Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή )

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή )"

Transcript

1 Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις 05-6 (εκδοχή 8--05)

2 Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις Υποδείξεις/Απαντήσεις Περιεχόμενα σελίδα Ασκήσεις Διαιρετότητα στους ακέραιους, ισοτιμίες Ασκήσεις Ακέραιοι odulo, Θεώρημα του Euler 7 Ασκήσεις Δακτύλιοι: ορισμοί, παραδείγματα, βασικές ιδιότητες 4 Ασκήσεις4 Πολυώνυμα 5 Ασκήσεις5 Ομομορφισμοί και ιδεώδη 6 Ασκήσεις6 Ομάδες συμμετρίας, συμμετρικές ομάδες, βασικές ιδιότητες ομάδων 5 Ασκήσεις7 Υποομάδες, Θεώρημα του Lgrge 6 Ασκήσεις8 Ομομορφισμοί ομάδων, περισσότερα για κυκλικές ομάδες 76 Ασκήσεις9 Κανονικές υποομάδες, ομάδα πηλίκο 89 Εκδοχή 8//05

3 Ασκήσεις Ασκήσεις Διαιρετότητα στους ακέραιους, ισοτιμίες Δείξτε τις εξής προτάσεις Αν b, και d μκδ(, b), τότε μκδ( d, b d) b Αν ο δεν είναι τετράγωνο ακεραίου, τότε Έστω bc,, με ( b, ) Δείξτε τις εξής προτάσεις Αν bc, τότε c b Αν c και bc, τότε b c c (, bc) (, c) Έστω, b, c, c 0 Δείξτε τις εξής προτάσεις (, b) (, b) b b ( c, bc) c (, b) 4 Έστω, b, όπου πρώτος Δείξτε ότι αν 4 και b, τότε b 5 Δείξτε ότι αν, b,, τότε (, b) ( b, b) και b ( b, ) ( b, b) 6 Για κάθε ισχύει (,0 ) b Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι που διαιρούν το μκδ( 5, 6) για κάποιο 7 Να υπολογιστεί ο (65,48) και ακέραιοι xy, τέτοιοι ώστε (65,48) 65x 48y 8 Να βρεθούν όλες οι τριάδες (,, 4), όπου οι,, 4 είναι πρώτοι αριθμοί 9 Ποιο είναι το ελάχιστο στοιχείο του συνόλου 4 6b 0, b 4 6b 4c 0, b, c ; 0 Αν b, είναι τέτοια ώστε 7 b, τότε b και ποιο είναι το μέγιστο στοιχείο του b d Έστω, b, 0 με Δείξτε ότι (, ), όπου d (, b) Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι q, με 49 7q q Δείξτε ότι 4 5 για κάθε, b 0 4 4od9 για κάθε 4 Έστω, περιττοί θετικοί ακέραιοι Τότε ( ) 0od 5 Αν, b, 0 και bod, τότε b od και b (, ) ( b, ) για κάθε θετικό ακέραιο Αληθεύει ότι ο ακέραιος 5 είναι πρώτος; 7 Δείξτε ότι δεν υπάρχουν, x, y τέτοιοι ώστε 8 Δείξτε ότι δεν υπάρχουν ακέραιοι xy, τέτοιοι ώστε 9 Δείξτε ότι δεν υπάρχουν xy, τέτοιοι ώστε x x y 4 x 5y y 0 * Δείξτε ότι δεν υπάρχουν,, x τέτοιοι ώστε x Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις αληθεύουν Έστω, b, c, Όταν γράφουμε μκδ(,b) ή εκπ(,b) υποθέτουμε ότι τουλάχιστον ένας από τους,b είναι μη μηδενικός (χωρίς να το αναφέρουμε ρητώς) Με * σημειώνονται οι ασκήσεις που ίσως είναι οι πιο απαιτητικές της ομάδας

4 Ασκήσεις Αν c και bc, τότε b c b Αν b, τότε b c Αν c bc od c και c 0, τότε bod d Αν c bc od και μκδ( c, ), τότε bod e μκδ(, b) μκδ(, c) μκδ(, bc) f Αν μκδ( bc, ), τότε μκδ(, b) μκδ(, c) μκδ(, bc)

5 Ασκήσεις Υποδείξεις/Απαντήσεις Ασκήσεις Έστω d, b b d, οπότε, b και d, b db Αν c 0 είναι κοινός διαιρέτης των,, τότε ο dc είναι κοινός διαιρέτης των b, Άρα dc d καθώς d μκδ(, b) Επειδή d 0, παίρνουμε c, οπότε μκδ(, b) b Έστω, δηλαδή για κάποια, b, b 0 Μπορούμε να υποθέσουμε ότι μκδ( b, ), γιατί b διαφορετικά απλοποιούμε το κλάσμα ( d, όπου d μκδ(, b), και μκδ( d, b d) )) Έχουμε b b b d Από την υπόθεση, b, οπότε υπάρχει πρώτος με b Τότε Λήμμα 5 ), Δηλαδή έχουμε και b πράγμα άτοπο αφού μκδ( b, ) και από το λήμμα του Ευκλείδη (βλ Σύμφωνα με το Θεώρημα 4 υπάρχουν xy, με x by Άρα c cx bcy () Αν bc, τότε cx bcy και από τη σχέση () έπεται ότι c b Αν c και bc, τότε b bc και b c Συνεπώς b cx bcy δηλαδή b c λόγω της () c Επειδή μκδ(, bc) και μκδ(, bc) bc, από την () έπεται ότι μκδ(, bc) c [Σημείωση: Θα μπορούσαμε να φτάσουμε στο ίδιο συμπέρασμα εφαρμόζοντας το ] Επειδή μκδ(, bc) και μκδ(, bc) c, παίρνουμε μκδ(, bc) μκδ(, c ) Έχουμε μκδ(, c) c, οπότε μκδ(, c) bc Από μκδ(, c) και μκδ(, c) bc έπεται ότι μκδ(, c) μκδ(, bc ) Τελικά έχουμε μκδ(, bc) μκδ(, c ) και μκδ(, c) μκδ(, bc ) Επειδή οι ακέραιοι μκδ(, bc) και μκδ( c, ) είναι θετικοί παίρνουμε μκδ(, bc) μκδ(, c) Χωρίς περιορισμό της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι b, (γιατί;) Έστω b b, b, όπου,, είναι πρώτοι διάφοροι ανά δύο και, b Ξέρουμε ότι c c d d μκδ(, b) και εκπ(, b), όπου c {, b }, d x{, b } Από τη σχέση {, b} x{, b} b έπεται ότι d μκδ(, b) εκπ(, b) c c d c d c d b b b b Μπορεί να δοθεί μια απόδειξη όπως η προηγούμενη που να βασίζεται στη σχέση { c, b c} c { b } (άσκηση) Μια άλλη απόδειξη είναι: Από το Θεώρημα 4 υπάρχουν ακέραιοι xy, με x by d, όπου d μκδ(, b) Άρα cx bcy cd Επειδή μκδ( c, bc) c και μκδ( c, bc) bc, από την προηγούμενη ισότητα παίρνουμε μκδ( c, bc) cd Επειδή d έχουμε cd c Όμοια cd bc Άρα cd μκδ( c, bc ) Οι παραπομπές σε Θεωρήματα, Προτάσεις και Παραδείγματα αναφέρονται στο βιβλίο Μια Εισαγωγή στην Άλγεβρα, Δ Βάρσος, Δ Δεριζιώτης, Ι Εμμανουήλ, Μ Μαλιάκας, Ο Ταλέλλη, Γ έκδοση, εκδόσεις Σοφία, 0, ISBN Οι παραπομπές σε ασκήσεις αναφέρονται στις παρούσες σημειώσεις (πχ άσκηση σημαίνει την άσκηση από την ομάδα Ασκήσεις)

6 Ασκήσεις 4 Τελικά έχουμε μκδ( c, bc) cd και cd μκδ( c, bc ) Επειδή οι ακέραιοι μκδ( c, bc ) και cd είναι θετικοί παίρνουμε μκδ( c, bc) cd 4 Υπόδειξη: Από 4 έπεται ότι γιατί ο είναι πρώτος (Λήμμα 5) 5 b Έστω ότι ( b, ) Έστω ότι υπάρχει πρώτος με ( b, b) Τότε b και b Από την τελευταία σχέση έπεται ότι ή b, γιατί ο είναι πρώτος (Λήμμα 5) Αν, τότε από b παίρνουμε b Όμοια, αν b, τότε Σε κάθε περίπτωση έχουμε και b, οπότε (, b), δηλαδή, άτοπο Άρα ( b, b) Έστω ότι ( b, b) Έχουμε (, b) και (, b) b Άρα (, b) b και (, b) b Συνεπώς (, b) ( b, b), δηλαδή ( b, ) Άρα ( b, ) 6 Έχουμε (μιμούμενοι τον Ευκλείδειο αλγόριθμο) 0 ( ) 0 Ξέρουμε ότι αν b q r, όπου, b, q, r, τότε (, b) ( r, ), βλ άσκηση 5 Άρα παίρνουμε διαδοχικά (0, ) (, ) (,) b Απάντηση: 5,7 7 Υπόδειξη: Βλ Παράδειγμα σελίδα 8 Υπόδειξη: Αν πρώτος και, τότε ή, όπου Στην πρώτη περίπτωση ο δεν είναι πρώτος και στη δεύτερη ο 4 δεν είναι πρώτος Υπάρχει μοναδική τριάδα, η (,5,7) 9 Υπόδειξη: Βλ απόδειξη του Θεωρήματος 4 Απάντηση: μκδ(4,6) και 6 μκδ(4,6,4) αντίστοιχα 0 Είναι σαφές ότι το ζητούμενο αληθεύει αν 0 ή b 0 Έστω ότι b, 0 και έστω b b b,, όπου,, 7b 7b υπόθεση έχουμε και άρα (σχέση σελίδα 4) 7 7b b b για κάθε Από b για κάθε έπεται ότι b πρώτοι, j για κάθε j και, b για κάθε Από την η λύση (βασίζεται στον Ευκλείδειο αλγόριθμο) Παρατήρηση: Έστω qr, με b q r Τότε υπάρχει Q b r τέτοιος ώστε Q( ) Πράγματι, θέτοντας q r r ( q) ( q) Q ( ),

7 Ασκήσεις 5 b r εύκολα επαληθεύεται ότι Q( ) q, q,, q, r, r,, r Εφαρμόζοντας τον Ευκλείδειο αλγόριθμο στα b, υπάρχουν ακέραιοι τέτοιοι ώστε b q r, 0 r q r r, 0 r r r q r r 0 r r, r q r 0 Εφαρμόζοντας την παρατήρηση σε κάθε μία από τις παραπάνω ισότητες, υπάρχουν ακέραιοι Q, Q,, Q τέτοιοι ώστε b r Q( ) r r Q ( ) Q ( ) r r r r r Q ( ) 0 Από τις ισότητες αυτές έπεται ότι b r (, ) (, ) r r r r (, ) (, ) r r (, 0) Από τον Ευκλείδειο αλγόριθμο ξέρουμε ότι r (, b) η d λύση: Αρχικά παρατηρούμε ότι αφού d έχουμε λόγω της ταυτότητας dt d d ( t) d ( t) d d b ( )( ) Όμοια και συνεπώς d μκδ(, b ) Έστω μκδ( b b c, ) Τότε od c και od c Από το Θεώρημα 4 υπάρχουν ακέραιοι xy, x με d x by Χωρίς περιορισμό της γενικότητας υποθέτουμε ότι x 0 και y 0 Έχουμε od c και b( y) d d d b( y) db( y) x d od c Άρα od c Δηλαδή c d d d Επειδή c, c και c 0, έχουμε c Απάντηση: q Έχουμε και 5 4od Άρα od και 4 0od Άρα 4 5 0od, δηλαδή 4 5 Αλλά (Σημείωση Φυσικά μπορεί να αποδειχτεί το ζητούμενο με επαγωγή στο ) b Επειδή 0 od9 έχουμε 0 od9 και άρα αρκεί να αποδειχτεί ότι 4 4od9 Παρατηρούμε ότι 4 4 (4 ) και 4 od Άρα 9 (4 ) 4 Έχουμε od για κάθε,, περιττός, ( ) ( ) και άρα ( ) 0od Αθροίζοντας την τελευταία ισοτιμία για και άρα ( ) ( ) od Επειδή ο είναι,,,, προκύπτει το ζητούμενο

8 Ασκήσεις 6 5 Έχουμε b ( b)( b b b ) Από την υπόθεση, b Επίσης, b od για κάθε θετικό ακέραιο (Πόρισμα 5) Συνεπώς b b b b b b bb b b 0od, δηλαδή b b b Άρα b Από την υπόθεση, b od Συνεπώς ( b)( b b b ) b q μκδ(, ) μκδ( q, ) (άσκηση 5) και έχουμε το ζητούμενο 6 Όχι αφού ( ) 5 6 0od και 7 Βλ Εφαρμογή 8 8 Αν υπάρχουν ακέραιοι xy, τέτοιοι ώστε x 0,,,,4od5 έχουμε x x, q Εύκολα αποδεικνύεται ότι y, τότε x 0,,,,4 od5 Επειδή 0,,4od5 Δηλαδή σε κάθε περίπτωση, x x od5, άτοπο od 5, δηλαδή 4od5 και x 4 od 5 od5 Επειδή, παίρνουμε 9 Υπόδειξη: Έστω x c, y b c με, b, c, c 0 Μπορούμε να υποθέσουμε ότι δεν υπάρχει ακέραιος d τέτοιος ώστε d, d b, d c (γιατί αλλιώς απλοποιούμε τα κλάσματα) Αν Εργαζόμενοι odulo, δείξτε ότι η τελευταία σχέση οδηγεί σε άτοπο 0 Υπόδειξη: Αποδείξτε τα εξής: Για κάθε x, x 0,,4od8 Τώρα αν b Για κάθε,,od8 Απαντήσεις Λ b Λ c Σ d Σ e Λ f Σ x, όπου,, x, τα και b οδηγούν σε άτοπο x y, τότε b c

9 Ασκήσεις 7 Ασκήσεις Ακέραιοι odulo, Θεώρημα του Euler Εξετάστε αν το [48] είναι αντιστρέψιμο στο 0 και υπολογίστε το αντίστροφό του αν υπάρχει Να βρεθεί ένα στοιχείο [ ] U( 5), έτσι ώστε κάθε στοιχείο του U ( 5) να είναι της μορφής [ ], Αληθεύει ότι υπάρχει [ ] U( 8), έτσι ώστε κάθε στοιχείο του U ( 8) να είναι της μορφής [ ] όπου ; Δείξτε ότι σε κάθε ημερολογιακό έτος (δίσεκτο ή μη) υπάρχει τουλάχιστον μία Τρίτη και 4 Υπολογίστε το άθροισμα A των στοιχείων του, για,4,5,6 Δείξτε ότι A [0] αν περιττός Ποιο είναι το A αν άρτιος και μη μηδενικός; 5 Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις αληθεύουν Υπάρχει [ ] 0,[ ] [0], τέτοιο ώστε [ ] [0] b Υπάρχει [ ] 60,[ ] [0], τέτοιο ώστε [ ] [0] 6 Ένα στοιχείο [ ] λέγεται μηδενοδύναμο αν υπάρχει θετικός ακέραιος με [ ] [0] Βρείτε τα μηδενοδύναμα στοιχεία του b Έστω s s, όπου διάφοροι ανά δύο πρώτοι Δείξτε ότι το [ ] είναι μηδενοδύναμο αν και μόνο αν s c Δείξτε ότι αν το [ ] είναι μηδενοδύναμο, τότε το [ ] είναι αντιστρέψιμο d Έστω ακέραιος με την εξής ιδιότητα Κάθε μη αντιστρέψιμο στοιχείο του είναι μηδενοδύναμο Δείξτε ότι είναι δύναμη πρώτου 7 Έστω, b,, με Έστω ότι το [ b] είναι αντιστρέψιμο Δείξτε ότι το [ ] είναι αντιστρέψιμο 8 Βρείτε 555 το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 7, 00 b τα τελευταία δύο ψηφία του 7 στο δεκαδικό σύστημα 4 9 Δείξτε ότι αν ο ακέραιος δεν είναι πολλαπλάσιο του 5, τότε ο 4 δεν είναι πρώτος 0 Έστω ο αριθμός μητρώου σας Βρείτε το τελευταίο ψηφίο του 7 στο δεκαδικό σύστημα Δείξτε ότι για κάθε, b od547 Σημείωση: Δείξτε ότι για κάθε, ( ) 4 od 5 Έστω Δείξτε ότι 5od od ή 9od 4 Έστω Δείξτε ότι 7 od0 0od4 b Να βρεθούν όλοι οι τέτοιοι ώστε 9 od4 5 Έστω πρώτος με od 4 Δείξτε ότι δεν υπάρχει με od 6 Έστω με (,7) Δείξτε ότι od 7 7 Δείξτε τα εξής Αν το 0 είναι πολλαπλάσιο του 0, τότε το ( ) είναι πολλαπλάσιο του 8 b Έστω 0 περιττός Το φ( ) είναι δύναμη του αν και μόνο αν το είναι γινόμενο διάφορων ανά δύο πρώτων της μορφής 8 Έστω,, 0 Δείξτε τα εξής

10 Ασκήσεις 8 d φ( ) φ( )φ( ), όπου d μκδ(, ) φ( d) b Αν, τότε φ( ) φ( ) c φ( ) φ( ) 9 Αν, είναι σχετικά πρώτοι θετικοί ακέραιοι, τότε ( ) ( ) od( ) ( 0 * Έστω 0 με Τότε ) od για κάθε Ο 0 04 δεν είναι τετράγωνο ακεραίου Έστω,5 πρώτος Δείξτε ότι ο διαιρεί άπειρο το πλήθος από τους,,, (συνήθης δεκαδική γραφή) Έστω 0 Αν d 0 A {,,, } (, ) d Δείξτε τα εξής με d, θέτουμε d Το σύνολο A d περιέχει ακριβώς ( d) στοιχεία b Έχουμε την ξένη ένωση {,,, } Ad c ( d) d φ( ) 4 Έστω, 0 με μκδ(, ) μκδ(, ) Τότε 0od 5 Πόσα στοιχεία έχει το σύνολο A {[ ] 77 0, [ ] []} ; 6 Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις αληθεύουν Για κάθε, το [ ] είναι αντιστρέψιμο b Αν b, και b U( ), τότε, b U( ) c Αν, με 0, τότε od 9 d Το αντίστροφο του [7] είναι το [7 ] d

11 Ασκήσεις 9 Υποδείξεις/Απαντήσεις Ασκήσεις Εφαρμόζοντας τον Ευκλείδειο αλγόριθμο έχουμε Άρα μκδ(48,0)= και το [48] 0 είναι αντιστρέψιμο σύμφωνα με την Πρόταση 45 Για τον υπολογισμό του αντίστροφου του [48] έχουμε οπότε (0 48) 448 ( ) 0 Δηλαδή 448 ( ) 0 Άρα το αντίστροφο του [48] 0 είναι το [4] 0 Απάντηση: Το στοιχείο [] 5 έχει τη ζητούμενη ιδιότητα αφού [] [], [] [4], [] [8] [], 4 [] [6] [] Δηλαδή ( 4 5) [],[],[],[] U Για το δεν αληθεύει, καθώς έχουμε 8 U( 8) {[],[],[5],[7]} και με πράξεις επαληθεύεται ότι για [ ] U( 8) {[]}, αν [ ] [] ισχύει [ ],, {[],[ ]},αν [ ] [] Υπόδειξη: Ας θεωρήσουμε μια - και επί αντιστοιχία μεταξύ των ημερών της εβδομάδας και των στοιχείων του 7, πχ την ακόλουθη: Κυριακή [], Δευτέρα [] κλπ Αν [ ] 7 αντιστοιχεί στην ημέρα της εβδομάδας με ημερομηνία του μήνα (,,, ), αρκεί να δείξουμε ότι {[ ],,,} 7 Για να υπολογίσουμε τα [ ],,,, συναρτήσει του [ ] παρατηρούμε ότι, επειδή ο Ιανουάριος έχει ημέρες και od 7, έχουμε [ ] [ ] [ ] Αν ο Φεβρουάριος έχει 8 ημέρες, τότε [ ] [ 8] [ ] [ ] Όμοια [ 4] [ ] [ ] [ 6] κοκ Βρίσκουμε τελικά {[ ],,,} {[ ],[ ],[ ],,[ 6]} Ο υπολογισμός για δίσεκτα έτη είναι παρόμοιος 7 4 Απάντηση: Αν άρτιος και μη μηδενικός, τότε A [ ] 5 Λάθος Έχουμε

12 Ασκήσεις 0 [ ] [0] [ ] [0] [ ] [0] Χρησιμοποιήσαμε ότι οι,,5 είναι πρώτοι (βλ Λήμμα 5) Χρησιμοποιήσαμε ότι οι,,5 είναι ανά δύο σχετικά πρώτοι (βλ Παράδειγμα 8 ή άσκηση b) Φυσικά θα μπορούσαμε να πούμε ότι το εκπ των,,5 διαιρεί το b Απάντηση: Σωστό Το [ ] [0] έχει τις ζητούμενες ιδιότητες (Πως το βρήκαμε; Υπάρχει άλλο τέτοιο στοιχείο;) 6 b Έστω ότι [ ] [0] για κάποιο θετικό ακέραιο Τότε [ ] [0] για κάθε, οπότε από το Λήμμα 5 έχουμε για κάθε Από την άσκηση b έπεται ότι s Αντίστροφα, έστω s Για x{,, s } ισχύει Επειδή, παίρνουμε, δηλαδή [ ] [0] c ος τρόπος Αν[ ] [0], τότε [] [ ] [] [ ] [ ] [ ] [] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [] [ ] [], και συνεπώς το [ ] [] [ ] είναι αντιστρέψιμο ος τρόπος Έστω ότι το [ ] είναι μηδενοδύναμο Από το ερώτημα έχουμε s s για κάθε Από αυτό έπεται ότι μκδ(, ), γιατί διαφορετικά θα υπήρχε πρώτος με και, δηλαδή για κάποιο j,, s θα είχαμε j, οπότε Συνεπώς το [ ] είναι αντιστρέψιμο j 7 Επειδή το [ b] είναι αντιστρέψιμο, έχουμε ( b, ) Έστω d 0 με d και d Τότε d b και d (αφού ) Συνεπώς d ( b, ), οπότε d Άρα (, ) και επομενως το [ ] είναι αντιστρέψιμο ος τρόπος Αν υπάρχει c με [ b] [ c] [], τότε [ bc] [], δηλαδή bc Επειδή, έχουμε bc από το οποίο έπεται ότι [ b] [ c] [] και άρα το [ b] είναι αντιστρέψιμο 8 Βλ Παράδειγμα b Λύση: Ζητάμε το υπόλοιπο της διαίρεσης του 7 με το 00 Σύμφωνα με την Πρόταση 6 έχουμε (00) ( 5 ) ( ) (5 ) ( )(5 5) 40 Επίσης (7,00) αφού το 7 είναι πρώτος που δεν διαιρεί το 00 Άρα από το Θεώρημα του Euler, 40 7 od Επειδή , παίρνουμε 7 (7 ) 7 και άρα od Έχουμε 7 (7 ) (40) od00 Άρα με το 00 είναι και επομένως τα δύο τελευταία ψηφία του 00 7 od00 9 Υπόδειξη: Για περιττό εφαρμόστε το μικρό θεώρημα του Fert για 5, δηλαδή το υπόλοιπο της διαίρεσης του 00 7 στο δεκαδικό σύστημα είναι

13 Ασκήσεις 0 Υπόδειξη: Ζητάμε το υπόλοιπο της διαίρεσης του 7 με το 0 ος τρόπος Έχουμε (0) 4 Εφαρμόστε το Θεώρημα του Euler ος τρόπος Παρατηρούμε ότι 7 ( ) od0 Αν ο είναι περιττός, τότε ( ) 0od0 και το ζητούμενο υπόλοιπο είναι 0 Αν ο είναι άρτιος,, τότε ( ) 9 9 od0, οπότε ( ) ( ) ( ) od0 και επομένως το ζητούμενο υπόλοιπο είναι 8 ή αν ο είναι περιττός ή άρτιος αντίστοιχα Βλ Παράδειγμα 49 b Υπόδειξη: Όπως το προηγούμενο υποερώτημα Από το μικρό θεώρημα του Fert για 5 έχουμε για κάθε 5 od5, 5 ( ) od 5 Παρατηρούμε ότι ( ) ( ) ( ) ( )( ) od5 9 5 ( ) od5 και άρα Επειδή od έχουμε od για κάθε Επίσης, από το μικρό θεώρημα του Fert, od για κάθε και άρα od Άρα 5od 5od 4 0od 4 ( )( ) ή od ή od od ή 9od Εναλλακτικά (πχ σε περίπτωση που δεν είχαμε τη βολική παραγοντοποίηση του 4 ), θα μπορούσαμε στο σημείο αυτό να δοκιμάσουμε ποιες από τις περιπτώσεις 0,,,0od ικανοποιούν τη 4 0od 4 Από την Ευκλείδεια διαίρεση υπάρχουν r, με 4 r, 0 r 4 Τότε 4 r 7 (7 ) 7 Έχουμε 4 4 r 7 40 και άρα 7 od 0 Τότε 7 7 od0 Συνεπώς r 7 od 0 7 od 0 Για r 0, η τελευταία ισοτιμία αληθεύει, ενώ εύκολα επαληθεύεται ότι για r,, δεν αληθεύει Συνεπώς 7 od 0 r 0 0od Σημείωση: Από το Θεώρημα του Euler έχουμε 7 od 0 ενώ είδαμε πριν ότι 7 od 0 Έστω,, 0, με (, ) Η άσκηση αυτή δίνει ένα παράδειγμα όπου ο εκθέτης ( ) στο Θεώρημα ( ) του Euler, od, δεν είναι γενικά ο μικρότερος θετικός ακέραιος τέτοιος ώστε od Μπορεί να αποδειχθεί ότι ο μικρότερος τέτοιος θετικός ακέραιος είναι διαιρέτης του ( ), βλ Παράδειγμα 6 Μάλιστα το επιχείρημα του παραδείγματος δείχνει ότι κάθε άλλος θετικός ακέραιος που ικανοποιεί od είναι πολλαπλάσιο του Το θέμα αυτό θα το εξετάσουμε αργότερα στο εξάμηνο όταν μελετήσουμε τις ομάδες b Απάντηση: od6

14 Ασκήσεις 5 Υπόδειξη: Έστω ισοτιμίας σε άτοπο od Αν, τότε, άτοπο Άρα το δεν διαιρεί το Υψώστε τα μέλη της od σε κατάλληλη δύναμη και εφαρμόστε το μικρό θεώρημα του Fert για να καταλήξετε 6 Βλ Παράδειγμα 6 7 Αφού 0, έχουμε 5, όπου 0 και ο 0 είναι σχετικά πρώτος με καθέναν από τους,,5 Άρα ( ) ( 5 ) ( ) ( )( )(5 5 ) ( ) (Πρόταση 6) Έχουμε ( ) που είναι πολλαπλάσιο του και (5 ) που είναι πολλαπλάσιο του 4 Άρα το ( ) είναι πολλαπλάσιο του 8 t b Έστω t όπου διακεκριμένοι περιττοί πρώτοι Τότε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t t Το δεξί μέλος είναι δύναμη του αν και μόνο αν για κάθε και Όμως αν ο είναι πρώτος, τότε το είναι δύναμη του, γιατί αν qr με q περιττό, τότε ( r ) q ( r )(( r ) q ( r ) q r ), πράγμα που αντιφάσκει ότι ο είναι πρώτος 8 Από την Πρόταση 6, το ζητούμενο ισοδυναμεί με την ισότητα ( ) ( ) ( ) ( ) d όπου σε κάθε γινόμενο το διατρέχει τους πρώτους που έχουν την αναγραφόμενη ιδιότητα Επειδή d το ζητούμενο ισοδυναμεί με την ισότητα ( ) ( ) ( ) d,, () όπου d σημαίνει δεν διαιρεί το d Έστω P το σύνολο των πρώτων διαιρετών ενός ακεραίου Με το Λήμμα του Ευκλείδη παίρνουμε P P P και από d μκδ(, ) έπεται Pd P P Συνεπώς έχουμε την ξένη ένωση P ( P Pd ) P Από αυτό έπεται η () b Έπεται άμεσα από το c Έπεται άμεσα με επαγωγή στο 9 Έχουμε (, ) Εφαρμόζοντας δυο φορές το Θεώρημα του Euler παίρνουμε Από την πρώτη σχέση έχουμε ( ) ( ) σχέσεις και (, ) έπεται ότι και από τη δεύτερη ( ) ( ), δηλαδή 0 Υπόδειξη: Μπορούμε να υποθέσουμε ότι Έστω r r ( ) ( ) Δείξτε ότι για κάθε, ως εξής: ( ) ( ) ( ) ( ) od( ) και ( ) ( ) Από τις δύο τελευταίες η ανάλυση του σε γινόμενο πρώτων

15 Ασκήσεις αν ο δεν διαιρεί το, δείξτε ότι αν, δείξτε ότι Από την άσκηση b έπεται το ζητούμενο Υπόδειξη: Δείξτε ότι ( ) ( ) και od0 και παρατηρήστε ότι το δεν είναι τετράγωνο odulo0 Υπόδειξη: Έστω Καθένας από τους,,, διαιρείται με το (γιατί;) Έστω Παρατηρήστε ότι 0 9 και χρησιμοποιήστε το μικρό θεώρημα του Fert για να δείξετε ότι αν Υπόδειξη: Έστω d 0 με d και έστω {,,, } Δείξτε ότι Ad αν και μόνο αν d και ( d, d) Από αυτό έπεται ότι το πλήθος των στοιχείων του A d είναι ίσο με ( d), γιατί όταν το d διατρέχει τους θετικούς διαιρέτες του, το ίδιο συμβαίνει με το c Έχουμε ( d) ( d) d d d Το ζητούμενο έπεται από την προηγούμενη παρατήρηση και τα υποερωτήματα και b 4 Χρησιμοποιήστε τη σχέση ( )( ) φ( )- φ( ) και το Θεώρημα του Euler 5 Δείξτε ότι [ ] A αν και μόνο αν [ ] U( 77) (Για τη μία κατεύθυνση θα χρειαστεί το θεώρημα του Euler) Άρα το ζητούμενο πλήθος είναι φ(77) φ(7) φ(7)φ() Απαντήσεις: Σ b Σ c Λ d Σ

16 Ασκήσεις 4 Ασκήσεις Δακτύλιοι: ορισμοί, παραδείγματα, βασικές ιδιότητες Δείξτε τα εξής Η αντιστοιχία που ορίζεται από, ([ ],[ ]) [ ], όπου x{, }, δεν είναι απεικόνιση b Το σύνολο είναι ένας μεταθετικός δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο ως προς τις πράξεις : και : που ορίζονται από b b και b b ( b) Το μηδενικό στοιχείο είναι το και το μοναδιαίο στοιχείο είναι το c Το σύνολο δεν είναι δακτύλιος ως προς τις πράξεις : και : όπου η είναι η συνήθης πρόσθεση και η ορίζεται από b b R, b, c, d ένα σύνολο με 4 στοιχεία Εξετάστε αν το R είναι δακτύλιος ως προς δύο πράξεις Έστω τέτοιες ώστε ο πίνακας της πρόσθεσης είναι ο ακόλουθος + b c d b c d b c d b c d b c d c b d Εξετάστε αν ο S είναι υποδακτύλιος του R Στις περιπτώσεις που ο S είναι υποδακτύλιος του R, εξετάστε αν είναι μεταθετικός, αν έχει μοναδιαίο στοιχείο, αν είναι περιοχή, και αν είναι σώμα S, R b S [ ] b, b c S b, b, R d S b, b, 0od, R, R [ ] e S {[0],[4],[8]}, R f 0 0 S M( ), 0 g 0 S M( ), 0 h b S, b, c, b c 0, 0 c 4 Δείξτε ότι το σύνολο των αντιστρέψιμων στοιχείων του δακτυλίου [ ] b, b είναι το {,,, }, b [ ] b, b είναι το [ ] {0} 5 Δείξτε ότι ο πίνακας A M ( ) είναι αντιστρέψιμο στοιχείο του δακτυλίου M ( ) αν και μόνο αν det A 6 Έστω R δακτύλιος Δείξτε ότι αν ο R έχει μοναδιαίο στοιχείο και u, v U( R), τότε uv U( R) b Έστω ότι υπάρχει μοναδικό στοιχείο e R με er r για κάθε r R Δείξτε ότι re r για κάθε r R 7 Δείξτε ότι το σύνολο U ( [ ]) είναι άπειρο [ ] [ b] 8 Έστω 0 και T( ) A M ( ) A [0] [ c]

17 Ασκήσεις 5 Δείξτε ότι το T ( ) είναι υποδακτύλιος του M ( ) b Αληθεύει ότι ο T ( ) είναι μεταθετικός; c Δείξτε ότι το σύνολο UT ( ( )) των αντιστρέψιμων στοιχείων του T ( ) έχει ( ) στοιχεία b 9 Δείξτε ότι το R M ( ) είναι υποδακτύλιος του b M ( ) Επίσης, το R είναι σώμα 0 Πόσα στοιχεία του δακτυλίου M ( ) είναι αντιστρέψιμα; Αν είναι ένας πρώτος αριθμός, πόσα στοιχεία του δακτυλίου M ( ) είναι αντιστρέψιμα; Έστω R,, b b Δείξτε ότι ο R είναι υποδακτύλιος του b Δείξτε ότι ο R περιέχεται σε κάθε υποδακτύλιο του που περιέχει τα, c Αληθεύει ότι το R είναι σώμα; Έστω R υποδακτύλιος του με R Δείξτε ότι το R είναι διανυσματικός χώρος με πρόσθεση RR R τη πρόσθεση στο R, και εξωτερικό πολλαπλασιασμό R R τον περιορισμό του πολλαπλασιασμού του R b Δείξτε ότι αν d R, τότε το R είναι σώμα Έστω με 0 Θέτουμε R { c0 c c c } Δείξτε ότι το R είναι υποδακτύλιος του b Δείξτε ότι το R είναι σώμα c Δείξτε ότι 0 και υπολογίστε c με ( ) c0 c c 4 Έστω RS, δύο δακτύλιοι Δείξτε ότι ο R S είναι μεταθετικός αν και μόνο αν οι RS, είναι μεταθετικοί b Δείξτε ότι ο R S έχει μοναδιαίο στοιχείο αν και μόνο αν οι RSέχουν, μοναδιαία στοιχεία c Έστω ότι οι RS, έχουν μοναδιαία στοιχεία Δείξτε ότι U( RS) U( R) U( S) d Αληθεύει ότι αν οι RS, είναι περιοχές, τότε και ο R S είναι περιοχή; 5 Δείξτε ότι κάθε υποδακτύλιος του είναι της μορφής, όπου 6 Αν R, I, είναι υποδακτύλιοι του δακτυλίου R, τότε η τομή R είναι υποδακτύλιος του R b Να βρεθεί ένα τέτοιοι ώστε 4 6 c Δείξτε ότι το σύνολο δεν είναι υποδακτύλιος του 7 (Διωνυμικό ανάπτυγμα) Έστω R δακτύλιος και, b R Δείξτε ότι αν b b, τότε για κάθε!,, έχουμε ( b) b b, όπου,! ( 0 )!( )! 8 Έστω πρώτος αριθμός και R μεταθετικός δακτύλιος τέτοιος ώστε r 0 για κάθε r R Δείξτε τα εξής ( b) b 9 b ( ) b b για κάθε Δείξτε ότι κάθε υπόσωμα του περιέχει το b Δείξτε ότι τα σύνολα [ ] b, b και [ ] b, b υποσώματα του c Ποια είναι η τομή [ ] [ ] ; 0 Να βρεθούν οι υποδακτύλιοι του M ( ) που περιέχουν τους συμμετρικούς πίνακες I είναι

18 Ασκήσεις 6 Δείξτε ότι ο δακτύλιος R είναι μεταθετικός αν και μόνο αν ( b) b b για κάθε, b R Ένα στοιχείο r ενός δακτυλίου R λέγεται ταυτοδύναμο αν περιπτώσεις βρείτε όλα των ταυτοδύναμα στοιχεία του R R 0 b R, όπου πρώτος και 0 c R σώμα d R M ( ) r r Σε καθεμιά από τις ακόλουθες Ένα στοιχείο r ενός δακτυλίου R λέγεται μηδενοδύναμο αν r 0 για κάποιο θετικό ακέραιο Βρείτε όλα τα μηδενοδύναμα στοιχεία του και του 0 60 b Συμπληρώστε την πρόταση: Έστω Ο δεν έχει μη μηδενικό μηδενοδύναμο στοιχείο αν και μόνο αν ο 4 Έστω R δακτύλιος Δείξτε ότι αν το r R είναι μηδενοδύναμο (βλ προηγούμενη άσκηση) και ο R έχει μοναδιαίο στοιχείο, τότε r U( R) b Δείξτε ότι αν τα r, s R είναι μηδενοδύναμα και ο R μεταθετικός, τότε το rs είναι μηδενοδύναμο c Δείξτε ότι αν τα r, s R είναι μηδενοδύναμα και ο R μεταθετικός, τότε το r s είναι μηδενοδύναμο Συνεπώς το σύνολο των μηδενοδύναμων στοιχείων ενός μεταθετικού δακτυλίου R είναι υποδακτύλιος του R 5 Έστω R υποδακτύλιος ενός σώματος και, b R Αν υπάρχουν σχετικά πρώτοι θετικοί ακέραιοι, τέτοιοι ώστε b και b, τότε b 6 Έστω R δακτύλιος Αν X R A( X ) r R rx 0 x X, θέτουμε Δείξτε ότι το AX ( ) είναι υποδακτύλιος του R b Για R M ( ) και X βρείτε τον AX ( ) και εξετάστε αν είναι μεταθετκός και αν έχει 0 0 μοναδιαίο στοιχείο 7 Έστω A M ( ) με det A 0 Θέτουμε R A Δείξτε ότι ο R είναι μεταθετικός υποδακτύλιος του M ( ) b Δείξτε ότι ο R έχει μοναδιαίο στοιχείο αν και μόνο αν A 0 ή Tr( A) Στις περιπτώσεις αυτές βρείτε τα αντιστρέψιμα στοιχεία του R C( R) R r r r R Το CR ( ) ονομάζεται το κέντρο του 8 Αν R είναι δακτύλιος, έστω δακτυλίου R Δείξετε ότι C( R) R R μεταθετικός b Δείξτε ότι το CR ( ) είναι ένας υποδακτύλιος του R 0 c Δείξτε ότι C M ( ) 0 d Δείξτε ότι C M ( ) I, όπου I είναι ο ταυτοτικός πίνακας e Έστω RS, δυο δακτύλιοι Εξετάστε αν C( RS) C( R) C( S) 9 * Έστω R δακτύλιος τέτοιος ώστε r r C( R) για κάθε r (βλ προηγούμενη άσκηση για τον ορισμό του CR) ( ) Δείξτε ότι ο R είναι μεταθετικός 0 Έστω R πεπερασμένος δακτύλιος και R που δεν είναι μηδενοδιαιρέτης Δείτε ότι ο R έχει μοναδιαίο στοιχείο και το είναι αντιστρέψιμο Έστω R δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο και, b R Δείξτε ότι αν το b U( R), τότε b U( R) Έστω R ένας δακτύλιος τέτοιος ώστε r r για κάθε r R Δείξτε ότι ο R είναι μεταθετικός * Έστω R ένας δακτύλιος τέτοιος ώστε r r για κάθε r R Δείξτε ότι ο R είναι μεταθετικός

19 Ασκήσεις 7 4 Έστω R δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο R και S υποδακτύλιος του R με μοναδιαίο στοιχείο S Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις αληθεύουν U( S) U( R) b Αν R S, τότε U( S) U( R) c Αν ο R είναι περιοχή και ο S μη τετριμμένος, τότε ο S είναι περιοχή d Αν ο R είναι σώμα και ο S πεπερασμένο σύνολο με τουλάχιστον δύο στοιχεία, τότε ο S είναι σώμα

20 Ασκήσεις 8 Υποδείξεις/Απαντήσεις Ασκήσεις Έχουμε ([0],[]) ([],[]), ([0],[]) [], ([],[]) [] και [] [] b Με πράξεις επαληθεύονται όλες οι ιδιότητες του ορισμού c Δεν ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα της καθώς ( b) c ( b) c ( b) c b c και ( b c) ( bc) ( b c) b c Για παράδειγμα, ( ), ενώ ( ) Απάντηση: Η πράξη της άσκησης αυτής δεν μπορεί να είναι η πρόσθεση δακτυλίου, για παράδειγμα δεν υπάρχει ουδέτερο στοιχείο (δεν υπάρχει γραμμή της μορφής b c d ) (Επίσης, από τον πίνακα βλέπουμε ότι b d d b ) Απαντήσεις: Είναι μεταθετικός υποδακτύλιος και δεν έχει μοναδιαίο στοιχείο Συνεπώς δεν είναι περιοχή ούτε σώμα b Είναι περιοχή Δεν είναι σώμα, αφού, για παράδειγμα, το δεν είναι αντιστρέψιμο στο [ ] (αποδείξτε το) c Δεν είναι υποδακτύλιος Δεν είναι κλειστό ως προς τον πολλαπλασιασμό, ειδικά 4 S (γιατί;) d Δεν είναι υποδακτύλιος Δεν είναι κλειστό ως προς τον πολλαπλασιασμό Για παράδειγμα, ενώ S, έχουμε ( ) 6 S αφού 0od e Σώμα (με μοναδιαίο στοιχείο το [4]) 0 0 f Σώμα (με μοναδιαίο στοιχείο το ) 0 g Δεν είναι υποδακτύλιος (δεν περιέχει το μηδενικό πίνακα) 0 h Δεν είναι υποδακτύλιος Δεν είναι κλειστό ως προς τον πολλαπλασιασμό Για παράδειγμα ενώ S, 0 έχουμε 0 0 S ) Είναι σαφές ότι {,,, } U( [ ]) (Για παράδειγμα, το αντίστροφο του είναι το, αφού ( ) ( ) ) Έστω b,, b, με b U( [ ]) Τότε υπάρχουν dc, με ( b)( c d) Λαμβάνοντας μέτρα μιγαδικών έχουμε ( b)( c d), οπότε ( b) ( c d) και ( b) ( c d) Άρα ( b )( c d ) Επειδή οι b και c d είναι θετικοί ακέραιοι, έχουμε b Επειδή b, παίρνουμε ) και b 0 ή ) 0 και b Συνεπώς ο b είναι ένας από τους,,,, πράγμα που σημαίνει ότι U( [ ]) {,,, } Άρα U( [ ]) {,,, } b Βλ σελίδα 8 5 Έστω ότι ο A M ( ) είναι αντιστρέψιμο στοιχείο του δακτυλίου M ( ) Τότε υπάρχει B M ( ) με AB BA I Λαμβάνοντας ορίζουσες έχουμε det( AB) det I, οπότε (det A)(det B) Επειδή A, B M ( ), έχουμε det A,det B και άρα det A

21 Ασκήσεις 9 Αντίστροφα, έστω A M ( ) με det A Από τη γραμμική άλγεβρα, ξέρουμε ότι ο A είναι αντιστρέψιμο στοιχείο του M ( ) και A dja det A, j όπου στη θέση (, j ) του πίνακα dja υπάρχει το στοιχείο ( ) det A j, όπου A j είναι ο ( ) ( ) πίνακας που προκύπτει από τον A κατόπιν διαγραφής της j στήλης και γραμμής του A Επειδή τα στοιχεία του A είναι ακέραιοι, το ίδιο συμβαίνει με τον dja Επειδή det A, βλέπουμε ότι τα στοιχεία του ακέραιοι, δηλαδή A M ( ) Άρα υπάρχει A M ( ) τέτοιος ώστε A AA A A I M ( ) είναι Δηλαδή το στοιχείο A M ( ) είναι αντιστρέψιμο Σημείωση: Ο πίνακας A M( ) είναι αντιστρέψιμο στοιχείο του δακτυλίου M ( ) (αφού det A 0) αλλά όχι του M ( ) (αφού det A ) Στο M ( ), A 6 Έστω u, v U( R) Τότε υπάρχουν u, v R τέτοια ώστε uuuu R και vvvv R Θέτοντας w v u παρατηρούμε ότι ( uv) w ( uv)( vu) (( uv) v) u ( u( vv)) u ( u R) u uu R Όμοια w( uv) Άρα uv U( R) b Υπόδειξη: Δείξτε ότι ( re r e) s s για κάθε r, s R και χρησιμοποιήστε τη μοναδικότητα της υπόθεσης 7 Υπόδειξη: Δείξτε ότι το 8 είναι αντιστρέψιμα είναι αντιστρέψιμο Άρα (βλ προηγούμενη άσκηση) τα b Δεν είναι γενικά μεταθετικός [ ] [ b] c Υπόδειξη: Δείξτε ότι U( T ( )) [ ],[ c] U( ) [0] [ c] 9 Βλ Παράδειγμα 5 5,, 0 Έστω A M ( ), οπότε κάθε στοιχείο του πίνακα A είναι στοιχείο του συνόλου Έχουμε Ξέρουμε ότι ο A είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν οι γραμμές του είναι γραμμικά ανεξάρτητες (ως στοιχεία του -διανυσματικού χώρου ) Έστω ότι ο A είναι αντιστρέψιμος Τότε για την πρώτη γραμμή του A υπάρχουν δυνατές περιπτώσεις (όλες εκτός από τη μηδενική γραμμή) Για τη δεύτερη γραμμή υπάρχουν περιπτώσεις (όλες οι περιπτώσεις εκτός από αυτές που η δεύτερη γραμμή είναι πολλαπλάσιο της πρώτης) Άρα το πλήθος των αντιστρέψιμων στοιχείων του A M ( ) είναι ( )( ) Υπόδειξη: Άμεσο από την Πρόταση 0 b Έστω S ένας υποδακτύλιος του με, S Έχουμε S λόγω της κλειστότητας της πρόσθεσης Επειδή ο S είναι δακτύλιος, S και άρα κάθε άθροισμα της μορφής, όπου, ανήκει στο S Άρα S

22 Ασκήσεις 0 Επίσης, S για κάθε 0 λόγω της κλειστότητας του πολλαπλασιασμού Όμοια, S b για κάθε b 0 Άρα S, δηλαδή R S b b c To R δεν είναι σώμα Για παράδειγμα, το 7 R δεν είναι αντιστρέψιμο Πράγματι, αν το 7 ήταν αντιστρέψιμο στο R, τότε θα υπήρχαν,, b με 7, οπότε 7 b που σημαίνει ότι 7 ή b 7 b, άτοπο b Έστω R {0} Αρκεί να δείξουμε ότι ο μιγαδικός αριθμός ανήκει στο R Θεωρούμε την απεικόνιση f : R R, r r Εύκολα επαληθεύεται ότι η f είναι -γραμμική και - Επειδή d R, είναι επί Συνεπώς υπάρχει s R με s Τότε s, οπότε R Είναι σαφές ότι R Έστω c c c, d d d R όπου c, d Τότε Από 0 0 c c c ( d d d ) c d ( c d ) ( c d ) R έχουμε και επομένως ( c c c )( d d d ) 0 0 c d ( c d c d ) ( c d c d c d ) ( c d c d ) ( c d ) c d ( c d c d ) ( c d c d c d ) ( c d c d )( ) ( c d )( ) c0d0 cd cd ( c0d cd 0 cd cd cd) ( c0d cd cd0 cd) R Άρα το R είναι υποδακτύλιος του b Έπεται από το ερώτημα b της προηγούμενης άσκησης c Αν 0, τότε 0 δηλαδή ( ) 0, οπότε που όμως δεν ικανοποιεί τη σχέση 0 Άρα 0 Από το έχουμε ( )( c0 c c ) c0 c ( c c) ( c0 c) Εύκολα επαληθεύεται ότι το σύστημα c0 c cc 0 c0 c 0 έχει τη λύση c0 9 9, c 9, c 9 Συνεπώς για τις τιμές αυτές έχουμε ( )( c c c ), δηλαδή ( ) c c c 0 4 b Υπόδειξη: Αν τα RS, έχουν μοναδιαία στοιχεία R,S στοιχείο του R S Αντίστροφα, αν το R S 0 αντίστοιχα, δείξτε ότι το ( R, S ) είναι μοναδιαίο r R, s S με έχει μοναδιαίο στοιχείο R S, τότε υπάρχουν 0 0 RS ( r0, s0) Δείξτε ότι τα r 0, s 0 είναι μοναδιαία στοιχεία των RS, αντίστοιχα d Δεν αληθεύει Από την υπόθεση έχουμε 0 και 0, οπότε (,0 ) (0,0 ) 0 και (0, ) (0,0 ) 0 Αλλά (,0 )(0, ) ( 0,0 ) (0,0 ) 0 5 R S R S RS R R R S R S R R S S R s RS S S R s R s RS

23 Ασκήσεις Έστω R ένας υποδακτύλιος του Τότε R και αν R, τότε R Μπορούμε να υποθέσουμε ότι R {0} Τότε R 0 Έστω ο ελάχιστος θετικός ακέραιος με R Έχουμε R γιατί ο R είναι δακτύλιος Αν R, τότε από την Ευκλείδεια διαίρεση υπάρχουν qr, με q r,0r Έχουμε r q R γιατί, R και R δακτύλιος Λόγω του ελαχίστου του παίρνουμε r 0 Τότε q R Άρα R Συνεπώς R 6 b Απάντηση: (4,6) 7 Βλ Παράδειγμα 8 Βλ Παράδειγμα 9 c Υπόδειξη: Δείξτε ότι αν b c d, όπου, b, c, d, τότε bd 0 Άρα [ ] [ ] 0 Υπόδειξη: Αν A ( j ), τότε Ess AEtt stest Απάντηση: Υπάρχει μόνο ένας, ο M ( ) Έχουμε ( b) ( b)( b) ( b) b( b) b b b Άρα ( b) b b b b b b b b b Απάντηση: [0],[],[5],[6] b [0],[] c 0 R,R d Βλ παρακάτω Για το b παρατηρούμε ότι αν [ ] ικανοποιεί [ ] [ ], τότε ( ) Από αυτό έπεται ότι (δικαιολογήστε το) Άρα [ ] [0],[] ή Για το d χρησιμοποιούμε λίγη γραμμική άλγεβρα: Ο πίνακας A M ( ) ικανοποιεί A A, αν και μόνο αν το ελάχιστο πολυώνυμο του A είναι ένα από τα x, x, x( x ) Αντίστοιχα έχουμε A, A, Aόμοιος με τον (άσκηση) b 0 bc b Στην τελευταία περίπτωση, υπάρχει αντιστρέψιμος P με A P P c d 0 0 d bc dc d Απάντηση: To έχει μοναδικό μηδενοδύναμο στοιχείο, το [0] To 0 60 έχει δύο μηδενοδύναμα στοιχεία, τα [0],[0] b Ο δεν έχει μη μηδενικό μηδενοδύναμο στοιχείο αν και μόνο αν ο δεν διαιρείται με το τετράγωνο πρώτου (ή ισοδύναμα, όπου,, διακεκριμένοι πρώτοι) Απόδειξη: Έστω, όπου,, διακεκριμένοι πρώτοι και έστω [ ] με [ ] [0], 0 Τότε [ ] [0] και άρα, οπότε για κάθε Επειδή δύο σχετικά πρώτοι,, δηλαδή Άρα [ ] [0] πρώτος, Επειδή οι,, είναι ανά Αντίστροφα, έστω ότι ο δακτύλιος δεν έχει μη μηδενικό μηδενοδύναμο στοιχείο και έστω η ανάλυση του σε γινόμενο πρώτων Έστω, οπότε x{,, } Δηλαδή, όπου [ ] [0] Από την υπόθεση παίρνουμε [ ] [0], δηλαδή, πράγμα που σημαίνει ότι για κάθε 4

24 Ασκήσεις Αν r 0, τότε ( r)( r r ) ( r r )( r) r N c Υπόδειξη: Αν r s 0, βρείτε ένα N τέτοιο ώστε ( rs) 0 με τη βοήθεια του διωνυμικού αναπτύγματος (άσκηση 7) 5 Παρατήρηση: Από την υπόθεση υπάρχει σώμα F τέτοιο ώστε ο R είναι υποδακτύλιος του F Άρα αν rr {0}, τότε στο F υπάρχει το αντίστροφο r x του r Συνεπώς, αν x, τότε το (ορίζεται και για αρνητικούς ακέραιους x ) είναι ένα στοιχείο του F Με τους συμβολισμούς της άσκησης, αν 0, τότε b 0 και άρα b 0 (γιατί το F είναι σώμα) Υποθέτουμε ότι b, 0 Επειδή οι, είναι σχετικά πρώτοι, υπάρχουν xy, τέτοιοι ώστε x y Εργαζόμενοι στο xy x y x y xy F έχουμε ( ) ( ) ( b ) ( b ) b b 6 0 b b Απάντηση: A( X ) b, d Δεν είναι μεταθετικός και δεν έχει μοναδαίο στοιχείο 0 d 7 Υπόδειξη: Για να δείξουμε ότι το R είναι κλειστό ως προς τον πολλαπλασιασμό πινάκων παρατηρούμε ότι από το Θεώρημα των Cyley-Hlto της Γραμμικής Άλγεβρας, A Tr( A) A R b Απάντηση: Αν Tr( A), τότε R A και U( R) { A, A} Αν Tr( A), τότε R A και U( R) { A, A} 8 c Έστω A C( M( )) Τότε AB BA για κάθε B M ( ) Έστω b A Επιλέγοντας c d B έχουμε b 0 0 b 0 b bc 0 c d c d c Επιλέγοντας B έχουμε 0 b b b d c d 0 0 c d d 0 b Άρα A και C M ( ) Είναι σαφές ότι C M ( ) και άρα έχουμε ισότητα d Ας αναπτύξουμε την ιδέα της προηγούμενης λύσης πιο συστηματικά Έστω E M ( ) ο πίνακας του οποίου όλα τα στοιχεία είναι 0 εκτός από το στοιχείο στη θέση (, j ) που είναι ίσιο με Υπενθυμίζουμε ότι Et, j s EE j st 0, j s Έστω A C( M ( )) Τότε E j A AE j Γράφοντας A E παίρνουμε t t jt sj s s st, st st j E E E E και άρα st j st st st j s, t s, t E E ()

25 Ασκήσεις Πολλαπλασιάζοντας την () από δεξιά με το E j παίρνουμε j E jj stese j s Αν j, το δεξί μέλος της τελευταίος ισότητας είναι 0 και άρα έχουμε j 0 Τότε η σχέση () γίνεται E j jje j και άρα jj Συνεπώς A = I και C M ( ) I Η σχέση I C M είναι σαφής και άρα I C M ( ) e Απάντηση: Αληθεύει 9 Από τη υπόθεση έπεται ότι Επειδή ( r s) r s C( R) r s rs sr r s C R r r s s C R ( ) για κάθε r, s R Άρα ( ), ( ) και ο CR ( ) είναι δακτύλιος (βλ προηγούμενη άσκηση) παίρνουμε rs rs C( R) Άρα r( rs sr) ( rs sr) r δηλαδή κάθε s R, έχουμε r C( R) Επειδή r R Άρα ο R είναι μεταθετικός r s rsr rsr sr, οπότε r r C R r s sr Επειδή η τελευταία σχέση ισχύει για ( ) και ο CR ( ) είναι δακτύλιος, έχουμε r C( R) για κάθε 0 Λύση: Επειδή το δεν είναι μηδενοδιαιρέτης, η απεικόνιση R R, r r είναι - Επειδή το σύνολο R είναι πεπερασμένο, αυτή είναι επί Συνεπώς υπάρχει e R με e Από ( e ) ( e) ( e) 0, έπεται ότι e 0, γιατί το δεν είναι μηδενοδιαιρέτης Συνεπώς έχουμε e e Θα δείξουμε τώρα ότι er re r για κάθε r R Πράγματι, από ( er r) ( er) r ( e) r r r r 0 έπεται ότι er r 0 γιατί το δεν είναι μηδενοδιαιρέτης Όμοια, έχουμε ( re r) 0 και επομένως re r 0 Άρα er re r Υπόδειξη: Δείξτε ότι αν c είναι το αντίστροφο του b, τότε το bc είναι το αντίστροφο του b Από ( x x) x x έχουμε 4x x και άρα 4x x, δηλαδή x x για κάθε x R Από ( x y) x y παίρνουμε x y xy yx x y και αφού δηλαδή xy yx Άρα xy yx Δύσκολη άσκηση Υπόδειξη: Έστω x, y R ) Αναπτύσσοντας το αριστερό μέλος της x x και y ( ) ( ) ( ) ( ) y παίρνουμε xy yx 0, x y x y x y x y y δείξτε ότι x y xyx yx 0 Έστω A το αριστερό μέλος της τελευταίας σχέσης Χρησιμοποιώντας xa Ax 0 δείξτε ότι xy yx ) Από ( x x) x x έπεται ότι 6x 0 ) Αναπτύσσοντας το ( x y) ( x y ) 0, θέτοντας y x και χρησιμοποιώντας το ) δείξτε ότι x x 4) Από το ) έχουμε ( x y) ( x y) 0 Αναπτύσσοντας το αριστερό μέλος και χρησιμοποιώντας το ) δείξτε ότι xy yx

26 Ασκήσεις 4 Το ζητούμενο έπεται από την προηγούμενη σχέση και το ) 4 Λ b Σ c Σ d Σ

27 Ασκήσεις4 5 Ασκήσεις4 Πολυώνυμα Συμβολισμός: Στις παρακάτω ασκήσεις, θα ακολουθούμε συχνά συμβολισμό σύμφωνα με το παράδειγμα: το πολυώνυμο [] x [5] x [4] [ x] θα συμβολίζεται x 5x 4 [ x] 7 Ποιοι από τους δακτυλίους [ x ], [ x ] είναι περιοχές; Ποιο είναι το 4 5 U( 5[ x ]) ; Δείξτε ότι U( [ x]) U( ) 4 4 Δώστε ένα παράδειγμα f ( x) 6[ x] που έχει βαθμό και δεν είναι ανάγωγο Έστω R μια περιοχή Δείξτε ότι δεν υπάρχει f ( x) R[ x] με ( x ) ( x ) f ( x) b Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα f ( x) [ x] με f ( x ) f ( x ) f ( x) 4 Έστω R ένας μεταθετικός δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο Δείξτε ότι το x b R[ x] είναι αντιστρέψιμο αν και μόνο αν το b είναι αντιστρέψιμο στο R και υπάρχει 0 με 0 5 Έστω FK, δύο σώματα τέτοια ώστε το F είναι υποδακτύλιος του K (για παράδειγμα F και K ) Έστω f ( x), g( x) F[ x] Αν στο Kx [ ] ισχύει f ( x) g( x ), τότε στο Fx [ ] ισχύει f ( x) g( x ) b Ο μκδ των f ( x), g( x ) όταν αυτά θεωρηθούν ως στοιχεία του Fx [ ] είναι ίσος με το μκδ των f ( x), g( x ) όταν αυτά θεωρηθούν ως στοιχεία του Kx [ ] 6 Έστω F ένα σώμα, ( x), b( x), f ( x) F[ x] και ( ( x), b( x)) Αν ( x) b( x) f ( x ), τότε ( x) f ( x ) b Αν ( x) f ( x ) και b( x) f ( x ), τότε ( x) b( x) f ( x ) c ( ( x), b( x) f ( x)) ( ( x), f ( x)) d ( ( x) b( x), f ( x)) ( ( x), f ( x)) ( b( x), f ( x)) 7 Να βρεθούν όλα τα μονικά f ( x) [ x] βαθμού τέτοια ώστε ( f ( x), x ) και deg ( f ( x), x x ), b όλα τα μονικά ανάγωγα ( x), q( x) [ x] με ( x ) ( x) ( x ) q( x) ( x) q( x) 8 Να βρεθεί ένα f ( x) [ x] με ρίζα το 9 Να βρεθούν όλα τα f ( x) [ x] τέτοια ώστε xf ( x ) ( x 04) f ( x) 0 Δεν υπάρχει πολυώνυμο f ( x) [ x] θετικού βαθμού τέτοιο ώστε για κάθε, το f( ) να είναι πρώτος Έστω F ένα σώμα Αποδείξτε ότι υπάρχουν άπειρα στο πλήθος ανάγωγα πολυώνυμα στο Fx [ ] b Έστω ότι το F είναι πεπερασμένο σώμα Αποδείξτε ότι για κάθε υπάρχει ανάγωγο πολυώνυμο του Fx [ ] βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του d Έστω F ένα σώμα και, 0 Τότε στο Fx [ ] έχουμε ( x, x ) x, όπου d (, ) Έστω πρώτος Δείξτε ότι στο [ x ], x x x( x )( x )( x ( )) b Δείξτε ότι ( )! od c Βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του 98! με το 0 d Αν, δείξτε ότι j 0od 0 j 7

28 Ασκήσεις4 6 4 Έστω 0 και cos s Δείξτε ότι στο [ x ], x ( x )( x )( x )( x ) ( j) b Δείξτε ότι αν, τότε cos 0 0 j 5 Έστω πρώτος Δείξτε ότι για κάθε f ( x) [ x], ( f ( x)) f ( x ) 6 Βρείτε την ανάλυση σε γινόμενο αναγώγων πολυωνύμων των ακόλουθων πολυωνύμων: x x [ x], b 4 x x x [ ], c x [ x], όπου πρώτος, d x [ x], όπου πρώτος με od 4 7 Έστω πρώτος Βρείτε την ανάλυση του [ x ] 4 8 Εξετάστε αν το x 5[ x] είναι ανάγωγο 9 Δείξτε ότι το ( x )( x )( x 0) [ x] είναι ανάγωγο x x [ x] σε γινόμενο αναγώγων πολυωνύμων στο 0 Έστω πρώτος και Ποια απεικόνιση επάγει το πολυώνυμο x x [ x] ; Έστω πρώτος και f ( x) x x [ x] Δείξτε ότι το f( x ) δεν έχει ρίζα στο b Έστω F ένα σώμα που περιέχει ως υποδακτύλιο το Έστω πρώτος και Δείξτε ότι F και 0 r για κάθε r F *Δείξτε ότι αν το F περιέχει μια ρίζα του f( x ), τότε περιέχει διακεκριμένες ρίζες του f( x ) Δείξτε ότι x x f ( x) f x x x x x x ( ) ( ) ( ) [ ] b Βρείτε την ανάλυση του f( x ) σε γινόμενο αναγώγων πολυωνύμων στο [ x ] για και Έστω πρώτος και f ( x) x x x Βρείτε την ανάλυση του f( x ) σε γινόμενο αναγώγων πολυωνύμων στο [ x ] 4 Ποιο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του και ποιος ο ( f ( x), g( x)) ; 5 Έστω 4 ( ) [ ] f x x x x x με το g x x x 4 ( ) 4 5[ ] f x x x x x x και g x x x x x Βρείτε το ( ) 5 6 7[ ] ( ) 5[ ] ( f ( x), g( x)) και πολυώνυμα ( x), b( x) 7[ x] τέτοια ώστε ( f ( x), g( x)) ( x) f ( x) b( x) g( x) 6 Έστω f ( x), g( x) [ x], όπου πρώτος και 4 f ( x) x x 4x 8x 9, g( x) x x Για ποιους ισχύει ότι deg ( f ( x), g( x)) ; 7 Βρείτε όλα τα f ( x) [ x] βαθμού 7 τέτοια ώστε ( f ( x), x x ) και ( f ( x), x ) Έστω f ( x), g( x) [ x], f ( x) x( x ), g( x) x Βρείτε το ( f ( x), g( x)) b Βρείτε ( x), b( x) [ x] τέτοια ώστε 0 x x f x b x g x ( ) ( ) ( ) ( )

29 Ασκήσεις4 7 9 Έστω πρώτος Δείξτε ότι το πλήθος των μονικών αναγώγων πολυωνύμων βαθμού στο [ x ] ( ) είναι ίσο με 0 Βρείτε όλα τα ανάγωγα πολυώνυμα στο [ x ] βαθμού 4 b Έστω f ( x) [ x] βαθμού 5 Δείξτε ότι το f( x ) είναι ανάγωγο αν και μόνο αν το f( x ) δεν έχει ρίζα στο [ x ] και δεν διαιρείται με το x x c Εξετάστε αν το 5 4 x x x [ ] είναι ανάγωγο Έστω 0 Βρείτε στο [ x ] το των x ( ) x, x x Έστω 0 Δείξτε ότι το x x διαιρεί το ( x) x στο [ x ] αν και μόνο αν,4od6 *Να βρεθούν όλα τα f ( x), g( x) [ x] τέτοια ώστε f ( x) g( x ) f ( x ) g( x) 4 Να λυθεί στο το σύστημα b c 6, b c bc, bc 6 5 Αν ένα πολυώνυμο f ( x) [ x] λαμβάνει την τιμή 7 για τέσσερις διαφορετικές ακέραιες τιμές του x, τότε το f( x ) δεν λαμβάνει την τιμή 4 για καμιά ακέραια τιμή του x 6 Έστω περιττός πρώτος και ( ) b, όπου b, Δείξτε ότι 7 Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις αληθεύουν Δικαιολογήστε την απάντησή σας To x [ x] είναι ανάγωγο b Το x [ x] είναι ανάγωγο c Αν, είναι περιττοί ακέραιοι, το d Το x x 5 x [ ] είναι ανάγωγο x x x [ ] είναι ανάγωγο e Το x x 5[ x] είναι ανάγωγο f Έστω F ένα σώμα Ένα f ( x) F[ x] βαθμού 4 είναι ανάγωγο αν και μόνο αν δεν έχει ρίζα στο F 00 g Έστω πρώτος Το x x 5x x [ x] διαιρείται με το x [ x] αν και μόνο αν, h Έστω πρώτος Το 00 x x x x x 5 [ ] διαιρείται με το x [ x] αν και μόνο αν Υπάρχει μοναδικό μονικό ανάγωγο πολυώνυμο στο [ x ] που έχει στο ρίζα το j Κάθε μη μηδενικό f ( x) R[ x], όπου R δακτύλιος με μονάδα, έχει το πολύ deg f( x ) ρίζες στο R Αν είναι περιττός πρώτος, τότε το x x [ x] έχει ακριβώς μια ρίζα στο l Αν είναι περιττός πρώτος και, τότε το x [ x] δεν είναι ανάγωγο

30 Ασκήσεις4 8 Υποδείξεις/Απαντήσεις Ασκήσεις4 Ο [ x ] 5 είναι περιοχή (βλ Πρόταση 4 και Πρόταση 4) Ο 5 [ ] 4 x δεν είναι περιοχή αφού 0 και 0 Στο [ ] 4 x έχουμε ( x )( x ) Άρα x U( 4[ x]) και επομένως U( 4[ x]) U( 4) Στο [ ] 6 x έχουμε ( )( x ) 5 Άρα το 5 [ ] 6 Παρατηρούμε ότι deg( x ) 04, deg( x ) 40, deg( x ) deg( x ) Άρα deg(( x ) ( x ) ) 04 Αν ( x ) ( x ) f ( x) , τότε 0 04 deg( f ( x) ) 0deg f ( x) σύμφωνα με την Πρόταση 4 Αυτό είναι άτοπο αφού το 0 δεν διαιρεί το 0 b Απάντηση: Συγκρίνοντας μεγιστοβάθμιους όρους προκύπτει f( x) 0 4 Έστω ότι το b R είναι αντιστρέψιμο και υπάρχει 0 με 0 Τότε θέτοντας r r ( b x) ( b ) x 0 γιατί ο R είναι μεταθετικός Παρατηρούμε ότι ( r ) ( r) ( r) ( r) ( ) r ( ) r ( ) r r ( ) r ( ) r ( r) ( ) r b x έχουμε Άρα το r είναι αντιστρέψιμο στο Rx [ ] Συνεπώς το b( r ) x b είναι αντιστρέψιμο σύμφωνα με την άσκηση 6 Αντίστροφα, έστω ότι το x b είναι αντιστρέψιμο Τότε υπάρχουν c R με ( x b)( c x c x c ) Άρα 0 c 0 c bc 0 cbc 0 c0 bc 0 bc0 Από την τελευταία σχέση έπεται ότι το b και το c 0 είναι αντιστρέψιμα στο R Με διαδοχικές αντικαταστάσεις εργαζόμενοι από την τελευταία σχέση προς τα πάνω μέχρι τη δεύτερη, παίρνουμε ( ) c c Αντικαθιστώντας στην πρώτη σχέση έχουμε ( ) c 0 Άρα 0 γιατί το ( ) c 0 0 είναι αντιστρέψιμο στο R 5 Αν f( x) 0, τότε gx ( ) 0 και είναι σαφές ότι ισχύει το αποτέλεσμα Έστω ότι f( x) 0 Από την υπόθεση υπάρχει h( x) K[ x] με g( x) h( x) f ( x) Από την Ευκλείδεια διαίρεση στο Fx [ ] υπάρχουν q( x), r( x) F[ x] με 0

31 Ασκήσεις4 9 g( x) q( x) f ( x) r( x) και deg r( x) deg f ( x) Από τη μοναδικότητα στην Ευκλείδειας διαίρεσης στο Kx [ ] έπεται ότι rx ( ) 0 b Υπόδειξη: Και στις δυο περιπτώσεις οι αντίστοιχοι Ευκλείδειοι αλγόριθμοι ταυτίζονται 6 και b Υπάρχουν g( x), h( x) F[ x] με g( x) ( x) h( x) b( x) σύμφωνα με το Θεώρημα 7 Άρα f ( x) f ( x) g( x) ( x) f ( x) h( x) b( x) () Από την υπόθεση έχουμε ( x) f ( x) h( x) b( x ) Είναι σαφές ότι ( x) f ( x) g( x) ( x ) Άρα ( x) f ( x) g( x) ( x) f ( x) h( x) b( x), δηλαδή ( x) f ( x ) b Επειδή b( x) f ( x ) έχουμε ( x) b( x) f ( x) g( x) ( x ) Επειδή ( x) f ( x ) έχουμε ( x) b( x) f ( x) h( x) b( x ) Άρα ( x) b( x) f ( x) g( x) ( x) f ( x) h( x) b( x), δηλαδή ( x) b( x) f ( x ) c Επειδή μκδ( ( x), b( x) f ( x)) ( x ) και μκδ( ( x), b( x) f ( x)) b( x) f ( x ), από την () έπεται ότι μκδ( ( x), b( x) f ( x)) f ( x ) [Σημείωση: Θα μπορούσαμε να φτάσουμε στο ίδιο συμπέρασμα εφαρμόζοντας το ] Επειδή μκδ( ( x), b( x) f ( x) ( x ) και μκδ( ( x), b( x) f ( x)) f ( x ), παίρνουμεμκδ( ( x), b( x) f ( x)) μκδ( ( x), f ( x )) Έχουμε μκδ( ( x), f ( x)) f ( x ), οπότε μκδ( ( x), f ( x)) b( x) f ( x ) Από μκδ( ( x), f ( x)) ( x ) και μκδ( ( x), f ( x)) b( x) f ( x) έπεται ότι μκδ( ( x), f ( x) μκδ( ( x), b( x) f ( x )) Τελικά έχουμε μκδ( ( x), b( x) f ( x)) μκδ( ( x), f ( x )) και μκδ( ( x), f ( x)) μκδ( ( x), b( x) f ( x )) Επειδή τα πολυώνυμα μκδ( ( x), b( x) f ( x)) και μκδ( ( x), f ( x )) είναι μονικά και το F είναι περιοχή παίρνουμε μκδ( ( x), b( x) f ( x)) μκδ( ( x), f ( x)) [Σημείωση Καλό είναι να συγκριθούν τα παραπάνω με την άσκηση ] d Έστω d( x) ( ( x) b( x), f ( x)), d( x) ( ( x), f ( x)), d( x) ( b( x), f ( x)) Έχουμε d ( x) ( x ) και d ( x) f ( x ), άρα d ( x) ( x) b( x ) και d ( x) f ( x ) Συνεπώς d ( x) d( x ) Όμοια αποδεικνύεται ότι d ( x) d( x ) Επειδή d ( x) ( x ), d ( ) ( ) x b x και ( ( x ), b ( x )), έχουμε ( d( x), d( x)) Από το υποερώτημα b έπεται ότι d( x) d( x) d( x ) Επειδή d( x) ( x) b( x ), έχουμε d( x) d ( x) d ( x), όπου d ( x) ( x ) και d ( x) b( x ) Επειδή d( x) f ( x ) b έχουμε d( x) f ( x ) Άρα d ( ) ( ) x d x Όμοια d ( ) ( ) b x d x Συνεπώς d( x) db( x) d( x) d( x ), δηλαδή d( x) d( x) d( x ) Από d( x) d( x) d( x ), d( x) d( x) d( x ) και το γεγονός ότι τα d( x), d( x) d( x ) είναι μονικά παίρνουμε d( x) d ( x) d ( x) αφού το F είναι περιοχή 7 Ο ( f ( x), x ) διαιρεί το x Επειδή το x b [ x] είναι ανάγωγο και μονικό, από ( f ( x), x ) έπεται ότι ( f ( x), x ) x Άρα x f ( x) Έχουμε x x ( x )( x ) Από τη σχέση deg ( f ( x), x x ) έπεται ότι ισχύει ακριβώς μία από τις εξής σχέσεις ( f ( x), x x ) x ή ( f ( x), x x ) x, οπότε x f ( x) ή x f ( x) Επειδή το παίρνουμε τελικά b Απάντηση: ( x )( x ) f ( x) ή f ( x) ( x )( x ) ή x q x x x ( ) ( ) x είναι σχετικά πρώτο με καθένα από τα x, x ( x )( x ) f ( x) Επειδή το f( x ) είναι βαθμού και μονικό έχουμε f ( x) ( x )( x )

32 Ασκήσεις4 0 8 Αν, τότε Το είναι ρίζα του 4 4 ( ) x x x x 4 4 [ ] 9 Υπόδειξη: Δείξτε ότι x f ( x) για κάθε 0,,,0 Απάντηση: f ( x) cx( x )( x 0), c 0 Έστω f ( x) [ x] τέτοιο ώστε για κάθε το f( ) είναι πρώτος αριθμός Έστω και f ( ) πρώτος Για κάθε έχουμε od και άρα f ( ) f ( ) 0od (Πρόταση 4) Αλλά ο ακέραιος f ( ) είναι πρώτος Συνεπώς από f ( ) 0od έπεται ότι f ( ) Δηλαδή το πολυώνυμο f ( x) [ x] έχει άπειρες ρίζες Άρα f ( x) Υπόδειξη: Η απόδειξη είναι όμοια με την απόδειξη του Ευκλείδη ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι b Έστω ότι υπάρχει τέτοιο ώστε κάθε ανάγωγο πολυώνυμο του Fx [ ] έχει βαθμό μικρότερο του Επειδή το F είναι πεπερασμένο, το σύνολο { f ( x) F[ x] deg f ( x) } είναι πεπερασμένο Άρα το σύνολο των αναγώγων πολυωνύμων του Fx [ ] είναι πεπερασμένο Επίσης είναι μη κενό (πχ περιέχει το πολυώνυμο x ) Έστω ότι το σύνολο των αναγώγων πολυωνύμων του Fx [ ] είναι το { ( x),, ( x )} Το P( x) ( x) ( x) ( x) είναι θετικού βαθμού και άρα διαιρείται με κάποιο ανάγωγο πολυώνυμο σύμφωνα με το Θεώρημα 0, δηλαδή για κάποιο j έχουμε ( x) P( x ) Επειδή ( x) ( x) ( x) ( x ) παίρνουμε ( x ), άτοπο j j Υπόδειξη: Τροποποιήστε κατάλληλα την πρώτη λύση της άσκησης και b Βλ Εφαρμογές 46 και c Ο 0 είναι πρώτος και από το προηγούμενο υποερώτημα έχουμε 00! od0, δηλαδή [ ] [ ] στο Με τη βοήθεια του Ευκλείδειου αλγορίθμου βρίσκουμε ότι το αντίστροφο του 0 [9900] 0 είναι το [ 50] Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη παίρνουμε [ ][ 50] [ ][ 50], δηλαδή [ 98] [50] Άρα το ζητούμενο υπόλοιπο είναι 50 d Υπόδειξη: Συγκρίνετε τους συντελεστές του j x στην ισότητα του υποερωτήματος 4 Από το Παράδειγμα 4 4 έχουμε cos( ) s( ) Άρα για κάθε j0,,,, το j ικανοποιεί j j 0 Δηλαδή κάθε είναι ρίζα του x Τα,,, είναι διακεκριμένα (γιατί;) Επειδή το πλήθος τους είναι deg( x ) και το είναι σώμα, έχουμε x u x x x παίρνουμε u b Συγκρίνοντας τους συντελεστές του 0 j 0 ( )( )( ) για κάποιο u Συγκρίνοντας μεγιστοβάθμιους όρους στα δύο μέλη 0 j x στην ισότητα του υποερωτήματος παίρνουμε j

33 Ασκήσεις4 ( ) ( ) Από το Παράδειγμα 4 4 έχουμε cos j j s j Άρα ( j) ( j) 0 cos s 0 j 0 j ( j) ( j) 0 cos s 0 j 0 j 5 Έστω f ( x) fx fx f0 [ x] Ο δακτύλιος [ x ] είναι μεταθετικός και ισχύει r 0 για κάθε r [ ] x Από την άσκηση 8 των παίρνουμε 0 0 f ( x) f x f x f f ( x ) f x f Από το μικρό θεώρημα του Fert έχουμε f f ( x) f ( x ) f x f f ( x ) 0 6 Παρατηρούμε ότι το είναι ρίζα του x x διαιρείται με το f για κάθε Άρα x x x [ ] αφού 8 0 Άρα το x (Θεώρημα 4) Με την Ευκλείδεια διαίρεση βρίσκουμε x x ( x )( x x ) Τώρα το g( x) x x [ x] έχει βαθμό και δεν έχει ρίζα στο αφού g(0) 0, g() 4 0, g() 8 0 Άρα το g( x) [ x] είναι ανάγωγο Η ζητούμενη παραγοντοποίηση είναι b Παρατηρούμε ότι x x x x x ( )( ) 4 x x ( x x ) (που επαληθεύεται με άμεσο υπολογισμό ή έπεται από την άσκηση 7 των Ακήσεων ή από την άσκηση 5) Επειδή το x x x [ ] έχει βαθμό και δεν έχει ρίζα στο, είναι ανάγωγο στο [ x ] Η ζητούμενη παραγοντοποίηση είναι 4 x x ( x x ) c Από το μικρό θεώρημα του Fert έχουμε για κάθε Άρα x x ( x ) σύμφωνα με την άσκηση 8 ή την άσκηση 45 Η ζητούμενη παραγοντοποίηση είναι x ( x ) d Θα δείξουμε ότι το x [ x], όπου πρώτος με od 4, είναι ανάγωγο και για το σκοπό αυτό αρκεί να δείξουμε ότι δεν έχει ρίζα στο γιατί είναι βαθμού Από την άσκηση 5 δεν υπάρχει με 7 0 Από την άσκηση 45 (ή την άσκηση 8) έχουμε x x x x x x x( x )( x )( x ( )) Άρα η ζητούμενη ανάλυση είναι x x x ( x ) ( x ) ( x ( )) και από την άσκηση 4 έχουμε 8 4 Υπόδειξη: Με πράξεις εύκολα επαληθεύεται ότι το x 5[ x] δεν έχει ρίζα στο 5 Άρα το 4 x [ x] δεν έχει πρωτοβάθμιο παράγοντα στην ανάλυσή του σε γινόμενο αναγώγων Αν δεν είναι 5 ανάγωγο, τότε υπάρχουν, b, c, d 5 με c0 b d c 0 d bc 0 bd Δείξτε ότι το σύστημα δεν έχει λύση 4 x x x b x cx d ( )( ), δηλαδή

34 Ασκήσεις4 9 Έστω ότι υπάρχουν ( x), b( x) [ x] θετικού βαθμού με ( x )( x )( x 0) ( x) b( x) Τότε deg( ( x) b( x)) 0 και άρα deg ( x) deg b( x) 0 σύμφωνα με την Πρόταση 4 Άρα deg x ( ) 0 και deg bx ( ) 0 Για κάθε,,,0 έχουμε ( ) b( ) και άρα ( ), b( ), Επομένως ( ) b( ) για κάθε,,,0 Άρα το πολυώνυμο ( x) b( x) έχει τουλάχιστον 0 διακεκριμένες ρίζες Επειδή deg x ( ) 0 και deg bx ( ) 0 συμπεραίνουμε ότι deg( ( x) b( x)) 0, οπότε από το Πόρισμα 4 έχουμε ( x) b( x) 0 Τότε ( x )( x )( x 0) ( x) Συγκρίνοντας μεγιστοβάθμιους όρους έχουμε άτοπο 0 Έστω Fert έχουμε Θα δείξουμε με επαγωγή στο ότι Έστω και Τότε Συνεπώς η ζητούμενη επαγόμενη συνάρτηση είναι η μηδενική για κάθε 0 Από το μικρό θεώρημα του b Υπόδειξη: Αν το F είναι ρίζα του f( x ), δείξτε ότι και το b είναι ρίζα του f( x ) για κάθε b Από το μικρό θεώρημα του Fert, f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 για κάθε Άρα το f( x ) διαιρείται με καθένα από τα x, x,, x ( ) Επειδή αυτά είναι ανά δύο σχετικά πρώτα, το f( x ) διαιρείται με το x( x )( x ( )) που ισούται με x x (άσκηση 4) ος τρόπος Από την άσκηση 45 έχουμε f ( x) x x x x ( x x)( x x) x x ( x x)( x x ) b Για έχουμε f ( x) ( x x)( x x ) x( x )( x x ) Τα x, x [ x] είναι ανάγωγα (ως πρωτοβάθμια σε δακτύλιο της μορφής Rx, [ ] όπου R περιοχή) Το x x [ x] είναι ανάγωγο γιατί είναι δευτέρου βαθμού και δεν έχει ρίζα στο σώμα (Πρόταση 45) Για έχουμε Το είναι ρίζα του Το f ( x) ( x x)( x x ) x( x )( x )( x x ) x x x x x [ x] [ ] οπότε διαιρώντας με το x βρίσκουμε x x x x x ( )( ) είναι ανάγωγο γιατί είναι δευτέρου βαθμού και δεν έχει ρίζα στο σώμα (Πρόταση 45) Τελικά η ζητούμενη παραγοντοποίηση είναι Απάντηση: ( x )( x )( x ( )) 4 Απάντηση: Το υπόλοιπο είναι x και ο μκδ είναι 5 f x x x x x x ( ) ( ) ( )( )

Ασκήσεις1 Πολυώνυμα. x x c. με το. b. Να βρεθούν όλες οι τιμές των a, Να βρεθεί ο μκδ και το εκπ τους

Ασκήσεις1 Πολυώνυμα. x x c. με το. b. Να βρεθούν όλες οι τιμές των a, Να βρεθεί ο μκδ και το εκπ τους Aσκήσεις1 1 Βασικά σημεία Ευκλείδεια διαίρεση πολυωνύμων Ορισμός και ιδιότητες μκδ και εκπ Ιδιότητες σχετικών πρώτων πολυωνύμων Τα ανάγωγα πολυώνυμα στο [ ] και [ ] Ασκήσεις1 Πολυώνυμα Ανάλυση πολυωνύμου

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

βαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των

βαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου γραμμικής απεικόνισης και ιδιότητές του Κριτήριο διαγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο

Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο 0-0 Υποδείξεις/Απαντήσεις των Ασκήσεων Περιεχόμενα Ασκήσεις Πολυώνυμα Ασκήσεις Ιδιοτιμές-Ιδιοδιανύσματα 6 Ασκήσεις Διαγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις 9 Ασκήσεις4 Τριγωνίσιμες

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Στο κεφάλαιο αυτό μελετάμε δακτυλίους του Art χρησιμοποιώντας το ριζικό του Jacobso. Ως εφαρμογή αποδεικνύουμε ότι κάθε δακτύλιος του Art είναι και της Noether. 4.1. Δακτύλιοι

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα.

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα. Δακτύλιοι και Πρότυπα 0-7 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα Βρείτε τη ρητή κανονική μορφή και μια κανονική μορφή Jorda του M( ) 0 0 Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Bursde a b Θα αποδείξουμε εδώ ότι κάθε ομάδα τάξης pq ( p, q πρώτοι) είναι επιλύσιμη Το θεώρημα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιμοποίησε τη νέα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιμοποιώντας τανυστικά γινόμενα και εφαρμόζοντας το θεώρημα των Wedderbur-Art ( 33) θα αποδείξουμε δύο θεμελιώδη θεωρήματα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 2. όπου a (4 i) (1 2 i), b i. Στη συνέχεια βρείτε κάθε τέτοιο d. b. Δείξτε ότι [ i] (4 i)

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 2. όπου a (4 i) (1 2 i), b i. Στη συνέχεια βρείτε κάθε τέτοιο d. b. Δείξτε ότι [ i] (4 i) 6 Δακτύλιοι και Πρότυπα 016-17 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Περιοχές κυρίων ιδεωδών. 1. Θεωρούμε το δακτύλιο [ i]. a. Βρείτε ένα d [ i] με ( a, b) d, όπου a (4 i) (1 i), b 16 1 i.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιμοποιώντας τανυστικά γινόμενα και εφαρμόζοντας το θεώρημα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουμε δύο θεμελιώδη θεωρήματα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων 7 Βασικά σημεία Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορισμός, Ερμιτιανού πίνακα και μοναδιαίου πίνακα Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Δευτέρα 13 Ιανουαρίου 2014

Α Δ Ι. Δευτέρα 13 Ιανουαρίου 2014 Α Δ Ι Α - Φ 9 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Δευτέρα 13 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών 1.3. Ι Π Ι. Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι:

1.3 Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών 1.3. Ι Π Ι. Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι: 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι: n N {0}, ( ) + n = = n + ( ) και ( ) + ( ) = (**) Ονομάζουμε επικεφαλής συντελεστή ενός μη μηδενικού πολυωνύμου f, τον συντελεστή f(i)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Weddebu για ημιαπλούς δακτυλίους, αναπτύσσουμε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 5 Νοεμβρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015.

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ. Στοιχεία από την Άλγεβρα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ. Στοιχεία από την Άλγεβρα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ Στοιχεία από την Άλγεβρα Στο Παράρτημα αυτό, το οποίο παρατίθεται για να συμβάλει στην αυτοδυναμία του βιβλίου, ο αναγνώστης θα μπορεί να προστρέχει για αρωγή σε έννοιες και αποτελέσματα που

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r.

2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r. Κεφάλαιο 2 Θεωρία Αριθμών Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Hardy and Wright 1979 και Graham, Knuth, and Patashnik 1994. 2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί Θεώρημα 2.1 Αν

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0},

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457. 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 3. Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος. N ( a)

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 3. Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος. N ( a) 11 Δακτύλιοι και Πρότυπα 2016-17 Ασκήσεις 3 Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα3, Ελεύθερα πρότυπα Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος 1 Δείξτε ότι το

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ),

Α Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ), Α Δ Ι Α - Φ 4 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 15 Νοεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

a b b < a > < b > < a >.

a b b < a > < b > < a >. Θεωρια Δακτυλιων και Modules Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Επανάληψη: Προσθετικές ομάδες, δακτύλιοι, αντιμεταθετικοί δακτύλιοι, δακτύλιοι με μοναδιαίο στοιχείο, παραδείγματα. Συμφωνήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smith (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4)

Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smith (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4) Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smh (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4 Θα δείξουμε εδώ ότι από την κανονική μορφή Smh πινάκων πάνω από περιοχή κυρίων ιδεωδών R, έπονται τα εξής Το Θεώρημα Βάσεων Το Θεώρημα Ανάλυσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής:

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής: Α Δ Ι Α - Φ 1 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 25 Οκτωβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Όνομα συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις

Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Όνομα συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 009 Όνομα συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις ΑΜ Ημ/ία Αίθουσα 1 Σύνολο Η εξέταση αποτελείται από θέματα. Κάθε θέμα αξίζει 4 μονάδες. Το άριστα είναι μονάδες και η βάση

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι.

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι. Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη Τσουκνίδας Ι. 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα 5 1.1 Μάθημα 1..................................... 5 1.1.1

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

t t Αν κάποιος από αυτούς είναι αντιστρέψιμος, υπολογίστε τον αντίστροφό του. 2. Υπολογίστε την ορίζουσα του Δείξτε τα εξής.

t t Αν κάποιος από αυτούς είναι αντιστρέψιμος, υπολογίστε τον αντίστροφό του. 2. Υπολογίστε την ορίζουσα του Δείξτε τα εξής. Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις4: Ορίζουσες Βασικά σημεία Ορισμός και ιδιότητες οριζουσών (ιδιότητες γραμμών και στηλών, αναπτύγματα οριζουσών, det( B) det( )det( B)) Ένας τετραγωνικός πίνακας είναι

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Προκαταρκτικές Έννοιες 1.1 Δακτύλιοι,

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πολυωνυμικοί-Κυκλικοί Κώδικες. 3.1 Πολυωνυμικοί κώδικες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πολυωνυμικοί-Κυκλικοί Κώδικες. 3.1 Πολυωνυμικοί κώδικες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Πολυωνυμικοί-Κυκλικοί Κώδικες Στα προηγούμενα ασχοληθήκαμε με τους γραμμικούς κώδικες και είδαμε πώς η δομή ενός γραμμικού κώδικα, ως διανυσματικού χώρου, καθιστά τις διαδικασίες κωδικοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος 3. Εισαγωγή 7

Πρόλογος 3. Εισαγωγή 7 Πρόλογος Η σύγχρονη Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό και ουσιαστικό κομμάτι της μαθηματικής εκπαίδευσης σε όλα τα πανεπιστήμια του κόσμου. Αυτό δεν οφείλεται μόνο στο γεγονός ότι πολλοί άλλοι κλάδοι των μαθηματικών,

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους.

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. 7 3.5 Το θεώρημα Hah-Baach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. Εξετάζουμε καταρχήν τη σχέση μεταξύ ενός μιγαδικού διανυσματικού χώρου E και του υποκείμενου πραγματικού χώρου E R. Έστω E μιγαδικός διανυσματικός

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) n = a k b n k, k. (a + b) p = a p + b p. k=0. n! k! (n k)! k =

(a + b) n = a k b n k, k. (a + b) p = a p + b p. k=0. n! k! (n k)! k = ΒΑΣΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2016 Χρήστος Α. Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με Z m το δακτύλιο των ακεραίων modulo m, με ā Z m την κλάση (mod m) του a Z και με M n (R) το δακτύλιο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ)

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ) 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Με πολυ μερακι Για τους μικρους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Β Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Β Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Μαθηματικών Β Γυμνασίου ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των Φυσικών Αριθμών είναι 1,2,3,4, Το σύνολο των Φυσικών Αριθμών συμπεριλαμβανομένου και του μηδενός είναι: 0, 1, 2, 3, 4, Άρτιος αριθμός είναι κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π.

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π. ΜΕΡΟΣ Α : Α Λ Γ Ε Β ΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και πράξεις τους 1. Γράψε τα βασικότερα σύνολα τιμών: Aπάντηση Ν{0,1,,,4,5,6,..+

Διαβάστε περισσότερα

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p.

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p. Θεωρια Αριθμων Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Μέρος Α: Πρώτοι Αριθμοί Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Διαιρετότητα: Διαιρετότητα, διαιρέτες, πολλαπλάσια, στοιχειώδεις ιδιότητες. Γραμμικοί Συνδυασμοί (ΓΣ). Ενότητα 2. Πρώτοι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Διαιρετότητα Μαθαίνω Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α είναι όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του με όλους τους φυσικούς αριθμούς, δηλαδή οι αριθμοί: 0, α, 2 α, 3 α, 4 α,... Το μηδέν

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

F 5 = (F n, F n+1 ) = 1.

F 5 = (F n, F n+1 ) = 1. Λύσεις Θεμάτων Θεωρίας Αριθμών 1. (α) Να δειχθεί ότι ο πέμπτος αριθμός της μορφής Fermat, δηλαδή ο F 5 2 25 + 1 διαιρείται από το 641. (β) Εστω F n η ακολουθία των αριθμών Fermat, δηλαδή F n 2 2n + 1,

Διαβάστε περισσότερα

Abstract Algebra: The Basic Graduate Year: Robert B. Ash

Abstract Algebra: The Basic Graduate Year: Robert B. Ash Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 2 II Βασική άλγεβρα. Αρχικά μαθήματα 4 1 Μάθημα 1 4 1.1 Πορεία μελέτης............................ 4 1.2 Διάφορα σχόλια............................ 5 1.3 Πορεία μελέτης............................

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

(a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) = (a 1 a 2, b 1 b 2 ).

(a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) = (a 1 a 2, b 1 b 2 ). ΕΜ0 - Διακριτά Μαθηματικά Ιανουαρίου 006 Άσκηση - Λύσεις Πρόβλημα [0 μονάδες] Εστω L και L δύο κυκλώματα σε ένα γράφημα G. Εστω a μία ακμή που ανήκει και στο L και στο L και έστω b μία ακμή που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

L = F +. Είναι, 1 F, άρα και 1 L. Επεκτείνουµε τις πράξεις του F έτσι ώστε

L = F +. Είναι, 1 F, άρα και 1 L. Επεκτείνουµε τις πράξεις του F έτσι ώστε ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ ΣΩΜΑΤΟΣ Προκαταρκτικά Σώµα = Αντιµεταθετικό σώµα, χαρακτηριστικής µηδενός Τα σώµατα αυτά καλούνται και αριθµητικά σώµατα Θα τα συµβολίζουµε µε τα γράµµατα F, F, L κλπ Έστω ότι κάποια ανάγκη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί και ποιοι άρρητοι;

Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί και ποιοι άρρητοι; Φυσικοί, Ακέραιοι, Ρητοί, Άρρητοι, Πραγματικοί, Απόλυτη Τιμή, Ομόσημοι, Ετερόσημοι, Αντίθετοι, Αντίστροφοι. Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ακέραιοι;

Διαβάστε περισσότερα

2 3x 5x x

2 3x 5x x ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΙΩΑΝΝΗΣ Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ 1)Ποιοι αριθμοί ονομάζονται άρτιοι και ποιοι περιττοί ; Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι που δεν διαιρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων 4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 10: Αριθμητική υπολοίπων - Κυκλικές ομάδες: Διαιρετότητα - Ευκλείδειος αλγόριθμος - Κατάλοιπα Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Αλγεβρικές οµές ΙΙ 1. Εστω ότι R Z 3 [x]. Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες 30 λεπτά (αʹ) Να αποδείξετε ότι ο R είναι περιοχή

Διαβάστε περισσότερα

Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας

Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Δώδεκα Αποδείξεις του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Mία εκδοχή της αρχικής απόδειξης του Gauss f ( z) = T ( z) + iu ( z) T = r cos φ + Ar 1 cos(( 1) φ + α) + + L cosλ U = r si φ + Ar 1 si(( 1) φ

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Ορισμός Ευκλείδεια διαίρεση ονομάζεται η πράξη κατά την οποία ένας αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

4.4 ΜΕΓΙΣΤΟΣ ΚΟΙΝΟΣ ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ - ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ

4.4 ΜΕΓΙΣΤΟΣ ΚΟΙΝΟΣ ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ - ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ 158 44 ΜΕΓΙΣΤΟΣ ΚΟΙΝΟΣ ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ - ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Έστω α, β δύο ακέραιοι Ένας ακέραιος δ λέγεται κοινός διαιρέτης των α και β, όταν είναι διαιρέτης και του α και του

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z).

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z). Παράρτηµα Α 11.1 Εισαγωγή Οπως έχει αναφερθεί ήδη προοδευτικά στο δεύτερο µέρος του παρόντος συγγράµµατος χρησιµοποιούνται ϐασικές έννοιες άλγεβρας. Θεωρούµε ότι οι έννοιες αυτές είναι ήδη γνωστές από

Διαβάστε περισσότερα

ιαιρετότητα Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών «Ο Αλγόριθµος της ιαίρεσης» Αριθµητική Υπολοίπων 0 r < d και a = d q +r

ιαιρετότητα Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών «Ο Αλγόριθµος της ιαίρεσης» Αριθµητική Υπολοίπων 0 r < d και a = d q +r ιαιρετότητα Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών ο a διαιρεί τον b: συµβολισµός: a b Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς a b και a c a (b + c) a b a bc, για κάθε c Z +

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ...11 1.1 Βασικές θεωρητικές γνώσεις... 11 1.. Λυμένα προβλήματα... 19 1. Προβλήματα προς λύση... 4 1.4 Απαντήσεις προβλημάτων Πραγματικοί αριθμοί... 0 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων. Κρυπτογραφία. Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές. Χρήστος Ξενάκης

Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων. Κρυπτογραφία. Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές. Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Κρυπτογραφία Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές Χρήστος Ξενάκης Το σύνολο των ακεραίων Ζ = {..., -2, -1, 0, 1, 2,...} Το σύνολο των φυσικών Ν = {0, 1, 2,...}

Διαβάστε περισσότερα

f : G G G = 7 12 = 5 / N. x 2 +1 (x y) z = (x+y+xy) z = x+y+xy+z+(x+y+xy)z = x+y+z+xy+yz+xz+xyz.

f : G G G = 7 12 = 5 / N. x 2 +1 (x y) z = (x+y+xy) z = x+y+xy+z+(x+y+xy)z = x+y+z+xy+yz+xz+xyz. Σ.Παπαδόπουλος 1 1 Βασικές έννοιες ομάδας Εστω G ένα σύνολο με G. Μία πράξη στο G είναι μία συνάρτηση f : G G G. Αντί f(x, y) γράφουμε x y και αν δεν υπάρχει περίπτωση σύγχυσης xy. Είναι φανερό ότι σε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Μάθημα: Μαθηματικά Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών (1 ο, 2 ο, 3 ο Κεφάλαιο) 11-10-2017, 18-10-2017 Διδάσκουσα: Αριστούλα Κοντογιάννη ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα