Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο."

Transcript

1 Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό για αβελιανές ομάδες Δηλαδή αν είναι μια αβελιανή ομάδα, τότε η πράξη της θα συμβολίζεται με,( m, m) m+ m Το ουδέτερο στοιχείο της θα συμβολίζεται με 0 ή απλά 0 Κάθε δακτύλιος περιέχει μοναδιαίο στοιχείο Το μοναδιαίο στοιχείο ενός δακτυλίου R συμβολίζεται με ή απλά Επίσης υποθέτουμε ότι R 0R, δηλαδή ότι R 0 Συνεπώς όταν θεωρούμε τους δακτυλίους Z θα υποθέτουμε ότι > Κάθε ομομορφισμός δακτυλίων διατηρεί τα μοναδιαία στοιχεία, δηλαδή αν f : R S είναι ομομορφισμός δακτυλίων, τότε πέρα από τις σχέσεις f ( r+ r) = f( r) + f( r) και f ( rr ) = f( r) f( r), όπου r, r R, ικανοποιείται και η σχέση f ( R) = S Όταν λέμε ιδεώδες ενός δακτυλίου εννοούμε αριστερό ιδεώδες, δηλαδή ένα ιδεώδες I ενός δακτυλίου R είναι ένα μη κενό σύνολο I R τέτοιο ώστε για κάθε ab, I, r Rέχουμε a b I και ra I Με N, ZQRC,,, συμβολίζουμε αντίστοιχα το σύνολο των θετικών ακεραίων, ακεραίων, ρητών, πραγματικών και μιγαδικών αριθμών Το κενό σύνολο συμβολίζεται με Ορισμός Έστω R ένας δακτύλιος Μια αβελιανή ομάδα Μ εφοδιασμένη με μια απεικόνιση R (, r m) r m ονομάζεται R- πρότυπο ή πρότυπο πάνω από το R αν ισχύουν οι εξής ι- διότητες R

2 Κεφάλαιο () r ( r m) = ( rr ) m για κάθε r, r R, m () ( r+ r) m= r m+ r m για κάθε r, r R, m () r ( m+ m) = r m+ r m για κάθε r R, m, m (v) R m= m για κάθε m Στον προηγούμενο ορισμό, θα ονομάζουμε την απεικόνιση R τον εξωτερικό πολλαπλασιασμό του R -προτύπου Μ Στα παρακάτω θα γράφουμε rm στη θέση του r m Παραδείγματα Έστω k ένα σώμα Κάθε k -διανυσματικός χώρος είναι k -πρότυπο Μάλιστα οι έννοιες k -διανυσματικός χώρος και k -πρότυπο ταυτίζονται Κάθε αβελιανή ομάδα Μ είναι Z -πρότυπο με εξωτερικό πολλαπλασιασμό Z,( r, m) rm, που ορίζεται από τη σχέση m+ + m ( rφορές), αν r > 0 rm = 0, αν r = 0 (( rm ) ), αν r < 0, όπου r Z και m Εύκολα βλέπουμε ότι οι έννοιες αβελιανή ομάδα και Z -πρότυπο ταυτίζονται 3 Κάθε ιδεώδες Ι δακτυλίου R είναι R-πρότυπο με εξωτερικό πολλαπλασιασμό R I I,( r, a) ra Ειδικά, κάθε δακτύλιος R είναι R -πρότυπο 4 Έστω Ι ένα ιδεώδες ενός δακτυλίου R Η αβελιανή ομάδα RIείναι R-πρότυπο με εξωτερικό πολλαπλασιασμό R R I R I που ορίζεται από ra ( + I) = ra+ I, όπου ar, R Η σχέση αυτή είναι καλά ορισμένη, γιατί αν a+ I = a + I και r R, τότε a a I και άρα ra ( a ) I, δηλαδή ra ra I που σημαίνει ότι ra + I = ra + I Η επαλήθευση των α- ξιωμάτων του Ορισμού είναι εύκολη 5 Έστω R ένας δακτύλιος Ο δακτύλιος R[ x ] των πολυωνύμων στη μεταβλητή x με συντελεστές από το R είναι ένα R -πρότυπο με εξωτερικό πολλαπλασιασμό R Rx [ ] Rx [ ],( r, f( x)) rf( x) 6 Έστω V ένας k -διανυσματικός χώρος, όπου το k είναι σώμα, και α :V V μια γραμμική απεικόνιση Αν f = f0+ f x+ + fx k[ x]

3 Πρότυπα 3 είναι ένα πολυώνυμο, τότε με f ( a): V V συμβολίζουμε τη γραμμική απεικόνιση f + fα + + f α, 0 V όπου : V V είναι η ταυτοτική απεικόνιση, () v = v V V, και k α : V V είναι η σύνθεση α α (k φορές) To V είναι ένα kx [ ]-πρότυπο με εξωτερικό πολλαπλασιασμό kx [ ] V V, ( f, v) fv= f( a)( v) Αφήνουμε την απόδειξη ως άσκηση 7 Έστω R ένας δακτύλιος Το σύνολο m ( R) των m πινάκων με στοιχεία από το R είναι ένα R -πρότυπο με πρόσθεση τη συνήθη πρόσθεση πινάκων και με εξωτερικό πολλαπλασιασμό R m ( R) m ( R),( r, A) ra, όπου ra = ( raj) αν A = ( a j ) 8 Θεωρούμε το δακτύλιο ( R ) των πινάκων με στοιχεία από ένα δακτύλιο R Η αβελιανή ομάδα ( ) R είναι ένα ( R) - πρότυπο με εξωτερικό πολλαπλασιασμό ( R) ( R) ( R), ( A, X) AX, όπου AX είναι το γινόμενο των πινάκων A, X 9 Έστω μια αβελιανή ομάδα και R = Ed το σύνολο των ομομορφισμών ομάδων Το R είναι ένας δακτύλιος με πρόσθεση που ορίζεται από τη σχέση ( f + g)( m) = f( m) + g( m) και πολλαπλασιασμό που ορίζεται από τη σύνθεση συναρτήσεων ( fg)( m) = f( g( m)), όπου f, g Ed, m Το γίνεται R - πρότυπο με εξωτερικό πολλαπλασιασμό R, ( f, m) f ( m ) 3 Πρόταση Έστω Μ ένα R -πρότυπο Τότε έχουμε () 0 m = R 0 για κάθε m () r 0 = 0 για κάθε r R () ( rm ) = r( m) = rmγια κάθε r R, m Απόδειξη () Έχουμε = 0 (0 + 0 ) m= 0 m 0 m+ 0 m= 0 m Από το νόμο της διαγραφής που ισχύει στην ομάδα R R R Μ παίρνουμε 0 m = 0 R R R R R R R () Έχουμε = 0 r(0 + 0 ) = r0 r0 + r0 = r0 r 0 = 0

4 4 Κεφάλαιο () Από το () παίρνουμε rm ( + ( m)) = r0 = 0 rm + r( m) = 0 και άρα r( m) = ( rm) Από το () έχουμε ( r+ ( r)) m= 0Rm= 0 rm + ( r) m = 0 Άρα ( rm ) = ( rm) Στο παρακάτω θα χρησιμοποιούμε τις σχέσεις της Πρότασης 3 χωρίς ιδιαίτερη μνεία Τονίζουμε ότι σ ένα R-πρότυπο Μ είναι δυνατό να ισχύει rm = ακόμα και αν έχουμε r 0 R και m 0 a [ ] = [ a] = [0 για κάθε [ a] Z ] Για παράδειγμα, στο Z -πρότυπο 4 Ορισμός Έστω Μ ένα R-πρότυπο Ένα υποσύνολο N ονομάζεται R-υποπρότυπο του Μ αν το Ν είναι υποομάδα της και για κάθε r R, a N έχουμε ra N Παρατηρούμε ότι αν το N είναι υποπρότυπο του, τότε το N είναι R -πρότυπο ως προς τον εξωτερικό πολλαπλασιασμό R N N,( r, a) ra, όπου R,( r, m) rm είναι ο εξωτερικός πολλαπλασιασμός του Θα χρησιμοποιούμε το συμβολισμό N για να δηλώσουμε ότι το N είναι υποπρότυπο του 5 Λήμμα Έστω Μ ένα R-πρότυπο και N ένα μη κενό υποσύνολο του Μ Τότε το Ν είναι υποπρότυπο του Μ αν και μόνο αν για κάθε ab, N, r Rέχουμε a b N και ra N Απόδειξη Έπεται άμεσα από το γεγονός ότι ένα μη κενό υποσύνολο N μιας ομάδας είναι υποομάδα αν και μόνο αν a b N για κάθε ab, N 6 Παραδείγματα Έστω R ένας δακτύλιος Τα R-υποπρότυπα του R είναι τα ιδεώδη του R Τα Z - υποπρότυπα μιας αβελιανής ομάδας είναι οι υποομάδες της 3 Έστω k ένα σώμα Τα k-υποπρότυπα ενός k-διανυσματικού χώρου είναι οι υπόχωροί του 4 Έστω R ένας δακτύλιος, ένας μη αρνητικός ακέραιος και R [ ] { ( ) [ ]deg ( ) } x = f x R x f x, όπου deg f ( x ) είναι ο βαθμός του f ( x ) (Σημείωση: δεχόμαστε ότι ο βαθμός του μηδενικού πολυ- 0 Z

5 Πρότυπα 5 ωνύμου f( x ) = 0 είναι deg f( x ) = και < για κάθε ) Τότε R [ ] [ ] x R x 5 Έστω V ένας k - διανυσματικός χώρος, όπου το k είναι σώμα, και α :V V μια γραμμική απεικόνιση Στο Παράδειγμα 6, είδαμε ότι το V είναι ένα kx [ ]-πρότυπο Ένα υποσύνολο U του V είναι kx [ ]-υποπρότυπο του V αν και μόνο αν το U είναι υπόχωρος του V τέτοιος ώστε α( U) U Πράγματι, έστω ότι το U είναι kx [ ]-υποπρότυπο του V Τότε για κάθε uu, U και r k έχουμε u u = u+ ( ) u U και V V ru = ()( r V u) U Άρα το U είναι υπόχωρος του V Επίσης, για κάθε u U έχουμε xu U, δηλαδή α( u) U Αντίστροφα, έστω ότι το U είναι υπόχωρος του V τέτοιος ώστε α( U) U Αν u U, τότε από α( u) U έπεται ότι ( rx ) u = rα ( u) U για κάθε r k και 0 Επειδή το U είναι υπόχωρος έχουμε f ( xu ) U για κάθε f ( x) k[ x] Άρα το U είναι kx [ ]-υποπρότυπο του V σύμφωνα με το Λήμμα 5 Αν το είναι R -πρότυπο, τότε το σύνολο {0 } είναι ένα υποπρότυπο του που θα το ονομάζουμε το τετριμμένο ή μηδενικό υποπρότυπο και θα το συμβολίζουμε με 0 Από το Λήμμα 5 έπεται ότι η τομή μιας μη κενής οικογένειας R- υποπροτύπων ενός R-προτύπου είναι ένα R-πρότυπο Η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση 7 Ορισμός Έστω X ένα υποσύνολο του R-προτύπου Μ Το υ- ποπρότυπο του Μ που παράγεται από το Χ είναι η τομή όλων των υποπροτύπων του Μ που περιέχουν το Χ Θα το συμβολίζουμε με ( X ) 8 Πρόταση Έστω X ένα υποσύνολο του R-προτύπου Μ Τότε ( X ) = { rx N, r R, x X} = Απόδειξη Έστω Α το δεξί μέλος της παραπάνω ισότητας Ισχύει A ( X ) Πράγματι, έστω Ν ένα υποπρότυπο του Μ που περιέχει το Χ Τότε x X x N rx N για κάθε r R Άρα rx N Συνεπώς rx ( X) Ισχύει ( X) A Πράγματι, από το Λήμμα 5 = =

6 6 Κεφάλαιο έπεται ότι το Α είναι υποπρότυπο του που περιέχει το Χ Το ( X ) ως τομή τέτοιων προτύπων θα περιέχεται στο Α Κατ αναλογία με τους διανυσματικούς χώρους, αν το X έχει την ιδιότητα ( X) =, θα λέμε ότι το X παράγει το ή ότι το παράγεται από το X ή ότι το X είναι ένα σύνολο γεννητόρων του Αν το X είναι πεπερασμένο, X = { x,, x m }, θα συμβολίζουμε το ( X ) με ( x,, x ) ή Rx + + Rx 9 Ορισμός () Ένα R-πρότυπο Μ λέγεται πεπερασμένα παραγόμενο αν υπάρχει πεπερασμένο υποσύνολο X τέτοιο ώστε ( X ) = () Ένα R-πρότυπο Μ λέγεται κυκλικό αν υπάρχει m τέτοιο ώστε = ( m) Για παράδειγμα, τα κυκλικά k-υποπρότυπα ενός μη μηδενικού k- διανυσματικού χώρου (k σώμα) είναι οι υπόχωροι διάστασης και ο τετριμμένος υπόχωρος Τα κυκλικά Z -υποπρότυπα μιας αβελιανής ομάδας είναι οι κυκλικές υποομάδες της Ένα παράδειγμα ενός Z -προτύπου που δεν είναι πεπερασμένα παραγόμενο είναι το Z [ x], τα πολυώνυμα μιας μεταβλητής με ακέραιους συντελεστές (γιατί;) Όμως το Z [ x] είναι πεπερασμένα παραγόμενο Z[ x] -πρότυπο (κάθε δακτύλιος R είναι κυκλικό πρότυπο πάνω από τον εαυτό του, R = ( R) ) Σχόλιο Όλοι οι προηγούμενοι ορισμοί γενικεύουν με φυσικό τρόπο α- ντίστοιχες έννοιες της Γραμμικής Άλγεβρας Όμως η δομή R-προτύπων είναι πιο πολύπλοκη από τη δομή k-διανυσματικών χώρων Αυτό θα γίνει φανερό στo Κεφάλαιο 3 όπου μελετάμε ελεύθερα πρότυπα Ασκήσεις Έστω R ένας δακτύλιος και μια αβελιανή ομάδα Δείξτε ότι το είναι R -πρότυπο αν και μόνο αν υπάρχει ομομορφισμός δακτυλίων R Ed Έστω R ένας μεταθετικός δακτύλιος, ένα R -πρότυπο, r R και r = { rm m } Δείξτε ότι r και αν το είναι πεπερασμένα παραγόμενο, τότε το r είναι πεπερασμένα παραγόμενο 3 Αποδείξτε ότι το Q δεν είναι πεπερασμένα παραγόμενο Z -πρότυπο

7 Πρότυπα 7 4 Έστω ϕ : R S ένας ομομορφισμός δακτυλίων και ένα S - πρότυπο a Το Μ είναι R-πρότυπο με εξωτερικό πολλαπλασιασμό R, (, rm) ϕ() rm b Αν το είναι πεπερασμένα παραγόμενο S -πρότυπο, αληθεύει ότι το είναι πεπερασμένα παραγόμενο R -πρότυπο; 5 Για = 0 θέτουμε R 0 = Z και για θέτουμε R = Z [ x,, x], όπου Z [ x,, x ] είναι ο δακτύλιος των πολυωνύμων με ακεραίους συντελεστές στις μεταβλητές x,, x Έστω R = R Με τις συνήθεις πράξεις πολυωνύμων, το R είναι ένας δακτύλιος που συνήθως συμβολίζεται με [ x, x,] Να βρεθεί ένα Z[ x, x,] -υποπρότυπο του Z[ x, x,] που δεν είναι πεπερασμένα παραγόμενο 6 Θεωρούμε το Z [ x] ως Z[ x] -πρότυπο Δείξτε ότι το υποπρότυπο 0 Z I = ( x,) = { xf( x) + g( x) f( x), g( x) Z [ x]} του Z [ x] δεν είναι κυκλικό Συνεπώς γενικά δεν αληθεύει ότι κάθε υποπρότυπο κυκλικού προτύπου είναι κυκλικό 7 Έστω μια μη τετριμμένη πεπερασμένη αβελιανή ομάδα Μπορεί η να γίνει Q -διανυσματικός χώρος; 8 Ένα μη μηδενικό R -πρότυπο λέγεται ανάγωγο αν πέρα από το και το τετριμμένο πρότυπο, δεν υπάρχουν άλλα υποπρότυπα του a Δείξτε ότι ένα πρότυπο είναι ανάγωγο αν και μόνο είναι παράγεται από κάθε μη μηδενικό στοιχείο του b Δείξτε ότι το Z είναι ανάγωγο Z -πρότυπο αν και μόνο να το είναι πρώτος 9 Έστω k ένα σώμα και V ένας k -διανυσματικός χώρος Δείξτε τα εξής a Το σύνολο EdkV των k -γραμμικών απεικονίσεων V V είναι δακτύλιος με πρόσθεση που ορίζεται από ( f + g)() v = f() v + g() v και πολλαπλασιασμό που ορίζεται από ( fg)( v) = f( g( v)), f, g EdkV, v V b Το V είναι ένα EdV πρότυπο με εξωτερικό πολλαπλασιασμό που ορίζεται από EdV V ( f, v) f ( v) V c Το V είναι ανάγωγο EdV -πρότυπο (βλ προηγούμενη ά- σκηση)

8 8 Κεφάλαιο 0 Έστω V ένας k -διανυσματικός χώρος, όπου το k είναι σώμα, και α :V V μια γραμμική απεικόνιση Θεωρούμε το V ως kx [ ]- πρότυπο (Παράδειγμα 6) Δείξτε ότι αν dmv <, τότε υπάρχει μη μηδενικό f ( x) k[ x] τέτοιο ώστε f( x) v= 0 για κάθε v V Μια αβελιανή ομάδα εφοδιάζεται με δομή -προτύπου αν και μόνο αν x = 0 για κάθε x Z Ομομορφισμοί Προτύπων Ορισμός Έστω Μ, Ν δυο R-πρότυπα Μια απεικόνιση ϕ : N ονομάζεται ομομορφισμός R-προτύπων (ή R-γραμμική) αν: () ϕ( m+ m ) = ϕ( m) + ϕ( m) για κάθε mm,, και () ϕ( rm) = rϕ( m) για κάθε r R, m Παραδείγματα Αν Μ, Ν είναι R-πρότυπα, η απεικόνιση m 0 N είναι ομομορφισμός R-προτύπων (που θα καλούμε μηδενικό ομομορφισμό) Η ταυτοτική απεικόνιση : m m είναι επίσης ομομορφισμός R-προτύπων Αν V και W είναι k-διανυσματικοί χώροι (k σώμα), οι ομομορφισμοί k-προτύπων V W είναι οι k-γραμμικές απεικονίσεις V W 3 Αν G και H είναι δύο αβελιανές ομάδες, οι ομομορφισμοί Z - προτύπων G H είναι οι ομομορφισμοί ομάδων G H 4 Έστω R ένας δακτύλιος και a R Η απεικόνιση R x xa R είναι ομομορφισμός R-προτύπων Αντίθετα, η απεικόνιση R x ax R γενικά δεν είναι ομομορφισμός R-προτύπων (γιατί;) Ένας ομομορφισμός R-προτύπων ϕ : N ονομάζεται επιμορφισμός (αντίστοιχα μονομορφισμός) αν ως απεικόνιση η φ είναι επί (αντίστοιχα -) Ισομορφισμός R-προτύπων είναι ένας ομομορφισμός που είναι επί και - Για παράδειγμα, αν είναι ένα κυκλικό R -πρότυπο, = ( m), τότε η απεικόνιση R, r rm, είναι επιμορφισμός Παρατήρηση Έστω ϕ : L και ψ : N ομομορφισμοί R - προτύπων Τότε η σύνθεση ψ ϕ: L N, a ψ( ϕ ( a)) είναι ομομορφισμός R -προτύπων Επίσης, αν οι ϕψ, είναι ισομορφισμοί, τότε η σύν-

9 Πρότυπα 9 θεση ψ ϕ και οι αντίστροφες απεικονίσεις ϕ : L και ψ : N των ϕ και ψ αντίστοιχα είναι ισομορφισμοί R -προτύπων Αφήνουμε τις αποδείξεις ως άσκηση Αν, N είναι R -πρότυπα τέτοια ώστε υπάρχει ισομορφισμός R - προτύπων N, θα λέμε ότι τα, N είναι ισόμορφα και θα το συμβολίζουμε αυτό με Μ Ν Έστω ϕ : N ένας ομομορφισμός R-προτύπων Παρατηρούμε ότι ϕ (0 ) = 0 αφού ϕ(0 ) = ϕ(0 + 0 ) = ϕ(0 ) + ϕ(0 ) Από τώρα N και στο εξής θα παραλείπουμε τους δείκτες από 0,0N και θα γράφουμε απλά 0 Ο πυρήνας kerϕ του ϕ είναι το σύνολο ker ϕ = { a ϕ( a) = 0} Το kerϕ είναι υποομάδα του, γιατί ϕ είναι ομομορφισμός ομάδων Επιπλέον είναι R-υποπρότυπο του Μ γιατί για κάθε r R και a kerϕ έχουμε ϕ( a) = 0 rϕ( a) = 0 ϕ( ra) = 0 ra kerϕ Εύκολα βλέπουμε ότι η εικόνα Imϕ του φ είναι R-υποπρότυπο του Ν 3 Πρόταση Έστω ϕ : N ομομορφισμός R-προτύπων Τότε ker f και Im f N ο φ είναι μονομορφισμός αν και μόνο αν ker ϕ = {0} Απόδειξη Αν ο ϕ είναι μονομορφισμός και m kerϕ, τότε από ϕ( m) = 0 = ϕ(0) παίρνουμε m = 0 Αντίστροφα, έστω ker ϕ = {0} και ϕ( m) = ϕ( m ), mm, Τότε ϕ( m m ) = 0 m m = 0 m= m 4 Παρατήρηση Αν ϕ : N είναι ομομορφισμός R-προτύπων και L N, τότε το σύνολο ϕ ( L) = { m ϕ( m) L} είναι ένα υποπρότυπο του που περιέχει το kerϕ Πράγματι, από 0 L έχουμε ker ϕ ϕ ( L) Αν ab, ϕ ( L), τότε ϕ( a), ϕ( b) L και άρα ϕ( a b) = ϕ( a) ϕ( b) L Συνεπώς a b ϕ ( L) Επίσης από ϕ( ra) = rϕ( a) L έπεται ότι ra ϕ ( L ) Έστω Μ ένα R-πρότυπο και N Θεωρώντας τα, N ως αβελιανές ομάδες, ξέρουμε ότι το πηλίκο N = { a+ N a }

10 0 Κεφάλαιο είναι αβελιανή ομάδα με πρόσθεση ( a+ N) + ( b+ N) = ( a+ b) + N Η N γίνεται R-πρότυπο με εξωτερικό πολλαπλασιασμό R N N,(, r a+ N) r( a+ N) = ra+ N Η απεικόνιση αυτή είναι καλά ορισμένη γιατί αν a+ N = a + N, τότε a a N ra ra = r( a a) N ra+ N = ra N Τώρα η επαλήθευση των ιδιοτήτων του Ορισμού είναι άμεση Το R- πρότυπο N ονομάζεται το R -πρότυπο πηλίκο του modulo N Η απεικόνιση N, m m+ N, είναι ένας επιμορφισμός προτύπων που θα ονομάζουμε φυσικό επιμορφισμό ή φυσική προβολή 5 Πρόταση Έστω Μ ένα R-πρότυπο και N Τότε κάθε υποπρότυπο του N είναι της μορφής LN, όπου N L Απόδειξη Αν ϕ : N είναι ο φυσικός επιμορφισμός και A N, τότε από την Παρατήρηση 4, το ϕ ( A) είναι ένα υποπρό- τυπο του που περιέχει το kerϕ = N Ισχύει ϕϕ ( ( A)) = A Κατ αναλογία με τους διανυσματικούς χώρους, τις αβελιανές ομάδες και τα ιδεώδη, υπάρχουν και εδώ θεωρήματα ισομορφισμών Χρειαζόμαστε έναν ορισμό Έστω Μ ένα R-πρότυπο και Α, Β υποπρότυπα του Μ Με A+ B συμβολίζουμε το υποπρότυπο του Μ που παράγεται από το υ- ποσύνολο A B Φυσικά ισχύει A+ B = { a+ b a A, b B} Παρατηρούμε ότι A A+ B και B A+ B Παράδειγμα Αν m N, και μκδ ( m, ) = d, τότε Zm+ Z= Z d Πράγματι, επειδή dm έχουμε Zm Zd Όμοια Z Zd και άρα Zm+ Z Z d Επειδή μκδ ( m, ) = d, υπάρχουν xy Z, με d = xm+ y Άρα d Zm + Z και συνεπώς Zd Zm+ Z 7 Θεώρημα (Θεωρήματα Ισομορφισμών Προτύπων) ο Έστω ϕ : N ένας ομομορφισμός R-προτύπων Τότε η απεικόνιση ϕ : kerϕ m+ ker ϕ ϕ( m) Imϕ είναι ισομορφισμός R-προτύπων ο Έστω ότι A, B είναι R-υποπρότυπα του R-προτύπου Μ Τότε υπάρχει ισομορφισμός R-προτύπων ( A+ B) A BA B 3 ο Έστω C B A R-πρότυπα Τότε υπάρχει ισομορφισμός R-προτύπων ( A C) ( B C) A B

11 Πρότυπα Απόδειξη Η ϕ είναι καλά ορισμένη γιατί αν τότε m m ker ϕ ϕ( m m ) = 0 ϕ( m) = ϕ( m ) Η ϕ είναι ομομορφισμός και m + kerϕ = m + kerϕ, R -προτύπων γιατί αν ( ) mm,, r R έχουμε ϕ ( m+ ker ϕ) + ( m + ker ϕ) = ϕ( m+ m + ker ϕ) = ( ) ϕ( m+ m ) = ϕ( m) + ϕ( m ) = ϕ m+ ker ϕ + ϕ( m + kerϕ) ( ) ϕ r( m + ker ϕ) = ϕ( rm + ker ϕ) = ϕ( rm) = rϕ( m) = rϕ( m+ ker ϕ) Η ϕ είναι - γιατί αν ϕ ( m+ ker ϕ) = ϕ( m + kerϕ), τότε ϕ( m) = ϕ( m ), οπότε m m kerϕ, δηλαδή m+ kerϕ = m + ker ϕ Τέλος, είναι σαφές από τον ορισμό ότι η ϕ είναι επί Η απεικόνιση ϕ : B ( A+ B) A, ϕ( b) = b+ A είναι επιμορφισμός R-προτύπων και ker { 0} ϕ = b B b+ A= = A B Άρα από το ο Θεώρημα Ισομορφισμών Προτύπων προκύπτει BA B ( A + B) A 3 Εφόσον C B η απεικόνιση ϕ : A C A B, ϕ( a+ C) = a+ B είναι ένας καλά ορισμένος επιμορφισμός R-προτύπων Ισχύει ker ϕ = { a+ C a+ B= B} = B C Από το ο Θεώρημα Ισομορφισμών R-προτύπων προκύπτει το ζητούμενο Έστω Μ ένα R-πρότυπο Το σύνολο A = { r R rm =0 για κάθε m } είναι ιδεώδες του R Πράγματι, () A αφού 0 A, () rs, A ( r+ s) m= rm+ sm=0 για κάθε m και άρα r+ s A, και () x R, r A ( xr) m= x( rm) = 0 για κάθε m και άρα xr A Το ιδεώδες A ονομάζεται ο μηδενιστής (ή η τάξη) του Μ Για παράδειγμα, αν το V είναι ένας μη τετριμμένος -διανυσματικός χώρος, τότε AV = 0 Για το Z -πρότυπο k { } Z Z { } Z ισχύει A Z = Z Για το Z -πρότυπο ισχύει A [0] Αν m, θέτουμε A( m) = { r R rm = 0} Το A( m ) είναι ιδεώδες του R που ονομάζεται ο μηδενιστής (ή η τάξη) του m Παρατηρούμε ότι A = A( m) Σημειώνουμε ότι αν ο R δεν είναι με- m =

12 Κεφάλαιο ταθετικός, ενδέχεται να ισχύει A( m) A(( m)), όπου A(( m )) είναι ο μηδενιστής του κυκλικού προτύπου ( m), βλ Άσκηση 4 Η επόμενη πρόταση μας πληροφορεί ότι πάνω από μεταθετικούς δακτυλίους, κυκλικά πρότυπα καθορίζονται από τους μηδενιστές τους 8 Πρόταση Έστω R ένας μεταθετικός δακτύλιος και ένα R - πρότυπο Τότε το είναι κυκλικό αν και μόνο αν RA Επιπλέον, δυο κυκλικά R -πρότυπα, N είναι ισόμορφα αν και μόνο αν A = AN Απόδειξη Έστω ότι το είναι κυκλικό, = ( m) Η απεικόνιση R, r rm είναι ένας επιμομορφισμός R -προτύπων και ο πυρήνας είναι το { r R rm= 0} = A( m) που ισούται με το A (γιατί ο ο είναι μεταθετικός) Από το Θεώρημα Ισομορφισμών Προτύπων υπάρχει ισομορφισμος προτύπων RA Αντίστροφα, αν RA, τότε το είναι κυκλικό αφού το R A παράγεται από το στοιχείο + A Έστω ότι τα πρότυπα, N είναι κυκλικά Αν A = A, τότε R A = R AN N Αντίστροφα, αν N, τότε έχουμε A = AN σύμφωνα με την Άσκηση R Ασκήσεις Αν τα R -πρότυπα, N είναι ισόμορφα, τότε A = AN Αληθεύει το αντίστροφο; Δείξτε ότι αν f : N ένας ομομορφισμός R προτύπων, όπου το είναι κυκλικό, = ( m), τότε ο f καθορίζεται από την εικόνα f ( m ) Να βρεθούν οι ομομορφισμοί -προτύπων, οι ισoμομορφισμοί -προτύπων, οι ομομορφισμοί Z - προτύπων Z Z 3 Έστω R μια περιοχή r R, r 0, και a Δείξτε ότι η απεικόνιση R Rr, x xr, είναι επιμορφισμός R -προτύπων b Δείξτε ότι υπάρχει ισομορφισμός R -προτύπων R Rr Rr Rr +

13 Πρότυπα 3 4 Έστω ( ) R ο δακτύλιος των πινάκων με στοιχεία από ένα δακτύλιο R Η αβελιανή ομάδα = ( R) είναι ( R) -πρότυπο (βλ Παράδειγμα 8) Έστω m = 0 a Δείξτε ότι = ( m) b Δείξτε ότι A = 0 και A( m) 0 5 Έστω ϕ : ένας ομομορφισμός R -προτύπων Δείξτε ότι ϕ ϕ ϕ σύνθεση ϕ ϕ) 6 Έστω ένα R -πρότυπο και A, BC, = ker + Im Im = Imϕ (όπου με a Δείξτε ότι A ( B+ C) A B+ A C b Αληθεύει ότι A ( B+ C) = A B+ A C; c Δείξτε ότι αν C A, τότε ( ) ϕ συμβολίζουμε τη A B+ C = A B+ C 7 Έστω ένα R -πρότυπο a Έστω N τέτοιο ώστε το N και το N είναι πεπερασμένα παραγόμενα Δείξτε ότι το είναι πεπερασμένα παραγόμενο b Έστω LN, Δείξτε ότι αν τα L+ N, L N είναι πεπερασμένα παραγόμενα, τότε και τα LN, είναι πεπερασμένα παραγόμενα 8 Έστω I ιδεώδες του R Αν είναι ένα R -πρότυπο, ορίζουμε I ως το υποπρότυπο του που παράγεται από το σύνολο { am a I, m } Τότε το I είναι RI-προτύπου με εξωτερικό πολλαπλασιασμό που ορίζεται από ( r+ I)( m+ I) = rm+ I 9 Έστω p πρώτος αριθμός και μια πεπερασμένη αβελιανή ομάδα τέτοια ώστε pm = 0 για κάθε m Δείξτε ότι η είναι - διανυσματικός χώρος και = p 0 Έστω ένα ανάγωγο R -πρότυπο (βλ Άσκηση 8) Δείξτε ότι κάθε μη μηδενικός ομομορφισμός R -προτύπων είναι ισομορφισμός Έστω k ένα σώμα και V ένας k -διανυσματικός χώρος με dmv = < V a Αν U V, δείξτε ότι dm dmv dm U U = Z p

14 4 Κεφάλαιο b Αν UW, V, δείξτε χρησιμοποιώντας το ο Θεώρημα Ισομορφισμών Προτύπων ότι dm( U + W) = dmu + dmw dm U W 3 Αθροίσματα Προτύπων Αν,, είναι R -πρότυπα, τότε το σύνολο των διατεταγμένων - άδων = {( x,, x ) x, =,, }, είναι ένα R-πρότυπο με πρόσθεση και εξωτερικό πολλαπλασιασμό που ορίζονται αντίστοιχα από τις σχέσεις ( x,, x ) + ( x,, x ) = ( x + x,, x + x ), rx (,, x) = ( rx,, rx) Θα το ονομάζουμε το εξωτερικό ευθύ άθροισμα των,, Έστω ένα R -πρότυπο και,, υποπρότυπα του Μ Θα λέμε ότι το Μ είναι το εσωτερικό ευθύ άθροισμα των,, αν κάθε m γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως άθροισμα της μορφής m= m + + m, με m για κάθε =,, Στην περίπτωση αυτή θα γράφουμε = Παρατηρούμε ότι αν είναι ένα R -πρότυπο και,, υποπρότυπα του Μ, τότε το εξωτερικό ευθύ άθροισμα των,, ορίζεται, αλλά το εσωτερικό ευθύ άθροισμα των,, ενδέχεται να μην ορίζεται Η επόμενη πρόταση παρέχει ένα κριτήριο για το εσωτερικό ευθύ άθροισμα Αν,, είναι υποπρότυπα ενός R-προτύπου Μ, με ή = + + συμβολίζουμε το R-υποπρότυπο του Μ που παράγεται από το σύνολο Παρατηρούμε ότι = { m + + m m, =,, } = 3 Πρόταση Έστω,, υποπρότυπα ενός R-προτύπου Μ Τότε = αν και μόνο αν

15 Πρότυπα 5 () = και = () για κάθε =,,, = 0 Απόδειξη Αν m και m= m + + m = m + + m με m, m, τότε j j = ( j j) j j j m m m m Τώρα αν ισχύει η συνθήκη () παίρνουμε m = m Συνεπώς, αν ισχύουν οι συνθήκες της πρότασης, έχουμε = Αντίστροφα, αν κάθε m έχει μοναδική γραφή της μορφής m= m + + m, m, τότε ισχύει προφανώς η συνθήκη () Αλλά και η συνθήκη () ισχύει, γιατί αν 0, θα είχαμε μια ισότητα της μορφής j j j m = mj, όπου m, t =,,, και m 0 Δηλαδή θα είχαμε δύο διαφορετικές παραστάσεις για το t t m Έστω ότι είναι ένα R -πρότυπο τέτοιο ώστε = Επειδή κάθε m γράφεται μοναδικά στη μορφή m= m + m,, η m απεικόνιση, m m είναι καλά ορισμένη Είναι επιμορφισμός προτύπων με πυρήνα το Από το ο Θεώρημα Ισομορφισμών Προτύπων έχουμε Με όμοιο τρόπο αποδεικνύεται η εξής πρόταση της οποίας η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση 3 Πρόταση Αν =, τότε για κάθε, όπου σημαίνει ότι παραλείπεται ο όρος Παρατήρηση στο συμβολισμό Έστω ότι,, είναι R -πρότυπα και = Θέτοντας = {(0,, m,,0 ) m }, όπου το m βρίσκεται στην συντεταγμένη, εύκολα αποδεικνύεται ότι = και επιπλέον για κάθε έχουμε Δηλαδή, το εσωτερικό ευθύ άθροισμα

16 6 Κεφάλαιο είναι ίσο με το εξωτερικό ευθύ άθροισμα και για κάθε έχουμε Λαμβάνοντας υπόψη την παρατήρηση αυτή, από τώρα και στο εξής θα χρησιμοποιούμε το συμβολισμό και για το εξωτερικό ευθύ άθροισμα (που ορίζεται πάντοτε) και για το εσωτερικό ευθύ άθροισμα (όταν ορίζεται) Από τα συμφραζόμενα μιας διατύπωσης θα είναι σαφές ποια περίπτωση ισχύει 33 Παραδείγματα Έστω m, δυο θετικοί ακέραιοι με μκδ ( m, ) = Τότε υπάρχει ισομορφισμός Z -προτύπων Z Z Z m m Πράγματι, ορίζουμε την αντιστοιχία f : Z Z Z,[ a] [ a],[ a] ( ) m m m m και παρατηρούμε ότι αυτή είναι απεικόνιση γιατί αν [ a], τότε το = [ b] m διαιρεί το a b, m a b, και επομένως ma b και a b, δηλαδή [ a] = [ b] και [ a] = [ b] Η f είναι ομομορφισμός m m Z -προτύπων αφού για κάθε [ a],[ b] Z, r Z έχουμε m m m m f ([ a] m + [ b] m ) = f ([ a+ b] m ) = ([ a+ b] m,[ a+ b] ) ([ a],[ a] ) + ([ b],[ b] ) = f ([ a] ) + f ([ b] ) m m m m και f ( r[ a] m ) = f ([ ra] m ) = ([ ra] m,[ ra] ) = r ([ a] m,[ a] ) = rf ([ a] m ) Παρατηρούμε ότι ο ομομορφισμός f είναι - γιατί αν [ a] ker f, τότε ( ) ( ) f [ a] = [0],[0] [ a] = [0], [ a] = [0] και άρα ma m m m m m m και a Επειδή μκδ ( m, ) =, παίρνουμε m a, δηλαδή [ a ] m = [0] m και συνεπώς ker f = {[0] m} Επειδή τα πεπερασμένα σύνολα Z, Z Z έχουν το αυτό πλήθος στοιχείων και η απεικόνιση f : Zm Zm Z είναι -, συμπεραίνουμε ότι η f είναι και επί Τελικά η f είναι ισομορφισμός Z -προτύπων Σημείωση Με μια εύκολη επαγωγή αποδεικνύεται ότι για κάθε N υπάρχει ισομορφισμός Z -προτύπων Z Z Z p k p k όπου k = p p k είναι η ανάλυση του σε γινόμενο πρώτων ( p,, pk είναι διακεκριμένοι πρώτοι αριθμοί) m = m m

17 Πρότυπα 7 Έστω ένα R -πρότυπο και f : ένας ομομορφισμός R - προτύπων τέτοιος ώστε f = f, όπου με f συμβολίζουμε τη σύνθεση f f Τότε = ker f Im f Πράγματι, έστω m Γράφοντας m= ( m f( m)) + f( m) παρατη- ρούμε ότι m f( m) ker f, γιατί f ( m f( m)) = f( m) f ( m) = 0, και συνεπώς ker f + Im f Άρα έχουμε = ker f + Im f Αν a ker f Im f, τότε αφενός f( a ) = 0 και αφετέρου a= f( b) για κάποιο b Άρα 0 = f ( a) = f ( b) = f( b) = a, δηλαδή ker f Im f =0 Από την Πρόταση 3 προκύπτει το ζητούμενο Ας δούμε τώρα συνοπτικά τη σχέση αθροισμάτων προτύπων με πεπερασμένα παραγόμενα πρότυπα 34 Πρόταση Έστω ένα R-πρότυπο και,, () Αν = + + και κάθε είναι πεπερασμένα παραγόμενο, τότε το Μ είναι πεπερασμένα παραγόμενο () Αν το Μ είναι πεπερασμένα παραγόμενο και N, τότε το N είναι πεπερασμένα παραγόμενο ()Αν = k και το είναι πεπερασμένα παραγόμενο, τότε κάθε είναι πεπερασμένα παραγόμενο Απόδειξη () Έστω ότι το παράγεται από το πεπερασμένο σύνολο X, =,, Τότε το Μ παράγεται από το σύνολο X X που είναι πεπερασμένο () Αν το Μ παράγεται από τα στοιχεία m,, m s, τότε το N παράγεται από τα στοιχεία m + N,, m + N () Αυτό έπεται άμεσα από το () και την Πρόταση 3 s Ένα υποπρότυπο του λέγεται ευθύς προσθετέος του αν υπάρχει τέτοιο ώστε = Στην προηγούμενη πρόταση είδαμε ότι κάθε ευθύς προσθετέος πεπερασμένα παραγόμενου προτύπου είναι πεπερασμένα παραγόμενο πρότυπο Επισημαίνουμε ότι τυχαίο υποπρότυπο πεπερασμένα παραγόμενου προτύπου δεν είναι αναγκαστικά πεπερασμένα παραγόμενο Ακολουθεί σχετικό παράδειγμα Παράδειγμα Έστω R ο δακτύλιος των συναρτήσεων R R με πρόσθεση και πολλαπλασιασμό που ορίζονται από τις σχέσεις

18 8 Κεφάλαιο ( f + g)( x) = f( x) + g( x) ( fg)( x) = f ( x) g( x), όπου f, g R, x R Ως R -πρότυπο, το R είναι πεπερασμένα παραγόμενο (πχ από τη συνάρτηση R R, x, η οποία είναι το μοναδιαίο στοιχείο του δακτυλίου R ) Θεωρούμε το σύνολο I = { f : R R N, f( x) = 0 x [, ] }, δηλαδή το σύνολο των συναρτήσεων R R που είναι μηδέν στο συμπλήρωμα κάποιου κλειστού διαστήματος της μορφής [, ] Είναι σαφές ότι το I είναι ένα R -υποπρότυπο του R Θα δείξουμε ότι το I δεν είναι πεπερασμένα παραγόμενο Έστω ότι το I είναι πεπερασμένα παραγόμενο, I = ( f,, f k ) Τότε κάθε στοιχείο του I γράφεται ως gf + + gk fk, όπου g R Υπάρχουν N με f ( x) = 0 x [, ], =,, k Επιλέγοντας = max{ }, βλέπουμε ότι κάθε f είναι μηδέν στο συμπλήρωμα του διαστήματος [, ] και άρα η συνάρτηση gf + + gk fk έχει την ιδιότητα αυτή Συνεπώς κάθε συνάρτηση στο I είναι μηδέν στο συμπλήρωμα του διαστήματος [, ] Όμως, η συνάρτηση 0, x [ ( + ), + ] R R, x, x [ ( + ), + ] ανήκει στο I αλλά δεν είναι μηδέν στο συμπλήρωμα του διαστήματος [, ], πράγμα άτοπο Ασκήσεις 3 Έστω ένα -πρότυπο και R, τέτοια ώστε Θεωρούμε το δακτύλιο { } = Δείξτε ότι αν το είναι κυκλικό, τότε τα είναι κυκλικά Δείξτε με παράδειγμα ότι το αντίστροφο δεν ισχύει Z[ ] = a+ b a, b Z (με τις συνήθεις πράξεις πραγματικών αριθμών) a Αποδείξτε ότι υπάρχει ισομορφισμός Z -προτύπων Z[ ] Z Z, αλλά δεν υπάρχει ισομορφισμός δακτυλίων Z[ ] Z Z b Βρείτε Z -υποπρότυπα, N Z[ ] τέτοια ώστε Z [ ] = N, Z, N Z και, N Z

19 Πρότυπα 9 3 Έστω R μια περιοχή Δείξτε ότι δεν υπάρχουν μη μηδενικά ιδεώδη I, J του R τέτοια ώστε R = I J 4 Αποδείξτε ότι υπάρχει ισoμορφισμός R-προτύπων ( R) R R R R, όπου ( ) R είναι το R-πρότυπο των πινάκων με στοιχεία από το R 5 Έστω A, BCD,, R -πρότυπα Δείξτε ότι αν A C και B D, τότε A B C D 6 Έστω ένα R -πρότυπο, r R ένα αντιστρέψιμο στοιχείο και ϕ : ένας ομομορφισμός R -προτύπων για τον οποίο ισχύει ϕ = rϕ Αποδείξτε ότι = kerϕ Imϕ 3 7 Θεωρούμε τη γραμμική απεικόνιση ϕ : 3 που, ως προς τη συ νήθη βάση του, έχει πίνακα τον 6 Αποδείξτε ότι 9 3 = kerϕ Imϕ με δυο διαφορετικούς τρόπους α) χρησιμοποιώντας την προηγούμενη άσκηση β) χρησιμοποιώντας την έννοια των διαγωνίσιμων πινάκων από τη Γραμμική Άλγεβρα 8 Έστω R ένας μεταθετικός δακτύλιος και ένα R -πρότυπο Αν r R, θέτουμε r = { rm m }, = { m rm =0} a Δείξτε ότι r, r r και r r b Αν, με =, δείξτε ότι r = r r και r = ( ) ( ) r r c Έστω R = Z και ab, δυο ακέραιοι τέτοιοι ώστε μκδ ( ab, ) = Αν είναι ένα Z -πρότυπο τέτοιο ώστε ab = 0, δείξτε ότι = a b 9 Έστω ένα -πρότυπο και, τέτοια ώστε R = Αν N με N = ( N ) N, δείξτε ότι 0 Έστω ένα R -πρότυπο και,, τέτοια ώστε = k Έστω N,, Nk k και N = N + + N k Αποδείξτε τα εξής a N = N N k b N = π ( ) π ( k ), όπου π : N είναι ο φυσικός επιμορφισμός c N N k Nk

20 0 Κεφάλαιο Έστω UV, δυο k - διανυσματικοί χώροι, όπου το k είναι σώμα, και α :U U, β :V V γραμμικές απεικονίσεις Θεωρούμε τα UV, ως kx [ ]-πρότυπα (Παράδειγμα 6) Δείξτε ότι U V ως kx [ ]- πρότυπα αν και μόνο αν υπάρχει ισομορφισμός διανυσματικών χώρων ϕ :U V τέτοιος ώστε α = ϕ βϕ Έστω = ( ) R η αβελιανή ομάδα των πινάκων με στοιχεία από το δακτύλιο R Με τον πολλαπλασιασμό πινάκων, το είναι ένα ( R) -πρότυπο (βλ Παράδειγμα 8) Δείξτε ότι υπάρχει ι- σομορφισμός ( R) -προτύπων ( R) ( φορές) 3 Εξετάστε αν η ακόλουθη πρόταση είναι σωστή Έστω ένα R - πρότυπο και,, τέτοια ώστε = + + Ισχύει = αν = 0 ( ) + = 0 3 ( ) + + = 0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0},

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι.

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι. Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη Τσουκνίδας Ι. 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα 5 1.1 Μάθημα 1..................................... 5 1.1.1

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015.

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου 2013

Α Δ Ι. Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου 2013 Α Δ Ι Α - Φ 7 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πολυωνυμικοί-Κυκλικοί Κώδικες. 3.1 Πολυωνυμικοί κώδικες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πολυωνυμικοί-Κυκλικοί Κώδικες. 3.1 Πολυωνυμικοί κώδικες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Πολυωνυμικοί-Κυκλικοί Κώδικες Στα προηγούμενα ασχοληθήκαμε με τους γραμμικούς κώδικες και είδαμε πώς η δομή ενός γραμμικού κώδικα, ως διανυσματικού χώρου, καθιστά τις διαδικασίες κωδικοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικός Μετασχηματισμός ή

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K =

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K = Α Δ Ι Α - Φ 5 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z).

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z). Παράρτηµα Α 11.1 Εισαγωγή Οπως έχει αναφερθεί ήδη προοδευτικά στο δεύτερο µέρος του παρόντος συγγράµµατος χρησιµοποιούνται ϐασικές έννοιες άλγεβρας. Θεωρούµε ότι οι έννοιες αυτές είναι ήδη γνωστές από

Διαβάστε περισσότερα

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Παραδείγµατα:. Η ισότητα x y = x y είναι µια πράξη επί του *. 2. Η ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ

2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ Η θεωρία αριθμών και οι αλγεβρικές δομές τα τελευταία χρόνια χρησιμοποιούνται όλο και περισσότερο στην κρυπτολογία. Αριθμο-θεωρητικοί αλγόριθμοι χρησιμοποιούνται σήμερα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

(a, b) (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac, ad + bc)

(a, b) (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac, ad + bc) ΒΑΣΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Χειμερινό Εξάμηνο 2016 Ασκήσεις 1. Δείξτε ότι ο a 1 διαιρεί τον a n 1 για κάθε a Z και κάθε n N. 2. Δίνονται οι ακέραιοι a = 126 και b = 434. (α Υπολογίστε το µκδ(a, b. (β Βρείτε x, y Z

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 12 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r.

2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r. Κεφάλαιο 2 Θεωρία Αριθμών Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Hardy and Wright 1979 και Graham, Knuth, and Patashnik 1994. 2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί Θεώρημα 2.1 Αν

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος 3. Εισαγωγή 7

Πρόλογος 3. Εισαγωγή 7 Πρόλογος Η σύγχρονη Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό και ουσιαστικό κομμάτι της μαθηματικής εκπαίδευσης σε όλα τα πανεπιστήμια του κόσμου. Αυτό δεν οφείλεται μόνο στο γεγονός ότι πολλοί άλλοι κλάδοι των μαθηματικών,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Μαρίνα Χαραλαµπίδου Τµήµα Μαθηµατικών Τοµέας Αλγεβρας και Γεωµετρίας Πανεπιστηµίο Αθηνών Σεµινάριο Τοµέα Αλγεβρας και Γεωµετρίας 11/12/2012 1 / 47 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι Θ Θ Α Ε Ι Μ : https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Α Δ Ι Θ Θ Α Ε Ι Μ :  https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Α Δ Ι Θ Θ Α Ε 2013-2014 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 12 Μαρτίου 2014 19:26

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι 94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Δ Ακρίβης Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (πανεπιστημιακές παραδόσεις) ΙΩΑΝΝΙΝΑ, 2003 i Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα αποτελεί, μαζί με την Ανάλυση, το θεμέλιο των μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 6: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 5 Γραµµικες Απεικονισεις Στην άλγεβρα, και γενικότερα στα Μαθηµατικά,

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 009 Θέμα (0 μονάδες) Έστω U = (, y, z, w) = z, y = w υποσύνολο του και V ο υπόχωρος

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2)

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2) 8 Κανόνας της αλυσίδας Από τον Απειροστικό Λογισμό για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι: Αν g : I R R και f : J R R είναι συναρτήσεις ( όπου I, J ανοικτά διαστήματα ώστε, g( τότε η : I g I J

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 11: Αριθμητική υπολοίπων-δυνάμεις Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Ένας δακτύλιος είναι ένα σύνολο R εφοδιασµένο µε δύο πράξεις, + : R R και : R R R, έτσι ώστε i) ( R, + ) είναι αβελιανή οµάδα,

Ένας δακτύλιος είναι ένα σύνολο R εφοδιασµένο µε δύο πράξεις, + : R R και : R R R, έτσι ώστε i) ( R, + ) είναι αβελιανή οµάδα, ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάαιο αυτό θα ασχοηθούµε µε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύιο R Θα περιοριστούµε στα πέον απαραίτητα για αυτά που ακοουθούν στα άα κεφάαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

{x, x y, x + y z, x 2 y 3, xy 2005 z 123x 3 y 24 + z 8 πxyz y 1001 z}

{x, x y, x + y z, x 2 y 3, xy 2005 z 123x 3 y 24 + z 8 πxyz y 1001 z} ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Βάσεις Gröbner Περιεχόμενα 1 Δακτύλιοι Πολυωνύμων, ιδεώδη και αλγεβρικά σύνολα 2 1.1 Ιδεώδη-Πράξεις μεταξύ ιδεωδών....................... 2 1.2 Δακτύλιοι της Noether

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεμβρίου 007 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Δεκεμβρίου 007 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 9: Εσωτερική πράξη και κλάσεις ισοδυναμίας - Δομές Ισομορφισμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Αλγεβρικες οµες Ι. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Αλγεβρικες οµες Ι Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html 22

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 11

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 11 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 11 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 26 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Να

Διαβάστε περισσότερα