4. VEKTORI POJAM VEKTORA

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "4. VEKTORI POJAM VEKTORA"

Ἐμμανουήλ Φλέσσας
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Geodets fultet d s J Ben-Bć Pedvn Mtemte 4 VEKTORI POJAM VEKTORA Svodnevno se susećemo s velčnm če e odeđvne poten smo edn o N pme udlenost povšn volumen Nh ovmo slnm velčnm Međutm postoe velčne oe ne možemo potpuno odedt oem već e poteno dt nhov sme N pme une stune vet Nh ovmo vetosm velčnm Veto o sup (ls) usmeenh dužn Ne su AB ončvmo s dve toče n pvu u vnn l u postou Dužnu s evm AB Dulnu dužne AB ončvmo s AB l d ( AB) Usmeen dužn AB e dužn ou se n početn toč A všn toč B Z dve usmeene dužne AB CD žemo d su evvlentne o posto tnsl o pvu pevod u dugu t o e četveout ABDC plelogm A B Defn Sup svh međusono evvlentnh usmeenh dužn nvmo vetoom Dle veto se može pedočt pomoću vše lčth usmeenh dužn epeentnt veto Često se veto upotelv nv: ls usmeenh dužn Zog ednostvnost ćemo lo ou usmeenu dužnu (epeentntu veto) nvt vetoom ončvt AB CD K l K Sup svh veto neog posto ončvt ćemo s V Z nše potee će V t ednodmenonln posto V (pv) dvodmenonln posto V (vnn) l todmenonln posto V Geomets veto e opsn (dn) s: pevem nosoem n oem se veto nl dulnom l modulom: AB d ( AB) oentom n pvu nosou Poned se govo o smeu veto Sme oednue noso oentu 6

2 Geodets fultet d s J Ben-Bć Pedvn Mtemte OPERACIJE S VEKTORIMA Ko pvo momo uvest (defnt) nee pomove: Nul veto - veto dulne - on: - ved: AA BB K - duln (modul) nul veto: Jednčn veto - veto dulne - dn veto dulne ednčn veto e defnn s - e veto o m st sme o duln mu e Rdveto (dus veto) Ao e T ne toč posto O shodšte oodntnog sustv veto OT nvmo dveto toče T Zpsuemo g T Z sv veto možemo t negovog pedstvn to d mu početn toč ude š toč O N t se nčn dov dveto nee (lo oe) toče Kolnen veto Veto o ppdu stom l plelnm pvm -veto su olnen: Komplnn veto Veto o ppdu sto l plelnm vnnm Poe veto Otogonln poe u vnn n pv p e fun o svo toč A vnne pdužue toču u oo oom n p o pol točom A seče pv p Otogonln poe u postou n pv p e fun o svo toč A posto pdužue toču u oo vnn o pol točom A oomt e n p seče pv p Zdt: Ntt slnu tm vetosu poeu veto n pv p 7

3 Geodets fultet d s J Ben-Bć Pedvn Mtemte I Zne veto Ne su lo v veto Zne veto e fun ( ): V V V ( ) pdužue veto t fun o pu veto ( ) Vetoe mo po pvlu tout l po pvlu plelogm: Svostv opee n: () ( ) ( ) () () ( ) ( ) (4) Odumne veto Odumne veto se defn o ope n : s supotnm vetoom: ( ) II Množene veto s slom (oem) Ne e veto λ eln o Množene veto s slom e fun () : R V V ( λ ) λ λ pdužue veto λ t fun o pu ( ) Z veto λ ved: λ su olnen (mu st l pleln nosč) λ λ λ > λ su sto oenttn λ < λ su supotno oentn Svostv opee množen s slom: (5) λ ( ) λ λ (6) ( λ µ ) λ µ (7) ( λµ ) λ( µ ) λµ (8) ( ) Sup V s opem n množen s slom te svostvm () (8) tvo stutuu ou nvmo vetos (lnen) posto ou psuemo (V ) 8

4 Geodets fultet d s J Ben-Bć Pedvn Mtemte B vetosog posto Pom e vetosog posto spd među nvžne pomove vetose lgee U smslu ošnvn uvođen pom e nvest ćemo potene defne teoeme od oh nećemo sve dovt Detlne o ovom poduču može se nć n pme u Eleovć [] Defn (lnen omn) Ne su Kn veto K n eln oev Veto n K n ovemo lnen omn veto Kn s oefentm K n Teoem Dv veto su olnen ond smo ond o posto o R tv d e Teoem T veto su omplnn ond smo ond o e sv od nh lnen omn ostlh dvu Defn (lnen (ne)vsnost) Veto Kn su lneno nevsn o nhov lnen omn sčev edno n tvln nčn t o K nn L n Veto Kn su lneno vsn o nhov lnen omn ne sčev n tvln nčn t K n ne sled L n n Teoem Veto Kn su lneno nevsn ond smo ond o se n edn od nh ne može pt o lnen omn ostlh veto odnosno on su lneno vsn ond smo ond o se dn od nh može pt o lnen omn ostlh veto Pme: Veto oe e lneno su nevsn Nme 6 6 Defn () B vetosog posto V e nveć o lneno nevsnh veto tog posto Ptne: Ko e nveć o lneno nevsnh veto posto V? Posto V ; Sv dv veto ednog pv su lneno vsn p lučuemo d se ssto od ednog ednog veto 9

5 Geodets fultet d s J Ben-Bć Pedvn Mtemte Posto V ; Sv t veto edne vnne su lneno vsn p lučuemo d se ssto od dv veto nlogno Posto V ; Sv čet veto posto su lneno vsn p lučuemo d se ssto od t veto Teoem P veto u e ednstven Do Ne e B { } todmenonlnog vetosog posto V ne e d α β γ (*) p veto d po B Petpostvmo d p ne ednstven To nč d osm p (*) posto oš em edn p veto d t postoe oev α β γ tv d e d α β γ (**) Odumnem (*) - (**) sled d d ( α α ) ( β β ) ( γ γ ) Buduć d su lneno nevsn (čne u) nhov lnen omn ščev n tvln nčn t ( α α ) ( β β ) ( γ γ ) α α β β γ γ III Sln podut veto (sln umnož) Ne su dn veto ϕ ( ) ut među vetom Sln podut (umnož) veto e fun () : V V R ( ) t fun o pu veto ( ) pdužue o (sl) osϕ R defnn s: Pomoću slnog podut čunv se poe veto n veto t osϕ fl sln poe veto n veto osϕ fl sln poe veto n veto

6 Geodets fultet d s J Ben-Bć Pedvn Mtemte fl vetos poe veto n veto fl vetos poe veto n veto ( ) ( ) Poslede slnog množen: () os () l e em edn edn () os ϕ ( ϕ π) Svostv slnog množen: () - potvnost () λ ( ) ( λ) ( λ ) - homogenost () - omuttvnost (4) ( ) - dstutuvnost Pme: Z vetoe o ved: 5 ( ) 45 Ne su e 4 f Ičunt e f e f ( ) ( ) 4 4 L 7 55 IV Vetos podut veto (vetos umnož) Ne su dn veto ϕ ( ) ut među vetom Vetos podut (umnož) veto e fun ( ): V V V ( ) pdužue veto t fun o pu veto ( ) Z veto ved: snϕ Geomets modul vetosog podut edn e povšn plelogm što g tvu veto To vdmo : snϕ v

7 Geodets fultet d s J Ben-Bć Pedvn Mtemte Veto e n veto n veto olnen olnen l e em edn od nh To veto ( ) čn desnu tou t gledno vh veto ot u supotn e gnu le n stu Svostv vetosog množen: () () λ ( ) ( λ) ( λ ) - homogenost () ( ) - ntomuttvnost (4) ( ) - dstutuvnost V Mešovt podut veto Ne su dn veto Mešovt podut (umnož) veto (): V V V R ( ) ( ) t fun o to veto ( ) pdužue o ( ) R On: ( ) ( ) e fun Svostv: () ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) Geomets ntepet mešovtog podut: Ne su - dn neomplnn veto α ( ) - ut među vetom ( ) Td e ( ) osα v osα v osα B B v ± t psolutn vednost mešovtog podut tu veto ( ) V edn e volumenu plelepped oeg tvoe t veto

8 Geodets fultet d s J Ben-Bć Pedvn Mtemte KOORDINATNI SUSTAV Kteev pvoutn oodntn sustv Kteev todmenonln pvoutn oodntn sustv čne međusono oomte os: O os pss O os odnt O os plt toč O shodšte oodntnog sustv ednčn veto odn n sledeć nčn: E ( ) dveto OE E ( ) dveto OE E dveto OE ( ) O Zpsuemo g: ( ; ) P veto u oodntnom sustvu ( O; ) Ne e T ( ) lo o toč Rdveto toče T: T OT gde e T ( ) sln poe veto OT n veto nlogno: T sln poe veto OT n veto sln poe veto OT n veto T vetos poe veto OT n veto vetos poe veto OT n veto vetos poe veto OT n veto Dle mmo pdužene: toč T ( veto oodnte toče T ) OT { } omponente veto OT p čemu su Modul (duln) veto OT : OT

9 Geodets fultet d s J Ben-Bć Pedvn Mtemte Pme: Odedt slne vetose omponente dveto T toče T ( 5 ) Ičunt modul veto T T ( 5 ) ö T 5 Slne omponente: 5 Vetose omponente: Modul veto T : Kosnus sme veto 5 5 T 5 Ne su α β γ utov što h veto tv s oodntnm osm Kosnus th utov čunu se pem fomulm: osα os β osγ nvu osnus sme veto Sled: poee veto n oodntne os: osα os β osγ omponente ednčnog veto veto : o { } { osα os β osγ } os α os β os γ o os α os β os γ Rčunne s vetom u oodntnom psu Ne su dn veto svom omponentm: { } { } Zne odumne ± ( )± ± ± ± ± ( ) ( ± ) ( ± ) ( ± ) { } 4

10 Geodets fultet d s J Ben-Bć Pedvn Mtemte Zdt (Veto dn dvem točm): Ne e dn veto svom omponentm : { } Ptmo o smo odedl o nmo d e A ( ) početn všn toč veto? B ( ) Rdveto toč A B: OA OB AB OB OA ( ) AB ( ) ( ) ( ) ( ) { } Pme: Odedt omponente modul veto dnog točm A ( 4) ( ) AB { 6} AB 44 ; BA { 6} B BA 44 Odedt početnu toču veto CD { 5 } o e všn toč ( ) CD OD OC OC OD CD { } { 5 } { 4} C( 4) Veto u m omponente (6-5 ) Odedt oodnte veto d o e d oolnen s supotno oentn o e d 75 d α( 6 5 ) 6α 5α α d α ( ) ( ) α d 5α 75 α α α d ( ) ( 6) Množene s slom λ λ λ λ λ ( ) { λ λ λ } λ{ } 5

11 Geodets fultet d s J Ben-Bć Pedvn Mtemte Sln podut veto Sln umnoš ednčnh veto : os os π Sled: ( ) ( ) K K Poslede: () () os ϕ π ϕ Pme: Ne su dn veto { } { } Odedt slnu vetosu poeu veto n veto { } { } Sln poe veto n : { } Vetos poe veto n : { } Vetos podut veto Vetos umnoš ednčnh veto : ( ) ; ( ) ; ( ) Sled: ( ) ( ) K K ( ) ( ) ( ) Duč nčn psvn (pomoću detemnnte tećeg ed): K K ( ) ( ) ( ) 6

12 Geodets fultet d s J Ben-Bć Pedvn Mtemte Mešovt podut Ne su dn veto svom omponentm: { } { } { } Mešovt podut veto e o K ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Duč nčn psvn (pomoću detemnnte tećeg ed): L Sd e lo povet vlnost sledećeg teoem: ( ) ( ) ( ) Teoem Veto su omplnn o smo o e spuneno ( ) Pme: Odedt volumen vsnu plelepped oeg pnu veto { } { 4 } ± V L V ( ) 4 ( ) L D l su veto { 4 5} { 6 8} { 4 4} v omplnn? ( ) { } 7

13 Geodets fultet d s J Ben-Bć Pedvn Mtemte Dugm ečm ptmo se d l e? 4 nsu Isptt d l su veto lneno nevsn D veto l lneno nevsn nhov lnen omn mo ščevt n tvln nčn Dle sptuemo d l α β γ α β γ α β γ ( ) α β ( ) ( ) γ ( α γ ) ( α β ) ( β γ ) α β α β γ 4 Ne su ( ) B( 5 6 ) C( α γ β γ A ) vhov tout Ičunt dulnu vsne spuštene vh B n stnu AC nčn: AC h AC AB h? AC { 4 } AB { 4 5 } AC AB AC AB h â 5 nčn: AB AC AB AC osα 45osα os α AB AC { 4 5 } { 4 } 4 4 8

14 Geodets fultet d s J Ben-Bć Pedvn Mtemte AD AC 4 AB AC 5 5 { 4 5 } 4 4 duln poee veto AB n AC h AB AD h 5 â 5 Ičunt povšnu plelogm če su dgonle e m n f m n gde e n m m n tvu ut od 6 su stne plelogm e f e f e f P ( e f ) ( e f ) ( f e) 4 P m n m n m m m n n m n P 5 ( ) ( ) n n m 5 n m sn 5 [ ( mn) ] 5 9

Σχετικά έγγραφα

VEKTORI (m h) brzina, akceleracija, sila, kutna brzina, električno polje, magnetsko polje

VEKTORI (m h) brzina, akceleracija, sila, kutna brzina, električno polje, magnetsko polje sklr VEKTORI (m h) velčn ko e potpuno određen relnm roem (sklrom) Prmer ms, energ, tempertur, rd, sng, oum tel vektor dužn kod koe e određeno ko e nen run točk početn, ko vršn nv se usmeren dužn l vektor