I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. P r e d a v a n j a z a č e t v r t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2008/2009.
|
|
- Εφροσύνη Καραμήτσος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Tepor utntur, nos et utur n lls*. [Vreen se enu, se eno u n.] (OWEN ) P r e d v n z č e t v r t u s e d c u n s t v e (u kdesko 8/9. godn) G L A V A 3 PRIMJENE DIFERENCIJALNOG RAČUNA FUNKCIJA VIŠE REALNIH PROMJENLJIVIH 3.. Ekstrene vrednost relnh funkc dvu l vše relnh proenlvh 3... Lokln ekstre funkc vše proenlvh Po loklnog ekstre se z relne funkce vše relnh proenlvh defnr nlogno sluču relnh funkc edne relne proenlve. Defnc 3... Nek e funkc f reln funkc od n relnh proenlvh defnrn u neko okoln U (x ) tčke x R n. Ako e z svk x U (x ) spuneno f (x) f (x ) (odnosno f (x) < f (x ) z x x ), / t. Δ f (x ) (odnosno Δ f (x ) < z x x ) /, kžeo d funkc f u tčk x lokln ksu (odnosno strogo lokln ksu) ednk f (x ). Slčno se defnr (strog) lokln nu. (Stroge) loklne ksue nue edn eno zoveo (strog) lokln ekstre(u). Preto d su lokln ekstre, pre ovo defnc, uvek postgnut u unutršn tčk doen funkce. Tzv. rubne ekstree rztro n kru ovog prgrf. Ko kod funkc edne proenlve, z dferencblne funkce posto ednostvn potrebn uslov z postone loklnog ekstre. Stv 3... Nek e reln funkc f od n relnh proenlvh defnrn u neko okoln tčke A : (,..., n ) R n nek zvod po rguentu x ( n) u tčk A. Ako funkc f u tčk A lokln ekstre, ond e ( A). Posledc 3... Ako e funkc f (x,..., x n ) defnrn u neko okoln tčke A : (,..., n ) u koo ekstre ko prve prclne zvode po svko od svoh rguent u tčk A, ond e f '( A)... f '( A ). x x n Dokz: Nek e K(, δ ) kugl u koo e defnrn funkc f z kou vž f (X) f (A) (odnosno f (X) f (A)) z sve X : (x,..., x n ). Z prozvoln {,..., n} postro funkcu g : ( δ, + δ ) R, defnrnu forulo *T e sth nčnen pre sthu: On utntur, nos et utur n lls. [Sve se en, se u toe eno.], (Izvor: Johnns Owen Epgrtu Lber unus d Arbell Sturt, Epgrtu Lbr III, Wrtslw, 658.). 49
2 g(x ) f (,...,, x, +,..., n ), (A (,..., n )) z x ( δ, + δ ). T funkc lokln ekstre u tčk, p e g'( ) (A). Unutršne tčke doen funkce f u ko su sv nen prcln zvod prvog red ednk nul nzvu se stconrn tčk te funkce. Zprvo, po stconrne tčke uvodo ovde sledećo defnco. Defnc 3... Z tčku A kžeo d e stconrn tčk relne funkce f (x,..., x n ) od n relnh proenlvh ko e funkc f dferencbln u tčk A ko e f x '( A) f '( A)... f '( A) x x n, l ko e dferencl funkce f z tčku A dentčk ednk nul, t. ko e d f (X, A). (Zklučte s ekvvlentnost u dto defnc!) Sledećo teoreo dt su potrebn uslov poston loklnog ekstre dferencblne funkce. Teore 3... Ako e reln funkc f vše relnh proenlvh dferencbln u tčk A ko u tčk A lokln ekstre, ond e tčk A stconrn tčk funkce f. Dokz: Iz dferencblnost funkce f u tčk A sled d postoe nen končn prcln zvod po sv rguent u tčk A. Kko e tčk A tčk loklnog ekstre, to su pre prethodno posledc 3... zvod po sv rguent u tčk A ednk nul. Iz sveg npred kznog sled d e tčk A po defnc stconrn tčk. Ov e teore 3... dokzn. Npoeno d z nlžene tčk loklnog ekstre dferencblne funkce n zdno oblst treb nć stconrne tčke th funkc u to oblst, er e pre dokzno teore lokln ekstre dferencblne funkce oguć edno u t tčk. Ako u oblst defnrnost funkce f postoe tčke u ko f ne dferencbln, td u t tčk funkc ože t lokln ekstre u to sluču sptueo prršt funkce. Tko, n prer, funkc f ( y, z) x + y + z ne dferencbln u tčk (,, ), očto nu u to tčk. Tčk x u koo e d f (x ), t. stconrn (krtčn) tčk ne or bt tčk ekstre (t. uslov d f (x ) ne dovoln z egzstencu ekstre), već, npr., tzv. sedlst tčk u sluču funkce f ( dvu relnh proenlvh y (nlogon prevono tčk funkce edne proenlve). Tkođe, ekstre ože d posto u tčk x ko prcln zvod (br edn od nh) ne posto u to tčk, t. ko ne posto d f (x ). Stconrne tčke se ogu dobt z sste ednčn f (x,..., x n ),..., x f (x,..., x n ). U stconrno tčk (x, y ) funkce f ( tngentn rvn n površ z f ( e prleln s rvn ( ednčnu z f (x, y )). Nvedo teoree o dovoln uslov poston loklnog ekstre. Nek funkc f : D K (D R n, K R) (3..) neprekdne prclne zvode prvog drugog red u neko okoln stconrne tčke x (x, x, '' ''..., x n ) D. Oznčo s k vrednost zvod f u tčk x ) k f (x ),, k,..., n. Td e, x x k xn x x k 5
3 zbog neprekdnost drugh prclnh zvod, k k. Forro suu n k, k y y k, (3..) gde su y,..., y n relne proenlve. Ne teško zklučt d e zrz u (3..) hoogen funkc stepen hoogenost, nzv se kvdrtno foro proenlvh y,..., y n. No, z forulsne dovolnh uslov z postone loklnog ekstre, odnosno z sptvne znk dferencl d n f ( x) f (x ) ΔxΔx *), korsn su n nek poov rezultt (z lnerne lgebre) o kvdrtn for., Reln funkc proenlvh Φ (h,..., h ) : h h h, zove se kvdrtn for proenlvh h,..., h. Mtrc A (Φ ) [ ], zove se trc kvdrtne fore Φ. Z tu trcu uvek ožeo pretpostvt d e setrčn, t. d e z sve,. Z foru Φ se kže d e poztvno (negtvno) poludefntn ko z sve h : (h,..., h ) R vž Φ (h,..., h ) (odnosno Φ (h,..., h ) ). On e poztvno (negtvno) defntn ko z sve h vž Φ (h,..., h ) > (odnosno Φ (h,..., h ) < ). Nzd, for Φ e proenlvog znk ko postoe h (h,..., h ), k (k,..., k ) R, tkv d e Φ (h,..., h ) >, Φ (k,..., k ) <. Prer 3... Kvdrtn for Φ (h, h, h 3 ) h + 5 h + h 3 h h + h h 3 + h h 3 (h + h + h 3 ) + (h h ) + h 3 e poztvno defntn, er e Φ (h, h, h 3 ) > z (h, h, h 3 ) (,, ). For Φ (h, h, h 3 ) h + h + h 3 + h h h h 3 h h 3 (h + h h 3 ) e poztvno poludefntn, l ne defntn, er ože bt Φ (h, h, h 3 ) kd nsu sv h, h, h 3 ednk nul. Z sptvne defntnost kvdrtne fore u lnerno lgebr se dokzue sledeć Sylvesterov **) krteru. Stv 3... Nek e A (Φ ) *) D b dferencl d n f ( x f (x ) ΔxΔx (gde e ) ) predstvlo poztvno određenu kvdrtnu foru, potrebno e dovolno d nor n glvno dgonl trce [ ] n, budu poztvn. D b dferencl d f (x ) predstvlo negtvno defntnu kvdrtnu foru, potrebno e dovolno d nor n glvno dgonl trce [ ] n nzenčno enu znk, s t d e, <. U nek slučev znk od d f (x ) e očgledn. **) J. J. Sylvester (84 897) englesk tetčr. h 5
4 setrčn trc kvdrtne fore Φ : R R nek su A, A,..., A det A (Φ ) (3..3) nen glvn nor. D b for Φ bl poztvno defntn potrebnoe dovolno d su t glvn nor poztvn: A >, A >,..., A >. D b for Φ bl negtvno defntn, potrebnono e dovolno d t nor nzenčno enu znk, s t d e A < : A <, A >, A 3 <.... Prer 3... For Φ z prer 3... trcu glvne nore ednke redo, 9, 9. For Φ s deternnto ednko nul. 5 trcu Z zvođene dokz teoree o dovoln uslov loklnog ekstre korsn e sledeć pooćn tvrdn. Le 3... Nek e A R otvoren skup : A R neprekdn funkc z,,..., tkve d e (x) (x) z sve x A. Z x A nek e Φ x kvdrtn for s trco [ ] ( x),. Ako e z nek A kvdrtn for Φ poztvno defntn, ond posto r >, tko d e z svk x z kugle K(, r) for Φ x poztvno defntn. Dokz: Relne funkce A,..., A, defnrne pooću forul ( x) ( x) A (x) (x), A (x),..., A (x) det [ (x)], ( x) ( x) neprekdne su z x A. Pre Sylvesterovo krteru, z poztvne defntnost fore Φ sled d su broev A (), A (),..., A () poztvn. Zbog neprekdnost funkc A, posto poztvn bro r, tkv d su broev A (x), A (x),..., A (x) tkođe poztvn z x K(, r). To znč d e for Φ x poztvno defntn. Te e dokz lee 3... zvršen. Forulšo sd nvlenu teoreu ko de dovolne uslove z postone (strogog) loklnog ekstre funkce vše proenlvh. Teore 3... Nek e A ( R ) otvoren skup, x A f C (A), pr čeu e x ( (x,..., x )) stconrn tčk funkce f, t. d f (x ) ; nek e Φ kvdrtn for č e trc f ( x ),. (3..4) Td: ko e kvdrtn for Φ poztvno defntn, t. ko su sv glvn nor A, A,..., A n poztvn, ond funkc f strog lokln nu u tčk x ; ko e kvdrtn for Φ negtvno defntn, t. ko glvn nor A, A,..., A n nzenčno enu znk, s t d e A <, ond funkc f strog lokln ksu u tčk x ; 5
5 3 ko e kvdrtn for Φ proenlvog znk, funkc f u tčk x ne lokln ekstre. Dokz: Ako su spunene dte pretpostvke, pre prethodno le, posto bro r >, tkv d e z sve x K(x, r) f ( x) poztvno defntn kvdrtn for č e trc. Z prozvoln tkv x o d e n denzonln, segent [x, x] sdržn u kugl K(x, r), p se n rzlku f (x) f (x ) ože prent Tylorov forul s Lgrngeov osttko z n. Zbog stconrnost tčke x on oblk: f f (x) f (x ) ( ) ( ) f ( x ( x x)) ( x x )( x x ) ( x ( x x)), x x + + x x + x x + θ θ, gde e < θ <. Drug reč, t rzlk e kvdrtn for proenlvh x x,..., x x, s (setrčno) trco f ( x + θ ( x x ). Kko vektor (x + θ (x x )) prpd tkođe kugl K(x, r), to e t kvdrtn for poztvno defntn, što znč d e f (x) f (x ) > z sve x K(x, r) \ {x }. Dkle, u tčk x e strog lokln nu funkce f. Dovolno e prent dokznu tvrdnu pod n funkcu f. 3 Ako e kvdrtn for Φ s trco (3..4) proenlvog znk, ond postoe vektor h (h,..., h ), k (k,..., k ) R, tkv d e Φ (h,..., h ) >, Φ (k,..., k ) <. (3..5) h k Z prozvoln ρ > odredo tčke x x + ρ y x + ρ, z koe e očgledno x x y x ρ. h k Npšo sd Tylorovu forulu z funkcu f u tčk x s Penov osttko, z vrednost rguent odnosno y, f ( x) f ( x ), ( x ρ h ρ f ( f ( x) k x )( x x f ) [ Φ( h,..., h ) + o() ] ( ρ ), [ Φ( k,..., k ) + o() ], ( ρ )., ( x ) + o ( x x, ρ ) h, f ( x ) h h + o () Kko velčne Φ (h,..., h ) Φ (k,..., k ) ne zvse od ρ, to e, n osnovu (3..4), z dovolno l ρ, f (x) f (x ) >, f ( f (x ) <, što znč d u svko okoln tčke x funkc f vrednost, kko ne, tko veće od f (x ). Te e dokzno d t funkc u tčk x ne lokln ekstre. Ako predznc broev (glvnh) nor A, A,..., A n u zdno tčk (x,..., x n ) popru blo kou drukču kobncu u odnosu n prethodne dve u teoree 3.., ond (x,..., x n ) ne tčk loklnog ekstre funkce f (x,..., x n ). Prer ) Svk od funkc f ( x 3 + y 3 f ( x 4 + y 4, ednstvenu stconrnu tčku (, ) u to tčk krkterstčnu kvdrtnu foru dentčk ednku nul dkle poztvno negtvno poludefntnu, l ne defntnu. Prv od th funkc ne lokln ekstre u (, ), er u prozvolno okoln te tčke postoe vektor (x, y ) (x, y ), tkv d e f (x, y ) < < f (x, y ). Funkc f, eđut, u tčk (, ) lokln ( psolutn) nu ednk. Odredo tčke loklnh esktre funkce gde e λ reln pretr. f (x, x, x 3 ) λ x + x + x 3 + x + x 3, 53
6 Rešvuć sste ednčn λ x, x +, x +, dobeo d e edn 3 3 stconrn tčk ove funkce x (,, ) (se u sluču λ, kd su stconrne sve tčke f f f f oblk (x,, ), x R). Zbog λ,, z, u to tčk 3 krkterstčn kvdrtn for oblk Φ (h, h, h 3 ) λ h + h + h 3. Z λ > t for e očgledno poztvno defntn funkc f u tčk (,, ) lokln nu. Z λ < t for e proenlvog znk (n prer, td e Φ (,, ) >, Φ (,, ) < ), p funkc f u to tčk ne lokln ekstre. Ako e λ, u svko od tčk (x,, ) for Φ e poludefntn, no funkc f tu pk (ne so lokln) nu ednk, er e f (x, x, x 3 ) (x + ) + (x 3 + ) z sve (x, x, x 3 ) R 3 f (x,, ). U prer se nčešće povluu funkce dvu proenlvh, p ćeo nvest forulcu teoree 3... z t sluč. Posledc 3... Nek e A otvoren skup u R, (, A, f ( dv put neprekdno f f dferencbln funkc n A (, (,. Oznčo (, r, (, s, y y f y (, t. Td : ko e r >, rt s >, funkc f u tčk (, strog lokln nu ; ko e r <, rt s >, funkc f u tčk (, strog lokln ksu ; 3 ko e rt s <, funkc f u tčk (, ne lokln ekstre. Dokz: Tvrđen neposredno slede z teoree 3... Dokžo tvrđene 3, t. dokžo d e u sluču rt s < kvdrtn for Φ (h, k) r h + s h k + t k proenlvog znk. Postro npre sluč r. Td e Φ (h, k) [( rh + sk) + ( rt s ) k ], r p su, zbog rt s <, broev Φ (, ) r Φ (s, r) r (rt s ) rzlčtog znk. Ako e r, td z uslov rt s < sled d e s. Nek e h k dovolno lo tko d zrz s h + t k st znk ko zrz s h. Td vrednost kvdrtne fore Φ (h, k) k (s h + t k) u rzlčte znke z k >, odnosno k <, te e u ovo sluču t kvdrtn for proenlvog znk. Te e zvršen dokz posledce 3... n ( x,..., xn ) Ako edn od broev A, A,..., A n (glvnh nor trce kvdrtne fore Φ, (ko predstvl dferencl d f (x,..., x n ))) popr vrednost nul, ond ne oguće prent krter z teoree 3.., nego u ovkvo sluču se korst predznk drugog dferencl, ko što sled: Teore Nek e funkc f (x,..., x n ) defnrn neprekdne prclne zvode drugog red u neko okoln tčke x : (x,..., x n ). Nek e, dle, tčk x stconrn tčk funkce f (t. d f (x ) ). Td: ) ko e d n f (x ) > z dx >, (dx x x ), ond e f (x ) f n ; n ko e d f (x ) < z dx >, ond e f (x ) f c) ko d f (x ) en predzk, ond f (x ) ne ekstre funkce f ; 54
7 d) ko e d f (x ) l ko nedn od uslov ),, c) ne spunen, td se ne ože nšt reć o prrod stconrne tčke x, već e potrebno dodtno sptvne (n osnovu defnce ekstre l pooću dferencl trećeg l všeg red proksce funkce Tylorov polnoo všeg red). Tko, npr., z funkcu u : e x y (x y z) ne ožeo prent teoreu 3... već teoreu z stconrnu tčku (,, ), er e A, A A 3 8, l e d u (,, ) (dx) 4 dy dz, t. d u (,, ) en predznk, p tčk (,, ) ne tčk loklnog ekstre zdne funkce u. Ponovo n kru d se sve zloženo odnos so n tzv. unutršne loklne ekstree funkc vše proenlvh. Prlko određvn psolutnh ekstre tkvh funkc neophodno e zedno s unutršn stconrn tčk sptvt tčke grnce (ru doen. Z tkvo sptvne e često korsn tehnk određvn tzv. uslovnog ekstre, o koo zlžeo u posebno prgrfu. S druge strne, eđut, ko se trže so psolutn ekstre neke funcke n ogrnčeno ztvoreno skupu, preno Weerstrssove teoree ože se potpuno zbeć sptvne krkter stconrnh tčk. U to sslu rzotro sledeć prer. Prer Nđo nveću nnu vrednost funkce f : [, ] R, zdne forulo f ( x 3 + x y + y y. Rešene : Sste ednčn 3x + 4, x + 4y unutr kvdrt (, ) y dv rešen:, 3, 8. Dle e f (, y +, f (, y, f ( ) x 3 + x, f ( ) x 3 x + 4, p se ko potenclne tčke ekstre zdne funkce f dobu stconrne tčke funkc f (, f ( ) edne proenlve (koe su n rubu dtog kvdrt) : (, ), (, ), (, ) (, ), ko teen kvdrt (, ), (, ), (, ) (, ). Zdn funkc f e neprekdn, kvdrt [, ] e ztvoren ogrnčen skup, p f n neu dostže svou nnu nveću vrednost. No, one ogu bt so eđu vrednost funkce f u nđenh deset tčk. Među sv e nn f (, ), nveć f (, ) 4, p su to tržen ekstre funkce f n [, ]. Zdtk 3... Odredt ekstree funkce f zdne forulo f ( :, z ( (,),, z ( (,). x + y Rešene: Zdn funkc f e defnrn n R očto neprekdn n R \ {(, )}, er e nen restrkc g : f, g ( (v. sl. 3..) očto eleentrn funkc p e neprekdn R \{(,)} x + y gde e defnrn. No, u tčk (, ) funkc f e prekdn er z kx k l f ( l x x x k x + (*) + k y kx sled d les (*) zvs od k, p dvon les l f ( ne posto. Ndle e y( y x ) f x '( x y x( x y ) f y z ( (, ),, '( f ( ) f (,) f '(,) l l x x x x x, '(,) y f (ko e f prekdn u tčk (, )). Otud sled d zdn funkc končne određene prclne zvode f x ' f y ' u okoln prozvolne tčke (x, y ) R \ {(, )} t zvod su neprekdne funkce u (x, y ), p e f dferencbln u (x, y ) R \ {(, )} (n osnovu teoree o dovoln uslov dferencblnost). No, u tčk (, ), ko končne zvode f x ' (, ) f y '(, ), zdn funkc f ne 55
8 dferencbln, er ko b f bl dferencbln u (, ), ond b vredlo f ( f ( f (, ) f x ' (, ) (x ) + f y '(, ) (y ) + ω ( ( x ) + ( y ), (*)' gde e lω( ω(,). Međut, z (*)' sled x y ov les ne posto (er e x + y lω ( l l, x x x 3 y y x + y y k lω ( l x x ). Dkle, (, ) ne stconrn tčk 3 x y kx ( + k ) funkce f, te f stconrne tčke ( ± x), ( x R\{}). Buduć d vred (3y x ) f ''( xx 3, (3x y ) f yy ''(, 3 f ''( f yx (3y ''( x )( x 3 + y ) ( y yx ) 4 ( x + y ) y 6x y ( x 4 4 x y 3 + y ) z sve ( (, ), t. d e f xx ''( ± x) f yy ''( ± x), f ''( ± x) f yx ''( ± x) z x x x R \ {}, odnosno d e r t s u tčk ( ± x), to ptne ekstre treb rešt pooću defnce (neposredno) l pooću dferencl trećeg l všeg red. No, očgledno vred (x ± x + y ± x y ( y R), p e x + y z ( R \ {(, )}. Kko e oš f (, ), f ( x) (x ) f ( x), (x ), to zklučueo d zdn funkc f nestrog psolutn (totln) nu f n f ( x) (x ) nestrog psolutn ksu f x f ( x) z x. U tčk (, ) zdn funkc ne ekstre, er, npr., n prbol, č e ednčn y x, vred f ( x ) f (, ) x, x, + x <, x <, Sl t. ne posto okoln U(, ) tčke (, ) u koo prršt f ( f (, ) ne en znk. Zdtk 3... Odredte ekstrene vrednost funkce f z R u R zdne forulo: ) f ( sn x + sn y + sn (x +, f ( sn x sn y sn (x + ; ( y [, π]). Uput. Vdet zd. 9..n) (str. 3; rešene n str.6) zd. 3. (str. 48; rez. n str.6) u knz [FATKIĆ, H. DRAGIČEVIĆ, V., Dferencln rčun funkc dvu vše proenlvh, I.P. Svetlost, Srevo, 6]). Zdtk Odredte ekstrene vrednost funkce f zdne forulo: ) f ( y, z) log x z z + xz x y ; n x x3 x + n f (x,..., x n ) x , (x > ;,..., n). x x xn xn Rezultt. ) f x f (,, ). f n f (,,..., n ) (n + ), (v. zd d) g) (str. 8; rešene n str. 9 ) u knz ctrno u prethodno zdtku)., 56
Vektori u ravnini. - Nije bitan redoslijed AB ili BA
Vektor u rnn. Osnon pomo o ektorm Skup sh tok prc p zmeu ukluuu nh sme ne dužnu Ne tn redosled l e poetn tok e zršn tok odsek n prcu p Defnc: Usmeren odsek od toke ko poetne toke do toke ko zršne toke
Διαβάστε περισσότεραVEKTORI (m h) brzina, akceleracija, sila, kutna brzina, električno polje, magnetsko polje
sklr VEKTORI (m h) velčn ko e potpuno određen relnm roem (sklrom) Prmer ms, energ, tempertur, rd, sng, oum tel vektor dužn kod koe e određeno ko e nen run točk početn, ko vršn nv se usmeren dužn l vektor
Διαβάστε περισσότεραOdred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),
Διαβάστε περισσότεραReverzibilni procesi
Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože
Διαβάστε περισσότεραDINAMIKA. Dinamički sistem - pogon sa motorom jednosmerne struje: N: u f Ulazi Izlazi (?) U opštem slučaju ovaj DS je NELINEARAN!!!!
DINAMIKA Dnčk sste - ogon s otoro jednoserne struje: N: { DS } u u Ulz Izlz (?),,, [ ] θ U ošte slučju ovj DS je NELINEAAN!!!! BLOK DIJAGAM MAEMAIČKOG MODELA POGONA Iz jednčne ndukt u e e Iz Njutnove jednčne
Διαβάστε περισσότεραPIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču
PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu
Διαβάστε περισσότερα2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
Διαβάστε περισσότεραMetode rješavanja izmjeničnih krugova
Strnic: V - u,i u(t) i(t) etode rešvn izmeničnih kruov uf(t) konst if(t)konst etod konturnih stru etod npon čvorov hevenin-ov teorem Norton-ov teorem illmn-ov teorem etod superpozicie t Strnic: V - zdtk
Διαβάστε περισσότεραIZVOD FUNKCIJE Predpostvimo d je unkcij deinisn u nekom intervlu, i d je tčk iz intervl, iksirn. Uočimo neku proizvoljnu tčku iz tog intervl,. Ov tčk može d se pomer levo desno, p ćemo je zvti promenljiv
Διαβάστε περισσότεραVALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su
ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa,
Alitičk geoetrij i lier lger Vektori KOORDINATNI SUSTAV Krteijev prvokuti koorditi sustv Krteijev trodieioli prvokuti koorditi sustv čie eđusoo okoite osi: O os pscis O os ordit O os plikt točk O ishodište
Διαβάστε περισσότεραNEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi
NEKE POVŠI U Pvrši kje se njčešće sreću u dcim su:. Elipsidi. Hiperlidi. Prlidi 4. Knusne pvrši 5. Cilindrične pvrši. Elipsidi Osnvn jednčin elipsid ( knnsk) je : + + = c, i c su dsečci n, i si. Presek
Διαβάστε περισσότερα= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi
Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim
Διαβάστε περισσότερα4. Trigonometrija pravokutnog trokuta
4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz
Διαβάστε περισσότεραKUPA I ZARUBLJENA KUPA
KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p
Διαβάστε περισσότεραn n su realni brojevi, a n, koji mora biti cjelobrojna
Aproksmrnje podtk Aproksmrnje podtk krvuljom Aproksmrnje podtk krvuljom (engl. curve ttng), nzv se još regresjsk nlz (engl. regresson nlss), je postupk uklpnj unkcje u skup točk koje predstvljju određene
Διαβάστε περισσότεραТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote
Διαβάστε περισσότεραREDUKCIJA SISTEMA NA TAČKU KOORDINATNOG POČETKA Glavni vektor Glavni moment. = xi. F r. r = j. M i. M r
REUKCIJA ITEA NA TAČKU KOORINATNO POČETKA lvn vekto lvn moment O ) ( j ) ( j O k j k j j j j θ cos cosθ Pme. dt povoljn poston sstem sl speov (l.) sle su defnsne vektom: j k j k 4 j k j j j k k Pojekcje
Διαβάστε περισσότεραRijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5
Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz
Διαβάστε περισσότεραtransformacija j y i x x promatramo dva koordinatna sustava S i S sa zajedničkim ishodištem z z Homogene funkcije Ortogonalne transformacije
promatramo dva oordnatna sustava S S sa zaednčm shodštem z z y y x x blo o vetor možemo raspsat u baz, A = A x + Ay + Az = ( A ) + ( A ) + ( A ) (1) sto vred za ednčne vetore sustava S = ( ) + ( ) + (
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore
MEANIKA FLUIDA Isticnje krz velike tvre 1.zdtk. Krz veliki ptvr u bčn zidu rezervr blik rvnkrkg trugl snve i keficijent prtk µ, ističe vd. Odrediti prtk krz tvr k su pznte veličine 1 i (v.sl.). Eleentrni
Διαβάστε περισσότεραSLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F
SLIČNOST TROUGLOV Z dve figure F i F kžemo d su slične ( s koefiijentom sličnosti k ) ko postoji trnsformij sličnosti koj figuru F prevodi u figuru F. Činjeniu d su dve figure slične obeležvmo s F F. Sličnost
Διαβάστε περισσότεραMETODE OPTIMIZACIJE NELINEARNO PROGRAMIRANJE
MEODE OPIMIZACIJE NELINEARNO PROGRAMIRANJE Dr Dšć Dr Mloš Stć Grđevsk kultet Uverztet u Beogrdu 4. UVOD FORMULACIJA PROBLEMA Zdtk optmzcje je prolžeje promeljvh pr kojm clj krterjumsk ukcj uzm ekstremu
Διαβάστε περισσότεραDinamika krutog tijela. 14. dio
Dnaka kutog tjela 14. do 1 Pojov: 1. Vekto sle F (tanslacja). Moent sle (otacja) 3. Moent toost asa 4. Rad kutog tjela A 5. Knetka enegja E k 6. Moent kolna gbanja 7. u oenta kolne gbanja oenta sle M (
Διαβάστε περισσότεραGRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug
Διαβάστε περισσότεραPRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET
TEORJA ETONSKH KONSTRUKCJA 1 PRESEC SA PRSLNO - VELK EKSCENTRCTET ČSTO SAVJANJE - SLOODNO DENZONSANJE Poznato: Nepoznato: - statčk tcaj za pojedna opterećenja ( ) - sračnato - kvaltet materjala (, σ v
Διαβάστε περισσότερα0 = x 0 < x 1 <... < x n = 1, x k = k n, x = 1 0 n. f(x k ) x =
Chpter Odredjen ntegrl Problem Nek je zdn funkcje f : [,b] R, f(x). Kko odredt površnu omedjenu grfom funkcje f(x) x-os? Površn prvokutnk: S = b Površn trokut: S = 1 v Kko defnrt površnu lk čje su strnce
Διαβάστε περισσότεραRešenja A/2 kolokvijuma iz predmeta MERNI SISTEMI U TELEKOMUNIKACIJAMA 10. januar 2006.
šnj A/ kolokvijum iz prdmt MENI SISEMI U ELEKOMUNIKACIJAMA. jnur. Zdtk. D i prikznim urđjm mogl mriti mplitud čtvrtog hrmonik u mmorijki lok tr d ud upin ditrovn zin unkcij ( t) y co π Izlz iz urđj j td
Διαβάστε περισσότεραA MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1
A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte
Διαβάστε περισσότεραSINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA
SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusn terem glsi: Strnie trugl prprinlne su sinusim njim nsprmnih uglv. R sinβ sinγ Odns dužine strni i sinus nsprmng ugl trugl je knstnt i jednk je dužini
Διαβάστε περισσότεραFURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II
FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II deo Primer. Fukciju f ( = rzviti u Furijeov red segmetu [,] ztim izrčuti sumu red. ( Rešeje: Kko je f ( = = = f ( zkjučujemo d je fukcij pr. Koristimo formue: = f ( = + ( cos
Διαβάστε περισσότερα4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Διαβάστε περισσότεραP r s r r t. tr t. r P
P r s r r t tr t r P r t s rés t t rs s r s r r t é ér s r q s t r r r r t str t q q s r s P rs t s r st r q r P P r s r r t t s rés t t r t s rés t t é ér s r q s t r r r r t r st r q rs s r s r r t str
Διαβάστε περισσότερα4. Relacije. Teorijski uvod
VI, VII i VIII dvoqs veжbi Vldimir Blti 4. Relije Teorijski uvod Podsetimo se n neke od pojmov veznih z skupove, koji su nm potrebni z uvođeƭe pojm relije. Dekrtov proizvod skup iniemo n slede i nqin:
Διαβάστε περισσότεραRješenje: F u =221,9 N; A x = F u =221,9 N; A y =226,2 N.
Osnove strojrstv Prvilo izolcije i uvjeti rvnoteže Prijeri z sostlno rješvnje 1. Gred se, duljine uležišten je u točki i obješen je n svoje krju o horizontlno uže. Izrčunjte horizontlnu i vertiklnu koponentu
Διαβάστε περισσότεραVježba 1. Analiza i sinteza sistema regulacije brzine vrtnje istosmjernog motora
ortorjske vježe z predet ootk uprvljje prozvod sste Vjež Vjež Alz stez sste regulcje rze vrtje stosjerog otor Clj vježe: Stez regultor rze vrtje stosjerog otor pooću etod tehčkog setrčog optu Alzrt dčko
Διαβάστε περισσότεραss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s
P P P P ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s r t r 3 2 r r r 3 t r ér t r s s r t s r s r s ér t r r t t q s t s sã s s s ér t
Διαβάστε περισσότεραAritmetički i geometrijski niz
Zadac sa prethodh prjemh spta z matematke a Beogradskom uverztetu Artmetčk geometrjsk z. Artmetčk z. 00. FF Zbr prvh dvadeset člaova artmetčkog za čj je prv čla, a razlka A) 0 B) C) D) 880 E) 878. 000.
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi
MEHANKA FLUDA Pritisk tečnosti n rvne površi. zdtk. Tešk brn dimenzij:, b i α nprvljen je od beton gustine ρ b. Kosi zid brne smo s jedne strne kvsi vod, gustine ρ, do visine h. Odrediti ukupni obrtni
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραc = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]
Zdtk (Tihomir, tehničk škol) c = 8 i. Rješenje Prikži vektor c ko linernu kombinciju vektor i b ko je = i + 3 j, b = 4 i 3 j, Nek su i b vektori i α, β relni brojevi. Vektor c = α + β b nzivmo linernom
Διαβάστε περισσότεραAssessment of otoacoustic emission probe fit at the workfloor
Assessment of otoacoustic emission probe fit at the workfloor t s st tt r st s s r r t rs t2 t P t rs str t t r 1 t s ér r tr st tr r2 t r r t s t t t r t s r ss r rr t 2 s r r 1 s r r t s s s r t s t
Διαβάστε περισσότερα3525$&8158&1(',=$/,&(6$1$92-1,095(7(120
Srednja masinska skola OSOVE KOSTRUISAJA List1/8 355$&8158&1(',=$/,&(6$1$9-1,095(7(10 3ROD]QLSRGDFL maksimalno opterecenje Fa := 36000 visina dizanja h := 440 mm Rucna sila Fr := 350 1DYRMQRYUHWHQR optereceno
Διαβάστε περισσότεραPhysique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté
Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté Alexis Nuttin To cite this version: Alexis Nuttin. Physique des réacteurs
Διαβάστε περισσότεραMera, integral i izvod
Mer, integrl i izvod Drgn S. Dor dević 3.1.2014. 2 Sdržj Predgovor 5 1 Uvod 7 1.1 Osnovni pojmovi......................... 7 1.2 Topološki prostori......................... 8 1.3 Metrički prostori.........................
Διαβάστε περισσότεραDIPLOMSKI RAD. Nesvojstveni integral. Univerzitet u Kragujevcu Prirodno matematički fakultet. Kandidat: Marta Milošević 47/00
Univerzitet u Krgujevu Prirodno mtemtički fkultet IPLOMSKI RA Nesvojstveni integrl Mentor: r Mirjn Pvlović Kndidt: Mrt Milošević 47/ KRAGUJEVAC,. Sdržj. Nesvojstveni jednostruki integrl 3.. efiniij, primeri
Διαβάστε περισσότεραRadio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes.
Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes. Diego Torres Machado To cite this version: Diego Torres Machado. Radio
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραConsommation marchande et contraintes non monétaires au Canada ( )
Consommation marchande et contraintes non monétaires au Canada (1969-2008) Julien Boelaert, François Gardes To cite this version: Julien Boelaert, François Gardes. Consommation marchande et contraintes
Διαβάστε περισσότεραTROUGAO. - Stranice a,b,c ( po dogovoru stranice se obeležavaju nasuprot temenu, npr naspram temena A je stranica a, itd) 1, β
TRUG Mngug kji im ti stnie zve se tug. snvni elementi tugl su : - Temen,, - Stnie,, ( p dgvu stnie se eležvju nsupt temenu, np nspm temen je stni, itd) - Uglvi, unutšnji α, β, γ i spljšnji α, β, γ γ α
Διαβάστε περισσότεραm i N 1 F i = j i F ij + F x
N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,
Διαβάστε περισσότεραP P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ
P P Ó P r r t r r r s 1 r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s Pr s t P r s rr r t r s s s é 3 ñ í sé 3 ñ 3 é1 r P P Ó P str r r r t é t r r r s 1 t r P r s rr 1 1 s t r r ó s r s st rr t s r t s rr s r q s
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza
Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog
Διαβάστε περισσότεραOpćenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
Διαβάστε περισσότεραVers un assistant à la preuve en langue naturelle
Vers un assistant à la preuve en langue naturelle Thévenon Patrick To cite this version: Thévenon Patrick. Vers un assistant à la preuve en langue naturelle. Autre [cs.oh]. Université de Savoie, 2006.
Διαβάστε περισσότεραΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)
ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.
Διαβάστε περισσότεραIntegralni raqun. F (x) = f(x)
Mterijl pripremio Benjmin Linus U mterijlu su e definicije, teoreme, dokzi teorem (rđenih n predvƭu i primeri. Dodo sm i neke done primere d bih ilustrovo prikznu teoriju. Integrlni rqun Definicij. Nek
Διαβάστε περισσότερα8 Funkcije više promenljivih
8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen
Διαβάστε περισσότεραpismeni br.4 4.2: Izračunati yds, gdje je K luk parabole y 2 = 2 px od ishodišta to točke
Prakkm Maemaka III Prredo DJočć smen br : Raz Forero red nkc eroda dan ormom za < za < : Izračna ds gde e k araboe od shodša o očke M : Izračna koordnae ežsa homogenog ka ckode a sn a ; : Izračna I e [
Διαβάστε περισσότεραr r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t
r t t r t ts r3 s r r t r r t t r t P s r t r P s r s r P s r 1 s r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r 2s s r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r t r 3 s3 Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r r r rs
Διαβάστε περισσότεραIntegracija funkcija više promenljivih
Integrcij funkcij više promenljivih Drgn S. Djordjević Univerzitet u Nišu, Prirodno-mtemtički fkultet Niš, Srbij Februry 18, 216 ii Predgovor Predvnj su nmenjen studentim, koji polžu ispit iz predmet Mtemtičk
Διαβάστε περισσότεραr t t r t t à ré ér t é r t st é é t r s s2stè s t rs ts t s
r t r r é té tr q tr t q t t q t r t t rrêté stér ût Prés té r ré ér ès r é r r st P t ré r t érô t 2r ré ré s r t r tr q t s s r t t s t r tr q tr t q t t q t r t t r t t r t t à ré ér t é r t st é é
Διαβάστε περισσότεραSpecijalna vrsta nepravih integrala jesu oni koji sadrze potencije ili geometrijski red u podintegralnoj funkciji.
Mt Vijug: Rijsni zdci iz vis mtmti 9. NEPRAVI INTEGRALI 9. Opcnito o nprvim intgrlim Intgrl oli f d s nziv nprviln o: ) jdn ili oj grnic intgrcij nisu oncn vc soncn:, ) pod intgrln funcij f j prinut u
Διαβάστε περισσότεραJeux d inondation dans les graphes
Jeux d inondation dans les graphes Aurélie Lagoutte To cite this version: Aurélie Lagoutte. Jeux d inondation dans les graphes. 2010. HAL Id: hal-00509488 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00509488
Διαβάστε περισσότεραMOTOR JEDNOSMERNE STRUJE Poprečni presek jednosmernog motora:
MOTO JEDNOSMENE STUJE Poprečn presek jednosernog otor: S PP q os l poprečn os GP KN d os l uzdužn os e, PP GP KN Delov: S sttor; rotor; GP glvn polov; PP pooćn polov; KN kopenzcon notj. Slke otor jednoserne
Διαβάστε περισσότεραο ο 3 α. 3"* > ω > d καΐ 'Ενορία όλις ή Χώρί ^ 3 < KN < ^ < 13 > ο_ Μ ^~~ > > > > > Ο to X Η > ο_ ο Ο,2 Σχέδι Γλεγμα Ο Σ Ο Ζ < o w *< Χ χ Χ Χ < < < Ο
18 ρ * -sf. NO 1 D... 1: - ( ΰ ΐ - ι- *- 2 - UN _ ί=. r t ' \0 y «. _,2. "* co Ι». =; F S " 5 D 0 g H ', ( co* 5. «ΰ ' δ". o θ * * "ΰ 2 Ι o * "- 1 W co o -o1= to»g ι. *ΰ * Ε fc ΰ Ι.. L j to. Ι Q_ " 'T
Διαβάστε περισσότεραPopis zadataka. 1. Odredi Re
Pops zdtk. Odred Re. Odred, ko vrjed: (-) +(-b) = (-b). Zbroj znmenk dvoznmenkstog broj jednk je, umnožk. Koj je to broj?. U koordntnom sustvu prkž grf funkcje f() = -(+)(-). Izrčunj vrjednost ostlh funkcj
Διαβάστε περισσότερα4. VEKTORI POJAM VEKTORA
Geodets fultet d s J Ben-Bć Pedvn Mtemte 4 VEKTORI POJAM VEKTORA Svodnevno se susećemo s velčnm če e odeđvne poten smo edn o N pme udlenost povšn volumen Nh ovmo slnm velčnm Međutm postoe velčne oe ne
Διαβάστε περισσότεραModèles de représentation multi-résolution pour le rendu photo-réaliste de matériaux complexes
Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu photo-réaliste de matériaux complexes Jérôme Baril To cite this version: Jérôme Baril. Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραC 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,
1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =
Διαβάστε περισσότεραγ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000
Διαβάστε περισσότεραAx = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.
3 s st 3 r 3 t r 3 3 t s st t 3t s 3 3 r 3 3 st t t r 3 s t t r r r t st t rr 3t r t 3 3 rt3 3 t 3 3 r st 3 t 3 tr 3 r t3 t 3 s st t Ax = b. s t 3 t 3 3 r r t n r A tr 3 rr t 3 t n ts b 3 t t r r t x 3
Διαβάστε περισσότεραα =. n n n Vježba 001 Koliko stranica ima pravilni mnogokut ako jedan njegov unutarnji kut iznosi 144? Rezultat: n = 10.
Zdtk (Mrij, gimzij) Koliko stric im prvili mogokut ko jed jegov uutrji kut izosi 8? Rješeje Formul z veličiu jedog uutrjeg kut prvilog mogokut je: ( ) 8 α = ( ) 8 8 = / 8 = ( ) 8 8 = 8 6 8 8 = 6 7 = 6
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 4
Mtemtičk nliz 4 Drgn S. Dor dević 14.5.214. 2 Sdržj Predgovor 5 1 Integrcij 7 1.1 Žordnov mer u R n....................... 7 1.1.1 Mer prvougonik u R 2................ 7 1.1.2 Mer n-intervl u R n..................
Διαβάστε περισσότεραPRIJEMNI ISPIT MATEMATIKA
PRIJEMNI ISPIT MATEMATIKA Skupovi Brojevi Osnovni zkoni Opercije Rcionlizcij Proporcije Polinoi Množenje, deljenje, rstvljnje n činioce, njnji zjednički sdržilc, njveći zjednički delilc Ekvivlentne trnsforcije
Διαβάστε περισσότεραObrada signala
Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραA 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3
16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραZadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότερα1 Ekstremi funkcija više varijabli
1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,
Διαβάστε περισσότεραΤο άτομο του Υδρογόνου
Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες
Διαβάστε περισσότεραUNIVERSITE DE PERPIGNAN VIA DOMITIA
Délivré par UNIVERSITE DE PERPIGNAN VIA DOMITIA Préparée au sein de l école doctorale Energie et Environnement Et de l unité de recherche Procédés, Matériaux et Énergie Solaire (PROMES-CNRS, UPR 8521)
Διαβάστε περισσότεραrs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â
rs r r â t át r st tíst P Ó P ã t r r r â ã t r r P Ó P r sã rs r s t à r çã rs r st tíst r q s t r r t çã r r st tíst r t r ú r s r ú r â rs r r â t át r çã rs r st tíst 1 r r 1 ss rt q çã st tr sã
Διαβάστε περισσότεραMoguća i virtuelna pomjeranja
Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +
Διαβάστε περισσότεραForêts aléatoires : aspects théoriques, sélection de variables et applications
Forêts aléatoires : aspects théoriques, sélection de variables et applications Robin Genuer To cite this version: Robin Genuer. Forêts aléatoires : aspects théoriques, sélection de variables et applications.
Διαβάστε περισσότεραČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.
Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK
SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK. Rši sism jdnačina: d 7 d d d Ršnj: Ša j idja kod ovih zadaaka? Jdnu od jdnačina difrniramo, o js nađmo izvod l jdnačin i u zamnimo drugu jdnačinu.
Διαβάστε περισσότεραΠ Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α
Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότερα