Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία
|
|
- Τρυφωσα Ιωαννίδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθμών Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
2 Διαιρετότητα Ορισμός Για a, b Z θα λέμε ότι ο a διαιρεί τον b, συμβολικά a b, αν υπάρχει c Z τέτοιο ώστε b = ca Θα λέμε ότι ο a δεν διαιρεί τον b, συμβολικά a b, αν c Z, b ca Ιδιότητες Για κάθε a, b, c Z : 1 a a, 1 a, a a a = 0 3 a b b c a c 4 a b b a a = ±b 5 a b a bc 6 a b a c a (xb + yc) x, y Z 7 a b a b και a b b 0 a b
3 Διαιρετότητα H διαιρετότητα είναι μια σχέση μερικής διάταξης στο N Ορολογία a γνήσιος διαιρέτης του b: a b και 0 < a < b a μη τετριμμένος διαιρέτης του b: a b και 1 < a < b p > 1 πρώτος αριθμός: μοναδικοί διαιρέτες του ο 1 και ο p p, q σχετικά πρώτοι (coprime): μοναδικός κοινός διαιρέτης ο 1
4 Ακέραια διαίρεση Θεώρημα (Ακέραιας Διαίρεσης) Για κάθε a, b Z με b > 0 υπάρχουν μοναδικά q (quotient, πηλίκο), r (remainder, υπόλοιπο) (q, r Z) τέτοια ώστε: a = qb + r και 0 r < b Απόδειξη Έστω το σύνολο S = {a xb x Z, a xb 0} S (πχ a ( a b) S) συνεπώς έχει ελάχιστο στοιχείο r < b (γιατί;) Υπάρχει επομένως q Z τέτοιο ώστε a qb = r a = qb + r, 0 r < b
5 Ακέραια διαίρεση Θεώρημα (Ακέραιας Διαίρεσης) Για κάθε a, b Z με b > 0 υπάρχουν μοναδικά q (quotient, πηλίκο), r (remainder, υπόλοιπο) (q, r Z) τέτοια ώστε: a = qb + r και 0 r < b Απόδειξη Έστω το σύνολο S = {a xb x Z, a xb 0} S (πχ a ( a b) S) συνεπώς έχει ελάχιστο στοιχείο r < b (γιατί;) Υπάρχει επομένως q Z τέτοιο ώστε a qb = r a = qb + r, 0 r < b Έστω q, r Z τέτοια ώστε a = q b + r, 0 r < b, επομένως 0 r r < b qb + r = q b + r (q q )b = (r r) q q b = r r Αν q q τότε b r r, άτοπο Συνεπώς q = q και r = r
6 Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Greatest Common Divisor) Θεώρημα (ΜΚΔ) Έστω a, b Z και d = min {xa + yb x, y Z, xa + yb > 0} Τότε: (i) d a και d b (ii) d a d b d d
7 Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Greatest Common Divisor) Θεώρημα (ΜΚΔ) Έστω a, b Z και d = min {xa + yb x, y Z, xa + yb > 0} Τότε: (i) d a και d b (ii) d a d b d d Απόδειξη (i) Έστω κ, λ Z τώ d = κa + λb Θδο d a
8 Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Greatest Common Divisor) Θεώρημα (ΜΚΔ) Έστω a, b Z και d = min {xa + yb x, y Z, xa + yb > 0} Τότε: (i) d a και d b (ii) d a d b d d Απόδειξη (i) Έστω κ, λ Z τώ d = κa + λb Θδο d a Έστω d a Τότε υπάρχουν q, r Z τέτοια ώστε a = qd + r, 0 < r < d, r = a qd = a q(κa + λb) = (1 qκ)a + ( λq)b οπότε r {xa + yb x, y Z, xa + yb 0} και r < d, άτοπο
9 Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Greatest Common Divisor) Θεώρημα (ΜΚΔ) Έστω a, b Z και d = min {xa + yb x, y Z, xa + yb > 0} Τότε: (i) d a και d b (ii) d a d b d d Απόδειξη (i) Έστω κ, λ Z τώ d = κa + λb Θδο d a Έστω d a Τότε υπάρχουν q, r Z τέτοια ώστε a = qd + r, 0 < r < d, r = a qd = a q(κa + λb) = (1 qκ)a + ( λq)b οπότε r {xa + yb x, y Z, xa + yb 0} και r < d, άτοπο Όμοια δείχνουμε d b
10 Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Greatest Common Divisor) Θεώρημα (ΜΚΔ) Έστω a, b Z και d = min {xa + yb x, y Z, xa + yb > 0} Τότε: (i) d a και d b (ii) d a d b d d Απόδειξη (i) Έστω κ, λ Z τώ d = κa + λb Θδο d a Έστω d a Τότε υπάρχουν q, r Z τέτοια ώστε a = qd + r, 0 < r < d, r = a qd = a q(κa + λb) = (1 qκ)a + ( λq)b οπότε r {xa + yb x, y Z, xa + yb 0} και r < d, άτοπο Όμοια δείχνουμε d b (ii) Έστω d τέτοιο ώστε d a και d b Τότε a = c 1 d, b = c 2 d Επομένως: d = κc 1 d + λc 2 d d d d d
11 ΜΚΔ: χρήσιμες ιδιότητες Σαν πορίσματα του προηγούμενου θεωρήματος προκύπτουν τα παρακάτω: ο αλγόριθμος του Ευκλείδη βρίσκει τον ΜΚΔ δύο ακεραίων αριθμών (γιατί;
12 ΜΚΔ: χρήσιμες ιδιότητες Σαν πορίσματα του προηγούμενου θεωρήματος προκύπτουν τα παρακάτω: ο αλγόριθμος του Ευκλείδη βρίσκει τον ΜΚΔ δύο ακεραίων αριθμών (γιατί; βρίσκει διαιρέτη
13 ΜΚΔ: χρήσιμες ιδιότητες Σαν πορίσματα του προηγούμενου θεωρήματος προκύπτουν τα παρακάτω: ο αλγόριθμος του Ευκλείδη βρίσκει τον ΜΚΔ δύο ακεραίων αριθμών (γιατί; βρίσκει διαιρέτη που είναι και γραμμικός συνδυασμός) gcd(a, b) = 1 κ, λ Z, κa + λb = 1 (χρήση σε εύρεση αντιστρόφου modulo b: κa mod b = 1)
14 ΜΚΔ: χρήσιμες ιδιότητες Σαν πορίσματα του προηγούμενου θεωρήματος προκύπτουν τα παρακάτω: ο αλγόριθμος του Ευκλείδη βρίσκει τον ΜΚΔ δύο ακεραίων αριθμών (γιατί; βρίσκει διαιρέτη που είναι και γραμμικός συνδυασμός) gcd(a, b) = 1 κ, λ Z, κa + λb = 1 (χρήση σε εύρεση αντιστρόφου modulo b: κa mod b = 1) Αν c ab gcd(a, c) = 1 τότε c b: gcd(a, c) = 1 κ, λ Z : κc + λa = 1 κcb + λab = b c b (γιατί;
15 ΜΚΔ: χρήσιμες ιδιότητες Σαν πορίσματα του προηγούμενου θεωρήματος προκύπτουν τα παρακάτω: ο αλγόριθμος του Ευκλείδη βρίσκει τον ΜΚΔ δύο ακεραίων αριθμών (γιατί; βρίσκει διαιρέτη που είναι και γραμμικός συνδυασμός) gcd(a, b) = 1 κ, λ Z, κa + λb = 1 (χρήση σε εύρεση αντιστρόφου modulo b: κa mod b = 1) Αν c ab gcd(a, c) = 1 τότε c b: gcd(a, c) = 1 κ, λ Z : κc + λa = 1 κcb + λab = b c b (γιατί; c διαιρεί το 1ο μέλος)
16 ΜΚΔ: χρήσιμες ιδιότητες Σαν πορίσματα του προηγούμενου θεωρήματος προκύπτουν τα παρακάτω: ο αλγόριθμος του Ευκλείδη βρίσκει τον ΜΚΔ δύο ακεραίων αριθμών (γιατί; βρίσκει διαιρέτη που είναι και γραμμικός συνδυασμός) gcd(a, b) = 1 κ, λ Z, κa + λb = 1 (χρήση σε εύρεση αντιστρόφου modulo b: κa mod b = 1) Αν c ab gcd(a, c) = 1 τότε c b: gcd(a, c) = 1 κ, λ Z : κc + λa = 1 κcb + λab = b c b (γιατί; c διαιρεί το 1ο μέλος) Αν p πρώτος p ab τότε p a p b: Αν gcd(p, a) = p τότε p a Αν gcd(p, a) = 1, αφού p ab θα πρέπει p b
17 Θεμελιώδες Θεώρημα Αριθμητικής Κάθε ακέραιος αριθμός n > 1 μπορεί να γραφτεί με μοναδικό τρόπο ως πεπερασμένο γινόμενο πρώτων αριθμών Απόδειξη ύπαρξης: με τη μέθοδο της επαγωγής Απόδειξη μοναδικότητας: στηρίζεται στην ιδιότητα αν p πρώτος p ab τότε p a p b σε συνδυασμό με χρήση επαγωγής Άσκηση: συμπληρώστε τις λεπτομέρειες
18 Πρώτοι αριθμοί Παραδείγματα 2, 3, 5,, 1997,, 6469, ( ) (με 1585 ψηφία, παλίνδρομος βρέθηκε το 1987 από τον Η Dubner) (με ψηφία βρέθηκε το 1996) (με ψηφία βρέθηκε το 2001) (με ψηφία βρέθηκε το 2008) (με ψηφία βρέθηκε το 2013) (με ψηφία βρέθηκε το 2016) Θεώρημα (Ευκλείδη) Οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι σε πλήθος Απόδειξη Εστω ότι οι πρώτοι είναι πεπερασμένοι σε πλήθος, συγκεκριμένα p 1, p 2,, p n Τότε ο αριθμός p 1 p 2 p n + 1 δε διαιρείται από κανένα πρώτο παρά μόνο από το 1 και τον εαυτό του, άρα είναι πρώτος, κάτι που είναι άτοπο
19 Αλγόριθμος Ευκλείδη function gcd(a,b: integer); if b = 0 then gcd a else gcd gcd(b, a mod b, )
20 Αλγόριθμος Ευκλείδη function gcd(a,b: integer); if b = 0 then gcd a else gcd gcd(b, a mod b, ) Θεώρημα (ορθότητα Ευκλείδειου αλγορίθμου) ο αλγόριθμος του Ευκλείδη βρίσκει τον ΜΚΔ δύο ακεραίων αριθμών Απόδειξη Βρίσκει διαιρέτη: αν a, b > 0 Z τότε gcd(a, b) = gcd(b, a mod b) Ο διαιρέτης που βρίσκει μπορεί να γραφτεί σαν γραμμικός συνδυασμός των a, b (γιατί;) Επομένως είναι ο ΜΚΔ
21 Αλγόριθμος Ευκλείδη 1742 = = = = = = = = = = gcd(1742, 494) = 26, gcd(132, 35) = 1
22 Αλγόριθμος Ευκλείδη 1742 = = = = = = = = = = gcd(1742, 494) = 26, gcd(132, 35) = 1 Χρόνος εκτέλεσης: O(log a) διαιρέσεις, O(log 3 a) bit operations (υποθέτοντας a b)
23 Αλγόριθμος Ευκλείδη 1742 = = = = = = = = = = gcd(1742, 494) = 26, gcd(132, 35) = 1 Χρόνος εκτέλεσης: O(log a) διαιρέσεις, O(log 3 a) bit operations (υποθέτοντας a b) Τα κ, λ τώ d = κa + λb μπορούν να υπολογιστούν στον ίδιο χρόνο: επεκτατεμένος αλγόριθμος Ευκλείδη Χρήσεις: υπολογισμός αντιστρόφων modulo n, επίλυση γραμμικών ισοτιμιών, κρυπτογραφία δημοσίου κλειδιού (RSA, El Gamal, κά)
24 Συνάρτηση ϕ του Euler Ορισμός ϕ(n) είναι το πλήθος των αριθμών από το 1 μέχρι και n που είναι σχετικά πρώτοι με τον n Υπενθύμιση: m, n σχετικά πρώτοι (coprime): μοναδικός κοινός διαιρέτης ο 1 Ιδιότητες ϕ(p) = p 1 για p πρώτο ϕ(p a ) = p a (1 1 p ) για p πρώτο ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n) για m, n σχετικά πρώτους Άσκηση: αποδείξτε το Παρατήρηση: για σύνθετο n, ϕ(n) = n p n (1 1 p )
25 Αριθμητική modulo, ο δακτύλιος Z m Σχέση ισοτιμίας (congruence) Η πράξη mod m, m Z, m > 0, απεικονίζει το Z στο Z m = {0,, m 1} Δύο αριθμοί a, b λέγονται ισότιμοι modulo m, συμβολικά a b (mod m), αν έχουν την ίδια απεικόνιση με την πράξη mod m: a b (mod m) def a mod m = b mod m m (a b) Άλλοι συμβολισμοί: a = b (mod m) ή και a b (m) Είναι σχέση ισοδυναμίας Κάθε κλάση C k, 0 k m 1, περιέχει τους ακεραίους που αφήνουν υπόλοιπο k αν διαιρεθούν με το m Z m = {C 0, C 1, C 2,, C m 1 } Πιο απλά: Z m = {0,, m 1}
26 Πράξεις στο Z m Πρόσθεση: C k + C j = C (k+j) mod m Πολλαπλασιασμός: C k C j = C kj mod m Η απεικόνιση ( mod m) : Z Z m είναι ομομορφισμός (ακριβέστερα: επιμορφισμός) Πιο απλά: (a + b) mod m = (a mod m + b mod m) mod m, (a b) mod m = ((a mod m) (b mod m)) mod m Πρακτική σημασία: αντί να κάνουμε τις πράξεις στο Z και στο τέλος να βρίσκουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης με m, μπορούμε να κάνουμε τις πράξεις κατευθείαν στο Z m : σημαντική μείωση χρόνου εκτέλεσης σε πολλές περιπτώσεις
27 Ύψωση σε δύναμη modulo m Επαναλαμβανόμενος Τετραγωνισμός (Repeated Squaring) Είσοδος: a, n, m Z + Έξοδος: a n mod m x a mod m; y 1; while n > 0 do if n mod 2 0 then y y x mod m; x x 2 mod m n n 2 end while output y Χρόνος εκτέλεσης: O(log n) επαναλήψεις, O(log n log 2 m) bit operations
28 Θεωρία ομάδων Ομάδα (group): ζεύγος (G, ) τέτοιο ώστε: a, b G : a b G a, b, c G : a (b c) = (a b) c e G, a G : a e = a (το e είναι μοναδικό) a G : a 1 G : a a 1 = e Αντιμεταθετική (Αβελιανή) ομάδα: επιπλέον a b = b a
29 Θεωρία ομάδων Ομάδα (group): ζεύγος (G, ) τέτοιο ώστε: a, b G : a b G a, b, c G : a (b c) = (a b) c e G, a G : a e = a (το e είναι μοναδικό) a G : a 1 G : a a 1 = e Αντιμεταθετική (Αβελιανή) ομάδα: επιπλέον a b = b a Το ζεύγος (Z m, +) είναι αντιμεταθετική ομάδα
30 Θεωρία ομάδων Ομάδα (group): ζεύγος (G, ) τέτοιο ώστε: a, b G : a b G a, b, c G : a (b c) = (a b) c e G, a G : a e = a (το e είναι μοναδικό) a G : a 1 G : a a 1 = e Αντιμεταθετική (Αβελιανή) ομάδα: επιπλέον a b = b a Το ζεύγος (Z m, +) είναι αντιμεταθετική ομάδα Τάξη (order) πεπερασμένης ομάδας: η πληθικότητά της
31 Θεωρία ομάδων Ομάδα (group): ζεύγος (G, ) τέτοιο ώστε: a, b G : a b G a, b, c G : a (b c) = (a b) c e G, a G : a e = a (το e είναι μοναδικό) a G : a 1 G : a a 1 = e Αντιμεταθετική (Αβελιανή) ομάδα: επιπλέον a b = b a Το ζεύγος (Z m, +) είναι αντιμεταθετική ομάδα Τάξη (order) πεπερασμένης ομάδας: η πληθικότητά της Υποομάδα (subgroup): (S, ) υποομάδα της (G, ) def S G (S, ) ομάδα
32 Θεωρία ομάδων Ομάδα (group): ζεύγος (G, ) τέτοιο ώστε: a, b G : a b G a, b, c G : a (b c) = (a b) c e G, a G : a e = a (το e είναι μοναδικό) a G : a 1 G : a a 1 = e Αντιμεταθετική (Αβελιανή) ομάδα: επιπλέον a b = b a Το ζεύγος (Z m, +) είναι αντιμεταθετική ομάδα Τάξη (order) πεπερασμένης ομάδας: η πληθικότητά της Υποομάδα (subgroup): (S, ) υποομάδα της (G, ) def S G (S, ) ομάδα Πρόταση (S, ) είναι υποομάδα της (G, ) ανν S G και S κλειστό ως προς
33 Η πολλαπλασιαστική ομάδα (U(Z m ), ) Πρόταση gcd(a, m) = 1 αν και μόνο αν c Z m τέτοιο ώστε a c 1 (mod m)
34 Η πολλαπλασιαστική ομάδα (U(Z m ), ) Πρόταση gcd(a, m) = 1 αν και μόνο αν c Z m τέτοιο ώστε a c 1 (mod m) Απόδειξη (i) Ευθύ: με χρήση Θεωρ ΜΚΔ (ii) Αντίστροφο: x Z, ax 1 (mod m) m (ax 1) Αν gcd(a, m) = d > 1 τότε d m (ax 1) d 1, άτοπο
35 Η πολλαπλασιαστική ομάδα (U(Z m ), ) Πρόταση gcd(a, m) = 1 αν και μόνο αν c Z m τέτοιο ώστε a c 1 (mod m) Απόδειξη (i) Ευθύ: με χρήση Θεωρ ΜΚΔ (ii) Αντίστροφο: x Z, ax 1 (mod m) m (ax 1) Αν gcd(a, m) = d > 1 τότε d m (ax 1) d 1, άτοπο Ορισμός U(Z m ) = {a Z m : gcd(a, m) = 1} είναι το σύνολο των σχετικά πρώτων με τον m, που λέγονται και units του Z m Περιέχει ακριβώς τα στοιχεία του Z m που έχουν αντίστροφο modulo m
36 Η πολλαπλασιαστική ομάδα (U(Z m ), ) Πρόταση gcd(a, m) = 1 αν και μόνο αν c Z m τέτοιο ώστε a c 1 (mod m) Απόδειξη (i) Ευθύ: με χρήση Θεωρ ΜΚΔ (ii) Αντίστροφο: x Z, ax 1 (mod m) m (ax 1) Αν gcd(a, m) = d > 1 τότε d m (ax 1) d 1, άτοπο Ορισμός U(Z m ) = {a Z m : gcd(a, m) = 1} είναι το σύνολο των σχετικά πρώτων με τον m, που λέγονται και units του Z m Περιέχει ακριβώς τα στοιχεία του Z m που έχουν αντίστροφο modulo m Το (U(Z m ), ) είναι αντιμεταθετική ομάδα με πληθάριθμο ϕ(m) Για p πρώτο: U(Z p ) = Z p \ {0} = Z p
37 Θεωρία ομάδων Τάξη (order) στοιχείου Κυκλική ομάδα (cyclic group): τάξη a def = min{y N : a y = e} (G, ) κυκλική def g (G, ) : x G : y N : x = g y Γεννήτορας (generator) a γεννήτορας της G def τάξη a = G Πρόταση: μια ομάδα έχει γεννήτορα ανν είναι κυκλική Η τάξη της ομάδας ισούται με την τάξη του γεννήτορα (Άσκηση: αποδείξτε)
38 Άλλες αλγεβρικές δομές: δακτύλιοι, σώματα Δακτύλιος (ring) (R, +, ) δακτύλιος def (R, +) αντιμεταθετική ομάδα (R, ) μονοειδές (προσεταιριστική, ουδέτερο) a, b, c R : a (b + c) = (a b + a c) (b + c) a = b a + c a (επιμεριστική) Το (Z m, +, ) είναι αντιμεταθετικός δακτύλιος (commutative ring): η πράξη έχει επιπλέον την αντιμεταθετική ιδιότητα
39 Άλλες αλγεβρικές δομές: δακτύλιοι, σώματα Σώμα (field) (F, +, ) σώμα def (F, +, ) αντιμεταθετικός δακτύλιος (F \ {e + }, ) αντιμεταθετική ομάδα Το (Z p, +, ), p πρώτος, είναι σώμα (και συμβολίζεται και GF(p) ή F p ) Πρόταση Κάθε σώμα τάξης p είναι ισομορφικό με το F p
40 Μικρό Θεώρημα Fermat Θεώρημα (μικρό Fermat) prime p, a Z, p a : a p 1 1 (mod p) Απόδειξη Για a Z με p a, τα στοιχεία a 1, a 2,, a (p 1) είναι διαφορετικά ανά δύο στο Z p: i a j a (mod p) p a(i j) p (i j) i j (mod p) Επομένως a p 1 (p 1)! (p 1)! a p 1 1 (mod p)
41 Μικρό Θεώρημα Fermat Θεώρημα (μικρό Fermat) prime p, a Z, p a : a p 1 1 (mod p) Απόδειξη Για a Z με p a, τα στοιχεία a 1, a 2,, a (p 1) είναι διαφορετικά ανά δύο στο Z p: i a j a (mod p) p a(i j) p (i j) i j (mod p) Επομένως a p 1 (p 1)! (p 1)! a p 1 1 (mod p) Παρόμοια αποδεικνύεται το πιο γενικό: Θεώρημα (Euler) a Z, gcd(a, m) = 1 a ϕ(m) 1 (mod m)
42 Σύμπλοκα, ομάδα πηλίκο Σύμπλοκο (coset): το σύνολο H a = {h a : h H, a G} λέγεται δεξί σύμπλοκο (coset) της H στη G για υποoμάδα H της (G, )
43 Σύμπλοκα, ομάδα πηλίκο Σύμπλοκο (coset): το σύνολο H a = {h a : h H, a G} λέγεται δεξί σύμπλοκο (coset) της H στη G για υποoμάδα H της (G, ) Ομάδα πηλίκο (Quotient group) G/H: το σύνολο των συμπλόκων της H στην G To (G/H, ) είναι ομάδα με πράξη (H a) (H b) = H (a b)
44 Θεώρημα Lagrange Αν H είναι υποομάδα της πεπερασμένης ομάδας G τότε G = G/H H Απόδειξη Στηρίζεται στο γεγονός ότι δύο σύμπλοκα ταυτίζονται ή είναι ξένα μεταξύ τους
45 Θεώρημα Lagrange Αν H είναι υποομάδα της πεπερασμένης ομάδας G τότε G = G/H H Απόδειξη Στηρίζεται στο γεγονός ότι δύο σύμπλοκα ταυτίζονται ή είναι ξένα μεταξύ τους Πόρισμα (σημαντικό!): η τάξη ενός στοιχείου μιας πεπερασμένης ομάδας διαιρεί την τάξη της ομάδας: a G : a G = e
46 Θεώρημα Lagrange Αν H είναι υποομάδα της πεπερασμένης ομάδας G τότε G = G/H H Απόδειξη Στηρίζεται στο γεγονός ότι δύο σύμπλοκα ταυτίζονται ή είναι ξένα μεταξύ τους Πόρισμα (σημαντικό!): η τάξη ενός στοιχείου μιας πεπερασμένης ομάδας διαιρεί την τάξη της ομάδας: a G : a G = e Περαιτέρω πορίσματα: μικρό Θεώρημα Fermat (ομάδα (Z p, )), Θεώρημα Euler (ομάδα (U(Z m ), )) Οι αποδείξεις τους χωρίς χρήση Θ Lagrange προϋπήρχαν
47 Θεώρημα Lagrange Αν H είναι υποομάδα της πεπερασμένης ομάδας G τότε G = G/H H Απόδειξη Στηρίζεται στο γεγονός ότι δύο σύμπλοκα ταυτίζονται ή είναι ξένα μεταξύ τους Πόρισμα (σημαντικό!): η τάξη ενός στοιχείου μιας πεπερασμένης ομάδας διαιρεί την τάξη της ομάδας: a G : a G = e Περαιτέρω πορίσματα: μικρό Θεώρημα Fermat (ομάδα (Z p, )), Θεώρημα Euler (ομάδα (U(Z m ), )) Οι αποδείξεις τους χωρίς χρήση Θ Lagrange προϋπήρχαν Πόρισμα: κάθε ομάδα με τάξη πρώτο αριθμό είναι κυκλική (γιατί; βρείτε έναν γεννήτορα)
48 Μέγεθος γνήσιας υποομάδας Πόρισμα του Θ Lagrange Αν (S, ) υποομάδα της (πεπερασμένης) ομάδας (G, ) και S G τότε: S G /2
49 Fermat (primality) test Έλεγχος πρώτων αριθμών Fermat Για να δούμε αν ένας δοσμένος ακέραιος n είναι πρώτος: Επιλέγουμε τυχαία a Z n : αν a n 1 1 (mod n) τότε n σύνθετος (με βεβαιότητα), αλλιώς λέμε ότι το n περνάει το test (ίσως είναι πρώτος) Στην δεύτερη περίπτωση επαναλαμβάνουμε
50 Fermat (primality) test Έλεγχος πρώτων αριθμών Fermat Για να δούμε αν ένας δοσμένος ακέραιος n είναι πρώτος: Επιλέγουμε τυχαία a Z n : αν a n 1 1 (mod n) τότε n σύνθετος (με βεβαιότητα), αλλιώς λέμε ότι το n περνάει το test (ίσως είναι πρώτος) Στην δεύτερη περίπτωση επαναλαμβάνουμε Πρόταση Αν για σύνθετο n υπάρχει ένας μάρτυρας (compositeness witness), δηλ a Z n, a n 1 1 (mod n), τότε υπάρχουν τουλάχιστον n/2 μάρτυρες Απόδειξη Χρήση Θ Lagrange σε ομάδα μη μαρτύρων του U(Z n )
51 Fermat (primality) test Έλεγχος πρώτων αριθμών Fermat Για να δούμε αν ένας δοσμένος ακέραιος n είναι πρώτος: Επιλέγουμε τυχαία a Z n : αν a n 1 1 (mod n) τότε n σύνθετος (με βεβαιότητα), αλλιώς λέμε ότι το n περνάει το test (ίσως είναι πρώτος) Στην δεύτερη περίπτωση επαναλαμβάνουμε Πρόταση Αν για σύνθετο n υπάρχει ένας μάρτυρας (compositeness witness), δηλ a Z n, a n 1 1 (mod n), τότε υπάρχουν τουλάχιστον n/2 μάρτυρες Απόδειξη Χρήση Θ Lagrange σε ομάδα μη μαρτύρων του U(Z n ) Έλεγχος Fermat ορθός (whp) για σχεδόν όλους τους αριθμούς
52 Fermat (primality) test Έλεγχος πρώτων αριθμών Fermat Για να δούμε αν ένας δοσμένος ακέραιος n είναι πρώτος: Επιλέγουμε τυχαία a Z n : αν a n 1 1 (mod n) τότε n σύνθετος (με βεβαιότητα), αλλιώς λέμε ότι το n περνάει το test (ίσως είναι πρώτος) Στην δεύτερη περίπτωση επαναλαμβάνουμε Πρόταση Αν για σύνθετο n υπάρχει ένας μάρτυρας (compositeness witness), δηλ a Z n, a n 1 1 (mod n), τότε υπάρχουν τουλάχιστον n/2 μάρτυρες Απόδειξη Χρήση Θ Lagrange σε ομάδα μη μαρτύρων του U(Z n ) Έλεγχος Fermat ορθός (whp) για σχεδόν όλους τους αριθμούς Εξαίρεση: αριθμοί Carmichael σύνθετοι χωρίς μάρτυρα Fermat
53 Fermat (primality) test Έλεγχος πρώτων αριθμών Fermat Για να δούμε αν ένας δοσμένος ακέραιος n είναι πρώτος: Επιλέγουμε τυχαία a Z n : αν a n 1 1 (mod n) τότε n σύνθετος (με βεβαιότητα), αλλιώς λέμε ότι το n περνάει το test (ίσως είναι πρώτος) Στην δεύτερη περίπτωση επαναλαμβάνουμε Πρόταση Αν για σύνθετο n υπάρχει ένας μάρτυρας (compositeness witness), δηλ a Z n, a n 1 1 (mod n), τότε υπάρχουν τουλάχιστον n/2 μάρτυρες Απόδειξη Χρήση Θ Lagrange σε ομάδα μη μαρτύρων του U(Z n ) Έλεγχος Fermat ορθός (whp) για σχεδόν όλους τους αριθμούς Εξαίρεση: αριθμοί Carmichael σύνθετοι χωρίς μάρτυρα Fermat Αντιμετώπιση: Miller-Rabin test (αργότερα)
54 Ισοτιμία σε Z m, Z n ισοτιμία σε Z mn Πρόταση Για κάθε m, n N τω gcd(m, n) = 1, για κάθε a, b Z: a b (mod m) a b (mod n) a b (mod mn)
55 Ισοτιμία σε Z m, Z n ισοτιμία σε Z mn Πρόταση Για κάθε m, n N τω gcd(m, n) = 1, για κάθε a, b Z: a b (mod m) a b (mod n) a b (mod mn) Απόδειξη (i) Ευθύ: x, y Z : a b = xm = yn Από Θ ΜΚΔ: 1 = κm + λn x = κxm + λxn = κyn + λxn n x nm xm = a b
56 Ισοτιμία σε Z m, Z n ισοτιμία σε Z mn Πρόταση Για κάθε m, n N τω gcd(m, n) = 1, για κάθε a, b Z: a b (mod m) a b (mod n) a b (mod mn) Απόδειξη (i) Ευθύ: x, y Z : a b = xm = yn Από Θ ΜΚΔ: 1 = κm + λn x = κxm + λxn = κyn + λxn n x nm xm = a b (ii) Αντίστροφο: a b (mod mn) mn (a b) m (a b), όμοια για n
57 Δηλαδή, ισοτιμία στο Z m και στο Z n συνεπάγεται ισοτιμία στο Z mn και αντίστροφα Επιπλέον, οι ισότιμοι a m, a n ενός ακεραίου a σε Z m, Z n αντίστοιχα καθορίζουν μοναδικά τον ισότιμό του, έστω a mn στο Z mn, και αντίστροφα
58 Δηλαδή, ισοτιμία στο Z m και στο Z n συνεπάγεται ισοτιμία στο Z mn και αντίστροφα Επιπλέον, οι ισότιμοι a m, a n ενός ακεραίου a σε Z m, Z n αντίστοιχα καθορίζουν μοναδικά τον ισότιμό του, έστω a mn στο Z mn, και αντίστροφα Ο a mn υπάρχει πάντα για m, n σχετικά πρώτους αποδεικνύεται με χρήση του Θ ΜΚΔ: κ, λ : 1 = κm + λn κm 1 (mod n), λn 1 (mod m)
59 Δηλαδή, ισοτιμία στο Z m και στο Z n συνεπάγεται ισοτιμία στο Z mn και αντίστροφα Επιπλέον, οι ισότιμοι a m, a n ενός ακεραίου a σε Z m, Z n αντίστοιχα καθορίζουν μοναδικά τον ισότιμό του, έστω a mn στο Z mn, και αντίστροφα Ο a mn υπάρχει πάντα για m, n σχετικά πρώτους αποδεικνύεται με χρήση του Θ ΜΚΔ: κ, λ : 1 = κm + λn κm 1 (mod n), λn 1 (mod m) Τι μπορούμε να πούμε για την ισοτιμία (mod n), (mod m) των αριθμών: κma n, λna m
60 Δηλαδή, ισοτιμία στο Z m και στο Z n συνεπάγεται ισοτιμία στο Z mn και αντίστροφα Επιπλέον, οι ισότιμοι a m, a n ενός ακεραίου a σε Z m, Z n αντίστοιχα καθορίζουν μοναδικά τον ισότιμό του, έστω a mn στο Z mn, και αντίστροφα Ο a mn υπάρχει πάντα για m, n σχετικά πρώτους αποδεικνύεται με χρήση του Θ ΜΚΔ: κ, λ : 1 = κm + λn κm 1 (mod n), λn 1 (mod m) Τι μπορούμε να πούμε για την ισοτιμία (mod n), (mod m) των αριθμών: κma n, λna m Ποιος είναι τελικά ο a mn ;
61 Δηλαδή, ισοτιμία στο Z m και στο Z n συνεπάγεται ισοτιμία στο Z mn και αντίστροφα Επιπλέον, οι ισότιμοι a m, a n ενός ακεραίου a σε Z m, Z n αντίστοιχα καθορίζουν μοναδικά τον ισότιμό του, έστω a mn στο Z mn, και αντίστροφα Ο a mn υπάρχει πάντα για m, n σχετικά πρώτους αποδεικνύεται με χρήση του Θ ΜΚΔ: κ, λ : 1 = κm + λn κm 1 (mod n), λn 1 (mod m) Τι μπορούμε να πούμε για την ισοτιμία (mod n), (mod m) των αριθμών: κma n, λna m Ποιος είναι τελικά ο a mn ; Αυτή η ιδιότητα γενικεύεται και διατυπώνεται πιο αυστηρά στο περίφημο Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπων
62 Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπων (Chinese Remainder Theorem - CRT) Θεώρημα (Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπων) Εστω ένα σύστημα ισοτιμιών x a 1 (mod m 1 ) x a 2 (mod m 2 ) x a k (mod m k ) ώστε gcd(m i, m j ) = 1 για i j Τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση στον δακτύλιο Z M, M = m 1 m 2 m k Ισοδύναμα: το σύστημα έχει άπειρες λύσεις στο Z και αν s 1, s 2 δύο λύσεις ισχύει s 1 s 2 (mod M)
63 Απόδειξη Για κάθε i {1,, k} ορίζουμε M i = M m i Ισχύει gcd(m i, m i ) = 1 Επομένως N i Z mi : N i M i 1 (mod m i ) Επίσης i j : N i M i 0 (mod m j )
64 Απόδειξη Για κάθε i {1,, k} ορίζουμε M i = M m i Ισχύει gcd(m i, m i ) = 1 Επομένως N i Z mi : N i M i 1 (mod m i ) Επίσης i j : N i M i 0 (mod m j ) Οπότε μία λύση είναι η παρακάτω (επαληθεύστε): y = k N i M i a i i=1
65 Απόδειξη Για κάθε i {1,, k} ορίζουμε M i = M m i Ισχύει gcd(m i, m i ) = 1 Επομένως N i Z mi : N i M i 1 (mod m i ) Επίσης i j : N i M i 0 (mod m j ) Οπότε μία λύση είναι η παρακάτω (επαληθεύστε): y = k N i M i a i i=1 Αν s 1, s 2 δύο διαφορετικές λύσεις τότε έχουμε ότι για κάθε i, s 1 s 2 (mod m i ) Από πρόταση προηγούμενης διαφάνειας και επαγωγή προκύπτει: s 1 s 2 (mod M)
66 Απόδειξη Για κάθε i {1,, k} ορίζουμε M i = M m i Ισχύει gcd(m i, m i ) = 1 Επομένως N i Z mi : N i M i 1 (mod m i ) Επίσης i j : N i M i 0 (mod m j ) Οπότε μία λύση είναι η παρακάτω (επαληθεύστε): y = k N i M i a i i=1 Αν s 1, s 2 δύο διαφορετικές λύσεις τότε έχουμε ότι για κάθε i, s 1 s 2 (mod m i ) Από πρόταση προηγούμενης διαφάνειας και επαγωγή προκύπτει: s 1 s 2 (mod M) Πολυπλοκότητα: η επίλυση του συστήματος γίνεται σε πολυωνυμικό χρόνο
67 Σημαντικές συνέπειες του CRT Δύο ισομορφισμοί: Z m1 m 2 m k = Zm1 Z m2 Z mk ως προς πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμό (οι πράξεις στις k-άδες ορίζονται κατά μέλη με τον προφανή τρόπο: τα στοιχεία στη θέση i αθροίζονται / πολλαπλασιάζονται στον δακτύλιο Z mi )
68 Σημαντικές συνέπειες του CRT Δύο ισομορφισμοί: Z m1 m 2 m k = Zm1 Z m2 Z mk ως προς πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμό (οι πράξεις στις k-άδες ορίζονται κατά μέλη με τον προφανή τρόπο: τα στοιχεία στη θέση i αθροίζονται / πολλαπλασιάζονται στον δακτύλιο Z mi ) U(Z m1 m 2 m k ) = U(Z m1 ) U(Z m2 ) U(Z mk ) ως προς πολλαπλασιασμό και διαίρεση
69 Η δομή της ομάδας Z p Η πολλαπλασιαστική ομάδα Z p Είναι κυκλική: πχ Z 11 = {1, 2,, 10} = {21, 2 2,, 2 1 0} (mod 11)
70 Η δομή της ομάδας Z p Η πολλαπλασιαστική ομάδα Z p Είναι κυκλική: πχ Z 11 = {1, 2,, 10} = {21, 2 2,, 2 1 0} (mod 11) Για κάθε d (p 1) περιέχει ακριβώς μία κυκλική υποομάδα τάξης d (βλ και Θεμελιώδες Θεώρημα Κυκλικών Ομάδων)
71 Η δομή της ομάδας Z p Η πολλαπλασιαστική ομάδα Z p Είναι κυκλική: πχ Z 11 = {1, 2,, 10} = {21, 2 2,, 2 1 0} (mod 11) Για κάθε d (p 1) περιέχει ακριβώς μία κυκλική υποομάδα τάξης d (βλ και Θεμελιώδες Θεώρημα Κυκλικών Ομάδων) Περιέχει ακριβώς ϕ(p 1) γεννήτορες (γενικότερα, μία κυκλική ομάδα τάξης r περιέχει ϕ(r) γεννήτορες γιατί;) Για p = 2q + 1, q πρώτο, υπάρχουν q 1 γεννήτορες
72 Η δομή της ομάδας Z p Η πολλαπλασιαστική ομάδα Z p Έλεγχος αν a γεννήτορας: d p 1, d < p 1 : a p 1 d 1 (mod p) Για p = 2q + 1, q πρώτο, αν a 1 a p (mod p), τότε a είναι γεννήτορας Ακριβώς τα μισά στοιχεία είναι τετραγωνικά υπόλοιπα (quadratic residues) modulo p, δηλ είναι τετράγωνα κάποιου αριθμού modulo p Τα στοιχεία αυτά ταυτίζονται με τις άρτιες δυνάμεις ενός γεννήτορα:
73 Η δομή της ομάδας Z p Η πολλαπλασιαστική ομάδα Z p Έλεγχος αν a γεννήτορας: d p 1, d < p 1 : a p 1 d 1 (mod p) Για p = 2q + 1, q πρώτο, αν a 1 a p (mod p), τότε a είναι γεννήτορας Ακριβώς τα μισά στοιχεία είναι τετραγωνικά υπόλοιπα (quadratic residues) modulo p, δηλ είναι τετράγωνα κάποιου αριθμού modulo p Τα στοιχεία αυτά ταυτίζονται με τις άρτιες δυνάμεις ενός γεννήτορα: QR(p) = {g 2i 1 i p 1 2 }
74 Η δομή της ομάδας U(Z pq ) Η πολλαπλασιαστική ομάδα U(Z pq ), p, q πρώτοι Δεν είναι κυκλική: κάθε στοιχείο έχει τάξη το πολύ lcm(p 1, q 1) (p 1)(q 1) 2 (βλ και συνάρτηση Carmichael) Πχ στην U(Z 15 ) = {1, 2, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 13, 14} πράγματι, κάθε στοιχείο έχει τάξη το πολύ 4 = lcm(3 1, 5 1) Περιέχει υποομάδα τάξης lcm(p 1, q 1) Ακριβώς τo 1 4 των στοιχείων είναι τετραγωνικά υπόλοιπα (quadratic residues) modulo n, δηλ είναι τετράγωνα κάποιου αριθμού modulo n Τα στοιχεία αυτά προκύπτουν συνδυάζοντας με CRT τετραγωνικά υπόλοιπα modulo p με τετραγωνικά υπόλοιπα modulo q
75 Τετραγωνικά Υπόλοιπα (Quadratic Residues) Ορισμός Ένας ακέραιος a Z m λέγεται τετραγωνικό υπόλοιπο modulo m αν x Z m : a x 2 (mod m) Τότε ο x λέγεται τετραγωνική ρίζα του a modulo m
76 Τετραγωνικά Υπόλοιπα (Quadratic Residues) Ορισμός Ένας ακέραιος a Z m λέγεται τετραγωνικό υπόλοιπο modulo m αν x Z m : a x 2 (mod m) Τότε ο x λέγεται τετραγωνική ρίζα του a modulo m Παρατήρηση: όπως είδαμε, τα μισά στοιχεία του Z p και το 1 4 των στοιχείων του Z pq (για p, q πρώτους) είναι τετραγωνικά υπόλοιπα (modulo p και pq αντίστοιχα)
77 Τετραγωνικά Υπόλοιπα (Quadratic Residues) Ορισμός Ένας ακέραιος a Z m λέγεται τετραγωνικό υπόλοιπο modulo m αν x Z m : a x 2 (mod m) Τότε ο x λέγεται τετραγωνική ρίζα του a modulo m Παρατήρηση: όπως είδαμε, τα μισά στοιχεία του Z p και το 1 4 των στοιχείων του Z pq (για p, q πρώτους) είναι τετραγωνικά υπόλοιπα (modulo p και pq αντίστοιχα) Για αυτά τα στοιχεία και μόνο οι ισοτιμίες: x 2 a (mod p) έχουν λύση x 2 a (mod pq)
78 Τετραγωνικά Υπόλοιπα (Quadratic Residues) Ορισμός Ένας ακέραιος a Z m λέγεται τετραγωνικό υπόλοιπο modulo m αν x Z m : a x 2 (mod m) Τότε ο x λέγεται τετραγωνική ρίζα του a modulo m Παρατήρηση: όπως είδαμε, τα μισά στοιχεία του Z p και το 1 4 των στοιχείων του Z pq (για p, q πρώτους) είναι τετραγωνικά υπόλοιπα (modulo p και pq αντίστοιχα) Για αυτά τα στοιχεία και μόνο οι ισοτιμίες: x 2 a (mod p) έχουν λύση x 2 a (mod pq) Παρατήρηση: αν x 0 είναι λύση τότε και x 0 είναι λύση Πόσες λύσεις υπάρχουν;
79 Πλήθος τετραγωνικών ριζών modulo n Πρόταση Έστω p, q πρώτοι Τότε: 1 Η ισοτιμία x 2 a (mod p) έχει είτε 0 είτε 2 λύσεις στο Z p 2 Η ισοτιμία x 2 a (mod pq) έχει είτε 0 είτε 4 λύσεις στο U(Z pq ) Απόδειξη 1 Αν x1, x 2 λύσεις της ισοτιμίας τότε x 2 1 x2 2 (mod p) άρα p (x 2 1 x2 2 ) p (x 1 x 2 )(x 1 + x 2 ) p (x 1 x 2 ) p (x 1 + x 2 ) x 1 x 2 x 1 x 2 (mod p) 2 Η λύση της ισοτιμίας ισοδυναμεί με τη λύση των δύο ισοτιμιών x 2 a (mod p), x 2 a (mod q) Εστω ότι η πρώτη έχει λύσεις τις x p, x p και η δεύτερη τις x q, x q Για καθε ένα από τους συνδυασμούς των λύσεων αυτών (που είναι 4) προκύπτει, με χρήση CRT, μια διαφορετική λύση για την ισοτιμία στο U(Z), από το σύστημα x ±x p (mod p), x ±x q (mod q)
80 Τετραγωνικές ρίζες modulo n: πρόσθετες ιδιότητες Η προηγούμενη πρόταση μπορεί να γενικευτεί για n = p a 1 1 pa 2 2 pa k k όπου η αντίστοιχη εξίσωση έχει είτε 0 είτε 2k λύσεις Τετριμμένες περιπτώσεις: στο Z p, το a 0 (mod p) έχει μία τετραγωνική ρίζα, το ίδιο και στο Z pq Στο Z pq, αν a 0 (mod p), και a 0 (mod q) τότε το a έχει 2 ρίζες που προκύπτουν από το σύστημα x 0 (mod p), x ±x q (mod q) με χρήση CRT
81 Τετραγωνικές ρίζες modulo n και παραγοντοποίηση Ο αριθμός 1 έχει δύο τετραγωνικές ρίζες modulo p : ±1 Επίσης έχει 4 τετραγωνικές ρίζες modulo pq: τις ±1, και άλλες δύο (±u 1 (mod p)q) που λέγονται μη τετριμμένες ρίζες της μονάδας modulo n Η ύπαρξη μη τετριμμένων ριζών του 1 modulo n συνιστά απόδειξη ότι ο n είναι σύνθετος, και συγχρόνως δίνει άμεσα δύο παράγοντες του n: gcd(n, u ± 1) Παρόμοια πληροφορία παίρνουμε από την ύπαρξη 2 μη αντίθετων τετραγωνικών ριζών οποιουδήποτε αριθμού a Z n Η ιδιότητα αυτή χρησιμοποιείται στην απόδειξη ορθότητας του Miller-Rabin primality test, και σε διάφορες άλλες αποδείξεις (κρυπτοσυστήματα RSA, Rabin, κλπ)
82 Τετραγωνικές ρίζες modulo n: έλεγχος ύπαρξης Πρόταση (Κριτήριο Euler) Για p πρώτο, η ισοτιμία x 2 a (mod p) έχει λύση αν και μόνο αν a p (mod p) Απόδειξη Θδο οι δύο συνθήκες ισοδυναμούν με a να είναι άρτια δύναμη ενός γεννήτορα Έστω ότι a g k (mod p) για γεννήτορα g της Z p Τότε: x : x 2 a (mod p) l : g 2l g k (mod p) 2l k (mod p 1) k mod 2 = 0 Επίσης, από μικρό Θ Fermat: a p 1 2 g k 2 (p 1) 1 (mod p) p 1 k 2 (p 1) k mod 2 = 0
83 Τετραγωνικές ρίζες modulo n: έλεγχος ύπαρξης Πρόταση (Κριτήριο Euler) Για p πρώτο, η ισοτιμία x 2 a (mod p) έχει λύση αν και μόνο αν a p (mod p) Απόδειξη Θδο οι δύο συνθήκες ισοδυναμούν με a να είναι άρτια δύναμη ενός γεννήτορα Έστω ότι a g k (mod p) για γεννήτορα g της Z p Τότε: x : x 2 a (mod p) l : g 2l g k (mod p) 2l k (mod p 1) k mod 2 = 0 Επίσης, από μικρό Θ Fermat: a p 1 2 g k 2 (p 1) 1 (mod p) p 1 k 2 (p 1) k mod 2 = 0 Παρατήρηση για κάθε a Z p ισχύει a p 1 2 ±1 (mod p) Η ιδιότητα αυτή σχετίζεται άμεσα με τη συνάρτηση που είναι γνωστή ως σύμβολο Legendre και τη γενίκευσή της, το σύμβολο Jacobi Το τελευταίο χρησιμοποιείται στο Solovay-Strassen primality test
84 Σύμβολο Legendre Ορισμός ( ) a = p 1, if x : x 2 a (mod p) 1, if x : x 2 a (mod p) 0, if p a Αν ( a p ) = 1 τότε το a ονομάζεται τετραγωνικό υπόλοιπο modulo p Αν ( a p ) = 1 τότε το a ονομάζεται τετραγωνικό μη υπόλοιπο modulo p
85 Ιδιότητες συμβόλου Legendre Πρόταση 1 m n (mod p) ( m p ) = ( n p ) 2 ( a p ) a p 1 2 (mod p) 3 ( ab p ) = ( a p )( b p ) Απόδειξη (1): άμεσα από τον ορισμό (2): αν a 0 (mod p) ισχύει Αλλιώς a Z p, οπότε αν a QR(n) τότε από κριτήριο Euler ισχύει a p ( a p ) (mod p) Αν a QR(n) τότε επειδή a p 1 2 ±1 (mod p), θα έχουμε αναγκαστικά: (3) από ιδιότητα 2 a p ( a p ) (mod p)
86 Ιδιότητες συμβόλου Legendre Πρόταση { 1, if p 1 (mod 4) 1 ( 1 p 1 p ) = ( 1) 2 = 1, if p 3 (mod 4) ( { 2 2 1, if p 1 (mod 8) p 7 (mod 8) p) = 1, if p 3 (mod 8) p 5 (mod 8) Η απόδειξη βασίζεται στο ακόλουθο: Λήμμα (Gauss) Αν το πλήθος των στοιχείων του συνόλου {a mod p, 2a mod p,, p 1 2 a mod p} που είναι μεγαλύτερα του p 2 το συμβολίσουμε με µ τότε ισχύει ότι ( a p ) = ( 1)µ
87 Ιδιότητες συμβόλου Legendre Θεώρημα (Νόμος Τετραγωνικής Αντιστροφής (Quadratic Reciprocity Law)) ( ) p = q { ( q p ( q p ), αν p q 3 (mod 4) ), αλλιώς Με χρήση του νόμου τετραγωνικής αντιστροφής, και των προηγούμενων ιδιοτήτων έχουμε έναν πιο γρήγορο υπολογισμό του συμβόλου Legendre: O(log 2 p)
88 Σύμβολο Jacobi Ορισμός (Σύμβολο Jacobi) Για n = p a 1 1 pa 2 2 pa k k ορίζουμε το σύμβολο Jacobi ως εξής: ( m ) = n k ( ) m ai i=1 p i
89 Σύμβολο Jacobi Ορισμός (Σύμβολο Jacobi) Για n = p a 1 1 pa 2 2 pa k k ορίζουμε το σύμβολο Jacobi ως εξής: ( m ) = n k ( ) m ai i=1 Το σύμβολο Jacobi είναι γενίκευση του συμβόλου ( Legendre και ικανοποιεί τις ίδιες ιδιότητες εκτός της a p 1 2 a p) (mod p) Το γεγονός αυτό χρησιμοποιείται στον έλεγχο πρώτων αριθμών Solovay-Strassen p i
90 Σύμβολο Jacobi Ορισμός (Σύμβολο Jacobi) Για n = p a 1 1 pa 2 2 pa k k ορίζουμε το σύμβολο Jacobi ως εξής: ( m ) = n k ( ) m ai i=1 p i Το σύμβολο Jacobi είναι γενίκευση του συμβόλου ( Legendre και ικανοποιεί τις ίδιες ιδιότητες εκτός της a p 1 2 a p) (mod p) Το γεγονός αυτό χρησιμοποιείται στον έλεγχο πρώτων αριθμών Solovay-Strassen Το σύμβολο Jacobi ( a n ) δεν χαρακτηρίζει πλήρως την ύπαρξη λύσεων της ισοτιμίας x 2 a (mod n) Πράγματι, αν η ισοτιμία αυτή έχει λύσεις τότε ( a n ) = 1 αλλά δεν ισχύει το αντίστροφο (πχ για n = pq, ( a p ) = ( a q ) = 1 ( a n ) = 1
91 Ευεπίλυτα αριθμητικά προβλήματα Χαρακτηρίζονται από την ύπαρξη αποδοτικού (πολυωνυμικού χρόνου) αλγορίθμου, ντετερμινιστικού ή πιθανοτικού
92 Ευεπίλυτα αριθμητικά προβλήματα Χαρακτηρίζονται από την ύπαρξη αποδοτικού (πολυωνυμικού χρόνου) αλγορίθμου, ντετερμινιστικού ή πιθανοτικού GCD(a, n): εύρεση ΜΚΔ(a, n)
93 Ευεπίλυτα αριθμητικά προβλήματα Χαρακτηρίζονται από την ύπαρξη αποδοτικού (πολυωνυμικού χρόνου) αλγορίθμου, ντετερμινιστικού ή πιθανοτικού GCD(a, n): εύρεση ΜΚΔ(a, n) Inverse(a, n): υπολογισμός a 1 mod n
94 Ευεπίλυτα αριθμητικά προβλήματα Χαρακτηρίζονται από την ύπαρξη αποδοτικού (πολυωνυμικού χρόνου) αλγορίθμου, ντετερμινιστικού ή πιθανοτικού GCD(a, n): εύρεση ΜΚΔ(a, n) Inverse(a, n): υπολογισμός a 1 mod n Power(a, y, n): υπολογισμός a y mod n
95 Ευεπίλυτα αριθμητικά προβλήματα Χαρακτηρίζονται από την ύπαρξη αποδοτικού (πολυωνυμικού χρόνου) αλγορίθμου, ντετερμινιστικού ή πιθανοτικού GCD(a, n): εύρεση ΜΚΔ(a, n) Inverse(a, n): υπολογισμός a 1 mod n Power(a, y, n): υπολογισμός a y mod n Primality(n): έλεγχος αν ο n είναι πρώτος αριθμός
96 Ευεπίλυτα αριθμητικά προβλήματα Χαρακτηρίζονται από την ύπαρξη αποδοτικού (πολυωνυμικού χρόνου) αλγορίθμου, ντετερμινιστικού ή πιθανοτικού GCD(a, n): εύρεση ΜΚΔ(a, n) Inverse(a, n): υπολογισμός a 1 mod n Power(a, y, n): υπολογισμός a y mod n Primality(n): έλεγχος αν ο n είναι πρώτος αριθμός Find-Prime(n): εύρεση πρώτου > n
97 Ευεπίλυτα αριθμητικά προβλήματα Χαρακτηρίζονται από την ύπαρξη αποδοτικού (πολυωνυμικού χρόνου) αλγορίθμου, ντετερμινιστικού ή πιθανοτικού GCD(a, n): εύρεση ΜΚΔ(a, n) Inverse(a, n): υπολογισμός a 1 mod n Power(a, y, n): υπολογισμός a y mod n Primality(n): έλεγχος αν ο n είναι πρώτος αριθμός Find-Prime(n): εύρεση πρώτου > n Quad-Res(a, n): έλεγχος αν x : x 2 a (mod n) Για n πρώτο, ή σύνθετο με γνωστή παραγοντοποίηση
98 Ευεπίλυτα αριθμητικά προβλήματα Χαρακτηρίζονται από την ύπαρξη αποδοτικού (πολυωνυμικού χρόνου) αλγορίθμου, ντετερμινιστικού ή πιθανοτικού GCD(a, n): εύρεση ΜΚΔ(a, n) Inverse(a, n): υπολογισμός a 1 mod n Power(a, y, n): υπολογισμός a y mod n Primality(n): έλεγχος αν ο n είναι πρώτος αριθμός Find-Prime(n): εύρεση πρώτου > n Quad-Res(a, n): έλεγχος αν x : x 2 a (mod n) Για n πρώτο, ή σύνθετο με γνωστή παραγοντοποίηση Square-Root(a, n): εύρεση x : x 2 a (mod n), αν υπάρχει Για n πρώτο, ή σύνθετο με γνωστή παραγοντοποίηση
99 Δυσεπίλυτα αριθμητικά προβλήματα Χαρακτηρίζονται από την μη ύπαρξη (ως τώρα) αποδοτικού (πολυωνυμικού χρόνου) αλγορίθμου, ντετερμινιστικού ή πιθανοτικού
100 Δυσεπίλυτα αριθμητικά προβλήματα Χαρακτηρίζονται από την μη ύπαρξη (ως τώρα) αποδοτικού (πολυωνυμικού χρόνου) αλγορίθμου, ντετερμινιστικού ή πιθανοτικού Factor(n): παραγοντοποίηση του n
101 Δυσεπίλυτα αριθμητικά προβλήματα Χαρακτηρίζονται από την μη ύπαρξη (ως τώρα) αποδοτικού (πολυωνυμικού χρόνου) αλγορίθμου, ντετερμινιστικού ή πιθανοτικού Factor(n): παραγοντοποίηση του n e-th-root(c, n): εύρεση m : m e c (mod n) Γνωστό και ως RSA-Decrypt(c, n) Δύσκολο για n σύνθετο με άγνωστη παραγοντοποίηση
102 Δυσεπίλυτα αριθμητικά προβλήματα Χαρακτηρίζονται από την μη ύπαρξη (ως τώρα) αποδοτικού (πολυωνυμικού χρόνου) αλγορίθμου, ντετερμινιστικού ή πιθανοτικού Factor(n): παραγοντοποίηση του n e-th-root(c, n): εύρεση m : m e c (mod n) Γνωστό και ως RSA-Decrypt(c, n) Δύσκολο για n σύνθετο με άγνωστη παραγοντοποίηση Discrete-Log(g, a, p): εύρεση x : g x a (mod p) Δύσκολο για p πρώτο
103 Δυσεπίλυτα αριθμητικά προβλήματα Χαρακτηρίζονται από την μη ύπαρξη (ως τώρα) αποδοτικού (πολυωνυμικού χρόνου) αλγορίθμου, ντετερμινιστικού ή πιθανοτικού Factor(n): παραγοντοποίηση του n e-th-root(c, n): εύρεση m : m e c (mod n) Γνωστό και ως RSA-Decrypt(c, n) Δύσκολο για n σύνθετο με άγνωστη παραγοντοποίηση Discrete-Log(g, a, p): εύρεση x : g x a (mod p) Δύσκολο για p πρώτο Quad-Res(a, n): έλεγχος αν x : x 2 a (mod n) Δύσκολο για n σύνθετο με άγνωστη παραγοντοποίηση
104 Δυσεπίλυτα αριθμητικά προβλήματα Χαρακτηρίζονται από την μη ύπαρξη (ως τώρα) αποδοτικού (πολυωνυμικού χρόνου) αλγορίθμου, ντετερμινιστικού ή πιθανοτικού Factor(n): παραγοντοποίηση του n e-th-root(c, n): εύρεση m : m e c (mod n) Γνωστό και ως RSA-Decrypt(c, n) Δύσκολο για n σύνθετο με άγνωστη παραγοντοποίηση Discrete-Log(g, a, p): εύρεση x : g x a (mod p) Δύσκολο για p πρώτο Quad-Res(a, n): έλεγχος αν x : x 2 a (mod n) Δύσκολο για n σύνθετο με άγνωστη παραγοντοποίηση Square-Root(a, n): εύρεση x : x 2 a (mod n), αν υπάρχει Δύσκολο για n σύνθετο με άγνωστη παραγοντοποίηση
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθμών Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ 1
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθμών Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ 1
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθμών Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ 1
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθμών Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ Υπολογιστική
Διαβάστε περισσότεραΔιαιρετότητα Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία. Ακέραια διαίρεση. Διαιρετότητα. ΜΚΔ: χρήσιμες ιδιότητες
Διαιρετότητα Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθμών Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών H διαιρετότητα
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθμών Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ 1
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικές Δομές και Αριθμοθεωρία
Κεφάλαιο 9 Αλγεβρικές Δομές και Αριθμοθεωρία 9.1 Εισαγωγή Θα παρουσιάσουμε κάποια στοιχεία από Θεωρία Αριθμών και ελάχιστα από Θεωρία Ομάδων. Οι γνώσεις αυτές είναι οι ελάχιστες απαραίτητες για την κατανόηση
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Χρήστος Κούτρας Γιώργος
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. Κωνσταντίνου Ελισάβετ
Κρυπτογραφία Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ησυνάρτησηφ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n> 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο διάστημα [1, n] που
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Μαθηματικό Υπόβαθρο. 2.1 Θεωρία Αριθμών Διαιρετότητα
Κεφάλαιο 2 Μαθηματικό Υπόβαθρο Σε αυτό το κεφάλαιο Θα παρουσιάσουμε ορισμένα στοιχεία από την Θεωρία Αριθμών, την Θεωρία Ομάδων και την Θεωρία Πιθανοτήτων. Θα περιοριστούμε στις ελάχιστες γνώσεις που μας
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Δημήτριος Μπάκας Αθανάσιος
Διαβάστε περισσότερα* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p.
Θεωρια Αριθμων Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Μέρος Α: Πρώτοι Αριθμοί Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Διαιρετότητα: Διαιρετότητα, διαιρέτες, πολλαπλάσια, στοιχειώδεις ιδιότητες. Γραμμικοί Συνδυασμοί (ΓΣ). Ενότητα 2. Πρώτοι
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων. Κρυπτογραφία. Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές. Χρήστος Ξενάκης
Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Κρυπτογραφία Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές Χρήστος Ξενάκης Το σύνολο των ακεραίων Ζ = {..., -2, -1, 0, 1, 2,...} Το σύνολο των φυσικών Ν = {0, 1, 2,...}
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. Έλεγχος πρώτων αριθών-παραγοντοποίηση. Διαφάνειες: Άρης Παγουρτζής Πέτρος Ποτίκας
Κρυπτογραφία Έλεγχος πρώτων αριθών-παραγοντοποίηση Διαφάνειες: Άρης Παγουρτζής Πέτρος Ποτίκας Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ Κρυπτογραφία
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι
Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ησυνάρτησηφ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n> 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΑριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι
Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Η συνάρτηση φ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n > 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο
Διαβάστε περισσότεραa = a a Z n. a = a mod n.
Αλγεβρα Ι Χειμερινο Εξαμηνο 2017 18 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Πράξεις: Πράξεις στο σύνολο S, ο πίνακας της πράξης, αντιμεταθετικές πράξεις. Προσεταιριστικές πράξεις, το στοιχείο a 1 a 2 a n. Η πράξη «σύνθεση
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Καλογερόπουλος Παναγιώτης
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι
Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ασύμμετρα Κρυπτοσυστήματα κλειδί κρυπτογράφησης k1 Αρχικό κείμενο (m) (δημόσιο κλειδί) Αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...
KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 11: Αριθμητική υπολοίπων-δυνάμεις Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 10: Αριθμητική υπολοίπων - Κυκλικές ομάδες: Διαιρετότητα - Ευκλείδειος αλγόριθμος - Κατάλοιπα Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραs G 1 ). = R, Z 2 Z 3 = Z6. s, t G) s t = st. 1. H = G 4. [G : H] = a G ah = Ha.
Αλγεβρα ΙΙ Εαρινο Εξαμηνο 2017 18 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Ομάδες-Πηλίκο: Κρατήσαμε σταθερή μια ομάδα G με ταυτοτικό το ι και μια υποομάδα H της G. Συμβολίσαμε με G 1 το G/H (το σύνολο των αριστερών συμπλόκων
Διαβάστε περισσότερα2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r.
Κεφάλαιο 2 Θεωρία Αριθμών Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Hardy and Wright 1979 και Graham, Knuth, and Patashnik 1994. 2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί Θεώρημα 2.1 Αν
Διαβάστε περισσότεραa b b < a > < b > < a >.
Θεωρια Δακτυλιων και Modules Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Επανάληψη: Προσθετικές ομάδες, δακτύλιοι, αντιμεταθετικοί δακτύλιοι, δακτύλιοι με μοναδιαίο στοιχείο, παραδείγματα. Συμφωνήσαμε
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Ζωή Παρασκευοπούλου Νίκος
Διαβάστε περισσότερα2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ Η θεωρία αριθμών και οι αλγεβρικές δομές τα τελευταία χρόνια χρησιμοποιούνται όλο και περισσότερο στην κρυπτολογία. Αριθμο-θεωρητικοί αλγόριθμοι χρησιμοποιούνται σήμερα
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτοσύστημα RSA (Rivest, Shamir, Adlemann, 1977) Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Κρυπτογραφία Δημοσίου Κλειδιού Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Κρυπτοσύστημα
Διαβάστε περισσότεραΟικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Πληροφορικής ΠΜΣ στα Πληροφοριακά Συστήματα Κρυπτογραφία και Εφαρμογές Διαλέξεις Ακ.
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Πληροφορικής ΠΜΣ στα Πληροφοριακά Συστήματα Κρυπτογραφία και Εφαρμογές Διαλέξεις Ακ. Έτους 2011-2012 Μαριάς Ιωάννης Μαρκάκης Ευάγγελος marias@aueb.gr markakis@gmail.com
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.
Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό
Διαβάστε περισσότεραΟικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Πληροφορικής ΠΜΣ στα Πληροφοριακά Συστήματα Κρυπτογραφία και Εφαρμογές Διαλέξεις Ακ.
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Πληροφορικής ΠΜΣ στα Πληροφοριακά Συστήματα Κρυπτογραφία και Εφαρμογές Διαλέξεις Ακ. Έτους 2015-2016 Μαρκάκης Ευάγγελος markakis@aueb.gr Ντούσκας Θεόδωρος tntouskas@aueb.gr
Διαβάστε περισσότεραG 1 = G/H. I 3 = {f R : f(1) = 2f(2) ή f(1) = 3f(2)}. I 5 = {f R : f(1) = 0}.
Αλγεβρα ΙΙ, Εαρινο Εξαμηνο 2017 18 Ασκησεις που συζητηθηκαν στο φροντιστηριο Φροντιστήριο 1. 1. Δίνεται η ομάδα G = Z 4 Z 8, το στοιχείο a = (1, 2) της G, και η υποομάδα H =< a > της G. Εστω G 1 = G/H.
Διαβάστε περισσότεραΔακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 2. όπου a (4 i) (1 2 i), b i. Στη συνέχεια βρείτε κάθε τέτοιο d. b. Δείξτε ότι [ i] (4 i)
6 Δακτύλιοι και Πρότυπα 016-17 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Περιοχές κυρίων ιδεωδών. 1. Θεωρούμε το δακτύλιο [ i]. a. Βρείτε ένα d [ i] με ( a, b) d, όπου a (4 i) (1 i), b 16 1 i.
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια
Διαβάστε περισσότεραΑ Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ),
Α Δ Ι Α - Φ 4 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 15 Νοεμβρίου
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους
Διαβάστε περισσότεραΕ Μέχρι 18 Μαΐου 2015.
Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα
Διαβάστε περισσότεραιαιρετότητα Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών «Ο Αλγόριθµος της ιαίρεσης» Αριθµητική Υπολοίπων 0 r < d και a = d q +r
ιαιρετότητα Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών ο a διαιρεί τον b: συµβολισµός: a b Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς a b και a c a (b + c) a b a bc, για κάθε c Z +
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία Δημοσίου Κλειδιού
Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών και Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Κρυπτογραφία Δημοσίου Κλειδιού Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικού Mετσόβιου Πολυτεχνείου
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )
Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I
Αλγεβρικές Δομές Ι 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω G μια προσθετική ομάδα S ένα μη κενό σύνολο και M(S G το σύνολο όλων των συναρτήσεων f : S G. Δείξτε ότι το σύνολο M(S G είναι ομάδα με πράξη την πρόσθεση
Διαβάστε περισσότεραΠεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι.
Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη Τσουκνίδας Ι. 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα 5 1.1 Μάθημα 1..................................... 5 1.1.1
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Bursde a b Θα αποδείξουμε εδώ ότι κάθε ομάδα τάξης pq ( p, q πρώτοι) είναι επιλύσιμη Το θεώρημα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιμοποίησε τη νέα
Διαβάστε περισσότεραΔακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα.
Δακτύλιοι και Πρότυπα 0-7 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα Βρείτε τη ρητή κανονική μορφή και μια κανονική μορφή Jorda του M( ) 0 0 Έστω
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 9: Εσωτερική πράξη και κλάσεις ισοδυναμίας - Δομές Ισομορφισμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραβ) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1
Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Αλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 1 Εισαγωγή Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπισ τήμιο Κρήτης 19/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 1 19/2/ / 13
Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 1 Εισαγωγή Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 19/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 1 19/2/2014 1 / 13 Εισαγωγή Τι έχουμε μάθει; Στο πρώτο μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας
Διαβάστε περισσότεραbca = e. H 1j = G 2 H 5j = {f G j : f(0) = 1}
Αλγεβρα Ι, Χειμερινο Εξαμηνο 2017 18 Ασκησεις που συζητηθηκαν στο φροντιστηριο Το [Α] συμβολίζει το φυλλάδιο ασκήσεων που θα βρείτε στην ιστοσελίδα του μαθήματος επιλέγοντας «Άλλες Ασκήσεις». 1. Πόσες
Διαβάστε περισσότερατη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n
Διαβάστε περισσότεραΕ Μέχρι 31 Μαρτίου 2015.
Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου
Διαβάστε περισσότεραΒασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή )
Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις 0-4 (εκδοχή 5--04) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις Υποδείξεις/Απαντήσεις Περιεχόµενα σελίδα Ασκήσεις ιαιρετότητα στους ακέραιους, ισοτιµίες Ασκήσεις Ακέραιοι odulo, Θεώρηµα του Euler 7
Διαβάστε περισσότεραΒασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή )
Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις 05-6 (εκδοχή 8--05) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις Υποδείξεις/Απαντήσεις Περιεχόμενα σελίδα Ασκήσεις Διαιρετότητα στους ακέραιους, ισοτιμίες Ασκήσεις Ακέραιοι odulo, Θεώρημα του Euler
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 22 Μαΐου 2013 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί η γραµµική
Διαβάστε περισσότεραΜορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ
Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.
Διαβάστε περισσότεραG = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n
236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην
Διαβάστε περισσότεραΜορφές αποδείξεων. Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα. Μορφές αποδείξεων (συνέχεια) Εξαντλητική μέθοδος
Μορφές αποδείξεων Μαθηματικά Πληροφορικής ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Στο κεφάλαιο αυτό μελετάμε δακτυλίους του Art χρησιμοποιώντας το ριζικό του Jacobso. Ως εφαρμογή αποδεικνύουμε ότι κάθε δακτύλιος του Art είναι και της Noether. 4.1. Δακτύλιοι
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές
Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε
Διαβάστε περισσότεραf(t) = (1 t)a + tb. f(n) =
Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία
Διαβάστε περισσότεραΟι Φυσικοί Αριθμοί. Παρατήρηση: Δεν στρογγυλοποιούνται αριθμοί τηλεφώνων, Α.Φ.Μ., κωδικοί αριθμοί κλπ. Πρόσθεση Φυσικών αριθμών
Οι Φυσικοί Αριθμοί Γνωρίζουμε ότι οι αριθμοί είναι ποσοτικές έννοιες και για να τους γράψουμε χρησιμοποιούμε τα αριθμητικά σύμβολα. Οι αριθμοί μετρούν συγκεκριμένα πράγματα και φανερώνουν το πλήθος της
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ. Στοιχεία από την Άλγεβρα
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ Στοιχεία από την Άλγεβρα Στο Παράρτημα αυτό, το οποίο παρατίθεται για να συμβάλει στην αυτοδυναμία του βιβλίου, ο αναγνώστης θα μπορεί να προστρέχει για αρωγή σε έννοιες και αποτελέσματα που
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις Επαναληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις Επαναληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015/nt015.html Τρίτη Ιουνίου 015 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί η γραµµική
Διαβάστε περισσότεραΘεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών
Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών 5ο εξάμηνοσεμφε 2η ενότητα: Αλγοριθμικές τεχνικές, αριθμητικοί υπολογισμοί Διδάσκοντες Θεωρία: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής Εργαστήριο: Δώρα Σούλιου Βοηθός διδασκαλίας:
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Επανάληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015b/nt015b.html Πέµπτη 1 Ιανουαρίου 016 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί
Διαβάστε περισσότεραΕΥΡΕΣΗ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΚΟΙΝΟΥ ΔΙΑΙΡΕΤΗ
ΕΥΡΕΣΗ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΚΟΙΝΟΥ ΔΙΑΙΡΕΤΗ Το πρόβλημα: Δεδομένα: δύο ακέραιοι a και b Ζητούμενο: ο μέγιστος ακέραιος που διαιρεί και τους δύο δοσμένους αριθμούς, γνωστός ως Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης τους (Greatest
Διαβάστε περισσότεραΜορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ
Μαθηματικά Πληροφορικής 4ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά Προβλήματα και Αλγόριθμοι στην Κρυπτογραφία
Κεφάλαιο 4 Υπολογιστικά Προβλήματα και Αλγόριθμοι στην Κρυπτογραφία Στο κεφάλαιο αυτό θα περιγράψουμε βασικούς αλγόριθμους που σχετίζονται με έννοιες της Θεωρίας Αριθμών και έχουν άμεση εφαρμογή στην κρυπτογραφία.
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι)
Κρυπτογραφία Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι) Κρυπτοσυστήματα Δημοσίου κλειδιού Αποστολέας P Encryption C Decryption P Παραλήπτης Προτάθηκαν το 1976 Κάθε συμμετέχων στο
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uo.gr/abelga/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://stes.google.com/ste/maths4edu/home/14
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι
Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ιστορία Ασύμμετρης Κρυπτογραφίας Η αρχή έγινε το 1976 με την εργασία των Diffie-Hellman
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Αριθμών
Ε Μ Π Σ Ε Μ & Φ Ε Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Κωστής Γ Διδάσκοντες: Στάθης Ζ Άρης Π 9 Δεκεμβρίου 2011 1 Πιθανές Επιθέσεις στο RSA Υπενθύμιση
Διαβάστε περισσότεραΑριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA
Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το Κρυπτοσύστηµα RSA Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Υπολογισµός Μέγιστου Κοινού ιαιρέτη Αλγόριθµος του Ευκλείδη Κλάσεις Ισοδυναµίας και Αριθµητική modulo
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Θεωρία Sylow. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Θεωρία Sylow Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Θεωρία Sylow 21 Τα Θεωρήματα Sylow Ορισμός 211 Μια ομάδα (G, ) τάξης p α, όπου
Διαβάστε περισσότερα(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac
Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Διαιρετότητα Μαθαίνω Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α είναι όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του με όλους τους φυσικούς αριθμούς, δηλαδή οι αριθμοί: 0, α, 2 α, 3 α, 4 α,... Το μηδέν
Διαβάστε περισσότεραΟ μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια
Διαβάστε περισσότερα11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;
10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται
Διαβάστε περισσότεραF 5 = (F n, F n+1 ) = 1.
Λύσεις Θεμάτων Θεωρίας Αριθμών 1. (α) Να δειχθεί ότι ο πέμπτος αριθμός της μορφής Fermat, δηλαδή ο F 5 2 25 + 1 διαιρείται από το 641. (β) Εστω F n η ακολουθία των αριθμών Fermat, δηλαδή F n 2 2n + 1,
Διαβάστε περισσότεραf(n) = a n f(n + m) = a n+m = a n a m = f(n)f(m) f(a n ) = b n f : G 1 G 2, f(a n a m ) = f(a n+m ) = b n+m = b n b m = f(a n )f(a m )
302 14. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και Οµάδες Αυτοµορφισµών Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες ως προς τη σχέση ισοµορφίας. Ε- πίσης ϑα αποδείξουµε ένα σηµαντικό κριτήριο ισοµορφίας
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιμοποιώντας τανυστικά γινόμενα και εφαρμόζοντας το θεώρημα των Wedderbur-Art ( 33) θα αποδείξουμε δύο θεμελιώδη θεωρήματα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *
Διαβάστε περισσότεραBasik 'Algebra Tm ma Majhmatik n Panepist mio Ajhn n Aj na 2013
Basik 'Algebra Tm ma Majhmatik n Panepist mio Ajhn n Aj na 2013 Perieqìmena 1 Ακέραιοι 1 1.1 Διαιρετότητα.................................. 1 1.2 Ισοτιμίες..................................... 10 1.3
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραb. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.
Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας
Διαβάστε περισσότεραΤο Θεώρημα CHEVALLEY-WARNING
Το Θεώρημα CHEVALLEY-WARNING Ανθή Ζερβού Διδάσκων: Ιωάννης Αντωνιάδης 3/02/2015 1 ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΩΜΑΤΑ Ορισμός. Εστω Κ σώμα. Χαρακτηριστική του Κ, συμβολίζεται ch(k), είναι ο ελάχιστος φυσικός αριθμός n
Διαβάστε περισσότεραΠοιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.
Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 7
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 7 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uo.gr/abelga/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 7 εκεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Για κάθε
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισμός της δύναμης z=x b modn
Υπολογισμός της δύναμης z=x b modn 1.Γράφουμε τον εκθέτη b στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης i b = b i όπου i= 0 bi {0,1} I==0,1,,l-1.Εφαρμόζουμε έπειτα τον εξής αλγόριθμο: z=1 for I=l-1 downto 0 do z=z modn
Διαβάστε περισσότεραΜεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων
Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,
Διαβάστε περισσότεραΠαραγωγή μεγάλων πρώτων αριθμών
Παραγωγή μεγάλων πρώτων αριθμών Πώς υπολογίζουμε μεγάλους πρώτους αριθμούς? Μεγάλοι πρώτοι αριθμοί χρειάζονται στην πλειοψηφία των αλγορίθμων Δημοσίου κλειδιού Γιαναεξετάσεικανείςανέναςαριθμόςn είναι πρώτος,
Διαβάστε περισσότερα1.3 Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών 1.3. Ι Π Ι. Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι:
13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι: n N {0}, ( ) + n = = n + ( ) και ( ) + ( ) = (**) Ονομάζουμε επικεφαλής συντελεστή ενός μη μηδενικού πολυωνύμου f, τον συντελεστή f(i)
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 12+ 7 = 19 Οι αριθμοί 12 και 7 ονομάζονται ενώ το 19 ονομάζεται.. 3+5 =, 5+3 =...
Διαβάστε περισσότερα4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ
14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,
Διαβάστε περισσότερα