n = < n a a n > = a < n a n > = C C = n (1.13) n-1 n-1
|
|
- ῬαΧάβ Παπαδάκης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Στα πλαίσια του Μεταπτυχιακού προγράµµατος σπουδών. ΙΩΑΝΝΗΣ Ε. ΣΦΑΕΛΟΣ 004
2 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α 1. Ορισµός των τελεστών δηµιουργίας καταστροφής. Ο γραµµικός αρµονικός ταλαντωτής. Αναρµονικός ταλαντωτής 4. Συστήµατα αρµονικών ταλαντωτών 5. Κβαντισµός ϖεδίου
3 1. Ορισµός των τελεστών δηµιουργίας καταστροφής Ας υϖοθέσουµε ότι έχουµε ένα ερµητιανό τελεστή Α, µε διάκριτο φάσµα και ιδιοτιµές ισαϖέχουσες (Σχ. 1). Σχ. 1 Σ αυτή την ϖερίϖτωση, µϖορούµε να βρούµε όλες τις ιδιοτιµές ξεκινώντας αϖό µία οϖοιαδήϖοτε και ϖροχωρώντας ϖρος την µία ή την άλλη κατεύθυνση, µε ένα σταθερό βήµα. Παρατηρούµε, ότι υϖάρχει µία αϖλή εϖαναληϖτική διαδικασία για την κατασκευή όλων των ιδιοτιµών µε αφετηρία µία αϖ αυτές. Αφού οι ιδιοτιµές συνδέονται µεταξύ τους µ έναν τόσο αϖλό εϖαναληϖτικό µηχανισµό, υϖοθέτουµε ότι συµβαίνει το ίδιο και µε τις ιδιοσυναρτήσεις, δηλαδή ότι υϖάρχει ένας εϖαναληϖτικός µηχανισµός µε µια συγκεκριµένη µαθηµατική µορφή, ϖου συνδέει την µία ιδιοσυνάρτηση µε την άλλη. εδοµένου, ότι οι κυµατοσυναρτήσεις είναι διανύσµατα ενός διανυσµατικού χώρου, ο µηχανισµός ϖου ζητάµε θα έχει την µορφή δύο τελεστών. Ο ϖρώτος τελεστής, ονοµάζεται τελεστής δηµιουργίας και τον συµβολίζουµε µε και όταν δρα σε µία ιδιοσυνάρτηση, µας δίνει την ιδιοσυνάρτηση µε την αµέσως µεγαλύτερη ιδιοτιµή. Ο δεύτερος τελεστής, ονοµάζεται τελεστής καταστροφής και τον συµβολίζουµε µε και όταν δρα σε µία ιδιοσυνάρτηση, µας δίνει την ιδιοσυνάρτηση µε την αµέσως µικρότερη ιδιοτιµή. Έστω { φ 0 = 0>, φ 1 = 1>,, φ n = n> } οι ιδιοκαταστάσεις του τελεστή Α, ϖου αϖοτελούν βέβαια ένα ϖλήρες ορθοκανονικό σύνολο, ϖου µϖορεί να χρησιµοϖοιηθεί σαν βάση στον αντίστοιχο χώρο Hlbert. Σύµφωνα µε τις ϖροδιαγραφές τους οι τελεστές και, θα δρουν ϖάνω στις ιδιοσυναρτήσεις του τελεστή Α κατά τον εξής τρόϖο : n> = C n1 n 1> (1.1), n> = C n-1 n - 1> (1.) όϖου C n1, C n-1 είναι συντελεστές κανονικοϖοίησης. Για να βρούµε αυτούς τους συντελεστές, ας λύσουµε το ακόλουθο αϖλό ϖρόβληµα. Έστω ένας τελεστής, ϖου ικανοϖοιεί την σχέση µετάθεσης: [, ] = 1 (1.)
4 όϖου ο ερµητιανός συζυγής του. Το ϖρόβληµα είναι να βρούµε τις ιδιοτιµές του ερµητιανού τελεστή και να τις συσχετίσουµε µε τα ιδιοδιανύσµατα. Αν n> είναι ένα νορµαλισµένο ιδιοδιάνυσµα µε n> = n n> (1.4) τότε : n = <n n> = n> 0 (1.5) Η τελευταία σχέση µας λέει ότι οι ιδιοτιµές είναι όλες ϖραγµατικές και µη αρνητικές. Εφαρµόζοντας την ταυτότητα : [ΑΒ,Γ] = Α[Β,Γ] [Α,Γ]Β έχουµε : [, ] = [,] [,] = - (1.6) [, ] = [, ] [, ] = (1.7) (εφόσον [,] =[, ]= 0 και [,] = -1). Οι σχέσεις (1.6),(1.7) γράφονται ισοδυνάµως : ( ) = ( 1) (1.8), ( ) = ( 1) (1.9) Για ένα ιδιοδιάνυσµα n>, η εξ. (1.8) µε την βοήθεια της (1.4) δίνει : ( ) n> = ( 1) n> = (n 1) n> = (n 1) n> (1.10) Εϖοµένως n> είναι ένα ιδιοδιάνυσµα του µε ιδιοτιµή n 1, εκτός αν n> = 0. Οµοίως αϖό την εξ. (1.9) έχουµε : ( ) n> = ( 1) n> = (n 1) n> = (n 1) n> (1.11) δηλαδή το n> είναι ένα ιδιοδιάνυσµα του µε ιδιοτιµή n 1, εκτός αν n> = 0. Λόγω της ϖροηγούµενης σχέσης (1.10) : ( ) n> = (n 1) n> βγάζουµε το συµϖέρασµα, ότι εφόσον η κατάσταση n> είναι ιδιοκατάσταση του τελεστή ( ) µε ιδιοτιµή (n 1), θα είναι εϖοµένως ανάλογη της n 1> ή ισοδύναµα : n> = C n-1 n 1> (1.1) Η σταθερά C n-1 ϖροσδιορίζεται αµέσως ως εξής : n = < n n > = < n n > = C C = n (1.1) Άρα ισχύει : n >= n n 1> (1.14) n-1 Όϖως φαίνεται αϖό αυτή την σχέση, η δράση του τελεστή συνεϖάγεται την ελάττωση των αντίστοιχων ιδιοτιµών κατά µία µονάδα. Εϖανειληµµένη δράση του τελεστή καταστροφής, συνεϖάγεται την ελάττωση των ιδιοτιµών κατά ϖερισσότερες της µιας µονάδες. Εϖί ϖαραδείγµατι : n >= ( n n 1 > ) = n n 1 n > (1.15) Αν n είναι µία ιδιοτιµή, είναι φανερό ότι και οι αριθµοί n-1, n-, θα είναι εϖίσης ιδιοτιµές. Η ακολουθία αυτή όµως θα ϖρέϖει να τερµατίζεται σε κάϖοια µη αρνητική ελάχιστη ιδιοτιµή. Αυτή δεν µϖορεί να είναι ένας αριθµός µεγαλύτερος της µονάδας, γιατί αν ήταν θα µϖορούσε να ελαττωθεί ϖεραιτέρω µε µία εϖιϖλέον δράση του. n-1
5 Έστω λοιϖόν ότι είναι ένας αριθµός n o, µε 0<n o <1. Αλλά σ αυτή την ϖερίϖτωση, µία εϖιϖλέον δράση του τελεστή καταστροφής θα µας οδηγούσε σε αρνητικές ιδιοτιµές. Αυτό µϖορεί να φανεί αν εφαρµόσουµε την εξ. (1.10) για το n>, οϖότε έχουµε : ( ) n > = ( ) n > = ( -1) n > = [( ) -] n > = = [( -1) n > - n >] = [(n -1) n > - n >] = (n -) n > ( ) n > = (n -) n > (1.16) Παρατηρούµε ότι n> είναι ένα ιδιοδιάνυσµα του µε ιδιοτιµή n, εκτός αν n> = 0. Γενικεύοντας, αν υϖοθέσουµε ότι m n> 0 για όλα τα m, εϖαναλαµβάνοντας την ίδια διαδικασία καταλήγουµε ότι : m m ( ) n > = (n -m) n > (1.17) δηλαδή το m n> είναι ένα ιδιοδιάνυσµα του µε ιδιοτιµή n m. Αϖό την τελευταία σχέση βλέϖουµε, ότι η µόνη συνεϖής ελάχιστη ιδιοτιµή είναι η n m = 0. Τότε αναγκαστικά, εφόσον φτάνουµε στο 0 µε ακέραια βήµατα, οι ιδιοτιµές θα είναι οι ακέραιοι αριθµοί 0,1,, Όταν ο τελεστής καταστροφής δράσει στην κατάσταση ελάχιστης ιδιοτιµής δίνει αϖοτέλεσµα µηδέν, δηλαδή : 0> = 0 (1.18) Αντίστοιχα, αϖό την σχέση (1.11) : ( ) n> = (n 1) n> συµϖεραίνουµε ότι : n> = C n1 n 1>, οϖότε ϖαίρνοντας το µέτρο αυτής της εξίσωσης βρίσκουµε : n 1 = < n 1 n > = < n n > = < n n > = C = C n 1 (1.19) n 1 Συνεϖώς, η δράση του τελεστή δηµιουργίας εκφράζεται αϖό τον τύϖο : n>= n 1 n 1> (1.0) ρώντας εϖανειληµµένα µε τον τελεστή αυτόν, µϖορούµε να ϖάρουµε ιδιοκατάσταση µε όσο µεγάλη ιδιοτιµή θέλουµε. Για ϖαράδειγµα, ξεκινώντας αϖό την «θεµελιώδη κατάσταση» 0> έχουµε : 0 > = 1 >, 1 > = ( ) 0 > = >, > = ( ) 0 > = = >= > n >,..., ( ) 0 n! n (1.1) Σύµφωνα µε τις σχέσεις (1.14), (1.0) έχουµε : n>= n n> (1.) Οι εξισώσεις (1.14), (1.0) και (1.) µϖορούν να εκφραστούν εναλλακτικά µε την βοήθεια ϖινάκων. Οι ϖίνακες, ϖου αναϖαριστούν τους τελεστές, και ( ) καθορίζονται αϖό τις σχέσεις : n 1
6 < >= < > (1.) m n n 1 m n 1 = n 1δm,n 1 < m n>= n< m n - 1> = n δ (1.4) < m ( ) n>= n< m n > = n δ m,n (1.5) οι οϖοίες αντιστοιχούν στους ϖίνακες : m,n ( ) =, () = ( ) = Σχ.
7 . Ο γραµµικός αρµονικός ταλαντωτής Σ αυτή την ενότητα θα κάνουµε µια εφαρµογή των αϖοτελεσµάτων, ϖου βρέθηκαν ϖροηγουµένως για τον µονοδιάστατο αρµονικό ταλαντωτή, ο οϖοίος έχει Hmltonn της µορφής : 1 mω H = p x (.1) m όϖου x και p είναι οι τελεστές θέσης και ορµής αντίστοιχα του σωµατιδίου, για τους οϖοίους ως γνωστόν ισχύει : [x,p] = ħ (.) Ο σκοϖός µας είναι να βρούµε τις ιδιοτιµές και τις ιδιοκαταστάσεις του Η. Αντί να διαλέξουµε κάϖοια αναϖαράσταση, ϖ.χ. την αναϖαράσταση {x} και να εϖιλύσουµε την διαφορική εξίσωση, ϖου θα ϖροκύψει, θα χρησιµοϖοιήσουµε µια κοµψότερη µέθοδο, ϖου οφείλεται στον Drc, µε τους τελεστές δηµιουργίας και καταστροφής. Θεωρούµε τον τελεστή καταστροφής : mω p = x (.) ħ mħω και τον ερµητιανό συζυγή του, τον τελεστή δηµιουργίας : mω p = x - ħ mħω (.4) mω p Σηµειώνουµε ότι οι ϖαραστάσεις x και είναι ħ mħω αδιάστατες. Αϖό την εξ. (.) βρίσκουµε : [, ] = 1 (.5) Εκφράζοντας τώρα την θέση x και την ορµή p συναρτήσει των τελεστών δηµιουργίας και καταστροφής, έχουµε : x = ħ mω (.6) p = - mωħ (.7) Οι αντίστοιχοι ϖίνακες είναι : ħ (x) = mω (.8)
8 mωħ (p) = (.9) Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (.6), (.7) στην εξ. (.1) βρίσκουµε : ħω 1 H = ( ) = ħ ω( ) (.10) Το ϖρόβληµα των ιδιοτιµών της ενέργειας ανάγεται στην εύρεση των ιδιοτιµών και ιδιοκαταστάσεων του τελεστή. Συµβολίζοντας ως n τις ιδιοτιµές και ως n> τις ιδιοκαταστάσεις του τελεστή, χρησιµοϖοιώντας τις εξ. (1.14), (1.0) έχουµε : 1 1 H n > = ħω n > = ħω n n -1 > n > = 1 1 = ħω n n n > n > H n > = ħω n n > (.11) Αϖό την εξ. (.11) συµϖεραίνουµε ότι οι καταστάσεις n> είναι ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας και οι ιδιοτιµές της ενέργειας είναι : E = ω n 1 n ħ (.1) Μϖορούµε να βρούµε τώρα τις κυµατοσυναρτήσεις φ n (x) = <x n>, µε την βοήθεια των εξ. (1.18) και (.) ως εξής : mω 0 = 0 > = x p 0 > (.1) ħ mω Λόγω της γνωστής σχέσης αϖό την κβαντοµηχανική : d < x p > = - ħ < x > (.14) dx ϖολλαϖλασιάζοντας µε <x και τα δύο µέλη της (.1) ϖαίρνουµε : mω ħ d 0 = x < x 0 > (.15) ħ mω dx (όϖου το x είναι τώρα αριθµός και όχι τελεστής). Η εξ. (.15) είναι ουσιαστικά η εξ. (1.18) σε αναϖαράσταση συντεταγµένων, η οϖοία ϖαίρνει την µορφή µιας διαφορικής εξίσωσης, ϖου η λύση της είναι : mω < x 0 > = Aexp - x (.16) ħ
9 όϖου Α είναι µία σταθερά. Εφαρµόζοντας την συνθήκη κανονικοϖοίησης έχουµε : - (mω / ħ) x 1 = < 0 0 > < 0 x >< x 0 > dx = A e dx = A - - θ mω 1/4 πħ mω οϖότε λύνοντας ως ϖρος Α ϖαίρνουµε : A = e πħ Εϖειδή η φάση θ είναι αυθαίρετη, µϖορούµε να την θεωρήσουµε ίση µε mω το µηδέν, οϖότε : A = π ħ Έτσι η εξ. (.16) γίνεται : 1/4 1/4 mω mω < x 0 > = exp - x (.17) πħ ħ Κατ αυτόν τον τρόϖο βρήκαµε την κυµατοσυνάρτηση για την θεµελιώδη κατάσταση. Για τις άλλες καταστάσεις εφαρµόζουµε τον τελεστή δηµιουργίας, σύµφωνα µε την εξ. (1.1), οϖότε : 1 n < x n > = < x ( ) 0 > (.18) n! mω mω ħ d Αφού < x = < x x - p = x - < x, ħ mω ħ mω dx τότε χρησιµοϖοιώντας τις σχέσεις (.17) και (.18), έχουµε : n/ n 1 mω ħ d < x n > = x - < x 0 > n! ħ mω dx n/ 1/4 n 1 mω mω ħ d mω < x n > = x - exp( x ) (.19) n! ħ πħ mω dx ħ
10 . Αναρµονικός ταλαντωτής Υϖοθέτουµε ένα σύστηµα, ϖου έχει την Hmltonn : p mω 4 H = x λx (.1) m Θεωρούµε ότι το λ είναι ϖολύ µικρό ( << ħ ω ), ώστε να µϖορούµε να χρησιµοϖοιήσουµε την θεωρία διαταραχών ϖρώτης τάξης. Σ αυτή την ϖερίϖτωση, µϖορούµε να θεωρήσουµε το λx 4 σαν µια διαταραχή της Hmltonn του γραµµικού αρµονικού ταλαντωτή εξ.(.1), οϖότε τα διαταραγµένα ενεργειακά εϖίϖεδα είναι : 1 E n = (n ) ω n ħ (.) 4 όϖου : n = < n λx n > (.) Λόγω της εξ. (.6) έχουµε : ħ 4 n λ < n ( ) n > = (.4) mω 4 Αναϖτύσσοντας την έκφραση ( ) ϖαίρνουµε 16 όρους. Αλλά σύµφωνα µε τις ιδιότητες των τελεστών δηµιουργίας και καταστροφής και λόγω του γεγονότος ότι οι ιδιοκαταστάσεις n> είναι κανονικοϖοιηµένες (<n m> = δ n,m ), οι µόνοι όροι ϖου δίνουν µη µηδενικές αναµενόµενες τιµές, είναι εκείνοι ϖου ϖεριέχουν δύο και δύο, οϖότε χρησιµοϖοιώντας και τις σχέσεις (1.14), (1.0) : 4 < n ( ) n > = < n ( ) n > = n(n -1) n n(n 1) n(n 1) (n 1) (n 1)(n ) 4 < n ( ) n > = 6n 6n (.5) Αντικαθιστώντας τώρα την εξ. (.5) στην (.4) καταλήγουµε : ħ n = λ (n n 1) mω (.6)
11 4. Συστήµατα αρµονικών ταλαντωτών Υϖοθέτουµε ένα σύστηµα, ϖου έχει Hmltonn : 1 H= P VQ Q (4.1) m, όϖου Q, P είναι οι κανονικές συντεταγµένες και ορµές, για τις οϖοίες ισχύει : [ Q, Q ] = [ P, P ] = 0, [ Q, P ] =ħ δ (4.) και V = V. Για να αϖλοϖοιήσουµε λίγο την κατάσταση κάνουµε µια αλλαγή κλίµακας, ορίζοντας : P q m Q, p = = (4.) m και U Εϖειδή οι, V m m q p [ q, p ] δ = (4.4) είναι εϖίσης κανονικές, ισχύει : =ħ (4.5) οϖότε η Hmltonn γράφεται συναρτήσει αυτών : H= 1 1 p U q q (4.6), Τώρα µϖορούµε να εκφράσουµε την Hmltonn, µε όρους τους τελεστές ανύψωσης και υϖοβιβασµού, όϖως κάναµε και στον µονοδιάστατο ταλαντωτή. Η διαδικασία αυτή ϖεριλαµβάνει δύο βήµατα : στο ϖρώτο βρίσκουµε ένα σύνολο κανονικών συντεταγµένων q α ως ϖρος το οϖοίο το δυναµικό είναι σε διαγώνια µορφή, ενώ στο δεύτερο βήµα εκφράζουµε τις συντεταγµένες και τις ορµές µε όρους τους τελεστές ανύψωσης και υϖοβιβασµού. Έστω οι συντεταγµένες q, q α σχετίζονται ως εξής : q = C q (4.7) α α Εϖειδή ο ( U ) έχουµε θεωρήσει ότι είναι ϖραγµατικός και συµµετρικός, ο ϖίνακας µετασχηµατισµού C α ϖου διαγωνοϖοιεί είναι ορθογώνιος : Cα Cβ = δαβ, Cα Cα = δ (4.8) α
12 O αντίστροφος µετασχηµατισµός της εξίσωσης (4.7) θα είναι : q = C q (4.9) α α α Εϖιϖρόσθετα υϖοθέτουµε ότι οι ιδιοτιµές του ( U ) είναι όλες θετικές, ώστε ο ϖίνακας να είναι θετικά ορισµένος (αυτό εξασφαλίζει ότι q = 0 είναι ένα σηµείο ευσταθούς ισορροϖίας). Ορίζοντας αυτές τις ιδιοτιµές µε ω ( ω > 0), έχουµε : α α και έτσι : C C U =ωδ α β αβ (4.10), Uqq = ω q (4.11), α Τελικά, ορίζουµε τα p κατά τέτοιον τρόϖο ώστε να διατηρεί τις κανονικές σχέσεις µετάθεσης : p = C p (4.1) [ q, p β ] = ħ δαβ (4.1) Το αϖοτέλεσµα αυτών των ϖροσϖαθειών οδηγεί στην Hmltonn : 1 H = ( p ω q ) (4.14) ϖου σηµαίνει ότι έχουµε ένα σύστηµα αϖοσυνεζευγµένων αρµονικών ταλαντωτών (ένας για κάθε τιµή του α). Χρησιµοϖοιώντας την διαδικασία, ϖου αναφέραµε στον γραµµικό ταλαντωτή, οι τελεστές υϖοβιβασµού και ανύψωσης στην ϖερίϖτωσή µας θα είναι : 1 = ωα q α p ħ ωα α 1 q α = ωα α p α ħ ω α q p ϖαίρνουµε : οϖότε λύνοντας ως ϖρος, ħ q = ( ) ω ħω = ( ) (4.17) p (4.18) (4.15) (4.16)
13 Εϖίσης έχουµε : [, ] = [, ] = 0 [, ] = δ β β β (4.0) 1 ħ ω ( ) (4.19) H = (4.1) β Οι ιδιοκαταστάσεις της Hmltonn ϖεριγράφονται αν είναι γνωστές για κάθε τιµή του α, η ιδιοτιµή n α του. Έτσι έχουµε : 1 H n1n n... >= ( n ) ħω n1n n... > (4.) n ( α ) n1n n... >= > (4.) n! όϖου η θεµελιώδης κατάσταση > ορίζεται αϖό την σχέση : >= 0 (4.4) για όλα τα α. Σηµειώνουµε ότι η ενέργεια της θεµελιώδους κατάστασης είναι 1 ω ħ. Για ένα σύστηµα µε αϖείρως ϖερισσότερους βαθµούς ελευθερίας, αυτή η ϖοσότητα γενικά τείνει στο άϖειρο. Εϖειδή το µηδενικό σηµείο της ενέργειας είναι ζήτηµα ορισµού (µόνο η διαφορά µεταξύ δύο ενεργειακών εϖιϖέδων έχει φυσική σηµασία), είναι βολικό να εϖαναϖροσδιορίσουµε την Hmltonn ενός τέτοιου συστήµατος, έτσι ώστε η ενέργεια της θεµελιώδους κατάστασης να είναι µηδέν. Έστω λοιϖόν ότι : 1 1 H = ( ) p ω q ħ ω (4.5) ϖου είναι µια έκφραση σύµφωνα µε τις αρχικές συντεταγµένες q, οϖότε: και H = ħ (4.6) ω H n n n... >= n ħ ω n n n... > 1 1 (4.7)
14 5. Κβαντισµός ϖεδίου Ένα σηµαντικό ϖαράδειγµα συστήµατος, µε αϖείρως ϖολλούς βαθµούς ελευθερίας είναι το ϖεδίο. Παραδείγµατα έχουµε για το ϖλάτος των ηχητικών κυµάτων, του φωτός κ.ά. Ας θεωρήσουµε ένα ϖραγµατικό βαθµωτό ϖεδίο ϕ ( x), του οϖοίου η κίνηση ϖεριγράφεται αϖό την Lgrngn : 1 1 L( ϕ, ϕ) = d x ϕ(x) ϕ(x) d x d x K(x - x ) ϕ(x) ϕ(x ) (5.1) όϖου K(x - x ) = K(x - x). Οι κλασσικές εξισώσεις της κίνησης, βρίσκονται µε µεταβλητή το ϕ ( x) : δl δl 0= = φ(x) d x K(x - x )φ(x ) (5.) t δφ(x) δφ(x) Σηµειώνουµε ϖως οι εξισώσεις (5.1) και (5.) µοιάζουν µε τις αντίστοιχες εξισώσεις για το σύστηµα αρµονικών ταλαντωτών, ϖου αναφέρθησαν στην ϖροηγούµενη ϖαράγραφο : 1 1 L = q Uqq 0= q U q Κατ αυτό τον τρόϖο είναι δικαιολογηµένη η θεώρηση του ϖεδίου, σαν ένα σύστηµα αρµονικών ταλαντωτών (τυϖικά τουλάχιστον), όϖου το ϕ ( x) αντιστοιχεί στο σύµβολο q και το x αντιστοιχεί στο. Το ϕ ( x) µϖορεί να λογιστεί σαν µια ξεχωριστή συντεταγµένη του συστήµατος για κάθε τιµή του x. Για ϖαράδειγµα, υϖοθέτουµε ότι : K(x - x ) = -c δ (x - x ) (5.) οϖότε η εξίσωση (5.1) γίνεται, µετά αϖό µερικές ολοκληρώσεις κατά µέρη : 1 L = d x[ ϕ(x) ϕ(x) - c ϕ(x). ϕ(x)] (5.4) και η εξίσωση (5.) γίνεται : 1 φ(x) - φ(x) = 0 (5.5) c ϖου είναι η συνήθης εξίσωση κύµατος. Αν υϖοθέσουµε ότι ϕ ( x) είναι µια συντεταγµένη του συστήµατος για κάθε x, η συσζυγής ορµή στην ϕ( x) είναι :,
15 Π (x) = δ L = ϕ(x) (5.6) δϕ (x) Η Hmltonn είναι τότε : 1 1 H= d x Π(x) ϕ(x) - L = d x Π(x) Π(x) d x d x K(x - x ) ϕ(x) ϕ(x ) (5.7) Για την διαδικασία κβάντωσης του συστήµατος, έστω ότι ϕ ( x) και Π(x) είναι ερµιτιανοί τελεστές ϖου ικανοϖοιούν τις θεµελιώδεις µεταθετικές σχέσεις : [ ϕ(x), ϕ(x )] = [ Π(x), Π(x )] = 0 (5.8) [ ϕ(x), Π(x )] = ħδ (x - x ) (5.9) και υϖοθέτουµε ότι η Hmltonn δίνεται αϖό την σχέση (5.7) εκτός του βαθµωτού όρου, ϖου δίνει την θεµελιώδη κατάσταση µηδενικής ενέργειας. Τώρα µϖορούµε να τα εκφράσουµε όλα σε όρους «norml modes». Βέβαια, καταλήγουµε σε µικρές διαφορές σε σχέση µε τα αϖοτελέσµατα, ϖου καταλήξαµε στην ϖροηγούµενη ϖαράγραφο, αφού είναι κατάλληλα εδώ να χρησιµοϖοιήσουµε «µιγαδικές» κανονικές συντεταγµένες (αυτό σηµαίνει, ότι οι τελεστές είναι µη ερµιτιανοί). Εϖειδή το σύστηµά µας είναι σταθερό, είναι καταλληλότερο να εκφράσουµε τα ϖεδία σε αναϖαράσταση ορµών. Έτσι ορίζουµε : ϕ ϕ k.x (k) = d x (x) (5.10) Π = k.x (k) d x Π(x) (5.11) Με βάση τα γνωστά ολοκληρώµατα : k.x k.x d x e = ( π ) δ (k), d k e = ( π ) δ (x) βρίσκουµε τους αντίστροφους µετασχηµατισµούς, ϖ.χ. d k k.x ϕ(x) = ϕ(k)e ( π ) (5.1) Αφού ϕ ( x), Π ( x) είναι ερµιτιανοί, θα ισχύει : ϕ (k) = ϕ(-k), Π (k) = Π ( k) (5.1) Αϖό τις σχέσεις (5.8), (5.9) βρίσκουµε : [ ϕ(k), ϕ(k )] = [ Π (k), Π (k )] = 0 (5.14) [ ϕ(k), Π (k )] = ħ( π ) δ (k k ) (5.15) Τώρα έστω : e e
16 Αφού ισχύει : -k.x ω (k) = d xk(x)e (5.16) * K(x) = K( x) = K (x), θα έχουµε ότι : * ω (k) = ω (k) = ω ( k) (5.17) Συνεϖώς η Hmltonn (5.7) ξαναγράφεται ως εξής : 1 d k H = [ Π ( k) Π (k) ω (k) ϕ(-k) ϕ(k)] = ( π ) 1 d k [ (k) (k) (k) Π Π ω ϕ (k) ϕ (k)] (5.18) ( π ) Θεωρούµε ότι ω (k) > 0, ώστε η Hmltonn να είναι θετικά ορισµένη. Κατά συνέϖεια ω (k) είναι ϖραγµατικό, οϖότε ω (k) > 0. Στο ϖαράδειγµα ϖου ϖεριγράψαµε µε τις εξισώσεις (5.), (5.4), (5.5) έχουµε ω (k) = c k. Παρακάτω θα ορίσουµε τους τελεστές δηµιουργίας και καταστροφής. Συγκρίνοντας µε τις εξισώσεις (4.15), (4.16), (4.17) και (4.18) έχουµε : 1 (k) = ω(k) ϕ(k) Π (k) (5.19) ħ ω(k) 1 (k) = ω(k) ϕ( k) Π ( k) (5.0) ħ ω(k) οϖότε : ħ ϕ(k) = [ (k) ( k)] (5.1) ω(k) ω(k) Π ħ (k) = [ (k) - ( k)] (5.) Οι σχέσεις µετάθεσης σύµφωνα µε τις εξισώσεις (5.14), (5.15) είναι : [ (k), (k )] = [ (k), (k )] = 0 (5.) [ (k), (k )] = ( π ) δ (k - k ) (5.4) Αν γράψουµε την Hmltonn µε όρους α(k) και α (k), κάνοντας την αλλαγή της µεταβλητής k - k όταν χρειάζεται, βρίσκουµε : 1 d k H = ħ ω(k)[ (k) (k) (k) (k)] (5.5) ( π ) συν έναν διορθωτικό όρο για να κάνει το κενό µε ενέργεια µηδέν. Η διορθωµένη Hmltonn είναι ϖροφανώς :
17 d k ħ ω (5.6) H = (k) (k) (k) ( π ) Σηµειώνουµε ότι ο διορθωτικός όρος είναι η άϖειρη ϖοσότητα 1 d k (k) ħ ω δ (0). Τελικά, εκφράζουµε τις αρχικές µεταβλητές των ϖεδίων µε όρους τους τελεστές δηµιουργίας και καταστροφής, χρησιµοϖοιώντας τις εξισώσεις (5.1), (5.1) και (5.), οϖότε : ϕ d k ħ k.x -k.x (x) = [ (k) e (k) e ] (5.7) ( π ) ω(k) d k ħω(k) k.x -k.x (x) [ (k) e (k) e ] (5.8) Π = ( π ) Οι εξισώσεις (5.) µέχρι (5.8) είναι τα σηµαντικά αϖοτελέσµατα της διαδικασίας κβάντωσης. Η σχέση µετάθεσης (5.4) µϖορεί να φαίνεται ϖαράξενη, στην ϖερίϖτωση ϖου [ (k), (k )] είναι άϖειρη (αντί της µονάδας). Εϖιλέγουµε ένα ϖλήρες ορθοκανονικό σύνολο συναρτήσεων ψ (k), όϖου α είναι ένας διακριτός δείκτης : d k * ψ (k) (k) = (5.9) ψβ δ αβ ( π ) και ορίζουµε : * (k) (k ) =( π ) δ (k - k ) (5.0) ψ ψ d k = ( π ) ψ (k) (k) (5.1) * Τότε : [, β ] = δ αβ (5.) Τώρα µϖορούµε να εφαρµόσουµε τα ϖροηγούµενα αϖοτελέσµατα και να κατασκευάσουµε τις καταστάσεις n 1 n α >. Βέβαια, αυτές οι καταστάσεις δεν µϖορεί να είναι ιδιοκαταστάσεις της Hmltonn. Οι καταστάσεις : k >= (k) 0 >, k,k > = (k) (k ) 0 > και ούτω καθ'εξής, αν και µη κανονικοϖοιηµένες, είναι ιδιοκαταστάσεις της Hmltonn.
18 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Στην αλγεβρική θεωρία του αρµονικού ταλαντωτή, έχουµε την 1 δυνατότητα αντί της Hmltonn : H= (στο σύστηµα µονάδων όϖου ħ = m= ω= 1), να χρησιµοϖοιήσουµε τον τελεστή αρίθµησης N=, µέσω του οϖοίου η εξίσωση ιδιοτιµών : 1 H n > = (n ) n> γράφεται σε ϖιο κοµψή µορφή : N n > = n n > Οι ιδιοτιµές του n καταµετρούν τον αριθµό των ενεργειακών κβάντων ħ ω, ϖου ϖεριέχονται στην εξεταζόµενη ιδιοκατάσταση. Πολύ εύκολα αϖοδεικνύεται η γενική µεταθετική σχέση : [ N, A] = ( k m) A όϖου Α είναι ένα τυχόν τελεστικό γινόµενο αϖό k τελεστές δηµιουργίας και m τελεστές καταστροφής. Το αϖοτέλεσµα της δράσης ενός τέτοιου γινοµένου ϖάνω σε µια ιδιοκατάσταση n> είναι να µετατοϖίζει την ιδιοτιµή της κατά k m.
19 ΑΝΑΦΟΡΕΣ 1. Sttstcl Mechncs (A set of Lectures) R. P. Feynmn. Κβαντοµηχανική Στ. Τραχανάς. Εισαγωγή στην Κβαντική Μηχανική Κ. Ε. Βαγιονάκης 4. Roots of the phse opertors G. Jordze nd I. Srshvl 5. Notes on Creton nd Annhlton Opertors
20
H = H 0 + V (0) n + Ψ (1) n + E (2) (3) >... Σε πρώτη προσέγγιση µπορούµε να δεχτούµε ότι. n και E n E n
3 Θεωρία διαταραχών 3. ιαταραχή µη εκφυλισµένων καταστάσεων 3.. Τοποθέτηση του προβλήµατος Θέλουµε να λύσουµε µε τη ϑεωρία των διαταραχών το πρόβληµα των ιδιοτιµών και ιδιοσυναρτήσεων ενός συστή- µατος
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 25: Μαθηματική μελέτη του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 25: Μαθηματική μελέτη του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να παρουσιάσει την μελέτη
Διαβάστε περισσότεραΔομή Διάλεξης. Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης. Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής
Τροχιακή Στροφορμή Δομή Διάλεξης Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής Ιδιοτιμές και ιδιοκαταστάσεις της L
Διαβάστε περισσότεραΣυνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac)
Συνεχές ϕάσµα Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac) Στην κβαντική µηχανική τα ϕυσικά µεγέθη παρίστανται µε αυτοσυζυγείς τελεστές. Για έναν αυτοσυζυγή τελεστή ˆΩ = ˆΩ είναι γνωστό ότι οι ιδιοτιµές του
Διαβάστε περισσότερα21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ 1 3 4 Το δυναμικό του αρμονικού ταλαντωτή Η παραβολική προσέγγιση βρίσκει άμεση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς
Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ο Μονοδιάστατος Γραµµικός Αρµονικός Ταλαντωτής 1.1.1 Εύρεση των ιδιοτοµών και ιδιοσυναρτήσεων
Διαβάστε περισσότερα5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει
Διαβάστε περισσότερα( ) * Λύση (α) Καθώς η Χαµιλτονιανή είναι ερµιτιανός τελεστής έχουµε ότι = = = = 0. (β) Απαιτούµε
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 3 Γενάρη ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες ΘΕΜΑ [555555553] Θεωρούµε κβαντικό σύστηµα που περιγράφεται από την Χαµιλτονιανή H 3ε µ iε µε ιδιοσυναρτήσεις κάποιου
Διαβάστε περισσότεραETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ Θεωρία της στροφορμής Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Υπενθύμιση βασικών εννοιών της στροφορμής κυματοσυνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville
Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές
Διαβάστε περισσότεραˆ ˆ. (τελεστής καταστροφής) (τελεστής δημιουργίας) Το δυναμικό του συστήματός μας (αρμονικός ταλαντωτής μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο) είναι
ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΕ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ, ΒΑΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ, ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ Ξεκινώντας από τους τελεστές δημιουργίας και καταστροφής
Διαβάστε περισσότερα7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας
7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι Άσκηση 1: Θεωρήστε δύο ορθοκανονικά διανύσματα ψ 1 και ψ και υποθέστε ότι αποτελούν βάση σε ένα χώρο δύο διαστάσεων. Θεωρήστε επίσης ένα τελαστή T που ορίζεται στο χώρο
Διαβάστε περισσότεραΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΑ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ, ΒΑΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ, ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ
ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΑ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ, ΒΑΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ, ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ Ξεκινώντας από τους τελεστές δημιουργίας και καταστροφής
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών
Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις
Διαβάστε περισσότεραΑρμονικός Ταλαντωτής
Αρμονικός Ταλαντωτής Δομή Διάλεξης Η χρησιμότητα του προβλήματος του αρμονικού ταλαντωτή Η Hamiltonian και οι τελεστές δημιουργίας και καταστροφής Το φάσμα ιδιοτιμών της Hamiltonian Οι ιδιοκαταστάσεις
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Τροχιακή Στροφορμή (Ορισμοί Τελεστών) Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΑκρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange
64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από
Διαβάστε περισσότερα!q j. = T ji Kάθε πίνακας µπορεί να γραφεί σαν άθροισµα ενός συµµετρικού και ενός αντι-συµµετρικού πίνακα
Συστήματα με Ν βαθμούς ελευθερίας ΦΥΣ 211 - Διαλ.25 1 Ø Συστήµατα µε Ν βαθµούς ελευθερίας που βρίσκονται κοντά σε µια θέση ισσορροπίας τους συµπεριφέρονται σαν Ν ανεξάρτητοι αρµονικοί ταλαντωτές Γιατί
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 1
Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 39 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 1 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς
Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότερατη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n
Διαβάστε περισσότεραETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια
Διαβάστε περισσότεραΚανονικ ες ταλαντ ωσεις
Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Ορισµοί Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Έστω Α ένας πίνακας µε πραγµατικά στοιχεία Ο πραγµατικός ή µιγαδικός αριθµός λ καλείται ιδιοτιµή του πίνακα Α εάν υπάρχει µη
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 30 Αυγούστου 2010 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 2,5 ώρες.
ΘΕΜΑ [5575] ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 3 Αυγούστου ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής) ιάρκεια εξέτασης,5 ώρες (α) Να αποδειχθεί ότι για οποιοδήποτε µη εξαρτώµενο από τον χρόνο τελεστή Α, ισχύει d A / dt = A,
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών
Διαβάστε περισσότερα(φορτισμένος αρμονικός 2 ταλαντωτής μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο) είναι
ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΕ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΤΕΛΕΣΤΩΝ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ Για μια τυχαία ιδιοκατάσταση της ενέργειας,, υπολογίζουμε
Διαβάστε περισσότερα( x) (( ) ( )) ( ) ( ) ψ = 0 (1)
ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ ΘΕΣΗΣ ΟΡΜΗΣ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗΣ Στην προηγούµενη ανάρτηση, δείξαµε ότι η κατάσταση είναι κατάσταση ελάχιστης αβεβαιότητας των µη µετατιθέµενων ερµιτιανών τελεστών
Διαβάστε περισσότεραΑρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L.
Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδια(ΑΚΠα) Να µελετηθεί το απειρόβαθο κβαντικό πηγάδι µε θετικές ενεργειακές καταστάσεις ( E > ). Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5
Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 53 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Οι πρώτες δύο ασκήσεις αναφέρονται στις έννοιες γραµµική ανεξαρτησία, γραµµικός
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς
Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Στροφορµή στην Κβαντική Μηχανική 1.1.1 Τροχιακή Στροφορµή Η Τροχιακή Στροφορµή στην Κβαντική
Διαβάστε περισσότεραΑναπαράσταση τελεστών µε πίνακα
Μάθηµα 7 ο, 8 Νοεµβρίου 008 (9:00-:00) Άσκηση Bonus[+05 στον τελικό βαθμό] Για ένα μονοδιάστατο κβαντικό σύστημα που περιγράφεται από τρεις καταστάσεις με ενέργεια Ε, Ε και Ε3 και αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50
Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές
Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν
Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).
Διαβάστε περισσότεραΠροσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών
Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Αποστολάτου 6 Μαϊου 2001 Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών Θεωρούµε ότι 6 ίσες µάζες συνδέονται µε ταυτόσηµα
Διαβάστε περισσότερα1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής.
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου V Άσκηση : Οι θεμελιώδεις σχέσεις μετάθεσης της στροφορμής επιτρέπουν την ύπαρξη ακέραιων και ημιπεριττών ιδιοτιμών Αλλά για την τροχιακή στροφορμή L r p γνωρίζουμε ότι
Διαβάστε περισσότεραΠαρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά
Διαβάστε περισσότεραΔομή Διάλεξης. Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών. Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών. Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών
Τελεστές Δομή Διάλεξης Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών Ερμητειανοί τελεστές Στοιχεία πίνακα τελεστών Μεταθέτες
Διαβάστε περισσότεραΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 2006
ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 006 Θέµα ο. Για την διαφορική εξίσωση + ' =, > 0 α) Να δειχτεί ότι όλες οι λύσεις τέµνουν κάθετα την ευθεία =. β) Να βρεθεί η γενική λύση. γ) Να βρεθεί και να σχεδιαστεί
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43
Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι (Τµήµα Α. Λαχανά) 1 Φεβρουαρίου 2010
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τµήµα Α Λαχανά) Φεβρουαρίου ΘΕΜΑ : Θεωρήστε τις δύο περιπτώσεις όπου η κυµατική συνάρτηση ψx) που περιγράφει µονοδιάστατη κίνηση σωµατιδίου σε απειρόβαθο πηγάδι δυναµικού µε τα τοιχώµατα
Διαβάστε περισσότεραETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC Στέλιος Τζωρτζάκης Ο γενικός φορμαλισμός Dirac 1 3 4 Εικόνες και αναπαραστάσεις Επίσης μια πολύ χρήσιμη ιδιότητα
Διαβάστε περισσότεραΣχολικός Σύµβουλος ΠΕ03
Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις
Διαβάστε περισσότεραKΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ Κυματική εξίσωση Schrödiger Η δυνατότητα ενός σωματιδίου να συμπεριφέρεται ταυτόχρονα και ως κύμα, δηλαδή να είναι εντοπισμένο
Διαβάστε περισσότεραe-mail@p-theodoropoulos.gr
Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων
Διαβάστε περισσότεραΕξετάσεις 1ης Ιουλίου Για την ϐασική κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου της οποίας η κανονικοποιηµένη στην µονάδα
ΘΕΜΑ 1: Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ Εξετάσεις 1ης Ιουλίου 13 Τµήµα Α. Λαχανά) Α ) Για την πρώτη διεγερµένη κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου µε τροχιακή στροφορµή l = 1 να προσδιορισθουν οι αποστάσεις
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση
Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε
Διαβάστε περισσότεραΤο θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων
57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 - ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση. (6 µον.) Ελέγξτε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι διανυσµατικοί χώροι
Διαβάστε περισσότερα. Να βρεθεί η Ψ(x,t).
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου II Άσκηση 1: Εάν η κυματοσυνάρτηση Ψ(,0) παριστάνει ένα ελεύθερο σωματίδιο, με μάζα m, στη μία διάσταση την χρονική στιγμή t=0: (,0) N ep( ), όπου N 1/ 4. Να βρεθεί η
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς
Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Κίνηση σε κεντρικά δυναµικά 1.1.1 Κλασική περιγραφή Η Χαµιλτωνιανή κλασικού συστήµατος που κινείται
Διαβάστε περισσότερα(1) (3) x a. Από την (3) βλέπουµε ότι η ( ) τυχαία συνοχική κατάσταση ενός αρµονικού ταλαντωτή µε κλίµακα µήκους a. â a, θα είναι,
Είναι i x 4 ( x ) ψ( x; ) e e () π Έστω () Τότε η () γράφεται ψ ( ; ) i x 4 ( x ) x e e (3) π είναι µια συνοχική κατάσταση µάλιστα µια Από την (3) βλέπουµε ότι η ( ) τυχαία συνοχική κατάσταση ενός αρµονικού
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει
ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ Θέμα α) Δείξτε ότι οι διακριτές ιδιοτιμές της ενέργειας σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα δεν είναι εκφυλισμένες β) Με βάση το προηγούμενο ερώτημα να δείξετε ότι μπορούμε να διαλέξουμε τις
Διαβάστε περισσότερα, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.
Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 31 Γενάρη 2012 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες.
ΘΕΜΑ 1[1] ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 31 Γενάρη 1 ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες Ηλεκτρόνιο βρίσκεται σε δυναµικό απειρόβαθου πηαδιού και περιράφεται από την 1 πx πx κυµατοσυνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville
Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Τελική (επί πτυχίω) Εξέταση: 17 Ιούνη 2013 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ΘΕΜΑ 1[ ]
ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Τελική (επί πτυχίω Εξέταση: 17 Ιούνη 13 ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής ΘΕΜΑ 1[1515] Θεωρούµε κβαντικό σύστηµα που περιράφεται από την Χαµιλτονιανή, ε H 4ε 1 1 3i 1 1, µε 1, ιδιοσυναρτήσεις κάποιου
Διαβάστε περισσότεραx L I I I II II II Ακόµα αφού η συνάρτηση στην θέση x=0 είναι συνεχής, έχουµε την παρακάτω συνθήκη. ηλαδή οι ιδιοσυναρτήσεις είναι
Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδι3α(ΑΚΠ3α), x > Θεωρούµε κβαντικό πηγάδι µε δυναµικό της µορφής V( x) x Να εκτιµηθούν οι ιδιοκαταστάσεις του συστήµατος για (α) c> και (β) c< Για την περίπτωση (α) να µελετηθεί
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,
ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές
Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ. Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής
ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής Re Im V r V r i V r, όπου οι συναρτήσεις Re,Im V r V r είναι πραγματικές συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών
54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής
Διαβάστε περισσότεραΣπιν 1 2. Γενικά. Ŝ και S ˆz γράφονται. ιδιοκαταστάσεις αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του σπιν 1 2.
Σπιν Γενικά Θα χρησιμοποιήσουμε τις γενικές σχέσεις που αποδείξαμε στην ανάρτηση «Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής», που, όπως είδαμε, ισχύουν για κάθε γενική στροφορμή ˆ J με συνιστώσες Jˆ, Jˆ, J ˆ,
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x
Διαβάστε περισσότερα[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών:
Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Απόστολάτου 8 Μαϊου 2001 Εσωτερικά γινόµενα διανυσµάτων µέτρο διανύσµατος- ορθογώνια διανύσµατα Έστω ένας διανυσµατικός χώρος V, στο πεδίο των µιγαδικών αριθµών Τα στοιχεία του
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Μηχανική ΙΙ. Ενότητα 1: Γενική διατύπωση της Κβαντικής Μηχανικής Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ενότητα 1: Γενική διατύπωση της Κβαντικής Μηχανικής Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 2/ 39 Περιεχόµενα 1ης
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 17: Εφαρμογή στην αναπαράσταση τελεστών με μήτρα και εισαγωγή στον συμβολισμό Dirac
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 17: Εφαρμογή στην αναπαράσταση τελεστών με μήτρα και εισαγωγή στον συμβολισμό Dirac Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ 4. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα Εστω R είναι ο γνωστός -διάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση L :
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 4η. η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης (σε µονάδες rad/s) η κίνηση
Διάλεξη 4η Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Αρµονικός ταλαντωτής, σηµείο ισορροπίας, περιοδική κίνηση, ισόχρονη ταλάντωση. Ο αρµονικός ταλαντωτής είναι από το πλέον σηµαντικά συστήµατα στη Φυσική. Δεν
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ
ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο
Διαβάστε περισσότεραΚβαντικό Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο
Κβαντικό Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Δομή Διάλεξης Χαμιλτονιανή και Ρεύμα Πιθανότητας για Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Μετασχηματισμοί Βαθμίδας Αρμονικός Ταλαντωτής σε Ηλεκτρικό Πεδίο Σωμάτιο
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.
Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.
Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.). Έστω z ο µιγαδικός αριθµός z i, µε, R. (α) ίνεται η εξίσωση: z
Διαβάστε περισσότερα[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)
[] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 15: Η έννοια του κυματοπακέτου στην Kβαντομηχανική. Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 15: Η έννοια του κυματοπακέτου στην Kβαντομηχανική Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοπός ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να ολοκληρώσει την εφαρμογή της
Διαβάστε περισσότερα(β) Από την έκφραση (22) και την απαίτηση (20) βλέπουμε ότι η συνάρτηση Green υπάρχει αρκεί η ομογενής εξίσωση. ( L z) ( x) 0
Τρόποι Κατασκευής Εάν οι ιδιοσυναρτήσεις του διαφορικού τελεστή L αποτελούν ένα ορθοκανονικό L ( ) ( ) (7) και πλήρες σύστημα συναρτήσεων ( ) m( ), m (8) και εάν τότε η εξίσωση Gree ( ) ( ) ( ) (9) z ()
Διαβάστε περισσότεραΕύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής
Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής Χρησιμοποιώντας την άλγεβρα της στροφορμής, θα υπολογίσουμε τις ιδιοτιμές του τετραγώνου της και της -συνιστώσας της. Μπορούμε, ωστόσο, να θέσουμε το πρόβλημα γενικότερα,
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα 13 ο, 30 Οκτωβρίου 2008 (9:00-11:00).
Μάθηµα ο 0 Οκτωβρίου 008 (9:00-:00) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΜΕ ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Άσκηση 9 Έστω ένα κβαντικό σύστηµα το οποίο περιγράφεται από τρεις ενεργειακές καταστάσεις (ιδιοτιµές ενέργειας
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Στα πλαίσια του Μεταπτυχιακού προγράµµατος σπουδών.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Στα πλαίσια του Μεταπτυχιακού προγράµµατος σπουδών. ΙΩΑΝΝΗΣ Ε. ΣΦΑΕΛΟΣ 004 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α. Εισαγωγή στον πίνακα πυκνότητας. Χρονική εξέλιξη του τελεστή πυκνότητας
Διαβάστε περισσότερακαι χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου IV Άσκηση 1: Σωματίδιο μάζας Μ κινείται στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας R. Υπολογίστε τις επιτρεπόμενες τιμές της ενέργειας, τις αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις και τον εκφυλισμό.
Διαβάστε περισσότεραΣυνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )
Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013
ΘΕΜΑ 1: ( 3 µονάδες ) Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013 Ηλεκτρόνιο κινείται επάνω από µία αδιαπέραστη και αγώγιµη γειωµένη επιφάνεια που
Διαβάστε περισσότερα2( ) ( ) ψ είναι οι ιδιοκαταστάσεις του τελεστή. ψ x, θα πάρουµε
ΟΙ Ι ΙΟΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΤΟΥ ΤΕΛΕΣΤΗ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ ΩΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ ΣΥΝΟΧΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ (COHERENT STATES) ΤΟΥ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ Στην προηγούµενη ανάρτηση, δείξαµε ότι στην αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραa 1d L(A) = {m 1 a m d a d : m i Z} a 11 a A = M B, B = N A, k=1
Α44 ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #12 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ 1 Πλεγµατα Εστω ο διανυσµατικός χώρος R d διάστασης d Ο χώρος R d έρχεται µε ένα εσωτερικό γινόµενο x, y = d i=1 x iy i και τη σχετική νόρµα x = x,
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 26: Ολοκλήρωση της αλγεβρικής μεθόδου για την μελέτη του αρμονικού ταλαντωτή
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 6: Ολοκλήρωση της αλγεβρικής μεθόδου για την μελέτη του αρμονικού ταλαντωτή Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να ολοκληρώσει
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)
Διαβάστε περισσότεραx(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 216-17 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Σήµατα και Συστήµατα Ασκηση
Διαβάστε περισσότερα{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)
Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,
Διαβάστε περισσότεραf x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j
Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ (ΘΕ ΠΛΗ ) ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ TEΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 7 Ιουνίου 8 Θέµα ο ( µονάδες) α) ( µονάδες) yz yz του διανυσµατικού
Διαβάστε περισσότεραΤυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης
Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης Έστω το γενικό σύστηµα 2 ας τάξεως µε σταθερό αριθµητή (1) Είθισται αυτό να γράφεται σε συγκεκριµένη µορφή, την εξής: θέτουµε ±, επιλέγοντας το πρόσηµο ούτως ώστε το
Διαβάστε περισσότερα