Σύστημα δύο αλληλεπιδρώντων σπιν μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο (άσκηση)

Transcript

1 Σύστημα δύο αλληλεπιδρώντων σπιν μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο (άσκηση) Δύο σωμάτια με σπιν s και s αντίστοιχα και με τον ίδιο γυρομαγνητικό λόγο τοποθετούνται μέσα σε ομογενές χρονοανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο με κατεύθυνση προς τα θετικά του άξονα z. i) Αν η αλληλεπίδραση των δύο σπιν περιγράφεται από τον όρο S S όπου σταθερά με διαστάσεις ενέργειας γράψτε τη Χαμιλτονιανή του συστήματος των δύο σπιν μέσα στο μαγνητικό πεδίο. ii) Τη χρονική στιγμή οι προβολές των δύο σπιν στον άξονα z είναι αντίστοιχα και. Υπολογίστε την κατάσταση του ολικού σπιν τη χρονική στιγμή. iii) Αν τη χρονική στιγμή μετρήσουμε τις προβολές των δύο σπιν στον άξονα z τι αποτελέσματα θα πάρουμε και ποιες είναι οι αντίστοιχες πιθανότητες; Ποιες είναι οι μέγιστες και ποιες οι ελάχιστες τιμές των πιθανοτήτων αυτών; iv) Παρατηρείται αντιστροφή του σπιν του σωματίου στον άξονα z; Δίνονται οι σχέσεις όπου οι καταστάσεις στα αριστερά μέλη των δύο εξισώσεων είναι ιδιοκαταστάσεις του τετραγώνου και της z συνιστώσας του ολικού σπιν. Λύση i) Η δυναμική ενέργεια των δύο σπιν μέσα στο μαγνητικό πεδίο είναι αντίστοιχα B S Be BS και z z S B BS z αφού τα δύο σωμάτια έχουν τον ίδιο γυρομαγνητικό λόγο. Η δυναμική ενέργεια του συστήματος των δύο σπιν μέσα στο μαγνητικό πεδίο είναι λοιπόν B B BS BS B S S BS z z z z z Αν στην προηγούμενη δυναμική ενέργεια προσθέσουμε την αλληλεπίδραση των δύο σπιν παίρνουμε τη Χαμιλτονιανή του συστήματος μέσα στο μαγνητικό πεδίο που είναι

2 () H S S BS z ii) Προτρέπουμε τον αναγνώστη να δείξει ότι για δύο τυχαία σπιν S και S όχι κατ ανάγκη s και s ο τελεστής S S μετατίθεται με το τετράγωνο και τη z συνιστώσα του ολικού σπιν δηλαδή S SS και S z SS. Έτσι εφόσον και S S z η Χαμιλτονιανή () μετατίθεται με το τετράγωνο και τη z συνιστώσα του ολικού σπιν. Επομένως οι (κοινές) ιδιοκαταστάσεις του τετραγώνου και της z συνιστώσας του ολικού σπιν είναι και ιδιοκαταστάσεις της Χαμιλτονιανής (). Επειδή η Χαμιλτονιανή () όπως βλέπουμε δεν έχει άλλους βαθμούς ελευθερίας πέρα από τα δύο σπιν δεν έχει άλλες ιδιοκαταστάσεις. Μας δίνεται ότι τη χρονική στιγμή μηδέν η z συνιστώσα του ου σπιν είναι και του ου είναι. Επομένως η κατάσταση του ολικού σπιν τη χρονική στιγμή μηδέν είναι η κατάσταση. Αυτή είναι η αρχική κατάσταση του συστήματος των δύο σπιν και θέλουμε να υπολογίσουμε τη χρονική εξέλιξή της. Η κατάσταση δεν είναι ιδιοκατάσταση του τετραγώνου και της z συνιστώσας του ολικού σπιν επομένως δεν είναι ιδιοκατάσταση ούτε της Χαμιλτονιανής (). Μπορούμε όμως χρησιμοποιώντας τις δύο δοθείσες σχέσεις να τη γράψουμε ως γραμμικό συνδυασμό ιδιοκαταστάσεων της ενέργειας. Οι δοθείσες σχέσεις γράφονται Για να λύσουμε ως προς την κατάσταση υπολογίζουμε πρώτα την ορίζουσα του συστήματος των δύο εξισώσεων που είναι Επομένως

3 () 3 3 Επειδή η Χαμιλτονιανή () είναι χρονοανεξάρτητη η χρονική εξέλιξη μιας τυχαίας ιδιοκατάστασής της SM είναι S M ie S M SM exp όπου E SM η ενέργεια της ιδιοκατάστασης SM. Επομένως ie3 3 3 exp ie exp Το ολικό σπιν Ŝ είναι S S S (3) (4) όπου τα επιμέρους σπιν μετατίθενται δηλαδή S S διότι δρουν στις καταστάσεις διαφορετικών (για την ακρίβεια διακρίσιμων) σωματίων. Αν υψώσουμε στο τετράγωνο το ολικό σπιν θα πάρουμε S S S S S S S S S S S S S S S S S S Με τη βοήθεια της τελευταίας σχέσης η Χαμιλτονιανή () γράφεται (5) H S S S BS z Αν δράσουμε με την (5) στην τυχαία ιδιοκατάσταση SM θα πάρουμε

4 z H S M S S S BS S M S S S S M B Sz S M S S M S S M S S M MB S M M S M SS S M s s S M s s S M 3 S S S M M B S M S S M B S M H S M S S MB S M 4 Επομένως οι ενέργειες E SM του συστήματος των δύο σπιν μέσα στο μαγνητικό πεδίο είναι ESM S S MB 4 (7) Επεξήγηση S S M s s S M Γιατί και (6) S S M s s S M ; Η ιδιοκατάσταση SM γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός καταστάσεων της μορφής s m s m. Όμως είναι S s m s m S s m s m s s s m s m s s s m και αντίστοιχα S s m s m s s s m s m Επειδή τα s και s είναι ίδια για όλες τις καταστάσεις s m s m αντίθετα από τα m και m που είναι δείκτες άθροισης αλλά με τον περιορισμό ότι mm M η δράση των τελεστών S και δίνει τον γραμμικό συνδυασμό επί s s ή Επομένως S S M s s S M S στον γραμμικό συνδυασμό μάς s s αντίστοιχα. S S M s s S M. και

5 Από τη σχέση (7) υπολογίζουμε τις ενέργειες των ιδιοκαταστάσεων 3 και B E B B E B (8) 3 Και 3 B E B B E B (9) Επομένως η χρονική εξέλιξη των ιδιοκαταστάσεων 3 και είναι αντίστοιχα από τις (3) και (4) B 3 i 3 i i B 3 exp exp 3 i B i 3 exp exp Και () B i i i B exp exp i B i exp exp () Από τη σχέση () που μας δίνει την αρχική κατάσταση συναρτήσει των δύο ιδιοκαταστάσεων της ενέργειας 3 και συμπεραίνουμε ότι η χρονική

6 εξέλιξη της αρχικής κατάστασης γράφεται ας τη συμβολίσουμε με Με τη βοήθεια των σχέσεων () και () η τελευταία εξίσωση γράφεται ib i 3 ib i exp exp exp exp 3 3 i B i 3 i exp exp exp 3 3 i B i 3 i exp exp exp 3 3 () Η () μάς δίνει την κατάσταση του ολικού σπιν τη χρονική στιγμή συναρτήσει των δύο ιδιοκαταστάσεων της ενέργειας 3 και. iii) Από τις δοθείσες σχέσεις μπορούμε να εκφράσουμε την κατάσταση του ολικού σπιν συναρτήσει της αρχικής κατάστασης και της κατάστασης. Με τη βοήθεια των δύο προηγούμενων σχέσεων ο όρος i 3 i exp exp 3 3 της σχέσης () γράφεται i exp i exp exp i exp i 3 3

7 exp i exp i 3 exp i exp i exp i exp i 3 3 Έτσι η σχέση () γράφεται i B exp * 3 i i i i exp exp exp exp (3) Η σχέση (3) μάς δίνει την κατάσταση του ολικού σπιν τη χρονική στιγμή συναρτήσει της αρχικής κατάστασης και της κατάστασης. Έτσι αν τη χρονική στιγμή μετρήσουμε τις z συνιστώσες των δύο σπιν θα πάρουμε αποτέλεσμα για το ο και για το ο με πιθανότητα ή για το ο σπιν και για το ο με πιθανότητα. Θα υπολογίσουμε αναλυτικά τις δύο πιθανότητες με τη βοήθεια της σχέσης (3) χρησιμοποιώντας και την ορθοκανονικότητα των καταστάσεων και. Είναι i B i i exp exp exp 3 ib i i ib i i exp i exp i 4 5 exp i exp i cos 9 exp exp exp exp exp exp

8 3 5 4cos 9 (4) Η (4) μάς δίνει την πιθανότητα να μετρήσουμε και αντίστοιχα ως τις z προβολές των σπιν των δύο σωματίων. Παρατηρήστε ότι για η πιθανότητα (4) γίνεται ως οφείλει αφού τη χρονική στιγμή μηδέν η κατάσταση του ολικού σπιν είναι η κατάσταση στην οποία οι z συνιστώσες των δύο σπιν είναι αντίστοιχα και και η κατάσταση αυτή είναι κάθετη στην κατάσταση επομένως δεν υπάρχει επικάλυψη των δύο καταστάσεων δηλαδή όταν το σύστημα των δύο σπιν βρίσκεται στη μία από αυτές η πιθανότητα να βρεθεί στην άλλη είναι μηδέν. Η ελάχιστη τιμή της πιθανότητας (4) λαμβάνεται όταν cos cos όταν 3 cos 3 cos 3 cos n n 3 Η ελάχιστη τιμή της πιθανότητας (4) είναι 54 ή περίπου % 9 9 Βλέπουμε λοιπόν ότι η πιθανότητα να μετρήσουμε και ως z προβολές των σπιν των δύο σωματίων δεν μηδενίζεται ποτέ. Η πιθανότητα να μετρήσουμε και αντίστοιχα ως z προβολές των σπιν των δύο σωματίων είναι πάλι με τη βοήθεια (3) i B i i exp exp exp 3 ib i i ib i i 3 3 i i i exp exp exp i exp 9 exp exp exp exp exp exp

9 3 i 3 i 3 i 3 i cos cos 9 9 exp exp exp exp 4 3 cos 9 Το άθροισμα των πιθανοτήτων (4) και (5) είναι (5) cos cos cos cos όπως πρέπει. Τη χρονική στιγμή μηδέν η πιθανότητα (5) μηδενίζεται αφού η συμπληρωματική πιθανότητα (4) είναι. Η μέγιστη τιμή της πιθανότητας (5) είναι και λαμβάνεται όταν η πιθανότητα (4) πάρει την ελάχιστη τιμή της όταν δηλαδή γίνει 9. iv) Τη χρονική στιγμή μηδέν το σπιν του σωματίου στον άξονα z είναι. Επειδή η πιθανότητα (5) δηλαδή η πιθανότητα να μετρήσουμε ως σπιν του σωματίου στον άξονα z είναι πάντα μικρότερη της μονάδας ΔΕΝ παρατηρείται αντιστροφή του σπιν του σωματίου στον άξονα z. Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός M.Sc. skonsan@homail.com