(φορτισμένος αρμονικός 2 ταλαντωτής μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο) είναι

Transcript

1 ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΕ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΤΕΛΕΣΤΩΝ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ Για μια τυχαία ιδιοκατάσταση της ενέργειας,, υπολογίζουμε τη μέση τιμή της θέσης, x, τη μέση τιμή της ορμής, p, τη μέση τιμή του τετραγώνου της θέσης, x, τη μέση τιμή του τετραγώνου της ορμής, p, και την αβεβαιότητα θέσης ορμής, x p, και συζητάμε τα αποτελέσματα. Θεωρούμε γνωστούς τους τελεστές δημιουργίας και καταστροφής του συστήματος, τους οποίους υπολογίσαμε στην προηγούμενη ανάρτηση. Λύση Όπως δείξαμε στην προηγούμενη ανάρτηση, οι τελεστές καταστροφής και δημιουργίας, a, a, του δυναμικού V x m x q x (φορτισμένος αρμονικός ταλαντωτής μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο) είναι m i q a x p m m m i q a x p m m Θα λύσουμε τις δύο προηγούμενες εξισώσεις ως προς x και p για να εκφράσουμε τους τελεστές θέσης και ορμής συναρτήσει των τελεστών a, a. Αν προσθέσουμε τις δύο εξισώσεις κατά μέλη, θα πάρουμε m q m q a a x x x a a q m m m m Αν αφαιρέσουμε τις δύο εξισώσεις κατά μέλη, θα πάρουμε m i m m a a p i p p i a a p i a a m m Παρατηρήστε ότι ο τελεστής a a είναι ερμιτιανός, οπότε ο τελεστής q a a είναι επίσης ερμιτιανός, όπως πρέπει αφού ισούται με τον m m ερμιτιανό τελεστή της θέσης. Αντίθετα, ο τελεστής a a είναι αντιερμιτιανός, όπως m μπορείτε εύκολα να δείξετε, οπότε ο τελεστής i a a είναι, λόγω του παράγοντα i, ερμιτιανός, όπως πρέπει αφού ισούται με τον ερμιτιανό τελεστή της ορμής. Θα υπολογίσουμε τώρα τη μέση τιμή της θέσης και της ορμής, σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση της ενέργειας.

2 q q x x a a a a m m m m q q a a x m m m 0 0 Θυμίζουμε ότι οι ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας είναι μεταξύ τους κάθετες, δηλαδή ισχύει m. m m m p p i a a i a a 0 p Παρατηρήστε ότι η μέση τιμή της θέσης είναι ίδια σε όλες τις ιδιοκαταστάσεις και μηδενίζεται αν μηδενίσουμε το ηλεκτρικό πεδίο, δηλαδή στον αρμονικό ταλαντωτή είναι μηδέν. Η μέση τιμή της ορμής είναι μηδέν σε όλες τις ιδιοκαταστάσεις, πράγμα που αναμέναμε διότι, όπως ξέρουμε, σε ένα μονοδιάστατο σύστημα, η μέση τιμή της ορμής είναι μηδέν στις δέσμιες ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας. q Εξάλλου, από τη σχέση x, θα πάρουμε m k m m x q k x q Η ποσότητα k x είναι, κατ απόλυτη τιμή, η μέση τιμή της δύναμης ταλάντωσης F kx, ενώ q είναι το μέτρο της σταθερής δύναμης που ασκεί στον φορτισμένο ταλαντωτή το ομογενές ηλεκτρικό πεδίο. Δηλαδή, η μέση τιμή της θέσης είναι εκεί που ισορροπούν (ως μέσες τιμές) οι δύο δυνάμεις, όπως συμβαίνει και στην κλασική μηχανική. Θα υπολογίσουμε τώρα τη μέση τιμή του τετραγώνου της θέσης και της ορμής, σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση της ενέργειας,. Χρειαζόμαστε τους τελεστές x, p, συναρτήσει των τελεστών, a a. q q q x a a x a a a a m m m m m m a a a a q a a q a a q m m m m m m q q a aa a a a a a m m m m q q x a aa a a a a a m m m m Η μέση τιμή του τετραγώνου της θέσης είναι x x Παρατηρούμε ότι

3 a 0, Επομένως a 0, a 0, a 0 q q x x aa a a aa a a m m m m Από τον μεταθέτη a, a, παίρνουμε ότι aa a a. Επομένως q q x a a a a m m m m m Για να προχωρήσουμε, πρέπει να υπολογίσουμε τη μέση τιμή μέση τιμή του a a στην ιδιοκατάσταση. Ο τελεστής a a, δηλαδή τη a a είναι ο τελεστής αρίθμησης, που αριθμεί τις ιδιοκαταστάσεις, ξεκινώντας από το 0 για τη βασική κατάσταση 0, για την η διεγερμένη κατάσταση, κ.λπ. Επομένως a a. Ας το δείξουμε. H a a E H a a E E a a E a a E E0 Όμως, όπως δείξαμε στην προηγούμενη ανάρτηση, το βήμα των ιδιοτιμών της ενέργειας είναι, το ίδιο με την περίπτωση του αρμονικού ταλαντωτή. Οπότε, θα έχουμε E E0 E E0 Αν αντικαταστήσουμε στην προηγούμενη σχέση, θα πάρουμε a a a a a a Έτσι, παίρνουμε q q x x m m m m m Ας κάνουμε έναν έλεγχο διαστάσεων px uxt x m mt q F q x x m k m Αν μηδενίσουμε το ηλεκτρικό πεδίο, παίρνουμε x, που είναι η μέση m τιμή του τετραγώνου της θέσης σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση του αρμονικού ταλαντωτή. Για να υπολογίσουμε τη μέση τιμή του τετραγώνου της ορμής, μπορούμε να κάνουμε τα ίδια, δηλαδή να εκφράσουμε τον τελεστή υπολογίσουμε τη μέση τιμή a a p p p συναρτήσει των, που δείξαμε προηγουμένως. Ας το δούμε. a, a, και μετά να. Θα χρειαστούμε πάλι τη σχέση

4 m m m p i a a p a a a a a a a aa a m p a a a aa a Είναι p p Όμως a 0, a 0 Και a, a aa a a Επομένως m m p p a a m a a m m p m Έλεγχος διαστάσεων m mpxt mpu p Παρατηρούμε ότι η μέση τιμή του τετραγώνου της ορμής δεν εξαρτάται από το ηλεκτρικό πεδίο, είναι ίδια με εκείνη του αρμονικού ταλαντωτή. Ας υπολογίσουμε τώρα την αβεβαιότητα θέσης ορμής σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση της ενέργειας,, για το σύστημα του φορτισμένου αρμονικού ταλαντωτή μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο. q q x x x x m m m m Παρατηρήστε ότι η αβεβαιότητα της θέσης δεν εξαρτάται από το ηλεκτρικό πεδίο, είναι ίδια με εκείνη του αρμονικού ταλαντωτή. p p p p p m Βλέπουμε ότι η αβεβαιότητα της ορμής επίσης δεν εξαρτάται από το ηλεκτρικό πεδίο, είναι δηλαδή ίδια με εκείνη του αρμονικού ταλαντωτή. Αυτό το αναμέναμε, αφού p 0 και, όπως είδαμε, το Η αβεβαιότητα θέσης ορμής είναι p δεν εξαρτάται από το ηλεκτρικό πεδίο. x p m xp m Είναι το ίδιο αποτέλεσμα με εκείνο για τον αρμονικό ταλαντωτή. Στη βασική κατάσταση, 0, η αβεβαιότητα γίνεται ελάχιστη, xp, όπως στην περίπτωση του αρμονικού ταλαντωτή. Αυτό είναι απόρροια του γεγονότος ότι η κυματοσυνάρτηση της βασικής κατάστασης, και για τα δύο συστήματα, είναι μια γκαουσιανή συνάρτηση, δεν είναι όμως ίδια. Για τον αρμονικό ταλαντωτή είναι

5 4 m m x 0 x e, ενώ για τον φορτισμένο αρμονικό ταλαντωτή μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο είναι, όπως δείξαμε στην προηγούμενη ανάρτηση, 0 x m 4 e m q q x x 3 m. Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. skosta@hotmail.com