ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript

1 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΗΝ ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΝΤΡΙΖΟΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ /

2 ΘΕΜΑ Δίνεται το κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ και έστω Μ και Ν τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΓΔ αντιστοίχως α) Να αποδείξετε ότι ΔΑ+ ΓΒ= ΝΜ 3 β) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ έτσι, ώστε: ( ) 7λ + 9 ΝΜ= ΔΑ+ ΓΒ ΘΕΜΑ +, όπου μ R α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων AB και AΓ Δίνονται τα σημεία Α( 3,4 ), B( 5,7 ) και Γ( μ,3μ ) β) Να αποδείξετε ότι για κάθε μ R τα σημεία Α, B και Γ δεν είναι συνευθειακά γ) Να βρείτε την τιμή του μ για την οποία τα διανύσματα AB και AΓ είναι κάθετα μεταξύ τους ΘΕΜΑ 3 Δίνονται τα διανύσματα α, β και u= α+ β, v= 5α 4β u v και α = β = α) Να αποδείξετε ότι α β= για τα οποία ισχύουν: β) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα u 3v και α β u 3v = 4 είναι αντίρροπα και ότι /

3 ΘΕΜΑ 4 Έστω τα διανύσματα α και β για τα οποία : α = β = α) Να αποδείξετε ότι α β= και ( α,β) = 60 β) Να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων α+ β και α β γ) Αν φ είναι η γωνία των διανυσμάτων α+ β συνφ= 7 και α β, να αποδείξετε ότι ΘΕΜΑ 5 Δίνονται τα διανύσματα AΒ= ( κ 6κ+ 9,κ 3) και AΓ= (,6), όπου κ R α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο AB AΓ β) Να βρείτε τις τιμές του κ, ώστε τα διανύσματα AB και AΓ να είναι κάθετα γ) Για την αρνητική τιμή του κ που βρήκατε στο ερώτημα β), να εκφράσετε το BΓ συναρτήσει των AB και AΓ ΘΕΜΑ 6 Θεωρούμε το διάνυσμα α= ( κ 3,κ 5κ+ 5), όπου κ 3 α) Να βρείτε τις τιμές του κ για τις οποίες ο συντελεστής διεύθυνσης του α ισούται με β) Για καθεμιά τιμή του κ που βρήκατε στο ερώτημα α), να βρείτε: i) τις συντεταγμένες του διανύσματος α ii) τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα α με τον άξονα xx 3/

4 ΘΕΜΑ 7 α) Δίνονται τα σημεία Α (,) και Β ( 5,6) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και B β) Να αποδείξετε ότι η μεσοκάθετος ε του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ έχει εξίσωση την ψ= χ+ 7 γ) Αν η ευθεία ε τέμνει τους άξονες χχ και ψψ στα σημεία Γ και Δ αντίστοιχα, τότε να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΟΓΔ είναι ισοσκελές, όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων ΘΕΜΑ 8 Δίνονται οι παράλληλες ευθείες ε :χ ψ 8= 0, ε :χ 4ψ+ 0= 0 και το σημείο Α της ε που έχει τετμημένη το 4 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Α β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε η οποία διέρχεται από το σημείο Α ίναι κάθετη στην ευθεία ε γ) Αν Β είναι το σημείο τομής των ευθειών ε, τότε: i) να βρείτε τις συντεταγμένες του Β ii) να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης των ευθειών ε ΘΕΜΑ 9 Δίνονται οι ευθείες ε :χ 8ψ+ 6= 0 :χ+ ψ+ 5= 0 οι οποίες τέμνονται στο σημείο Μ Αν οι ευθείες ε τέμνουν τον άξονα ψψ στα σημεία Α και B αντίστοιχα, τότε: α) να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Μ, A και B β) να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο ΜA ΜΒ γ) αν Κ είναι το μέσο του τμήματος ΑΒ, να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος ΜΚ 4/

5 ΘΕΜΑ 0 Δίνονται οι ευθείες ε :8χ+ ψ 8= 0 :χ ψ+ = 0 οι οποίες τέμνονται στο σημείο Μ α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ και, στη συνέχεια, να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Μ ίναι κάθετη στον άξονα χχ β) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες που διέρχονται από το Μ και έχουν συντελεστή διεύθυνσης λ έχουν εξίσωση την: λχ ψ 3λ+ 4= 0, όπου λ R γ) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το Μ και απέχουν από την αρχή των αξόνων Ο απόσταση ίση με 3 μονάδες ΘΕΜΑ Δίνονται οι ευθείες ε :χ 3ψ+ 5= 0 :3χ+ ψ 5= 0 α) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ε είναι κάθετες μεταξύ τους β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών ε γ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α και την αρχή Ο των αξόνων ΘΕΜΑ Δίνονται οι ευθείες ε :3χ+ ψ+ 3= 0 :χ+ ψ 4= 0 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών ε β) Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα ψψ στο σημείο Β και η ευθεία ε τέμνει τον άξονα χχ στο σημείο Γ, τότε: i) να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Β και Γ ii) να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Β και Γ έχει εξίσωση την 3χ 4ψ = 0 5/

6 ΘΕΜΑ 3 Θεωρούμε την ευθεία ε που τέμνει τους άξονες χχ και ψψ στα σημεία Α( 3,0 ) και Β( 0,6 ) αντίστοιχα α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε β) Αν ε είναι η ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων ίναι κάθετη στην ε, τότε να βρείτε: i) την εξίσωση της ευθείας ε ii) τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών ε iii) την απόσταση της αρχής των αξόνων από την ευθεία ε ΘΕΜΑ 4 Έστω Μ( 3,5 ) το μέσο ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με Α(, ) α) Να βρείτε: i) τις συντεταγμένες του σημείου Β ii) την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β β) Να βρείτε τις συντεταγμένες σημείου Κ του άξονα χχ έτσι, ώστε να ισχύει ( ΚΑ) ( ΚΒ) = και, στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι η απόσταση του Κ από την ευθεία ΑΒ ισούται με 5 5 ΘΕΜΑ 5 Θεωρούμε τα σημεία Α( α,0 ) και Β( 0,β ), όπου α β> 0 και α β β α) Να αποδείξετε ότι ΑΒ:ψ= χ+ β α β) Αν ε είναι η ευθεία που διέρχεται από το σημείο Μ( α,β ) ίναι κάθετη προς την ευθεία ΑΒ, τότε: i) να βρείτε την εξίσωση της ε ii) αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα χχ στο σημείο Κ και τον άξονα ψψ στο σημείο Λ, να αποδείξετε ότι ( ΟΚΛ) ( α β ) =, όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων αβ 6/

7 ΘΕΜΑ 6 Δίνονται τα διανύσματα α και β για τα οποία ισχύουν: α β β + α = 4, α β α+ β=, α) Να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) και ( ) ( ) i) τα διανύσματα ( α β) α+ β και ( ) ii) α β= 0 α β β+ α είναι κάθετα β) Να αποδείξετε ότι: α= ( 4, ) και β= (,) γ) Αν ΟA= α, ΟB= β και ( ) των αξόνων, τότε: i) να αποδείξετε ότι: 4χ+ 3ψ= 0 Γ χ,ψ είναι ένα σημείο της ευθείας ΑΒ, όπου Ο είναι η αρχή ii) αν επιπλέον τα διανύσματα ΟΓ συντεταγμένες του ΟΓ και AB είναι κάθετα, να βρείτε τις ΘΕΜΑ 7 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι AB= ( λ,λ+ ), AΓ= ( 3λ,λ ) είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ AΜ= λ, λ α) Να αποδείξετε ότι ( ), όπου λ 0 και λ, και Μ β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία το διάνυσμα AΜ είναι κάθετο στο διάνυσμα α =, λ λ γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ 7/

8 ΘΕΜΑ 8 Δίνονται οι ευθείες ε :χ ψ 0λ+ 6= 0 :0χ+ ψ λ 4= 0, όπου λ R α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου λ οι ευθείες ε τέμνονται, και να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής τους M β) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου λ το σημείο M ανήκει στην ευθεία ε:8χ ψ = γ) Αν η ευθεία ε τέμνει τους άξονες χχ και ψψ στα σημεία Α και B αντίστοιχα, τότε: i) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ζ που διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων ίναι παράλληλη προς την ευθεία AB ii) αν Κείναι τυχαίο σημείο της ευθείας ζ, να αποδείξετε ότι ( ΚΑΒ) 9 = 4 ΘΕΜΑ 9 Δίνεται η ευθεία ε:χ 4ψ 7 0 = και τα σημεία Α(,4) και ( ) B,6 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες σημείου M της ευθείας ε το οποίο ισαπέχει από τα σημεία A και B β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ γ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ( χ,ψ ) για τα οποία ισχύει ( ΚΑΒ) ( ΜΑΒ) ευθείες με εξισώσειςχ ψ 5= 0 και χ ψ+ 5= 0 = ανήκουν στις ΘΕΜΑ 0 Δίνεται η εξίσωση: χ + χψ+ ψ 6χ 6ψ+ 8= 0 α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει γεωμετρικά δύο ευθείες γραμμές ε οι οποίες είναι παράλληλες μεταξύ τους β) Αν ε :χ+ ψ = 0 :χ+ ψ 4= 0, να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης ε των ε γ) Αν Α είναι σημείο της ευθείας ε με τεταγμένη το και Β σημείο της ευθείας ε με τετμημένη το, τότε: i) να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων A και Β ii) να βρείτε τις συντεταγμένες δύο σημείων Γ και Δ της ευθείας ε έτσι, ώστε το τετράπλευρο ΑΓΒΔ να είναι τετράγωνο 8/

9 ΘΕΜΑ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ για το οποίο είναι A(,3 ), Γ( 5,7 ) και BΓ= (,) α) Να βρείτε τις συντεταγμένες ( χ,ψ ) της κορυφής B του τριγώνου β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ γ) Αν ε είναι η ευθεία που διέρχεται από την κορυφή B ίναι παράλληλη προς την πλευρά ΑΓ, τότε: i) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε ii) Να υπολογίσετε την απόσταση των παράλληλων ευθειών ε και ΑΓ ΘΕΜΑ Δίνονται τα σημεία Α(, ) και Β( 7,8 ) α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ( χ,ψ ) για τα οποία ισχύει ( ) παράλληλες ευθείες ε :χ ψ= 0 :χ ψ+ = 0 ΜΑΒ = 3 ανήκουν στις β) Να υπολογίσετε την απόσταση των ε γ) Να βρείτε σημείο Ν της ευθείας ε που ισαπέχει από τα σημεία Α και Β ΘΕΜΑ 3 Δίνονται οι ευθείες ε :3χ+ ψ+ 3= 0 :χ+ ψ 4= 0 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών ε β) Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα ψψ στο σημείο Β και η ευθεία ε τέμνει τον άξονα χχ στο σημείο Γ, τότε: i) να βρείτε εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Β και Γ ii) να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ γ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ( χ,ψ ) για τα οποία ισχύει ( ΚΒΓ) ( ΑΒΓ) δύο παράλληλες ευθείες, των οποίων να βρείτε τις εξισώσεις = ανήκουν σε 9/

10 ΘΕΜΑ 4 Θεωρούμε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ που είναι παράλληλο προς την ευθεία ε:ψ= χ, με Α( χ,ψ ), ( ) Β χ,ψ και χ< χ Αν το σημείο Μ( 3,5 ) είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ και το γινόμενο των τετμημένων των σημείων Α και Β ισούται με 5, τότε: α) να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β β) να αποδείξετε ότι ( ΟΑΒ) = 4, όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων γ) να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ( χ,ψ ) για τα οποία ισχύει ( ΚΑΒ) ( ΟΑΒ) στις ευθείες με εξισώσεις τις: χ ψ = 0 και χ ψ+ 6= 0 = ανήκουν ΘΕΜΑ 5 Δίνονται τα διανύσματα α, β για τα οποία ισχύουν: α = α) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο α β β γ α= β+ γ, τότε: i) να αποδείξετε ότι: β γ= β) Αν για ένα διάνυσμα γ ισχύει ( ), β = και ( α,β) = 60 ii) να εκφράσετε το γ ως γραμμικό συνδυασμό των α και β iii) να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος γ ΘΕΜΑ 6 Δίνονται τα διανύσματα α, β και γ για τα οποία ισχύουν: κ α =, β =, ( α,β) = 60 και γ= α β, όπου κ R α) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο α β β) Αν ισχύει β γ= κ, τότε: i) να αποδείξετε ότι: κ= ii) να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος γ iii) να αποδείξετε ότι τα διανύσματα 3α+ γ και β γ είναι κάθετα 0/

11 ΘΕΜΑ 7 Κατά τη διάρκεια μιας αεροναυτικής άσκησης ένα αεροσκάφος πετάει επί της ευθείας ΑΒ του παρακάτω σχήματος με φορά από το σημείο Α προς το σημείο Β, παράλληλα προς την επιφάνεια της θάλασσας και σε ύψος Km από αυτήν A ψ B Km O χ Τη στιγμή που το αεροσκάφος διέρχεται από το Α εκτοξεύει ένα τροχιοδεικτικό βλήμα με σκοπό να πετύχει μια ακατοίκητη βραχονησίδα Ο, την οποία στο πρόβλημά μας θεωρούμε ως ένα σημείο στην επιφάνεια της θάλασσας Υποθέτουμε ότι το βλήμα κινείται ευθύγραμμα και πετυχαίνει τη βραχονησίδα όταν η τροχιά του σχηματίζει με το τμήμα ΑΒ γωνία 30 α) Στην περίπτωση που ο σκοπός επιτυγχάνεται: i) να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο ΟΒ ΟΑ ii) να βρείτε την εξίσωση της τροχιάς του βλήματος στο ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων που έχει αρχή το Ο και το Β είναι σημείο του θετικού ημιάξονα Οψ β) Αν το αεροσκάφος τη στιγμή που περνούσε από το Α εκτόξευε βλήμα που, κινούμενο ευθύγραμμα, περνούσε από το μέσον του τμήματος ΟΒ, να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Γ της επιφάνειας της θάλασσας στο οποίο θα έπεφτε το βλήμα ΘΕΜΑ 8 3 Δίνονται τα σημεία Α,, B(, ) και μ 4 Γ μ,, όπου μ R α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων AB και ΒΓ β) Να αποδείξετε ότι για κάθε μ R το σημείο Γ ανήκει στην ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Β γ) Να βρείτε την τιμή του μ έτσι, ώστε μ ΒΓ= AB δ) Για την τιμή του μ που βρήκατε στο ερώτημα γ), να αποδείξετε ότι ( ΟΒΓ) =, όπου O είναι η αρχή των αξόνων /

12 ΘΕΜΑ 9 +, όπου μ R α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων AB και AΓ και, στη συνέχεια, να Δίνονται τα σημεία Α( 3,4 ), B( 5,7 ) και Γ( μ,3μ ) αποδείξετε ότι τα σημεία Α, B και Γ δεν είναι συνευθειακά για κάθε τιμή του μ β) Να αποδείξετε ότι: i) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ δεν εξαρτάται από το μ ii) για κάθε τιμή του μ το σημείο Γ ανήκει σε ευθεία ε, της οποίας να βρείτε την εξίσωση γ) Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά γιατί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ παραμένει σταθερό, ανεξάρτητα από την τιμή του μ; /