Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο."

Transcript

1 Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό για αβελιανές ομάδες Δηλαδή αν είναι μια αβελιανή ομάδα, τότε η πράξη της θα συμβολίζεται με,( m, m) m+ m Το ουδέτερο στοιχείο της θα συμβολίζεται με 0 ή απλά 0 Κάθε δακτύλιος περιέχει μοναδιαίο στοιχείο Το μοναδιαίο στοιχείο ενός δακτυλίου R συμβολίζεται με ή απλά Επίσης υποθέτουμε ότι R 0R, δηλαδή ότι R 0 Συνεπώς όταν θεωρούμε τους δακτυλίους Z θα υποθέτουμε ότι > Κάθε ομομορφισμός δακτυλίων διατηρεί τα μοναδιαία στοιχεία, δηλαδή αν f : R S είναι ομομορφισμός δακτυλίων, τότε πέρα από τις σχέσεις f ( r+ r) = f( r) + f( r) και f ( rr ) = f( r) f( r), όπου r, r R, ικανοποιείται και η σχέση f ( R) = S Όταν λέμε ιδεώδες ενός δακτυλίου εννοούμε αριστερό ιδεώδες, δηλαδή ένα ιδεώδες I ενός δακτυλίου R είναι ένα μη κενό σύνολο I R τέτοιο ώστε για κάθε ab, I, r Rέχουμε a b I και ra I Με N, ZQRC,,, συμβολίζουμε αντίστοιχα το σύνολο των θετικών ακεραίων, ακεραίων, ρητών, πραγματικών και μιγαδικών αριθμών Το κενό σύνολο συμβολίζεται με Ορισμός Έστω R ένας δακτύλιος Μια αβελιανή ομάδα Μ εφοδιασμένη με μια απεικόνιση R (, r m) r m ονομάζεται R- πρότυπο ή πρότυπο πάνω από το R αν ισχύουν οι εξής ι- διότητες R

2 Κεφάλαιο () r ( r m) = ( rr ) m για κάθε r, r R, m () ( r+ r) m= r m+ r m για κάθε r, r R, m () r ( m+ m) = r m+ r m για κάθε r R, m, m (v) R m= m για κάθε m Στον προηγούμενο ορισμό, θα ονομάζουμε την απεικόνιση R τον εξωτερικό πολλαπλασιασμό του R -προτύπου Μ Στα παρακάτω θα γράφουμε rm στη θέση του r m Παραδείγματα Έστω k ένα σώμα Κάθε k -διανυσματικός χώρος είναι k -πρότυπο Μάλιστα οι έννοιες k -διανυσματικός χώρος και k -πρότυπο ταυτίζονται Κάθε αβελιανή ομάδα Μ είναι Z -πρότυπο με εξωτερικό πολλαπλασιασμό Z,( r, m) rm, που ορίζεται από τη σχέση m+ + m ( rφορές), αν r > 0 rm = 0, αν r = 0 (( rm ) ), αν r < 0, όπου r Z και m Εύκολα βλέπουμε ότι οι έννοιες αβελιανή ομάδα και Z -πρότυπο ταυτίζονται 3 Κάθε ιδεώδες Ι δακτυλίου R είναι R-πρότυπο με εξωτερικό πολλαπλασιασμό R I I,( r, a) ra Ειδικά, κάθε δακτύλιος R είναι R -πρότυπο 4 Έστω Ι ένα ιδεώδες ενός δακτυλίου R Η αβελιανή ομάδα RIείναι R-πρότυπο με εξωτερικό πολλαπλασιασμό R R I R I που ορίζεται από ra ( + I) = ra+ I, όπου ar, R Η σχέση αυτή είναι καλά ορισμένη, γιατί αν a+ I = a + I και r R, τότε a a I και άρα ra ( a ) I, δηλαδή ra ra I που σημαίνει ότι ra + I = ra + I Η επαλήθευση των α- ξιωμάτων του Ορισμού είναι εύκολη 5 Έστω R ένας δακτύλιος Ο δακτύλιος R[ x ] των πολυωνύμων στη μεταβλητή x με συντελεστές από το R είναι ένα R -πρότυπο με εξωτερικό πολλαπλασιασμό R Rx [ ] Rx [ ],( r, f( x)) rf( x) 6 Έστω V ένας k -διανυσματικός χώρος, όπου το k είναι σώμα, και α :V V μια γραμμική απεικόνιση Αν f = f0+ f x+ + fx k[ x]

3 Πρότυπα 3 είναι ένα πολυώνυμο, τότε με f ( a): V V συμβολίζουμε τη γραμμική απεικόνιση f + fα + + f α, 0 V όπου : V V είναι η ταυτοτική απεικόνιση, () v = v V V, και k α : V V είναι η σύνθεση α α (k φορές) To V είναι ένα kx [ ]-πρότυπο με εξωτερικό πολλαπλασιασμό kx [ ] V V, ( f, v) fv= f( a)( v) Αφήνουμε την απόδειξη ως άσκηση 7 Έστω R ένας δακτύλιος Το σύνολο m ( R) των m πινάκων με στοιχεία από το R είναι ένα R -πρότυπο με πρόσθεση τη συνήθη πρόσθεση πινάκων και με εξωτερικό πολλαπλασιασμό R m ( R) m ( R),( r, A) ra, όπου ra = ( raj) αν A = ( a j ) 8 Θεωρούμε το δακτύλιο ( R ) των πινάκων με στοιχεία από ένα δακτύλιο R Η αβελιανή ομάδα ( ) R είναι ένα ( R) - πρότυπο με εξωτερικό πολλαπλασιασμό ( R) ( R) ( R), ( A, X) AX, όπου AX είναι το γινόμενο των πινάκων A, X 9 Έστω μια αβελιανή ομάδα και R = Ed το σύνολο των ομομορφισμών ομάδων Το R είναι ένας δακτύλιος με πρόσθεση που ορίζεται από τη σχέση ( f + g)( m) = f( m) + g( m) και πολλαπλασιασμό που ορίζεται από τη σύνθεση συναρτήσεων ( fg)( m) = f( g( m)), όπου f, g Ed, m Το γίνεται R - πρότυπο με εξωτερικό πολλαπλασιασμό R, ( f, m) f ( m ) 3 Πρόταση Έστω Μ ένα R -πρότυπο Τότε έχουμε () 0 m = R 0 για κάθε m () r 0 = 0 για κάθε r R () ( rm ) = r( m) = rmγια κάθε r R, m Απόδειξη () Έχουμε = 0 (0 + 0 ) m= 0 m 0 m+ 0 m= 0 m Από το νόμο της διαγραφής που ισχύει στην ομάδα R R R Μ παίρνουμε 0 m = 0 R R R R R R R () Έχουμε = 0 r(0 + 0 ) = r0 r0 + r0 = r0 r 0 = 0

4 4 Κεφάλαιο () Από το () παίρνουμε rm ( + ( m)) = r0 = 0 rm + r( m) = 0 και άρα r( m) = ( rm) Από το () έχουμε ( r+ ( r)) m= 0Rm= 0 rm + ( r) m = 0 Άρα ( rm ) = ( rm) Στο παρακάτω θα χρησιμοποιούμε τις σχέσεις της Πρότασης 3 χωρίς ιδιαίτερη μνεία Τονίζουμε ότι σ ένα R-πρότυπο Μ είναι δυνατό να ισχύει rm = ακόμα και αν έχουμε r 0 R και m 0 a [ ] = [ a] = [0 για κάθε [ a] Z ] Για παράδειγμα, στο Z -πρότυπο 4 Ορισμός Έστω Μ ένα R-πρότυπο Ένα υποσύνολο N ονομάζεται R-υποπρότυπο του Μ αν το Ν είναι υποομάδα της και για κάθε r R, a N έχουμε ra N Παρατηρούμε ότι αν το N είναι υποπρότυπο του, τότε το N είναι R -πρότυπο ως προς τον εξωτερικό πολλαπλασιασμό R N N,( r, a) ra, όπου R,( r, m) rm είναι ο εξωτερικός πολλαπλασιασμός του Θα χρησιμοποιούμε το συμβολισμό N για να δηλώσουμε ότι το N είναι υποπρότυπο του 5 Λήμμα Έστω Μ ένα R-πρότυπο και N ένα μη κενό υποσύνολο του Μ Τότε το Ν είναι υποπρότυπο του Μ αν και μόνο αν για κάθε ab, N, r Rέχουμε a b N και ra N Απόδειξη Έπεται άμεσα από το γεγονός ότι ένα μη κενό υποσύνολο N μιας ομάδας είναι υποομάδα αν και μόνο αν a b N για κάθε ab, N 6 Παραδείγματα Έστω R ένας δακτύλιος Τα R-υποπρότυπα του R είναι τα ιδεώδη του R Τα Z - υποπρότυπα μιας αβελιανής ομάδας είναι οι υποομάδες της 3 Έστω k ένα σώμα Τα k-υποπρότυπα ενός k-διανυσματικού χώρου είναι οι υπόχωροί του 4 Έστω R ένας δακτύλιος, ένας μη αρνητικός ακέραιος και R [ ] { ( ) [ ]deg ( ) } x = f x R x f x, όπου deg f ( x ) είναι ο βαθμός του f ( x ) (Σημείωση: δεχόμαστε ότι ο βαθμός του μηδενικού πολυ- 0 Z

5 Πρότυπα 5 ωνύμου f( x ) = 0 είναι deg f( x ) = και < για κάθε ) Τότε R [ ] [ ] x R x 5 Έστω V ένας k - διανυσματικός χώρος, όπου το k είναι σώμα, και α :V V μια γραμμική απεικόνιση Στο Παράδειγμα 6, είδαμε ότι το V είναι ένα kx [ ]-πρότυπο Ένα υποσύνολο U του V είναι kx [ ]-υποπρότυπο του V αν και μόνο αν το U είναι υπόχωρος του V τέτοιος ώστε α( U) U Πράγματι, έστω ότι το U είναι kx [ ]-υποπρότυπο του V Τότε για κάθε uu, U και r k έχουμε u u = u+ ( ) u U και V V ru = ()( r V u) U Άρα το U είναι υπόχωρος του V Επίσης, για κάθε u U έχουμε xu U, δηλαδή α( u) U Αντίστροφα, έστω ότι το U είναι υπόχωρος του V τέτοιος ώστε α( U) U Αν u U, τότε από α( u) U έπεται ότι ( rx ) u = rα ( u) U για κάθε r k και 0 Επειδή το U είναι υπόχωρος έχουμε f ( xu ) U για κάθε f ( x) k[ x] Άρα το U είναι kx [ ]-υποπρότυπο του V σύμφωνα με το Λήμμα 5 Αν το είναι R -πρότυπο, τότε το σύνολο {0 } είναι ένα υποπρότυπο του που θα το ονομάζουμε το τετριμμένο ή μηδενικό υποπρότυπο και θα το συμβολίζουμε με 0 Από το Λήμμα 5 έπεται ότι η τομή μιας μη κενής οικογένειας R- υποπροτύπων ενός R-προτύπου είναι ένα R-πρότυπο Η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση 7 Ορισμός Έστω X ένα υποσύνολο του R-προτύπου Μ Το υ- ποπρότυπο του Μ που παράγεται από το Χ είναι η τομή όλων των υποπροτύπων του Μ που περιέχουν το Χ Θα το συμβολίζουμε με ( X ) 8 Πρόταση Έστω X ένα υποσύνολο του R-προτύπου Μ Τότε ( X ) = { rx N, r R, x X} = Απόδειξη Έστω Α το δεξί μέλος της παραπάνω ισότητας Ισχύει A ( X ) Πράγματι, έστω Ν ένα υποπρότυπο του Μ που περιέχει το Χ Τότε x X x N rx N για κάθε r R Άρα rx N Συνεπώς rx ( X) Ισχύει ( X) A Πράγματι, από το Λήμμα 5 = =

6 6 Κεφάλαιο έπεται ότι το Α είναι υποπρότυπο του που περιέχει το Χ Το ( X ) ως τομή τέτοιων προτύπων θα περιέχεται στο Α Κατ αναλογία με τους διανυσματικούς χώρους, αν το X έχει την ιδιότητα ( X) =, θα λέμε ότι το X παράγει το ή ότι το παράγεται από το X ή ότι το X είναι ένα σύνολο γεννητόρων του Αν το X είναι πεπερασμένο, X = { x,, x m }, θα συμβολίζουμε το ( X ) με ( x,, x ) ή Rx + + Rx 9 Ορισμός () Ένα R-πρότυπο Μ λέγεται πεπερασμένα παραγόμενο αν υπάρχει πεπερασμένο υποσύνολο X τέτοιο ώστε ( X ) = () Ένα R-πρότυπο Μ λέγεται κυκλικό αν υπάρχει m τέτοιο ώστε = ( m) Για παράδειγμα, τα κυκλικά k-υποπρότυπα ενός μη μηδενικού k- διανυσματικού χώρου (k σώμα) είναι οι υπόχωροι διάστασης και ο τετριμμένος υπόχωρος Τα κυκλικά Z -υποπρότυπα μιας αβελιανής ομάδας είναι οι κυκλικές υποομάδες της Ένα παράδειγμα ενός Z -προτύπου που δεν είναι πεπερασμένα παραγόμενο είναι το Z [ x], τα πολυώνυμα μιας μεταβλητής με ακέραιους συντελεστές (γιατί;) Όμως το Z [ x] είναι πεπερασμένα παραγόμενο Z[ x] -πρότυπο (κάθε δακτύλιος R είναι κυκλικό πρότυπο πάνω από τον εαυτό του, R = ( R) ) Σχόλιο Όλοι οι προηγούμενοι ορισμοί γενικεύουν με φυσικό τρόπο α- ντίστοιχες έννοιες της Γραμμικής Άλγεβρας Όμως η δομή R-προτύπων είναι πιο πολύπλοκη από τη δομή k-διανυσματικών χώρων Αυτό θα γίνει φανερό στo Κεφάλαιο 3 όπου μελετάμε ελεύθερα πρότυπα Ασκήσεις Έστω R ένας δακτύλιος και μια αβελιανή ομάδα Δείξτε ότι το είναι R -πρότυπο αν και μόνο αν υπάρχει ομομορφισμός δακτυλίων R Ed Έστω R ένας μεταθετικός δακτύλιος, ένα R -πρότυπο, r R και r = { rm m } Δείξτε ότι r και αν το είναι πεπερασμένα παραγόμενο, τότε το r είναι πεπερασμένα παραγόμενο 3 Αποδείξτε ότι το Q δεν είναι πεπερασμένα παραγόμενο Z -πρότυπο

7 Πρότυπα 7 4 Έστω ϕ : R S ένας ομομορφισμός δακτυλίων και ένα S - πρότυπο a Το Μ είναι R-πρότυπο με εξωτερικό πολλαπλασιασμό R, (, rm) ϕ() rm b Αν το είναι πεπερασμένα παραγόμενο S -πρότυπο, αληθεύει ότι το είναι πεπερασμένα παραγόμενο R -πρότυπο; 5 Για = 0 θέτουμε R 0 = Z και για θέτουμε R = Z [ x,, x], όπου Z [ x,, x ] είναι ο δακτύλιος των πολυωνύμων με ακεραίους συντελεστές στις μεταβλητές x,, x Έστω R = R Με τις συνήθεις πράξεις πολυωνύμων, το R είναι ένας δακτύλιος που συνήθως συμβολίζεται με [ x, x,] Να βρεθεί ένα Z[ x, x,] -υποπρότυπο του Z[ x, x,] που δεν είναι πεπερασμένα παραγόμενο 6 Θεωρούμε το Z [ x] ως Z[ x] -πρότυπο Δείξτε ότι το υποπρότυπο 0 Z I = ( x,) = { xf( x) + g( x) f( x), g( x) Z [ x]} του Z [ x] δεν είναι κυκλικό Συνεπώς γενικά δεν αληθεύει ότι κάθε υποπρότυπο κυκλικού προτύπου είναι κυκλικό 7 Έστω μια μη τετριμμένη πεπερασμένη αβελιανή ομάδα Μπορεί η να γίνει Q -διανυσματικός χώρος; 8 Ένα μη μηδενικό R -πρότυπο λέγεται ανάγωγο αν πέρα από το και το τετριμμένο πρότυπο, δεν υπάρχουν άλλα υποπρότυπα του a Δείξτε ότι ένα πρότυπο είναι ανάγωγο αν και μόνο είναι παράγεται από κάθε μη μηδενικό στοιχείο του b Δείξτε ότι το Z είναι ανάγωγο Z -πρότυπο αν και μόνο να το είναι πρώτος 9 Έστω k ένα σώμα και V ένας k -διανυσματικός χώρος Δείξτε τα εξής a Το σύνολο EdkV των k -γραμμικών απεικονίσεων V V είναι δακτύλιος με πρόσθεση που ορίζεται από ( f + g)() v = f() v + g() v και πολλαπλασιασμό που ορίζεται από ( fg)( v) = f( g( v)), f, g EdkV, v V b Το V είναι ένα EdV πρότυπο με εξωτερικό πολλαπλασιασμό που ορίζεται από EdV V ( f, v) f ( v) V c Το V είναι ανάγωγο EdV -πρότυπο (βλ προηγούμενη ά- σκηση)

8 8 Κεφάλαιο 0 Έστω V ένας k -διανυσματικός χώρος, όπου το k είναι σώμα, και α :V V μια γραμμική απεικόνιση Θεωρούμε το V ως kx [ ]- πρότυπο (Παράδειγμα 6) Δείξτε ότι αν dmv <, τότε υπάρχει μη μηδενικό f ( x) k[ x] τέτοιο ώστε f( x) v= 0 για κάθε v V Μια αβελιανή ομάδα εφοδιάζεται με δομή -προτύπου αν και μόνο αν x = 0 για κάθε x Z Ομομορφισμοί Προτύπων Ορισμός Έστω Μ, Ν δυο R-πρότυπα Μια απεικόνιση ϕ : N ονομάζεται ομομορφισμός R-προτύπων (ή R-γραμμική) αν: () ϕ( m+ m ) = ϕ( m) + ϕ( m) για κάθε mm,, και () ϕ( rm) = rϕ( m) για κάθε r R, m Παραδείγματα Αν Μ, Ν είναι R-πρότυπα, η απεικόνιση m 0 N είναι ομομορφισμός R-προτύπων (που θα καλούμε μηδενικό ομομορφισμό) Η ταυτοτική απεικόνιση : m m είναι επίσης ομομορφισμός R-προτύπων Αν V και W είναι k-διανυσματικοί χώροι (k σώμα), οι ομομορφισμοί k-προτύπων V W είναι οι k-γραμμικές απεικονίσεις V W 3 Αν G και H είναι δύο αβελιανές ομάδες, οι ομομορφισμοί Z - προτύπων G H είναι οι ομομορφισμοί ομάδων G H 4 Έστω R ένας δακτύλιος και a R Η απεικόνιση R x xa R είναι ομομορφισμός R-προτύπων Αντίθετα, η απεικόνιση R x ax R γενικά δεν είναι ομομορφισμός R-προτύπων (γιατί;) Ένας ομομορφισμός R-προτύπων ϕ : N ονομάζεται επιμορφισμός (αντίστοιχα μονομορφισμός) αν ως απεικόνιση η φ είναι επί (αντίστοιχα -) Ισομορφισμός R-προτύπων είναι ένας ομομορφισμός που είναι επί και - Για παράδειγμα, αν είναι ένα κυκλικό R -πρότυπο, = ( m), τότε η απεικόνιση R, r rm, είναι επιμορφισμός Παρατήρηση Έστω ϕ : L και ψ : N ομομορφισμοί R - προτύπων Τότε η σύνθεση ψ ϕ: L N, a ψ( ϕ ( a)) είναι ομομορφισμός R -προτύπων Επίσης, αν οι ϕψ, είναι ισομορφισμοί, τότε η σύν-

9 Πρότυπα 9 θεση ψ ϕ και οι αντίστροφες απεικονίσεις ϕ : L και ψ : N των ϕ και ψ αντίστοιχα είναι ισομορφισμοί R -προτύπων Αφήνουμε τις αποδείξεις ως άσκηση Αν, N είναι R -πρότυπα τέτοια ώστε υπάρχει ισομορφισμός R - προτύπων N, θα λέμε ότι τα, N είναι ισόμορφα και θα το συμβολίζουμε αυτό με Μ Ν Έστω ϕ : N ένας ομομορφισμός R-προτύπων Παρατηρούμε ότι ϕ (0 ) = 0 αφού ϕ(0 ) = ϕ(0 + 0 ) = ϕ(0 ) + ϕ(0 ) Από τώρα N και στο εξής θα παραλείπουμε τους δείκτες από 0,0N και θα γράφουμε απλά 0 Ο πυρήνας kerϕ του ϕ είναι το σύνολο ker ϕ = { a ϕ( a) = 0} Το kerϕ είναι υποομάδα του, γιατί ϕ είναι ομομορφισμός ομάδων Επιπλέον είναι R-υποπρότυπο του Μ γιατί για κάθε r R και a kerϕ έχουμε ϕ( a) = 0 rϕ( a) = 0 ϕ( ra) = 0 ra kerϕ Εύκολα βλέπουμε ότι η εικόνα Imϕ του φ είναι R-υποπρότυπο του Ν 3 Πρόταση Έστω ϕ : N ομομορφισμός R-προτύπων Τότε ker f και Im f N ο φ είναι μονομορφισμός αν και μόνο αν ker ϕ = {0} Απόδειξη Αν ο ϕ είναι μονομορφισμός και m kerϕ, τότε από ϕ( m) = 0 = ϕ(0) παίρνουμε m = 0 Αντίστροφα, έστω ker ϕ = {0} και ϕ( m) = ϕ( m ), mm, Τότε ϕ( m m ) = 0 m m = 0 m= m 4 Παρατήρηση Αν ϕ : N είναι ομομορφισμός R-προτύπων και L N, τότε το σύνολο ϕ ( L) = { m ϕ( m) L} είναι ένα υποπρότυπο του που περιέχει το kerϕ Πράγματι, από 0 L έχουμε ker ϕ ϕ ( L) Αν ab, ϕ ( L), τότε ϕ( a), ϕ( b) L και άρα ϕ( a b) = ϕ( a) ϕ( b) L Συνεπώς a b ϕ ( L) Επίσης από ϕ( ra) = rϕ( a) L έπεται ότι ra ϕ ( L ) Έστω Μ ένα R-πρότυπο και N Θεωρώντας τα, N ως αβελιανές ομάδες, ξέρουμε ότι το πηλίκο N = { a+ N a }

10 0 Κεφάλαιο είναι αβελιανή ομάδα με πρόσθεση ( a+ N) + ( b+ N) = ( a+ b) + N Η N γίνεται R-πρότυπο με εξωτερικό πολλαπλασιασμό R N N,(, r a+ N) r( a+ N) = ra+ N Η απεικόνιση αυτή είναι καλά ορισμένη γιατί αν a+ N = a + N, τότε a a N ra ra = r( a a) N ra+ N = ra N Τώρα η επαλήθευση των ιδιοτήτων του Ορισμού είναι άμεση Το R- πρότυπο N ονομάζεται το R -πρότυπο πηλίκο του modulo N Η απεικόνιση N, m m+ N, είναι ένας επιμορφισμός προτύπων που θα ονομάζουμε φυσικό επιμορφισμό ή φυσική προβολή 5 Πρόταση Έστω Μ ένα R-πρότυπο και N Τότε κάθε υποπρότυπο του N είναι της μορφής LN, όπου N L Απόδειξη Αν ϕ : N είναι ο φυσικός επιμορφισμός και A N, τότε από την Παρατήρηση 4, το ϕ ( A) είναι ένα υποπρό- τυπο του που περιέχει το kerϕ = N Ισχύει ϕϕ ( ( A)) = A Κατ αναλογία με τους διανυσματικούς χώρους, τις αβελιανές ομάδες και τα ιδεώδη, υπάρχουν και εδώ θεωρήματα ισομορφισμών Χρειαζόμαστε έναν ορισμό Έστω Μ ένα R-πρότυπο και Α, Β υποπρότυπα του Μ Με A+ B συμβολίζουμε το υποπρότυπο του Μ που παράγεται από το υ- ποσύνολο A B Φυσικά ισχύει A+ B = { a+ b a A, b B} Παρατηρούμε ότι A A+ B και B A+ B Παράδειγμα Αν m N, και μκδ ( m, ) = d, τότε Zm+ Z= Z d Πράγματι, επειδή dm έχουμε Zm Zd Όμοια Z Zd και άρα Zm+ Z Z d Επειδή μκδ ( m, ) = d, υπάρχουν xy Z, με d = xm+ y Άρα d Zm + Z και συνεπώς Zd Zm+ Z 7 Θεώρημα (Θεωρήματα Ισομορφισμών Προτύπων) ο Έστω ϕ : N ένας ομομορφισμός R-προτύπων Τότε η απεικόνιση ϕ : kerϕ m+ ker ϕ ϕ( m) Imϕ είναι ισομορφισμός R-προτύπων ο Έστω ότι A, B είναι R-υποπρότυπα του R-προτύπου Μ Τότε υπάρχει ισομορφισμός R-προτύπων ( A+ B) A BA B 3 ο Έστω C B A R-πρότυπα Τότε υπάρχει ισομορφισμός R-προτύπων ( A C) ( B C) A B

11 Πρότυπα Απόδειξη Η ϕ είναι καλά ορισμένη γιατί αν τότε m m ker ϕ ϕ( m m ) = 0 ϕ( m) = ϕ( m ) Η ϕ είναι ομομορφισμός και m + kerϕ = m + kerϕ, R -προτύπων γιατί αν ( ) mm,, r R έχουμε ϕ ( m+ ker ϕ) + ( m + ker ϕ) = ϕ( m+ m + ker ϕ) = ( ) ϕ( m+ m ) = ϕ( m) + ϕ( m ) = ϕ m+ ker ϕ + ϕ( m + kerϕ) ( ) ϕ r( m + ker ϕ) = ϕ( rm + ker ϕ) = ϕ( rm) = rϕ( m) = rϕ( m+ ker ϕ) Η ϕ είναι - γιατί αν ϕ ( m+ ker ϕ) = ϕ( m + kerϕ), τότε ϕ( m) = ϕ( m ), οπότε m m kerϕ, δηλαδή m+ kerϕ = m + ker ϕ Τέλος, είναι σαφές από τον ορισμό ότι η ϕ είναι επί Η απεικόνιση ϕ : B ( A+ B) A, ϕ( b) = b+ A είναι επιμορφισμός R-προτύπων και ker { 0} ϕ = b B b+ A= = A B Άρα από το ο Θεώρημα Ισομορφισμών Προτύπων προκύπτει BA B ( A + B) A 3 Εφόσον C B η απεικόνιση ϕ : A C A B, ϕ( a+ C) = a+ B είναι ένας καλά ορισμένος επιμορφισμός R-προτύπων Ισχύει ker ϕ = { a+ C a+ B= B} = B C Από το ο Θεώρημα Ισομορφισμών R-προτύπων προκύπτει το ζητούμενο Έστω Μ ένα R-πρότυπο Το σύνολο A = { r R rm =0 για κάθε m } είναι ιδεώδες του R Πράγματι, () A αφού 0 A, () rs, A ( r+ s) m= rm+ sm=0 για κάθε m και άρα r+ s A, και () x R, r A ( xr) m= x( rm) = 0 για κάθε m και άρα xr A Το ιδεώδες A ονομάζεται ο μηδενιστής (ή η τάξη) του Μ Για παράδειγμα, αν το V είναι ένας μη τετριμμένος -διανυσματικός χώρος, τότε AV = 0 Για το Z -πρότυπο k { } Z Z { } Z ισχύει A Z = Z Για το Z -πρότυπο ισχύει A [0] Αν m, θέτουμε A( m) = { r R rm = 0} Το A( m ) είναι ιδεώδες του R που ονομάζεται ο μηδενιστής (ή η τάξη) του m Παρατηρούμε ότι A = A( m) Σημειώνουμε ότι αν ο R δεν είναι με- m =

12 Κεφάλαιο ταθετικός, ενδέχεται να ισχύει A( m) A(( m)), όπου A(( m )) είναι ο μηδενιστής του κυκλικού προτύπου ( m), βλ Άσκηση 4 Η επόμενη πρόταση μας πληροφορεί ότι πάνω από μεταθετικούς δακτυλίους, κυκλικά πρότυπα καθορίζονται από τους μηδενιστές τους 8 Πρόταση Έστω R ένας μεταθετικός δακτύλιος και ένα R - πρότυπο Τότε το είναι κυκλικό αν και μόνο αν RA Επιπλέον, δυο κυκλικά R -πρότυπα, N είναι ισόμορφα αν και μόνο αν A = AN Απόδειξη Έστω ότι το είναι κυκλικό, = ( m) Η απεικόνιση R, r rm είναι ένας επιμομορφισμός R -προτύπων και ο πυρήνας είναι το { r R rm= 0} = A( m) που ισούται με το A (γιατί ο ο είναι μεταθετικός) Από το Θεώρημα Ισομορφισμών Προτύπων υπάρχει ισομορφισμος προτύπων RA Αντίστροφα, αν RA, τότε το είναι κυκλικό αφού το R A παράγεται από το στοιχείο + A Έστω ότι τα πρότυπα, N είναι κυκλικά Αν A = A, τότε R A = R AN N Αντίστροφα, αν N, τότε έχουμε A = AN σύμφωνα με την Άσκηση R Ασκήσεις Αν τα R -πρότυπα, N είναι ισόμορφα, τότε A = AN Αληθεύει το αντίστροφο; Δείξτε ότι αν f : N ένας ομομορφισμός R προτύπων, όπου το είναι κυκλικό, = ( m), τότε ο f καθορίζεται από την εικόνα f ( m ) Να βρεθούν οι ομομορφισμοί -προτύπων, οι ισoμομορφισμοί -προτύπων, οι ομομορφισμοί Z - προτύπων Z Z 3 Έστω R μια περιοχή r R, r 0, και a Δείξτε ότι η απεικόνιση R Rr, x xr, είναι επιμορφισμός R -προτύπων b Δείξτε ότι υπάρχει ισομορφισμός R -προτύπων R Rr Rr Rr +

13 Πρότυπα 3 4 Έστω ( ) R ο δακτύλιος των πινάκων με στοιχεία από ένα δακτύλιο R Η αβελιανή ομάδα = ( R) είναι ( R) -πρότυπο (βλ Παράδειγμα 8) Έστω m = 0 a Δείξτε ότι = ( m) b Δείξτε ότι A = 0 και A( m) 0 5 Έστω ϕ : ένας ομομορφισμός R -προτύπων Δείξτε ότι ϕ ϕ ϕ σύνθεση ϕ ϕ) 6 Έστω ένα R -πρότυπο και A, BC, = ker + Im Im = Imϕ (όπου με a Δείξτε ότι A ( B+ C) A B+ A C b Αληθεύει ότι A ( B+ C) = A B+ A C; c Δείξτε ότι αν C A, τότε ( ) ϕ συμβολίζουμε τη A B+ C = A B+ C 7 Έστω ένα R -πρότυπο a Έστω N τέτοιο ώστε το N και το N είναι πεπερασμένα παραγόμενα Δείξτε ότι το είναι πεπερασμένα παραγόμενο b Έστω LN, Δείξτε ότι αν τα L+ N, L N είναι πεπερασμένα παραγόμενα, τότε και τα LN, είναι πεπερασμένα παραγόμενα 8 Έστω I ιδεώδες του R Αν είναι ένα R -πρότυπο, ορίζουμε I ως το υποπρότυπο του που παράγεται από το σύνολο { am a I, m } Τότε το I είναι RI-προτύπου με εξωτερικό πολλαπλασιασμό που ορίζεται από ( r+ I)( m+ I) = rm+ I 9 Έστω p πρώτος αριθμός και μια πεπερασμένη αβελιανή ομάδα τέτοια ώστε pm = 0 για κάθε m Δείξτε ότι η είναι - διανυσματικός χώρος και = p 0 Έστω ένα ανάγωγο R -πρότυπο (βλ Άσκηση 8) Δείξτε ότι κάθε μη μηδενικός ομομορφισμός R -προτύπων είναι ισομορφισμός Έστω k ένα σώμα και V ένας k -διανυσματικός χώρος με dmv = < V a Αν U V, δείξτε ότι dm dmv dm U U = Z p

14 4 Κεφάλαιο b Αν UW, V, δείξτε χρησιμοποιώντας το ο Θεώρημα Ισομορφισμών Προτύπων ότι dm( U + W) = dmu + dmw dm U W 3 Αθροίσματα Προτύπων Αν,, είναι R -πρότυπα, τότε το σύνολο των διατεταγμένων - άδων = {( x,, x ) x, =,, }, είναι ένα R-πρότυπο με πρόσθεση και εξωτερικό πολλαπλασιασμό που ορίζονται αντίστοιχα από τις σχέσεις ( x,, x ) + ( x,, x ) = ( x + x,, x + x ), rx (,, x) = ( rx,, rx) Θα το ονομάζουμε το εξωτερικό ευθύ άθροισμα των,, Έστω ένα R -πρότυπο και,, υποπρότυπα του Μ Θα λέμε ότι το Μ είναι το εσωτερικό ευθύ άθροισμα των,, αν κάθε m γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως άθροισμα της μορφής m= m + + m, με m για κάθε =,, Στην περίπτωση αυτή θα γράφουμε = Παρατηρούμε ότι αν είναι ένα R -πρότυπο και,, υποπρότυπα του Μ, τότε το εξωτερικό ευθύ άθροισμα των,, ορίζεται, αλλά το εσωτερικό ευθύ άθροισμα των,, ενδέχεται να μην ορίζεται Η επόμενη πρόταση παρέχει ένα κριτήριο για το εσωτερικό ευθύ άθροισμα Αν,, είναι υποπρότυπα ενός R-προτύπου Μ, με ή = + + συμβολίζουμε το R-υποπρότυπο του Μ που παράγεται από το σύνολο Παρατηρούμε ότι = { m + + m m, =,, } = 3 Πρόταση Έστω,, υποπρότυπα ενός R-προτύπου Μ Τότε = αν και μόνο αν

15 Πρότυπα 5 () = και = () για κάθε =,,, = 0 Απόδειξη Αν m και m= m + + m = m + + m με m, m, τότε j j = ( j j) j j j m m m m Τώρα αν ισχύει η συνθήκη () παίρνουμε m = m Συνεπώς, αν ισχύουν οι συνθήκες της πρότασης, έχουμε = Αντίστροφα, αν κάθε m έχει μοναδική γραφή της μορφής m= m + + m, m, τότε ισχύει προφανώς η συνθήκη () Αλλά και η συνθήκη () ισχύει, γιατί αν 0, θα είχαμε μια ισότητα της μορφής j j j m = mj, όπου m, t =,,, και m 0 Δηλαδή θα είχαμε δύο διαφορετικές παραστάσεις για το t t m Έστω ότι είναι ένα R -πρότυπο τέτοιο ώστε = Επειδή κάθε m γράφεται μοναδικά στη μορφή m= m + m,, η m απεικόνιση, m m είναι καλά ορισμένη Είναι επιμορφισμός προτύπων με πυρήνα το Από το ο Θεώρημα Ισομορφισμών Προτύπων έχουμε Με όμοιο τρόπο αποδεικνύεται η εξής πρόταση της οποίας η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση 3 Πρόταση Αν =, τότε για κάθε, όπου σημαίνει ότι παραλείπεται ο όρος Παρατήρηση στο συμβολισμό Έστω ότι,, είναι R -πρότυπα και = Θέτοντας = {(0,, m,,0 ) m }, όπου το m βρίσκεται στην συντεταγμένη, εύκολα αποδεικνύεται ότι = και επιπλέον για κάθε έχουμε Δηλαδή, το εσωτερικό ευθύ άθροισμα

16 6 Κεφάλαιο είναι ίσο με το εξωτερικό ευθύ άθροισμα και για κάθε έχουμε Λαμβάνοντας υπόψη την παρατήρηση αυτή, από τώρα και στο εξής θα χρησιμοποιούμε το συμβολισμό και για το εξωτερικό ευθύ άθροισμα (που ορίζεται πάντοτε) και για το εσωτερικό ευθύ άθροισμα (όταν ορίζεται) Από τα συμφραζόμενα μιας διατύπωσης θα είναι σαφές ποια περίπτωση ισχύει 33 Παραδείγματα Έστω m, δυο θετικοί ακέραιοι με μκδ ( m, ) = Τότε υπάρχει ισομορφισμός Z -προτύπων Z Z Z m m Πράγματι, ορίζουμε την αντιστοιχία f : Z Z Z,[ a] [ a],[ a] ( ) m m m m και παρατηρούμε ότι αυτή είναι απεικόνιση γιατί αν [ a], τότε το = [ b] m διαιρεί το a b, m a b, και επομένως ma b και a b, δηλαδή [ a] = [ b] και [ a] = [ b] Η f είναι ομομορφισμός m m Z -προτύπων αφού για κάθε [ a],[ b] Z, r Z έχουμε m m m m f ([ a] m + [ b] m ) = f ([ a+ b] m ) = ([ a+ b] m,[ a+ b] ) ([ a],[ a] ) + ([ b],[ b] ) = f ([ a] ) + f ([ b] ) m m m m και f ( r[ a] m ) = f ([ ra] m ) = ([ ra] m,[ ra] ) = r ([ a] m,[ a] ) = rf ([ a] m ) Παρατηρούμε ότι ο ομομορφισμός f είναι - γιατί αν [ a] ker f, τότε ( ) ( ) f [ a] = [0],[0] [ a] = [0], [ a] = [0] και άρα ma m m m m m m και a Επειδή μκδ ( m, ) =, παίρνουμε m a, δηλαδή [ a ] m = [0] m και συνεπώς ker f = {[0] m} Επειδή τα πεπερασμένα σύνολα Z, Z Z έχουν το αυτό πλήθος στοιχείων και η απεικόνιση f : Zm Zm Z είναι -, συμπεραίνουμε ότι η f είναι και επί Τελικά η f είναι ισομορφισμός Z -προτύπων Σημείωση Με μια εύκολη επαγωγή αποδεικνύεται ότι για κάθε N υπάρχει ισομορφισμός Z -προτύπων Z Z Z p k p k όπου k = p p k είναι η ανάλυση του σε γινόμενο πρώτων ( p,, pk είναι διακεκριμένοι πρώτοι αριθμοί) m = m m

17 Πρότυπα 7 Έστω ένα R -πρότυπο και f : ένας ομομορφισμός R - προτύπων τέτοιος ώστε f = f, όπου με f συμβολίζουμε τη σύνθεση f f Τότε = ker f Im f Πράγματι, έστω m Γράφοντας m= ( m f( m)) + f( m) παρατη- ρούμε ότι m f( m) ker f, γιατί f ( m f( m)) = f( m) f ( m) = 0, και συνεπώς ker f + Im f Άρα έχουμε = ker f + Im f Αν a ker f Im f, τότε αφενός f( a ) = 0 και αφετέρου a= f( b) για κάποιο b Άρα 0 = f ( a) = f ( b) = f( b) = a, δηλαδή ker f Im f =0 Από την Πρόταση 3 προκύπτει το ζητούμενο Ας δούμε τώρα συνοπτικά τη σχέση αθροισμάτων προτύπων με πεπερασμένα παραγόμενα πρότυπα 34 Πρόταση Έστω ένα R-πρότυπο και,, () Αν = + + και κάθε είναι πεπερασμένα παραγόμενο, τότε το Μ είναι πεπερασμένα παραγόμενο () Αν το Μ είναι πεπερασμένα παραγόμενο και N, τότε το N είναι πεπερασμένα παραγόμενο ()Αν = k και το είναι πεπερασμένα παραγόμενο, τότε κάθε είναι πεπερασμένα παραγόμενο Απόδειξη () Έστω ότι το παράγεται από το πεπερασμένο σύνολο X, =,, Τότε το Μ παράγεται από το σύνολο X X που είναι πεπερασμένο () Αν το Μ παράγεται από τα στοιχεία m,, m s, τότε το N παράγεται από τα στοιχεία m + N,, m + N () Αυτό έπεται άμεσα από το () και την Πρόταση 3 s Ένα υποπρότυπο του λέγεται ευθύς προσθετέος του αν υπάρχει τέτοιο ώστε = Στην προηγούμενη πρόταση είδαμε ότι κάθε ευθύς προσθετέος πεπερασμένα παραγόμενου προτύπου είναι πεπερασμένα παραγόμενο πρότυπο Επισημαίνουμε ότι τυχαίο υποπρότυπο πεπερασμένα παραγόμενου προτύπου δεν είναι αναγκαστικά πεπερασμένα παραγόμενο Ακολουθεί σχετικό παράδειγμα Παράδειγμα Έστω R ο δακτύλιος των συναρτήσεων R R με πρόσθεση και πολλαπλασιασμό που ορίζονται από τις σχέσεις

18 8 Κεφάλαιο ( f + g)( x) = f( x) + g( x) ( fg)( x) = f ( x) g( x), όπου f, g R, x R Ως R -πρότυπο, το R είναι πεπερασμένα παραγόμενο (πχ από τη συνάρτηση R R, x, η οποία είναι το μοναδιαίο στοιχείο του δακτυλίου R ) Θεωρούμε το σύνολο I = { f : R R N, f( x) = 0 x [, ] }, δηλαδή το σύνολο των συναρτήσεων R R που είναι μηδέν στο συμπλήρωμα κάποιου κλειστού διαστήματος της μορφής [, ] Είναι σαφές ότι το I είναι ένα R -υποπρότυπο του R Θα δείξουμε ότι το I δεν είναι πεπερασμένα παραγόμενο Έστω ότι το I είναι πεπερασμένα παραγόμενο, I = ( f,, f k ) Τότε κάθε στοιχείο του I γράφεται ως gf + + gk fk, όπου g R Υπάρχουν N με f ( x) = 0 x [, ], =,, k Επιλέγοντας = max{ }, βλέπουμε ότι κάθε f είναι μηδέν στο συμπλήρωμα του διαστήματος [, ] και άρα η συνάρτηση gf + + gk fk έχει την ιδιότητα αυτή Συνεπώς κάθε συνάρτηση στο I είναι μηδέν στο συμπλήρωμα του διαστήματος [, ] Όμως, η συνάρτηση 0, x [ ( + ), + ] R R, x, x [ ( + ), + ] ανήκει στο I αλλά δεν είναι μηδέν στο συμπλήρωμα του διαστήματος [, ], πράγμα άτοπο Ασκήσεις 3 Έστω ένα -πρότυπο και R, τέτοια ώστε Θεωρούμε το δακτύλιο { } = Δείξτε ότι αν το είναι κυκλικό, τότε τα είναι κυκλικά Δείξτε με παράδειγμα ότι το αντίστροφο δεν ισχύει Z[ ] = a+ b a, b Z (με τις συνήθεις πράξεις πραγματικών αριθμών) a Αποδείξτε ότι υπάρχει ισομορφισμός Z -προτύπων Z[ ] Z Z, αλλά δεν υπάρχει ισομορφισμός δακτυλίων Z[ ] Z Z b Βρείτε Z -υποπρότυπα, N Z[ ] τέτοια ώστε Z [ ] = N, Z, N Z και, N Z

19 Πρότυπα 9 3 Έστω R μια περιοχή Δείξτε ότι δεν υπάρχουν μη μηδενικά ιδεώδη I, J του R τέτοια ώστε R = I J 4 Αποδείξτε ότι υπάρχει ισoμορφισμός R-προτύπων ( R) R R R R, όπου ( ) R είναι το R-πρότυπο των πινάκων με στοιχεία από το R 5 Έστω A, BCD,, R -πρότυπα Δείξτε ότι αν A C και B D, τότε A B C D 6 Έστω ένα R -πρότυπο, r R ένα αντιστρέψιμο στοιχείο και ϕ : ένας ομομορφισμός R -προτύπων για τον οποίο ισχύει ϕ = rϕ Αποδείξτε ότι = kerϕ Imϕ 3 7 Θεωρούμε τη γραμμική απεικόνιση ϕ : 3 που, ως προς τη συ νήθη βάση του, έχει πίνακα τον 6 Αποδείξτε ότι 9 3 = kerϕ Imϕ με δυο διαφορετικούς τρόπους α) χρησιμοποιώντας την προηγούμενη άσκηση β) χρησιμοποιώντας την έννοια των διαγωνίσιμων πινάκων από τη Γραμμική Άλγεβρα 8 Έστω R ένας μεταθετικός δακτύλιος και ένα R -πρότυπο Αν r R, θέτουμε r = { rm m }, = { m rm =0} a Δείξτε ότι r, r r και r r b Αν, με =, δείξτε ότι r = r r και r = ( ) ( ) r r c Έστω R = Z και ab, δυο ακέραιοι τέτοιοι ώστε μκδ ( ab, ) = Αν είναι ένα Z -πρότυπο τέτοιο ώστε ab = 0, δείξτε ότι = a b 9 Έστω ένα -πρότυπο και, τέτοια ώστε R = Αν N με N = ( N ) N, δείξτε ότι 0 Έστω ένα R -πρότυπο και,, τέτοια ώστε = k Έστω N,, Nk k και N = N + + N k Αποδείξτε τα εξής a N = N N k b N = π ( ) π ( k ), όπου π : N είναι ο φυσικός επιμορφισμός c N N k Nk

20 0 Κεφάλαιο Έστω UV, δυο k - διανυσματικοί χώροι, όπου το k είναι σώμα, και α :U U, β :V V γραμμικές απεικονίσεις Θεωρούμε τα UV, ως kx [ ]-πρότυπα (Παράδειγμα 6) Δείξτε ότι U V ως kx [ ]- πρότυπα αν και μόνο αν υπάρχει ισομορφισμός διανυσματικών χώρων ϕ :U V τέτοιος ώστε α = ϕ βϕ Έστω = ( ) R η αβελιανή ομάδα των πινάκων με στοιχεία από το δακτύλιο R Με τον πολλαπλασιασμό πινάκων, το είναι ένα ( R) -πρότυπο (βλ Παράδειγμα 8) Δείξτε ότι υπάρχει ι- σομορφισμός ( R) -προτύπων ( R) ( φορές) 3 Εξετάστε αν η ακόλουθη πρόταση είναι σωστή Έστω ένα R - πρότυπο και,, τέτοια ώστε = + + Ισχύει = αν = 0 ( ) + = 0 3 ( ) + + = 0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Στο κεφάλαιο αυτό μελετάμε δακτυλίους του Art χρησιμοποιώντας το ριζικό του Jacobso. Ως εφαρμογή αποδεικνύουμε ότι κάθε δακτύλιος του Art είναι και της Noether. 4.1. Δακτύλιοι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο που θα παίξει σηµαντικό ρόλο στα επόµενα κεφάλαια.

Κεφάλαιο 1. Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο που θα παίξει σηµαντικό ρόλο στα επόµενα κεφάλαια. Κεφάαιο Πρότυπα Στο κεφάαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύιο που θα παίξει σηµαντικό ρόο στα επόµενα κεφάαια Στις σηµειώσεις αυτές όοι οι δακτύιοι περιέχουν µοναδιαίο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 3. Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος. N ( a)

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 3. Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος. N ( a) 11 Δακτύλιοι και Πρότυπα 2016-17 Ασκήσεις 3 Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα3, Ελεύθερα πρότυπα Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος 1 Δείξτε ότι το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιμοποιώντας τανυστικά γινόμενα και εφαρμόζοντας το θεώρημα των Wedderbur-Art ( 33) θα αποδείξουμε δύο θεμελιώδη θεωρήματα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 2. όπου a (4 i) (1 2 i), b i. Στη συνέχεια βρείτε κάθε τέτοιο d. b. Δείξτε ότι [ i] (4 i)

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 2. όπου a (4 i) (1 2 i), b i. Στη συνέχεια βρείτε κάθε τέτοιο d. b. Δείξτε ότι [ i] (4 i) 6 Δακτύλιοι και Πρότυπα 016-17 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Περιοχές κυρίων ιδεωδών. 1. Θεωρούμε το δακτύλιο [ i]. a. Βρείτε ένα d [ i] με ( a, b) d, όπου a (4 i) (1 i), b 16 1 i.

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή )

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή ) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις 05-6 (εκδοχή 8--05) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις Υποδείξεις/Απαντήσεις Περιεχόμενα σελίδα Ασκήσεις Διαιρετότητα στους ακέραιους, ισοτιμίες Ασκήσεις Ακέραιοι odulo, Θεώρημα του Euler

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών 1.3. Ι Π Ι. Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι:

1.3 Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών 1.3. Ι Π Ι. Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι: 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι: n N {0}, ( ) + n = = n + ( ) και ( ) + ( ) = (**) Ονομάζουμε επικεφαλής συντελεστή ενός μη μηδενικού πολυωνύμου f, τον συντελεστή f(i)

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smith (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4)

Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smith (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4) Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smh (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4 Θα δείξουμε εδώ ότι από την κανονική μορφή Smh πινάκων πάνω από περιοχή κυρίων ιδεωδών R, έπονται τα εξής Το Θεώρημα Βάσεων Το Θεώρημα Ανάλυσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Bursde a b Θα αποδείξουμε εδώ ότι κάθε ομάδα τάξης pq ( p, q πρώτοι) είναι επιλύσιμη Το θεώρημα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιμοποίησε τη νέα

Διαβάστε περισσότερα

x y x z για κάθε x, y, . Ένας δακτύλιος R καλείται μεταθετικός αν

x y x z για κάθε x, y, . Ένας δακτύλιος R καλείται μεταθετικός αν ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύιο Θα περιοριστούμε στα πέον απαραίτητα για αυτά που ακοουθούν στα άα κεφάαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιμοποιώντας τανυστικά γινόμενα και εφαρμόζοντας το θεώρημα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουμε δύο θεμελιώδη θεωρήματα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα.

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα. Δακτύλιοι και Πρότυπα 0-7 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα Βρείτε τη ρητή κανονική μορφή και μια κανονική μορφή Jorda του M( ) 0 0 Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0},

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Weddebu για ημιαπλούς δακτυλίους, αναπτύσσουμε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασμένων

Διαβάστε περισσότερα

a b b < a > < b > < a >.

a b b < a > < b > < a >. Θεωρια Δακτυλιων και Modules Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Επανάληψη: Προσθετικές ομάδες, δακτύλιοι, αντιμεταθετικοί δακτύλιοι, δακτύλιοι με μοναδιαίο στοιχείο, παραδείγματα. Συμφωνήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I

Αλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I Αλγεβρικές Δομές Ι 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω G μια προσθετική ομάδα S ένα μη κενό σύνολο και M(S G το σύνολο όλων των συναρτήσεων f : S G. Δείξτε ότι το σύνολο M(S G είναι ομάδα με πράξη την πρόσθεση

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι.

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι. Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη Τσουκνίδας Ι. 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα 5 1.1 Μάθημα 1..................................... 5 1.1.1

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015.

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Δευτέρα 13 Ιανουαρίου 2014

Α Δ Ι. Δευτέρα 13 Ιανουαρίου 2014 Α Δ Ι Α - Φ 9 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Δευτέρα 13 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις1 Πολυώνυμα. x x c. με το. b. Να βρεθούν όλες οι τιμές των a, Να βρεθεί ο μκδ και το εκπ τους

Ασκήσεις1 Πολυώνυμα. x x c. με το. b. Να βρεθούν όλες οι τιμές των a, Να βρεθεί ο μκδ και το εκπ τους Aσκήσεις1 1 Βασικά σημεία Ευκλείδεια διαίρεση πολυωνύμων Ορισμός και ιδιότητες μκδ και εκπ Ιδιότητες σχετικών πρώτων πολυωνύμων Τα ανάγωγα πολυώνυμα στο [ ] και [ ] Ασκήσεις1 Πολυώνυμα Ανάλυση πολυωνύμου

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ. Στοιχεία από την Άλγεβρα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ. Στοιχεία από την Άλγεβρα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ Στοιχεία από την Άλγεβρα Στο Παράρτημα αυτό, το οποίο παρατίθεται για να συμβάλει στην αυτοδυναμία του βιβλίου, ο αναγνώστης θα μπορεί να προστρέχει για αρωγή σε έννοιες και αποτελέσματα που

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Προκαταρκτικές Έννοιες 1.1 Δακτύλιοι,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο

Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο 0-0 Υποδείξεις/Απαντήσεις των Ασκήσεων Περιεχόμενα Ασκήσεις Πολυώνυμα Ασκήσεις Ιδιοτιμές-Ιδιοδιανύσματα 6 Ασκήσεις Διαγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις 9 Ασκήσεις4 Τριγωνίσιμες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιµοποιώντας τανυστικά γινόµενα και εφαρµόζοντας το θεώρηµα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουµε δύο θεµελιώδη θεωρήµατα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: 5. ΟΡΙΣΜΟΙ Έστω U και V δύο διανυσματικοί χώροι. Μια συνάρτηση F : U V θα λέγεται γραμμική απεικόνιση (ή ομομορφισμός, ή απλά μορφισμός εάν ικανοποιεί τις συνθήκες (i F ( u + = u + για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας

Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Δώδεκα Αποδείξεις του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Mία εκδοχή της αρχικής απόδειξης του Gauss f ( z) = T ( z) + iu ( z) T = r cos φ + Ar 1 cos(( 1) φ + α) + + L cosλ U = r si φ + Ar 1 si(( 1) φ

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2 ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 203 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ομομορφισμοί και Πηλικοδάκτυλιοι Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 14 Ο Π Ιδιαιτέρως, αν τα f(x), g(x) είναι σχετικώς

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής:

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής: Α Δ Ι Α - Φ 1 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 25 Οκτωβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 12 Ο Δ Π Μ δακτύλιο με τις πράξεις τού R και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρημα CHEVALLEY-WARNING

Το Θεώρημα CHEVALLEY-WARNING Το Θεώρημα CHEVALLEY-WARNING Ανθή Ζερβού Διδάσκων: Ιωάννης Αντωνιάδης 3/02/2015 1 ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΩΜΑΤΑ Ορισμός. Εστω Κ σώμα. Χαρακτηριστική του Κ, συμβολίζεται ch(k), είναι ο ελάχιστος φυσικός αριθμός n

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 17 Ιανουαρίου 2014

Α Δ Ι. Παρασκευή 17 Ιανουαρίου 2014 Α Δ Ι Α - Φ 10 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 17 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Για την περαιτέρω ανάπτυξη τής θεωρίας θα χρειαστούμε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις Θεωρια ακτυλιων Ασκησεις Ακαδηµαϊκο Ετος 2015-2016 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/ringtheory/ringtheory2015/ringtheory2015.html 4 εκεµβρίου 2015 2 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ),

Α Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ), Α Δ Ι Α - Φ 4 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 15 Νοεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

X = {(x 1, x 2 ) x 1 + 2x 2 = 0}.

X = {(x 1, x 2 ) x 1 + 2x 2 = 0}. Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 4 Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 26/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 4 26/2/2014 1 / 12 Υποσύνολα ενός διανυσματικού χώρου. Πότε είναι ένα υποσύνολο X ενός

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου 2013

Α Δ Ι. Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου 2013 Α Δ Ι Α - Φ 7 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 24 Ιανουαρίου 2014

Α Δ Ι. Παρασκευή 24 Ιανουαρίου 2014 Α Δ Ι Α - Φ 11 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 24 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) n = a k b n k, k. (a + b) p = a p + b p. k=0. n! k! (n k)! k =

(a + b) n = a k b n k, k. (a + b) p = a p + b p. k=0. n! k! (n k)! k = ΒΑΣΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2016 Χρήστος Α. Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με Z m το δακτύλιο των ακεραίων modulo m, με ā Z m την κλάση (mod m) του a Z και με M n (R) το δακτύλιο

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Θεωρία Sylow. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Θεωρία Sylow. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Θεωρία Sylow Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Θεωρία Sylow 21 Τα Θεωρήματα Sylow Ορισμός 211 Μια ομάδα (G, ) τάξης p α, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου GL n (R) / SL n (R)

Α Δ Ι. Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου GL n (R) / SL n (R) Α Δ Ι Α - Φ 8 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1 1 Πολυώνυμα και συσχετικός χώρος Ορισμός 3.1 Ενα μονώνυμο N στις μεταβλητές x 1, x 2,..., x n είναι ένα γινόμενο της μορφής x m 1 2...x m n n, όπου όλοι οι εκθέτες είναι φυσικοί αριθμοί. Ο βαθμός του μονωνύμου

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικός Μετασχηματισμός ή

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Μαρμαρίδης. Σημειώσεις στη. Θεωρία Δακτυλίων

Νίκος Μαρμαρίδης. Σημειώσεις στη. Θεωρία Δακτυλίων Νίκος Μαρμαρίδης Σημειώσεις στη Θεωρία Δακτυλίων Ιωάννινα 2014 Περιεχόμενα 1 Αρχικές Έννοιες Δακτυλίων 1 1.1 Δακτύλιοι................................... 1 1.2 Ομομορφισμοί Δακτυλίων..........................

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις Θεωρια ακτυλιων Ασκησεις Ακαδηµαϊκο Ετος 2016-2017 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/ringtheory/ringtheory2016/ringtheory2016.html 15 Φεβρουαρίου 2017 2 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 Κεφάλαιο 8 Κ Α Ν Ο Ν Ι Κ Ε Σ Μ Ο Ρ Φ Ε Σ 8. Διαγωνοποίηση πίνακα Ορισμός 8.α Ένας πίνακας M n ( ) oνομάζεται διαγωνοποιήσιμος στο αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P M

Διαβάστε περισσότερα

f I X i I f i X, για κάθεi I.

f I X i I f i X, για κάθεi I. 47 2 Πράξεις σε τοπολογικούς χώρους 2. Η τοπολογία γινόμενο Σε προηγούμενη παράγραφο ορίσαμε την τοπολογία γινόμενο στο καρτεσιανό γινόμενο Y δύο τοπολογικών χώρων Y, ( παράδειγμα.33 () ). Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω (, ) και (, ) {( x, ) : x και } χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται χώρος με

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πολυωνυμικοί-Κυκλικοί Κώδικες. 3.1 Πολυωνυμικοί κώδικες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πολυωνυμικοί-Κυκλικοί Κώδικες. 3.1 Πολυωνυμικοί κώδικες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Πολυωνυμικοί-Κυκλικοί Κώδικες Στα προηγούμενα ασχοληθήκαμε με τους γραμμικούς κώδικες και είδαμε πώς η δομή ενός γραμμικού κώδικα, ως διανυσματικού χώρου, καθιστά τις διαδικασίες κωδικοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικός Μετασχηματισμός ή

Διαβάστε περισσότερα

< a 42 >=< a 54 > < a 28 >=< a 36 >

< a 42 >=< a 54 > < a 28 >=< a 36 > Ασκήσεις Βασικής Άλγεβρας και Λύσεις τους 4 Δεκεμβρίου 2013 1 Ασκήσεις και Λύσεις. 2013-14 1. (αʹ Εστω m, n δύο φυσικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε M K (m, n + 5 = MK (m + 5, n = 1. Αποδείξτε ότι MK (mn, m +

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Abstract Algebra: The Basic Graduate Year: Robert B. Ash

Abstract Algebra: The Basic Graduate Year: Robert B. Ash Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 2 II Βασική άλγεβρα. Αρχικά μαθήματα 4 1 Μάθημα 1 4 1.1 Πορεία μελέτης............................ 4 1.2 Διάφορα σχόλια............................ 5 1.3 Πορεία μελέτης............................

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Όνομα συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις

Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Όνομα συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 009 Όνομα συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις ΑΜ Ημ/ία Αίθουσα 1 Σύνολο Η εξέταση αποτελείται από θέματα. Κάθε θέμα αξίζει 4 μονάδες. Το άριστα είναι μονάδες και η βάση

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Το Θεώρημα Jordan Hölder. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Το Θεώρημα Jordan Hölder. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Το Θεώρημα Jordan Hölder Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 Το Θεώρημα Jordan Hölder 31 Προκαταρκτικές Έννοιες 311 Υποορθόθετες

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z).

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z). Παράρτηµα Α 11.1 Εισαγωγή Οπως έχει αναφερθεί ήδη προοδευτικά στο δεύτερο µέρος του παρόντος συγγράµµατος χρησιµοποιούνται ϐασικές έννοιες άλγεβρας. Θεωρούµε ότι οι έννοιες αυτές είναι ήδη γνωστές από

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Παραδείγµατα:. Η ισότητα x y = x y είναι µια πράξη επί του *. 2. Η ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K =

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K = Α Δ Ι Α - Φ 5 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Φυλ. Ασκ. 5, Θεωρία Ομάδων Ασκήσεις στα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων, Θεώρημα Jordan Hölder, Συνθετικές και Κυρίαρχες Σειρές, Επιλύσιμες Ομάδες

Φυλ. Ασκ. 5, Θεωρία Ομάδων Ασκήσεις στα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων, Θεώρημα Jordan Hölder, Συνθετικές και Κυρίαρχες Σειρές, Επιλύσιμες Ομάδες Φυλ. Ασκ. 5, Θεωρία Ομάδων Ασκήσεις στα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων, Θεώρημα Jordan Hölder, Συνθετικές και Κυρίαρχες Σειρές, Επιλύσιμες Ομάδες Εσωτερικά και Εξωτερικά ευθέα Γινόμενα Α 1. Έστω η κυκλική ομάδα

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ

2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ Η θεωρία αριθμών και οι αλγεβρικές δομές τα τελευταία χρόνια χρησιμοποιούνται όλο και περισσότερο στην κρυπτολογία. Αριθμο-θεωρητικοί αλγόριθμοι χρησιμοποιούνται σήμερα

Διαβάστε περισσότερα