1.1 Granične vrijednosti
|
|
- Ποδαργη Χατζηιωάννου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1.1 Granične vrijednosti Intuitivni uvod u granične vrijednosti Uvod Razvoj diferencijalnog računa stimulisan je od strane dva geometrijska problema: nalaženjem površina ravnih površi; nalaženjem tangenti na krive. Oba ove problema zahtjevaju granične procese za svoja opća rješenja. Me dutim koncept esa ili granične vrijednosti je fundamentalni graditeljski blok na kojem se zasniva cijeli diferencijalni i integralni račun! Na početku ovog poglavlja ćemo promatrati granične procese informalno. Mnogi problemi diferencijalnog i integralnog računa se izvode iz slijedeca tri problema: Tangentni problem Ako nam je data funkcija f i tačka P(x 0,y 0 ) na grafu funkcije, naći jednačinu linije koja je tangentna na graff u tačkip Površinski problem Ukoliko nam je data funkcija f, naći površinu ispod grafa funkcije f i intervala [a,b] nax-osi. Problem trenutne brzine Ukoliko nam je data kriva pozicije u odnosu na vrijeme za česticu koja se kreće duž koordinatne linije, naći brzinu te čestice u datom vremenu. Promatranje ovih problema ima dugu historiju. Površinske formule za osnovne geometrijske figure, kao što su pravougaonici, poligoni i krugovi idu nazad do najranijih matematičkih zapisa. Prvi pravi napredak od najprimitivnih pokušaja je napravio starogrčki matematičar Arhimed ( Aρχιµηδης), koji je razvio genijalnu, ali napornu tehniku, koja se zove tehnika iscrpljenja, kako bi našao površine regija koje su ograničene parabolama, spiralama i raznim drugim krivim. Do 17-og stoljeća mnogi su matematičari otkrili načine kako izračunati ove površine koristeći ese. Me dutim, svim ovim metodama je nedostajala generalnost. Uvod u površinski problem 1
2 Veliki napredak su napravili nezavisno jedan od drugoga Newton i Leibniz, koji su otkrili da se površine mogu dobiti obrćući proces diferencijacije. Newtonov rad De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas izdat 1711 se smatra početkom više matematike. Sir Isaac Newton PRS MP Gottfried Wilhelm Leibniz 2
3 Tradicionalno se smatra da matematika koja proizilazi iz tangentnog problema čini diferencijalni račun, dok matematika koja proizilazi iz površinskog problema predstavlja integralni račun. Me dutim, vidjet ćemo da su ova dva problema toliko vezani jedan za drugi da je često teško napraviti razliku izme du diferencijalnog i integralnog računa! Kako bismo bolje razumjeli gornje probleme, potrebno je da damo precizniju definiciju onoga što smatramo tangentnom linijom, površinom i brzinom. 3
4 Tangentne linije i esi Površinski problem Sada kada imamo motivaciju, vrijeme je se pozabavimo samim pojmom granične vrijednosti. Najosnovnija upotreba esa je da opišemo kako se funkcija ponaša kada se nezavisna promjenljiva približava odre denoj vrijednosti! Primjer. Posmatrajmo stoga npr. funkciju y = 3x + 1 i različite vrijednosti funkcije za različite argumente 4
5 x 0,5 0,7 0,8 0,9 0,95 0,99 0,999 0,9999 y 2,5 3,1 3,4 3,7 3,85 3,97 3,997 3,9997 Očito, kako se argument funkcije približava vrijednosti 1 sa lijeve strane, vrijednost funkcije se približava vrijednosti 4. Kažemo da funkcija teži vrijednosti4 kako vrijednostx teži ka 1 (ovaj put s lijeve strane). x 1,5 1,3 1,2 1,1 1,05 1,01 1,001 1,0001 Kažemo da funkcija y 5,5 4,9 4,3 4,6 4,15 4,03 4,003 4,0003 teži vrijednosti 4 kako vrijednost x teži ka 1 (ovaj put s desne strane). Ako su desna i lijeva granična vrijednost funkcije jednake, onda kažemo da funkcija ima graničnu vrijenost u toj tački! Intuitivna i veoma neformalna definicija esa: Definicija 1.1. Ako se vrijednosti funkcije f(x) mogu napraviti onoliko blizu vrijenosti L koliko žeo, tako što ćemo napraviti x dovoljno blizu vrijednosti a (ali ne jednako vrijednosti a!), onda pišemo f(x) = L, x a što čitamo es funkcijef(x) kadaxteži kaa. Primjer. Napravite konjekturu o vrijednosti esa x 0 x x+1 1. Primjer. Napravite konjekturu o vrijednosti esa sinx x 0 x. Primjer. Napravite konjekturu o vrijednosti esa sin π x 0 x. Lijeva i desna granična vrijednost Definicija 1.2. Vrijednost R + a D x a f(x) označavamo sa x a+0 f(x) ili kraćef(a+ 0), kad god ta vrijednost postoji i zovemo desnom graničnom vrijednosti funkcijef u tačkia. Po analogiji se definira i lijeva granična vrijednost Nije teško zaključiti da vrijedi f(x) = f(a 0). x a 0 f(x) = b f(x) = f(x) = b. x a x a 0 x a+0 5
6 Beskonačne granične vrijednosti - informalno Ako se vrijednosti funkcije f(x) konstantno povećavaju kako se x približava vrijednostia sa desne ili lijeve strane, onda pišemo f(x) = + ili x a+ f(x) = + x a kako je odgovarajuće i kažemo da se funkcija f neograničeno povećava kako x teži ka a sa desne, odnosno lijeve strane. Ako se vrijednosti funkcije f(x) konstantno smanjuju kako se x približava vrijednostiasa desne ili lijeve strane, onda pišemo f(x) = ili x a+ f(x) = x a kako je odgovarajuće i kažemo da se funkcija f neograničeno smanjuje kako x teži ka a sa desne, odnosno lijeve strane. Vertikalna asimptota Definicija 1.3. Linija x = a se naziva vertikalna asimptota grafa funkcije f, ukoliko se f(x) približava + ili kako se x približava a sa lijeve ili desne strane. Granične vrijednosti u beskonačnosti i horizontalne asimptote Do sada smo samo posmatrali granične vrijednosti funkcija kada se x približavalo nekoj konkretnoj vrijednosti a. Me dutim, veoma često nas interesuje kako se funkcija ponaša kada vrijednost argumenta neograničeno raste ili opada. Definicija 1.4 (Granične vrijednosti u beskonačnosti - informalno). Ako se vrijednosti funkcije f(x) sve više i više približavaju nekom broju L kako se argument x neograničeno povećava, onda pišemo f(x) = L. x + Ako se vrijednosti funkcije f(x) sve više i više približavaju nekom broju L kako se argument x neograničeno smanjuje, onda pišemo f(x) = L. x Geometrijski, ako se f(x) L kako x +, onda se graf funkcije eventualno sve više i više približava horizontalnoj liniji y = L (kada graf pomatramo u pozitivnom smjeru). Slično, ako se f(x) L kako x, onda se graf funkcije eventualno sve više i više približava horizontalnoj liniji y = L (kada graf pomatramo u negativnom smjeru). 6
7 Definicija 1.5 (Horizontalna asimptota). Linija y = L naziva se horizontalna asimptota grafa funkcijef akof(x) L kakox + ili x. Definicija 1.6 (Beskonačne granične vrijednosti u beskonačnosti - informalno). Ako se vrijednosti funkcije f(x) sve više i više povećavaju kako se argument x neograničeno povećava ili smanjuje, onda pišemo f(x) = + ili x + f(x) = + x Ako se vrijednosti funkcije f(x) sve više i više smanjuju kako se argument x neograničeno povećava ili smanjuje, onda pišemo f(x) = ili x + f(x) = x Tako der granična vrijednost u beskonačnosti može da uopće ne postoji ukoliko funkcija beskonačno oscilira na takav način da se vrijednost funkcije ne približava nijednoj vrijednosti, niti se neograničeno povećavaju niti smanjuju. Takve su na prijer trigonometrijske funkcije sin i cos. U tom slučaju kažemo da graničnna vrijednost ne postoji zbog oscilacije. Izačunavanje esa Deset standardnih graničnih vrijednosti će formirati osnovu za izračunavanje graničnih vrijednosti. Tri uključuju konstantnu funkciju, tri uključuju linearnu funkciju, dok četiri uključuju racionalnu funkciju. k = k, x a k = k, x + k = k, x x = a, x a 1 x 0 + x = +, x = +, x + 1 x 0 x =, x =, x 1 x + x = 0, 1 x x = 0. Osobine granične vrijednosti funkcije Neka označava jednu od graničnih vrijednosti x a, x a, x a +, x +, ili x. Pretpostavimo da postoje granične vrijednost funkcije L 1 = f(x) i L 2 = g(x). Tada 1. [f(x)±g(x)] = f(x)±(x) = L 1 +L 2 2. k f(x) = k f(x) = k L 1 (k R) 3. (f(x) g(x)) = f(x) g(x) = L 1 dotl 2 7
8 f(x) g(x) = f(x) g(x) = L1 L 2,(L 2 0) 5. [f(x)] k = (f(x)) k = L k 1, (k R). Primjer. Izračunati: x 1 (2x2 5x+10) x 1 x 2 x 1 x 2 5x+6 x 2 x 2 Za svaki polinom i za bilo koji realan broja, p(x) = c 0 +c 1 x+ +c n x n p(x) = p(a) = c 0 +c 1 a+ +c n a n x a A šta je s polinomima oblikax n u beskonačnosti? Pogledajmo sliku! Množenje sa pozitivnom brojem ništa ne mijenja, dok množenje sa negativnim brojem mijenja znak beskonačnosti. Tako der možemo posmatrati granične vrijednosti funkcija definisanih dio po dio { x f(x) = 2 5, x 3 x+13, x > 3 8
9 1.1.2 Granična vrijednost funkcije Granična vrijednost funkcije Do sada se sva diskusija zasnivala na intuitivnoj predodžbi šta to znači da se vrijednost funkcije sve više i više približava nekoj graničnoj vrijednosti. Sada se konačno možemo i trebamo, pozabaviti problemom granične vrijednosti formalnije. Stoga posmatrajmo funkciju za koju f(x) L kako x a. Ako f(x) L kako x a, onda za bilo koji pozitivan broj ε, možemo naći otvoreni interval na x-osi koji sadrži tačku x = a i ima osobinu da za svako x u tom intervalu, osim možda ux = a vrijednost funkcijef(x) je izme dul εil+ε. Definicija 1.7 (Formalna definicija esa). Neka je funkcija f(x) definisana za svako x u nekom otvorenom intervalu koji sadrži broja, sa mogućim izuzetkom u samoma. Onda ćemo pisati x a f(x) = L ako za bilo koji dati brojε > 0 možemo naći brojδ > 0 takav da f(x) L < ε ako 0 < x a < δ. Definicija je granična vrijednost funkcije y = f(x) u tački a ako vrijedi da za svako M > 0 postoji δ koje zavisi od M takvo da čim je x iz O δ (a), imao da je f(x) > M, tj. ( M > 0)( δ = δ(m) > 0) x O δ (a) f(x) > M. Za, imamo ( M < 0)( δ = δ(m) > 0) x O δ (a) f(x) < M. L je granična vrijednost funkcijey = f(x) kadax + ako ( ε > 0)( M = M(ε) > 0) x > M f(x) L < ε. L je granična vrijednost funkcijey = f(x) kadax ako ( ε > 0)( M = M(ε) < 0) x < M f(x) L < ε. 1.2 Neprekidnost Neprekidnost 9
10 Objekt koji se kreće ne može (ma koliko mi to možda željeli u stilu sci-fi filmova) tek tako samo nestati i pojaviti se na drugom mjestu. Stoga ukoliko put objekta u kretanju posmatramo kao krivu, on aje neprekidna, bez rupa, skokova ili prekida. Ranije smo razmatrali neprekidnost informalno. Me dutim, taj pogled je i više nego dobar, kao što vidimo iz definicije Definicija 1.9. Funkcija f je neprekidna u tački c ukoliko su zadovoljeni slijedeći uslovi: 1. f(c) je definisana. 2. x c f(x) postoji. 3. x c f(x) = f(c). Ukoliko je jedan ili više od navedenih uslova nezadovoljen, kažemo da funkcijaf ima prekid u tačkic. Ako je f neprekidna u svakoj tački intervala (a,b) onda kažemo da je funkcija neprekidna na intervalu(a, b). Ukoliko je funkcija neprekidna na intervalu (, ) onda kažemo da je svuda neprekidna. Primjetite da su prva dva uslova suvišni! Primjer. Odrediti da li su slijedeće funkcije neprekidne u tačkix = 2: { f(x) = x2 4 x 2 x 2, g(x) = 4 x 2, x 2 3, x = 2 h(x) = { x 2 4 x 2, x 2 4, x = 2 Neprekidnost u primjenama U primjenama, prekidi obično signaliziraju pojave važnih fizikalnih fenomena. S obzirom da prekidi imaju značajne fizikalne interpretacije, važno je da smo u mogućnosti identificirati tačke prekida specifičnih funkcija i da smo u mogućnosti napraviti opća tvr denja o osobinama neprekidnosti cijelih familija funkcija. Uobičajeni pristup da pokažemo da je funkcija neprekidna je da pokažemo da je neprekidna u nekoj proizvoljnoj tački. Na primjer, kao što smo vijeli ranije, ako je p(x) polinom i ako jeaproizvoljan realni broj da Stoga, imamo slijedeći rezultat: p(x) = p(a). x a Teorem 1.1. Polinomi su svugdje neprekidni. Primjer. Pokazati da je funkcija x svuda neprekidna. 10
11 Osobine neprekidnih funkcija Teorem 1.2. Ukoliko su funkcijef i g neprekidne u tački c, onda f +g je neprekidna uc; f g je neprekidna uc; f g je neprekidna uc; f g je neprekidna ucako jeg(c) 0, a ima prekid u c ako je g(c) = 0. Teorem 1.3. Racionalna funkcija je neprekidna svuda osim u tačkama gdje je imenioc jednak nuli. Primjer. Za koje vrijednostiximamo rupu u grafu funkcije x 2 9 x 2 5x+6? Neprekidnost kompozicija Ako označava jednu od graničnih vrijednosti x c, x c, x c +, x + ili x. Ako je g(x) = L a funkcijaf je neprekidna u tačkil, onda je To jest, f(g(x)) = f(l). (f(g(x))) = f(g(x)). Drugim riječima, znak granične vrijednosti može zamijeniti mjesto sa znakom funkcije, ukoliko je funkcija neprekidna i ukoliko postoji granična vrijednost izraza unutar funkcije. Primjer. Ispitati neprekidnost funkcije 5 x 2. Teorem Ako je funkcijag neprekidna u tačkiciako je funkcijaf neprekidna u tačkig(c), onda je u kompozicija funkcijaf g neprekidna u tačkic. 2. Ako je funkcija g neprekidna svuda i ako je funkcija f neprekidna svuda, onda je u kompozicija funkcija f g neprekidna svuda. Stoga na osnovu prethodnog primjera zaključujemo na primjer da je apsolutna vrijednost neprekidne funkcije neprekidna funkcija! Teorema srednje vrijednosti Teorem 1.5. Ako je f neprekidna funkcija na zatvorenom intervalu [a,b] i ako e k bilo koji broj izme du f(a) i f(b) (inkluzivno), onda postoji najmanje jedan broj x na intervalu[a,b] takav da je f(x) = k. Posljedica 1.1. Ako je f neprekidna na [a,b] i ako su f(a) i f(b) različiti od nule i suprotnog znaka, ona postoji najmanje jedno rješenje jednačine f(x) = 0 u intervalu (a,b). Primjer. Naći rješenje (približno) realno jednačinex 3 x 1 = 0. 11
12 Neprekidnost trigonometrijskih funkcija Teorem 1.6. Ako je c R proizvoljan broj u domeni specificirane trigonometrijske funkcije, onda sinx = sinc, cosx = cosc, tgx = tgc, x c x c x c cscx = cscc, secx = secc, ctgx = ctgc. x c x c x c Teorem stezanja/sendvič/lopovi i policajci Teorem 1.7. Ako su f,g i h funkcije koje zadovoljavaju nejednakosti g(x) f(x) h(x)), za sva x u nekom otvorenom intervalu koji sadrži tačku c, sa mogućim izuzetkom u samoj tačkic. Akog i h imaju istu graničnu vrijednost kako sexpribližavac, recimo g(x) = = h(x) = L, x c x c onda if mora imati istu graničnu vrijednsot kako se x priližavac, tj. f(x) = L. x c Primjedba. Ova teorema tako der vrijedi i za beskonačne granične vrijednosti. Primjer. Dokazati da je sinx 1 cosx = 1, = 1. x 0 x x 0 x 12
13 Primjena esa u ekonomiji Zadana je cijena p kao funkcija potražnje d: p(d) = d+1 d 2 Izrazite potražnju kao funkciju cijene i izračunajte p + d(p). Neki standardni esi odakle smjenom 1 x = t dobijamo ( 1+ 1 x = e, x + x) (1+x) 1 x = e. x 0 Primjer. Izračunati Primjer. x 0 x e x 1 sinx x 0 x = 1. sin2x x 0 x 13
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότερα1 Integrali. 1.1 Pojam neodre denog integrala. Uvod u površinski problem
Integrali. Pojam neodre denog integrala Uvod u površinski problem Iako većina razmišlja o integralu isključivo kao o obratu izvoda, osnove integralnog računa sežu mnogo dalje u prošlost od modernih vremena.
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost
Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότερα4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA
. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότερα3.1. Granične vrednosti funkcija
98 3. FUNKCIJE: GRANIČNE VREDNOSTI I NEPREKIDNOST 3.1. Granične vrednosti funkcija 3.1.1. Definicija i osnovne osobine Da bismo motivisali definiciju granične vrednosti funkcija, dajemo dva primera. Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραMatematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραDužina luka i oskulatorna ravan
Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραFakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:
Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne
Διαβάστε περισσότεραPRVI IZVOD. f x0 x f x0. y x. ) lim lim ( ) ( ) x. Neka je y f(x) funkcija definisana na intervalu [a,b], x 0
. y PRVI IZVOD Neka je y f() funkcija definisana na intervalu [a,b], 0 unutrašnja tačka tog intervala, Δ ( 0) priraštaj argumenta i Δy odgovarajući priraštaj funkcije. Ako postoji granična vrijednost količnika
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραOvo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija
Διαβάστε περισσότεραJednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραMATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012
MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x
Διαβάστε περισσότεραSeminar 11 (Ispitivanje domene i globalnih svojstava funkcije)
Seminar 11 (Ispitivanje domene i globalnih svojstava funkcije) Prvo ponoviti/nau iti sadrºaje na sljede oj stani, a zatim rije²iti zadatke na ovoj stranici. Priprema Ove zadatke moºete rije²iti koriste
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότερα8 Funkcije više promenljivih
8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραNa grafiku bi to značilo :
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότερα4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότεραDiferencijalni račun
ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo
Διαβάστε περισσότερα4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115
4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115 2 / 115 Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Povijesno su dva po prirodi različita
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότερα4 Izvodi i diferencijali
4 Izvodi i diferencijali 8 4 Izvodi i diferencijali Neka je funkcija f() definisana u intervalu (a, b), i neka je 0 0 + (a, b). Tada se izraz (a, b) i f( 0 + ) f( 0 ) () zove srednja brzina promene funkcije
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραNeprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija
Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute
Διαβάστε περισσότεραx M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.
1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότερα5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Διαβάστε περισσότερα