Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica."

Transcript

1 Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a n = d, ( n N) (1) adica daca fiecare termen al sirului (incepand cu al doilea) este egal cu precedentul plus unul si acelasi numar (ratia). Elementul a n se numeste termen general al progresiei sau termen de rang n. Exemplul 1. Sa se verifice daca sirurile ce urmeaza formeaza o progresie aritmetica a) a n = n 1, b) 3, 6, 9,..., 3k,... c) a n = 1 n. Rezolvare. a) Cum diferenta a n+1 a n reprezinta un numar constant a n+1 a n = (n + 1) 1 (n 1) = pentru orice n N, rezulta ca sirul dat de termenul general a n = n 1 reprezinta o progresie aritmetica cu ratia, si anume 1, 3, 5,..., n 1,... b) Similar exemplului a) se obtine a n+1 a n = 3(n + 1) 3n = 3, ( n N) si prin urmare sirul dat formeaza o progresie aritmetica cu ratia 3. c) Se scriu primii trei termeni ai sirului a 1 = 1, a = 1, a 3 = 1 3 si se observa ca a a 1 = 1 a 3 a = 1, adica sirul dat nu formeaza o progresie aritmetica. 6 Altfel, se considera diferenta a n+1 a n = 1 n n = 1 si se observa ca ea depinde (n + 1)n de n (nu este un numar constant) si prin urmare sirul dat nu este o progresie aritmetica. Proprietati ale progresiei aritmetice Demonstratiile proprietatilor ce urmeaza, pot fi gasite, de exemplu, in [1]. P1. Termenul general al progresiei aritmetice se poate determina prin formula unde a 1 - primul termen al progresiei, d - ratia ei. a n = a 1 + (n 1)d, () 1

2 P. (Proprietatea caracteristica a progresiei aritmetice). Termenul de rang n este media aritmetica a termenilor echidistanti de el: a n k + a n+k = a n, k = 1, n 1 (3) Nota. Din propretatea P rezulta ca conditia necesara si suficienta ca a) trei numere a, b, c (in ordinea data) sa formeze o progresie aritmetica este b = a + b, () b) trei numere a, b, c (fara precizarea consecutivitatii) sa formeze o progresie aritmetica este (b a c)(c a b)(a b c) =. (5) P3. Daca a 1, a,..., a n,... este o progresie aritmetica si k + n = m + p (k, n, m, p N), atunci a k + a n = a m + a p. (6) P. Formula sumei S n primilor n termeni ai progresiei aritmetice: sau tinand seama de () S n = a 1 + a n n, (7) S n = a 1 + (n 1)d n. (8) Definitia. Progresia aritmetica este un sir crescator (descrescator), daca si numai daca ratia ei este un numar pozitiv (negativ). Daca ratia progresiei este zero avem un sir constant. In continuare sa anlizam cateva exemple. Exemplul. Sa se determine progresia aritmetica, daca a 3 = si a 5 =. Rezolvare. Se aplica formula teremenul general al progresiei aritmetice si se obtine sistemul { a3 = a 1 + d, a 5 = a 1 + d, sau, tinand seama de conditiile problemei obtinem { a1 + d =, a 1 + d =, de unde se obtine primul termen al progresiei a 1 = 6 si ratia progresiei d =. Exemplul 3. Sa se determine numarul x, astfel ca numerele a x, x, b (a, b fiind date), luate in aceasta ordine sa formeze o progresie aritmetica. Rezolvare. Se utilizeaza proprietatea caracteristica a progresiei aritmetice si se obtine ecuatia liniara x = a x + b,

3 cu solutia x = a + b 3. Exemplul. Sa se determine progresia aritmetica, suma primilor n termeni ai careia se exprima prin formula S n = 3n + 6n (n 1). Rezolvare. Cum suma primilor (n 1) termeni este si cum S n S n 1 = a n, rezulta S n 1 = 3(n 1) + 6(n 1) = 3n 3, (n ) a n = 3n + 6n 3n + 3 = 6n + 3. Substituind in formula termenului general, consecutiv n = 1,, 3,... se obtine a 1 = 9, a = 15, a 3 = 1,... Exemplul 5. Sa se determine suma primilor nouasprezece termeni ai progresiei aritmetice a 1, a, a 3,..., daca a + a 8 + a 1 + a 16 =. Rezolvare. Se observa ca +16 = 8+1 si, prin urmare, (a se vedea (6)) a +a 16 = a 8 +a 1. Se tine seama ca suma acestor termeni este, si se obtine a + a 16 = 11. Cum (a se vedea (7)) S 19 = a 1 + a si a 1 + a 19 = a + a 16 = 11 (1+19=+16), rezulta S 19 = = 15. Exemplul 6. Pentru ce valori ale parametrului a exista asa valori ale variabilei x astfel incat numerele 5 1+x x a,, 5x + 5 x sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. Rezolvare. Conform proprietatii caracteristice a progresiei aritmetice, se obtine ecuatia a = 5 1+x x + 5 x + 5 x. Se observa ca pentru a ecuatia nu are solutii (membrul din dreapta, ca suma de termeni pozitivi, este un numar pozitiv). Cum a x+y = a x a y, a x = 1 a x (a >, a 1), ecuatia se scrie 5 x + 1 ( x + 1 ) = a. x 5 x 3

4 Se noteaza 5 x + 1 = t, t (suma a doua marimi pozitive inverse), atunci 5x si ecuatia devine 5 x x = ( 5 x x ) = t, t + 5t (a + ) =. Cel putin o radacina a acestei ecuatii urmeaza a fi mai mare ca doi (ecuatia data are doua radacini reale distincte, deoarece pentru a >, (a + ) < si coeficientul de pe langa t, 1 > ), pentru ce este suficient ca sa se verifice sistemul b a <, f(), sau 5 <, + 1 (a + ), de unde a 1. Exemplul 7. Sa se determine suma tuturor numerelor pare de trei cifre, divizibile la 3. Rezolvare. Primul numar par de trei cifre, divizibil la 3 este 1. Cum numarul par, divizibil la 3 se divide si la 6, se obtine progresia 1, 18, 11,..., 996, cu a 1 = 1, d = 6 si ultimul termen a x = 996 (x N). Se tine seama ca a x = a 1 + (x 1)d sau 1 + (x 1) 6 = 996, de unde, numarul tuturor numerelor pare de trei cifre divizibile prin trei, x = 15. Astfel, utilizand formula (7) se obtine S 15 = = 785. Exemplul 8. Fie S n, S m si S p suma primilor n, respectiv m si p, termeni ai progresiei aritmetice a 1, a, a 3,.... Sa se arate ca S n n (m p) + S m m (p n) + S p (n m) =. (9) p Rezolvare. Se tine seama de formula (8) si egalitatea (9) devine a 1 + (n 1)d (m p) + a 1 + (m 1)d (p n) + a 1 + (p 1)d (n m) =

5 sau a 1 [m p + p n + n m] + [(n 1)(m p) + (m 1)(p n) + (p 1)(n m)]d =. Cum (n 1)(m p)+(m 1)(p n)+(p 1)(n m) = nm np m+p+mp mn p+n+pn pm n+m = se obtine si prin urmare, egalitatea este demonstrata. a 1 + d =, adica =, Exemplul 9. Sa se determine numerele, ce sunt termeni comuni ai progresiilor aritmetice, 5, 8,..., 33 si 7, 1, 17,..., 157. Rezolvare. Fie b este termenul de rang n in prima progresie si, prin urmare, b = +(n 1) 3 si in acelasi timp, este termenul de rang m in a doua progresie, adica b = 7+(m 1) 5. Asadar se obtine ecuatia + (n 1) 3 = 7 + (m 1) 5, sau 3(n 1) = 5m de unde, tinand seama ca m, n sunt numere naturale, se obtine n = 5k + 1 si m = 3k, k N, adica termenii a 6, a 11, a 16,..., a 5k+1 din prima progresie coincid cu termenii c 3, c 6, c 9,..., c 3k, din a doua progresie. Asadar, termenii comuni sunt: 17, 3, 7, 6, 77, 9, 17, 1, 137 si 15. Exemplul 1. Suma a trei numere pozitive α, β si γ este egala cu π. Sa se determine produsul ctg α ctg γ daca ctg α, ctg β, ctg γ formeaza o progresie aritmetica. Rezolvare. Se tine seama de proprietatea caracteristica a progresiei aritmetice si se obtine relatia ctg β = ctg α + ctg γ. Cum α+β+γ = π implica β = π (α+γ), se utilizeaza formula de reducere ctg ( π x ) = tg x si se obtine tg(α + β) = ctg α + ctg β sau, folosind formulea tangentei sumei a doua unghiuri de unde, tg α + tg γ 1 tg α tg γ = 1 tg α + 1 tg γ tg α + tg γ 1 tg α tg γ = tg γ + tg α tg α tg γ sau, tinand seama ca α, β si γ sunt numere pozitive si suma lor este π (tg α tg γ 1, tg α, tg γ ) se obtine tg α tg γ = 1 tg α tg γ 5

6 de unde rezulta tg α tg γ = 1 si, prin urmare, ctg α ctg γ = 3. 3 Exemplul 11. Fie ecuatia patrata x + px + q = cu radacinile reale x 1 si x. Sa se determine p si q astfel incat q, x 1, p, x (in ordinea indicata) sa formeze o progresie aritmetica crescatoare. Rezolvare. Se utilizeaza proprietatea caracteristica a progresiei aritmetice, teorema lui Viete si se obtine sistemul x 1 = q + p, p = x 1 + x, x 1 + x = p, x 1 x = q, cu solutiile q =, x 1 =, p =, x =, si q =, x 1 =, p =, x = Cum progresia urmeaza a fi crescatoare, ramane q =, x 1 =, p =, x = si prin urmare ecuatia patrata ce verifica conditiile problemei date este x = cu p = si q =. Exemplul 1. Sa se determine primii trei termeni ai unei progresii aritmetice, descrescatoare, daca a 1 + a 3 + a 5 = si a 1 a 3 a 5 = 6. Rezolvare. Se utilizeaza proprietatea P3 si se determina a 3 = 8, dupa ce se obtine sistemul { a1 + a 5 = 16, a 1 a 5 = 8, cu solutiile a 1 =, a 5 = si a 1 =, a 5 =. Cum progresia este descrescatoare (d < ) ramane a 1 = si a 5 =. Se utilizeaza P3 si se obtine a = a 1 + a 3 = + ( 8) =. Asadar primii trei termeni ai progresiei sunt, si 8. Progresia geometrica Definitia 3. Sirul numeric (b n ) n N se numeste progresie geometrica, daca exista asa un numar q, numit ratia progresiei, astfel incat b n+1 = b n q, ( n N) (1) adica daca fiecare termen al sirului (incepand cu al doilea) este egal cu produsul dintre termenul precedent si unul si acelasi numar (ratia). Elementul b n se numeste termen general al progresiei de rang n. 6

7 Urmatoarele siruri reprezinta progresii geometrice:,, 8,..., n,... cu b 1 = si q =, 3; 1; 1 3 ; 1 3,... cu b 1 = 3 si q = 1 3, a, a, a,... cu b 1 = a si q = 1, a,,,... cu b 1 = a si q = Tinem sa mentionam, ca daca unul din termenii progresiei geometrice este egal cu zero, atunci sau b 1 = sau q =. Proprietatile progresiei geometrice P5. Termenul de rang n al progresiei geometrice se determine prin formula b n = b 1 q n 1, ( n N). (11) P6. (Proprietatea caracteristica a unei progresii geometrice). Patratul termenului de rang n este egal cu produsul termenilor echidistanti de el: b n = b n k b n+k, (n, k = 1,,..., n 1) (1) in caz particular, pentru orice trei termeni consecutivi Nota. Formulele (1), (13) se pot scrie si astfel b n = b n 1 b n+1. (13) b n = b n = b n k b n+k, (1) b n 1 b n+1, (15) adica modulul termenului de rang n este media geometrica a termenilor echidistanti de el. In cazul progresiei cu termeni pozitivi insasi termenul de rang n este media geometrica a termenilor echidistanti de el b n = b n k b n+k (b i >, i = 1,,...). (16) P7. Daca k + n = m + p (k, n, m, p N), atunci b k b n = b m b p, (17) unde b k, b n, b m, b p - termeni ai progresiei geometrice b 1, b,.... P8. Trei numere a, b, c formeaza o progresie geometrica (fara a preciza consecutivitatea lor) daca si numai daca verifica relatia: (a bc)(b ac)(c ab) =, (18) 7

8 iar numerele a, b, c formeaza o progresie geometrica (in ordinea indicata) daca si numai daca b = ac. P9. Suma primilor n termeni S n ai unei progresii geometrice se determina prin formula S n = b 1 b n q, (q 1) (19) 1 q unde b 1 - primul termen, q - ratia, si b n - termenul general al progresiei geometrice. In caz q = 1 suma primilor n termeni se determina prin formula S n = b 1 n. () P1. Suma S a tuturor termenilor ai progresiei geometrice infinit descrescatoare ( q < 1) se determina prin formula In continuare sa analizam cateva exemple. S = b 1 1 q. (1) Exemplul 13. Produsul primilor trei termeni ai unei progresii geometrice este egal cu 178, iar suma lor este egala cu 63. Sa se determine primul termen si ratia progresiei. Rezolvare. Fie primii termeni ai progresiei b 1, b si b 3. Atunci din conditia b 1 b b 3 = 178 rezulta (a se vedea (1)) b 3 = 178 si b = 1. Astfel se obtine sistemul: { b1 b 3 = 1, b 1 + b 3 = 51, solutiile caruia sunt si solutiile (a se vedea teorema reciproca a lui Viete) ecuatiei patrate z 51z + 1 =. Se rezolva ecuatia si se obtine z 1 = 3 si z = 8, adica b 1 = 3, b 3 = 8 sau b 1 = 8, b 3 = 3. Cum b 1 = 3, b = 1 sau b 1 = 8 si b = 1 se obtine q = sau q = 1. Asadar solutiile problemei sunt b 1 = 3 si q = sau b 1 = 8 si q = 1. Exemplul 1. Intr-o progresie geometrica cu termeni pozitivi termenul de rangul (m + n) este egal cu p, iar termenul de rangul (m n) (m > n) este s. Sa se determine termenul de rang m si termenul de rang n. Rezolvare. Cum (a se vedea (11)) b m n b m+n = b m rezulta b m = ps si cum b m >, se obtine b m = ps. 8

9 Conform conditiilor problemei si formulei (1) avem { b1 q m+n 1 = p, b 1 q m n 1 = s, de unde q n = p s si prin urmare q = n p s. Cum b 1 q m+n 1 = b 1 q n 1 q m = b n q m = p, rezulta b n = p q m = ) p m ( ) p m = p ( s n. p n s Exemplul 15. Sa se calculeze suma Rezolvare. Avem S n = } 777 {{... 77}. n cifre S n = 7( } 111 {{... 11} ), n cifre 9S n = 7( } 999 {{... 99} ) n cifre sau 9 7 S n = (1 1) + (1 1) + (1 3 1) (1 n 1) de unde 9 7 S n = ( n ) n. Cum in paranteze se afla suma primilor n termeni ai progresiei geometrice cu primul termen b 1 = 1 si ratia q = 1 se utilizeaza formula (19) si se obtine 9 7 S n = 1 1n de unde S n = 7 ( 1 1 n+1 ) + 9n = 7 ( 1 n+1 ) 9(n + 1) 1 = 7 ( 1 n+1 ) 1 (n + 1) n Exemplul 16. Sa se arate ca numerele 9, 1, 11 nu pot fi termeni ai unei progresii geometrice. 9

10 Rezolvare. Fie ca numerele date sunt termeni ai progresiei geometrice cu primul termen b 1 si ratia q. Atunci 9 = b 1 q k 1, 1 = b 1 q n 1 si 11 = b 1 q m 1, de unde rezulta ( 9 = q 1) k n, ( ) 11 = q m k sau 1 ( 9 1 ) m n = q (k n)(m n), ( ) 11 k n = q (m n)(k n). 1 Asadar ( ) 9 (m n) ( ) 11 (k n) = 1 1 de unde 9 m n 11 = k n 1m k. Cum m, n, k sunt numere naturale diferite, aceasta egalitate nu are loc si, prin urmare, numerele 9, 1, si 11 nu pot fi termeni ai unei progresii geometrice. Exemplul 17. Numerele a, b, c, d formeaza o progresie geometrica. Sa se arate ca (a c) + (b c) + (b d) = (a d). Rezolvare. Se dezvolta membrul din stanga egalitatii A = a ac + c + b bc + c + b bd + d. Se tine seama ca b = ac, c = bd si bc = ad (a se vedea (1) si (17)), si se obtine A = a b + c + b bc + c + b c + d = a bc + d = a ad + d = (a d). Exemplul 18. Suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescatoare este egal cu, iar suma cuburilor termenilor ei este egala cu 19. Sa se determine termenul de rang 5. Rezolvare. Fie b 1 si q - primul termen si ratia progresiei geometrice date. Atunci q < 1 si S = b 1 1 q =. Se observa ca cuburile termenilor progresiei initiale la fel formeaza o progresie geometrica infinit descrescatoare cu primul termen b 3 1 si ratia q 3. In adevar, cum b n+1 = q, n N, b ( ) n 3 rezulta b3 n+1 bn+1 = = q 3, n N. Astfel se obtine sistemul b 3 n b n b 1 1 q =, Se determina b 1 din prima ecuatie: b q 3 = 19. b 1 = (1 q) si se substituie in a doua: 6(1 q) 3 (1 q)(1 + q + q ) = 19 1

11 de unde ( q < 1) rezulta ecuatia (1 q) = 3(1 + q + q ) sau q + 5q + = cu solutiile q 1 = si q = 1. Cum q < 1 ramane q = 1 si prin urmare b 1 = 6. Se utilizeaza formula termenului de rang n si se obtine b 5 = b 1 q = 6 ( 1 ) = 3 8. Exemplul 19. Sa se rezolve ecuatia: 1 + tg x + tg x tg n x tg x + tg x... + ( 1) n tg x +... = 1 + sin x, tg x < 1. Rezolvare. Se observa ca in numaratorul membrului din stanga se afla suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescatoare cu primul termen b 1 = 1 si ratia q 1 = tg x, iar in numitorul membrului din stanga - suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescatoare cu primul termen 1 si ratia ( tg x). Cum tg x < 1 ecuatia se scrie 1 1 tg x tg x = 1 + sin x sau tg x + 1 = 1 + sin x. 1 tg x Cum tg x tg x = tg x + tg π ( 1 tg x tg π = tg x + π ) = sin(x + π) cos(x + π), iar 1 + sin x = (sin x + cos x) = ( ( sin x cos π + cos x sin π )) ( = sin x + π ), ecuatia devine sin(x + π ) cos(x + π ) = sin (x + π ) de unde rezulta totalitatea ( sin x + π ) =, ( sin x + π ) ( cos x + π ) = 1, 11

12 sau x + π = πk, k Z, ( sin x + π ) = 1, sau x = πk π, k Z, x = πn, n Z. Cum tg x < 1, ramane x = πn, n Z. Probleme combinate Exemplul. Sa se determine numerele a, b si c daca se stie ca a, b, c sunt trei termeni consecutivi ai unei progresii geometrice; a, b +, c formeaza o progresie aritmetica, iar a, b +, c + 9 formeaza o progresie geometrica. Rezolvare. Se utilizeaza proprietatile caracteristice ale progresiilor geometrice si aritmetice si se obtine sistemul b = ac, (b + ) = a + c, (b + c) = a(c + 9), cu solutiile a =, b = 8, c = 16 sau a = 5, b = 16 5 si c = 6 5. Exemplul 1. Sa se arate, ca daca numerele pozitive a, b, c sunt respectiv termenii de rang m, n, p atat a unei progresii aritmetice cat si geometrice, atunci a b c b c a c a b = 1. Rezolvare. Conform conditiilor a = a 1 + (m 1)d, b = a 1 + (n 1)d, c = a 1 + (p 1)d, () unde a 1 si d desemneaza primul termen si ratia progresiei aritmetice. Din egalitatile () rezulta In acelasi timp b c = (n p)d, c a = (p m)d si a b = (m n)d. (3) a = b 1 q m 1, b = b 1 q n 1, c = b 1 q p 1, () unde b 1 si q sunt primul termen si ratia progresiei geometrice. Se tine seama de egalitatile (3) si () si se obtine a b c b c a c a b = a (n p)d b (p m)d c (m n)d = = (b 1 q m 1 ) (n p)d (b 1 q n 1 ) (p m)d (b 1 q p 1 ) (m n)d = = b d[(n p)+(p m)+(m n)] 1 q d[(m 1)(n p)+(n 1)(p m)+(p 1)(m n)] = = b 1 q = 1. 1

13 Exemplul. Sa se determine triunghiurile, lungimile laturilor carora formeaza o progresie geometrica, iar marimile unghiurilor - o progresiei aritmetica. Rezolvare. Fie α, β, γ - unghiurile interioare ale unui triunghi, opuse laturilor a, b si c. Cum α + β + γ = 18 si α = β d, γ = β + d unde d - ratia progresiei aritmetice, se obtine de unde β = 6. Conform teoremei cosinusurilor Cum b = ac, si cos β = 1, rezulta β d + β + β + d = 18 b = a + c ac cos β. ac = a + c ac de unde a ac + c = sau (a c) = si a = c. Astfel se obtine un triughi isoscel (a = c) cu unghiul cuprins intre aceste laturi egal cu 6, adica un triuhgi echilateral. Exemplul 3. Sirul de numere pozitive a 1, a,..., a n,... formeaza o progresie aritmetica, iar sirul b 1, b,..., b n,... - o progresie geometrica. Sa se arate ca pentru orice n natural, n > a n < b n, daca a 1 a, a 1 = b 1 si a = b. Rezolvare. Fie d - ratia progresiei aritmetice si q - ratia progresiei geometrice. Cum a 1 = b 1 si a = b se obtine a 1 + d = a 1 q, de unde q = a 1 + d a 1 = 1 + d a 1 > 1 si d = a 1 (q 1) >. Asadar, a n = a 1 + (n 1)d = a 1 + (n 1)a 1 (q 1) = a 1 (1 + (n 1)(q 1)) b n = b 1 q n 1 = a 1 q n 1 si urmeaza sa demonstram inegalitatea sau, cum a 1 >, a 1 (1 + (n 1)(q 1)) < a 1 q n (n 1)(q 1) < q n 1. Ultima inegalitate rezulta nemijlocit din inegalitatea lui Bernoulli (a se vedea tema Principiul Inductiei Matematice sau Inegalitati ). 13

14 Altfel, se considera diferenta 1+(n 1)(q 1) q n 1 = (1 q) [ 1 q n 1 1 q (n 1) ] = (1 q)(1+q +q +...+q n (n 1)) (s-a tinut seama ca 1 qn 1 reprezinta suma primilor n termeni ai progresiei geometrice 1 q cu b 1 = 1 si q = q). Cum q > 1 si, prin urmare q k > 1, k N, se obtine 1 + q + q q n (n 1) > iar produsul (1 q)(1+q+q +...+q n (n 1)) <. Prin urmare si 1+(n 1)(q 1) q n 1 <, adica a n < b n, n >. Exemplul. Sa se determine progresiile ce sunt concomitent si aritmetice si geometrice. Rezolvare. Fie a 1, a,..., a n,... progresiile aritmetica si geometrica. Atunci a k+ = a k+1 + a k+3, si a 1 q k+1 = a 1 q k + a 1 q k+ sau a 1 q k a 1 q k+1 + a 1 q k+ =, de unde se obtine a 1 q k (1 q + q ) =, a 1 q k (1 q) =. Asadar, daca a 1 q rezulta q = 1, adica progresia reprezinta un sir constant a 1, a 1,..., a 1,... (d =, q = 1). Daca a =, se obtine sirul constant,,...,,... (d =, q R), iar daca q =, a solutii nu sunt. Probleme recapitulative 1. Fie a 1, a,..., a n,... - o progresie aritmetica cu termeni pozitivi. Sa se arate ca 1 a a a a 3 an + an+1 a 1 =. a n+1 d. Sa se arate ca = a 1 a a a 3 a n a n+1 n a 1 a n+1 unde a 1, a,..., a n+1,... sunt termeni nenuli ai unei progresii aritmetice. 3. Sa se determine numerele de trei cifre, divizibile prin 5, cifrele carora formeaza o progresie aritmetica.. Sa se rezolve ecuatiile x = Sa se determine suma tuturor numerelor pare de doua cifre. 1

15 6. Sa se afle a 1 + a 6 + a 11 + a 16 daca a 1, a,..., a n,... o progresie aritmetica si a 1 + a + a a 16 = Sa se determine valorile lui x pentru care numerele lg, lg( x 1), lg( x +3) sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice. 8. Sa se arate ca numerele, 3, 5 nu pot fi termeni ai unei progresii aritmetice. 9. Fie S n, S n, S 3n respectiv sumele primilor n, n, 3n termeni ai aceleiasi progresii geometrice. Sa se arate ca este justa relatia S n (S 3n S n ) = (S n S n ). 1. Sa se determine patru numere in progresie aritmetica stiind ca suma lor este 8, iar raportul dintre produsul termenilor extremi si produsul la ceilalti doi termeni este Sa se determine o progresie geometrica, continand sapte termeni, daca suma primilor trei termeni este egala cu 6, iar suma ultimilor trei este egala cu Sa se arate ca numerele α = n a x y, β = n a z y, γ = n a z x formeaza o progresie geometrica. 13. Sa se determine trei numere, ce formeaza o progresie geometrica, daca suma lor este egala cu 6, iar suma patratelor acestor numere este egala cu Numerele a 1, a, a 3 formeaza o progresie aritmetica, iar patratele lor o progresie geometrica. Sa se determine aceste numere, daca suma lor este egala cu Sa se determine progresia aritmetica, daca suma primilor ei zece termeni este egala cu 3, iar primul termen, termenul de rang doi si termenul de rang cinci formeaza o progresie geometrica. Referinte 1. P.Cojuhari si altii. Progresii aritmetice si geometrice. Mica biblioteca a elevului. Seria Matematica, informatica. Chisinau, Editura ASRM,

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte

Διαβάστε περισσότερα

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M CLASA A XI-A Filiera teoretic`, profilul real, specializarea ]tiin\ele naturii (TC + CD) Filiera tehnologic`, toate calific`rile

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I.

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I. ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru exmenul licenţă, mnul vlbil începând cu sesiune iulie 23 Specilizre Mtemtică informtică coordontor: Dorel I. Duc Cuprins Cpitolul. Serii de numere rele. Noţiuni generle 2. Serii

Διαβάστε περισσότερα

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE 1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR MARCARE DIRECTĂ PRIN

Διαβάστε περισσότερα

Tema: şiruri de funcţii

Tema: şiruri de funcţii Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..

Διαβάστε περισσότερα

2 Variabile aleatoare

2 Variabile aleatoare Variabile aleatoare În practică, variabilele aleatoare apar ca funcţii ce depind de rezultatul efectuării unui anumit experiment. Spre exemplu, la aruncarea a două zaruri, suma numerelor obţinute este

Διαβάστε περισσότερα

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Obiectivele lucrarii analiza spectrului in vizibil emis de atomii de hidrogen si determinarea lungimii de unda a liniilor serie Balmer; determinarea constantei

Διαβάστε περισσότερα

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: (

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: ( Exemple e probleme rezolvate pentru curs 0 DEEA Recapitulare formule e calcul puteri ale numărului 0 n m n+ m 0 = 0 n n m =0 m 0 0 n m n m ( ) n = 0 =0 0 0 n Problema. Să se calculeze: a. 0 9 0 b. ( 0

Διαβάστε περισσότερα

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICA ATOMICA SI FIZICA NUCLEARA BN-03A DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG. Scopul lucrării Determinarea

Διαβάστε περισσότερα

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală Laborator 3 Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală 3.1 Tema Înţelegerea conceptului de funcţie de matrice şi însuşirea principalelor metode şi algoritmi de calcul al funcţilor de matrice.

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE . ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este

Διαβάστε περισσότερα

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predare-învăţare-evaluare pentru

Διαβάστε περισσότερα

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016 APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR Călinici Tudor 2016 OBIECTIVE EDUCAŢIONALE Prezentarea conceptelor fundamentale ale teoriei calculului probabilitaţilor Evenimente independente Probabilități

Διαβάστε περισσότερα

Tehnici de Optimizare

Tehnici de Optimizare Tehnici de Optimizare Cristian OARA Facultatea de Automatica si Calculatoare Universitatea Politehnica Bucuresti Fax: + 40 1 3234 234 Email: oara@riccati.pub.ro URL: http://riccati.pub.ro Tehnici de Optimizare

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - notiţe de curs

Statisticǎ - notiţe de curs Statisticǎ - notiţe de curs Ştefan Balint, Loredana Tǎnasie Cuprins 1 Ce este statistica? 3 2 Noţiuni de bazǎ 5 3 Colectarea datelor 7 4 Determinarea frecvenţei şi gruparea datelor 11 5 Prezentarea datelor

Διαβάστε περισσότερα

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element.

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element. 1.Multimi Definitie Multimea este o colectie de obiecte/simboluri. Fiecare obiect dintr-o multime este un element al multimii si este scris/specificat o singura data. Mutimile se noteaza, de obicei cu

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n. Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu

Διαβάστε περισσότερα

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare..

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare.. I. Modelarea funcţionării diodei semiconductoare prin modele liniare pe porţiuni În modelul liniar al diodei semiconductoare, se ţine cont de comportamentul acesteia atât în regiunea de conducţie inversă,

Διαβάστε περισσότερα

Circuite cu diode în conducţie permanentă

Circuite cu diode în conducţie permanentă Circuite cu diode în conducţie permanentă Curentul prin diodă şi tensiunea pe diodă sunt legate prin ecuaţia de funcţionare a diodei o cădere de tensiune pe diodă determină valoarea curentului prin ea

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU

AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU Cuprins CAPITOLUL 4 AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU...38 4. Introducere...38 4.2 Modelul la foarte joasă frecvenţă al amplficatorului operaţional...38 4.3 Amplificatorul neinversor.

Διαβάστε περισσότερα

1. Elemente de bază ale conducţiei termice

1. Elemente de bază ale conducţiei termice 1. 1.1 Ecuaţiile diferenţiale ale conducţiei termice Calculul proceselor de schimb de căldură necesită cunoaşterea distribuţiei temperaturii în spaţiu şi timp. Distribuţia temperaturii se obţine prin rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

11.2 CIRCUITE PENTRU FORMAREA IMPULSURILOR Metoda formării impulsurilor se bazează pe obţinerea unei succesiuni periodice de impulsuri, plecând de la semnale periodice de altă formă, de obicei sinusoidale.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ. 2. Τακτικά αριθμητικά

ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ. 2. Τακτικά αριθμητικά ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ Σύμφωνα με τη Γραμματική της Ρουμανικής Γλώσσας, τα αριθμητικά διακρίνονται σε: 1. Απόλυτα αριθμητικά α. Απλά: unu, doi, trei... (ένα, δύο, τρία) κ.λπ. β. Σύνθετα: doisprezece, treizeci...

Διαβάστε περισσότερα

5)Sa se afiseze suma cifrelor unui numar n )Sa se afle daca un numar este perfect )Sa se afle cifra maxima a unui numar (cea mai mare

5)Sa se afiseze suma cifrelor unui numar n )Sa se afle daca un numar este perfect )Sa se afle cifra maxima a unui numar (cea mai mare Cuprins ALGORITMI. NOTIUNI GENERALE... 4 Etapele rezolvarii unei probleme:... 5 SCHEMA LOGICA... 8 Descrierea algoritmilor cu ajutorul schemelor logice... 9 1. De start şi de stop... 9 2. De citire şi

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB MATEMATICI SPECIALE Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB Mai există erori care vor fi corectate în versiunea finală) Capitolul Introducere

Διαβάστε περισσότερα

2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI

2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI 2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI 2.1. Consideraţii generale Utilizarea automobilului constă în transportul pe drumuri al pasagerilor, încărcăturilor sau al utilajului special montat pe

Διαβάστε περισσότερα

Clasa a X-a, Producerea si utilizarea curentului electric continuu

Clasa a X-a, Producerea si utilizarea curentului electric continuu 1. Ce se întămplă cu numărul de electroni transportaţi pe secundă prin secţiunea unui conductor de cupru, legat la o sursă cu rezistenta internă neglijabilă dacă: a. dublăm tensiunea la capetele lui? b.

Διαβάστε περισσότερα

prof. Busuioc Gianina Elena

prof. Busuioc Gianina Elena Şcoala Gimnazială Nr. 6 Vaslui prof. Busuioc Gianina Elena 1 La realizarea acestui proiect au colaborat elevii: Baciu Dragoş, Barbu Călina, Burdujanu Robert, Cobzaru Albert, Epure Mălina, Fuşneică Angel,

Διαβάστε περισσότερα

i R i Z D 1 Fig. 1 T 1 Fig. 2

i R i Z D 1 Fig. 1 T 1 Fig. 2 TABILIZATOAE DE TENINE ELECTONICĂ Lucrarea nr. 5 TABILIZATOAE DE TENINE 1. copurile lucrării: - studiul dependenţei dintre tensiunea stabilizată şi cea de intrare sau curentul de sarcină pentru stabilizatoare

Διαβάστε περισσότερα

Exercitii : Lecţia 1,2,3

Exercitii : Lecţia 1,2,3 Exercitii : Lecţia 1,2,3 1.Notarea câmpurilor Tabla de şah are 64 de pătrăţele numite câmpuri. Fiecare câmp poate fi identificat de coloana şi linia pe care se află, orice câmp se află la intersecţia dintre

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME DE ELECTRICITATE

PROBLEME DE ELECTRICITATE PROBLEME DE ELECTRICITATE 1. Două becuri B 1 şi B 2 au fost construite pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 100 V, iar un al treilea bec B 3 pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 200 V. Puterile

Διαβάστε περισσότερα

STABILIZATOARE DE TENSIUNE REALIZATE CU CIRCUITE INTEGRATE ANALOGICE

STABILIZATOARE DE TENSIUNE REALIZATE CU CIRCUITE INTEGRATE ANALOGICE Cuprins CAPITOLL 8 STABILIZATOARE DE TENSINE REALIZATE C CIRCITE INTEGRATE ANALOGICE...220 8.1 Introducere...220 8.2 Stabilizatoare de tensiune realizate cu amplificatoare operaţionale...221 8.3 Stabilizatoare

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme Capitolul Diode semiconductoare 3. În fig. 3 este preentat un filtru utiliat după un redresor bialternanţă. La bornele condensatorului

Διαβάστε περισσότερα

LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII

LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII Tema lucrării: 1) Determinarea puterii rotatorii specifice a zahărului 2) Determinarea concentraţiei unei soluţii de zahăr 3) Determinarea dispersiei

Διαβάστε περισσότερα

Structura matematicii

Structura matematicii Structura matematicii Oana Constantinescu March 21, 2014 Contents 1 Teorie deductiva. Generalitati 1 2 Geometria plana bazata pe notiunea de distanta 4 2.1 Motivatie............................... 4 2.2

Διαβάστε περισσότερα

Continue. Answer: a. 0,25 b. 0,15 c. 0,1 d. 0,2 e. 0,3. Answer: a. 0,1 b. 0,25 c. 0,17 d. 0,02 e. 0,3

Continue. Answer: a. 0,25 b. 0,15 c. 0,1 d. 0,2 e. 0,3. Answer: a. 0,1 b. 0,25 c. 0,17 d. 0,02 e. 0,3 Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a VII-a Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a VII-a» Attempt 1 1 Pentru a deplasa uniform pe orizontala un corp de masa m = 18 kg se actioneaza asupra lui

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache 2 * Prefaţă Textul de faţă este construit pe scheletul subiectelor date la examenul de Analiză Matematică în perioada

Διαβάστε περισσότερα

4. POLARIZAREA TRANZISTOARELOR BIPOLARE

4. POLARIZAREA TRANZISTOARELOR BIPOLARE 4 POLAZAA ANZSOALO POLA ircuitul de polarizare are rolul de a poziţiona într-un punct de pe caracteristica statică, numit Punct Static de uncţionare (PS) ezultă că circuitul de polarizare trebuie să asigure

Διαβάστε περισσότερα

4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului

4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului 4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului 4.1 Metoda Drumului Critic (C.P.M. Critical Path Metod) 4.1.1 Consideraţii generale Metodele şi tehnicile utilizate

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI 61 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOVEHICULULUI FRÂNAT Se consideră un autovehicul care se deplasează cu viteză variabilă pe un drum cu

Διαβάστε περισσότερα

Continue. Answer: a. Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1. 1 of 2 4/14/ :27 PM. Marks: 0/1.

Continue. Answer: a. Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1. 1 of 2 4/14/ :27 PM. Marks: 0/1. Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a X-a 1 of 2 4/14/2008 12:27 PM Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1 1 Un termometru cu lichid este gradat intr-o scara de temperatura liniara,

Διαβάστε περισσότερα

CURSUL AL IV-LEA. Tabelul 1 Greutatea corporală a 1014 pacienţi cu diferite afecţiuni, pe clase din 5kg în 5kg

CURSUL AL IV-LEA. Tabelul 1 Greutatea corporală a 1014 pacienţi cu diferite afecţiuni, pe clase din 5kg în 5kg CURSUL AL IV-LEA 1 Reprezentarea grafică a datelor statistice - Consideraţii generale Sunt două metode de bază în statistică: numerică şi grafică. Folosind metoda numerică putem calcula statistici ca media

Διαβάστε περισσότερα

Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP)

Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP) Seminar electricitate Structura atomului Particulele elementare sarcini elementare Protonii sarcini elementare pozitive Electronii sarcini elementare negative Atomii neutri dpdv electric nr. protoni =

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI

Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOEHICULELOR CU ROŢI 5.1 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOEHICULELOR ŞI CONDIŢIA DE ÎNAINTARE A ACESTORA Se consideră cazul general al unui autovehicul care

Διαβάστε περισσότερα

De la problemă la algoritm

De la problemă la algoritm De la problemă la algoritm Procesul dezvoltării unui algoritm, pornind de la specificaţia unei probleme, impune atât verificarea corectitudinii şi analiza detaliată a complexităţii algoritmului, cât şi

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar Caracteristici statice Determinarea unor parametri de interes

Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar Caracteristici statice Determinarea unor parametri de interes Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar aracteristici statice Determinarea unor parametri de interes A.Scopul lucrării - Determinarea experimentală a plajei mărimilor eletrice de la terminale în care T real

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - exerciţii

Statisticǎ - exerciţii Statisticǎ - exerciţii Ştefan Balint, Tǎnasie Loredana 1 Noţiuni de bazǎ Exerciţiu 1.1. Presupuneţi cǎ lucraţi pentru o firmǎ de sondare a opiniei publice şi doriţi sǎ estimaţi proporţia cetǎţenilor care,

Διαβάστε περισσότερα

ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE. Note de curs. (draft v1.1)

ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE. Note de curs. (draft v1.1) ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE Note de curs (draft v1.1) Prefaţă Când dorim să reprezentăm obiectele din lumea reală într-un program pe calculator, trebuie să avem în vedere: modelarea obiectelor din

Διαβάστε περισσότερα

Προσωπική Αλληλογραφία Επιστολή

Προσωπική Αλληλογραφία Επιστολή - Διεύθυνση Andreea Popescu Str. Reşiţa, nr. 4, bloc M6, sc. A, ap. 12. Turnu Măgurele Jud. Teleorman 06102. România. Ελληνική γραφή διεύθυνσης: Όνομα Παραλήπτη Όνομα και νούμερο οδού Ταχυδρομικός κώδικας,

Διαβάστε περισσότερα

11.3 CIRCUITE PENTRU GENERAREA IMPULSURILOR CIRCUITE BASCULANTE Circuitele basculante sunt circuite electronice prevăzute cu o buclă de reacţie pozitivă, folosite la generarea impulsurilor. Aceste circuite

Διαβάστε περισσότερα

COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii.

COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii. FitVisible Aceasta este versiunea electronică a cărţii Metode Numerice publicată de Editura Tehnică. Cartea a fost culeasă folosind sistemul L A TEX a lui Leslie Lamport, o extindere a programului TEX

Διαβάστε περισσότερα

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Capitolul II. Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Acest capitol are drept scop familiarizarea cititorului cu cele mai importante noţiuni

Διαβάστε περισσότερα

Editura EduSoft Bacău

Editura EduSoft Bacău Bogdan Pătruţ Carmen Violeta Muraru APLICAŢII ÎN C şi C++ Editura EduSoft Bacău - 2006 Copyright 2006 Editura EduSoft Toate drepturile asupra prezentei ediţii sunt rezervate Editurii EduSoft. Reproducerea

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATOARE DE MĂSURARE. APLICAŢII

AMPLIFICATOARE DE MĂSURARE. APLICAŢII CAPITOLL 4 AMPLIFICATOAE DE MĂSAE. APLICAŢII 4.. Noţiuni fundamentale n amplificator este privit ca un cuadripol. Dacă mărimea de ieşire este de A ori mărimea de intrare, unde A este o constantă numită

Διαβάστε περισσότερα

Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric

Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric Subiectul I Pentru fiecare dintre cerinţele de mai jos scrieţi pe foaia de examen, litera corespunzătoare răspunsului corect. 1.

Διαβάστε περισσότερα

ENCICLOPEDIA MATEMATICĂ A CLASELOR DE NUMERE ÎNTREGI

ENCICLOPEDIA MATEMATICĂ A CLASELOR DE NUMERE ÎNTREGI ENCICLOPEDIA MATEMATICĂ A CLASELOR DE NUMERE ÎNTREGI Marius Coman mariuscoman13@gmail.com 1 Copyright 2013 de Marius Coman Education Publishing 1313 Chesapeake Avenue Columbus, Ohio 43212 USA Tel. (614)

Διαβάστε περισσότερα

ANUL al V-lea Nr. 2/2015. Prezenţa elementelor de teoria probabilităţilor în programa de liceu

ANUL al V-lea Nr. 2/2015. Prezenţa elementelor de teoria probabilităţilor în programa de liceu DIDACTICA MATEMATICĂ SUPLIMENT AL GAZETEI MATEMATICE ANUL al V-lea Nr. 2/2015 Modele de lecţii Prezenţa elementelor de teoria probabilităţilor în programa de liceu de Eugen Păltănea Propunem o tematică

Διαβάστε περισσότερα

Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva

Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Notaţii si noţiuni preliminare Variabila aleatoare: X,Y,U,V,etc., descrisă de funcţie de repartiţie. Variabila aleatoare este asaociată unei populaţii statistice;

Διαβάστε περισσότερα

LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic.

LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic. PRELUCRARI DE DATE CU PROGRAMUL MICROSOFT EXCEL LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic. Lansati programul

Διαβάστε περισσότερα

Electronică Analogică. Redresoare -2-

Electronică Analogică. Redresoare -2- Electronică Analogică Redresoare -2- 1.2.4. Redresor monoalternanţă comandat. În loc de diodă, se foloseşte un tiristor sau un triac pentru a conduce, tirisorul are nevoie de tensiune anodică pozitivă

Διαβάστε περισσότερα

OSCILOSCOPUL ANALOGIC

OSCILOSCOPUL ANALOGIC OSCILOSCOPUL ANALOGIC 1. Scopul aplicaţiei Se urmăreşte studierea osciloscopului analogic HM303-6 al firmei germane HAMEG. Lucrarea prezintă principiul de funcţionare al osciloscopului la nivel de schemă

Διαβάστε περισσότερα

Coduri grup - coduri Hamming

Coduri grup - coduri Hamming Capitolul 5 Coduri grup - coduri Hamming 5. Breviar teoretic Dacăîn capitolul precedent s-a pus problema codării surselor pentru eficientiezarea unei transmisiuni ce se presupunea a nu fi perturbată de

Διαβάστε περισσότερα

PVC. D oor Panels. + accessories. &aluminium

PVC. D oor Panels. + accessories. &aluminium PVC &aluminium D oor Panels + accessories 1 index panels dimensions accessories page page page page 4-11 12-46 48-50 51 2 Η εταιρία Dorland με έδρα τη Ρουμανία, από το 2002 ειδικεύεται στην έρευνα - εξέλιξη

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

STUDIUL SI VERIFICAREA UNUI MULTIMETRU NUMERIC

STUDIUL SI VERIFICAREA UNUI MULTIMETRU NUMERIC Lucrarea nr. 3 STDIL SI VERIFICAREA NI MLTIMETR NMERIC I. INTRODCERE Aparatele de măsurare de tip multimetru permit măsurarea mărimilor electrice cele mai uzuale: tensiune, curent, rezistenţă. Primele

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα

MICROSOFT EXCEL. Pentru a lansa in execuţie programul Microsoft Excel utilizaţi una dintre procedurile următoare:

MICROSOFT EXCEL. Pentru a lansa in execuţie programul Microsoft Excel utilizaţi una dintre procedurile următoare: 1 2 Fiind o aplicaţie din pachetul Microsoft Office, Microsoft Excel prezintă o interfaţă asemănătoare cu editorul de text Microsoft Word având aceeaşi organizare a sistemului de meniuri şi a barelor de

Διαβάστε περισσότερα

TEHNOLOGIA ŞI PROIECTAREA TRANSFORMATORULUI DE REŢEA MONOFAZIC DE MICĂ PUTERE - Ghid pentru tema de casă CCP-

TEHNOLOGIA ŞI PROIECTAREA TRANSFORMATORULUI DE REŢEA MONOFAZIC DE MICĂ PUTERE - Ghid pentru tema de casă CCP- TEHNOLOGIA ŞI PROIECTAREA TRANSFORMATORULUI DE REŢEA MONOFAZIC DE MICĂ PUTERE - Ghid pentru tema de casă CCP- 1. Generalităţi Prezentarea de faţă are ca scop cunoaşterea structurii constructive, a tehnologiei

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea unui amplificator

Proiectarea unui amplificator Proiectarea unui amplificator sl. dr. Radu Damian Notă importantă. În acest document nu există "informaţia magică" ascunsă în două rânduri de la mijlocul documentului. Trebuie parcurs pas cu pas fără a

Διαβάστε περισσότερα

Maşina sincronă. Probleme

Maşina sincronă. Probleme Probleme de generator sincron 1) Un generator sincron trifazat pentru alimentare de rezervă, antrenat de un motor diesel, are p = 3 perechi de poli, tensiunea nominală (de linie) U n = 380V, puterea nominala

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA ACADEMIEI FORŢELOR AERIENE HENRI COANDĂ BRAŞOV

EDITURA ACADEMIEI FORŢELOR AERIENE HENRI COANDĂ BRAŞOV Marian PEARSICĂ Mădălina PETRESCU Marian PEARSICĂ, Mădălina PETRESCU - MAŞINI ELECTRICE MAŞINI ELECTRICE ISBN 978 973 8415 EDITURA ACADEMIEI FORŢELOR AERIENE HENRI COANDĂ BRAŞOV 2007 Maşini electrice C

Διαβάστε περισσότερα

Tema I FORMAREA IMAGINII

Tema I FORMAREA IMAGINII Tema I FORMAREA IMAGINII Nevoia de imagini a omului modern creste de la zi la zi. In general, functiile imaginilor sunt urmatoarele : - functia documentara - prezinta concret, imaginea unor termeni si

Διαβάστε περισσότερα

Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive

Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive 1. Scopul lucrării: Iniţierea studenţilor cu proiectarea asistată de calculator (CAD) a unei scheme electrice în vederea simulării funcţionării acesteia;

Διαβάστε περισσότερα

Studiul unui variator static de tensiune alternativa echipat cu un triac, care este, comandat cu un circuit integrat PA 436

Studiul unui variator static de tensiune alternativa echipat cu un triac, care este, comandat cu un circuit integrat PA 436 Laborator: Electronică Industrială Lucrarea nr:... Studiul unui variator static de tensiune alternativa echipat cu un triac, care este, comandat cu un circuit integrat PA 4. Funcţionarea variatorului de

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme mecanice de criptare

Sisteme mecanice de criptare Prelegerea 3 Sisteme mecanice de criptare Sistemele de criptare pot fi aduse la un grad mai mare de complexitate şi securitate dacă se folosesc mijloace mecanice de criptare. Astfel de mecanisme special

Διαβάστε περισσότερα

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ METODE NUMERICE PROBLEME DE SEMINAR

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ METODE NUMERICE PROBLEME DE SEMINAR Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ METODE NUMERICE PROBLEME DE SEMINAR ŞI LUCRǍRI DE LABORATOR Simina Mariş Liliana Brǎescu Timişoara 007 Introducere Procesul de

Διαβάστε περισσότερα

LUCRAREA 2 REDRESOARE ŞI MULTIPLICATOARE DE TENSIUNE

LUCRAREA 2 REDRESOARE ŞI MULTIPLICATOARE DE TENSIUNE CRAREA REDRESOARE ŞI MTIPICATOARE DE TENSINE 1 Prezentare teoretică 1.1 Redresoare Prin redresare înţelegem transformarea curentului alternativ în curent continuu. Prin alimentarea circuitelor electronice

Διαβάστε περισσότερα

METROLOGIE CONTINUT CURS

METROLOGIE CONTINUT CURS A. MASURAREA MĂRIMILOR ELECTRICE METROLOGIE CONTINUT CURS I. NOŢIUNI FUNDAMENTALE ALE MĂSURĂRII 1.1 Introducere 1. Mărimi fizice 1.3. Măsurarea 1.4. Sistemul legal de unităţi de măsură 1.5. Mijloace electrice

Διαβάστε περισσότερα

PROIECT ECONOMETRIE. Profesori coordinatori: Liviu-Stelian Begu și Smaranda Cimpoeru

PROIECT ECONOMETRIE. Profesori coordinatori: Liviu-Stelian Begu și Smaranda Cimpoeru PROIECT ECONOMETRIE Profesori coordinatori: LiviuStelian Begu și Smaranda Cimpoeru Proiect realizat de?, grupa?, seria? FACULTATEA DE RELAȚII ECONOMICE INTERNAȚIONALE, ASE, BUCUREȘTI 2015 CUPRINS Înregistrați

Διαβάστε περισσότερα

REPARTIŢIA TENSIUNILOR ÎNALTE PE LANŢURI DE IZOLATOARE

REPARTIŢIA TENSIUNILOR ÎNALTE PE LANŢURI DE IZOLATOARE REPARTIŢIA TENSINILOR ÎNALTE PE LANŢRI DE IZOLATOARE 1. NOTINI TEORETICE Principalul criteriu distinctiv al sistemelor şi echipamentelor electrice de înaltă tensiune faţă de cele de joasă tensiune îl constituie

Διαβάστε περισσότερα

FIZICĂ. Elemente de termodinamica. ş.l. dr. Marius COSTACHE

FIZICĂ. Elemente de termodinamica. ş.l. dr. Marius COSTACHE FIZICĂ Elemente de termodinamica ş.l. dr. Marius COSTACHE 1 ELEMENTE DE TERMODINAMICĂ 1) Noţiuni introductive sistem fizic = orice porţiune de materie, de la o microparticulă la întreg Universul, porţiune

Διαβάστε περισσότερα

UTILIZAREA CIRCUITELOR BASCULANTE IN NUMARATOARE ELECTRONICE

UTILIZAREA CIRCUITELOR BASCULANTE IN NUMARATOARE ELECTRONICE COLEGIUL UCECOM SPIRU HARET BUCURESTI UTILIZAREA CIRCUITELOR BASCULANTE IN NUMARATOARE ELECTRONICE Elev : Popa Maria Clasa :a-xi-a A Indrumator:prof.Chirescu Emil APLICATII PRACTICE CE POT FI REALIZATE

Διαβάστε περισσότερα

NORMATIV PRIVIND SECURITATEA LA INCENDIU A CONSTRUCŢIILOR. Partea a IV-a Instalaţii de detectare, semnalizare şi avertizare incendiu

NORMATIV PRIVIND SECURITATEA LA INCENDIU A CONSTRUCŢIILOR. Partea a IV-a Instalaţii de detectare, semnalizare şi avertizare incendiu NORMATIV PRIVIND SECURITATEA LA INCENDIU A CONSTRUCŢIILOR Partea a IV-a Instalaţii de detectare, semnalizare şi avertizare incendiu CUPRINS CAPITOLUL 1 - OBIECT ŞI DOMENIU DE APLICARE...2 CAPITOLUL 2 -

Διαβάστε περισσότερα

GENERATOR DE IMPULSURI DREPTUNGHIULARE. - exemplu de proiectare -

GENERATOR DE IMPULSURI DREPTUNGHIULARE. - exemplu de proiectare - GENERATOR DE IMPULSURI DREPTUNGHIULARE - exemplu de proiectare - Presupunem ca se doreste obtinerea unui oscilator cu urmatoarele date de proiectare: Frecventa de oscilatie reglabila in intervalul 2 5

Διαβάστε περισσότερα

3.6. Formule de calcul pentru medie şi dispersie

3.6. Formule de calcul pentru medie şi dispersie Dragomirescu L., Drane J. W.,, Biostatisticã pentru începãtori. Vol I. Biostatisticã descriptivã. Editia a 6 revãzutã, Editura CREDIS, Bucureşti, 7p. ISB 78-7-74-46-8..6. Formule de calcul pentru medie

Διαβάστε περισσότερα

!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.

!!  &' ':  /.., c #$% & - & ' (),..., * +,.. * ' + * - - * (),...(. ..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$

Διαβάστε περισσότερα

CIRCUITE ELECTRONICE FUNDAMENTALE - Probleme zona tematică 5 -

CIRCUITE ELECTRONICE FUNDAMENTALE - Probleme zona tematică 5 - CICITE ELECTONICE FNDAMENTALE - Probleme zona tematică 5 -. Se consideră circuitul amplificator din figur de mai jos, pentru care se cunosc parametrii TEC-J: g m = 5mA/V, r ds =, C gd = 5pF, C gs = pf,

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN

AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN Montajul Experimental În laborator este realizat un amplificator cu tranzistor bipolar în conexiune cu emitorul comun (E.C.) cu o singură

Διαβάστε περισσότερα