Ιδιοσυναρτήσεις του αρμονικού ταλαντωτή Πολυώνυμα Hermite
|
|
- Χλωρίς Λούπης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ιδιοσυναρτήσεις του αρμονικού ταλαντωτή Πολυώνυμα Hermite i) Δείξτε ότι δύο τυχαίες διαδοχικές ιδιοσυναρτήσεις του αρμονικού ταλαντωτή έχουν αντίθετη ομοτιμία. ii) Δείξτε ότι y n 0 ) ¹ 0, για n = 0,,... iii) Υπολογίστε τους αριθμούς Hermite H n º H n 0 ), για n = 0,,... Λύση i) Οι τελεστές καταστροφής και δημιουργίας του αρμονικού ταλαντωτή δίνονται, αντίστοιχα, από τις σχέσεις aˆ = aˆ = i ˆ pˆ çx+ i ˆ pˆ çx Στην αναπαράσταση θέσης, όπου x = x και pˆ = -i d, ο τελεστής δημιουργίας dx γράφεται aˆ x ) = i d d d xç -i = çx= çx dx dx dx aˆ x ) = d x dx Αν εισάγουμε την κλίμακα μήκους a = aˆ x ) = στην τελευταία σχέση, αυτή γράφεται x d ç - a ) dx a Εξάλλου, ο τελεστής ομοτιμίας P ορίζεται από τη σχέση P x = - x Έτσι, η δράση του τελεστή ομοτιμίας στην aˆ x )y n x ) μάς δίνει Pˆ aˆ x )y n x ) ) = aˆ - x )y n - x ) Με τη βοήθεια της ), η τελευταία ισότητα γράφεται -x) d x d Pˆ aˆ x )y n x ) ) = -a çç y n - x ) = ç - a y n - x ) = d -x) dx a a = -aˆ x )y n - x ) = -aˆ x ) Pˆy n x ) //07
2 Pˆ aˆ x )y n x ) ) = -aˆ x ) Pˆy n x ) ) Όμως Pˆy n x ) = ±y n x ), αφού οι ιδιοσυναρτήσεις y n x ) είναι είτε άρτιες ομοτιμία ) είτε περιττές ομοτιμία - ). Αν η y n x ) έχει ομοτιμία, δηλαδή αν Pˆy n x ) = y n x ), η ) μάς δίνει Pˆ aˆ x )y n x ) ) = -aˆ x )y n x ), δηλαδή η aˆ x )y n x ) έχει ομοτιμία -. Αν η y n x ) έχει ομοτιμία -, δηλαδή αν Pˆy n x ) = -y n x ), η ) μάς δίνει Pˆ aˆ x )y n x ) ) = aˆ x )y n x ), δηλαδή η aˆ x )y n x ) έχει ομοτιμία. Συμπεραίνουμε ότι οι y n x ) και aˆ x )y n x ) έχουν αντίθετη ομοτιμία. Από τη σχέση aˆ x )y n x ) = n + y n+ x ), που είναι η έκφραση της σχέσης aˆ n = n + n + στην αναπαράσταση θέσης, συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση aˆ x )y n x ) έχει ίδια ομοτιμία με την ιδιοσυνάρτηση y n + x ). Έτσι, καταλήγουμε ότι δύο τυχαίες διαδοχικές ιδιοσυναρτήσεις y n x ) και y n + x ) του αρμονικού ταλαντωτή έχουν αντίθετη ομοτιμία. Η ιδιοσυνάρτηση της βασικής κατάστασης του αρμονικού ταλαντωτή έχει τη μορφή x y 0 x ) = A exp ç -, a η κλίμακα μήκους του αρμονικού ταλαντωτή. Η y 0 x ) είναι επομένως άρτια. όπου A σταθερά και a = Έτσι, οι ιδιοσυναρτήσεις y n x ) είναι άρτιες, ενώ οι ιδιοσυναρτήσεις y n + x ) είναι περιττές, δηλαδή y n - x ) = y n x ) και y n + - x ) = -y n + x ) 3) για n = 0,,... Από την 3) παίρνουμε y n + -0 ) = -y n + 0 ) Þ y n + 0 ) = -y n + 0 ) Þ y n + 0 ) = 0 //07
3 , όλες οι περιττές ιδιοσυναρτήσεις μηδενίζονται στο μηδέν. Ακολούθως θα δείξουμε επαγωγικά ότι οι άρτιες ιδιοσυναρτήσεις δεν μηδενίζονται στο μηδέν, δηλαδή y n 0 ) ¹ 0, για n = 0,,... x ii) Για n = 0, είναι y 0 x ) = A exp ç -, και επομένως a y 0 0 ) = A exp 0 ) = A ¹ 0 Έστω ότι y 0 ) ¹ 0 Θα δείξουμε ότι y +) 0 ) ¹ 0 Με τη βοήθεια της σχέσης aˆ x )y n x ) = n + y n+ x ), υπολογίζουμε τη δράση του τελεστή a x ) στην ιδιοσυνάρτηση y x ), που είναι aˆ x )y x ) = aˆ x ) aˆ x )y x ) = aˆ x ) + y + x ) = = + aˆ x )y + x ) = + ) + )y + x ) aˆ x )y x ) = + ) + )y + x ) ) Εξάλλου, από την ), ο τελεστής a x ) είναι x d x d x d d d aˆ x ) = ç - a ç - a = ç ç - x - x + a a dx a dx ç a dx dx dx x d d d aˆ x ) = ç ç - x - x + a ç a dx dx dx x d d d aˆ x )y x ) = ç ç - x - x + a y x ) = ç a dx dx dx x d = ç ç y x ) - xy x ) - xy x ) ) + a y x ) = ç a dx x = ç ç y x ) - xy x ) -y x ) - xy x ) + a y x ) = ç a x = ç ç ç - y x ) - xy x ) + a y x ) ç ç a 3 //07
4 x ˆa x )y x ) = ç ç ç - y x ) - xy x ) + a y x ) ç ç a Συγκρίνοντας την τελευταία σχέση με την ), παίρνουμε x + + y x = ç ) ) + ) ç çç ç - y x ) - xy x ) + a y x ) a y + x ) = x ç ç ç - y x ) - xy x ) + a y x ) + ) + ) ç ç a y + 0 ) = -y + ) + ) 0 ) + a y 0 ) ) 5) Η y x ) είναι ιδιοσυνάρτηση ενέργειας E = ç + w, επομένως ικανοποιεί την εξίσωση y x ) + m E - x y x ) = 0 ç y 0 ) + me y 0 ) = 0 Αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη της προηγούμενης εξίσωσης με a, και στη συνέχεια χρησιμοποιήσουμε τη σχέση E = ç + w, θα πάρουμε me me a çy 0 ) + y 0 ) = 0 Þ a y 0 ) + a{ y 0) = 0 Þ E Þ a y 0 ) + y 0 ) = 0 Þ a y 0 ) + + )y 0 ) = 0 w { ç + w w a y 0 ) = - + )y 0 ) 6) Με τη βοήθεια της 6), η 5) γράφεται //07
5 y + 0 ) = =- -y 0) - + )y 0 ) ) = + ) + ) + ) y 0) = + ) + ) + y 0) + ) y + 0) = - + y 0 ) 7) + ) Εφόσον y 0 ) ¹ 0, από την 7) βλέπουμε ότι y +) 0 ) ¹ 0 y n 0 ) ¹ 0, για n = 0,,... iii) Οι ιδιοσυναρτήσεις του αρμονικού ταλαντωτή συνδέονται με τα πολυώνυμα Hermite με τον τύπο x y n x ) = H x exp ) ç-, ç n n n! p a x, a=. a είναι όπου x = x x x yn ç = ç H n ç exp ç - 8) a a n n! p a a Από το προηγούμενο ερώτημα y n + 0 ) = 0 ç H n + 0 ) = 0 Þ H n + 0 ) = 0 n + n + )! p a H n + = 0 για n = 0,,... Εξάλλου, από την 8) παίρνουμε x x x y ç = H exp ç- ç ç a a )! p a a 5 //07
6 και x x x y + ç = + H exp ç- ç + ç a a a + )! p a y 0 ) = ç H 0 ) )! p a και y + 0) = + ç H + 0 ) + )! p a Αν αντικαταστήσουμε τις δύο τελευταίες σχέσεις στην 7), θα πάρουμε + ) H + 0 ) = ç + ) + + )! p a Þ H + 0 ) = - + ) + ) ç H 0) Þ )! p a + + )! + ) + + H 0 = H 0) = ) ) ) )! + ) + ) H 0 = - + H 0 Þ ) ) ) ) ) + ) Þ H +) 0 ) = - + ) H 0 ) =- H n+) 0 ) = - n + ) H n 0 ) 9) για n = 0,,... Για n = 0, η 9) μάς δίνει H 0 ) = - H 0 0 ) Για n = παίρνουμε H 0 ) = -*3H 0 ) = -) *3H 0 0 ) = -) **3H 0 0 ) Για n = παίρνουμε 6 6 H 6 0 ) = -*5 H 0 ) = -) 3 *3*5H 0 0 ) = -) **3*5 H 0 0 ) 3 Για n = 3 παίρνουμε 8 8 H 8 0 ) = -*7 H 6 0 ) = -) *3*5*7 H 0 0 ) = -) **3*5*7 H 0 0 ) Έστω ότι 6 //07
7 H 0 ) = -) **3*...* - ) H 0 0 ) Þ H 0 ) = -) - )!! H 0 0 ) Τότε H +) 0 ) = - + ) H 0 ) = - + ) -) - )!! H 0 0 ) = = -) )!! H 0 0 ) H n +) 0 ) = -) n + n + n - )!! H 0 0 ) για n =,..., και H 0 ) = - H 0 0 ) Επειδή H 0 0 ) =, οι δύο τελευταίες σχέσεις γράφονται H n +) = -) n + n + n - )!! για n =,..., και H = - Σημείωση Με - )!! συμβολίζουμε το διπλό παραγοντικό του -, δηλαδή - )!! = *3*...* - ) Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. sonstan@otmail.com 7 //07
ii) Υπολογίστε τις μέσες τιμές της θέσης και της ορμής του ταλαντωτή όταν t 0.
ΑΣΚΗΣΗ 4 Αρμονικός ταλαντωτής, τη χρονική στιγμή t, βρίσκεται στην κατάσταση ip ˆ x x, όπου η βασική κατάσταση του αρμονικού ταλαντωτή, ˆp x ο τελεστής της ορμής, και η κλίμακα μήκους του αρμονικού ταλαντωτή.
Διαβάστε περισσότερα( x) Half Oscillator. Σωμάτιο βρίσκεται υπό την επίδραση του δυναμικού
Half Oscillator Σωμάτιο βρίσκεται υπό την επίδραση του δυναμικού ì, x ï V x í ïî mw x, x > Το σύστημα αυτό αναφέρεται ως «Half Oscillator». Στα Ελληνικά, θα χρησιμοποιήσουμε τον όρο «μισός αρμονικός ταλαντωτής»,
Διαβάστε περισσότεραΑρμονικός ταλαντωτής Ασκήσεις
Αρμονικός ταλαντωτής Ασκήσεις 4. Αρμονικός ταλαντωτής, τη χρονική στιγμή t, βρίσκεται στην κατάσταση ˆ i e, όπου η βασική κατάσταση του αρμονικού ταλαντωτή, ο τελεστής της ορμής, και η κλίμακα μήκους του
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ II (ΑΠΕΙΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ/ΠΕΡΙΟΧΕΣ), και τις ενεργειακές στάθμες του, 2. E E E, όπου ˆ
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ II (ΑΠΕΙΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ/ΠΕΡΙΟΧΕΣ) Στο απειρόβαθο πηγάδι με τοιχώματα στα σημεία x, θα υπολογίσουμε τη διασπορά της ενέργειας,, για τη μικτή κατάσταση με 5 x x x 8 μέσα στο πηγάδι
Διαβάστε περισσότεραΓια να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα στο δεξιό μέλος της (3), κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής
Στην αναπαράσταση θέσης, η τυχαία συνοχική κατάσταση του αρμονικού ταλαντωτή περιγράφεται από μια κυματοσυνάρτηση της μορφής y ( ( Η κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής, y% (, είναι ο μετασχηματισμός
Διαβάστε περισσότεραΕίναι (1) Έστω (2) Τότε η (1) γράφεται (3) Από την (3) βλέπουμε ότι η y ( x; a ) περιγράφει μια συνοχική κατάσταση μάλιστα
Είναι i ö ö y ( ; ) ç ep ç - ˆ ep ç ( p ø ø ) ö ø () Έστω () Τότε η () γράφεται i ö ö y ( ; ) ç ep ç ep ç - ( - ˆ p ø ø ) ö ø (3) Από την (3) βλέπουμε ότι η y ( ; ) περιγράφει μια συνοχική κατάσταση μάλιστα
Διαβάστε περισσότεραΗ κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής Ασκήσεις. Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. 8 Δεκεμβρίου 2017
Η κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής Ασκήσεις Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. siroskonstantogiannis@gmail.com 8 Δεκεμβρίου 7 8//7 Coyrigt Σπύρος Κωνσταντογιάννης, 7. Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος.
Διαβάστε περισσότερα(φορτισμένος αρμονικός 2 ταλαντωτής μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο) είναι
ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΕ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΤΕΛΕΣΤΩΝ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ Για μια τυχαία ιδιοκατάσταση της ενέργειας,, υπολογίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΑ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ, ΒΑΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ, ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ
ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΑ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ, ΒΑΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ, ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ Ξεκινώντας από τους τελεστές δημιουργίας και καταστροφής
Διαβάστε περισσότεραÂ. Θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή
ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΕΝΟΣ ΕΡΜΙΤΙΑΝΟΥ ΤΕΛΕΣΤΗ Έστω ο ερμιτιανός τελεστής Â. Θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή Â μια χρονική στιγμή, που αυθαίρετα, αλλά χωρίς βλάβη της γενικότητας, θεωρούμε χρονική στιγμή μηδέν, όπου
Διαβάστε περισσότεραΤο θεώρημα virial1 στην κβαντική μηχανική
Το θεώρημα val στην κβαντική μηχανική Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. sposkonsanoganns@gal.co 7 Φεβρουαρίου 08 Η λέξη val προέρχεται από το λατινικό vs, που σημαίνει «δύναμη», «ενέργεια», «ισχύς»
Διαβάστε περισσότεραˆ ˆ. (τελεστής καταστροφής) (τελεστής δημιουργίας) Το δυναμικό του συστήματός μας (αρμονικός ταλαντωτής μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο) είναι
ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΕ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ, ΒΑΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ, ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ Ξεκινώντας από τους τελεστές δημιουργίας και καταστροφής
Διαβάστε περισσότεραΛυμένες ασκήσεις στροφορμής
Λυμένες ασκήσεις στροφορμής Θα υπολογίσουμε τη δράση των τελεστών κλίμακας J ± σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση j, m των τελεστών J και Jˆ. Λύση Δείξαμε ότι η κατάσταση Jˆ± j, m είναι επίσης ιδιοκατάσταση των
Διαβάστε περισσότερα+ z, όπου I x, I y, I z είναι οι ροπές αδράνειας
r Έστω κβαντικός περιστροφέας ολικής στροφορμής J, που περιγράφεται από Jx J y J τη Χαμιλτονιανή H = z, όπου I x, I y, I z είναι οι ροπές αδράνειας I x I y I z του περιστροφέα ως προς τους άξονες x,y,z,
Διαβάστε περισσότερα= + =. cos ( ) sin ( ) ˆ ˆ ˆ. Άσκηση 4.
Άσκηση 4 Θεωρείστε και πάλι το σύστημα της άσκησης Τη χρονική στιγμή το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση a (η οποία δεν είναι ιδιοκατάσταση της amilonian) Ποιά είναι η πιθανότητα, μετά από χρόνο, να βρεθεί
Διαβάστε περισσότεραΑρμονικός Ταλαντωτής
Αρμονικός Ταλαντωτής Δομή Διάλεξης Η χρησιμότητα του προβλήματος του αρμονικού ταλαντωτή Η Hamiltonian και οι τελεστές δημιουργίας και καταστροφής Το φάσμα ιδιοτιμών της Hamiltonian Οι ιδιοκαταστάσεις
Διαβάστε περισσότερα(1) (3) x a. Από την (3) βλέπουµε ότι η ( ) τυχαία συνοχική κατάσταση ενός αρµονικού ταλαντωτή µε κλίµακα µήκους a. â a, θα είναι,
Είναι i x 4 ( x ) ψ( x; ) e e () π Έστω () Τότε η () γράφεται ψ ( ; ) i x 4 ( x ) x e e (3) π είναι µια συνοχική κατάσταση µάλιστα µια Από την (3) βλέπουµε ότι η ( ) τυχαία συνοχική κατάσταση ενός αρµονικού
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΣΕ ΜΙΑ ΤΥΧΑΙΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ
ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΣΕ ΜΙΑ ΤΥΧΑΙΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Έστω â μια παρατηρήσιμη (διανυσματικός τελεστής) με συνεχές φάσμα ιδιοτιμών. Επίσης, έστω ότι t είναι η κατάσταση του συστήματός μας την τυχαία χρονική στιγμή
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς
Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ο Μονοδιάστατος Γραµµικός Αρµονικός Ταλαντωτής 1.1.1 Εύρεση των ιδιοτοµών και ιδιοσυναρτήσεων
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ. Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής
ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής Re Im V r V r i V r, όπου οι συναρτήσεις Re,Im V r V r είναι πραγματικές συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΕύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής
Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής Χρησιμοποιώντας την άλγεβρα της στροφορμής, θα υπολογίσουμε τις ιδιοτιμές του τετραγώνου της και της -συνιστώσας της. Μπορούμε, ωστόσο, να θέσουμε το πρόβλημα γενικότερα,
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 25: Μαθηματική μελέτη του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 25: Μαθηματική μελέτη του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να παρουσιάσει την μελέτη
Διαβάστε περισσότεραΜια γενική έκφραση της κυματοσυνάρτησης στον χώρο των ορμών για μια δέσμια κατάσταση
Μια γενική έκφραση της κυματοσυνάρτησης στον χώρο των ορμών για μια δέσμια κατάσταση Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. spiroskonstantogiannis@gmail.com Δεκεμβρίου 07 //07 Coprigt Σπύρος Κωνσταντογιάννης,
Διαβάστε περισσότεραΗ άλγεβρα της στροφορμής
Η άλγεβρα της στροφορμής Στην κλασική μηχανική, η τροχιακή στροφορμή L ενός σωματιδίου είναι L r p (1) όπου r το διάνυσμα θέσης του σωματιδίου και p η ορμή του. Σε καρτεσιανές συντεταγμένες, η (1) γράφεται
Διαβάστε περισσότερα2 (3x2 1) 5x 1 ) 5x 3 4x 3 )= 1 2 (5x3 3x) 7x 1 2 (5x3 3x) 3 ) + 48x ) 16x 3 )= 1 8 (63x5 70x 3 +15x)
1 Prìblhma 4 Η αναδρομική σχέση γράφεται στη μορφή Για n =1 P n+1 = 1 n +1 [2n +1)xP n np n 1 ] P 2 = 1 2 3xP 1 P )= 1 2 3x2 1) Για n =2 P 3 = 1 3 5xP 2 2P 1 )= 1 3 = 1 2 5x3x2 3 5x 1 ) 2 3x2 1) 2x 5x
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι Άσκηση 1: Θεωρήστε δύο ορθοκανονικά διανύσματα ψ 1 και ψ και υποθέστε ότι αποτελούν βάση σε ένα χώρο δύο διαστάσεων. Θεωρήστε επίσης ένα τελαστή T που ορίζεται στο χώρο
Διαβάστε περισσότερα21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ 1 3 4 Το δυναμικό του αρμονικού ταλαντωτή Η παραβολική προσέγγιση βρίσκει άμεση
Διαβάστε περισσότεραΣύστημα δύο αλληλεπιδρώντων σπιν μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο (άσκηση)
Σύστημα δύο αλληλεπιδρώντων σπιν μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο (άσκηση) Δύο σωμάτια με σπιν s και s αντίστοιχα και με τον ίδιο γυρομαγνητικό λόγο τοποθετούνται μέσα σε ομογενές χρονοανεξάρτητο μαγνητικό
Διαβάστε περισσότεραΣπιν 1/2. Γενικά. 2 Υπενθυμίζουμε ότι τα έξι κουάρκ και τα έξι λεπτόνια του Καθιερωμένου Προτύπου,
Σπιν / Γενικά Θα χρησιμοποιήσουμε τις γενικές σχέσεις που αποδείξαμε στην ανάρτηση «Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής», που, όπως είδαμε, ισχύουν για κάθε γενική r στροφορμή Jˆ με συνιστώσες Jˆ x, Jˆ
Διαβάστε περισσότεραΔύο διακρίσιμα σωμάτια με σπιν s 1
Δύο διακρίσιμα σωμάτια με σπιν και Σύνδεση της βάσης των ιδιοκαταστάσεων του τετραγώνου και της z συνιστώσας του ολικού σπιν με τη βάση που αποτελείται από τα τανυστικά γινόμενα των καταστάσεων των δύο
Διαβάστε περισσότερα2( ) ( ) ψ είναι οι ιδιοκαταστάσεις του τελεστή. ψ x, θα πάρουµε
ΟΙ Ι ΙΟΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΤΟΥ ΤΕΛΕΣΤΗ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ ΩΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ ΣΥΝΟΧΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ (COHERENT STATES) ΤΟΥ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ Στην προηγούµενη ανάρτηση, δείξαµε ότι στην αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότερα( x) (( ) ( )) ( ) ( ) ψ = 0 (1)
ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ ΘΕΣΗΣ ΟΡΜΗΣ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗΣ Στην προηγούµενη ανάρτηση, δείξαµε ότι η κατάσταση είναι κατάσταση ελάχιστης αβεβαιότητας των µη µετατιθέµενων ερµιτιανών τελεστών
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικές Εξισώσεις.
Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f, g όταν: x x 2 x x. x x g x. ln x ln x 1 και
Α ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις, όταν: () με R και (). Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Το πεδίο ορισμού της είναι A R. Επομένως A A R Α Θα εξετάσουμε αν για κάθε R ισχύει.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει
ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ Θέμα α) Δείξτε ότι οι διακριτές ιδιοτιμές της ενέργειας σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα δεν είναι εκφυλισμένες β) Με βάση το προηγούμενο ερώτημα να δείξετε ότι μπορούμε να διαλέξουμε τις
Διαβάστε περισσότερα(ταλαντούμενο) μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης Επίλυση με αλλαγή βάσης
Σπιν 1 μέσα σε χρονικά μεταβαλλόμενο (ταλαντούμενο) μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης Επίλυση με αλλαγή βάσης Έστω ηλεκτρόνιο μέσα σε μαγνητικό πεδίο cos B B t, όπου B, και si cose si sie cos e είναι
Διαβάστε περισσότερα2.1 Πολυώνυμα. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; 3 2 ii. x iii. 3 iv. vi.
.1 Πολυώνυμα 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; i. 1 x + x ii. x + 7 x iii. 5 x + 7x x iv. 1 x + x v. 1 4 4 x + x + 4x vi. 1 x + 5x. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:
Διαβάστε περισσότεραΠαραμαγνητικός συντονισμός
Παραμαγνητικός συντονισμός B B teˆ teˆ B eˆ, όπου Έστω ηλεκτρόνιο σε μαγνητικό πεδίο cos sin x y z B, B. Θεωρούμε ότι η σταθερή συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου, Be, ˆz είναι ισχυρότερη από τη χρονοεξαρτώμενη
Διαβάστε περισσότερα, που, χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να θεωρήσουμε χρονική στιγμή μηδέν, δηλαδή
Η ΚΥΜΑΤΟΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΟΡΜΗΣ p. Θα βρούμε πρώτα τη σχέση που συνδέει την p με την x. x ΚΑΙ ΣΤΗΝ Έστω η κατάσταση του συστήματός μας μια χρονική στιγμή t 0, που, χωρίς βλάβη
Διαβάστε περισσότεραμαγνητικό πεδίο παράλληλο στον άξονα x
Σπιν μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο παράλληλο στον άξονα ) Ηλεκτρόνιο βρίσκεται μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο με κατεύθυνση στα θετικά του άξονα, δηλαδή e,
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικές Εξισώσεις.
Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις πρώτου φυλλαδίου ασκήσεων.. Για κάθε μία από τις παρακάτω διαφορικές εξισώσεις πείτε αν είναι γραμμική ή όχι και προσδιορίστε την τάξη της. α. y + y +
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα
Διαβάστε περισσότεραΔείξτε ότι οι ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας του ελεύθερου κβαντικού 2
Δείξτε ότι οι ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας του ελεύθερου κβαντικού Jˆ Jˆ Jˆ περιστροφέα με Χαμιλτονιανή Hˆ = x y z και ολική στροφορμή j = x y z είναι οι ιδιοκαταστάσεις των τριών συνιστωσών της στροφορομής
Διαβάστε περισσότερα1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:
Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:, g, h Απάντηση: Η με έχει παράγωγο 4 Μπορούμε όμως να εργαστούμε ως εξής: Είναι άρα 4 Η g με g έχει παράγωγο : g Η συνάρτηση h με h έχει
Διαβάστε περισσότερα1. Μετάπτωση Larmor (γενικά)
. Μετάπτωση Larmor (γενικά) Τι είναι η μετάπτωση; Μετάπτωση είναι η αλλαγή της διεύθυνσης του άξονα περιστροφής ενός περιστρεφόμενου αντικειμένου. Αν ο άξονας περιστροφής ενός αντικειμένου περιστρέφεται
Διαβάστε περισσότεραˆ pˆ. παραγωγίστε ως προς το χρόνο και χρησιμοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυματοσυνάρτησης. Θα βρείτε.
Άσκηση. Η Hamiltoia ενός συστήματος έχει τη γενική μορφή ˆ pˆ H V ( xˆ ) m Δείξτε ότι d V ( xˆ ) pˆ F( xˆ) t dt x def. t Υπόδειξη: Ξεκινείστε από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής pˆ dx ( x, t) pˆ( x,
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 26: Ολοκλήρωση της αλγεβρικής μεθόδου για την μελέτη του αρμονικού ταλαντωτή
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 6: Ολοκλήρωση της αλγεβρικής μεθόδου για την μελέτη του αρμονικού ταλαντωτή Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να ολοκληρώσει
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y.
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (/7/ 203) ΘΕΜΑ. (α) Δίνεται η συνάρτηση f : R 2 R με f(x, y) = xy x + y, αν (x, y) (0, 0) και f(0, 0) = 0. Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο (0, 0). (β) Εξετάστε αν
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΗ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ (28/1/2011)
Φτιάξε ένα πρόγραµµα FORTRAN που θα βρίσκει αν ο ακέραιος N που θα εισάγει ο χρήστης είναι άρτιος ή περιττός. Φτιάξε ένα πρόγραµµα FORTRAN που να προσδιορίζει και να τυπώνει την θέση των στοιχείων ενός
Διαβάστε περισσότεραΓια να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους :
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Σύνολα ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΓΡΑΦΗ ΣΥΝΟΛΟΥ Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους : ) Παράσταση με αναγραφή των στοιχείων Όταν δίνονται
Διαβάστε περισσότεραμαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης
Σπιν 1 μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης 1) Ηλεκτρόνιο βρίσκεται μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο B B ˆ ˆ ˆ 0xex B0 yey B0 zez, όπου B0 x, B0
Διαβάστε περισσότεραΗ Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation)
Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation) Δομή Διάλεξης Το παρατηρήσιμο μέγεθος της θεσης και τα αντίστοιχα πλάτη πιθανότητας (συνεχές φάσμα ιδιοτιμών και ιδιοκαταστάσεων) Οι τελεστές της θέσης
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν
Διαβάστε περισσότεραI. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr
I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται
Διαβάστε περισσότεραΘεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:
Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.
Ασκήσεις 0 Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι (Τµήµα Α. Λαχανά) 1 Φεβρουαρίου 2010
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τµήµα Α Λαχανά) Φεβρουαρίου ΘΕΜΑ : Θεωρήστε τις δύο περιπτώσεις όπου η κυµατική συνάρτηση ψx) που περιγράφει µονοδιάστατη κίνηση σωµατιδίου σε απειρόβαθο πηγάδι δυναµικού µε τα τοιχώµατα
Διαβάστε περισσότερα. Να βρεθεί η Ψ(x,t).
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου II Άσκηση 1: Εάν η κυματοσυνάρτηση Ψ(,0) παριστάνει ένα ελεύθερο σωματίδιο, με μάζα m, στη μία διάσταση την χρονική στιγμή t=0: (,0) N ep( ), όπου N 1/ 4. Να βρεθεί η
Διαβάστε περισσότεραΑγγύλες Poisson. Ας θεωρήσουμε κάποια συνάρτηση των κανονικών μεταβλητών. Οι
Μηχανική ΙΙ Πέτρος Ιωάννου & Θεοχάρης Αποστολάτος 25 Μαϊου 2001 Αγγύλες Poisson Ας θεωρήσουμε κάποια συνάρτηση των κανονικών μεταβλητών Οι θέσεις και οι ορμές εξελίσσονται χρονικά σύμφωνα με τις εξισώσεις
Διαβάστε περισσότερα4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ
14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,
Διαβάστε περισσότεραΔηλαδή. Η Χαμιλτονιανή του περιστροφέα μέσα στο μαγνητικό πεδίο είναι
Κβαντικός περιστροφέας που J J J H y z τοποθετείται y z περιγράφεται μέσα σε από τη ομογενές, Χαμιλτονιανή χρονοανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο με κατεύθυνση στα θετικά του άξονα z, δηλαδή B B ez, με B >. Αν
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραII. Συναρτήσεις. math-gr
II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική
Διαβάστε περισσότεραΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 7 ΚΑΙ 8
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 7 ΚΑΙ 8 Άσκηση Έστω X, X,..., X d τυχαίες μεταβλητές με Beroull ( p ), p, Να εξάγετε α) τη συνάρτηση πιθανοφάνειας στις 3 μορφές τις και β) τον εκτιμητή μέγιστης πιθανοφάνειας για την άγνωστη
Διαβάστε περισσότερα1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής.
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου V Άσκηση : Οι θεμελιώδεις σχέσεις μετάθεσης της στροφορμής επιτρέπουν την ύπαρξη ακέραιων και ημιπεριττών ιδιοτιμών Αλλά για την τροχιακή στροφορμή L r p γνωρίζουμε ότι
Διαβάστε περισσότεραH = H 0 + V (0) n + Ψ (1) n + E (2) (3) >... Σε πρώτη προσέγγιση µπορούµε να δεχτούµε ότι. n και E n E n
3 Θεωρία διαταραχών 3. ιαταραχή µη εκφυλισµένων καταστάσεων 3.. Τοποθέτηση του προβλήµατος Θέλουµε να λύσουµε µε τη ϑεωρία των διαταραχών το πρόβληµα των ιδιοτιµών και ιδιοσυναρτήσεων ενός συστή- µατος
Διαβάστε περισσότεραV. Διαφορικός Λογισμός. math-gr
V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν
Διαβάστε περισσότεραρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο
ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον
Διαβάστε περισσότερα5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ
5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται αριθµητική πρόοδος, αν και µόνο αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθµού.. Μαθηµατική έκφραση
Διαβάστε περισσότεραΠρότυπα κλειστά τμήματα «ΜΕΘΟΔΟΣ» 2.6. ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. Υποδείξεις Απαντήσεις Ασκήσεων. Προσδιορισμός παραμέτρων ώστε να εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle
Σελ.414 Πρότυπα κλειστά τμήματα «ΜΕΘΟΔΟΣ».6. ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Υποδείξεις Απαντήσεις Ασκήσεων.344. α. Σωστό β. Λάθος γ. Λάθος δ. Σωστό ε. Σωστό στ. Σωστό ζ. Λάθος η. Σωστό θ. Σωστό ι. Λάθος ια. Σωστό ιβ. Σωστό
Διαβάστε περισσότεραΦεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ
Διαβάστε περισσότεραΑ Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα
Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,
Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι
Διαβάστε περισσότερα1 + t + s t. 1 + t + s
Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι Ομάδα Α 1.1. Εστω (X, ) χώρος με νόρμα. Δείξτε ότι η νόρμα είναι άρτια συνάρτηση και ικανοποιεί την ανισότητα x y x y για κάθε x, y X. Υπόδειξη. Για κάθε x X έχουμε x = ( 1)x
Διαβάστε περισσότεραΚβαντομηχανική Ι 3o Σετ Ασκήσεων. Άσκηση 1
Χειμερινό εξάμηνο 016-017 Κβαντομηχανική Ι 3o Σετ Ασκήσεων Άσκηση 1 Οι λύσεις του αρμονικού ταλαντωτή, με V = x είναι της μορφής ψ n (x) = ( mω π )1/4 1 n n! H n (x)e x /, n = 0,1, (1) Με Η n τα πολυώνυμα
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ. 2. Χρησιμοποιώντας αποκλειστικά το προηγούμενο αποτέλεσμα να λύσετε το ( ) ( )
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ. Να λύσετε το πρόβλημα. l. Χρησιμοποιώντας αποκλειστικά το προηγούμενο αποτέλεσμα να λύσετε το πρόβλημα : f a l b 3. Βρείτε τη συνάρτηση η οποία ικανοποιεί την εξίσωση και
Διαβάστε περισσότερα( ) * Λύση (α) Καθώς η Χαµιλτονιανή είναι ερµιτιανός τελεστής έχουµε ότι = = = = 0. (β) Απαιτούµε
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 3 Γενάρη ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες ΘΕΜΑ [555555553] Θεωρούµε κβαντικό σύστηµα που περιγράφεται από την Χαµιλτονιανή H 3ε µ iε µε ιδιοσυναρτήσεις κάποιου
Διαβάστε περισσότερακαι χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου IV Άσκηση 1: Σωματίδιο μάζας Μ κινείται στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας R. Υπολογίστε τις επιτρεπόμενες τιμές της ενέργειας, τις αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις και τον εκφυλισμό.
Διαβάστε περισσότεραS T (x) = exp. (α) m n q x = m+n q x m q x. (β) m n q x = m p x m+n p x. (γ) m n q x = m p x n q x+m. tp x = S Tx (t) = S T (x + t) { x+t
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ, ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά για την B Λυκείου. ισχύει: Q 3. c 3. e 2 e 8. Άρα: Οπότε: Q ,2 10. t N 0,5, όπου t σε ώρες. Άρα: 0. Άρα: Γ)
Τάξη: Β Εκθετική και Λογαριθμική Συνάρτηση Α. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΜΕΤΑΒΟΛΗ Πολλά φαινόμενα της πραγματικότητας συνδέονται με την έννοια της εκθετικής μεταβολής. Θα αναφέρουμε λίγα τέτοια προβλήματα για κατανόηση
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 37 Αριθμητικές Μέθοδοι
Διαβάστε περισσότεραΤι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)
TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών
Διαβάστε περισσότερα1. a. Έστω b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του A Έστω A και ( x) [ x]
σκήσεις Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Ιδιόχωροι, διάσταση ιδιόχωρου, εύρεση βάσης ιδιόχωρου Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 30 Αυγούστου 2010 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 2,5 ώρες.
ΘΕΜΑ [5575] ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 3 Αυγούστου ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής) ιάρκεια εξέτασης,5 ώρες (α) Να αποδειχθεί ότι για οποιοδήποτε µη εξαρτώµενο από τον χρόνο τελεστή Α, ισχύει d A / dt = A,
Διαβάστε περισσότερα(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac
Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας
Διαβάστε περισσότεραα) f(x(t), y(t)) = 0,
Ρητές καμπύλες Μια επίπεδη αλγεβρική καμπύλη V (f) είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου K 2 που μηδενίζουν κάποιο συγκεκριμένο ανάγωγο πολυώνυμο f K[x, y], δηλαδή V (f) = {(x 0, y 0 ) K 2 f(x
Διαβάστε περισσότεραΣπιν 1 2. Γενικά. Ŝ και S ˆz γράφονται. ιδιοκαταστάσεις αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του σπιν 1 2.
Σπιν Γενικά Θα χρησιμοποιήσουμε τις γενικές σχέσεις που αποδείξαμε στην ανάρτηση «Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής», που, όπως είδαμε, ισχύουν για κάθε γενική στροφορμή ˆ J με συνιστώσες Jˆ, Jˆ, J ˆ,
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 2: Κεντρικά Δυναμικά. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για κεντρικά δυναμικά
Διάλεξη : Κεντρικά Δυναμικά Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schöing για κεντρικά δυναμικά Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 03 Κεντρικά δυναμικά Εξάρτηση δυναμικού
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 34 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 4 Μαρτίου 2017
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 6 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 3645 e-mail : ifo@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Paepistimiou (Εleftheriou Veizelou)
Διαβάστε περισσότεραB = F i. (X \ F i ) = i I
Κεφάλαιο 3 Τοπολογία μετρικών χώρων Ομάδα Α 3.1. Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το G \ F είναι
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 11. Πολυώνυμα Taylor Ορισμός
Κεφάλαιο Πολυώνυμα Taylor Στο κεφάλαιο αυτό θα κάνουμε μια σύντομη εισαγωγή στα πολυώνυμα Taylor. Τα πολυώνυμα αυτά μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως προσεγγίσεις μιας συνάρτησης γύρω από ένα σημείο, και έχουν
Διαβάστε περισσότεραb. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.
Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση Hamilton:, όπου κάποια σταθερά και η κανονική θέση και ορµή
Διαβάστε περισσότερααβ (, ) τέτοιος ώστε f(x
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]
Διαβάστε περισσότεραn 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1
Θέμα 1 (α) Υποθέτουμε (προς απαγωγή σε άτοπο) ότι το σύνολο A έχει μέγιστο στοιχείο, έστω a = max A Τότε, εϕόσον a A, έχουμε a R Q και a M Ομως ο αριθμός μητρώου M είναι ρητός αριθμός, άρα (εϕόσον ο a
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέματα και Λύσεις. Ox υπό την επίδραση του δυναμικού. x 01
ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ 1 Θέματα και Λύσεις ΘΕΜΑ 1 Υλικό σημείο κινείται στον άξονα x' Ox υπό την επίδραση του δυναμικού 3 ax x V ( x) a x, a 3 α) Βρείτε τα σημεία ισορροπίας και την ευστάθειά τους
Διαβάστε περισσότερα