm + 3 R zem = 0,2675 Ω/km Če izračunamo še nično upornost železnega zaščitnega vodnika, vzamemo za specifično upornost ρfe=220 nωm R 0z_na_km = = 4,4 Ω/km R 0z = R 0z_na_km l = 4,4 0,2 = 0,8800 Ω Induktivnost in reaktanca Skupna induktivnost je vsota notranje induktivnosti vodnika in induktivnosti zunaj vodnika L not = [H/km] L zun = d ln radij_vodnika [H/km] L not + L zun = d ln ( radij_vodnika 1 e 4) r e = r v e 1 4 L = d ln ( ) = 0,0013 H r e 0,001»rv«v enačbah predstavlja radij vodnika. Pri izračunu sem upošteval prereza obeh materialov. 43

44 r v = = 10,8766 mm Prispevek magnetnega pretoka v samem vodniku podamo z notranjo induktivnostjo vodnika, ki jo izpeljemo s pomočjo energije magnetnega polja. Po preureditvi formule za induktivnost dobimo četrto enačbo zgoraj, pri čemer ekvivalentni polmer vodnika dobimo po spodnji enačbi. Oznaka 'fe' pa predstavlja ekvivalentni faktor vrvi. Iz tabele sem za moj primer odčital: f e = 0,826 r e = f e r v = 8,9841 mm Moj vod ni simetričen, zato je potrebno poleg ekvivalentnega radija upoštevati še razdalje med vodniki. d 12 = a 1 d 23 = a 3 d 13 = a 1 + a 3 = 9 m d sr = (d 12 d 23 d 13 ) 1 3 = 5,6696 m 'dsr' je srednja geometrijska razdalja med vodniki. Ko sem imel srednjo vrednost sem po spodnji enačbi izračunal direktno reaktanco trifaznega vodnika: Nična reaktanca brez zaščitnega vodnika: d sr X 1 = 0,1445 log10 ( ) l = 0,0809 Ω r e 0,001 1 d 3 C X 0 = 3 0,1445 log10 ( d 2 ) l = 0,1863 Ω sr r e Člen pod ulomkovo črto je ekvivalentni radij celotnega trifaznega voda. 'dc' je Carsonova razdalja, ki nam pove kako globoko segajo magnetne silnice v zemljo. Razdalja je odvisna od specifične upornosti tal. Če je specifična upornost zemlje velika, seže tok globje v zemljo induktivnost se tako povečuje. Nični tokovi se v zemlji ne vračajo po najkrajših poteh, saj bi bile reaktance teh zank večje. Tokovi tako tečejo vzdolž daljnovoda. Nična reaktanca z zaščitnim vodnikom: X 0z = 0,1445 log10 ( d C r ez ) l = 0,0707 Ω 44

45 Izračun direktne in nične impedance brez zaščitne vrvi Absolutna vrednost: R 0nakm = R 1nakm + 3 R zem d C X 0_na_km = 3 0,1445 log10 ( d 2 ) sr r e Z 0_na_km = R 0nakm + j X 0_na_km = (0, j0,9315) Ω/km Z 0_na_km = 0,9691Ω/km Z 0 = Z 0_na_km l = 0,1938 Ω 1 3 Izračun direktne in nične impedance z zaščitno vrvjo X 0z_na_km = 0,1445 log10 ( d C r ez ) Z 0z_na_km = R 0z_na_km + R zem_na_km + j X 0z_na_km = (4,45 + j0,3534) Ω/km Absolutna vrednost: Z 0z_na_km = 4,464 Ω/km Z 0z = Z 0z_na_km l = 0,8928Ω Medsebojna in nična impedanca zaščitne vrvi do ostalih faz Z zm = (R zem_na_km + j 0,1445 log10 ( d C d srz ))l = 0,0485 Ω Z 0 = (Z 0_na_km 3 Z zm_na_km 2 )l = 0,1923 Ω Z z_na_km 45

46 Vprašanja in odgovori 1. Kako izračunamo ohmsko upornost za nek vodnik? Ali ima temperatura vodnika vpliv na upornost ali ne? Če ja, kako izračunamo upornost pri drugi temperaturi? R = ρ A Na ohmsko upornost ima znaten vpliv temperatura vodnika, ki se v praksi spreminja, s čimer se spreminja tudi ohmska upornost. Če se običajno podaja ohmska upornost pri temperaturi 20, izračunamo pri drugi temperaturi upornost vodnika R ϑ =R 20(1 + α 20 (ϑ 20 0 )) 2. Kaj je ekvivalentni polmer vodnika. Kaj se zgodi če ga ne upoštevamo? Kako se ga izračuna Z ekvivalentni polmerom vključimo v koeficient lastne indukcije še notranjo induktivnost vodnika. Če ga ne upoštevamo in bi namesto opazovanega polnega vodnika s polmerom rv vzeli cev z neskončno tanko steno z ekvivalentnim polmerom re, bi bili lastni indukciji enaki. Spodnja enačba velja samo za masivni cilindrični vodnik. Ker pa so daljnovodne vrvi sestavljene iz večjega števila žic, imamo ekvivalentne polmere podane v tabeli. r e = r v e 0,25 =0,779 r v. 3. Zapiši izraz za obratovalno induktivnost vzporedno obratujočega dvosistemskega daljnovoda. L = μ 0l 2π ln d sri r e D 1 D 2, Kjer je dsri srednja geometrijska razdalja med vodniki sistema I in sta D1 in D2 določena kot 3 D 1 = d L15 d L26 d L34, 3 D 2 = d L14 d L25 d L Kaj se zgodi, če je specifična upornost zemlje velika? Če je specifična upornost zemlje velika, se tok porazdeli po večji površini in seže globlje v zemljo. S tem se induktivnost zaradi povečanja razdalje povečuje. 46

47 5. Kaj je Carsonova razdalja in njena definicija? Carson je prišel do zaključka, da segajo silnice v zemljo v odvisnosti od specifične upornosti tal ρz, in sicer po enačbi: d C = 93,1 ρ z (m) 47

48 Zaključek Povzamem lahko, da je računanje upornosti in induktivnosti vodov zelo obsežno delo. Vodi se med seboj zelo razlikujejo in pri vsakem moramo upoštevati določena pravila za računanje. Pri upornosti moramo biti pozorni na temperaturo vodnika, materiale vodnika in povezavo vodnikov v snop. Ko imamo trifazni vod z nevtralnim vodnikom enakega prereza kot fazni vodniki, upoštevamo za nični sistem tokov poleg ohmske upornosti enega faznega vodnika še trojno vrednost nevtralnega vodnika. To se zgodi le pri zemeljskih stikih. Pri računanju induktivnosti moramo biti pozorni na ekvivalentni polmer. Daljnovodne vrvi so sestavljene iz večjega števila žic, zato za posamezne vrvi ekvivalentni polmer dobimo iz tabele. Tudi tukaj je potrebno upoštevati sestavo faze iz snopa vrvi. Največkrat se pojavi, da vodniki niso nameščeni na stebrih simetrično. Zaradi tega nastopi neenakomerna tokovna porazdelitev med fazami, povečan vpliv induktivnosti in kapacitivnosti na sosednje telefonske napeljave in neenakomerna napetost posameznih faz do zemlje. Če imamo enake prereze so koeficienti lastnih indukcij posameznih faznih vodnikov enaki, medtem ko različne razdalje med vodniki pomenijo različne koeficiente medsebojnih indukcij. Da bi bile vse fazne impedance enake, izvajamo simetriranje ali prepletanje vodnikov. Pri simetriranje pri dvosistemskem vodu je značilno to, da oba sistema vplivata drug na drugega. Tukaj je prisotna še medsebojna induktivnost med fazami različnih sistemov. Eden izmed primerov prepletanja, ki smo ga spoznali je β. Upoštevati moramo delovanje tokov II sistema na razmere v sistemu I. Drugi način, ki smo ga spoznali je posebno prepletanje γ dvosistemskega voda, ki se zaradi relativne kompleksnosti v praksi ne uporablja. Zahtevnejši izračun se nam pojavi pri upoštevanju zemlje in morebitne ozemljene zaščitne vrvi nadzemnih vodov. V tem primeru ločimo lastne impedance vsakega vodnika od medsebojnih impedanc zaradi prisotnosti ostalih vodnikov, po katerih tečejo tokovi. Prednost kabelskih vodov je, da imamo manj okvar kot pri nadzemnih vodih. Ko pride do okvare, te največkrat vodijo v trajne izpade. Slabost kabelskih vodov je v popravilu, saj so časi popravila zelo dolgi. Strošek postavitve je pri kabelskih vodih večji, ampak ker v mestih ne moramo imeti nadzemnih vodov, tako kot je bilo to v preteklosti, je vse več kabelskih vodov. Cena postavitve kabelskega voda predstavlja večji strošek, kot pri nadzemnih vodih. Seveda pa je to odvisno tudi od napetosti voda. Pri zgraditvi 400 kv kabelskega voda so cene precej višje kot pri nadzemnih vodih. 48