MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a)"

Transcript

1 Universitatea "Dunărea de Jos" din Galaţi MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA 01 DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a Testele sunt recomandate pentru următoarele domenii de licenţă şi facultăţi: Nr. Domeniul de licenţă la care se crt. recomandă 1. Inginerie mecanică. Inginerie industrială 3. Mecatronică şi robotică 4. Ingineria autovehiculelor 5. Ingineria mediului Facultatea Facultatea de Mecanică 6. Inginerie şi management 7. Arhitectură navală Facultatea de Arhitectură Navală 8. Inginerie electronică şi telecomunicaţii 9. Inginerie electrică 10. Ingineria sistemelor 11. Calculatoare şi tehnologia informaţiei 1. Ingineria materialelor 13. Ingineria mediului 14. Inginerie mecanică 15. Inginerie şi management 16. Ingineria mediului 17. Agronomie 18. Ingineria produselor alimentare 19. Inginerie şi management 0. Ştiinţe inginereşti aplicate 1. Ştiinţa mediului. Matematică 3. Chimie 4. Ştiinţa mediului Facultatea de Automatică, Calculatoare, Inginerie Electrică şi Electronică Facultatea Metalurgie, Ştiinţa Materialelor şi Mediu Facultatea de Inginerie din Brăila Facultatea de Ştiinţa şi Ingineria Alimentelor Facultatea de Ştiinţe şi Mediu Testele au fost elaborate de către colectivul Departamentului Matematica- Informatica.

2 Prefaţă Începând cu anul universitar concursul pentru admiterea în învăţământul superior va conţine şi o probă de verificare a cunoştinţelor la anumite discipline. Pentru a veni în sprijinul candidaţilor la admitere în facultăţile care vor avea proba de concurs Matematică, membrii Departamentului Matematică-Informatică al Universităţii Dunărea de Jos din Galaţi au realizat această culegere de probleme tip grilă. Actuala lucrare este întocmită pe baza programei analitice, având în vedere criteriile de admitere la facultăţile Universităţii Dunărea de Jos din Galaţi. Materialul conţine capitole de algebră, din programa claselor IX-XI. La sfârşitul lucrării sunt prezentate răspunsurile problemelor. Avem convingerea că orice candidat, care va rezolva cu atenţie problemele din aceasta lucrare, va promova cu succes examenul de admitere. i

3 ii PREFAŢĂ Materialul acestei lucrări a fost elaborat de: Capitolul 1 Capitolul Capitolul 3 Capitolul 4 Capitolul 5 J. Crînganu, C. Eni, M. Popescu M.C. Baroni, C. Bendrea, M. Munteanu G. Bercu, V. Leahu C. Bocăneală, I. Mirică M.A. Aprodu, C. Corneschi, C. Frigioiu Realizarea volumului a fost coordonată de C. Frigioiu şi M. Popescu.

4 Cuprins Prefaţă i 1 Funcţia de gradul întâi şi funcţia de gradul al doilea 1 Funcţia exponenţială şi funcţia logaritmică 7 3 Progresii aritmetice şi geometrice 15 4 Elemente de combinatorică 19 5 Matrici. Determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare 5 iii

5 iv CUPRINS

6 Capitolul 1 Funcţia de gradul întâi şi funcţia de gradul al doilea 1. Soluţia ecuaţiei x 3 = 5 este: a x = 6; b x = 1; c x = 4.. Numărul x R ce satisface relaţia 5x 7 = x + 5 este: a x = 3; b x = ; c x =. 3. Dacă x 1 = 3, atunci: 3 a x = 3; b x = 3; c x =. 4. Ecuaţia x + 1 3x = 3 are soluţia: 4 a x = 8; b x = 7; c x = Soluţia ecuaţiei a x = ; b x = 1; c x = 0. x + 1 x 3 = x x + 6 este: 6. Mulţimea soluţiilor ecuaţiei x + x = 0 este: a {1, }; b {1, }; c { 1, }. 1

7 CAPITOLUL 1. FUNCŢIA DE GRADUL ÎNTÂI ŞI FUNCŢIA DE GRADUL AL DOILEA 7. Soluţia pozitivă a ecuaţiei x + x 6 = 0 este: a x = ; b x = 3; c x = Mulţimea soluţiilor ecuaţiei x + 1 = x + (x 1 este: a {1, }; b {1, 3}; c {, 3}. 9. Mulţimea soluţiilor ecuaţiei x a {0, 1}; b {0, 1}; c { 1, 1}. = x + x 3 x + 3 este: 10. Dacă x = 1 este soluţie a ecuaţiei (a + 1x x + a 5 = 0, atunci: a a = 1; b a = 1; c a =. 11. Inecuaţia 3x 1 are soluţia: a x R; b x [1, ; c x. 1. Soluţia inecuaţiei 3 x 1 este: a x (, ]; b x (, ]; c x [,. 13. Dacă A = {x R; x 4x + 3 0}, atunci: a A = (, 1]; b A = [ 3, 1]; c A = [1, 3]. 14. Mulţimea A = {x Z; x 3x + 0} este: a A = Z; b A = ; c A = {1, }. 15. Suma soluţiilor întregi ale inecuaţiei x x < 1 este: a 5; b 3; c Fie funcţia f : R R, f(x = x + 3. Atunci suma S = f( 1 + f(0 + f(1 este egală cu: a 0; b 1; c 9.

8 17. Graficul funcţiei f : R R, f(x = x + a, a R, trece prin punctul A(1, 3 pentru: a a = 0; b a = 1; c a =. 18. Punctul A( a +, 1 aparţine graficului funcţiei pentru: f : R R f(x = x 5 a a = 1; b a = ; c a =. 19. Dacă punctul A( a, 1, a > 0 se află pe graficul funcţiei atunci: f : R R, f(x = x + x 1, a a = 1; b a = ; c a =. 0. Valoarea maximă a funcţiei f : R R, f(x = x + 4x 8 este: a 6; b 6; c Valoarea parametrului real m pentru care graficul funcţiei este tangent la axa OX este egală cu: f : R R, f(x = mx 4x +, a m = ; b m = ; c m = 1.. Fie f : R R, f(x = x 3. Soluţia ecuaţiei f(x + f(x 1 = 4 este: a x = ; b x = 3; c x = Fie funcţia f : R R, f(x = x 4. Mulţimea soluţiilor ecuaţiei este: a {0, 1, }; b {0, 1, }; c {, 1, 0, 1, }. f(xf(x + 1f(x + = 0 4. Dacă x 1, x sunt rădăcinile ecuaţiei x + x + 1 = 0 şi S = 1 x x, atunci: a S = 1; b S = 1; c S =. 3

9 4 CAPITOLUL 1. FUNCŢIA DE GRADUL ÎNTÂI ŞI FUNCŢIA DE GRADUL AL DOILEA 5. Dacă x 1, x sunt rădăcinile ecuaţiei x x + 1 = 0 şi S = x 1 + x, atunci: a S = 1; b S = 0; c S = Valoarea lui m R pentru care rădăcinile ecuaţiei x 3x + m = 0 satisfac relaţia x 1 + x = 3 este: a m = 3; b m = 3; c m = Fie f : R R, f(x = x x +. Valoarea lui m R pentru care ecuaţia f( x = 3x + m are soluţie unică este: a m = 1; b m = ; c m =. 8. Ecuaţia x mx + 1 = 0, m R, are ambele rădăcini pozitive pentru: a m R; b m ; c m [,. 9. Inecuaţia nu are nicio soluţie pentru: mx + (m + 1x + 4m < 0, m R, a m R; b m [1, ; c m = Mulţimea valorilor funcţiei f : R R, f(x = x 4x + 6 este: a [, ; b [, ; c [,. 31. Fie f : R \ {} R, f(x = x + 1. Mulţimea valorilor funcţiei f este: x a R \ {}; b R; c (,. 3. Fie f : R R, f(x = x x + 1. Mulţimea valorilor funcţiei f este: [ x a, 3 ] ; b [0, 1]; c R. 33. Fie f : R R, f(x = x + 1. Soluţia ecuaţiei (f f(x = 3 este: a x = 1; b x = 1; c x =. 34. Mulţimea soluţiilor ecuaţiei (x + 1(x + 1 = (x + 1(4x este: a {1, 3}; b { 1, 1}; c { 1}.

10 5 35. Soluţia pozitivă a ecuaţiei x(x + 1(x + (x + 3 = 4 este: a x = 0; b x = 1; c x =. 36. Mulţimea A = {x R; x 4 = 1} este egală cu: a {0, 1}; b { 1, 1}; c. 37. Valorile parametrului real m, pentru care distanţa dintre rădăcinile ecuaţiei x + mx 1 = 0 este 5, sunt: a m = 0; b m = 1 şi m = 1; c m = şi m =. 38. Dacă soluţiile x 1, x ale ecuaţiei x (m + 1x + m = 0 se află în intervalul ( 1,, atunci: a m ( 3, ; ( b m, ; 3 ( c m 3, Mulţimea A = {(x, y Z Z; xy 5y = 8} are: a opt elemente; b niciun element; c o infinitate de elemente. 40. Fie x 1, x rădăcinile ecuaţiei x x + 1 = 0 şi S = x x 01. Atunci: a S = 1; b S = 0; c S = Valorile lui x Z pentru care x + x + 1 este pătrat perfect sunt: a x {0, 1}; b x = 1; c x { 1, 0}. 4. Dacă vârful parabolei y = x + 4x + m 1 = 0 este în cadranul II, atunci: a m (3, ; b m (, 3; c m ( 3,. 43. Valoarea lui m R pentru care rădăcinile ecuaţiei x 6x + m = 0 satisfac relaţia x 1 = x, este: a m = 5; b m = 5; c m = 10.

11 6 CAPITOLUL 1. FUNCŢIA DE GRADUL ÎNTÂI ŞI FUNCŢIA DE GRADUL AL DOILEA 44. Fie x 1, x rădăcinile ecuaţiei x + x + m = 0. Mulţimea valorilor parametrului real m pentru care (x x 3 + x 1 + x = 0, este: { a 3, 3 } { } { ; b ; c 0, } Funcţia f : R R, f(x = mx 4x + m are minimul strict negativ pentru: a m (, ; b m (0, ; c m (, 0. ( y + y x 3 x y + y 1 = 0, atunci: x a x { y 1, 5 } ; ( x 46. Dacă x, y R şi b x y { 1, } ; c x y =. 47. Valoarea parametrului a R pentru care mulţimea are un singur element este: {x R; x + a x + a 1 = 0} a a = 0; b a = 1; c a = Fie f : [ 3, 4] R, f(x = x + 4x 3. Valorile lui m pentru care ecuaţia f(x = m are două soluţii reale şi distincte sunt: a m [3, 45]; b m ( 5, 3]; c m R. 49. Fie f : R R, f(x = 8x + ax + b. Dacă f(x 1 pentru orice x [0, 1], atunci: a a = 8, b = 1; b a = 1, b = 1; c a = 4, b = Ecuaţia (m + 1x + ( mx m 7 = 0, unde m Z, are rădăcinile numere întregi pentru: a m { 1, 1}; b m {, 0}; c m =.

12 Capitolul Funcţia exponenţială şi funcţia logaritmică 1. Mulţimea soluţiilor inecuaţiei lg x > lg 7 este: a (7, ; b R; c.. Soluţia ecuaţiei log 5 x = 0 este: a x = 1; b x = 0; c x = Expresia E = log x + 3 log 4 x este definită pentru: a x R; b x (0, ; c x =. 4. Mulţimea soluţiilor inecuaţiei 3 x 9 este: a (, ]; b R; c {3}. 5. Soluţia ecuaţiei x = 8 este: a x = 3; b x = 1 ; c x =. 3 ( x 1 6. Soluţia ecuaţiei = 15 este: 5 a x = ; b x = 3; c x = Valoarea sumei lg 5 + lg 4 este: a 10; b 6,5; c. 8. Ecuaţia 3 1 x = 9 x 1 admite soluţia: a x = 1; b x = 3; c x = Ecuaţia 3 x = 1 3 are: a o soluţie reală; b nicio soluţie reală; c două soluţii reale. 7

13 8 CAPITOLUL. FUNCŢIA EXPONENŢIALĂ ŞI FUNCŢIA LOGARITMICĂ 10. Ecuaţia log 3 (4 x = log 3 (x admite soluţia: a x = ; b x = 1; c x = Ecuaţia log x = log ( x admite soluţia: a x = 0; b x = 1; c x =. 1. În intervalul [ 0, π ] ecuaţia sin x = admite soluţiile: a x 1 = 1 şi x = 1; b x 1 = 0 şi x = π 4 ; c x = π. 13. Soluţiile ecuaţiei x 3x+8 = 64 sunt: a x 1 = 1 şi x = 1; b x 1 = 1 şi x = ; c x 1 = 1 şi x =. 14. Ecuaţia x 1 = 1 admite soluţiile: a x 1 = şi x = ; b x 1 = 0 şi x = 1; c x 1 = 1 şi x = Ecuaţia log 5 (3x + 1 = 1 + log 5 (x 1 admite soluţia: a x = 0; b x = 3; c x = Ecuaţia x 3x = 1 admite soluţiile: 4 a x 1 = 1 şi x = 0; b x 1 = 0 şi x = 1; c x 1 = 1 şi x =. 17. Valoarea sumei log log log log este: a 1; b ; c 1.

14 9 18. Ecuaţia 3 x x+1 1 = 0 admite soluţiile: a x 1 = 1 3 şi x = 1; b x 1 = 0 şi x = 1; c x = Ecuaţia 5 lg x lg x 3 = 0 admite soluţiile: a x 1 = 3 5 şi x = 1; b x 1 = şi x = 10; ( 10 3 c x 1 = şi x = Inecuaţia 3 lg x > 1 admite soluţiile: a x (0, 1; b x (1, 3; c x (1, Inecuaţia 5 log x < 1 admite soluţiile: a x (0, 1; b x (1, 5; c x (5, +.. Ecuaţia log (x + 3x 10 = 3 admite soluţiile: a x 1 = şi x = 5; b x 1 = 3 şi x = 6; c x 1 = 1 şi x = Domeniul maxim D de definiţie al funcţiei f : D R, f(x = lg(x 4 este: a D = (, + ; b D = (, ; c D = (, (, Mulţimea soluţiilor inecuaţiei log (x + 1 > 0 este: a (0, + ; b ( 1, 0; c ( 1, Mulţimea soluţiilor inecuaţiei 3 x 1 > 1 este: a (0, 1; b [1, 3]; c (1, +.

15 10 CAPITOLUL. FUNCŢIA EXPONENŢIALĂ ŞI FUNCŢIA LOGARITMICĂ 6. Soluţiile reale ale ecuaţiei 3 x = a x 1 = 1 şi x = 4; b x = 1; c x 1 = şi x = 4. ( x 1 sunt: 3 7. Soluţiile ecuaţiei lg x 4 lg x + 3 = 0 sunt: a x 1 = 1 şi x = 3; b x 1 = 10 şi x = 1000; c x 1 = 1 10 şi x = Ecuaţia (3 + x = (1 + are soluţia: a x = 0; b x = 1; c x = Numărul log 5 18 log 5 log 5 3 a 1; b ; c 1. este egal cu: 30. Ecuaţia 3 x 5 = 3 x 8 are soluţiile: a x 1 = 1 şi x = 3; b x 1 = 1 şi x = 3; c x 1 = 1 3 şi x = Valorile numărului real x pentru care există log (1 + sin x sunt: a x R; b x [ 1, 1]; c x [0, Mulţimea valorilor funcţiei f : R R, f(x = log (1 + sin x este: a (0, + ; b [0,1]; c (1,. 33. Mulţimea valorilor funcţiei f : R R, f(x = sin x este: [ ] 1 a [, ]; b [0, 1]; c,. 34. Ecuaţia x+ x+ + 1 = 0 admite soluţiile: a x 1 = şi x = ; b x = 1; c x 1 = 1 şi x = 1.

16 Soluţiile ecuaţiei 5 log 3 x + 4 log 3 x 1 = 0 sunt: a x 1 = 1 3 şi x = 5 3; b x 1 = 1 3 şi x = 5 ; c x 1 = 1 şi x = Ecuaţia 5 x 6x+9 = 1 admite soluţiile: a x 1 = 3 şi x = 3; b x = 3; c x 1 = 1 şi x =. [ ] Dacă x,, atunci log x aparţine intervalului: [ 1 a x 4, 1 ] ; b x [, 4]; c x [ 1, 1]. 38. Numărul lg 01 aparţine intervalului: a (, 3; b (3, 4; c (4, Mulţimea valorilor lui x pentru care log (log 1 x are sens este: a (0, ; b (0, 1; c (1,. 40. Dacă log 3 = a, atunci log 1 18 este egal cu: a 1 + a 1 + a 1 + a ; b ; c + a + a 1 + a. 41. Ecuaţia x x = x x are: a soluţie unică; b o infinitate de soluţii; c două soluţii. 4. Pentru orice număr natural n, suma S = lg 1 + lg lg n 1 n egală cu: a 0; b lg n 1 ; c lg n. n este

17 1 CAPITOLUL. FUNCŢIA EXPONENŢIALĂ ŞI FUNCŢIA LOGARITMICĂ 43. Ecuaţia log 1 3 (log 3 x = 0 admite soluţia: a x = 1 ; b x = 3; c x = Dacă notăm log 3 = x, atunci log 8 36 este egal cu: a (x + 1 3(x + 1 (1 + x ; b ; c 3x 1 3(x Mulţimea soluţiilor inecuaţiei a ( 1, ; b (, (1, + ; c (, Mulţimea soluţiilor inecuaţiei log 1 3 a ( 1, 4 3 ; b 1 x +x 1 > 1 este: (, 4 ; c 3 ( 4 3 x > 1 este: ( 1 3, Numărul real log aparţine intervalului: ( 3 a 0, 1 ; b ( 1, 0; c (, Ecuaţia x 3 x + = 0 admite: a două soluţii în intervalul (1, ; b două soluţii în intervalul [0, 1]; c soluţia unică x = Dubla inegalitate 1 4 este satisfăcută pentru: x [ 1 a x 4, 1 ] ; b x [, 4]; c x [, 1]. 50. Dubla inegalitate 1 < log1 x < 3 este satisfăcută pentru: 3 ( ( 1 1 a x 3, 1 ; b x 7, 1 ; c x [1, 3]. 3

18 Ecuaţia x + 3 x = 5 x are: a două soluţii; b o infinitate de soluţii; c o singură soluţie. 5. Ecuaţia 6 x x = 9 x are: a două soluţii în intervalul [ 1, 1]; b soluţia unică x = 1; c o soluţie unică în intervalul (0, Ecuaţia x + x + log x = 7 are: a o infinitate de soluţii; b soluţia unică x = ; c două soluţii. 54. Numerele x, 4 x + 1 şi x+ sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice pentru: a x = { 1, 1}; b x = 0; c x =.

19 14 CAPITOLUL. FUNCŢIA EXPONENŢIALĂ ŞI FUNCŢIA LOGARITMICĂ

20 Capitolul 3 Progresii aritmetice şi geometrice 1. Al cincilea termen din şirul, 4, 6, 8,... este: a 0; b 10; c Al cincilea termen din şirul 1, 3, 9, 7,... este: a 81; b 8; c Într-o progresie aritmetică (a n n 1 se cunosc termenii a 1 =, a 3 = 10. Atunci termenul a este egal cu: a 5; b 6; c Dacă într-o progresie aritmetică (a n n 1 termenul a 3 = 5 şi raţia r =, atunci termenul a 1 este egal cu: a 1; b ; c Dacă suma a trei numere impare consecutive este egală cu 15, atunci cel mai mic dintre ele este: a 1; b 3; c Suma S = a 1 + a + a 3 + a 4 a primilor patru termeni ai unei progresii aritmetice (a n n 1 cu a 1 = 5, r = este: a 8; b 1; c Dacă (b n n 1 este o progresie geometrică cu b 1 =, q =, atunci termenul b 4 este egal cu: a 15; b 16; c Suma S = b 1 + b + b 3 + b 4 a primilor patru termeni ai unei progresii geometrice (b n n 1 cu b 1 = 1, q = 3 este: a 30; b 40; c

21 16 CAPITOLUL 3. PROGRESII ARITMETICE ŞI GEOMETRICE 9. Dacă numerele reale a, b, c formează o progresie geometrică cu raţia q =, atunci ecuaţia ax bx + c = 0 are soluţia: a 1; b ; c Şirul 1, 4, 7, 10,... formează o progresie aritmetică. Care dintre următoarele numere aparţine progresiei? a 17; b 18; c Şirul 1, b 1, b, b 3,... este o progresie geometrică cu raţia q =. Care dintre următoarele numere nu aparţine progresiei? a 4; b 6; c Dacă numerele a 1, a, a 3 formează o progresie aritmetică cu raţia 1, atunci ecuaţia are soluţia: a 1; b 0; c 1. a 1 x a = a x a Dacă numerele distincte b 1, b, b 3 formează o progresie geometrică, atunci ecuaţia are soluţia: a 1; b 0; c 1. b b 1 + x = b 3 b + x 14. Dacă numerele reale nenule b 1, b, b 3 verifică egalităţile b = b 3 b 1 b expresia b 1 + b este egală cu : b + b 3 a 1 ; b 1; c. =, atunci 15. Se consideră progresia aritmetică a 1, a, 13, 17,... Atunci a 1 este egal cu: a 3; b 4; c Într-o progresie aritmetică (a n n 1 se cunosc termenii a 3 = 5 şi a 6 = 11. Atunci a 9 este egal cu: a 17; b 13; c 15.

22 17. Într-o progresie aritmetică cu termeni pozitivi (a n n 1 sunt verificate următoarele relaţii: a 4 3a = 1, a 1 a = 6. Atunci raţia r a progresiei este egală cu: a ; b 1; c Se consideră o progresie aritmetică (a n n 1 cu termenul a 3 = 18 şi raţia r = 3. Suma primilor 9 termeni este: a 107; b 05; c Dacă numerele x 1, x 1, 5+x sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice, atunci: { } 1 a x, 3 ; { b x 1, 3 } ; { c x 1 }, Termenii unei progresii geometrice (b n n 1 verifică următoarele relaţii: Atunci raţia q este egală cu: a 3 ; b 1 ; c 1. b 1 + b 4 = 7 16, b 1 b + b 3 = Într-o progresie geometrică (b n n 1, suma primilor opt termeni este S 8 = 55 şi b 4 b 1 = 8. Atunci primul termen b 1 este: a 1 ; b 1; c.. O progresie geometrică (b n n 1 are raţia q = şi termenul b 8 = 640. Atunci termenul b 5 este egal cu : a 80; b 81; c Suma S = este egală cu: 4 11

23 18 CAPITOLUL 3. PROGRESII ARITMETICE ŞI GEOMETRICE a ; b ; c 1 ( Dacă numerele x, x + 1, x + 13 sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice, atunci x este egal cu: a ; b 3; c Suma tuturor numerelor pare mai mici decat 1 este egală cu: a 100; b 110; c Suma S = este egală cu: a 10; b 11; c Primii trei termeni ai unei progresii geometrice sunt: b 1, 8, 4. Atunci b 5 este egal cu: a 4 ; b 8; c Fie (a n n 1 o progresie aritmetică cu a 3 + a 19 = 10. Atunci a 6 + a 16 este: a 10; b 15; c Suma S = este egală cu: a 67; b 68; c Într-o progresie aritmetică (a n n 1 se cunosc termenii a 3 = 3, a 7 = 7. Atunci suma primilor 10 termeni este: a 98; b 100; c Într-o progresie geometrică (b n n 1 se cunosc termenii b 1 = 1, b = 3. Atunci termenul b 4 este egal cu: a 0; b 7; c Fie progresia geometrică (b n n 1, cu termenii b 1 =, b = 6. Atunci termenul b 5 este egal cu: a 181; b 16; c 00.

24 Capitolul 4 Elemente de combinatorică 1. Numărul C 7 n are sens pentru: a n R; b n N, n 7; c n Z, n < 7.. Numărul A n 3 are sens pentru: a n N; b n {0, 1,, 3}; c n N, n Produsul C 0 C 0 3 C 0 4 este egal cu: a 1; b 4; c Numărul submulţimilor cu elemente ale unei mulţimi cu 4 elemente este: a C 4; b A 4; c Numărul permutărilor mulţimii {1,, 3} este: a 4; b 5; c 6. (n +! 6. Valoarea expresiei, unde n N, este: n! a (n + 1(n + ; b n(n + ; c n(n Valoarea lui n N pentru care n! = 4, este: a 5; b 4; c Soluţia ecuaţiei, cu variabila n N, a 1; b ; c Valoarea expresiei 1! + 1 3! + 1 4! este: a 1 17 ; b ; c P n+1 = 4 P n+3, unde P n = n!, este: 19

25 0 CAPITOLUL 4. ELEMENTE DE COMBINATORICĂ 10. Mulţimea valorilor lui n N, n 1, pentru care are loc inegalitatea este: (n + 1! (n 1! < 30 a {1,, 3, 4}; b {, 3, 4, 5}; c {0, 1,, 3}. 11. Dacă n! = 70, atunci valoarea lui n N este: a 5; b 6; c Ştiind că A k n! n =, n, k N, n k, să se determine valoarea lui n N, (n k! n 7, care verifică ecuaţia A 7 n A 6 n = 8A 5 n. a n = 7; b n = 8; c n = Dacă A k n = n!, n, k N, n k, atunci soluţia ecuaţiei (n k! unde n N, n 7, este: A 7 na 4 n = A 6 na 5 n, a n = 8; b n = 9; c n = Numărul de submulţimi cu câte trei elemente ale unei mulţimi cu patru elemente, este: a 3; b 5; c Valoarea sumei C C C 6 + C C C C 6 6 este: a 3; b 64; c Numărul de triunghiuri care se pot forma cu şapte puncte astfel încât oricare trei dintre ele nu sunt coliniare, este: a 35; b 10; c Valoarea sumei Cn 1 + Cn Cn n 1 a n ; b n 1; c n. este: 18. Numărul de diagonale ale unui hexagon regulat este: a 9; b 15; c 30.

26 1 19. Mulţimea valorilor lui x N, pentru care există numărul C x +10 7x a {1,, 3}; b {, 3, 4, 5}; c {0, 3, 5}. este: 0. Coeficientul ultimului termen al dezvoltării binomului (x + 3y 3 este: a 7; b 9; c Numărul de termeni ai dezvoltării binomului (x 3 + 3x 9 este: a 9; b 8; c 10.. Numărul natural n 3, care verifică ecuaţia C 3 n + C n = 15(n 1 este: a n = 9; b n = 18; c n = Binomul lui Newton care conţine termenul T 13 = C y 1 este: a (5 y 0 ; b (5 + y 0 ; c (5 + y Dacă x, y N, x y + 1, y 1, atunci sistemul de ecuaţii { A y x = 7A y 1 x 6 Cx y = 5Cx y+1, unde A m n! n = (n m! şi n! Cm n =, are soluţia: m! (n m! a x = 6, y = 4; b x = 10, y = 6; c x = 10, y = În câte moduri se pot aranja pe un raft 5 cărţi? a 10; b 150; c Numărul natural n, n 4, pentru care are loc egalitatea a 4; b 5; c 6. (n! (n 4! = 6, este: 7. Valoarea lui n N, n, pentru care are loc egalitatea n! = 0(n!, este: a ; b 6; c Toţi cei 5 de elevi ai unei clase schimbă fotografii între ei. Câte fotografii sunt necesare? a 600; b 400; c Câte numere de trei cifre distincte se pot forma cu cifrele 0, 1, 3, 5? a 15; b 4; c 18.

27 CAPITOLUL 4. ELEMENTE DE COMBINATORICĂ 30. Valoarea lui n N, n 4, pentru care are loc egalitatea A n = 4, este: a 9; b 7; c Ecuaţia A 5 x = 1A 3 x, cu necunoscuta x N, x 5, are soluţia: a 5; b 7; c Numărul natural n, n 1 astfel încât C 1 n + A 1 n = 1, este: a ; b 4; c Valoarea expresiei E = C 3 5 A 5 este: a 5; b 0; c Numărul C 4 6 C C 3 5 este: a 30; b 10; c Numărul C 01 C este: a 1; b 0; c O mulţime cu n elemente are 10 submulţimi cu câte elemente. Atunci: a n = 5; b n = 8; c n = Numărul de moduri în care pot fi alese 3 persoane dintr-un grup de 7 persoane este: a 15; b 35; c Numărul natural n, pentru care C n = 15, este: a 5; b 1; c Valoarea expresiei C 0 5 C C 5 C C 4 5 C 5 5 este: a 0; b 3; c Ecuaţia C x + A x = 30 are soluţia x, x N, egală cu: a 5; b 4; c Soluţia ecuaţiei A x+1 C 1 x+ = 79, în variabila x 1, x N, este: a 5; b 7; c Ecuaţia C x = C x 3 x, în variabila x 3, x N, are soluţia: a 5; b 8; c 3.

28 43. Valorile lui x 3, x N, care verifică inecuaţia xc x 1 7C 1 x 8(x, sunt: a {3, 4, 5, 6}; b {3, 4}; c {5, 6}. 44. Mulţimea valorilor lui x N, 1 x 10, care verifică inecuaţia este: C x 10 < C x 1 10, a {5, 6, 7}; b {6, 7, 8}; c {8, 9, 10}. 45. Ecuaţia A 6 x 4xC 4 x = 11A 4 x, în variabila x 6, x N, are soluţia: a 9; b 1; c Soluţia sistemului de ecuaţii în necunoscutele x, y N, x y, y 1, { 8A y 1 x = A y x 9Cx y = 8Cx y 1 este: a x = 9, y = 16; b x = 16, y = 9; c x = 8, y = Mulţimea valorilor lui n N, pentru care are sens numărul C n +3n 4 5n+4, este: a {1, 3}; b {, 3, 4, 5}; c {1,, 3, 4}. 48. Termenul al patrulea al dezvoltării binomiale ( x + 1 x 6 este: a 1; b 0x 3 ; c x 4. ( Termenul care nu-l conţine pe x din dezvoltarea x este: x a T 3 ; b T 4 ; c T 6. ( x 50. Termenul din dezvoltarea binomului x care îl conţine pe x 6, este: a T 6 ; b T 1 ; c T 1. ( x Care sunt termenii dezvoltării + 4, x R, x > 0, în care exponentul lui x este un număr x natural? a T şi T 6 ; b T 4 ; c T 1 şi T 5. 3

29 4 CAPITOLUL 4. ELEMENTE DE COMBINATORICĂ 5. Suma S = C1 n a C 0 n n(n C n + 3 C3 n Cn 1 Cn ; b n n Cn n C n 1 n n(n 1 ; c., este: 53. Dacă n N, n, atunci valoarea sumei S n = n k=0 ( 1k C k n n k, este: a 0; b ; c 1.

30 Capitolul 5 Matrici. Determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare 1. Suma elementelor matricei A = a ; b 10; c 10.. Produsul elementelor matricei A = a 0; b 4; c Dacă A = a C = 4. Dacă A = ( ( ( a 1; b 1; c Se dau matricele: A = ( ( 1 0, B = ( 0 ; b C = 1 este: este: şi C=A+B, atunci: ( 1 0 ; c C = 0 1, atunci suma elementelor matricei A este: ( 3 1 a ( 4, B = 1 4 ( 7 0, C = 8 Dacă A + B = C, atunci valoarea numărului real a este: a a = 1; b a = ; c a =

31 6 CAPITOLUL 5. MATRICI. DETERMINANŢI. SISTEME DE ECUAŢII LINIARE 6. Determinantul matricei a ; b 14; c. 7. Determinantul matricei A = a 1; b 5; c ( 1 1 ( 8. Se consideră matricea A = 4 4 a 7A; b A; c 6A. 9. Fie matricea A= a 1; b 1; c Fie matricea este: este:. Calculând matricea A + A se obţine:. Determinantul matricei A 1 este: A = Calculând A + A I 3, unde I 3 este matricea unitate de ordin 3, se obţine: a 3A; b A 1 ; c A Sistemul de ecuaţii { 4x + y = 0 8x + y = 0 admite soluţia: a x = 0 şi y = 0; b x = 4 şi y = 0; c x = 1 şi y = Soluţia sistemului de ecuaţii este: { y = x + 8 y = x + 17

32 7 a x = 1 şi y = ; b x = 8 şi y = 0; c x = 3 şi y = Sistemul de ecuaţii a nu are soluţii reale; b are trei soluţii reale; c are soluţia x = y = z =. x + y + z = 8 3x + y + z = 10 x = 14. Următoarea egalitate ( 3p q q 5 = ( 5 5 are loc pentru: a orice valoare reală a lui p şi q; b p = 3, q = 7; c p = 5, q =. 15. Sistemul de ecuaţii a nu are soluţii reale; b are o infinitate de soluţii reale; c admite soluţia x = y = z = Valoarea determinantului matricei { x + y z = x + y + z = 6 x 1 0 x 0 0 x x 1 unde x 1 şi x sunt soluţiile ecuaţiei x 4x + 3 = 0, este egală cu a 4; b 10; c 0.,

33 8 CAPITOLUL 5. MATRICI. DETERMINANŢI. SISTEME DE ECUAŢII LINIARE 17. Dacă x = 1, y = 1 este soluţia sistemului de ecuaţii { ax + 5y = 7, x + by = atunci: a a = 1, b = 0; b a = 0, b = 1; c a = 0, b = Se consideră sistemul de ecuaţii x + ay + a z = a x + by + b z = b x + cy + c z = c cu a, b, c R. Pentru a = 0, b = 1, c = 3, soluţia sistemului este: a x = 1, y = 1, z = 1; b x = 0, y = 1, z = 0; c x = 1, y =, z = 0., 19. Sistemul mx + y + z = m 3 5x y + z =, m R (m + 1x + y + 3z = admite soluţia x = 1, y =, z = 3, pentru: a m = ; b m = 1; c m = Sistemul de ecuaţii are soluţia x = 1, y = 1, z = 1 pentru: x + 3y + 3z = 7 3x + ay + 3z = 7 3x + 3y + az = 7 a a = 1; b a = 1; c a = Se dau matricele 3 1 A = 1 1 0, X = Relaţia AX = B este verificată de valorile: x y z, B = 1 0, x, y, z R.

34 9 a x = 1, y = 1, z = ; b x = 0, y = 1, z = 0; c x = 1, y = 1, z = 1.. Inversa matricei este: a ( A = ( 1 1 ; b 0 1 ( ( 3 3 ; c 1 3. În mulţimea matricelor M (R se consideră A = det(a = 0, atunci numărul real x aparţine mulţimii: a { 1, 3}; b {1, 3}; c {0, 3}.. 4. Dacă matricea B M (R verifică relaţia ( x + y y = xi 0 x + y + yb T, ( x 1 x 1. Dacă unde I reprezintă matricea unitate de ordin şi B T este transpusa matricei B, atunci: ( ( ( a B = ; b B = ; c B = ( Fie matricea A M (R, A = 1 este transpusa matricei A, este egală cu: ( ( a ; b ; c. Atunci matricea A A T, unde A T ( ( Se dau matricele A, B M (R, A = şi B = 3 7 a R, pentru care deta + detb = 1, este: a a = 1; b a = 1; c a =. ( 4 a 3 1. Valoarea lui

35 30 CAPITOLUL 5. MATRICI. DETERMINANŢI. SISTEME DE ECUAŢII LINIARE 7. Se consideră funcţia f : M (R M (R, definită prin f(a = A + 5A T, unde A T este transpusa matricei A. Calculând f(i se obţine: a A; b I ; c 7I. 8. Se consideră matricea A = şi matricea unitate de ordin 3, I 3. Calculând A se obţine: a A = 4A + I 3 ; b A = A I 3 + c A = A + I 3 9. Determinantul matricei ; este: a 10; b 0; c 0. ( Rangul matricei A = este: a 1; b ; c Rangul matricei A = 1 este: a 1; b ; c Matricea A = 1 4 3, α R, este inversabilă pentru: 3 3 α a α 5; b α = 5; c α 7. ( ( Fie matricele A =, B =. Atunci determinantul matricei AB este: a 5; b 3; c 15.

36 34. Determinantul matricei A = α a α = 5; b α = 1; c α = 7. ( sin α cos α 35. Determinantul matricei A = cos α sin α a cos(α; b sin(α; c Inversa matricei A = a ; b 37. Se consideră matricea A(a = este: a a Calculând deta( deta(4 se obţine:, α R, este 0 pentru: ; c, α R, este:, a R a 8; b 9; c 0. ( În mulţimea matricelor M (R se consideră A = şi B = 4 1 Mulţimea valorile lui x care verifică relaţia det(a + B = 0 este: a {3, 7}; b {3, 5}; c {0, 1}. 39. În mulţimea matricelor M (R se consideră A(a = se obţine: ( a 01 0 a 0 a Se dau matricele A = produs AB este egală cu: ( a 01 0 ; b 0 1 ( ( a 0 0 a ( 1 0 ; c 0 a 01 şi B = ( x 1 0 x 31.. Calculând A 01.. Atunci matricea

37 3 CAPITOLUL 5. MATRICI. DETERMINANŢI. SISTEME DE ECUAŢII LINIARE a ( ( Se dă matricea A = 1 1 ( 1 0 a ; b Se dau matricele A = ( 1 6 ; b 3 3 ( 1 0 ; c 0 1. Atunci A n, n este: ( ( 1 0 ; c n 1, B = Care dintre următoarele afirmaţii este adevărată? a A(BC = A B; b (ABC = C(BA; c A(BC = (ABC Se dau matricele A = următoarele afirmaţii este adevărată? a 10(AB = A(10B; b AB = 10A; c 10A = 10B Se dau matricele A = următoarele afirmaţii este adevărată? a 3(A B = A; b A + B = 3A; c 3(A + B = 3A + 3B. şi B =, B = şi C = Care dintre. Care dintre α β γ 45. Fie matricea A = γ α β, α, β, γ R. Dacă α 3 + β 3 + γ 3 = αβγ, atunci β γ α determinantul matricei A este: a 0; b αβγ; c -αβγ.

38 46. Determinantul matricei α + 3 α 5 β + 3 β 5 γ + 3 γ 5, α, β, γ R, este egal cu: a 0; b αβγ; c 15. α + β α β α 47. Determinantul matricei β + γ β γ β, α, β, γ R, este egal cu: γ + α γ α γ a 0; b αβγ; c α + β + γ. α 0 β 48. Determinantul matricei 5 4, α, β R, este egal cu: 4α 0 β a 0; b 5αβ; c 40αβ. ( cos α sin α 49. Inversa matricei A =, α R, este: sin α cos α ( ( ( cos( α sin( α cos α sin α 1 0 a ; b ; c sin( α cos( α sin α cos α Fie matricea A= a 8; b 16; c 16.. Determinantul matricei A 4 este: 51. Valoarea parametrului α R, pentru care următorul sistem de ecuaţii este compatibil x 3y = x + y = 3 3x y = α este egală cu: a α = ; b α = ; c α = Se consideră sistemul de ecuaţii αx + y + z = 0 x + αy z = 1, α R. x + αy + z = 1 Sistemul este compatibil determinat pentru: 33.

39 34 CAPITOLUL 5. MATRICI. DETERMINANŢI. SISTEME DE ECUAŢII LINIARE a α { 3, 1 } ; b α / { 3, 1 } ; c α { 1, }. 53. Sistemul de ecuaţii este compatibil nedeterminat pentru: a α {1, }; { } 1 b α /, 1 ; { } 1 c α, 1. αx + y + z = 0 x + αy + z = 0, α R, x + y + z = Sistem de ecuaţii este compatibil pentru: x + y = 8 x y = 1, m R, 5x + 4y = m a m = 3; b m 3; c m = Sistemul de ecuaţii { x 3y + z t = 0 x + y z = t = 0 este: a incompatibil; b compatibil determinat; c compatibil nedeterminat. 56. Sistemul de ecuaţii x + y (m 1z = 1 x + (m 1y z = x + my + z = 1, m R, a pentru m = 3 este compatibil nedeterminat; b pentru m = este incompatibil; c pentru m = este compatibil nedeterminat.

40 Răspunsuri Capitolul 1 1. c;. c; 3. a; 4. c; 5. c; 6. a; 7. a; 8. b; 9. a; 10. a; 11. b; 1. a; 13. c; 14. c; 15. b; 16. c; 17. c; 18. b; 19. c; 0. a; 1. b;. c; 3. b; 4. a; 5. c; 6. b; 7. a; 8. c; 9. b; 30. a. 31. a; 3. a; 33. a; 34. c; 35. c; 36. b; 37. b; 38. a; 39. a; 40. a; 41. c; 4. a; 43. b; 44. c; 45. b; 46. b; 47. b; 48. b; 49. a; 50 c. Capitolul 1. a;. a; 3. b; 4. a; 5. a; 6. b; 7. c; 8. c; 9. b; 10. c; 11. b; 1. c; 13. b; 14. c; 15. b; 16. c; 17. b; 18. c; 19. b; 0. c; 1. a;. b; 3. c; 4. a 5. c; 6. b; 7. b; 8. c; 9. b; 30. b; 31. a; 3. b; 33. c; 34. b; 35. a; 36. b; 37. c; 38. b; 39. b; 40. b; 41. c; 4. c; 43. b; 44. b; 45. c; 46. a; 47. c; 48. b; 49. c; 50. b; 51. c; 5. b; 53. b; 54. a. Capitolul 3 1. b;. a; 3. b; 4. a; 5. b; 6. c; 7. b; 8. b; 9. b; 10. c; 11. b; 1. c; 13. b; 14. a; 15. a; 16. a; 17. b; 18. c; 19. b; 0. c; 1. b;. a; 3. c; 4. b; 5. b; 6. b; 7. b; 8. a; 9. a; 30. c; 31. b; 3. b. Capitolul 4 1. b;. b; 3. a; 4. a; 5. c; 6. a; 7. b; 8. a; 9. c; 10. a; 11. b; 1. c; 13. a; 14. c; 15. b; 16. a; 17. c; 18. a; 19. b; 0. a; 1. c;. a; 3. b; 4. c; 5. a; 6. b; 7. c; 8. a; 9. c; 30. a; 31. b; 3. c; 33. b; 34. c; 35. b; 36. a; 37. b; 38 c; 39. a; 40. a; 41. c; 4. b; 43. a; 44. c; 45. a; 46. b; 47. c; 48. b; 49. a; 50. b; 51. c; 5. a; 53. c. 35

41 36 CAPITOLUL 5. MATRICI. DETERMINANŢI. SISTEME DE ECUAŢII LINIARE Capitolul 5 1. a;. b; 3. a; 4. a; 5. c; 6. c; 7. b; 8. a; 9. a; 10. a; 11. a; 1. c; 13. c; 14. b; 15. b; 16. c; 17. a; 18. b;19. a; 0. b; 1. a;. a; 3. a; 4. b; 5. b; 6. a; 7. c; 8. c; 9. c; 30. b; 31. b; 3. a; 33. c; 34. a. 35. c; 36. c; 37. a; 38. b; 39. a; 40. b; 41. c; 4. c; 43. a; 44. c; 45. c; 46. a; 47. a; 48. a; 49. a; 50. b. 51. a. 5. b. 53. c. 54. c. 55. c. 56. b.

42 Bibliografie [1] C. Angelescu ş.a., Ghid de pregătire Bacalaureat: Matematică M, Editura Sigma, Bucureşti, 008. [] M. Burtea, G. Burtea, Matematică, clasa a X-a: trunchi comun + curriculum diferenţiat, Editura Carminis Educaţional, 005. [3] Colectiv Catedra de Matematică a Universităţii Dunărea de Jos din Galaţi, MATEMATICI. Teste tip grilă pentru bacalaureat şi admiterea în învaţământul superior, Editura Fundaţiei Universitare Dunărea de Jos, Galaţi, 003. [4] Colectiv Catedra de Matematică a Universităţii Dunărea de Jos din Galaţi, Algebră, Analiză Matematică, Geometrie şi Trigonometrie. Probleme tip grilă pentru admiterea în învăţământul superior, Editura Evrika, Brăila, [5] L. Panaitopol ş.a., Ghid metodic pentru bacalaureat şi admiterea în învăţământul superior (variante de subiecte la nivel naţional, Editura GIL, Bucureşti, 007. [6] E. Rogai, L. Modan, 871 probleme de matematica, (vol.1,, Editura ALL, Bucureşti, [7] D. Săvulescu ş.a., Matematică: manual pentru clasa a IX-a: (TC+CD, Editura Corint,

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

, m ecuańii, n necunoscute;

, m ecuańii, n necunoscute; Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

4. Ecuatia asimptotei orizontale la + a graficului functiei f : R R, 7 9x + 8x2 f(x) = 3x 2 + 2x + 5 este.

4. Ecuatia asimptotei orizontale la + a graficului functiei f : R R, 7 9x + 8x2 f(x) = 3x 2 + 2x + 5 este. Copyright c 007 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului atematician 1 inisterul Educatiei si Tineretului Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 14 iunie 007 Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a V-a

Subiecte Clasa a V-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază

Διαβάστε περισσότερα

Tema/Unitatea: Numere reale. Radicali. Puteri. Logaritmi. Numere complexe. Funcții și ecuații

Tema/Unitatea: Numere reale. Radicali. Puteri. Logaritmi. Numere complexe. Funcții și ecuații Proiect cofinanţat din Fondul Social European prin Programul Operaţional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007-2013 Axa prioritară 1 Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y).

Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y). Ecuaţii diferenţiale Ecuaţii diferenţiale ordinare Ecuaţii cu derivate parţiale Ordinul unei ecuaţii Soluţia unei ecuaţii diferenţiale ordinare Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f

Διαβάστε περισσότερα

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M CLASA A XI-A Filiera teoretic`, profilul real, specializarea ]tiin\ele naturii (TC + CD) Filiera tehnologic`, toate calific`rile

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A =

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A = Matrice, determinanti Un punct de vedere liniar independent "A judeca matematic nu înseamn a gândi losoc, a judeca losoc nu înseamn a liber, a gândi liber nu înseamn a losof " Blaise Pascal Liniar independenta:

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR 1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea

Διαβάστε περισσότερα

MULTIMEA NUMERELOR REALE

MULTIMEA NUMERELOR REALE www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).

Διαβάστε περισσότερα

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

Numere complexe. a numerelor complexe z b b arg z.

Numere complexe. a numerelor complexe z b b arg z. Numere complexe Numere complexe Forma algebrcă a numărulu complex este a b unde a ş b sunt numere reale Numărul a se numeşte partea reală a numărulu complex ş se scre a Re ar numărul b se numeşte partea

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 3 I.S.A. Stabilitatea sistemelor liniare şi răspunsul în frecvență.

Laborator 3 I.S.A. Stabilitatea sistemelor liniare şi răspunsul în frecvență. Laborator 3 I.S.A. Stabilitatea sistemelor liniare şi răspunsul în frecvență. 1. Introducere...1 2. Stabilitatea sistemelor liniare...1 2.1 Stabilitatea internă...2 2.2 Stabilitatea externă...3 2.3. Exemple...4

Διαβάστε περισσότερα

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii.

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii. Definiţia mulţimii. 1. Mulţimi Definiţia 1.1. (Cantor) Prin mulţime înţelegem o colecţie de obiecte bine determinate şi distincte. Obiectele din care este constituită mulţimea se numesc elementele mulţimii.

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut

Διαβάστε περισσότερα

Concursul Gazeta Matematică şi ViitoriOlimpici.Ro Etapa finală Câmpulung Muscel, august 2015 Soluţii şi baremuri Clasa a IV-a

Concursul Gazeta Matematică şi ViitoriOlimpici.Ro Etapa finală Câmpulung Muscel, august 2015 Soluţii şi baremuri Clasa a IV-a Concursul Gazeta Matematică şi ViitoriOlimpici.Ro Etapa finală Câmpulung Muscel, 17-22 august 2015 Soluţii şi baremuri Clasa a IV-a Problema 1. Câte numere naturale de cinci cifre trebuie să scriem pentru

Διαβάστε περισσότερα

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.

Διαβάστε περισσότερα

Circuite electrice in regim permanent

Circuite electrice in regim permanent Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme apitolul. ircuite electrice in regim permanent. În fig. este prezentată diagrama fazorială a unui circuit serie. a) e fenomen este

Διαβάστε περισσότερα

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse

Διαβάστε περισσότερα

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL 7. RETEE EECTRICE TRIFAZATE 7.. RETEE EECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINSOIDA 7... Retea trifazata. Sistem trifazat de tensiuni si curenti Ansamblul format din m circuite electrice monofazate in

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 3 SISTEME DE FORŢE (continuare) CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 3.1. Momentul forţei în raport cu un punct...2 Test de autoevaluare

Διαβάστε περισσότερα

1Reziduuri şi aplicaţii

1Reziduuri şi aplicaţii Reziduuri şi aplicaţii În acest curs vom prezenta noţiunea de reziduu, modul de calcul al reziduurilor, teorema reziduurilor şi câteva aplicaţii ale teoremei reziduurilor, în special la calculul unor tipuri

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvabile prin metode elementare

Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvabile prin metode elementare Capitolul 1 Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvabile prin metode elementare Definiţia 1.0.1 O ecuaţie diferenţialǎ de ordinul întâi este o relaţie de dependenţǎ funcţionalǎ de forma g(t, x, ẋ)

Διαβάστε περισσότερα

Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu

Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu Lecţii de Analiză Matematică Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu 2 Cuprins Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii 7. Şiruri numerice. Noţiuni şi rezultate generale......... 7.2 Şiruri fundamentale.

Διαβάστε περισσότερα

Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică

Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Daniel BREAZ Nicolae SUCIU Păstorel GAŞPAR Nicoleta BREAZ Monica PÎRVAN Valeriu PREPELIŢĂ Gheorghe BARBU Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Volumul 1 Funcţii complexe cu

Διαβάστε περισσότερα

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R.

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. OANA CONSTANTINESCU Pentru studiul pozitiei relative a unei drepte fata de o hipercuadrica, remarcam ca nu mai

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC

cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC .Masurarea unghiurilor intr-un triunghi dreptunghic sin B= cateta opusa ipotenuza = AC BC cateta alaturata, cos B= AB ipotenuza BC cateta opusa AC cateta alaturata AB tg B=, ctg B= cateta alaturata AB

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl

Διαβάστε περισσότερα

2 Probleme propuse Clasele V-VI Clasele VII-VIIII Clasele IX-X... 18

2 Probleme propuse Clasele V-VI Clasele VII-VIIII Clasele IX-X... 18 Cuprins 1 O privire de ansamblu asupra metodei 1 1.1 Un joc cu jetoane colorate...................... 2 1.2 O problemă amuzantă........................ 3 1.3 Şcoala lui Pitagora şi numerele iraţionale.............

Διαβάστε περισσότερα

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1

CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1 CURS 2 SISTEME DE FORŢE CUPRINS 2. Sisteme de forţe.... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 2.1. Forţa...2 Test de autoevaluare 1...3 2.2. Proiecţia forţei pe o axă. Componenta forţei

Διαβάστε περισσότερα

7 Distribuţia normală

7 Distribuţia normală 7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare

Διαβάστε περισσότερα

Concursul interjudețean DISCIPOLII LUI LAZĂR. Matematică - Ediția a VII-a 8 mai Clasa a IV-a

Concursul interjudețean DISCIPOLII LUI LAZĂR. Matematică - Ediția a VII-a 8 mai Clasa a IV-a Clasa a IV-a I. Aflați cifra a ştiind că : 101 + 202 + 303 +... + a0a = 3636 Gazeta Matematică Determinați numărul natural de trei cifre abc, scris în baza 10, ştiind că, dacă adăugăm cifra 8 la dreapta

Διαβάστε περισσότερα

Concursul interjudeńean de matematica REGALUL GENERAłIEI XXI,, 13.x.2007,clasa a IV-a PROPUNATOR TACEA MARIA NINITA AlegeŃi varianta corectă:

Concursul interjudeńean de matematica REGALUL GENERAłIEI XXI,, 13.x.2007,clasa a IV-a PROPUNATOR TACEA MARIA NINITA AlegeŃi varianta corectă: xioma supliment matematic-nr. oncursul interjudeńean de matematica REGLUL GENERłIEI XXI,, 3.x.007,clasa a IV-a PROPUNTOR TE MRI NINIT legeńi varianta corectă:. Într-un microbuz sunt 8 persoane. Microbuzul

Διαβάστε περισσότερα

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice...

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice... Geometrie Afină Contents 1 Spaţii vectoriale 3 1.1 Spaţii vectoriale peste un corp K........................ 3 1.2 Exemple de spaţii vectoriale........................... 4 1.3 Dependenţă liniară de vectori..........................

Διαβάστε περισσότερα

Fişier template preliminar

Fişier template preliminar logo.png Contract POSDRU/86/1.2/S/62485 Fişier template preliminar Universitatea Tehnica din Iaşi (front-hyperlinks-colors * 29 iulie 212) UTC.png UTI.png Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi

Διαβάστε περισσότερα

Polarizarea tranzistoarelor bipolare

Polarizarea tranzistoarelor bipolare Polarizarea tranzistoarelor bipolare 1. ntroducere Tranzistorul bipolar poate funcţiona în 4 regiuni diferite şi anume regiunea activă normala RAN, regiunea activă inversă, regiunea de blocare şi regiunea

Διαβάστε περισσότερα

1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n

1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n 1 Preliminarii Fie M, A mulţimi nevide şi n N. Se muneşte operaţie n ară (sau lege de compoziţie n-ară) definită pe M orice aplicaţie τ : M n M (M n = } M {{... M } ). In cazul n = 2, obţinem operaţiile

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială

Διαβάστε περισσότερα

Tehnici de Optimizare

Tehnici de Optimizare Tehnici de Optimizare Cristian OARA Facultatea de Automatica si Calculatoare Universitatea Politehnica Bucuresti Fax: + 40 1 3234 234 Email: oara@riccati.pub.ro URL: http://riccati.pub.ro Tehnici de Optimizare

Διαβάστε περισσότερα

3.5. Forţe hidrostatice

3.5. Forţe hidrostatice 35 oţe hidostatice 351 Elemente geneale lasificaea foţelo hidostatice: foţe hidostatice e suafeţe lane Duă foma eeţilo vasului: foţe hidostatice e suafeţe cube deschise foţe hidostatice e suafeţe cube

Διαβάστε περισσότερα

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predare-învăţare-evaluare pentru

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n. Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME DE VALORI ŞI VECTORI PROPRII

PROBLEME DE VALORI ŞI VECTORI PROPRII 9 PROBLEME DE VALORI ŞI VECTORI PROPRII 81 Introducere Problema de valori proprii a unui operator liniar A: Ax = λx x vector propriu, λ valoare proprie În reprezentarea unei baze din < n problemă matricială

Διαβάστε περισσότερα

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB = Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului

Διαβάστε περισσότερα

Asist. Dr. Oana Captarencu. otto/pn.html.

Asist. Dr. Oana Captarencu.  otto/pn.html. Reţele Petri şi Aplicaţii p. 1/45 Reţele Petri şi Aplicaţii Asist. Dr. Oana Captarencu http://www.infoiasi.ro/ otto/pn.html otto@infoiasi.ro Reţele Petri şi Aplicaţii p. 2/45 Evaluare Nota finala: 40%

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU 81 Curbe în plan I Definiţia analitică a curbelor plane În capitolul 7 am studiat deja câteva eemple de curbe plane, amintim aici conicele nedegenerate: elipsa, hiperbola

Διαβάστε περισσότερα

CLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea

CLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III.

Διαβάστε περισσότερα

EUGEN RADU OVIDIU ŞONTEA MATEMATICĂ. Manual pentru clasa a 12-a

EUGEN RADU OVIDIU ŞONTEA MATEMATICĂ. Manual pentru clasa a 12-a EUGEN RADU OVIDIU ŞONTEA MATEMATICĂ M Manual pentru clasa a 1-a Cuprins ALGEBRÃ 1. Grupuri... 6 1.1. Legi de compoziþie... 6 1.. Proprietãþi ale legilor de compoziþie... 9 1.3. Grupuri... 1.4. Exemple

Διαβάστε περισσότερα

1. Reprezentarea numerelor şi operaţii aritmetice în sisteme de calcul.

1. Reprezentarea numerelor şi operaţii aritmetice în sisteme de calcul. 1. Reprezentarea numerelor şi operaţii aritmetice în sisteme de calcul. 1.1. Sisteme de reprezentare ale numerelor: a) Sistemul zecimal: baza sistemului este 10 simbolii (digiţi) sistemului sunt cifrele

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţii şi sisteme diferenţiale. Teodor Stihi

Ecuaţii şi sisteme diferenţiale. Teodor Stihi Ecuaţii şi sisteme diferenţiale Teodor Stihi December 6, 204 2 Cuprins Noţiuni introductive 5 2 Ecuaţii diferenţiale liniare (EDL) 7 2. EDL cu coeficienţi constanţi................... 7 2.. Cazul omogen.......................

Διαβάστε περισσότερα

Transformări de frecvenţă

Transformări de frecvenţă Lucrarea 22 Tranformări de frecvenţă Scopul lucrării: prezentarea metodei de inteză bazate pe utilizarea tranformărilor de frecvenţă şi exemplificarea aceteia cu ajutorul unui filtru trece-jo de tip Sallen-Key.

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi

GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 0, 009, Iaşi Cuprins 1 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI. STRUCTURA AFINĂ 4 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI.

Διαβάστε περισσότερα

Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi CALCUL DIFERENŢIAL

Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi CALCUL DIFERENŢIAL Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL DIFERENŢIAL IAŞI 2011 Cuprins 1 Noţiuni fundamentale de teoria mulţimilor

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte

Διαβάστε περισσότερα

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα

Curs 7. Definiţia II Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară

Curs 7. Definiţia II Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară Curs 7 II.3 Grupuri II.3.1 Definiţie. Exemple Definiţia II.3.1.1. Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară pe G, notată : G G G, (x, y) x y, astfel încât: (G1) (Asociativitate) (x y) z =

Διαβάστε περισσότερα

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală Laborator 3 Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală 3.1 Tema Înţelegerea conceptului de funcţie de matrice şi însuşirea principalelor metode şi algoritmi de calcul al funcţilor de matrice.

Διαβάστε περισσότερα

2CP Electropompe centrifugale cu turbina dubla

2CP Electropompe centrifugale cu turbina dubla 2CP Electropompe centrifugale cu turbina dubla DOMENIUL DE UTILIZARE Capacitate de până la 450 l/min (27 m³/h) Inaltimea de pompare până la 112 m LIMITELE DE UTILIZARE Inaltimea de aspiratie manometrică

Διαβάστε περισσότερα

Curs 9: METODE NUMERICE UTILIZATE ÎN SIMULAREA SISTEMELOR DINAMICE

Curs 9: METODE NUMERICE UTILIZATE ÎN SIMULAREA SISTEMELOR DINAMICE Curs 9: METODE NUMERICE UTILIZATE ÎN SIMULAREA SISTEMELOR DINAMICE Noțiunea de sistem dinamic Clasificări Noțiunea de simulare Un sistem dinamic este o entitate care se caracterizează printr-un mod specific

Διαβάστε περισσότερα

Reflexia şi refracţia luminii.

Reflexia şi refracţia luminii. Reflexia şi refracţia luminii. 1. Cu cat se deplaseaza o raza care cade sub unghiul i =30 pe o placa plan-paralela de grosime e = 8,0 mm si indicele de refractie n = 1,50, pe care o traverseaza? Caz particular

Διαβάστε περισσότερα

POLINOAME ŞI ECUAŢII ALGEBRICE. Universitatea Babeş-Bolyai Facultatea de Matematică şi Informatică

POLINOAME ŞI ECUAŢII ALGEBRICE. Universitatea Babeş-Bolyai Facultatea de Matematică şi Informatică POLINOAME ŞI ECUAŢII ALGEBRICE Andrei Mărcuş Universitatea Babeş-Bolyai Facultatea de Matematică şi Informatică 6 martie 2015 Cuprins 1 Ecuaţii algebrice 1 1.1 Ecuaţii binome. Grupul rădăcinilor de ordin

Διαβάστε περισσότερα