ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 15: O αλγόριθμος SIMPLE

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 15: O αλγόριθμος SIMPLE"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 15: O αλγόριθμος SIMPLE Χειμερινό εξάμηνο 2008

2 Προηγούμενη παρουσίαση... Εξετάσαμε τις θέσεις που αποθηκεύουμε την πίεση και την ταχύτητα» Προβλήματα που σχετίζονται με την θέση των μεταβλητών στο υπολογιστικό πλέγμα Είδαμε την τα μετατοπισμένα πλέγματα (staggered mesh) ως αρχική λύση για την επιλογή των μεταβλητών σε δομημένα πλέγματα

3 Οργάνωση παρουσίασης Θα εξετάσουμε λύσεις για την εισαγωγή της πίεσης στην εξίσωση της συνέχειας για ασυμπίεστες ροές Θα κάνουμε εισαγωγή στον αλγόριθμο SIMPLE

4 Κίνητρο Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε σειριακή ή άμεση μέθοδο Οι σειριακές μέθοδοι λύνουν τις εξισώσεις της συνέχειας και της ορμής σε σειρά:» Διακριτοποιούμε την συνέχεια στο υπολογιστικό πεδίο» Λύνουμε για τη συνέχεια» Διακριτοποιούμε την εξίσωση της u-ορμής στο πεδίο» Λύνουμε για την ταχύτητα u» Διακριτοποιούμε την εξίσωση της v-ορμής στο πεδίο» Λύνουμε για την ταχύτητα v» Επαναλαμβάνουμε έως την σύγκλιση

5 Κίνητρο (συνέχεια) Άμεσες μέθοδοι:» Διακριτοποιούμε τις εξισώσεις της ροής στο πεδίο» Δημιουργούμε ένα μεγάλο γραμμικό σύστημα»x είναι διάνυσμα με 4N αγνώστους 3D (3 ταχύτητες, μία πίεση, N κελιά) Οι άμεσες μέθοδοι είναι πολύ ακριβές ακόμη και σήμερα

6 Μέθοδοι που στηρίζονται στη πίεση Οι σειριακές μέθοδοι είναι προτιμότερες για ασυμπίεστα ρευστά» Μικρή ανάγκη μνήμης και αριθμού πράξεων Γιαασυμπίεσταρευστά, πώς μπορούμε να βρούμε την πίεση από την εξίσωση της συνέχειας;» Η πυκνότητα δεν συνδέεται με την πίεση για ασυμπίεστες ροές Οι μέθοδοι Pressure-based methods είναι τεχνικές για την εισαγωγή της πίεσης στην εξίσωση της συνέχειας

7 Άλλες μέθοδοι Μέθοδοι βασισμένες στη πυκνότητα» Δημοφιλής για συμπιεστές ροές» χρησιμοποιούν ως αγνώστους τα (u, v, w, ρ, E) Σχήματα Artificial compressibility/preconditioning» Εισαγωγή τεχνητής συμπιεστότητας για να μπορεί να γίνει χρήση μεθόδων βασισμένων στη πυκνότητα σε ασυμπίεστες ροές Θα εστιάσουμε στις μεθόδους που βασίζονται στη πίεση επειδή είναι οι δημοφιλέστερες για ασυμπίεστες ροές.

8 Δρόμος για την λύση Ηεπιλογήμεταξύτωνμεθόδωνpressure-based/ density-based και artificial compressibility είναι μόνο ένας δρόμος που μας οδηγεί στη λύση Όταν έχουμε σύγκληση, η λύση ικανοποιεί τις διακριτές εξισώσειςτηςσυνέχειαςκαιτηςορμής Η επιλογή της μεθόδου μπορεί να ελέγξει, όταν έχουμε την τελική λύση,» πόσο γρήγορα / οικονομικά μπορούμε να την έχουμε» πόσο μνήμη / χώρο στο δίσκο χρειαζόμαστε

9 Μετατοπισμένο πλέγμα Η επιλογή του μετατοπισμένου πλέγματος είναι επιλογή σχετικά με την ποιότητα της τελικής λύσης Άσχετα με το δρόμο που θα ακολουθήσουμε για την λύση, θα έχουμε την ίδια λύση (αν τελικά βρούμε λύση) Αν δεν χρησιμοποιήσουμε το μετατοπισμένο πλέγμα θα έχουμε δομές σκακιέρας Άρα το μετατοπισμένο πλέγμα είναι μια ιδιότητα της διακριτοποίησης και καθορίζει την ποιότητα / ακρίβεια της λύσης Η επιλογή σχημάτων βασισμένων στην πίεση δεν επηρεάζει την ακρίβεια.

10 Αλγόριθμος SIMPLE Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations Προτάθηκε από τον Patankar και Spalding (1972) Η ιδέα είναι να αρχίσουμε με την διακριτή εξίσωση της συνέχειας Να αντικαταστήσουμε σε αυτή τις διακριτές εξισώσεις για τη u και v ορμή» Οι διακριτές εξισώσεις ορμής έχουν όρους διαφοράς πίεσης Άρα μπορεί να βρεθεί μια εξίσωση για τις διακριτές πιέσεις» Ο αλγόριθμος SIMPLE στην ουσία λύνει για μια σχετική ποσότητα που ονομάζεται διόρθωση πίεσης

11 Αποθήκευση μεταβλητών: Μετατοπισμένο πλέγμα

12 Αλγόριθμος SIMPLE Χρησιμοποιώντας μεθόδους ίδιες με αυτές της διακριτοποίησης της ποσότητας φ (scalar), μπορούμε να έχουμε: Όπου, u* και v* είναι λύσεις από την διακριτή εξίσωση της ορμής άν χρησιμοποιήσουμε ένα υποθετικό πεδίο πίεσης p* Επειδή το p* είναι μόνο υποθετικό, το υπολογισμένο πεδίο ταχυτήτων δεν ικανοποιεί την διακριτή εξίσωση συνέχειας

13 Αλγόριθμος SIMPLE (συνέχεια) Προτείνουμε διορθώσεις στις ταχύτητες και την πίεση ώστε οι διορθωμένες ταχύτητες να ικανοποιούν την εξίσωση συνέχειας: Ας υποθέσουμε ότι οι διορθωμένες τιμές είναι : Διορθώσεις ταχύτητας Διορθώσεις πίεσης

14 Αλγόριθμος SIMPLE (συνέχεια) Επίσης προϋποθέτει ότι οι διορθωμένες ταχύτητες και πιέσεις ικανοποιούν την εξίσωση της ορμής: Αφαιρώντας τις ποσότητες με το αστέρι από τις παραπάνω έχουμε:

15 Εξίσωση διορθωμένης πίεσης Κάνουμε την προσέγγιση: Τα διώχνουμε και

16 Εξίσωση διορθωμένης πίεσης (συνέχεια) Ορίζουμε: έτσι έχουμε και

17 Ρυθμοί ροής στις πλευρές Αντίστοιχα έχουμε ρυθμούς ροής και διορθώσεις:

18 Εξίσωση διόρθωσης πίεσης Οι ποσότητες με το αστέρι δεν ικανοποιούν την διακριτή εξίσωση της συνέχειας: Όμως οι διορθωμένες ταχύτητες την ικανοποιούν

19 Εξίσωση διόρθωσης πίεσης (συνέχεια) Αντικαθιστούμε από τις διορθώσεις των ρυθμών ροής: Συλλέγουμε όρους στη διόρθωση πίεσης p για να φτιάξουμε μια εξίσωση διόρθωσης πίεσης

20 Ο όρος της κλίσης πίεσης (συνέχεια) Το κριτήριο Scarborough ικανοποιείτε στην ισότητα Οόροςb είναι η ποσότητα στην οποία οι ταχύτητες με το αστέρι δεν ικανοποιούν την συνέχεια

21 Συζήτηση Η πηγή στην εξίσωση του p είναι η ποσότητα κατά την οποία οι ταχύτητες * δεν ικανοποιούν την διακριτή εξίσωση της συνέχειας Αν η υπόθεση που έχουμε κάνει για τη πίεση p* είναι σωστή, u* καιv* θα ικανοποιούν την συνέχεια και η πηγή στη p θα είναι μηδέν Σε αυτό το όριο, p = είναι μια σταθερά ή μηδέν που ικανοποιεί την εξίσωση διόρθωσης της πίεσης Αν p = σταθερό, οι διορθώσεις της πίεσης είναι μηδέν

22 Συζήτηση (συνέχεια) Αν η διόρθωση της ταχύτητας είναι μηδέν, το πεδίο ταχυτήτων δεν αλλάζει και μπορούμε να θεωρήσουμε ότι έχει συγκλίνει Τι γίνεται σχετικά με την πίεση;» Το πεδίο της πίεσης θα αλλάζει κατά μια σταθερά σε κάθε μία επανάληψη» Ωστόσο, σε ασυμπίεστες ροές, μόνο το είναι σχετικό καιόχιητιμήτουp» Μόνο κλίσεις και διαφορές του p είναι σχετικές» Προσθέτοντας μια σταθερά δεν αλλάζει τις διαφορές της πίεσης» Άρα και η πίεση μπορεί να θεωρηθεί ότι έχει συγκλίνει

23 Επίλογος Στη παρούσα διάλεξη είδαμε:» Πως ξεκινώντας από την εξίσωση της ορμής μπορούμε να δημιουργήσουμε μια εξίσωση για διορθώσεις ταχύτητας με όρους της διόρθωσης πίεσης» Δημιουργήσαμε μια εξίσωση για την διόρθωση της πίεσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 9: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 9: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 9: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Είδαμε την διακριτοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 8: Ανάλυση ευστάθειας & Συναγωγή και διάχυση

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 8: Ανάλυση ευστάθειας & Συναγωγή και διάχυση ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 8: Ανάλυση ευστάθειας & Συναγωγή και διάχυση Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Ολοκληρώσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 6: Εξίσωση διάχυσης (συνέχεια)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 6: Εξίσωση διάχυσης (συνέχεια) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 6: Εξίσωση διάχυσης (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Εξετάσαμε την εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 2: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 2: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη : Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων Χειμερινό εξάμηνο 008 Προηγούμενη παρουσίαση... Γράψαμε τις εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 7: Εξίσωση μη-μόνιμης διάχυσης (συνέχεια)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 7: Εξίσωση μη-μόνιμης διάχυσης (συνέχεια) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 7: Εξίσωση μη-μόνιμης διάχυσης (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Είδαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Ολοκληρώσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 13: Σχήματα ανώτερης τάξης Οριακές συνθήκες για προβλήματα συναγωγήςδιάχυσης

Διάλεξη 13: Σχήματα ανώτερης τάξης Οριακές συνθήκες για προβλήματα συναγωγήςδιάχυσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 13: Σχήματα ανώτερης τάξης Οριακές συνθήκες για προβλήματα συναγωγήςδιάχυσης Χειμερινό εξάμηνο 2008

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 1: Εξισώσεις διατήρησης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 1: Εξισώσεις διατήρησης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 1: Εξισώσεις διατήρησης Χειμερινό εξάμηνο 2008 Οργάνωση παρουσίασης 1. Ιστορία της υπολογιστικής

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

HMY 102 Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

HMY 102 Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων HM Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Δρ. Σταύρος Ιεζεκιήλ iezekiel@ucy.ac.cy reen Park, Γραφείο Τηλ. 899 Διάλεξη 4 Από την προηγούμενη διάλεξη Πραγματικές πηγές τάσης και πραγματικές πηγές ρεύματος έχουν εσωτερική

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών

Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΟΛΥΦΑΣΙΚΑ, ΠΟΛΥΣΥΣΤΑΤΙΚΑ & ΑΝΤΙΔΡΩΝΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΟΛΥΦΑΣΙΚΑ, ΠΟΛΥΣΥΣΤΑΤΙΚΑ & ΑΝΤΙΔΡΩΝΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΠΜΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ακαδημαϊκό Έτος: 2015-2016 / Εαρινό Εξάμηνο 1/30 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΟΛΥΦΑΣΙΚΑ, ΠΟΛΥΣΥΣΤΑΤΙΚΑ & ΑΝΤΙΔΡΩΝΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Καθηγήτρια Φούντη Μαρία Γενικευμένη Εξίσωση Μεταφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης με παραγώγους Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2). ΜΑΣ 37: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage που προσεγγίζει τη συνάρτηση 3 f ( x) si x στους κόμβους

Διαβάστε περισσότερα

Non Linear Equations (2)

Non Linear Equations (2) Non Linear Equations () Τρίτη, 17 Φεβρουαρίου 015 5:14 μμ 15.0.19 Page 1 15.0.19 Page 15.0.19 Page 3 15.0.19 Page 4 15.0.19 Page 5 15.0.19 Page 6 15.0.19 Page 7 15.0.19 Page 8 15.0.19 Page 9 15.0.19 Page

Διαβάστε περισσότερα

Τα στάδια της υπολογιστικής προσομοίωσης επεξήγονται αναλυτικά παρακάτω

Τα στάδια της υπολογιστικής προσομοίωσης επεξήγονται αναλυτικά παρακάτω Διαδικασία υπολογιστικής προσομοίωσης Η διαδικασία της υπολογιστικής προσομοίωσης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων με εμπορικό λογισμικό περιλαμβάνει τα στάδια που φαίνονται στο διάγραμμα του Σχ.

Διαβάστε περισσότερα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

Υδραυλικός Υπολογισμός Βροχωτών Δικτύων

Υδραυλικός Υπολογισμός Βροχωτών Δικτύων Υδραυλικός Υπολογισμός Βροχωτών Δικτύων Π. Σιδηρόπουλος Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Π.Θ. E-mail: psidirop@uth.gr Συνολικό δίκτυο ύδρευσης Α. Ζαφειράκου,

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορική ανάλυση ροής

Διαφορική ανάλυση ροής Διαφορική ανάλυση ροής Α. Παϊπέτης 6 ο Εξάμηνο Μηχανικών Επιστήμης Υλικών ΜΕ και ΔΕ ροής: Διαφορές Οριακές και αρχικές συνθήκες Οριακές συνθήκες: Φυσική σημασία αλληλεπίδραση του όγκου ελέγχου με το περιβάλλον

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

HMY 102 Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

HMY 102 Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων HMY Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Από την προηγούμενη διάλεξη Στην κομβική ανάλυση προσδιορίζουμε ένα ουσιαστικό κόμβο ως τον κόμβο αναφοράς, και μετά εφαρμόζουμε τον νόμο του ρεύματος του Kichhoff στους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΡΕΥΣΤΑ ΣΕ ΚΙΝΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΡΕΥΣΤΑ ΣΕ ΚΙΝΗΣΗ 166 Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΟΙΚΤΟΥ ΤΥΠΟΥ: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΡΕΥΣΤΑ ΣΕ ΚΙΝΗΣΗ 1. Να αναφέρεται παραδείγματα φαινομένων που μπορούν να ερμηνευτούν με την μελέτη των ρευστών σε ισορροπία. 2. Ποια σώματα ονομάζονται ρευστά;

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Μεταγλωττιστών

Θέματα Μεταγλωττιστών Γιώργος Δημητρίου Ενότητα 10 η : Βελτιστοποιήσεις Τοπικότητας και Παραλληλισμού: Εξαρτήσεις και Μετασχηματισμοί Βρόχων Επεξεργασία Πινάκων Παραλληλισμός επιπέδου βρόχου Λόγω παραλληλισμού δεδομένων Επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Βασικές αρχές μεθόδων ελαχιστοποίησης Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Οι μέθοδοι ελαχιστοποίησης είναι επαναληπτικές. Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση του ελαχίστου (την συμβολίζουμε ) παράγουν

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών

Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών Αργυρόπουλος Αθανάσιος Σ.Τ.Ε.Φ. Οχημάτων - Εξάμηνο Β Ημ/νία εκτέλεσης Πειράματος: 26-11-1999 Ημ/νία παράδοσης Εργασίας: 16-12-1999 1 Θεωρητική Εισαγωγή: 1. Εισαγωγικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ

ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Εργαστήριο Θερμικών Στροβιλομηχανών Μονάδα Παράλληλης ης Υπολογιστικής Ρευστοδυναμικής & Βελτιστοποίησης ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ (7 ο Εξάμηνο Σχολής Μηχ.Μηχ. ΕΜΠ)

Διαβάστε περισσότερα

Ορμή και Δυνάμεις. Θεώρημα Ώθησης Ορμής

Ορμή και Δυνάμεις. Θεώρημα Ώθησης Ορμής 501 Ορμή και Δυνάμεις Θεώρημα Ώθησης Ορμής «Η μεταβολή της ορμής ενός σώματος είναι ίση με την ώθηση της δύναμης που ασκήθηκε στο σώμα» = ή Το θεώρημα αυτό εφαρμόζεται διανυσματικά. 502 Θεώρημα Ώθησης

Διαβάστε περισσότερα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ Διδάσκουσα Δρ Β. Καβακλή Χειμερινό Εξάμηνο 2001 1 Δοκιμή Έλεγχος Αλγορίθμου Για να

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

Το σύστημα των μη αλληλεπιδραστικών ροών και η σημασία του στην ερμηνεία των ιδιοτήτων των ιδανικών αερίων.

Το σύστημα των μη αλληλεπιδραστικών ροών και η σημασία του στην ερμηνεία των ιδιοτήτων των ιδανικών αερίων. Το σύστημα των μη αλληλεπιδραστικών ροών και η σημασία του στην ερμηνεία των ιδιοτήτων των ιδανικών αερίων. Θεωρώντας τα αέρια σαν ουσίες αποτελούμενες από έναν καταπληκτικά μεγάλο αριθμό μικροσκοπικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ [Κεφ. 2.1: Έννοια της Παραγώγου του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ [Κεφ. 2.1: Έννοια της Παραγώγου του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ [Κεφ 1: Έννοια της Παραγώγου του σχολικού βιβλίου] ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1 ΘΕΜΑ Β Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΑΝΟΙΚΤΩΝ ΑΓΩΓΩΝ

ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΑΝΟΙΚΤΩΝ ΑΓΩΓΩΝ Τμήμα Δασολογίας & Διαχείρισης Περιβάλλοντος & Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Προπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΑΝΟΙΚΤΩΝ ΑΓΩΓΩΝ Κεφάλαιο 7 ο : Κρίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Μοντελοποίηση Ηλεκτρικών και Υδραυλικών Συστημάτων

Δυναμική Μηχανών I. Μοντελοποίηση Ηλεκτρικών και Υδραυλικών Συστημάτων Δυναμική Μηχανών I Μοντελοποίηση Ηλεκτρικών και Υδραυλικών Συστημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2014 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D. Περιεχόμενα Μοντελοποίηση Ηλεκτρικών Συστημάτων Μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής αναγνωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Ι ΣΕΙΡΕΣ Διδάσκουσα : Δρ Μαρία Αδάμ Λυμένες ασκήσεις ) Να μελετηθούν ως προς τη σύγκλισή

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΕ ΕΝΑΝ ΑΠΕΙΡΟΣΤΟ ΟΓΚΟ ΡΕΥΣΤΟΥ Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε την ισορροπία των δυνάμεων οι οποίες ασκούνται σε ένα τυχόν σωματίδιο ρευστού.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΣΥΜΠΙΕΣΤΗ ΚΑΙ ΑΣΤΡΟΒΙΛΗ ΡΟΗ Μία ροή αποκαλείται αστρόβιλη, όταν ισχύει η σχέση ro όπου 3 3 3 3 3 e e e ro Η απόδειξη της παραπάνω σχέσης δεν αποτελεί αντικείμενο της εξέτασης Αποδείξαμε

Διαβάστε περισσότερα

Τεράστιες ανάγκες σε αποθηκευτικό χώρο

Τεράστιες ανάγκες σε αποθηκευτικό χώρο ΣΥΜΠΙΕΣΗ Τεράστιες ανάγκες σε αποθηκευτικό χώρο Παράδειγμα: CD-ROM έχει χωρητικότητα 650MB, χωρά 75 λεπτά ασυμπίεστου στερεοφωνικού ήχου, αλλά 30 sec ασυμπίεστου βίντεο. Μαγνητικοί δίσκοι χωρητικότητας

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών. Εργασία 2 η Κατανομή πίεσης σε συγκλίνοντα αποκλίνοντα αγωγό.

Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών. Εργασία 2 η Κατανομή πίεσης σε συγκλίνοντα αποκλίνοντα αγωγό. Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών Εργασία 2 η Κατανομή πίεσης σε συγκλίνοντα αποκλίνοντα αγωγό. Κυρκιμτζής Γιώργος Σ.Τ.Ε.Φ. Οχημάτων - Εξάμηνο Γ Ημ/νία παράδοσης Εργασίας: Τετάρτη 24 Μαΐου 2 1 Θεωρητική Εισαγωγή:

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοημοσύνη Ι» 4 o Φροντιστήριο

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοημοσύνη Ι» 4 o Φροντιστήριο Ασκήσεις Φροντιστηρίου 4 o Φροντιστήριο Πρόβλημα 1 ο Ο πίνακας συσχέτισης R x του διανύσματος εισόδου x( στον LMS αλγόριθμο 1 0.5 R x = ορίζεται ως: 0.5 1. Ορίστε το διάστημα των τιμών της παραμέτρου μάθησης

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 9. Προσδιορισμός του συντελεστή εσωτερικής

Άσκηση 9. Προσδιορισμός του συντελεστή εσωτερικής 1.Σκοπός Άσκηση 9 Προσδιορισμός του συντελεστή εσωτερικής τριβής υγρών Σκοπός της άσκησης είναι ο πειραματικός προσδιορισμός του συντελεστή εσωτερικής τριβής (ιξώδες) ενός υγρού. Βασικές θεωρητικές γνώσεις.1

Διαβάστε περισσότερα

Μακροσκοπική ανάλυση ροής

Μακροσκοπική ανάλυση ροής Μακροσκοπική ανάλυση ροής Α. Παϊπέτης 6 ο Εξάμηνο Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Εισαγωγή Μακροσκοπική ανάλυση Όγκος ελέγχου και νόμοι της ρευστομηχανικής Θεώρημα μεταφοράς Εξίσωση συνέχειας Εξίσωση ορμής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΞΑΝΘΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΡΥΠΩΝ ΣΕ ΠΟΤΑΜΟΥΣ με το HEC-RAS Αγγελίδης Π., Αναπλ. Καθηγητής HEC-RAS Το λογισμικό

Διαβάστε περισσότερα

504. Έτσι προκύπτει. ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1η. Υπολογισμός Ορισμένου ολοκλήρωματος που βρίσκεται μέσα σε ορισμένο ολοκλήρωμα. Χαρακτηριστική Άσκηση:

504. Έτσι προκύπτει. ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1η. Υπολογισμός Ορισμένου ολοκλήρωματος που βρίσκεται μέσα σε ορισμένο ολοκλήρωμα. Χαρακτηριστική Άσκηση: 6 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ η Υπολογισμός Ορισμένου ολοκλήρωματος που βρίσκεται μέσα σε ορισμένο ολοκλήρωμα. Χαρακτηριστική Άσκηση: Δίνεται συνεχής συνάρτηση f:,για την οποία ισχύει 3 t f()d dt 54.Να βρεθεί το ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές μέθοδοι

Επαναληπτικές μέθοδοι Επαναληπτικές μέθοδοι Η μέθοδος της διχοτόμησης και η μέθοδος Regula Fals που αναφέραμε αξιοποιούσαν το κριτήριο του Bolzano, πραγματοποιώντας διαδοχικές υποδιαιρέσεις του διαστήματος [α, b] στο οποίο,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Περιεχομένων 7

Πίνακας Περιεχομένων 7 Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος...5 Πίνακας Περιεχομένων 7 1 Εξισώσεις Ροής- Υπολογιστική Μηχανική Ρευστών...15 1.1 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ.....15 1.1.1 Γενικά θέματα. 15 1.1.2 Υπολογιστικά δίκτυα...16

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός. Προγραμματίζοντας τον Arduino ΙΙ Εντολή Εκχώρησης & Εντολές. Συλλογή & Επεξεργασία Δεδομένων. Πρόγραμμα. Εντολές Επεξεργασίας Δεδομένων

Σκοπός. Προγραμματίζοντας τον Arduino ΙΙ Εντολή Εκχώρησης & Εντολές. Συλλογή & Επεξεργασία Δεδομένων. Πρόγραμμα. Εντολές Επεξεργασίας Δεδομένων Σκοπός Συλλογή & Επεξεργασία Δεδομένων Προγραμματίζοντας τον Arduino ΙΙ Εντολή Εκχώρησης & Εντολές Ελέγχου. Πρόγραμμα Εντολές Επεξεργασίας Δεδομένων Εντολή Εκχώρησης Εντολές Ελέγχου Λογική συνθήκη Εντολή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ Α.Ε.Π.Π. Γ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ. Όνομα:.. Βαθμός: /100

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ Α.Ε.Π.Π. Γ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ. Όνομα:.. Βαθμός: /100 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ Α.Ε.Π.Π. Γ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Όνομα:.. Βαθμός: /100 Θέμα Α 1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις με Σ, αν είναι σωστές και Λ, αν είναι λάθος. a. Οι πίνακες δεν μπορούν να έχουν περισσότερες από δύο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Διαδικασίες

Επαναληπτικές Διαδικασίες Επαναληπτικές Διαδικασίες Οι επαναληπτικές δομές ( εντολές επανάληψης επαναληπτικά σχήματα ) χρησιμοποιούνται, όταν μια ομάδα εντολών πρέπει να εκτελείται αρκετές- πολλές φορές ανάλογα με την τιμή μιας

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τμήμα Πληροφορικής Δομές Δεδομένων [ΠΛΥ302] Χειμερινό Εξάμηνο 2012

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τμήμα Πληροφορικής Δομές Δεδομένων [ΠΛΥ302] Χειμερινό Εξάμηνο 2012 Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τμήμα Πληροφορικής Δομές Δεδομένων [ΠΛΥ302] Χειμερινό Εξάμηνο 2012 Ενδεικτικές απαντήσεις 1 ου σετ ασκήσεων. Άσκηση 1 Πραγματοποιήσαμε μια σειρά μετρήσεων του χρόνου εκτέλεσης τριών

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα ΦΥΣ102 1 Δύναμη είναι: Η αιτία που προκαλεί μεταβολή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση Κεφάλαιο ο: Δικτυωτή Ανάλυση. Εισαγωγή Η δικτυωτή ανάλυση έχει παίξει σημαντικό ρόλο στην Ηλεκτρολογία. Όμως, ορισμένες έννοιες και τεχνικές της δικτυωτής ανάλυσης είναι πολύ χρήσιμες και σε άλλες επιστήμες.

Διαβάστε περισσότερα

Το μισό του μήκους του σωλήνα, αρκετά μεγάλη απώλεια ύψους.

Το μισό του μήκους του σωλήνα, αρκετά μεγάλη απώλεια ύψους. Πρόβλημα Λάδι πυκνότητας 900 kg / και κινηματικού ιξώδους 0.000 / s ρέει διαμέσου ενός κεκλιμένου σωλήνα στην κατεύθυνση αυξανομένου υψομέτρου, όπως φαίνεται στο παρακάτω Σχήμα. Η πίεση και το υψόμετρο

Διαβάστε περισσότερα

HMY 102 Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

HMY 102 Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων H Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Από την προηγούμενη διάλεξη Στην ανάλυση πλεγμάτων, εφαρμόζουμε τον νόμο τάσης του Kirchhoff σε όλα τα πλέγματα του κυκλώματος. Τα ρεύμα σε ένα συγκεκριμένο πλέγμα εκφράζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκληση Πληροφορίας. Διδάσκων Δημήτριος Κατσαρός

Ανάκληση Πληροφορίας. Διδάσκων Δημήτριος Κατσαρός Ανάκληση Πληροφορίας Διδάσκων Δημήτριος Κατσαρός Διάλεξη 15η: 12/05/2014 1 Το πρόβλημα PageRank ως γραμμικό σύστημα 2 PageRank ως γραμμικό σύστημα Το πρόβλημα του PageRank μπορεί να γραφεί είτε ως Πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί Ο αλγόριθμος Simplex για τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, βλέπε Dntzig (1963), αποδίδει αρκετά καλά στην πράξη, ιδιαίτερα σε προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Δομές Δεδομένων [ΠΛΥ302] Χειμερινό Εξάμηνο 2013

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Δομές Δεδομένων [ΠΛΥ302] Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Δομές Δεδομένων [ΠΛΥ302] Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Λυμένες Ασκήσεις Σετ Α: Ανάλυση Αλγορίθμων Άσκηση 1 Πραγματοποιήσαμε μια σειρά μετρήσεων του

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ. & ΜΗΧ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Βασικά σημεία Μη γραμμικές εξισώσεις με πραγματικές ρίζες. Μέθοδος

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων 1ο Σετ Ασκήσεων - Λύσεις

Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων 1ο Σετ Ασκήσεων - Λύσεις Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων ο Σετ Ασκήσεων - Λύσεις Νοέμβριος - Δεκέμβριος 205 Ερώτημα (α). Η νοσοκόμα ακολουθεί μια Ομογενή Μαρκοβιανή Αλυσίδα Διακριτού Χρόνου με χώρο καταστάσεων το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εισαγωγή στους Υπολογιστές Ενότητα #2: Αναπαράσταση δεδομένων Αβεβαιότητα και Ακρίβεια Καθ. Δημήτρης Ματαράς Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Αναπαράσταση δεδομένων (Data Representation), Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών. Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής

Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών. Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής Ονοματεπώνυμο:Κυρκιμτζής Γιώργος Σ.Τ.Ε.Φ. Οχημάτων - Εξάμηνο Γ Ημερομηνία εκτέλεσης Πειράματος : 12/4/2000 Ημερομηνία

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Σημειώσεις. Επιμέλεια: Άγγελος Θ. Παπαϊωάννου, Ομοτ. Καθηγητής ΕΜΠ

ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Σημειώσεις. Επιμέλεια: Άγγελος Θ. Παπαϊωάννου, Ομοτ. Καθηγητής ΕΜΠ ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Σημειώσεις Επιμέλεια: Άγγελος Θ. Παπαϊωάννου, Ομοτ. Καθηγητής ΕΜΠ Αθήνα, Απρίλιος 13 1. Η Έννοια του Οριακού Στρώματος Το οριακό στρώμα επινοήθηκε για

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ο ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 ΩΡΕΣ

ΘΕΜΑ 1 ο ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 ΩΡΕΣ ΜΑΘΗΜΑ ΙΑΡΚΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 ΩΡΕΣ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 και δίπλα τη λέξη Σωστό, αν είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος, αν

Διαβάστε περισσότερα

Θερμοδυναμική - Εργαστήριο

Θερμοδυναμική - Εργαστήριο Θερμοδυναμική - Εργαστήριο Ενότητα 8: Συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων Εργαλεία Excel minverse & mmult Κυρατζής Νικόλαος Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος και Μηχανικών Αντιρρύπανσης ΤΕ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ ΡΕΥΣΤΩΝ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ ΡΕΥΣΤΩΝ Α. Παϊπέτης 6 ο Εξάμηνο Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Εισαγωγή Φύση και μορφή δυνάμεων/ ρυθμός παραμόρφωσης Σωματικές δυνάμεις: δυνάμεις σε όγκο ελέγχου που είναι πλήρης ρευστού

Διαβάστε περισσότερα

ÁÎÉÁ ÅÊÐÁÉÄÅÕÔÉÊÏÓ ÏÌÉËÏÓ

ÁÎÉÁ ÅÊÐÁÉÄÅÕÔÉÊÏÓ ÏÌÉËÏÓ ΘΕΜΑ Α ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 27 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 και, δίπλα,

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 3ης Άσκησης

Παρουσίαση 3ης Άσκησης Παρουσίαση 3ης Άσκησης Παράλληλος προγραμματισμός για αρχιτεκτονικές κατανεμημένης μνήμης με MPI Συστήματα Παράλληλης Επεξεργασίας 9ο Εξάμηνο, ΣΗΜΜΥ Εργ. Υπολογιστικών Συστημάτων Σχολή ΗΜΜΥ, Ε.Μ.Π. Νοέμβριος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΡΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΑΣ : Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Εαρινό Εξάμηνο 14 ΜΕΡΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1. Να ταξινομηθούν οι πιο κάτω ΣΔΕ με βάση τα εξής: τάξη, γραμμική ή μή. Να δοθούν επίσης οι ανεξάρτητες και εξαρτημένες μεταβλητές.

Διαβάστε περισσότερα

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι 94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1 ο. Δεδομένα: Τ = 200 t/h, E = 88% (0.88), u = 85% (0.85)

Θέμα 1 ο. Δεδομένα: Τ = 200 t/h, E = 88% (0.88), u = 85% (0.85) Θέμα 1 ο Σε άμεσο κλειστό κύκλωμα θραύσης το βάρος (παροχή) της τροφοδοσίας είναι Τ = 200 t/h. Αν η απόδοση κοσκίνισης είναι Ε = 88 % (8) και το ποσοστό υπομεγέθους στο προϊόν του θραυστήρα u = 85 % (5),

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις 2- διαστάσεις

Κεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις 2- διαστάσεις Κεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις - διαστάσεις Στις -διαστάσεις, η περιγραφή της εκδοχής hp της ΜΠΣ είναι αρκετά πολύπλοκη. Στο παρόν κεφάλαιο θα δούμε κάποια στοιχεία της, ξεκινώντας με

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου

4.4 Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου . Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου Σ αυτή την παράγραφο θα εξεταστεί μια παραλλαγή του προβλήματος της συντομότερης διαδρομής, το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου. Σ αυτό το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

εξίσωση πρώτου βαθμού

εξίσωση πρώτου βαθμού κεφάλαιο 2 Α1 εξίσωση πρώτου βαθμού επίλυση της εξίσωσης πρώτου βαθμού Εξίσωση, είναι κάθε ισότητα που περιέχει κάποιον άγνωστο, την τιμή του οποίου καλούμαστε να προσδιορίσουμε. Ο βαθμός μιας εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Ενότητα: Αναγνώριση Διεργασίας - Προσαρμοστικός Έλεγχος (Process Identification) Αλαφοδήμος Κωνσταντίνος

Διαβάστε περισσότερα

Μάριος Αγγελίδης

Μάριος Αγγελίδης ΠΙΝΑΚΕΣ Ενότητες βιβλίου: 3.3, 9.1-9.3 Ώρες διδασκαλίας: 1 Σε όλα τα προβλήματα μέχρι τώρα διαβάζαμε μία τιμή την φορά, την επεξεργαζόμασταν και χωρίς να την αποθηκεύουμε επαναλαμβάναμε την διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Πτυχιακή εργασία Θέμα : Ανάλυση ροής σε μηχανολογικές εφαρμογές με μεθόδους υπολογιστικής ρευστοδυναμικής (CFD).

Πτυχιακή εργασία Θέμα : Ανάλυση ροής σε μηχανολογικές εφαρμογές με μεθόδους υπολογιστικής ρευστοδυναμικής (CFD). Πτυχιακή εργασία Θέμα : Ανάλυση ροής σε μηχανολογικές εφαρμογές με μεθόδους υπολογιστικής ρευστοδυναμικής (CFD). Σπουδαστής : Παναγιώτης Μωραΐτης Α.Μ. : 4234 Επιβλέπων καθηγητής : Κοζυράκης Γιώργος 1 Ελέγχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 16 Συνεχή ρεύματα και κανόνες του Kirchhoff ΦΥΣ102 1 Ηλεκτρεγερτική δύναμη Ένα ηλεκτρικό

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/ Τεχνητή Νοημοσύνη 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στα βιβλία: Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β. Γκιούρδας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ)

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ) ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ) Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr

Διαβάστε περισσότερα

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr IV Συνέχεια Συνάρτησης mth-gr mth-gr Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grblogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Συνέχεια Συνάρτησης Α Ορισμός Συνέχεια σε σημείο: Θα λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 04 Εφαρμογές Νόμων του Νεύτωνα ΦΥΣ102 1 Ισορροπία υλικού σημείου και Δεύτερος νομός

Διαβάστε περισσότερα