Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică. Matematică (Varianta 2) x 1 x+1 dx, n N atunci valoarea limitei

Transcript

1 Universitatea din ucureşti Facultatea de Matematică şi nformatică oncursul de admitere iulie 7 omeniul de licenţă alculatoare şi Tehnologia nformaţiei Matematică (Varianta ). acă (a n ) n N este şirul cu termenul general a n = a n l = lim n n este: n x x+ dx, n N atunci valoarea limitei +. Fie f : (, ), f(x) = arctgx lnx. Un interval în care ecuaţia f(x) = are o soluţie reală este: = (,e) = (e,e ) = (e, ) = (,) 3. Fie funcţia f : definită prin f(x) = xe x. Panta tangentei la graficul funcţiei în punctul de abscisă x = este: e e 4. Fie funcţia f : definită prin f() = a şi f(x) = x (e x ) pentru orice x. Valoarea parametrului real a pentru care funcţia f este continuă pe este: e 5. Fie m şi M valorile funcţiei f :, f(x) = x 3 3x+ în punctele de extrem local. tunci valoarea produsului mm este: Parametrul real m pentru care vectorii a = (m+) i+3m j şi b = (m ) i+m j sunt perpendiculari şi au aceaşi lungime este:

2 7. În planul de coordonate xoy se consideră punctele (,3), (,) şi (3,). oordonatele ortocentrului triunghiului sunt: (, 3 ) (,) (,) (,3) 8. Triunghiul care are laturile 3, 8 şi 5 este: obtuzunghic dreptunghic isoscel ascuţitunghic 9. Mulţimea tuturor valorilor parametrului real α pentru care (cosα isinα)(cos5α+isin5α) este: { kπ k Z { kπ k Z {kπ k Z { kπ k Z 4 3. Fie dreapta d de ecuaţie x + y = şi punctele (4,) şi (,3). Valoarea minimă a sumei M +M pentru M d este: Numărul soluţiilor reale ale ecuaţiei x 4 +x 3 +x+ = este: 4. acă = ( 3 ) M (), atunci determinantul matricei 7 este: 7 3. Ecuaţia log x+log 4 x+log 8 x = are soluţia: x = 3 x = x = log 4 x = Numărul funcţiilor f : {,, {,,,3,4,5 pentru care f()+f()+f() este impar este: acă z este un număr complex pentru care z = 7+3i, atunci modulul lui z este: 4 Timp de lucru total 3 ore, în care este inclusă şi rezolvarea celui de-al doilea subiect, la alegere dintre nformatică şi Fizică.

3 Universitatea din ucureşti Facultatea de Matematică şi nformatică oncursul de admitere iulie 7 omeniul de licenţă - alculatoare şi Tehnologia nformaţiei nformatică (Varianta ) Toate secvențele de cod (/++/Pascal) din subiect folosesc variabile anterior declarate de tipul corespunzător.. Într-un graf neorientat conex, distanța dintre două noduri u și v se definește ca fiind lungimea minimă a unui lanț de la u la v. Statusul unui nod v se definește ca fiind suma distanțelor de la v la celelalte noduri. are este valoarea maximă pe care o poate avea statusul unui nod într-un graf conex neorientat cu n> noduri? n(n+)/ n (n-) n(n-)/. are este numărul maxim de frunze ale unui arbore binar (fiecare nod are cel mult fii) cu 67 de noduri? Se consideră următoarea secvenţă de cod, în care variabilele k şi n sunt de tip întreg. k=; k:=; while(n>){ while n> do if(n%==) {k++; n=n/; else k--; n=n/; if n mod = then k:=k+; n:=n div ; end else k:=k-; n:=n div ; Ştiind că n memorează un număr natural de 4 cifre, care dintre următoarele valori nu poate fi valoarea memorată de variabila k după execuţia acestei secvenţe de cod? Se consideră următoarea secvenţă de cod, în care variabilele i și j sunt de tip întreg şi variabila s poate memora un şir de cel mult de caractere: strcpy(s,"calculatoare"); s:='calculatoare' ; i=; j=strlen(s); i:=; j:=length(s); while(j>i){ while j>i do j=j-i;i++; j:=j-i; inc(i); i=strchr(s,s[i])-s+; i:=pos(s[i+],s); are este valoarea memorată în variabila i după executarea secvenţei de cod? În următoarea secvență de cod a este un vector ordonat crescător cu n elemente(primul element este pe pozitia ). i = ; s = ; i := ; s := ; while (i<=n) { while i <= n do j = i + ; j := i + ; while (j<=n && a[i] == a[j]) j++; while (j<=n) and (a[i] = a[j]) do j := j + ; s++ ; s := s + ; i = j ; i := j ; end ; Stabiliţi ce reprezintă valoarea memorată în variabila s şi ce tip de algoritm este din punct de vedere al complexităţii. numărul de valori consecutive din a / algoritm liniar numărul de elemente distincte din a / algoritm pătratic numărul de elemente distincte din a / algoritm liniar numărul de valori consecutive din a / algoritm pătratic 6. În următoarea secvență de cod, x este o variabilă care memorează un număr întreg, st, dr, mijl și gasit sunt variabile de tip întreg, iar v este un vector cu elemente numere întregi, primul element fiind pe poziția. Vectorul v are elementele ordonate crescător. Secvența de cod caută numărul memorat în x în vectorul v, folosind metoda căutării binare. st=; dr=;gasit=; while((st<=dr) && (gasit==)){ mijl=(st+dr)/; printf( %d, v[mijl]); cout<<v[mijl]<<" "; if(v[mijl]==x) gasit=mijl; else if(v[mijl]>x) dr=mijl-; else st=mijl+; st:=; dr:=;gasit:=; while (st<=dr) and (gasit=) do mijl:=(st+dr) div ; write(v[mijl],' '); if v[mijl]=x then gasit:=mijl else if v[mijl]>x then dr:=mijl- else st:=mijl+; are dintre următoarele variante nu poate fi rezultatul afişat de această secvenţă de cod?

4 7. Se dau matricele și de numere întregi. are m linii și n coloane, are n linii și p coloane. Numărul de înmulţiri elementare între elementele matricelor și realizate de algoritmul clasic de înmulţire a celor două matrice (bazat pe definiţia produsului a două matrice) este: m + *n + p m + n + p m*n + n*p m*n*p 8. Utilizând metoda backtracking se generează toate permutările mulțimii {,, 3, 4, 5 în ordine lexicografică. Primele cinci soluții generate sunt 345, 354, 435, 453, 534. Spunem că o permutarea p a mulțimii {,, 3, 4, 5 are numărul de ordine k dacă este a k-a permutare generată astfel. Permutarea 354 are numărul de ordine, iar permutarea 534 are numărul de ordine 5. are este numărul de ordine al permutării 543? Ştiind că în variabila întreagă x este memorat un număr natural de exact 4 cifre, stabiliţi care dintre următoarele expresii este adevărată dacă şi numai dacă x este palindrom. x% == x/% + x/ x mod =x div mod +x div x/ == x% x div =x mod (x% == x/) && (x% == x/) (x mod =x div ) and (x mod =x div ) x/ == x%* + x%/ x div =x mod *+x mod div. Se consideră următoarea funcţie: int calc(int n,int d){ if(n<=) return d; if(n%d==) return calc(n/d,d); else return calc(n,d+); e returnează apelul calc(n,), unde n este un număr natural cu n >? n - cel mai mare divizor prim al lui n function calc(n:integer ; d:integer):integer; if n<= then calc:=d else if n mod d= then calc:=calc(n div d,d) else calc:=calc(n,d+); end ;. Se consideră următoarea secvenţă de cod, în care variabilele i,j,x,k sunt de tip întreg. cel mai mare divizor al lui n puterea la care apare în descompunerea în factori primi a lui n k=; x=;j=; for(i=;i<=5;i++){ k:=; x:=; j:=; for i:= to 5 do k++; if (k == j) {x++; k=;j++; k:=k+; if k=j then x:=x+; k:=; j:=j+; are este valoarea variabilei x după execuţia acestei secvenţe de cod? Fie n> număr natural. are este numărul minim de muchii ale unui graf neorientat cu n noduri care are exact două componente conexe, cele componente conexe fiind grafuri complete? (n-)(n-) n(n-) n(n-)/ n(n-) 3. Fie doi vectori a și b ordonați crescător cu na respectiv nb elemente. Prin algoritmul de interclasare se obține vectorul ordonat care conține toate elementele din a și b. Pe cazul cel mai favorabil, numărul minim de comparații între elementele celor doi vectori este: (na + nb)/ min(na,nb) max(na, nb) na + nb 4. Se consideră o stivă şi o coadă iniţial vide. Se introduc pe rând în coadă primele 5 pătrate perfecte nenule, în ordine crescătoare. Se extrag apoi din coadă două elemente și se adaugă în stivă, în ordinea în care au fost extrase. are este elementul din vârful stivei după executarea acestor operaţii? Fie v un vector de n elemente întregi, pe poziții numerotate de la la n și secvența de cod de mai jos care realizează ordonarea crescătoare a elementelor acestuia. for (i = ; i<n;i++) for (j = i+; j<=n; j++) if (v[i] > v[j]) { aux = v[i]; v[i] = v[j]; v[j] = aux; for i := to n- do for j : = i+ to n do if v[i] > v[j] then aux := v[i]; v[i] := v[j]; v[j] := aux; Numărul de comparații între elementele lui v realizat de algoritmul de mai sus pe cazul cel mai favorabil este: n(n-)/ n n-

5 Universitatea din ucurești Facultatea de Matematică și nformatică oncursul de admitere iulie 7 omeniul de licență - alculatoare și Tehnologia nformației Fizică (Varianta ). Un conductor cilindric din cupru are lungimea de m şi aria secţiunii transversale,7cm. e rezistenţă electrică are acest conductor? ezistivitatea electrică a cuprului are valoarea,7x -8 m. ),m 6 ) ),445 ) m. La bornele unei baterii cu tensiunea electromotoare E şi rezistenţa internă r se conectează un rezistor cu rezistenţa nr. aportul dintre tensiunea U între borne, măsurată cu un voltmetru ideal, şi tensiunea U între borne, măsurată cu un voltmetru cu rezistenţa U 7 8 V n r, este. eterminaţi valoarea lui n. U 7 8 ) n 7 ) n 6 ) n 5 ) n 8 3. Nouă becuri identice, fiecare având rezistenţa, sunt conectate în paralel. ezistenţa echivalentă a acestei grupări are valoarea: ) 3 ) 9 ) 9 ) 3 4. Un circuit serie este format dintr-o baterie cu rezistenţa internă neglijabilă, un rezistor cu rezistenţa de 4, un ampermetru cu rezistenţa şi un rezistor pe care se disipă o putere de W. acă se scoate ampermetrul din circuitul iniţial (rămânând în serie bateria, rezistenţa de 4 şi rezistorul ) şi se conectează în paralel cu rezistorul, se constată că puterea disipată pe rezistorul este tot de W. e valoare are intensitatea curentului prin ampermetru în cazul al doilea (când este conectat în paralel cu )? ),5 ),5 ) ) 4 5. Într-un nod de reţea se intersectează patru curenţi electrici cu sensurile indicate în figură şi având 4 intensităţile de 4, şi 3. e sens are curentul? electric şi ce valoare are intensitatea curentului electric prin ramura indexată în figură cu semnul 3? ) inspre nod, 8 ) inspre nod, 3 ) Înspre nod, 8 ) Înspre nod, 6. Montajul din figură conţine o baterie cu tensiunea electromotoare E şi rezistenţa internă neglijabilă, doi rezistori identici fiecare având rezistenţa, un reostat având rezistenţa, cabluri de legătură de rezistenţă neglijabilă şi un cursor care se poate deplasa de-alungul reostatului. ând cursorul se află la unul din capetele reostatului curentul prin baterie are intensitatea iar când cursorul este la mijlocul reostatului curentul prin baterie are intensitatea. Expresiile celor două intensităţi în funcţie de E şi sunt: ) 4E E, ) 3 3 9E 6E, ) 3E E, ) 5E, 3 3E 5

6 7. La bornele unei baterii cu tensiunea electromotoare E şi rezistenţa internă r se conectează un voltmetru cu rezistenţa internă.e valoare are tensiunea măsurată de voltmetru? V ) V U E ) U V ) E U V ) U E V r r 8. O secţiune a unui rezistor cu rezistenţa este străbătută în intervalul de timp de sarcina electrică q. e expresie are tensiunea între capetele acestui rezistor? q ) U ) U ) U ) U q q q 9. ornele unei baterii cu tensiunea electromotoare E 4, 5V şi rezistenţa internă r sunt legate printr-un fir conductor de rezistenţă neglijabilă. Valoarea tensiunii măsurate de un voltmetru conectat între bornele bateriei este: ) U = 4,7V ) U = 4,V ) U V ) U 4, 5V. Simbolul unităţii de măsură a puterii electrice în sistemul internaţional de unităţi este W.ceastă unitate de măsură este echivalentă cu: ) s ) V ) ) V. e intensitate are curentul ce trece prin filamentul unui bec de W când acesta este conectat la reţea? (U=V) ), 45m ), ), 45 ). La bornele unei baterii având tensiunea electromotoare E şi rezistenţa internă r este conectat un rezistor cu rezistenţă variabilă. Pentru ce valoare a lui se obţine transferul maxim de putere de la sursă către consumatorul de rezistenţă? e expresie are puterea maximă P max transferată? r r 4r r ) E P ) E ) E ) E max Pmax Pmax Pmax 4r 4r r r 3. Energia electrică pe care o consumă într-o secundă un rezistor de k pe care cade o tensiune de V are valoarea: ) W 5J ) W kj ) W J ) W 5J 4. Un rezistor este introdus într-un cuptor care menţine constantă temperatura în incintă. upă ce s-a ajuns la echilibru termic (temperatura T ) capetele rezistorului sunt conectate la o sursă de tensiune electromotoare şi prin el începe să circule curent electric. are din afirmaţiile de mai jos este adevărată? ) ezistorul electrică dar nu se încălzeşte ) ezistorul electrică şi se încălzeşte până la o temperatură T T ) ezistorul nu electrică dar se încălzeşte până la o temperatură T T ) ezistorul nu electrică şi nu se încălzeşte 5. e câte ori creşte rezistenţa unui conductor metalic când este încălzit de la temperatura de 3 la? oeficientul de variaţie a rezistenţei cu temperatura este 4 grad. ) ), 4 ). 5 )