f(n) = a n f(n + m) = a n+m = a n a m = f(n)f(m) f(a n ) = b n f : G 1 G 2, f(a n a m ) = f(a n+m ) = b n+m = b n b m = f(a n )f(a m )

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "f(n) = a n f(n + m) = a n+m = a n a m = f(n)f(m) f(a n ) = b n f : G 1 G 2, f(a n a m ) = f(a n+m ) = b n+m = b n b m = f(a n )f(a m )"

Transcript

1 Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και Οµάδες Αυτοµορφισµών Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες ως προς τη σχέση ισοµορφίας. Ε- πίσης ϑα αποδείξουµε ένα σηµαντικό κριτήριο ισοµορφίας κυκλικών οµάδων. Τέλος ϑα µελετήσουµε εν συντοµία τη δοµή του συνόλου των οµοµορφισµών και ισοµορφισµών µεταξύ κυκλικών οµάδων Ταξινόµηση Απειρων Κυκλικών Οµάδων. Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες άπειρης τάξης και ϑα περιγράψουµε την κλάση ισοµορφίας τους. Θεώρηµα Κάθε άπειρη κυκλική οµάδα G είναι ισόµορφη µε την προσθετική οµάδα (Z, +) των ακεραίων. Απόδειξη. Εστω G = a = { a n G n Z }, όπου o(a) =. Ορίζουµε απεικόνιση Θα έχουµε : f : Z G, f(n) = a n f(n + m) = a n+m = a n a m = f(n)f(m) Αν f(n) = f(m), τότε a n = a m και άρα a n m = e. Επειδή o(a) =, ϑα έχουµε αναγκαστικά n m = 0 και άρα n = m. ηλαδή η f είναι 1-1. Αν x G, τότε x = a για κάποιον ακέραιο Z. Τότε f() = a = x, και εποµένως η f είναι επί. Άρα η f είναι ισοµορφισµός και εποµένως η G είναι ισόµορφη µε την (Z, +). Θεώρηµα ύο άπειρες κυκλικές οµάδες είναι ισόµορφες. Απόδειξη. Εστω G 1 = a = { a n G 1 n Z } και G 2 = b = { b m G 2 m Z } δύο άπειρες κυκλικές οµάδες. Τότε από το Θεώρηµα 14.1 οι οµάδες G 1 και G 2 είναι και οι δύο ισόµορφες µε την (Z, +) και άρα οι G 1 και G 2 είναι ισόµορφες διότι η σχέση ισοµορφίας είναι σχέση ισοδυναµίας στην συλλογή όλων των οµάδων. Τότε ιαφορετικά: Ορίζουµε απεικόνιση f : G 1 G 2, f(a n ) = b n f(a n a m ) = f(a n+m ) = b n+m = b n b m = f(a n )f(a m ) και άρα η f είναι οµοµορφισµός. Επιπλέον η f είναι ισοµορφισµός, διότι χρησιµοποιώντας την περιγραφή των συνόλων G 1 και G 2 και το γεγονός ότι οι γεννήτορες a, b έχουν άπειρη τάξη, ϑα έχουµε : f(a n ) = f(a m ) = b n = b m = n = m = a n = a m = f : 1-1 b m G 2 : f(a m ) = b m = f : επί Υπενθυµίζουµε ότι η σχέση ισοµορφίας = στο σύνολο Grp όλων των οµάδων είναι µια σχέση ισοδυναµίας και αν G είναι µια οµάδα, τότε [G] = συµβολίζει την κλάση ισοµορφίας της G. Θεώρηµα [(Z, +)] = = { G Grp G : άπειρη κυκλική }

2 303 Απόδειξη. Αν G είναι µια άπειρη κυκλική οµάδα, τότε από το Θεώρηµα 14.1, έπεται ότι G = (Z, +) και άρα G [(Z, +)] =. Αντίστροφα αν G [(Z, +)] =, τότε η G είναι ισόµορφη µε την (Z, +) και τότε η G είναι άπειρη κυκλική οµάδα διότι : έστω f : Z = G ένας ισοµορφισµός µε αντίστροφο ισοµορφισµό f 1. Θέτουµε f(1) = a. Τότε G = a, διότι έστω x G. Τότε f 1 (x) Z και άρα f 1 (x) = n. Θα έχουµε x = f(f 1 (x)) = f(n) = f(n1) = f(1) n = a n a. Εποµένως G = a και η G είναι κυκλική µε γεννήτορα το a η οποία είναι προφανώς άπειρη. Κλείνουµε την παρούσα υπο-ενότητα µε µια ενδιαφέρουσα ιδιότητα των άπειρων κυκλικών οµάδων. Πρόταση Εστω F = a µια άπειρη κυκλική οµάδα. Τότε για κάθε οµάδα G και x G, υπάρχει µοναδικός οµοµορφισµός f : F G έτσι ώστε : f(a) = x. Απόδειξη. Θεωρούµε την απεικόνιση f : F G, f(a n ) = x n Τότε η αεπικόνιση f είναι προφανλώς καλά ορισµένη και είναι οµοµορφισµός, διότι : f(a n a m ) = f(a n+m ) = x n+m = x n x m = f(a n )f(a m ). Ο οµοµορφισµός f είναι µοναδικός, διότι αν g : F G είναι ένας άλλος οµοµορφισµός µε την ιδιότητα g(a) = x, τότε g(a n ) = g(a) n = x n = f(a n ), n Z. Εποµένως f = g Ταξινόµηση Πεπερασµένων Κυκλικών Οµάδων. Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες πεπερασµένης τάξης και ϑα περιγράψουµε την κλάση ισοµορφίας κάθε κυκλικής οµάδας τάξης n, n 1. Θεώρηµα Κάθε πεπερασµένη κυκλική οµάδα τάξης n 1 είναι ισόµορφη µε την προσθετική οµάδα (Z n, +) των ακεραίων modulo n. Απόδειξη. Εστω G = a = { e, a, a 2,, a n 1}, όπου o(a) = n. Ορίζουµε απεικόνιση f : Z n G, f([] n ) = a είχνουµε ότι η f είναι καλά ορισµένη. Εστω [] n = [ ] n και εποµένως n. Ετσι = nr, για κάποιο r Z. Τότε : a = a nr = (a n ) r = e r = e = a a = e = a = a = f([] n ) = f([ ] n ) Εποµένως η f είναι καλά ορισµένη και επιπλέον η f είναι οµοµορφισµός, διότι : f([] n + [l] n ) = f([ + l] n ) = a +l = a a l = f([] n )f([l] n ) Αν f([] n ) = f([l] n ), όπου 0, l n 1, τότε a = a l και άρα a l = e. Επειδή o(a) = n, ϑα έχουµε αναγκαστικά n l και άρα [] n = [l] n. ηλαδή η f είναι 1-1. Επειδή η f είναι προφανώς επί, έπεται ότι η f είναι ισοµορφισµός και άρα η G είναι ισόµορφη µε την (Z n, +). Θεώρηµα ύο πεπερασµένες κυκλικές οµάδες ίδιας τάξης είναι ισόµορφες. Απόδειξη. Εστω G 1 = a = { e, a, a 2,, a n 1} και G 2 = b = { e, b, b 2,, b n 1} δύο κυκλικές οµάδες τάξης n. Τότε από το Θεώρηµα 14.5 οι οµάδες G 1 και G 2 είναι και οι δύο ισόµορφες µε την (Z n, +) και άρα οι G 1 και G 2 είναι ισόµορφες διότι η σχέση ισοµορφίας είναι σχέση ισοδυναµίας στην συλλογή όλων των οµάδων.

3 304 ιαφορετικά: Ορίζουµε απεικόνιση f : G 1 G 2, f(a ) = b, 0 n 1 Τότε εύκολα ϐλέπουµε ότι η f είναι ένας ισοµορφισµός οµάδων. Θα περιγραψουµε τώρα την κλάση ισοµορφίας µιας κυκλικής οµάδας τάξης n. Θεώρηµα [(Z n, +)] = = { G Grp G : κυκλική τάξης n } Απόδειξη. Αν G είναι µια πεπερασµένη κυκλική οµάδα τάξης n, τότε από το Θεώρηµα 14.5, έπεται ότι G = (Z n, +) και άρα G [(Z n, +)] =. Αντίστροφα αν G [(Z n, +)] =, τότε η G είναι ισόµορφη µε = την (Z n, +) και τότε η G είναι µια πεπερασµένη κυκλική οµάδα τάξης n, διότι : έστω f : Z n G ένας ισοµορφισµός µε αντίστροφο ισοµορφισµό f 1. Θέτουµε f([1] n ) = a. Τότε G = a, διότι έστω x G. Τότε f 1 (x) Z n και άρα f 1 (x) = [] n. Θα έχουµε x = f(f 1 (x)) = f([] n ) = f([1] n ) = f([1] n ) = a a. Εποµένως G = a και η G είναι κυκλική µε γεννήτορα το a η οποία είναι προφανώς πεπερασµένη τάξης n Κριτήριο Ισοµορφίας Κυκλικών Οµάδων. Το ακόλουθο σηµαντικό κριτήριο ισοµορφίας κυκλικών οµάδων είναι άµεση συνέπεια των παραπάνω Θεωρηµάτων. Θεώρηµα ύο κυκλικές οµάδες είναι ισόµορφες αν και µόνον αν έχουν την ίδια τάξη : Αν G 1, G 2 είναι κυκλικές οµάδες, τότε : G 1 = G2 o(g 1 ) = o(g 2 ) Απόδειξη. Αν οι οµάδες G 1 και G 2 είναι ισόµορφες, τότε ιδιαίτερα οι G 1 και G 2 έχουν την ίδια τάξη διότι υπάρχει µια 1-1 και επί απεικόνιση µεταξύ αυτών. Αντίστροφα έστω o(g 1 ) = o(g 2 ) := n. Αν n =, τότε από το Θεώρηµα 14.2, οι οµάδες G 1 και G 2 είναι ισόµορφες µε την (Z, +). Άρα και µεταξύ τους ισόµορφες. Αν n <, τότε από το Θεώρηµα 14.6, οι οµάδες G 1 και G 2 είναι ισόµορφες µε την (Z n, +), και άρα οι G 1 και G 2 είναι και µεταξύ τους ισόµορφες. Θέτοντας Z 1 = {e} να είναι η τετριµµένη οµάδα η οποία προφανώς είναι κυκλική, τα προηγούµενα αποτελέσµατα δείχνουν ότι οι κυκλικές οµάδες, «µέχρι ισοµορφισµό», είναι οι εξής : Z, και Z 1, Z 2, Z 3,, Z n, Οµάδες Οµοµορφισµών Κυκλικών Οµάδων. Στην παρούσα υπο-ενότητα ϑα µελετήσουµε ο- µοµορφισµούς µεταξύ κυκλικών οµάδων. Πρόταση Εστω G = a µια κυκλική οµάδα, και έστω f : G G µια απεικόνιση. ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (1) Η f είναι ένας ενδοµορφισµός της G. (2) Υπάρχει ακέραιος Z: g G : f(g) = g Τότε τα Απόδειξη. (2) = (1) είχνουµε ότι η απεικόνιση f(g) = g είναι οµοµορφισµός. Επειδή η G είναι αβελιανή, ϑα έχουµε : f(g 1 g 2 ) = (g 1 g 2 ) = g1g 2 = f(g 1 )f(g 2 ) και άρα η f είναι οµοµορφισµός οµάδων, δηλαδή η f είναι ένας ενδοµορφισµός της G.

4 305 (1) = (2) Εστω ότι η f είναι ενδοµορφισµός. Τότε f(a) G = a και άρα υπάρχει Z έτσι ώστε : f(a) = a. Θα δείξουµε ότι f(g) = g, g G. Θα έχουµε g = a r για κάποιο r Z. Χρησιµοποιώντας ότι η f είναι ενδοµορφισµός, ϑα έχουµε : f(g) = f(a r ) = f(a) r = (a ) r ) = a r = (a r ) = g Σηµειώνουµε ότι, η G είναι άπειρη κυκλική, τότε το Z είναι µοναδικό διότι αν f(a) = a l, τότε a = a l και άρα a l = e το οποίο σηµαίνει ότι = l διότι το a έχει άπειρη τάξη. Αν η G είναι πεπερασµένη κυκλική, µε τάξη n, τότε ϑα έχουµε αν f(a) = a l = a, τότε a l = e και άρα o(a) = n l το οποίο σηµαίνει ότι το είναι µοναδικό modulo n. Συµβολισµός Αν G και G είναι δύο οµάδες, τότε συµβολίζουµε µε Hom(G, G ) = { f : G G f : οµοµορφισµός } το σύνολο όλων των οµοµορφισµών από την G στην G. Αν G = G, τότε συµβολιζουµε µε : το σύνολο όλων των ενδοµορφισµών της G. End(G) = Hom(G, G) Σκοπός µας είναι να υπολογίσουµε την δοµή του συνόλου Hom(G, H) των οµοµορφισµών µεταξύ κυκλικών οµάδων G και H. Γενικά το σύνολο Hom(G, H) των οµοµορφισµών µεταξύ οµάδων G και H δεν έχει δοµή οµάδας. Η επόµενη Πρόταση δείχνει ότι όταν η οµάδα H είναι αβελιανή, τότε το σύνολο Hom(G, H) µπορεί να εφοδιασθεί µε δοµή οµάδας. Πρόταση Αν (G, ) και (G, ) είναι δύο οµάδες, και υποθέτουµε ότι η G είναι αβελιανή. (1) Το σύνολο Hom(G, G ) αποτελεί αβελιανή οµάδα µε πράξη : : Hom(G, G ) Hom(G, G ) Hom(G, G ), (f, g) f g : G G, (f g)(x) = f(x) g(x) (2) Το ουδέτερο στοιχείο της Hom(G, G ) είναι ο οµοµορφισµός ɛ : G G, x ɛ(x) = e G (3) Το αντίστροφο στοιχείο του οµοµορφισµού f Hom(G, G ) είναι ο οµοµορφισµός f : G G, x f(x) = f(x) 1 Απόδειξη. (1) Η πράξη είναι καλά ορισµένη, δηλαδή, f, g Hom(G, G ): f g Hom(G, G ). Πράγµατι, έστω x, y G. Τότε ϑα έχουµε : (f g)(x y) = f(x y) g(x y) = f(x) f(y) g(x) g(y) = f(x) g(x) f(y) g(y) = (f g)(x) (f g)(y) και άρα η απεικόνιση f g ανήκει στο σύνολο Hom(G, G ). (2) Προσεταιριστικότητα: Εστω f, g, h: G G. Τότε x G: (f (g h)](x) = f(x) (g h)(x) = f(x) (g(x) h(x)) = (f(x) g(x)) h(x) = ((f g)(x)) h(x) = [(f g) h](x) Εποµένως f (g h) = (f g) h και η πράξη είναι προσεταιριστική στο σύνολο Hom(G, G ). (3) Υπαρξη Ουδετέρου Στοιχείου: Εστω f : G G. Τότε x G: (f ɛ)(x) = f(x) ɛ(x) = f(x) e G = f(x) = e G f(x) = ɛ(x) f(x) = (ɛ f)(x) και άρα : f ɛ = f = ɛ f. ηλαδή ο τετριµµένος οµοµορφισµός ɛ Hom(G, G ) είναι ουδέτερο στοιχείο για την πράξη.

5 306 (4) Υπαρξη Αντιστρόφου Στοιχείου: Εστω f : G G. είχνουµε πρώτα ότι η απεικόνιση f : G G, f(x) = f(x) 1, x G, είναι οµοµορφισµός οµάδων. Πραγµατικά, χρησιµοποιώντας ότι η f είναι οµοµορφισµός και ότι η G είναι αβελιανή, ϑα έχουµε : f(x y) = f(x y) 1 = (f(x) f(y)) 1 = f(y) 1 f(x) 1 = f(x) 1 f(y) 1 = f(x) f(y) εποµένως η f είναι οµοµορφισµός οµάδων και άρα f Hom(G, G ). Επιπρόσθετα x G: (f f)(x) = f(x) f(x) = f(x) f(x) 1 = e G = ɛ(x) = e G = f(x) 1 f(x) = f(x) f(x) = ( f f)(x) και εποµένως f f = ɛ = f f. ηλαδή ο οµοµορφισµός f είναι το αντίστροφο στοιχείο του οµοµορφισµού f για την πράξη στο σύνολο Hom(G, G ). (5) Μεταθετικότητα: Εστω f, g Hom(G, G ). Τότε x G: (f g)(x) = f(x) g(x) = g(x) f(x) = (g f)(x) και εποµένως f g = g f, δηλαδή η πράξη στο σύνολο Hom(G, G ) είναι µεταθετική. Παράδειγµα Επειδή κάθε κυκλική οµάδα είναι αβελιανή, από την προηγούµενη πρόταση έπετα ότι, αν G, H είναι αβελιανές οµάδες, τότε το σύνολο Hom(G, H) αποτελεί µια αβελιανή οµάδα. Ιδιαίτερα, n, m 1, τα σύνολα : End(Z) = Hom(Z, Z), Hom(Z, Z n ), Hom(Z n, Z), Hom(Z n, Z m ) είναι αβελιανές οµάδες. Ολες οι παραπάνω οµάδες είναι προσθετικές. Ετσι η δοµή αβελιανής οµάδας σε κάθε ένα από τα παραπάνω σύνολα, όπως προκύπτει από την Πρόταση 14.11, ϑα είναι µέσω της ακόλουθης πράξης πρόσθεσης οµοµορφισµών, όπου f, g είναι οµοµορφισµοί σε κάθε ένα από τα παραπάνω τέσσερα σύνολα, και x ανήκει στο πεδίο ορισµού τους : (f + g)(x) = f(x) + g(x) Το κεντρικό αποτέλεσµα της παρούσης υπο-ενότητας είναι το ακόλουθο Θεώρηµα, το οποίο δείχνει ότι οι οµάδες οµοµορφισµών µεταξύ κυκλικών οµάδων είναι κυκλικές και επιπρόσθετα δίνει την ακριβή κλάση ισοµορφίας τους. Θεώρηµα (1) (2) (3) (4) Hom(Z, Z) G πεπερασµένη αβελιανή οµάδα, π.χ. G = Z n, = Hom(G, Z) Απόδειξη. (1) Ορίζουµε απεικονίσεις Hom(Z, Z n ) Hom(Z n, Z m ) Z Z n Z (n,m) {e} όπου Φ : Hom(Z, Z) Z, Ψ : Z Hom(Z, Z), f n : Z Z, Φ(f) = f(1) Ψ(n) = f n f n (m) = nm Από την Πρόταση 14.9, έπεται ότι η απεικόνιση f n είναι ενδοµορφισµός της οµάδας (Z, +), n Z. είχνουµε ότι οι απεικονίσεις Φ και Ψ είναι ισοµορφισµοί και Ψ = Φ 1.

6 307 (α) Θα έχουµε : n Z : ΦΨ(n) = Φ(f n ) = f n (1) = n1 = n = ΦΨ = Id Z f Hom(Z, Z) : ΨΦ(f) = Ψ(f(1)) = f f(1) όµως m Z : f f(1) (m) = f(1)m = f(1m) = f(m) = f f(1) = f = ΨΦ(f) = f Εποµένως : ΨΦ = Id Hom(Z,Z) Άρα οι απεικονίσεις Φ και Ψ είναι 1-1 και επί και Ψ = Φ 1. (ϐ) είχνουµε ότι η Φ είναι οµοµορφισµός οµάδων : Φ(f + g) = (f + g)(1) = f(1) + g(1) = Φ(f) + Φ(g) Άρα η Φ είναι ισοµορφισµός αβελιανών οµάδων µε αντίστροφο τον οµοµορφισµό Ψ. (2) Εστω G µια πεπερασµένη αβελιανή (πολλαπλασιαστική) οµάδα. Τότε κάθε στοιχείο της G ϑα έχει πεπερασµένη τάξη : a G, n 1 : a n = e Αν f Hom(G, Z) είναι ένας οµοµορφισµός, τότε : a G : 0 = f(e) = f(a n ) = nf(a) = n = 0 ή f(a) = 0 = f(a) = 0 Άρα ο µοναδικός οµοµορφισµός f Hom(G, Z) είναι ο τετριµµένος f = ε: G Z, ε(a) = 0, ο οποίος είναι το ταυτοτικό στοιχείο της αβελιανής οµάδας Hom(G, Z). Εποµένως Hom(G, Z) = { ε } = { } e (3) Ορίζουµε απεικονίσεις Φ : Hom(Z, Z n ) Z n, Φ(f) = f(1) Επειδή Φ(f + g) = (f + g)(1) = f(1) + g(1) = Φ(f) + Φ(g), έπεται ότι η Φ είναι οµοµορφισµός οµάδων. Επιπλέον η Φ είναι µονοµορφισµός διότι : Φ(f) = [0] n = f(1) = [0] n και τότε : m Z f(m) = f(m1) = mf(1) = m[0] n = [0m] n = [0] n Εποµένως ο οµοµορφισµός f είναι ο τετριµµένος f = ε: G Z, ε(a) = 0, ο οποίος είναι το ταυτοτικό στοιχείο της αβελιανής οµάδας Hom(Z, Z n ). Αυτό σηµαίνει ότι ο οµοµορφσιµός Φ είναι µονοµορφισµός. Μένει να δείξουµε ότι ο µονοµορφισµός Φ είναι επιµορφισµός. Εστω [] n Z n. Ορίζουµε µια απεικόνιση f []n : Z Z n, Τότε η απεικόνιση f []n είναι οµοµορφισµός, διότι : f []n (m) = [m] n f []n (m 1 + m 2 ) = [(m 1 + m 2 )] n = [m 1 + m 2 ] n = [m 1 ] n + [m 2 ] n = f []n (m 1 ) + f []n (m 2 ) Επιπλέον : Φ(f []n ) = f []n (1) = [1] n = [] n = Φ : επιµορφισµός Άρα η απεικόνιση Φ είναι ισοµορφισµός οµάδων και εποµένως Hom(Z, Z n ) (4) Η απόδειξη χρειάζεται αρκετή προεργασία και ϑα δοθεί µετά την απόδειξη των τεσσάρων παρακάτω προκαταρκτικών αποτελεσµάτων τα οποία είναι ενδιαφέροντα από µόνα τους. Z n Λήµµα Εστω n, m 1, και υποθέτουµε ότι : (n, m) = 1. Τότε υπάρχει ένας ισοµορφισµός : Z nm = Zn Z m

7 308 Απόδειξη. Από το Θεώρηµα 5.15 προκύπτει ότι επείδδή (n, m) = 1, η οµάδα ευθύ γινόµενο Z n Z m είναι κυκλική. Εποµένως από το Θεώρηµα 14.8 η οµάδα Z n Z m ϑα είναι ισόµορφη µε την κυκλική οµάδα Z nm. Λήµµα Εστω n = p a 1 1 pa 2 2 pa η ανάλυση του ϕυσικού αριθµού n σε γινόµενο δυνάµεων διακεκριµµένων πρώτων αριθµών. Τότε υπάρχει ένας ισοµορφισµός : = Z n Zp a 1 Z a 1 p 2 Z a 2 p Απόδειξη. Επειδή (p a i i, pa j j ) = 1, 1 i j, ο ισχυρισµός έπεται εύκολα από το Λήµµα µε επαγωγή. Λήµµα Εστω p, q δύο διαφορετικοί πρώτοι αριθµοί. Τότε για κάθε, l 1: Hom(Z p, Z q l) {e} Απόδειξη. Εστω f : Z p Z q l ένας οµοµορφισµός. Αν [x] p Z p, τότε p [x] p = [0] p και τότε f(p [x] p ) = p f([x] p ) = [0] q l. Αυτό σηµαίνει ότι o(f([x] p )) p. Οµως ο αριθµός o(f([x] p )) ϑα διαιρεί την τάξη q l της οµάδας Z q l και άρα ϑα είναι µια δύναµη του q, έστω o(f([x] p )) = q a. Τότε q a p, και επειδή p, q είναι διαφορετικοί πρώτοι αριθµοί, ϑα έχουµε q a = 1 = o(f([x] p )), δηλαδή f([x] p ) = [0] q l. Ετσι ο τυχόν οµοµορφισµός f στέλνει κάθε στοιχείο της οµάδας Z p στο µηδενικό στοιχείο της οµάδας Z q l. Αυτό σηµαίνει ότι ο f είναι ο τετριµµένος οµοµορφισµός και άρα Hom(Z p, Z q l) = {e}. Λήµµα Εστω G = a και H = b δύο κυκλικές οµάδες, και υποθέτουµε ότι η G είναι πεπερασµένη. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (1) Υπάρχει οµοµορφισµός f : G H έτσι ώστε f(a) = b. (2) o(b) o(a). Αν o(b) o(a), τότε υπάρχει µοναδικός οµοµορφισµός f : G H έτσι ώστε f(a) = b και τότε : f(a ) = b, Z. Απόδειξη. Υποθέτουµε ότι o(g) = o(a) = n, και άρα G = { e, a, a 2, a n 1}. (1) = (2) Εστω f : G H ένας οµοµορφισµός έτσι ώστε f(a) = b. Τότε a n = e και άρα b n = f(a) n = f(a n ) = f(e) = e. Εποµένως o(b) n = o(a). (2) = (1) Εστω o(b) n = o(a), και n = m, όπου m = o(b). Ορίζουµε απεικόνιση f : a b, f(a ) = b Προφανώς η απεικόνιση f είναι ένας καλά ορισµένος οµοµορφισµός και ισχύει f(a) = b. Αν g : a b, είναι ένας άλλος οµοµορφισµός έτσι ώστε g(a) = b. Τότε : g(a ) = g(a) = b = f(a) = f(a ) και εποµένως f = g. Λήµµα Εστω p ένας πρώτος αριθµός. Τότε για κάθε, l 1: Hom(Z p, Z p l) Z p min{,l}

8 309 Απόδειξη. Εστω a = [1] p και b = [1] p l. Τότε Z p = a και Z p l = b Θα δείξουµε ότι το πλήθος των διακεκριµµένων οµοµορφισµών Z p Z p l είναι p min{,l}. Αν l, τότε p p l και προφανώς o(b) = p l p = o(a). Τότε από το Λήµµα 4.17, έπεται ότι υπάρχει (µοναδικός) οµοµορφισµός f : Z p Z p l έτσι ώστε f(a) = b. Παρατηρούµε ότι επειδή l, ϑα έχουµε min{, l} = l και εποµένως υπάρχουν l το πλήθος οµοµορφισµοί Z p Z p l διότι το πλήθος των διαιρετών του p οι οποίοι είναι µικρότεροι ή ίσοι από το p l και διάφοροι τοι 1 είναι ακριβώς l: p, p 2,, p l. Αν l, τότε min{, l} = και κάθε οµοµορφισµός Z p Z p l έχει προφανώς εικόνα στην (µοναδική) κυκλική υποοµάδα τάξης p της Z p l. Άρα το Ϲητούµενο πλήθος συµπίπτει µε το πλήθος των οµοµορφισµών Z p Z p. Από την πρώτη περίπτωση τότε ϑα έχουµε ότι το πλήθος αυτών των οµοµορφισµών είναι ακριβώς p = p min{,l}. Άρα ϑα έχουµε : o(hom(z p, Z p l)) = p min{,l}. Τέλος από το Λήµµα 4.17, έπεται άµεσα ότι η απεικόνιση ψ : Z p Z p l, ψ([r] p ) = p l min{,l} [r] p l είναι οµοµορφισµός οµάδων και µάλιστα επειδή η τάξη της οµάδας Hom(Z p, Z p l) είναι p min,l, ισχύει : p min{,l} ψ = ε όπου ε([x] p ) = [0] p l δηλαδή ο οµοµορφισµός ε είναι το ταυτοτικό στοιχείο της οµάδας Hom(Z p, Z p l). Αν nψ = ε, τότε ϑα έχουµε : nψ = ε = nψ([1] p ) = ε([1] p ) = np l min{,l} [1] p l = [0] p l = [np l min{,l} ] p l = [0] p l = = p l np l min{,l} = np l min{,l} = p l m = np l = p l p min{,l} m = n = p min{,l} m = Εποµένως p min{,l} n o(ψ) = p min{,l} = o(hom(z p, Z p l)) και άρα η οµάδα Hom(Z p, Z p l) τάξης p min{,l} έχει ένα στοιχείο τάξης p min{,l}. Εποµένως η οµάδα Hom(Z p, Z p l) είναι κυκλική τάξης p min{,l}. Τότε από το Θεώρηµα 14.8, η οµάδα Hom(Z p, Z p l) είναι ισόµορφη µε την κυκλική οµάδα Z p min{,l}. Λήµµα (1) Εστω G 1, G 2 και H αβελιανές οµάδες. Τότε υπάρχει ένας ισοµορφισµός οµάδων Hom(G 1 G 2, H) Hom(G 1, H) Hom(G 2, H) (2) Εστω G και H 1, H 2 αβελιανές οµάδες. Τότε υπάρχει ένας ισοµορφισµός οµάδων Hom(G, H 1 H 2 ) Hom(G, H 1 ) Hom(G, H 2 ) (3) Γενικότερα έστω {G i } n i=1 και {H j} m j=1 αβελιανές οµάδες, και έστω G = G 1 G 2 G n και H = H 1 H 2 H m οι αντίστοιχες οµάδες ευθύ γινόµενο. Τότε : δηλαδή : Hom(G, H) Hom(G, H) n i=1 m j=1 Hom(G i, H j ) Hom(G 1, H 1 ) Hom(G 1, H m ) Hom(G n, H 1 ) Hom(G n, H m )

9 310 Απόδειξη. (1) Ορίζουµε απεικόνιση Φ : Hom(G 1 G 2, H) Hom(G 1, H) Hom(G 2, H), Φ(f) = (f 1, f 2 ) όπου f 1 : G 1 H, f 1 (x 1 ) = f(x 1, e G2 ) και f 2 : G 2 H, f 2 (x 2 ) = f(e G1, x 2 ) Επίσης ορίζουµε απεικόνιση Ψ : Hom(G 1, H) Hom(G 2, H) Hom(G 1 G 2, H), Ψ(g 1, g 2 ) = g όπου g : G 1 G 2 H, g(x 1, x 2 ) = g 1 (x 1 ) + g 2 (x 2 ) Εύκολα ϐλέπουµε ότι οι απεικονίσεις Ψ και Φ είναι οµοµορφισµοί οµάδων και ισχύει Ψ = Φ 1. (2) Ορίζουµε απεικόνιση Φ : Hom(G, H 1 H 2 ) Hom(G, H 1 ) Hom(G, H 2 ), Φ(f) = (f 1, f 2 ) όπου όπου f i : G H i, f i = π i f π 1 : H 1 H 2 H 1, π(h 1, h 2 ) = h 1 και π 2 : H 1 H 2 H 2, π(h 1, h 2 ) = h 2 είναι οι οµοµορφισµοί προβολές από την οµάδα ευθύ γινόµενο στις οµάδες παράγοντες. Επίσης ορίζουµε απεικόνιση Ψ : Hom(G, H 1 ) Hom(G, H 2 ) Hom(G, H 1 H 2 ), Ψ(g 1, g 2 ) = g όπου g : G H 1 H 2, g(x) = (g 1 (x), g 2 (x)) Εύκολα ϐλέπουµε ότι οι απεικονίσεις Ψ και Φ είναι οµοµορφισµοί οµάδων και ισχύει Ψ = Φ 1. (3) Υποθέτουµε πρώτα ότι n = 1. Θα κατασκευάσουµε έναν ισοµορφισµό Φ : Hom(G 1, H 1 H m ) Hom(G 1, H 1 ) Hom(G 1, H m ) ως εξής : Φ(f) = (f 1,, f m ) όπου f i = π i f και όπου π i : H 1 H m H i, π i (h 1,, h m ) = h i είναι οι οµοµορφισµοί προβολές από την οµάδα ευθύ γινόµενο στις οµάδες παράγοντες. Αν (f 1,, f m ) Hom(G 1, H 1 ) Hom(G 1, H m ), τότε ορίζουµε µια απεικόνιση f : G 1 H 1 H m, f(x) = (f 1 (x),, f m (x)) η οποία µε τη σειρά της ορίζει µια απεικόνιση Ψ : Hom(G 1, H 1 ) Hom(G 1, H m ) Hom(G 1, H 1 ) Hom(G 1, H m ), Ψ(f 1,, f m ) = f Εύκολα ϐλέπουµε ότι οι απεικονίσεις Ψ και Φ είναι οµοµορφισµοί οµάδων και ισχύειο Ψ = Φ 1. Άρα ο ισχυρισµός αληθεύει για n = 1. Η γενική περίπτωση αποδεικνύεται εύκολα µε επαγωγή στο n, χρησιµοποιώντας το (1), και αφήνεται ως Άσκηση.

10 311 Μπορούµε τώρα να ολοκληρώσουµε την απόδειξη του τελευταίου µέρους (4) του Θεωρήµατος 14.13: Απόδειξη του Θεωρήµατος 14.13(4): Εστω n = p a 1 1 pa 2 2 pa και m = p b 1 1 p b 2 2 p b οι αναλύσεις των ϕυσικών αριθµών n και m σε γινόµενο δυνάµεων διακεκριµµένων πρώτων αριθµών. Γνωρίζουµε ότι ο µέγιστος κοινός διαιρέτης των m και n είναι : Από το Λήµµα υπάρχουν ισοµορφισµοί : = Z n Zp a 1 Z a 1 p 2 Z a 2 p (m, n) = p min{a 1,b 1 } 1 p min{a,b } Αοπό το Λήµµα 14.18, ϑα έχουµε έναν ισοµορφισµό = και Z m Zq b 1 Z n p 2 Z b 1 2 p Hom(Z n, Z m ) Από το Λήµµα ϑα έχουµε ότι i=1 l j=1 Hom(Z p a i i, Z b q j ) j Hom(Z p a i i Εποµένως επειδή από το Λήµµα έχουµε, Z b p j ) = {e}, i j j ϑα έχουµε τελικά : Hom(Z p a i i, Z b p j ) j Z p min{a i,b j } Hom(Z n, Z m ) Hom(Z p a 1 1, Z p b 1 ) Hom(Z a 1 p και άρα µια τελευταία εφαρµογή του Λήµµατος δίνει :, Z p b ) Z min{a p 1,b 1 } Z min{a 1 p,b } Hom(Z n, Z m ) Z min{a p 1,b 1 } Z min{a 1 p,b } Z p min{a 1,b 1 } 1 p min{a,b } Z (m,n) Υπενθυµίζουµε ότι µια οµάδα G καλείται ελεύθερης στρέψης αν το µόνο στοιχείο πεπερασµένης τάξης της G είναι το ταυτοτικό. Ασκηση 293. Εστω G µια προσθετική αβελιανή οµάδα, και n 1. (1) Το σύνολο G n = { x G nx = 0 } είναι µια υποοµάδα της G. (2) Υπάρχει ένας ισοµορφισµός αβελιανών οµάδων : Hom(Z n, G) G n (3) Η οµάδα G είναι ελεύθερης στρέψης αν και µόνον αν, n 1: Hom(Z n, G) = {e}.

11 Οµάδες Αυτοµορφισµών Κυκλικών Οµάδων. Στην παρούσα υπο-ενότητα ϑα προσδιορίσουµε την οµάδα αυτοµορφισµών µιας κυκλικής οµάδας. Υπενθυµίζουµε ότι Aut(G) = { f : G G f : ισοµορφισµός } και το σύνολο Aut(G) αποτελεί οµάδα µε πράξη τη σύνθεση αυτοµορφισµών. Θα χρειασθούµε το ακόλουθο απλό Λήµµα Εστω G µια οµάδα και a G. Εστω f : G G ένας αυτοµορφισµός της G. (1) a είναι γεννήτορας της G αν και µόνον αν f(a) είναι γεννήτορας της G: G = a G = f(a) (2) o(a) = o(f(a)). Απόδειξη. Άσκηση. Το ακόλουθο ϑεώρηµα δείχνει ότι η οµάδα αυτοµορφισµών µιας άπειρης κυκλικής οµάδας είναι κυκλική και πολύ µικρή. Θεώρηµα Εστω G = a µια άπειρη κυκλική οµάδα. Τότε υπάρχει ένας ισοµορφισµός φ : Aut(G) Z 2 Απόδειξη. Εστω G = a ένας γεννήτορας της G. Τότε για κάθε αυτοµορφισµό f : G G της G, το στοιχείο f(a) είναι επίσης γεννήτορας της G. Επειδή η G είναι άπειρη κυκλική, γνωρίζουµε ότι η G έχει ακριβώς δύο γεννήτορες : το στοιχείο a και το στοιχείο a 1. Ετσι f(a) = a ή f(a) = a 1. Επειδή G = a, αν f(a) = a, έπεται ότι f = Id G, και αν f(a) = a 1, τότε f(x) = x 1, x G. Αντίστροφα οι απεικονίσεις Id G και ϕ: G G, ϕ(x) = x 1 είναι αυτοµορφισµοί της G. Άρα Aut(G) = {Id G, ϕ}, όπου προφανώς ϕ 2 = Id G. Εποµένως η Aut(G) είναι ισόµορφη µε την κυκλική οµάδα Z 2, µέσω του ισοµορφισµού Id G [0] 2 και ϕ [1] 2. Πόρισµα Υπάρχει ένας ισοµορφισµός οµάδων φ : Aut(Z) Z 2 Το ακόλουθο ϑεώρηµα δείχνει ότι το πλήθος των αυτοµορφισµών µιας πεπερασµένης κυκλικής οµάδας τάξης n δίνεται από την τιµή της συνάρτησης ϕ(n) του Euler. Θεώρηµα Εστω G = a µια πεπερασµένη κυκλική οµάδα τάξης n. Τότε υπάρχει ένας ισοµορ- ϕισµός φ : Aut(G) U(Z n ) Ιδιαίτερα : o ( Aut(G) ) = ϕ(n). Απόδειξη. Θα έχουµε G = a = { e, a, a 2,, a n 1} Αν n = 1, τότε G = {e} και Z 1 = [0] 1 και τότε προφανώς Aut(G) = {Id G } = {Id Z1 } = U(Z 1 ). Υποθέτουµε ότι n > 1. Εστω f : G G ένας αυτοµορφισµός της G. Τότε το στοιχείο f(a) G είναι γεννήτορας της G και άρα f(a) = a, για ένα µοναδικό στοιχείο, όπου 1 n 1 και (, n) = 1

12 313 (αν = 0, τότε f(a) = e και άρα a = e διότι η f αυτοµορφισµός, δηλαδή G = {e} το οποίο είναι άτοπο). Ετσι ϑα έχουµε [] n U(Z n ), και εποµένως µπορούµε να ορίσουµε µια απεικόνιση Φ : Aut(G) U(Z n ), Φ(f) = [] n, όπου f(a) = a Εστω f, g Aut(G) και έστω ότι Φ(f) = Φ(g), δηλαδή : [] n = [l] n, όπου f(a) = a και g(a) = a l. Τότε n l και επειδή 1, l n και (, n) = 1 = (l, n), έπεται ότι = l. Εποµένως f(a) = g(a) και τότε προφανώς f = g, διότι επειδή οι f, g είναι οµοµορφισµοί και x G, x = a m, ϑα έχουµε : f(x) = f(a m ) = f(a) m = g(a) m = g(a m ) = g(x). Εποµένως η απεικόνιση Φ είναι 1-1. Εστω [] n U(Z n ), δηλαδή 1 n 1 και (, n) = 1. Ορίζουµε µια απεικόνιση f : G G, f(a m ) = a m Η απεικόνιση f είναι οµοµορφισµός, διότι : f (a m 1 a m 2 ) = f (a m 1+m 2 ) = a (m 1+m 2 ) = a m 1+m 2 = a m 1 a m 2 = f (a m 1 )f(a m 2 ) Αν f (a m ) = e, τότε a m = e, και άρα n m. Επειδή (, n) = 1, έπεται ότι n m. Τότε όµως αναγκαστικά m = 0, διότι 0 m n 1. Άρα a m = a 0 = e και ο οµοµορφισµός f είναι µονοµορφισµός. Τότε όµως ο οµοµορφισµός f είναι αυτοµορφισµός διότι o(g) = n <. Τότε εξ ορισµού ϑα έχουµε Φ(f ) = [] n, διότι f (a) = a. Άρα η απεικόνιση Φ είναι επί. Μένει να δείξουµε ότι η Φ είναι οµοµορφισµός οµάδων. Εστω f, g Aut(G). Τότε ϑα έχουµε Φ(f) = a, g(a) = a l, όπου f(a) = a, g(a) = a l, και 1, l n 1 και (, n) = 1 = (l, n). Υποθέτουµε ότι Φ(f g) = a m, όπου 1 m n 1, (n, m) = 1, και (f g)(a) = a m. Οµως (f g)(a) = f(g(a)) = f(a l ) = f(a) l = (a ) l = a l. Τότε : a l = a m και εποµένως a l m = e. Επειδή o(a) = n, ϑα έχουµε n l m και εποµένως [l] n = [m] n, δηλαδή : [] [l] n = [m] n. Τότε : Φ(f g) = [m] n = [l] n = [] n [l] n = Φ(f)Φ(g) και άρα η απεικόνιση Φ είναι οµοµορφισµός. Εποµένως η Φ είναι ισοµορφισµός. Πόρισµα Για κάθε n 1, υπάρχει ένας ισοµορφισµός οµάδων φ : Aut(Z n ) U(Z n ) Σε αντίθεση µε την οµάδα αυτοµορφισµών µιας άπειρης κυκλικής οµάδας, η οποία είναι κυκλική, η οµάδα αυτοµορφισµών µιας πεπερασµένης κυκλικής οµάδας δεν είναι πάντα κυκλική. Παράδειγµα Θεωρούµε την κυκλική οµάδα Z 12 τάξης 12. Από το παράδειγµα 13.10, έχουµε έναν ισοµορφισµό U(Z 12 ) Z 2 Z 2 Εποµένως µε ϐάση το Θεώρηµα ϑα έχουµε έναν ισοµορφισµό Aut(Z 12 ) Z 2 Z 2 και άρα η οµάδα αυτοµορφισµών Aut(Z 12 ) δεν είναι κυκλική. Υπάρχει το ακόλουθο ϐασικό αποτέλεσµα το οποίο περιγράφει την οµάδα αυτοµορφισµών µιας πεπε- ϱασµένης κυκλικής οµάδας ως ευθύ γινόµενο κυκλικών οµάδων :

13 314 Θεώρηµα Εστω G µια κυκλική οµάδα τάξης n = 2 i p j 1 1 p j 2 2 p jr r όπου p 1, p 2,, p r είναι διακεκριµµένοι περιττοί πρώτοι αριθµοί, και i, j 1, j 2,, j r 0. Τότε : Aut(G) Z 1, i = 0 Z 2 i 1, i = 1 ή 2 Z 2 Z 2 i 2, i 3 Z p j (p 1 1) Z p j (p 2 1) Z p jr 1 r (p r 1) Ιδιαίτερα η τάξη της οµάδας αυτοµορφισµών µιας πεπερασµένης κυκλικής οµάδας είναι άρτιος αριθµός.

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών

Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών Κεφάλαιο 6 Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε τις ϐασικές ιδιότητες της οµάδας πηλίκο µιας οµάδας ως προς µια κανονική υποµάδα, ϑα αποδείξουµε τα ϐασικά ϑεωρήµατα

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = e x g(y) = log e y f(x 1 ) = f(x) 1 f(x k ) = f(x) k

f(x) = e x g(y) = log e y f(x 1 ) = f(x) 1 f(x k ) = f(x) k 287 13. Οµοµορφισµοί Οµάδων Στην παρούσα ενότητα ϑα µελετήσουµε απεικονίσεις µεταξύ οµάδων οι οποίες ϑα µας επιτρέψουν τη σύγκριση και την ταξινόµηση διάφορων κλάσεων οµάδων, ως προς τις δοµικές τους ιδιότητες.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 210 2. Υποοµάδες και το Θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οµοµορφισµοί Οµάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 287 13. Οµοµορφισµοί Οµάδων Στην παρούσα ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 202 Μέρος 4. Θεωρητικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 24 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt206/nt206.html Πέµπτη 6 Νεµβρίου 206 Ασκηση. Να δειχθεί ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

Οµάδες Μεταθέσεων. Κεφάλαιο Συνοπτική Θεωρία. S(X ) = { f : X X f : απεικόνιση «1-1» και «επί» }

Οµάδες Μεταθέσεων. Κεφάλαιο Συνοπτική Θεωρία. S(X ) = { f : X X f : απεικόνιση «1-1» και «επί» } Κεφάλαιο 4 Οµάδες Μεταθέσεων 4.1 Συνοπτική Θεωρία Οι οµάδες µεταθέσεων επί ενός συνόλου και ιδιαίτερα επί του πεπερασµένου συνόλου { 12 n } αποτελούν µια από τις ϐασικότερες κλάσεις οµάδων. Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Τάξη στοιχείων και Οµάδων - Κυκλικές (Υπο-)Οµάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 222 3.1. ύναµη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi07/asi07.html Παρασκευή 9 Μαίου 07 Για κάθε µετάθεση

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι. Θεωρητικα Θεµατα

Αλγεβρικες οµες Ι. Θεωρητικα Θεµατα Αλγεβρικες οµες Ι Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html 4 εκεµβρίου 2012

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 5 Γραµµικες Απεικονισεις Στην άλγεβρα, και γενικότερα στα Μαθηµατικά,

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου GL n (R) / SL n (R)

Α Δ Ι. Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου GL n (R) / SL n (R) Α Δ Ι Α - Φ 8 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Α Μπεληγιάννης - Σ Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuogr/abelga/numbertheory/nthtml Τετάρτη 10 Απριλίου 2013 Ασκηση 1 Θεωρούµε τις αριθµητικές

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Η οµή των Κυκλικών Οµάδων

Η οµή των Κυκλικών Οµάδων Κεφάλαιο 4 Η οµή των Κυκλικών Οµάδων Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την κλάση των κυκλικών οµάδων, η οποία είναι η απλούστερη µη τετριµµένη κλάση οµάδων. Ιδιαίτερα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi06/asi06.html Πέµπτη Απριλίου 06 Ασκηση. Θεωρούµε τα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οι Οµάδες τάξης pq, p, q: πρώτοι αριθµοί Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 246 6. Οι Οµάδες τάξης

Διαβάστε περισσότερα

Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη

Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη Κεφάλαιο 10 Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε ειδικούς τύπους ιδεωδών σε έναν δακτύλιο και την επίδραση που έχουν οι επιπλέον ιδιότητες τις οποίες ικανοποιούν τα ιδεώδη αυτά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 31 Μαρτίου 2017 Υπενθυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 31 Μαρτίου 2016 Υπενθυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρηµα του Lagrange και οι Εφαρµογές του

Το Θεώρηµα του Lagrange και οι Εφαρµογές του Κεφάλαιο 3 Το Θεώρηµα του Lagrange και οι Εφαρµογές του Στο παρόν Κεφάλαιο, ϑα αποδείξουµε το Θεώρηµα του Lagrange, το οποίο αποτελεί ένα από τα ϐασικότερα αποτελέσµατα της (στοιχειώδους) ϑεωρίας οµάδων,

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ),

Α Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ), Α Δ Ι Α - Φ 4 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 15 Νοεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

Στο κεφάλαιο αυτό εφαρµόζουµε τη Θεωρία Galois, όπως αυτή αναπτύχθηκε στα δύο προηγούµενα κεφάλαια, στην περίπτωση των πεπερασµένων σωµάτων.

Στο κεφάλαιο αυτό εφαρµόζουµε τη Θεωρία Galois, όπως αυτή αναπτύχθηκε στα δύο προηγούµενα κεφάλαια, στην περίπτωση των πεπερασµένων σωµάτων. Κεφάλαιο 4 Πεπερασµένα σώµατα Στο κεφάλαιο αυτό εφαρµόζουµε τη Θεωρία Galois, όπως αυτή αναπτύχθηκε στα δύο προηγούµενα κεφάλαια, στην περίπτωση των πεπερασµένων σωµάτων. 4.1 Βασικές Εννοιες Εστω F ένα

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου 2013

Α Δ Ι. Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου 2013 Α Δ Ι Α - Φ 7 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html Παρασκευή 29 Μαίου 2015 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Αλγεβρικες οµες Ι. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Αλγεβρικες οµες Ι Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html 22

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη

Κεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Κεφάλαιο 0 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Το κεφάλαιο αυτό έχει προπαρασκευαστικό χαρακτήρα Θα καθιερώσουµε συµβολισµούς και θα υπενθυµίσουµε ορισµούς και στοιχειώδεις προτάσεις για δακτύλιους και ιδεώδη

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I

Αλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I Αλγεβρικές Δομές Ι 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω G μια προσθετική ομάδα S ένα μη κενό σύνολο και M(S G το σύνολο όλων των συναρτήσεων f : S G. Δείξτε ότι το σύνολο M(S G είναι ομάδα με πράξη την πρόσθεση

Διαβάστε περισσότερα

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2 ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 203 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Κεφάλαιο 0 Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Στο παρόν εισαγωγικό Κεφάλαιο, υπενθυµίζουµε, κατά κύριο λόγο χωρίς αποδείξεις, ϐασικές γνώσεις από : τη στοιχειώδη ϑεωρία συνόλων και απεικονίσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Οµάδες συγκεκριµένης τάξης. 9.1 Οµάδες τάξης pq. Z p 2 και Z p Z p.

Κεφάλαιο 9. Οµάδες συγκεκριµένης τάξης. 9.1 Οµάδες τάξης pq. Z p 2 και Z p Z p. Κεφάλαιο 9 Οµάδες συγκεκριµένης τάξης Στο κεφάλαιο αυτό ϑα εφαρµόσουµε τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κεφάλαια για να περιγράψουµε οµάδες τάξης pq, όπου p, q είναι διακεκριµένοι πρώτοι αριθµοί,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Επανάληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015b/nt015b.html Πέµπτη 1 Ιανουαρίου 016 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Επεκτάσεις Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Επεκτάσεις Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Επεκτάσεις Ομάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 6 Επεκτάσεις Ομάδων 6.1 Προκαταρκτικές Έννοιες Σύμφωνα με το Θεώρημα 4.2.4

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις Επαναληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις Επαναληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις Επαναληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015/nt015.html Τρίτη Ιουνίου 015 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί η γραµµική

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι Θ Θ Α Ε Ι Μ : https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Α Δ Ι Θ Θ Α Ε Ι Μ :  https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Α Δ Ι Θ Θ Α Ε 2013-2014 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 12 Μαρτίου 2014 19:26

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Κανονική Μορφή Fitting Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 26 5. Κανονική Μορφή Fitting Εστω A M n

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι Ε Υ Μ. Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης

Α Δ Ι Ε Υ Μ. Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Α Δ Ι Ε Υ Μ Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 28 Ι 2014 Το παρόν κείμενο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκησεις Βασικης Αλγεβρας

Ασκησεις Βασικης Αλγεβρας Ασκησεις Βασικης Αλγεβρας Αποστολος Μπεληγιαννης Απόστολος Μπεληγιάννης Καθηγητής Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Ιωαννίνων Ασκήσεις Βασικής Αλγεβρας Ιωαννινα εκεµβριος 2015 Ασκήσεις Βασικής Αλγεβρας Συγγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιµοποιώντας τανυστικά γινόµενα και εφαρµόζοντας το θεώρηµα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουµε δύο θεµελιώδη θεωρήµατα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη Μαΐου 013 Ασκηση 1. Βρείτε τις τάξεις των

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις

Διαβάστε περισσότερα

ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα

ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα Κεφάλαιο 7 ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϑεµελιώδη έννοια του δακτυλίου, ϑα αναπτύξουµε τις ϐασικές ιδιότητες δακτυλίων και ϑα αναλύσουµε µια σειρά

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 ιανυσµατικοι Υποχωροι και Κατασκευες Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι.

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι. Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη Τσουκνίδας Ι. 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα 5 1.1 Μάθημα 1..................................... 5 1.1.1

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις Ισοδυναµίας και Πράξεις

Σχέσεις Ισοδυναµίας και Πράξεις Κεφάλαιο 1 Σχέσεις Ισοδυναµίας και Πράξεις Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα αναπτύξουµε τα ϐασικά στοιχεία από τη ϑεωρία σχέσεων µερικής διάταξης, σχέσεων ισοδυναµίας και διαµερίσεων οι οποίες ορίζονται επί ενός

Διαβάστε περισσότερα

(m, n) = 1 τότε Aut(H K) = Aut(H) Aut(K). Z(GL(2, R)), Z(SL(2, R)), Z(GL(n, R)), Z(SL(n, R)). } a b 0 c {( ) 1 b A = 0 1 {( ) a 0 D = 0 c T = } : b R

(m, n) = 1 τότε Aut(H K) = Aut(H) Aut(K). Z(GL(2, R)), Z(SL(2, R)), Z(GL(n, R)), Z(SL(n, R)). } a b 0 c {( ) 1 b A = 0 1 {( ) a 0 D = 0 c T = } : b R Ασκήσεις στην Θεωρία Ομάδων 2 Μαίου 2014 Άσκηση 1 Δίνεται μια ομάδα G τάξης n και a 1, a 2,..., a n G. Δείξτε ότι υπάρχουν k, m N τέτοια ώστε 1 k m n και a k a 2...a m = 1. Άσκηση 2 Δίνεται μια ομάδα G

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου 2016

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Κατασκευή νέων τοπολογικών χώρων Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

834. Θεωρία Ομάδων Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2013

834. Θεωρία Ομάδων Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2013 834. Θεωρία Ομάδων Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2013 Περιεχόμενα 1 Βασικές Έννοιες 1 1.1 Ορισμοί - παραδείγματα.............................. 1 1.2 Υποομάδες και Σύμπλοκα..............................

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Χαρακτηρισµοί Πεπερασµένων Κυκλικών Οµάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 233 4. Χαρακτηρισµοί

Διαβάστε περισσότερα

Φυλ. Ασκ. 5, Θεωρία Ομάδων Ασκήσεις στα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων, Θεώρημα Jordan Hölder, Συνθετικές και Κυρίαρχες Σειρές, Επιλύσιμες Ομάδες

Φυλ. Ασκ. 5, Θεωρία Ομάδων Ασκήσεις στα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων, Θεώρημα Jordan Hölder, Συνθετικές και Κυρίαρχες Σειρές, Επιλύσιμες Ομάδες Φυλ. Ασκ. 5, Θεωρία Ομάδων Ασκήσεις στα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων, Θεώρημα Jordan Hölder, Συνθετικές και Κυρίαρχες Σειρές, Επιλύσιμες Ομάδες Εσωτερικά και Εξωτερικά ευθέα Γινόμενα Α 1. Έστω η κυκλική ομάδα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

ιαιρετότητα Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών «Ο Αλγόριθµος της ιαίρεσης» Αριθµητική Υπολοίπων 0 r < d και a = d q +r

ιαιρετότητα Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών «Ο Αλγόριθµος της ιαίρεσης» Αριθµητική Υπολοίπων 0 r < d και a = d q +r ιαιρετότητα Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών ο a διαιρεί τον b: συµβολισµός: a b Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς a b και a c a (b + c) a b a bc, για κάθε c Z +

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

L = F +. Είναι, 1 F, άρα και 1 L. Επεκτείνουµε τις πράξεις του F έτσι ώστε

L = F +. Είναι, 1 F, άρα και 1 L. Επεκτείνουµε τις πράξεις του F έτσι ώστε ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ ΣΩΜΑΤΟΣ Προκαταρκτικά Σώµα = Αντιµεταθετικό σώµα, χαρακτηριστικής µηδενός Τα σώµατα αυτά καλούνται και αριθµητικά σώµατα Θα τα συµβολίζουµε µε τα γράµµατα F, F, L κλπ Έστω ότι κάποια ανάγκη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 12 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Θεωρια Αριθµων Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html 2 Απριλίου 2013 Το παρόν κείµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 11

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 11 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 11 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 26 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Να

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K =

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K = Α Δ Ι Α - Φ 5 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) n = a k b n k, k. (a + b) p = a p + b p. k=0. n! k! (n k)! k =

(a + b) n = a k b n k, k. (a + b) p = a p + b p. k=0. n! k! (n k)! k = ΒΑΣΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2016 Χρήστος Α. Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με Z m το δακτύλιο των ακεραίων modulo m, με ā Z m την κλάση (mod m) του a Z και με M n (R) το δακτύλιο

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Θεωρία Sylow. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Θεωρία Sylow. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Θεωρία Sylow Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Θεωρία Sylow 21 Τα Θεωρήματα Sylow Ορισμός 211 Μια ομάδα (G, ) τάξης p α, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Συσχετισµός ϑεµελιώδους οµάδας και πρώτης οµάδας οµολογίας

Συσχετισµός ϑεµελιώδους οµάδας και πρώτης οµάδας οµολογίας Συσχετισµός ϑεµελιώδους οµάδας και πρώτης οµάδας οµολογίας Εργασία στο πλαίσιο τού µαθήµατος Αλγεβρική Τοπολογία - Οµολογία µε κωδ. αρ. Γ 21 Χειµερινό Εξάµηνο 2007-2008 Μιχαήλ Γκίκας Περίληψη Σκοπός αυτής

Διαβάστε περισσότερα