Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Πληροφορικής ΠΜΣ στα Πληροφοριακά Συστήματα Κρυπτογραφία και Εφαρμογές Διαλέξεις Ακ.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Πληροφορικής ΠΜΣ στα Πληροφοριακά Συστήματα Κρυπτογραφία και Εφαρμογές Διαλέξεις Ακ."

Transcript

1 Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Πληροφορικής ΠΜΣ στα Πληροφοριακά Συστήματα Κρυπτογραφία και Εφαρμογές Διαλέξεις Ακ. Έτους Μαριάς Ιωάννης Μαρκάκης Ευάγγελος Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 3-1

2 Περίληψη Θεωρία Αριθµών και Θεωρία Οµάδων Διαιρετότητα Αλγόριθµος του Ευκλείδη Πρώτοι Αριθµοί Αριθµητική Υπολοίπων Οµάδες Γραµµικές εξισώσεις Κινέζικο θεώρηµα υπολοίπων Υποοµάδες, κυκλικές οµάδες Θεωρήµατα Fermat, Euler Δακτύλιοι Πεδία Πεδία Galois Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-2

3 Θεωρία Αριθµών Μια θεωρία για τους ακεραίους (Ζ) και ειδικά τους φυσικούς (Ν) Διαιρετότητα d a : ο d διαιρεί τον a (ο d λέγεται διαιρέτης του a και ο a πολλαπλάσιο του d) Σηµαίνει: a = kd για κάποιο ακέραιο k Κάθε ακέραιος διαιρεί το 0. Αν a > 0 και d a, τότε d a Κάθε ακέραιος a διαιρείται από τους τετριµµένους (trivial) διαιρέτες 1 και a Οι µη τετριµµένοι διαιρέτες του a καλούνται παράγοντες (factors) factors του 20 : 2, 4, 5, και 10 Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-3

4 Θεωρία Αριθµών Παρατηρήσεις: a b a bc για κάθε ακέραιο c a b a b ή b = 0 a b b c a c a b a c a (b+c) a b b a a = b a b a c a (bx + cy) για κάθε ακεραίους x, y Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-4

5 Θεωρία Αριθµών Θεώρηµα διαίρεσης (Division theorem) Για κάθε ζεύγος ακεραίων a,b µε b 0, υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι q και r τέτοιοι ώστε a = qb + r (0 r < b ) Η τιµή q = [a/b] είναι το πηλίκο (quotient) της διαίρεσης Η τιµή r = a mod n είναι το υπόλοιπο (remainder) της διαίρεσης. b a αν και µόνο αν a mod b = 0 ή r = 0. Απόδειξη: Ύπαρξη: είτε induction είτε θεωρώντας το µικρότερο θετικό ακέραιο στην ακολουθία.., a-3b, a-2b, a-b, a, a+b, a+2b,a+3b, Μοναδικότητα: µε εις άτοπο απαγωγή Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-5

6 Θεωρία Αριθµών Κοινοί διαιρέτες Αν d είναι διαιρέτης του a και του b, τότε ο d είναι κοινός διαιρέτης (common divisor) του a και b. π.χ., οι διαιρέτες του 30 είναι 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 και του 24 είναι 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 Κοινοί διαιρέτες 24 και 30 είναι 1, 2, 3, και 6. Ο 1 είναι κοινός διαιρέτης για κάθε δύο ακέραιους Αν d a και d b τότε d (a+b) και d (a-b) Κάθε κοινός διαιρέτης είναι το πολύ min ( a, b ) Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-6

7 Θεωρία Αριθµών Μέγιστος κοινός διαιρέτης gcd(a,b): ο µεγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες των ακεραίων a και b (το γράφουµε και ΜΚΔ(a, b) ή απλώς (a, b)). π.χ., gcd(24, 30) = 6, gcd(5, 7) = 1, και gcd(0, 9) = 9. Αν a και b δεν είναι 0, τότε ο gcd(a, b) είναι ένας ακέραιος µεταξύ 1 και min( a, b ). Συµβάσεις gcd(0, 0) = 0 Ιδιότητες: gcd(a,b) = gcd(b,a) gcd(a,b) = gcd(-a, b) gcd(a,b) = gcd( a, b ) gcd(a,0) = a gcd(a, ak) = a για κάθε k є Ζ Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-7

8 Θεωρία Αριθµών Μέγιστος κοινός διαιρέτης Θεώρηµα Αν a και b µη µηδενικοί ακέραιοι, τότε ο gcd(a, b) µπορεί να εκφραστεί ως γραµµικός συνδυασµός των a, b (Bezout s identity). Συγκεκριµένα, είναι ο µικρότερος θετικός ακέραιος του συνόλου {ax +by : x, y є Z} των γραµµικών συνδυασµών των a και b Πορίσµατα Για ακέραιους a και b, αν d a και d b τότε d gcd(a, b). Για ακέραιους a και b, και µη µηδενικό n, gcd(an,bn) = n (a, b). Για θετικούς ακεραίους n, a, και b, αν n ab και gcd(a, n) = 1, τότε n b. Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-8

9 Θεωρία Αριθµών Αλγόριθµος Ευκλείδη Θα επικεντρωθούµε σε µη αρνητικούς ακεραίους Στηρίζεται στο: Λήµµα: Για κάθε µη µηδενικό ακέραιο a και θετικό b: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b) Αλγόριθµος (300 B.C., Στοιχεία του Ευκλείδη, Βιβλίο 7) EUCLID(a, b) if b = 0 return a if a b return EUCLID(b, a mod b) else return EUCLID(a, b mod a) Παράδειγµα 1 EUCLID(30, 21) = EUCLID(21,9) = EUCLID(9,3) = EUCLID(3,0) = 3 Παράδειγµα 2 EUCLID(18,12) = EUCLID(12, 6) = EUCLID(6, 0) = 6 Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-9

10 Θεωρία Αριθµών Αλγόριθµος Ευκλείδη Η αναδροµή ουσιαστικά ανάγεται σε διαδοχικές διαιρέσεις a = bq 1 + r 1 0 < r 1 < b gcd(b, r 1 ) b = r 1 q 2 + r 2 0 < r 2 < r 1 gcd(r 1, r 2 ) r 1 = r 2 q 3 + r 3 0 < r 3 < r 2 r j-2 = r j-1 q j + r j 0 < r j < r j-1 gcd(r j-1, r j ) r j-1 = r j q j+1 return r j Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-10

11 Θεωρία Αριθµών Παραδείγµα 3 a = 1742, b = = = = = 9 26 (1742, 494) = 26 Παραδείγµα 4 a = 132, b = = = = = = = 2 1 (132, 35) = 1 Ποια η πολυπλοκότητα του αλγορίθµου? (Input = O(log 2 (a) + log 2 (b)) Ο(log 2 (b)) διαιρέσεις αν a b (Finck 1841, Lamé 1844) Worst case: όταν ένας από τους a, b είναι αριθµός Fibonacci We might call it the granddaddy of all algorithms because it is the oldest nontrivial algorithm that has survived to the present day, (D. Knuth) Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-11

12 Θεωρία Αριθµών Εκτενής Αλγόριθµος Ευκλείδη (Extended Euclid Algorithm) Ο Αλγόριθµος του Ευκλείδη µπορεί να επεκταθεί ώστε να προσδιορίζει το gcd(a,b), και να προσδιορίζει ένα ζεύγος ακεραίων x, y που ικανοποιούν τη σχέση gcd(a,b) =ax+by Η ιδέα είναι να κάνουµε την αντίστροφη διαδικασία του αλγορίθµου του Ευκλείδη Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-12

13 Θεωρία Αριθµών Παραδείγµα 3 a = 1742, b = = = = = 9 26 (1742, 494) = = = ( ) = = 2 ( ) = Παραδείγµα 4 a = 132, b = = = = = = = 2 1 (132, 35) = 1 1 = 3-2 = 3 - (8-2 3) = = 3 (27-3 8) - 8 = = (35-27) = = 13 ( ) = Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-13

14 Θεωρία Αριθµών Πρώτοι αριθµοί Ένας ακέραιος a 2 του οποίου οι µόνοι διαιρέτες είναι οι τετριµµένοι (1 και a) είναι πρώτος αριθµός (prime) Οι πρώτοι αριθµοί διαδραµατίζουν ειδικό ρόλο στην θεωρία αριθµών και στην κρυπτογραφία. Πρώτοι 20 primes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71 Ακέραιος a > 1 που δεν είναι πρώτος αναφέρεται ως σύνθετος (composite) Ο 1 δεν είναι ούτε prime ούτε composite Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-14

15 Θεωρία Αριθµών Πρώτοι αριθµοί Κάποιοι µεγάλοι πρώτοι: ( ) (1585 ψηφία, βρέθηκε το 1987) ( ψηφία, βρέθηκε το 1996) (σχεδόν 13 εκατοµ. ψηφία, Αύγουστος 2008) Mersenne primes: πρώτοι της µορφής 2 m - 1 Δεν είναι όλοι οι αριθµοί αυτής της µορφής πρώτοι Fermat primes: πρώτοι της µορφής 2 2n +1 Οµοίως δεν είναι όλοι οι αριθµοί αυτής της µορφής πρώτοι Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-15

16 Θεωρία Αριθµών Θεµελιώδες Θεώρηµα Αριθµητικής: Κάθε ακέραιος µπορεί να γραφτεί µε µοναδικό τρόπο ως γινόµενο από δυνάµεις πρώτων αριθµών n = p 1 e 1 p 2 e 2...p r e r όπου p i πρώτοι, p 1 < p 2 < < p r, και e i θετικοί ακέραιοι Το 6000 γράφεται µοναδικά Απόδειξη µε επαγωγή (strong induction) Πόρισµα: Αν p πρώτος και p ab, p a ή p b (δεν ισχύει όταν p δεν είναι πρώτος) Θεώρηµα Ευκλείδη: Υπάρχουν άπειροι το πλήθος πρώτοι αριθµοί Απόδειξη: Έστω ότι είναι πεπερασµένοι το πλήθος, π.χ. p 1, p 2,,p n. Θεώρησε τον αριθµό p 1 p 2 p n + 1. Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-16

17 Θεωρία Αριθµών Ο gcd(a,b) θα µπορούσε να προκύψει από την παραγοντοποίηση των a, b σε πρώτους Έστω a = p 1 e 1 p 2 e 2...p r e r b = p 1 f 1 p 2 f 2...p r f r Τότε gcd (a, b) = min{ e p 1, f } 1 min{ e 1 p 2, f } 2 min{ e 2...p r, f r } r Θα ήταν αποδοτική µέθοδος αν µπορούσαµε να υπολογίσουµε τους παράγοντες p i Καµία µέθοδος µέχρι σήµερα δεν τους δίνει σε πολυωνυµικό χρόνο Ο αλγόριθµος του Ευκλείδη παραµένει ο πιο γρήγορος αλγόριθµος Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-17

18 Θεωρία Αριθµών Πυκνότητα πρώτων αριθµών Πολύ σηµαντική η γρήγορη εύρεση πρώτων στην κρυπτογραφία Πόσο πυκνοί είναι οι πρώτοι µέσα στο Ν? Θεώρηµα: Για κάθε n 1, υπάρχει πρώτος αριθµός µεταξύ n και 2n Αρχική απόδειξη: Chebyshev (1850) Απλούστερη απόδειξη: Erdos (1932), σε ηλικία 19 χρόνων!! Chebyshev said it and Erdos said it again there is always a prime between n and 2n Prime Number Theorem: Έστω Π(Ν) ο αριθµός των πρώτων µέχρι το Ν. Π(Ν) Ν/lοgΝ Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-18

19 Θεωρία Αριθµών Relatively prime numbers Δύο ακέραιοι a, b είναι πρώτοι µεταξύ τους (relatively prime) αν gcd(a, b) = 1. Π.χ., 8 και 15 είναι relatively prime, οι διαιρέτες του 8 είναι ο 1, 2, 4, και 8, οι διαιρέτες του 15 είναι οι 1, 3, 5, και 15. Από τον αλγόριθµο του Ευκλείδη µπορούµε να αποφασίζουµε σε πολυωνυµικό χρόνο αν 2 αριθµοί είναι σχετικά πρώτοι µεταξύ τους (θα µας χρειαστεί αργότερα) Παρατήρηση: gcd(a, p) = 1 και gcd(b, p) = 1, gcd(ab, p) = 1. Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-19

20 Θεωρία Αριθµών Euler's phi function Ορισµός: Για κάθε n Ν ορίζουµε τη συνάρτηση του Euler φ(n) ως το πλήθος των αριθµών από 1 µέχρι n που είναι σχετικά πρώτοι µε το n Ιδιότητες: Για πρώτο αριθµό p: φ(p)=p-1 φ(p α )=p α - p α-1 = p α (1-1/p) φ(mn) = φ(m)φ(n), αν gcd(m,n) = 1 Πόρισµα: Για κάθε n Ν "(n) = n * $ 1# 1 ' & ) % p( (όπου το p αναφέρεται σε όλους τους πρώτους που διαιρούν το n) p n Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-20

21 Θεωρία Αριθµών Euler's phi function Απλοποίηση υπολογισµών Π.χ., φ(45)=24, εφόσον οι πρώτοι παράγοντες του του 45 είναι οι 3 και 5 φ(45)=45*(1-1/3)(1-1/5)=45*(2/3)(4/5)=24 φ(1512) = φ(2 3 *3 3 *7) = φ(2 3 )* φ(3 3 ) * φ(7) = ( ) * ( )*(7-1)=4 * 18 * 6 = 432 Υπάρχουν 432 ακέραιοι µεταξύ 1 και 1512 που είναι σχετικά πρώτοι µε το 1512 Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-21

22 Θεωρία Οµάδων και Αριθµητική Υπολοίπων Διαίρεση, υπόλοιπα και ισοδυναµία Δύο ακέραιοι είναι ισοδύναµοι modulo n αν ταυτίζονται ή αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρούνται µε το n Το συµβολίζουµε a b (mod n) Από θεώρηµα διαίρεσης: a=q 1 n+r 1 Από θεώρηµα διαίρεσης: b=q 2 n+r 2 a b (mod n) iff r 1 =r 2 Με άλλα λόγια a b (mod n) iff n (a-b) Εποµένως για κάθε θετικό n το σύνολο των ακεραίων κατανέµεται σε n κλάσεις ισοδυναµίας σε σχέση µε τα υπόλοιπά τους, τις κλάσεις 0, 1, 2,..., n-1 Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-22

23 Θεωρία Οµάδων και Αριθµητική Υπολοίπων Διαίρεση, υπόλοιπα και ισοδυναµία Κάθε κλάση αντιστοιχεί σε ένα από τα n πιθανά υπόλοιπα, r = 0,1,2,, n-1 της διαίρεσης µε το n Συνήθως θα συµβολίζουµε µια κλάση ισοδυναµίας modulo n, µε βάση τον αντιπρόσωπό της από το {0,1,2,,n-1} [a] n = {a + kn : k є Z} = {b є Z b a (mod n) } = {, a-2n, a-n, a, a+n, a+2n, } [0] n = {..., -3n, -2n, -n, 0, n, 2n, 3n, } [1] n = {..., 1-3n, 1-2n, 1-n, 1, 1+n, 1+2n, 1+3n, } [n-1] n = {..., -1-2n, 1-n, -1, n-1, 2n-1, 3n-1, } Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-23

24 Θεωρία Οµάδων και Αριθµητική Υπολοίπων Διαίρεση, υπόλοιπα και ισοδυναµία Αν n=1 όλοι οι ακέραιοι Αν n=2 [0] 2 είναι οι ζυγοί [1] 2 είναι οι µονοί Το σύνολο των διαφορετικών κλάσεων mod n δηλώνεται ως Z n = {[a] n : 0 a n-1} ή αλλιώς Z n = {0, 1,..., n-1} Αναφερόµαστε στο Z n και ως το σύνολο ακεραίων mod n Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-24

25 Θεωρία Οµάδων και Αριθµητική Υπολοίπων Θεωρία Οµάδων Μια οµάδα (group) (S, ) είναί ένα σύνολο S µαζί µε ένα τελεστή :S S S, έτσι ώστε να ισχύουν: Κλειστότητα: Για κάθε a, b S, (a b) S Προσεταιριστική ιδιότητα: Για κάθε a, b, c S, (a b) c = a (b c) Ύπαρξη µοναδιαίου (ή ουδέτερου) στοιχείου (Identity): υπάρχει στοιχείο e S, έτσι ώστε e a = a e = a για κάθε a S. Το συµβολίζουµε και µε e Ύπαρξη αντιστρόφου (Inverse): για κάθε a S, υπάρχει στοιχείο a -1 S, που καλείται αντίστροφος του a, τέτοιο ώστε a a -1 = a -1 a = e Αν σε µια οµάδα (S, ) ικανοποιείται και η αντιµεταθετική ιδιότητα (a b = b a για όλα τα a, b S), τότε την αποκαλούµε αβελιανή (abelian) οµάδα Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-25

26 Θεωρία Οµάδων και Αριθµητική Υπολοίπων Ιδιότητες οµάδων Απλοποίηση: για κάθε a, b, c S: a b = a c b = c (επειδή υπάρχει αντίστροφος) Μοναδική λύση σε γραµµικές εξισώσεις: για κάθε a, b S: η εξίσωση a x = b έχει µοναδική λύση στο S την x = a -1 b Το µοναδιαίο στοιχείο είναι µοναδικό Αν υπήρχαν 2 µοναδιαία, e, e τότε e = e e = e Ο αντίστροφος είναι µοναδικός Έστω ότι υπήρχαν 2 αντίστροφοι y 1, y 2 για ένα στοιχείο x Τότε: y 1 = y 1 e = y 1 (x y 2 ) = (y 1 x) y 2 = e y 2 = y 2 Μια οµάδα (S, ) είναι πεπερασµένη αν το σύνολο S έχει πεπερασµένο πλήθος στοιχείων Τότε ο πληθικός αριθµός S ονοµάζεται τάξη (order) της οµάδας Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-26

27 Θεωρία Οµάδων και Αριθµητική Υπολοίπων Παραδείγµατα Το σύνολο των ακεραίων Z µε τον τελεστή πρόσθεσης (δηλαδή η δοµή (Z, +)) είναι αβελιανή οµάδα : 0 είναι το µοναδιαίο στοιχείο Ο αντίστροφος του a είναι ο a Ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα, και η αντιµεταθετικότητα Αντίθετα η δοµή (Z, *) δεν είναι οµάδα γιατί ο αντιστροφος του α Ζ δεν υπάρχει πάντα στο Z Τα σύνολα Z n ={0, 1,..., n-1} αποτελούν οµάδες µε πρόσθεση και πολλαπλασιασµό; Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-27

28 Θεωρία Οµάδων και Αριθµητική Υπολοίπων Πράξεις και ισοτιµίες mod n Αν a a (modn) και b=b (modn) τότε a + b a + b (modn) a * b a * b (modn) Εποµένως ορίζουµε την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασµό modulo n, ως + n και * n, µε a modn + n b modn = (a+b) modn 12mod5+11mod5=2mod5+1mod5=3mod5 =23mod5=(12+11)mod5 a modn * n b modn = (a*b) modn Οι πράξεις εκτελούνται ως συνήθως, αλλά το αποτέλεσµα ανάγεται στην ισοδύναµη κλάση (στον αντιπρόσωπο) Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-28

29 Θεωρία Οµάδων και Αριθµητική Υπολοίπων Τι είναι λοιπόν η αριθµητική υπολοίπων (Modular arithmetic); Είναι αριθµητική σε ακεραίους µόνο που εργαζόµαστε modulo n, Έτσι στο Z n κάθε πράξη + n, * n, εκτελείται κανονικά ως απλή πρόσθεση ή πολλαπλασιασµός αλλά το αποτέλεσµα x αντικαθίσταται από ένα στοιχείο στο {0, 1,..., n - 1} Για παράδειγµα, στο Z 25 ισχύουν: 13+16=4, εφόσον 13+16=29=4mod25, και 13 16=8 εφόσον 13 16=208=8mod25. Πρόσθεση στο Ζ 6 Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-29

30 Θεωρία Οµάδων και Αριθµητική Υπολοίπων H δοµή (Ζ n, + n ) είναι πεπερασµένη αβελιανή οµάδα τάξεως n Η πράξη + n είναι προσεταιριστική Είναι αντιµεταθετική Υπάρχει µοναδιαίο στοιχείο και είναι το 0 a + n 0 = 0 + n a = a Καθε στοιχείο a є Ζ n έχει αντίθετο το -a ( n-a modn) a + n -a = 0 Π.χ. στο Ζ 13-4 = 9 Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-30

31 Θεωρία Οµάδων και Αριθµητική Υπολοίπων H δοµή (Ζ n, * n ) είναι οµάδα? Προσεταιριστικότητα και αντιµεταθετικότητα ισχύουν Ύπαρξη µοναδιαίου: το 1 Ύπαρξη αντιστρόφου ως προς πολλαπλασιασµό? Π.χ. Έχει αντίστροφο το 4 στο Z 6? Δεδοµένου ενός a Z n για να υπάρχει αντίστροφος, θα πρέπει να έχει λύση η εξίσωση ax 1(mod n) Θεώρηµα: gcd(a,n) = 1 αν και µόνο αν x έτσι ώστε ax 1(mod n) Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-31

32 Θεωρία Οµάδων και Αριθµητική Υπολοίπων H δοµή (Ζ* n, * n ) Ας θεωρήσουµε το σύνολο Z * n ={a Z n gcd(a, n) = 1}. Τα στοιχεία του Z * n είναι τα στοιχεία του Z n που είναι σχετικά πρώτοι µε το n Αν ο p είναι πρώτος, τότε Z * p ={a 1 a p 1} = Z p \{0} Παραδείγµατα: Z * 14 ={1, 3, 5, 9, 11, 13} Z * 21 ={1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 20} Z * 7 ={1, 2, 3, 4, 5, 6} Προσέξτε ότι ο 7 είναι πρώτος, ενώ ο 21 όχι. Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-32

33 Θεωρία Οµάδων και Αριθµητική Υπολοίπων H δοµή (Ζ* n, * n ) είναι πεπερασµένη αβελιανή οµάδα (συµβολίζεται και ως U(Ζ n )) Κλειστότητα: αν gcd(a,n) =1 και gcd(b, n) = 1 τότε και gcd(ab, n) = 1, το ab δεν µπορεί να έχει κοινούς διαιρέτες µε το n Προσεταιριστικότητα, αντιµεταθετικότητα, και ύπαρξη ουδέτερου στοιχείου (του 1), όπως και πρίν Πώς κατασκευάζουµε τον πολλαπλασιαστικό αντίστροφο? έστω a στοιχείο του Z * n (άρα gcd(a,n) = 1) Τρέξε τον εκτενή αλγόριθµο Ευκλείδη ΕΑΕ(a, n). Θα µας δώσει x, y τέτοια ώστε ax + ny = 1 Άρα ax 1 (mod n), Ο x είναι ο πολλαπλασιαστικός αντίστροφος του a Η τάξη του Z * n είναι φ(n) Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-33

34 Θεωρία Οµάδων και Αριθµητική Υπολοίπων Εφεξής Όταν αναφερόµαστε σε κάποιο Z n, οι πράξεις + n και n θα συµβολίζονται συνήθως µε + και * (ή ) Ο multiplicative inverse του a δηλώνεται ως a -1 mod n. Η διαίρεση στο (Z * n, *) ορίζεται από την εξίσωση a/b ab -1 (mod n) Παράδειγµα στο Z * 15 Ισχύει (mod 15), επειδή (mod 15) οπότε 4/ (mod 15) Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-34

35 Θεωρία Οµάδων και Αριθµητική Υπολοίπων Γραµµικές Εξισώσεις Υπολοίπων Έστω ότι θέλουµε να λύσουµε την εξίσωση ax b (mod n), a>0, n>0 Έχουµε ήδη αποδείξει ότι η ax 1 (mod n) έχει λύση αν και µόνο αν gcd(a, n) = 1. Θεώρηµα: Αν d = gcd(a, n), τότε η εξίσωση ax b (mod n) έχει λύση αν και µόνο αν d b. Αν x 0 µία λύση, τότε όλες οι λύσεις είναι της µορφής x = x 0 + t(n/d), t Z Υπάρχουν ακριβώς d λύσεις mod n, µε αντιπροσώπους x 0, x 1 = x 0 + (n/d), x 2 = x 0 + 2(n/d),, x d-1 = x 0 + (d-1)(n/d) Όλες οι λύσεις είναι ισοδύναµες mod n/d Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-35

36 Θεωρία Οµάδων και Αριθµητική Υπολοίπων Γραµµικές Εξισώσεις Υπολοίπων Πορίσµατα: Η ax b (mod n) είτε έχει d διακριτές λύσεις modulo n, όπου d = gcd(a, n), ή καµία Για κάθε n > 1, αν gcd(a, n) = 1, τότε η εξίσωση ax b (mod n) έχει µοναδική λύση modulo n. Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-36

37 Αριθµητική Υπολοίπων Σύστηµα γραµµικών εξισώσεων - Chinese Remainder Theorem Γύρω στο 100 µ.χ. Πρόβληµα: Υπάρχει ακέραιος x έτσι ώστε σε µία παρέλαση από x στρατιώτες, όταν στοιχίζονται σε 1. Tριάδες, περισσεύει 1 στην τελευταία γραµµή 2. Τετράδες, περισσεύουν 3 στο τέλος 3. Πεντάδες, περισσεύουν 3 στο τέλος Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-37

38 Αριθµητική Υπολοίπων Chinese Remainder Theorem Θεώρηµα: Έστω n 1, n 2,..., n k θετικοί ακέραιοι σχετικά πρώτοι µεταξύ τους, δηλ. gcd(n i, n j ) = 1, i j. Τότε για οποιουσδήποτε ακεραίους a 1, a 2,..., a k, το σύστηµα x a 1 (mod n 1 ), x a 2 (mod n 2 ),, x a k (mod n k ), έχει µοναδική λύση modulo n, όπου n=n 1 n 2 n k. Πόρισµα: Αν n 1, n 2,..., n k, θετικοί ακέραιοι σχετικά πρώτοι µεταξύ τους, τότε για όλους τους ακέραιους x και a, x a(mod n i ) για i = 1, 2,..., k αν και µόνο αν x a(mod n) όπου n=n 1 n 2 n k. Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-38

39 Αριθµητική Υπολοίπων Chinese Remainder Theorem Απόδειξη Έστω n 1, n 2,..., n k σχετικά πρώτοι µεταξύ τους Έστω a 1, a 2,..., a k ακέραιοι i έστω c i = n/n i. gcd(c i, n i ) = 1 o c i έχει αντίστροφο mod n i. Έστω d i o αντίστροφος, άρα c i d i = 1(mod n i ) Ο ακέραιος x * =a 1 c 1 d 1 +a 2 c 2 d 2 + +a k c k d k ικανοποιεί όλες τις εξισώσεις, Πολυπλοκότητα: πολυωνυµική µέσω του εκτενούς αλγορίθµου Ευκλείδη Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-39

40 Αριθµητική Υπολοίπων Κινέζικο θεώρηµα υπολοίπων - Παράδειγµα Ποιο x ικανοποιεί τις ακόλουθες εξισώσεις x 2 (mod 5) x 3 (mod 13) a 1 =2, n 1 =5, a 2 =3, n 2 =13 Υπολογίζουµε n=n 1 *n 2 =5*13=65, c 1 = 65/5 = 13, c 2 = 5 Επειδή (mod 5) και (mod 13), έχουµε d 1 =2, d 2 =8 Οι αντίστροφοι των c 1 και c 2 µπορούν να προκύψουν απο ΕΑΕ Τότε x = a 1 c 1 d 1 +a 2 c 2 d 2 x (mod 65) = 42 (mod 65) Άρα όλες οι λύσεις εiναι x(t)=42+65t Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-40

41 Θεωρία Οµάδων Υποοµάδες Αν (S, ) είναι οµάδα, S S, και (S, ) είναι οµάδα, τό (S, ) θα αναφέρεται ως υποοµάδα του (S, ). Π.χ., οι άρτιοι ακέραιοι είναι υποοµάδα των ακεραίων στην πρόσθεση. Θεώρηµα: Ένα µη κενό και κλειστό υποσύνολο µιας πεπερασµένης οµάδας είναι υποοµάδα Π.χ., το σύνολο ({0, 2, 4, 6}, +) είναι υποοµάδα του (Z 8, +) εφόσον είναι µη κενό και κλειστό ως προς + (κλειστό ως προς + 8 ). Θεώρηµα Lagrange: Αν (S, ) είναι πεπερασµένη οµάδα και (S, ) υποοµάδα του (S, ), τότε S είναι διαιρέτης του S. Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-41

42 Θεωρία Οµάδων Υποοµάδες Έστω υποοµάδα πεπερασµένης οµάδας (S, ) και στοιχείο a σε αυτήν Έστω όλα τα στοιχεία που παράγονται από το a µε τη χρήση του τελεστή της οµάδας. a (1) = a a (2) = a a a (k) = a a a a. Π.χ., από a=2 και οµάδα (Z 6, +) παράγεται η ακολουθία 2, 4, 0, 2, 4, 0, 2, 4, 0,.... Από a=5 και οµάδα (Z* 6, *) παράγεται η ακολουθία 5,1,5,1,5,1,.... Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-42

43 Θεωρία Οµάδων Υποοµάδες Στην οµάδα (Z n, +) έχουµε a (k) = ka mod n, Στην οµάδα (Z * n, *) έχουµε a(k) = a k mod n. Για πεπερασµένες οµάδες, η ακολουθία {a (k) : k 1} είναι περιοδική Έστω a τα διαφορετικά στοιχεία που παράγονται στην ακολουθία {a (k) : k 1} Θεώρηµα: Η δοµή ( a, ) είναι υποοµάδα (άσκηση) Ο a αναφέρεται ως γεννήτορας της a και η ( a, ) ως κυκλική οµάδα µε γεννήτορα a Κυκλικές υποοµάδες στο (Z 6, +) 0 = {0}, 1 = {0,1,2,3,4,5}, 2 = {0,2,4} Κυκλικές υποοµάδες στο (Ζ* 7, *): 1 = {1}, 2 = {1,2,4}, 3 = {1,2,3,4,5,6} = Ζ* 7 (δηλαδή το Ζ* 7 είναι κυκλική οµάδα) Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-43

44 Θεωρία Οµάδων Υποοµάδες Πότε είναι κυκλική η οµάδα (Ζ* n, *)? Θεώρηµα 1: Αν p πρώτος, η (Ζ* p, *) είναι κυκλική οµάδα Θεώρηµα 2: Αν n = p r όπου p περιττός πρώτος και r N, η (Ζ* n, *) είναι κυκλική οµάδα Θεώρηµα 3: H οµάδα (Ζ* n, *) είναι κυκλική αν και µόνο αν n = 1, 2, 4, p r, 2p r, όπου p περιττός πρώτος και r N Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-44

45 Θεωρία Οµάδων Υποοµάδες Τάξη ή ord(a): ο µικρότερος ακέραιος t τέτοιος ώστε a (t) =e Θεώρηµα Τάξη στοιχείου = µέγεθος της υποοµάδας που δηµιουργεί (ord(a)= a ) Πόρισµατα Η ακολουθία a (1), a (2),... είναι περιοδική µε περίοδο t = ord(a) a (k) = a (m) αν και µόνο αν k m (mod t) a (k) = a (k mod t), όπου t = ord(a), για κάθε ακέραιο k Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-45

46 Θεωρία Οµάδων Δυνάµεις Στοιχείων σε υπόλοιπα Θεώρηµα: Αν (S, ) πεπερασµένη οµάδα, τότε για κάθε a S, a ( S ) = e, όπου e το ουδέτερο στοιχείο Απόδειξη µε χρήση θεωρήµατος Lagrange Πόρισµα 1: Μικρό Θεώρηµα Fermat. Αν p πρώτος, τότε a p-1 =1 (mod p) για κάθε a є Z* p Πόρισµα 2: Θεώρηµα Euler Για κάθε ακέραιο n>1 a φ(n) =1 (mod n) για κάθε a є Z* n (δηλ. για κάθε a µε gcd(a, n) = 1) Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-46

47 Αριθµητική Υπολοίπων Ύψωση σε δύναµη Έστω ότι θέλουµε να υπολογίσουµε το a b mod n. Μπορεί να γίνει µε b πολλαπλασιασµούς Εκθετική πολυπλοκότητα Μέθοδος επαναλαµβανόµενου τετραγωνισµού: Αλγόριθµος που υπολογίζει το a b µε Ο(logb) πολλαπλασιασµούς Στηρίζεται στη χρήση της δυαδικής αναπαράστασης του b [b k-1,..., b 1, b 0 ] από MSB σε LSB (k ψηφία) Δηλαδή b = b b b b k-2 2 k-2 + b k-1 2 k-1 = b i 2 i Αριθµός ψηφίων του ακεραίου b: k = log 2 (b+1) = Ο(logb) Ο αλγόριθµος υπολογίζει διαδοχικά τα a c mod n όπου το c παίρνει ως τιµές δυνάµεις του 2 (doublings) Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-47

48 Αριθµητική Υπολοίπων Ύψωση σε δύναµη µε επαναλαµβανόµενο τετραγωνισµό (repeated squaring) MODULAR-EXPONENTIATION(a, b, n) 1 x a 2 y 1 3 Let [b k-1,, b 1, b 0 ] be the binary representation of b 4 for i 0 to k-1 5 do 6 if b i = 1 then y = y x mod n 7 x = x 2 mod n //next power of 2 8 return y Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-48

49 Αριθµητική Υπολοίπων Μια δοµή (S,, ) ονοµάζεται δακτύλιος (ring) αν Η (S, ) είναι αβελιανή οµάδα Η προσεταιριστική: Για κάθε a, b, c є S, (a b) c=a (b c) Η είναι επιµεριστική ως προς : a (b c)=(a b) (a c) και (a b) c=(a c) (b c), για κάθε a, b, c є S Αν η ικανοποιεί την αντιµεταθετική ιδιότητα τότε η δοµή αναφέρεται ως αντιµεταθετικός δακτύλιος Αν η έχει µοναδιαίο στοιχείο αναφέρεται ως δακτύλιος µε µοναδιαίο στοιχείο. Τα µοναδιαία στοιχεία θα τα συµβολίζουµε µε e και e για τις και αντίστοιχα. Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-49

50 Αριθµητική Υπολοίπων Παράδειγµα 1: Ο Δακτύλιος (Z 8, + 8, * 8 ) Είναι αντιµεταθετικός δακτύλιος * a a a Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-50

51 Αριθµητική Υπολοίπων Παράδειγµα 2: Ο Δακτύλιος πινάκων nxn (Π nxn, +, *) Το (Π nxn, +) είναι αβελιανή οµάδα Δεν ισχύει η αντιµεταθετική ιδιότητα ως προς πολλαπλασιασµό πινάκων Δεν έχουν αντίστροφο όλοι οι nxn πίνακες (µόνο αυτοί που έχουν µη µηδενική ορίζουσα). Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-51

52 Αριθµητική Υπολοίπων Μία δοµή (S,, ) λέγεται σώµα ή πεδίο (field) αν Η (S, ) είναι αβελιανή οµάδα Η (S- e, ) είναι αβελιανή οµάδα Ισχύει η επιµεριστική ιδιότητα της ως προς Δηλαδή είναι ένας δακτύλιος όπου η είναι αντιµεταθετική και έχει αντίστροφο και µοναδιαίο Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-52

53 Αριθµητική Υπολοίπων Ιδιότητες πεδίου: Για κάθε a, b στο S οι εξισώσεις a x = b και a x = b (a 0) έχουν µοναδική λύση στο S Για κάθε a, b, c στο S ισχύουν οι κανόνες απλοποίησης και διαγραφής a c = b c a = b a c = b c a = b iff c e Για κάθε a, b στο S ισχύει η συνεπαγωγή a b = e (a = e ή b = e ) Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-53

54 Αριθµητική Υπολοίπων Παραδείγµατα: Οι κάτωθι δοµές είναι πεδία (Q, +, *) των ρητών (R, +, *) των πραγµατικών (C, +, *) των µιγαδικών ({0,1}, + 2, * 2 ) των δυαδικών (είναι και πεπερασµένο) * Ερώτηση: Υπάρχουν άλλα πεδία µε πεπερασµένο αριθµό στοιχείων? Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-54

55 Πεδία Galois Evariste Galois ( ) Θεωρία Galois Αρχικό πρόβληµα: εύρεση αναλυτικού τύπου πολυωνύµων 5ου ή µεγαλύτερου βαθµού Για κάθε πρώτο αριθµό p, η δοµή (Z p, + p, * p ) είναι πεπερασµένο πεδίο (Z p, + p ) είναι αβελιανή οµάδα (Z p*, * p ) είναι αβελιανή οµάδα Συµβολίζεται µε GF(p) (πεδίο Galois τάξης p) Θεώρηµα: Αν p πρώτος, το πεδίο Galois GF(p) είναι το µοναδικό πεπερασµένο πεδίο µε p στοιχεία. Αν p δεν είναι πρώτος? Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-55

56 Πεδία Galois Πολυώνυµα στο πεδίο Galois GF(p) Ζ p [x] = Το σύνολο όλων των πολυωνύµων µε συντελεστές από το GF(p). π.χ. f(x)=a 0 +a 1 x+ +a k x k µε a i GF(p) (ο βαθµός συµβολίζεται ως deg(f)) Πρόσθεση και πολλαπλασιασµός πολυωνύµων γίνεται ως συνήθως αλλά στο τέλος παίρνουµε τους συντελεστές mod p. Στο GF(3) (2x 2 + x)2x = x 3 + 2x 2 To Ζ p [x] µε πρόσθεση και πολλαπλασιασµό mod p είναι δακτύλιος Παρατήρηση: υπάρχουν p k+1 πολυώνυµα βαθµού έως k στο Ζ p [x] Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-56

57 Πεδία Galois Πολυώνυµα στο πεδίο Galois GF(p) Για p=2 οι συντελεστές a i είναι από το δυαδικό σύστηµα Πρόσθεση και πολλαπλασιασµός στο GF(2): XOR και AND * Αρκετές ιδιότητες των ακεραίων του Ζ p ισχύουν για τα πολυώνυµα του Ζ p [x] Θα λέµε ότι f(x) g(x) αν υπάρχει q(x) Ζ p [x] έτσι ώστε g(x) = q(x)f(x) Για πολυώνυµα f(x), g(x), h(x) θα λέµε ότι g(x) h(x) (mod f(x)) αν f(x) (g(x)-h(x)) Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-57

58 Πεδία Galois Πολυώνυµα στο πεδίο Galois GF(p) Θεώρηµα της διαίρεσης για πολυώνυµα: Έστω πολυώνυµα f(x), g(x) Ζ p [x] µε deg(f) = n. Υπάρχουν µοναδικά πολυώνυµα q(x), r(x) Ζ p [x] έτσι ώστε: g(x) = q(x)f(x) + r(x) και deg(r) n-1 r(x) είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης, g(x) r(x) (mod f(x)) Παράδειγµα: έστω g(x) = x 6 + x 4 + x 3 + x +1, f(x) = x 3 + x +1 g(x) = f(x) x 3 + x+1 Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-58

59 Πεδία Galois Πολυώνυµα στο πεδίο Galois GF(p) H αντίστοιχη έννοια των πρώτων αριθµών στο Ζ p [x] είναι τα αµείωτα ή ανάγωγα (irreducible) πολυώνυµα. Ορισµός: Ένα πολυώνυµο f(x) µε συντελεστές από ένα σώµα F ονοµάζεται ανάγωγο (ή αµείωτο) στο F αν δεν είναι δυνατόν να βρεθούν δύο πολυώνυµα µε συντελεστές από το F, µε µικρότερο (αλλά θετικό) βαθµό, τέτοια ώστε το γινόµενό τους να είναι το f(x) Το αν ένα πολυώνυµο είναι ανάγωγο εξαρτάται από το σώµα στο οποίο το θεωρούµε Π.χ. g(x) = 2x 2 +x δεν είναι αµείωτο στο GF(3) To g(x)=x 2 +1 αµείωτο στο GF(3) To g(x) = x είναι ανάγωγο στο R αλλά όχι ανάγωγο στο GF(2) διότι: g(x) = (x +1)(x 3 + x 2 + x +1) στο GF(2) Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-59

60 Πεδία Galois Πολυώνυµα στο πεδίο Galois GF(p) Δεδοµένου ενός πολυωνύµου f(x) µε deg(f) = n, Ζ p [x]/(f(x)) = όλα τα πολυώνυµα του Ζ p [x] βαθµού n-1 : p(x) =a 0 +a 1 x+ +a n-1 x n-1 όπου a i GF(p) (= όλα τα πιθανά υπόλοιπα όταν διαιρούµε µε f(x) ) Το Ζ p [x]/(f(x)) περιέχει ακριβώς p n πολυώνυµα είναι δακτύλιος µε πρόσθεση και πολ/µό πολυωνύµων mod f(x) (αν στον πολ/µό προκύψει πολυώνυµο βαθµού n, το ανάγουµε mod f(x) ) Είναι πεδίο αν και µόνο αν το f(x) είναι ανάγωγο Εύρεση αντιστρόφου γίνεται µε εκτενή αλγόριθµο Ευκλείδη όπως και στο Ζ p Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-60

61 Πεδία Galois Θεώρηµα: (i) Κάθε πεπερασµένο πεδίο έχει τάξη της µορφής p n, όπου p πρώτος και n θετικός ακέραιος (ii) Για κάθε πρώτο p και θετικό ακέραιο n, υπάρχει ένα µοναδικό πεπερασµένο πεδίο τάξης p n, το οποίο συµβολίζουµε µε GF(p n ) και ταυτίζεται µε το Ζ p [x]/(f(x)), για κάποιο αµείωτο πολυώνυµο f(x) βαθµού n. Αν υπαρχουν πολλά αµείωτα πολυώνυµα βαθµού n, δεν έχει σηµασία ποιο επιλέγουµε. Τα πεδία που προκύπτουν είναι όλα ισοµορφικά µεταξύ τους GF(p n ): πολυώνυµα βαθµού αυστηρά µικρότερου του n µε συντελεστές στο GF(p) και πράξεις πρόσθεση και πολ/µο mod f(x): Οι συντελεστές ανάγονται mod p Τα πολυώνυµα µετά τον πολ/µό ανάγονται mod f(x) Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-61

62 Πεδία Galois Πεπερασµένα πεδία µορφής GF(p n ) Π.χ., για p=3 (άρα a i =0,1,2), και n=2 έχουµε 9 πολυώνυµα: x x+1 x+2 2x 2x+1 2x+2 H αριθµητική επί των συντελεστών γίνεται modulo 3 Πεπερασµένα πεδία µορφής GF(2 n ) Θα µας απασχολήσουν κυρίως τέτοια πεδία (π.χ. στο AES) Υπάρχει πεπερασµένο πεδίο µε 4 στοιχεία GF(4) = GF(2 2 ) Υπάρχει πεπερασµένο πεδίο µε 8 στοιχεία GF(8) = GF(2 3 ) Δεν υπάρχει πεπερασµένο πεδίο µε 6 στοιχεία επειδή το 6 δεν είναι δύναµη κανενός πρώτου αριθµού. Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-62

63 Πεδία Galois Πεπερασµένο πεδίο GF(2 3 ) ή GF(8) τα πολυώνυµα είναι 0 1 x x+1 x 2 x 2 +1 x 2 +x x 2 +x+1 Κάθε πολυώνυµο αντιστοιχεί σε ένα binary string µε τους συντελεστές Από πίνακα: πολυώνυµο 6 + πολυώνυµο 3 = πολυώνυµο 5 Ισοδύναµα: (x 2 +x) + (x+1) = x Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-63

64 Πεδία Galois Πεπερασµένο πεδίο GF(2 3 ) ή GF(8) τα πολυώνυµα είναι 0 1 x x+1 x 2 x 2 +1 x 2 +x x 2 +x+1 Κάθε πολυώνυµο αντιστοιχεί σε ένα binary string µε τους συντελεστές Πολλαπλασιασµός modulo αµείωτου πολυωνύµου: f(x) = x 3 +x+1 Χρήση πινάκων για αποθήκευση όλων των πιθανών αποτελεσµάτων Πως βρίσκουµε αµείωτο πολυώνυµο; Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-64

65 Πεδία Galois Πεπερασµένο πεδίο GF(2 3 ) ή GF(8) Πως βρίσκουµε αµείωτο πολυώνυµο; Εµπειρικά Ένα πολυώνυµο f(x) βαθµού k ονοµάζεται µονοειδές (monic) στο GF(p) αν o συντελεστής a k =1 Γενικά ψάχνουµε για µονοειδή αµείωτα πολυώνυµα βαθµού n=3 O σταθερός όρος πρέπει να είναι 1 Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-65

66 Πεδία Galois Πεπερασµένο πεδίο GF(2 3 ) ή GF(8) Πως βρίσκουµε αµείωτο πολυώνυµο; αµείωτα είναι τα p 1 (x)=x 3 +x+1 και p 2 (x)=x 3 +x 2 +1 Μπορούµε να επιλέξουµε π.χ. το p 1 (x) Εφόσον οι συντελεστές a i µπορεί να είναι µόνο 0 και 1, υποψήφια: p 0 (x) = x p 1 (x) = x 3 + x + 1 p 2 (x) = x 3 + x p 3 (x) = x 3 + x 2 + x + 1 Αλλά: p 0 (x) = (x+1)(x 2 +x+1) p 3 (x) = (x+1)(x 2 +1) Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-66

67 Πεδία Galois Πεπερασµένα πεδία GF(2 m ) Αµείωτα πολυώνυµα για διάφορα m Αµείωτο πολυώνυµο m(x) = x 8 +x 4 +x 3 +x+1 Χρησιµοποιείται στα ΑΕS S-boxes Υπολογίζεται ο πολλαπλασιαστικός αντίστροφος για κάθε byte εισόδου A(x) Δηλαδή υπολογίζεται το πολυώνυµο G(x) τέτοιο ώστε Α(x)G(x)=1 (mod m(x)) Κρυπτογραφία και Εφαρµογές, ΠΜΣ, Ο.Π.Α. Διάλεξη 2-67

Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Πληροφορικής ΠΜΣ στα Πληροφοριακά Συστήματα Κρυπτογραφία και Εφαρμογές Διαλέξεις Ακ.

Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Πληροφορικής ΠΜΣ στα Πληροφοριακά Συστήματα Κρυπτογραφία και Εφαρμογές Διαλέξεις Ακ. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Πληροφορικής ΠΜΣ στα Πληροφοριακά Συστήματα Κρυπτογραφία και Εφαρμογές Διαλέξεις Ακ. Έτους 2015-2016 Μαρκάκης Ευάγγελος markakis@aueb.gr Ντούσκας Θεόδωρος tntouskas@aueb.gr

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων. Κρυπτογραφία. Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές. Χρήστος Ξενάκης

Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων. Κρυπτογραφία. Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές. Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Κρυπτογραφία Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές Χρήστος Ξενάκης Το σύνολο των ακεραίων Ζ = {..., -2, -1, 0, 1, 2,...} Το σύνολο των φυσικών Ν = {0, 1, 2,...}

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία

Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Χρήστος Κούτρας Γιώργος

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ησυνάρτησηφ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n> 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές και Αριθμοθεωρία

Αλγεβρικές Δομές και Αριθμοθεωρία Κεφάλαιο 9 Αλγεβρικές Δομές και Αριθμοθεωρία 9.1 Εισαγωγή Θα παρουσιάσουμε κάποια στοιχεία από Θεωρία Αριθμών και ελάχιστα από Θεωρία Ομάδων. Οι γνώσεις αυτές είναι οι ελάχιστες απαραίτητες για την κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Η συνάρτηση φ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n > 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ασύμμετρα Κρυπτοσυστήματα κλειδί κρυπτογράφησης k1 Αρχικό κείμενο (m) (δημόσιο κλειδί) Αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2013-2014 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ε. Μαρκάκης Πρόβληµα 1 (5 µονάδες) 2 η Σειρά Ασκήσεων Προθεσµία Παράδοσης: 19/1/2014 Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 11: Αριθμητική υπολοίπων-δυνάμεις Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κρυπτογραφία. Κωνσταντίνου Ελισάβετ

Κρυπτογραφία. Κωνσταντίνου Ελισάβετ Κρυπτογραφία Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ησυνάρτησηφ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n> 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο διάστημα [1, n] που

Διαβάστε περισσότερα

2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ

2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ Η θεωρία αριθμών και οι αλγεβρικές δομές τα τελευταία χρόνια χρησιμοποιούνται όλο και περισσότερο στην κρυπτολογία. Αριθμο-θεωρητικοί αλγόριθμοι χρησιμοποιούνται σήμερα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA

Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το Κρυπτοσύστηµα RSA Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Υπολογισµός Μέγιστου Κοινού ιαιρέτη Αλγόριθµος του Ευκλείδη Κλάσεις Ισοδυναµίας και Αριθµητική modulo

Διαβάστε περισσότερα

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p.

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p. Θεωρια Αριθμων Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Μέρος Α: Πρώτοι Αριθμοί Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Διαιρετότητα: Διαιρετότητα, διαιρέτες, πολλαπλάσια, στοιχειώδεις ιδιότητες. Γραμμικοί Συνδυασμοί (ΓΣ). Ενότητα 2. Πρώτοι

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία

Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθμών Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ 1

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 10: Αριθμητική υπολοίπων - Κυκλικές ομάδες: Διαιρετότητα - Ευκλείδειος αλγόριθμος - Κατάλοιπα Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Διαιρετότητα Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία. Ακέραια διαίρεση. Διαιρετότητα. ΜΚΔ: χρήσιμες ιδιότητες

Διαιρετότητα Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία. Ακέραια διαίρεση. Διαιρετότητα. ΜΚΔ: χρήσιμες ιδιότητες Διαιρετότητα Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθμών Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών H διαιρετότητα

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία

Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθμών Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ 1

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r.

2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r. Κεφάλαιο 2 Θεωρία Αριθμών Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Hardy and Wright 1979 και Graham, Knuth, and Patashnik 1994. 2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί Θεώρημα 2.1 Αν

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (12 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (12 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2015-2016 ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ: Ε. Μαρκάκης, Θ. Ντούσκας Λύσεις 2 ης Σειράς Ασκήσεων Πρόβληµα 1 (12 µονάδες) 1) Υπολογίστε τον

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 9: Εσωτερική πράξη και κλάσεις ισοδυναμίας - Δομές Ισομορφισμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ιαιρετότητα Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών «Ο Αλγόριθµος της ιαίρεσης» Αριθµητική Υπολοίπων 0 r < d και a = d q +r

ιαιρετότητα Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών «Ο Αλγόριθµος της ιαίρεσης» Αριθµητική Υπολοίπων 0 r < d και a = d q +r ιαιρετότητα Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών ο a διαιρεί τον b: συµβολισµός: a b Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς a b και a c a (b + c) a b a bc, για κάθε c Z +

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z).

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z). Παράρτηµα Α 11.1 Εισαγωγή Οπως έχει αναφερθεί ήδη προοδευτικά στο δεύτερο µέρος του παρόντος συγγράµµατος χρησιµοποιούνται ϐασικές έννοιες άλγεβρας. Θεωρούµε ότι οι έννοιες αυτές είναι ήδη γνωστές από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ PRIMES P. Από τα αριστερά προς τα δεξία Saxena, Kayal και Agrawal. Επιµέλεια : Γεωργίου Κωνσταντίνος.

ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ PRIMES P. Από τα αριστερά προς τα δεξία Saxena, Kayal και Agrawal. Επιµέλεια : Γεωργίου Κωνσταντίνος. ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ PRIMES P Επιµέλεια : Γεωργίου Κωνσταντίνος Ιούνιος 003 Από τα αριστερά προς τα δεξία Saena, Kayal και Agawal Η ασχολία της ανθρωπότητας µε τους πρώτους αριθµούς Παράδοση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μαθηματικό Υπόβαθρο. 2.1 Θεωρία Αριθμών Διαιρετότητα

Κεφάλαιο 2. Μαθηματικό Υπόβαθρο. 2.1 Θεωρία Αριθμών Διαιρετότητα Κεφάλαιο 2 Μαθηματικό Υπόβαθρο Σε αυτό το κεφάλαιο Θα παρουσιάσουμε ορισμένα στοιχεία από την Θεωρία Αριθμών, την Θεωρία Ομάδων και την Θεωρία Πιθανοτήτων. Θα περιοριστούμε στις ελάχιστες γνώσεις που μας

Διαβάστε περισσότερα

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291 ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Μιχάλης Κολουντζάκης Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης Βούτες 700 3 Ηράκλειο 6 Απριλίου 205 Πολλές από τις παρακάτω ασκήσεις είναι από το ϐιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις Επαναληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις Επαναληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις Επαναληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015/nt015.html Τρίτη Ιουνίου 015 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί η γραµµική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Επανάληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015b/nt015b.html Πέµπτη 1 Ιανουαρίου 016 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος Σεπτεµβρίου ακαδηµαϊκού έτους 29-2 Τρίτη, 3 Αυγούστου 2 Εφαρµοσµένη Άλγεβρα ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ Μαθηματικά Πληροφορικής 4ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

Κρυπτογραφία. Θεωρία Αριθμών 2/4/2014. Θεωρία Αριθμών

Κρυπτογραφία. Θεωρία Αριθμών 2/4/2014. Θεωρία Αριθμών Κρυπτογραφία Θεωρία Αριθμών Παύλος Εφραιμίδης v1.8, 02/04/2014 1 Θεωρία Αριθμών Θεωρία Αριθμών Ένας όμορφος κλάδος των μαθηματικών Απέκτησε μεγάλη πρακτική αξία χάρη στη Σύγχρονη Κρυπτογραφία Η Υπολογιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

a b b < a > < b > < a >.

a b b < a > < b > < a >. Θεωρια Δακτυλιων και Modules Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Επανάληψη: Προσθετικές ομάδες, δακτύλιοι, αντιμεταθετικοί δακτύλιοι, δακτύλιοι με μοναδιαίο στοιχείο, παραδείγματα. Συμφωνήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Παραδείγµατα:. Η ισότητα x y = x y είναι µια πράξη επί του *. 2. Η ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 3 : και Υπόχωροι Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι.

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι. Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη Τσουκνίδας Ι. 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα 5 1.1 Μάθημα 1..................................... 5 1.1.1

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο. Ασκήσεις

Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο. Ασκήσεις Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο Σηµειώσεις Προετοιµασίας για Μαθηµατικούς ιαγωνισµούς Ασκήσεις Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Νοέµβριος 2012 1 Ασκησεις στη Θεωρια Αριθµων 1 Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 3/ΣΕΜΦΕ/ y x= ( ) ( ) .( ) , τότε

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 3/ΣΕΜΦΕ/ y x= ( ) ( ) .( ) , τότε ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 3/ΣΕΜΦΕ/008-09.(i) S =, : 0 =, :, με + 0 {( ) } {( ) ( )( ) } {(, ):, με 0, 0 } {(, ):, με 0, 0} = + + = 0 + = 0 = (ii). 3 {( ) ( )} ( ) ( ) {(, ):, με 0 ή. } { = } S=, :, με = + =, :,

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και

Διαβάστε περισσότερα

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 ιαιρετότητα και Ισοτιµίες Β και Γ Λυκείου Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Ιούλιος 2009 1 ιαιρετοτητα και Ισοτιµιες ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ),

Α Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ), Α Δ Ι Α - Φ 4 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 15 Νοεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία

Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Καλογερόπουλος Παναγιώτης

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 210 2. Υποοµάδες και το Θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Τάξη στοιχείων και Οµάδων - Κυκλικές (Υπο-)Οµάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 222 3.1. ύναµη

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

Basik 'Algebra Tm ma Majhmatik n Panepist mio Ajhn n Aj na 2013

Basik 'Algebra Tm ma Majhmatik n Panepist mio Ajhn n Aj na 2013 Basik 'Algebra Tm ma Majhmatik n Panepist mio Ajhn n Aj na 2013 Perieqìmena 1 Ακέραιοι 1 1.1 Διαιρετότητα.................................. 1 1.2 Ισοτιμίες..................................... 10 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία

Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Δημήτριος Μπάκας Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών 1.3. Ι Π Ι. Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι:

1.3 Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών 1.3. Ι Π Ι. Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι: 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι: n N {0}, ( ) + n = = n + ( ) και ( ) + ( ) = (**) Ονομάζουμε επικεφαλής συντελεστή ενός μη μηδενικού πολυωνύμου f, τον συντελεστή f(i)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Αλγεβρικές οµές ΙΙ 1. Εστω ότι R Z 3 [x]. Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες 30 λεπτά (αʹ) Να αποδείξετε ότι ο R είναι περιοχή

Διαβάστε περισσότερα

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή )

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή ) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις 05-6 (εκδοχή 8--05) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις Υποδείξεις/Απαντήσεις Περιεχόμενα σελίδα Ασκήσεις Διαιρετότητα στους ακέραιους, ισοτιμίες Ασκήσεις Ακέραιοι odulo, Θεώρημα του Euler

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών

Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών 5ο εξάμηνοσεμφε 2η ενότητα: Αλγοριθμικές τεχνικές, αριθμητικοί υπολογισμοί Διδάσκοντες Θεωρία: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής Εργαστήριο: Δώρα Σούλιου Βοηθός διδασκαλίας:

Διαβάστε περισσότερα

f : G G G = 7 12 = 5 / N. x 2 +1 (x y) z = (x+y+xy) z = x+y+xy+z+(x+y+xy)z = x+y+z+xy+yz+xz+xyz.

f : G G G = 7 12 = 5 / N. x 2 +1 (x y) z = (x+y+xy) z = x+y+xy+z+(x+y+xy)z = x+y+z+xy+yz+xz+xyz. Σ.Παπαδόπουλος 1 1 Βασικές έννοιες ομάδας Εστω G ένα σύνολο με G. Μία πράξη στο G είναι μία συνάρτηση f : G G G. Αντί f(x, y) γράφουμε x y και αν δεν υπάρχει περίπτωση σύγχυσης xy. Είναι φανερό ότι σε

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 ιαιρετότητα και Ισοτιµίες Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης Στη µνήµη του δασκάλου µου, Χάρη Βαφειάδη... www.math.uoc.gr/

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2 ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 203 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ. Στοιχεία από την Άλγεβρα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ. Στοιχεία από την Άλγεβρα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ Στοιχεία από την Άλγεβρα Στο Παράρτημα αυτό, το οποίο παρατίθεται για να συμβάλει στην αυτοδυναμία του βιβλίου, ο αναγνώστης θα μπορεί να προστρέχει για αρωγή σε έννοιες και αποτελέσματα που

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι 4 ιανυσµατικοί χώροι - Βασικοί ορισµοί και ιδιότητες ιανυσµατικοί Χώροι Ένας ιανυσµατικός Χώρος V (δχ) είναι ένα σύνολο από µαθηµατικά αντικείµενα (αριθµούς, διανύσµατα, πίνακες,

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρα. Ενότητα: Πολυωνυµικές σχέσεις - πολυώνυµα µίας µεταβλητής. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Αλγεβρα. Ενότητα: Πολυωνυµικές σχέσεις - πολυώνυµα µίας µεταβλητής. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Πολυωνυµικές σχέσεις - πολυώνυµα µίας µεταβλητής Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I

Αλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I Αλγεβρικές Δομές Ι 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω G μια προσθετική ομάδα S ένα μη κενό σύνολο και M(S G το σύνολο όλων των συναρτήσεων f : S G. Δείξτε ότι το σύνολο M(S G είναι ομάδα με πράξη την πρόσθεση

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών. Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη

Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών. Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη Ευχαριστώ ιδιαίτερα τη ϕοιτήτριά µου Μαρίνα Παλαιστή για τη µεταφορά του χειρογράφου µου σε κείµενο "tex" Κεφάλαιο 1 Βασικές Ιδιότητες Ισοδυναµιών Η ϑεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα.

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα. Δακτύλιοι και Πρότυπα 0-7 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα Βρείτε τη ρητή κανονική μορφή και μια κανονική μορφή Jorda του M( ) 0 0 Έστω

Διαβάστε περισσότερα

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4 Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0},

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπικές έννοιες Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

F 5 = (F n, F n+1 ) = 1.

F 5 = (F n, F n+1 ) = 1. Λύσεις Θεμάτων Θεωρίας Αριθμών 1. (α) Να δειχθεί ότι ο πέμπτος αριθμός της μορφής Fermat, δηλαδή ο F 5 2 25 + 1 διαιρείται από το 641. (β) Εστω F n η ακολουθία των αριθμών Fermat, δηλαδή F n 2 2n + 1,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 24 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

X = {(x 1, x 2 ) x 1 + 2x 2 = 0}.

X = {(x 1, x 2 ) x 1 + 2x 2 = 0}. Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 4 Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 26/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 4 26/2/2014 1 / 12 Υποσύνολα ενός διανυσματικού χώρου. Πότε είναι ένα υποσύνολο X ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα