Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ"

Transcript

1 Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4.1 πωλυωνυμα Η έννοια του πολυωνύμου Έστω x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή. Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α είναι ένας πραγματικός αριθμός και ν ένας θετικός ακέραιος. Μονώνυμο του x καλούμε επίσης και κάθε πραγματικό αριθμό. Για παράδειγμα, οι παραστάσεις:, είναι μονώνυμα του x. και οι αριθμοί:, x, x, x, x Καλούμε πολυώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφής: ν ν 1 α νx +α ν 1x α 1x +α, όπου ν είναι ένας φυσικός αριθμός και α, α1,..., αν είναι πραγματικοί αριθμοί. ν ν 1 Τα μονώνυμα ανx, αν 1x,..., α1x, α λέγονται όροι του πολυωνύμου και οι αριθμοί αν, αν 1,..., α1, α συντελεστές αυτού. Ειδικότερα ο α λέγεται σταθερός όρος του πολυωνύμου. Τα πολυώνυμα της μορφής α, δηλαδή οι πραγματικοί αριθμοί, λέγονται σταθερά πολυώνυμα. Ειδικά το σταθερό πολυώνυμο λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Έτσι για παράδειγμα, οι παραστάσεις x + x x +, x 5x + 1, 1 5x x + x + και οι αριθμοί, κτλ. είναι πολυώνυμα του x.

2 4.1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 19 Η ισότητα μεταξύ δυο πολυωνύμων ορίζεται ως εξής: Δυο πολυώνυμα α x µ µ α 1x +α και β x ν ν β 1x +β, με µ ν θα λέμε ότι είναι ίσα όταν: α =β, α 1 =β1,..., α ν =β ν και α ν+ 1 =α ν+ =... =α µ = 4 Για παράδειγμα τα πολυώνυμα x + x + x x + 1 και x x + 1 είναι ίσα. Επίσης τα πολυώνυμα α x +β x+γ και x + είναι ίσα αν και μόνο αν γ=, β= και α=. Τα πολυώνυμα τα συμβολίζουμε συνήθως με P(x), Q(x), κτλ. Έστω τώρα ένα πολυώνυμο ν ν 1 P(x) =α νx +α ν 1x α 1x +α Αν όλοι οι συντελεστές του είναι ίσοι με μηδέν, τότε το Ρ(x) είναι ίσο με το πολυώνυμο (μηδενικό πολυώνυμο). Αν όμως ένας από τους συντελεστές του είναι διαφορετικός από το μηδέν, τότε το Ρ(x) παίρνει τη μορφή: κ κ 1 α κx +α κ 1x α 1x +α, με ακ Στην περίπτωση αυτή ο αριθμός κ λέγεται βαθμός του πολυωνύμου Ρ(x). Είναι φανερό ότι κάθε σταθερό και μη μηδενικό πολυώνυμο έχει βαθμό. Για το μηδενικό πολυώνυμο δεν ορίζεται βαθμός. Έτσι για παράδειγμα το πολυώνυμο P(x) = 4x + x 7 είναι ου βαθμού, ενώ το Q(x) = 7 είναι μηδενικού βαθμού. Αριθμητική τιμή πολυωνύμου ν ν 1 Έστω ένα πολυώνυμο P(x) =α νx +α ν 1x α 1x +α. Αν αντικαταστήσουμε το x με ένα ορισμένο πραγματικό αριθμό ρ, τότε ο ν ν 1 πραγματικός αριθμός P( ρ ) =ανρ +αν 1ρ αρ+α 1 που προκύπτει λέγεται αριθμητική τιμή ή απλά τιμή του πολυωνύμου για x=ρ. Αν είναι Ρ(ρ)=, τότε o ρ λέγεται ρίζα του πολυωνύμου. Για παράδειγμα, η τιμή του πολυωνύμου P(x) = x + x + 4x + 1, για x=1 είναι P(1) = = 6, ενώ για x = 1 είναι P( 1) = ( 1) + ( 1) + 4 ( 1) + 1 =, που σημαίνει ότι ο 1 είναι ρίζα του πολυώνύμου Ρ(x). Είναι φανερό ότι: Το σταθερό πολυώνυμο c έχει τιμή c για όλες τις τιμές του x και Τα ίσα πολυώνυμα έχουν ίσες τιμές για όλες τις τιμές του x(*) (*) Αποδεικνύεται ότι ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή ότι: Αν ένα πολυώνυμο έχει τιμή c για όλες τις τιμές του x, τότε αυτό είναι το σταθερό πολυώνυμο c και Αν δυο πολυώνυμα έχουν ίσες τιμές για όλες τις τιμές του x, τότε τα πολυώνυμα αυτά είναι ίσα.

3 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Πράξεις με πολυώνυμα Μπορούμε να προσθέσουμε, να αφαιρέσουμε, ή να πολλαπλασιάσουμε πολυώνυμα, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των πραγματικών αριθμών, όπως φαίνεται στα επόμενα παραδείγματα: 1. i) (x + x 5x + 7) + (4x 5x + ) = x + x 5x x 5x + = (1+ 4) x + ( 5)x 5x + (7 + ) = 5x x 5x + 1 [Πολυώνυμο ου βαθμού] ii) iii) (x x + 1) + ( x + x ) = x x + 1 x + x = x + x [Πολυώνυμο ου βαθμού] (x x 1) + ( x + x + 1) = x x 1 x + x + 1 = [Μηδενικό Πολυώνυμο].. (x + x 5x + 7) (4x 5x + ) = x + x 5x + 7 4x + 5x = x + 7x 5x + 4 (x + 5x)(x + x 1) = x (x + x 1) + 5x(x + x 1) 5 4 = x + x x + 1x + 15x 5x 5 4 = x + 1x + x + 14x 5x [Πολυώνυμο 5 ου βαθμού] Για το βαθμό του αθροίσματος και του γινομένου δυο πολυωνύμων αποδεικνύεται ότι: Αν το άθροισμα δυο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι μη μηδενικό πολυώνυμο, τότε ο βαθμός του είναι ίσος ή μικρότερος από το μέγιστο των βαθμών των δυο πολυωνύμων. Ο βαθμός του γινομένου δυο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι ίσος με το άθροισμα των βαθμών των πολυωνύμων αυτών. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1 i) Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες το πολυώνυμο P(x) = ( λ 1)x + ( λ λ+ )x +λ 1 είναι το μηδενικό πολυώνυμο. ii) Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες τα πολυώνυμα Q(x) =λ x + ( λ )x + και R(x) = (5λ 6)x + ( λ 4)x +λ+ 1 είναι ίσα. ΛΥΣΗ i) To Ρ(x) θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ για τις οποίες συναληθεύουν οι εξισώσεις: λ 1 =, λ λ+ = και λ 1= Η κοινή λύση των εξισώσεων αυτών είναι η λ = 1. Επομένως για λ = 1 το πολυώνυμο Ρ(x) είναι το μηδενικό πολυώνυμο.

4 4.1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 11 ii) Τα Q(x) και R(x) θα είναι ίσα για εκείνες τις τιμές του λ για τις οποίες συναληθεύουν οι εξισώσεις: λ = 5λ 6, λ =λ 4 και =λ+ 1 Η κοινή λύση των εξισώσεων αυτών είναι η λ=. Επομένως για λ= τα πολυώνυμα Q(x) και R(x) είναι ίσα. Αν P(x) = x + x +α 1, να βρεθούν οι τιμές του α για τις οποίες ισχύει P( 1) = 1. ΛΥΣΗ Έχουμε P( 1) = 1 ( 1) + ( 1) +α 1 = 1 α 4= α= ή α= Επομένως οι ζητούμενες τιμές είναι οι:,. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x: i) 1 x ii) α α x+ αx x iii) x + iv) x x + 4x 1 x. Δίνονται τα πολυώνυμα P(x) = x 5x + και Q(x) = x + x + 1. Να βρεθούν τα πολυώνυμα: i) P(x) + Q(x) ii) P(x) Q(x) iii) P(x) Q(x) iv) [P(x)]. Να βρείτε για ποιες τιμές του µ, το πολυώνυμο 1 P(x) = (4 µ µ )x + 4( µ )x µ+ 1 4 είναι το μηδενικό πολυώνυμο. 4. Να βρείτε για ποιες τιμές του α τα πολυώνυμα P(x) = ( α α )x + x +α και Q(x) = x +α x + ( α 1)x + 1 είναι ίσα. 5. Να εξετάσετε ποιοι από τους αριθμούς, που δίνονται με τα παρακάτω πολυώνυμα, είναι ρίζες τους. i) P(x) = x x + x + 7 x = 1, x=1 4 ii) Q(x) = x + 1 x = 1, x=1, x=. 6. Να βρείτε για ποιες τιμές του k το είναι ρίζα του πολυωνύμου P(x) = x kx + 5x + k.

5 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 7. Για ποιες τιμές του aî, η τιμή του πολυωνύμου P(x) = 5x + α x +α για x = 1 είναι ίση με 1. Β' ΟΜΑΔΑΣ 1. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ, για τους οποίους το πολυώνυμο f(x) = x 7x + 5 παίρνει τη μορφή f(x) =α x(x + 1) +β x +γ. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β, για τους οποίους το πολυώνυμο P(x) = x +α x +βx 6 έχει ρίζες το και το.. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς λ και μ, για τους οποίους το πολυώνυμο P(x) = x +λ x +µ x + 6 έχει ρίζα το 1 και ισχύει P( ) = Να βρείτε το βαθμό του πολυωνύμου P(x) = (9λ 4 λ )x + (9λ 4)x λ+ για τις διάφορες τιμές του λ. 5. Να βρείτε πολυώνυμο Ρ(x), για το οποίο ισχύει (x + 1)P(x) = x 9x x ΔΙΑΙΡΕΣΗ πωλυωνυμων Αλγοριθμική διαίρεση Γνωρίζουμε από το Γυμνάσιο την έννοια της Ευκλείδειας ή αλγοριθμικής διαίρεσης μεταξύ θετικών ακεραίων αριθμών. Συγκεκριμένα γνωρίζουμε ότι: Για κάθε ζεύγος φυσικών αριθμών Δ και δ με d¹, υπάρχουν δύο μοναδικοί φυσικοί αριθμοί π και υ, τέτοιοι ώστε Δ=δπ+υ, υ<δ (1) Η ισότητα αυτή είναι γνωστή ως ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης. Ο Δ λέγεται διαιρετέος, ο δ διαιρέτης, ο π πηλίκο και ο υ υπόλοιπο της διαίρεσης. Η έννοια της διαίρεσης των πολυωνύμων είναι ανάλογη με την Ευκλείδεια διαίρεση που αναφέραμε παραπάνω. Συγκεκριμένα ισχύει: δ(x) Όπως και στη διαίρεση μεταξύ φυσικών αριθμών το Δ(x) λέγεται διαιρετέος, το δ(x) διαιρέτης, το π(x) πηλίκο και το υ(x) υπόλοιπο της διαίρεσης.

6 4. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1 Για να προσδιορίσουμε το πηλίκο π(x) και το υπόλοιπο υ(x) της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Δ(x) με ένα πολυώνυμο δ(x), ακολουθούμε μια διαδικασία, ανάλογη με εκείνη της διαίρεσης των θετικών ακεραίων. Στο παράδειγμα που ακολουθεί περιγράφεται βήμα προς βήμα η διαδικασία της διαίρεσης του πολυωνύμου x 5x + x 1 με το πολυώνυμο x. 1. Κάνουμε το σχήμα της διαίρεσης και γράφουμε τα δυο πολυώνυμα.. Βρίσκουμε τον πρώτο όρο x του πηλίκου διαιρώντας τον πρώτο όρο x του διαιρετέου με τον πρώτο όρο x του διαιρέτη.. Πολλαπλασιάζουμε το x με x και το γινόμενο x x το αφαιρούμε από το διαιρετέο. Βρίσκουμε έτσι το πρώτο μερικό υπόλοιπο x + x Επαναλαμβάνουμε τα βήματα και με νέο διαιρετέο το x + x 1. Βρίσκουμε έτσι το δεύτερο μερικό υπόλοιπο 4x 1. x x 5x + x 1 x 5x + x 1 x 5x + x 1 x + x + x x 1 x 5x + x 1 x + x + x 6x 4x 1 x x 1 x x x x x x x 5. Τέλος επαναλαμβάνουμε τα βήματα και με νέο διαιρετέο το 4x 1. Βρίσκουμε έτσι το τελικό υπόλοιπο 1 και το πηλίκο x x 4. Παρατηρούμε ότι ισχύει η ισότητα: x 5x + x 1 = (x ) (x x 4) + ( 1) (διαιρετέος) = (διαιρέτης) (πηλίκο) + (υπόλοιπο) που εκφράζει την ταυτότητα της διαίρεσης. Αν ακολουθήσουμε την παραπάνω διαδικασία για τα πολυώνυμα 4x + x x 1 4 και x + x, έχουμε: x 5x + x 1 x + x x + x 1 x 6x 4x 1 4x x x x x 1 4x + + x + x + x 4 x x x 1 x x 1 x x 4x 1 x x x 4 x + x x x + 1

7 14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Παρατηρήστε ότι συμπληρώσαμε τη δύναμη Ομοίως για τα πολυώνυμα x + x x 1 και x x x 1 + x + x x 1 x με συντελεστή το μηδέν. x 1 έχουμε x + 1 Παρατηρήστε ότι στα παραπάνω παραδείγματα η διαίρεση τελειώνει, όταν το υπόλοιπο γίνει μηδέν ή ο βαθμός του γίνει μικρότερος από το βαθμό του διαιρέτη. Στο τελευταίο παράδειγμα βλέπουμε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η διαίρεση είναι τέλεια. Γενικά, αν σε μια διαίρεση είναι υ(x) =, τότε η διαίρεση λέγεται τέλεια και η ταυτότητα της διαίρεσης γράφεται (x) =δ(x) π (x) Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το δ(x) διαιρεί το Δ(x) ή ότι το δ(x) είναι παράγοντας του Δ(x) ή ότι το Δ(x) διαιρείται με το δ(x) ή ακόμη ότι το δ(x) είναι διαιρέτης του Δ(x). Έτσι για παράδειγμα το x 1 είναι παράγοντας ή διαιρέτης του x + x x 1. x 1 x+ 1 Διαίρεση πολυωνύμου με x ρ. Η ταυτότητα της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το πολυώνυμο x ρ γράφεται. P(x) = (x ρ) π (x) +υ (x) Επειδή ο διαιρέτης x ρ είναι πρώτου βαθμού, το υπόλοιπο της διαίρεσης θα είναι ένα σταθερό πολυώνυμο υ. Έτσι έχουμε: P(x) = (x ρ) π (x) +υ και, αν θέσουμε x=ρ, παίρνουμε P( ρ ) = ( ρ ρ) π( ρ ) +υ= +υ=υ Επομένως P(x) = (x ρ) π (x) + P( ρ) Αποδείξαμε λοιπόν ότι: ΘΕΩΡΗΜΑ Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x=ρ. Είναι δηλαδή υ=ρ( ρ)

8 4. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 15 Για παράδειγμα, το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) = x + x 1x 15 με το x είναι υ= P() = = 1, ενώ με το x+1 που γράφεται x ( 1), είναι υ= P( 1) = ( 1) + ( 1) 1 ( 1) 15 =. Παρατηρούμε ότι: P( 1) =, δηλαδή ότι το 1 είναι ρίζα του Ρ(x) και P(x) = (x + 1) π (x) + = (x + 1) π (x), δηλαδή ότι το x+1 είναι παράγοντας του Ρ(x). Γενικά ισχύει το παρακάτω θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ Ένα πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x ρ αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του Ρ(x), δηλαδή αν και μόνο αν Ρ(ρ) =. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω ότι το x ρ είναι παράγοντας του Ρ(x). Τότε P(x) = (x ρ) π(x) Από την ισότητα αυτή για x = ρ παίρνουμε P( ρ ) = ( ρ ρ) π( ρ ) =, που σημαίνει ότι το ρ είναι ρίζα του Ρ(x). Αντιστρόφως: Έστω ότι το ρ είναι ρίζα του Ρ(x), δηλαδή ισχύει Ρ(ρ) =. Τότε από τη σχέση P(x) = (x ρ) π (x) + P( ρ ) παίρνουμε P(x) = (x ρ) π (x), που σημαίνει ότι το x ρ είναι παράγοντας του Ρ(x). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1 o Να εξεταστεί αν τα πολυώνυμα x+ και x 1είναι παράγοντες του πολυωνύμου P(x) = x + x x +. ΛΥΣΗ Το x+ γράφεται x ( ). Επειδή P( ) = ( ) + ( ) ( ) + =, το είναι ρίζα του Ρ(x). Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, το x+ είναι παράγοντας του Ρ(x). Επειδή P(1) = =, το 1 δεν είναι ρίζα του Ρ(x). Επομένως το x 1 δεν είναι παράγοντας του Ρ(x).

9 16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ o Για ποιες τιμές του λ : i) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του είναι το μηδέν. ii) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του είναι το 1. ΛΥΣΗ P(x) = x x + x 1 με το x+λ 4 Q(x) =λ x + λx με το x 1 i) Επειδή x + λ = x ( λ ), το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x+λ είναι υ = P( λ ). Επομένως, για να είναι υ = αρκεί: P( ) ( ) ( ) ( ) 1 λ = λ λ + λ = 1 λ λ λ = λ + λ + λ+ 1= ( λ+ 1) = λ= 1 ii) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του Q(x) με το x 1 είναι υ = Q(1). Επομένως, για να είναι υ = 1 αρκεί: 4 Q(1) = 1 λ 1 + λ1 = 1 λ + λ 4= λ= 1 ή λ= 4 Σχήμα Horner (Χόρνερ) Έστω ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου, π.χ. του P(x) = x 8x + 7x +, με ένα πολυώνυμο της μορφής x ρ. Η Ευκλείδεια διαίρεση του Ρ(x) με το x ρ είναι η ακόλουθη: x x 8x + 7x + + ρx (ρ 8)x + 7x + (ρ 8)x +ρ(ρ 8)x [ ρ(ρ 8) + 7]x + [ ρ(ρ 8) + 7]x +ρρ [ (ρ 8) + 7] ρρ [ (ρ 8) + 7] + P( ρ) x ρ x + (ρ 8)x +ρ(ρ 8) + 7 Η παραπάνω διαίρεση μπορεί να παρουσιασθεί εποπτικά με τον ακόλουθο πίνακα που είναι γνωστός ως σχήμα του Horner

10 4. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 17 Συντελεστές του P(x) 8 7 ρ ρ (ρ 8)ρ [(ρ 8)ρ+7]ρ ρ 8 (ρ 8)ρ+7 [(ρ 8)ρ+7]ρ+ Συντελεστές Πηλίκου Υπόλοιπο Για την κατασκευή του πίνακα αυτού εργαζόμαστε ως εξής: Στην πρώτη γραμμή γράφουμε τους συντελεστές του πολυωνύμου Ρ(x) και στην πρώτη θέση της τρίτης γραμμής τον πρώτο συντελεστή του Ρ(x). Στη συνέχεια ο πίνακας συμπληρώνεται ως εξής: Κάθε στοιχείο της δεύτερης γραμμής προκύπτει με πολλαπλασιασμό του αμέσως προηγούμενου στοιχείου της τρίτης γραμμής επί ρ. Κάθε άλλο στοιχείο της τρίτης γραμμής προκύπτει ως άθροισμα των αντίστοιχων στοιχείων της πρώτης και δεύτερης γραμμής. Το τελευταίο στοιχείο της τρίτης γραμμής είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το (x ρ ), δηλαδή η τιμή του πολυωνύμου Ρ(x) για x = ρ. Τα άλλα στοιχεία της τρίτης γραμμής είναι οι συντελεστές του πηλίκου της διαίρεσης. Ας εργασθούμε τώρα με το σχήμα Horner για να βρούμε το πηλίκο και το 5 4 υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) = x + x + 6x 1 με το x. 6 1 ρ= [ ] Συμπληρώστε με τους συντελεστές των δυνάμεων του x που δεν υπάρχουν. Επομένως το πηλίκο της διαίρεσης είναι και το υπόλοιπο υ = Ρ() = 14 4 π (x) = x + 9x + 18x + 6x + 78 ΣΧΟΛΙΟ Στο παραπάνω παράδειγμα, αν αντί για το σχήμα Horner εκτελέσουμε τη διαίρεση, θα διαπιστώσουμε ότι οι πράξεις που απαιτούνται είναι αρκετά πιο επίπονες. Το ίδιο θα συμβεί, αν δοκιμάσουμε να υπολογίσουμε το Ρ() θέτοντας όπου x το. Το σχήμα Horner είναι ιδιαίτερα χρήσιμο στις περιπτώσεις όπου το ρ ή ο βαθμός του Ρ(x) είναι μεγάλος αριθμός. Για το λόγο αυτό, τόσο στις διαιρέσεις με το x ρ όσο και στον υπολογισμό της τιμής Ρ(ρ), θα χρησιμοποιούμε συνήθως το σχήμα Horner.

11 18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1 o Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης (4x 8α x + 4 α ) :(x α ) ΛΥΣΗ Το σχήμα Horner με διαιρετέο το 4x 8α x + 4α και διαιρέτη το x α δίνει: Άρα π(x) = 4x 4α και υ(x) = o Αν ν είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδειχθεί η ταυτότητα: ν ν ν 1 ν ν ν 1 (x α ) = (x α )(x + x α+ x α α ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Το σχήμα Horner με διαιρετέο το x ν α ν και διαιρέτη το x α δίνει ν ν Επομένως το υπόλοιπο της διαίρεσης (x α ):(x α ) είναι μηδέν, ενώ το πηλίκο είναι το πολυώνυμο ν 1 ν ν ν 1 π (x) = x +α x +α x α Τέλος, από την ταυτότητα της διαίρεσης προκύπτει ότι: ν ν ν ν ν 1 ν ν ν 1 x α = (x α) π (x) + ή x α = (x α )(x + x α+ x α α ) o Να εξεταστεί για ποιες τιμές του φυσικού αριθμού ν το x+α είναι παράγοντας του x +α, α. Γι' αυτές τις τιμές του ν, το x ν +α ν να γίνει ν ν γινόμενο της μορφής (x+α) π(x). ΛΥΣΗ 4-8α 4α α 4α -4α 4-4α α ν ρ=α α α... α ν-1 α ν 1 α α... α ν-1 ν ν ν ν Αν θέσουμε P(x) = x +α, τότε P( α ) = ( α ) + α. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: ν ν ν Αν ν άρτιος, τότε P( α ) =α +α = α, που σημαίνει ότι το α δεν ν ν είναι ρίζα του Ρ(x). Επομένως το x+α δεν είναι παράγοντας του x +α. ν ν Αν ν περιττός, τότε P( α ) = α + α = που σημαίνει ότι το α είναι ρίζα του Ρ(x). ν ν Επομένως το x+α είναι παράγοντας του x +α. Στη συνέχεια, αν εργαστούμε όπως στο παράδειγμα για ν περιττό βρίσκουμε την ταυτότητα: x +α = (x +α)(x x α+ x α... +α ν ν ν 1 ν ν ν 1 )

12 4. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 19 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ 1. Να κάνετε τις παρακάτω διαιρέσεις και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης σε κάθε περίπτωση. 4 i) (x + 6x 17x + ) : (x + ) ii) (x 81):(x ) 5 4 iii) (4x + x 16x 15) : (6x + 5) iv) (x + 4x 5x + x ):(x + x ) 4 5 v) x : (x 1) vi) (x + 7):(x 1) 8 5. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης (18x 6x + 4x ) : (x + 1).. Να βρείτε τις τιμές του k, για τις οποίες το x 1 είναι παράγοντας του 4 g(x) = k x + kx Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρείτε τα πηλίκα και τα υπόλοιπα των διαιρέσεων: i) ( x + 75x 5) : (x + 1) ii) (x + 51) : (x + 8) 5 4 iii) (x + 1) : (x 1) iv) x : (x ) 1 v) (4x + 16x x 15) : (x + ) 5. Αν P(x) = x x x + 49, να βρείτε το Ρ( 11). 6. Να αποδείξετε ότι τα πολυώνυμα της μορφής x ρ που δίνονται σε κάθε περίπτωση, είναι παράγοντες του Ρ(x). 4 i) P(x) = x 5x + 144, x+ 4 ii) 1 P(x) = 16x 8x + 9x + 14x 4, x 4 iii) P(x) = x x +, x 1 7. Αν ν είναι ένας άρτιος θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι το x+y είναι ν ν παράγοντας του x y. 8. Να αποδείξετε ότι τα παρακάτω πολυώνυμα δεν έχουν παράγοντα της μορφής x ρ. 4 i) P(x) = 4x + 7x + 1 ii) 6 Q(x) = 5x x 4 9. Αν ο ν είναι περιττός θετικός ακέραιος, τότε το x+1 είναι παράγοντας του x ν + 1. Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης (x ν + 1) : (x + 1). 1. Να κάνετε τις διαιρέσεις: i) (x αx 8 α ) : (x α ) ii) (x +αx α x α ):(x +α)

13 14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΟΜΑΔΑΣ 1. Να αποδείξετε ότι, αν το ν είναι παράγοντας του μ, τότε και το x ν α ν µ µ είναι παράγοντας του x α, (μ, ν θετικοί ακέραιοι).. i) Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με β το αx+β, α είναι υ= P. α ii) Να βρείτε τις συνθήκες, για τις οποίες το πολυώνυμο α x +β διαιρείται με το αx+β.. Με τη βοήθεια του σχήματος Horner μόνο, να αποδείξετε ότι το πολυώ- 4 νυμο P(x) = x 6x + 5x x + διαιρείται με το (x-1)(x-) και να βρείτε το πηλίκο. ν ν 4. Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο P(x) = (x + 1) x x 1, ν έχει παράγοντες όλους τους παράγοντες του x + x + x. ν+ 1 ν 5. Να υπολογίσετε τους α, β, για τους οποίους το P(x) =α x +β x + 1 έχει παράγοντα το (x 1). 4. πωλυωνυμικεσ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Σε προηγούμενες τάξεις γνωρίσαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων 4 α x +β=, α x +β x +γ= και α x +β x +γ=, με α Οι εξισώσεις αυτές είναι ειδικές περιπτώσεις μιας κατηγορίας εξισώσεων της μορφής Ρ(x) =, όπου Ρ(x) πολυώνυμο, οι οποίες λέγονται πολυωνυμικές εξισώσεις. Συγκεκριμένα: Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζουμε κάθε εξίσωση της μορφής ν α x +α x α x +α =, α ν ν 1 ν Για παράδειγμα, οι εξισώσεις x 5x + x = και x + 5x + 1 = είναι πολυωνυμικές εξισώσεις ου και 6ου βαθμού αντιστοίχως. Ρίζα μιας πολυωνυμικής εξίσωσης ονομάζουμε κάθε ρίζα του πολυωνύμου ν ν 1 P(x) =α νx +α ν 1x α 1x +α, δηλαδή κάθε αριθμό ρ, για τον οποίο ισχύει Ρ(ρ) =. Όπως για τις πολυωνυμικές εξισώσεις 1ου και ου βαθμού, έτσι και για τις πολυωνυμικές εξισώσεις ου και 4ου βαθμού έχουν βρεθεί γενικοί τρόποι επίλυσής τους. Οι τρόποι αυτοί όμως απαιτούν γνώσεις που είναι έξω από το σκοπό αυτού του βιβλίου και δε θα αναπτυχθούν εδώ. ν

14 4. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 141 Τέλος, έχει αποδειχθεί ότι γενικός τρόπος επίλυσης για πολυωνυμικές εξισώσεις βαθμού μεγαλύτερου του 4 δεν υπάρχει. Για τους λόγους αυτούς, για την επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων βαθμού μεγαλύτερου από, θα περιοριστούμε στη γνωστή μας παραγοντοποίηση. Η επίλυση μια εξίσωσης με τη μέθοδο αυτή στηρίζεται στην ισοδυναμία P 1(x) P (x)... P k(x) = (P 1(x) = ή P (x) = ή... ή P k (x) = ) Δηλαδή, για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση Ρ(x) =, παραγοντοποιούμε το Ρ(x) και αναγόμαστε έτσι στην επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων μικρότερου βαθμού. Για παράδειγμα, ας λύσουμε την εξίσωση x x + =. Αυτή γράφεται: x x+ = x x x+ = x(x 1) (x 1) = (x 1)[x(x + 1) ] = (x 1)(x + x ) = x 1= ή x + x = x = 1 ή x = Παράγοντας της μορφής x-ρ Το θεώρημα που ακολουθεί μας βοηθά σε ορισμένες περιπτώσεις, στην εύρεση πρωτοβάθμιων παραγόντων. ΘΕΩΡΗΜΑ (ακέραιων ριζών) Έστω η πολυωνυμική εξίσωση ν ν 1 α νx +α ν 1x α 1x +α =, με ακέραιους συντελεστές. Αν ο ακέραιος ρ είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α. αποδειξη Αν ο ρ είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε διαδοχικά έχουμε ν ν 1 ν ν 1 ν ν ν ν ν 1 ν α =ρ ανρ αν 1ρ α1 α ρ +α ρ + +αρ+α = α = α ρ α ρ αρ (... ) ν 1 ν Επειδή οι ρ, α 1,,α,..., α ν είναι ακέραιοι έπεται ότι και ο ανρ αν 1ρ... α 1 είναι ακέραιος. Από την τελευταία ισότητα συμπεραίνουμε, ότι ο ρ είναι διαιρέτης του α.

15 14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1 ο Να λυθεί η εξίσωση ΛΥΣΗ x x + x + = Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες ± 1, ± του σταθερού όρου. Με το σχήμα Horner εξετάζουμε αν κάποιος από αυτούς μηδενίζει το πολυώνυμο P(x) = x x + x +. Έχουμε: 1-1 ρ=1 P(1) = Άρα το 1 δεν είναι ρίζα του Ρ(x) 1-1 ρ= ρ= P( 1) = Άρα το 1 δεν είναι ρίζα του Ρ(x) P() = Άρα το είναι ρίζα του Ρ(x) Επομένως το x είναι παράγοντας του Ρ(x). Συγκεκριμένα από το τελευταίο σχήμα έχουμε P(x) = (x )(x x 1) οπότε η εξίσωση γράφεται (x )(x x 1) = και έχει ρίζες τους αριθ- και μούς, 1 5 ΣΧΟΛΙΟ Από το παραπάνω παράδειγμα συμπεραίνουμε ότι το αντίστροφο του θεωρήματος δεν αληθεύει. Με άλλα λόγια μπορεί ένας ακέραιος ρ να είναι διαιρέτης του α, χωρίς αυτός να είναι κατ ανάγκη και ρίζα της εξίσωσης π.χ. ο ρ=1. o Να λυθεί η εξίσωση ΛΥΣΗ 4 x + 5x + 9x + 8x + 4 =. Οι διαιρέτες του 4 είναι οι: ±1, ±, ±4. Επειδή όλοι οι συντελεστές της εξίσωσης είναι θετικοί, οι διαιρέτες 1,, και 4 αποκλείεται να είναι ρίζες της. Επομένως οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι 1,, και 4.

16 4. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 14 Αν εργαστούμε όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, βρίσκουμε P( 1) = 1, ενώ για ρ= έχουμε: ρ= P( ) = Άρα το δεν είναι ρίζα του Ρ(x) Η εξίσωση τότε γράφεται (x + )(x + x + x + ) = Αν επαναλάβουμε την παραπάνω διαδικασία για το Q(x) = x + x + x + και ρ= έχουμε 1 ρ= Q( )= Άρα το είναι ρίζα του Q(x) Επομένως είναι γράφεται x + x + x + = (x + )(x + x + 1) και η αρχική εξίσωση (x + ) (x + x + 1) = Η τελευταία έχει μια μόνο διπλή ρίζα τον αριθμό. Πρόσημο γινομένου Έστω ότι θέλουμε να μελετήσουμε ένα γινόμενο P(x) = A(x) B(x)... Φ (x) ως προς το πρόσημό του, όπου οι παράγοντες A(x), B(x),..., Φ (x) είναι της μορφής αx + β (πρωτοβάθμιοι) ή της μορφής α x +β x+γ (τριώνυμα). Βρίσκουμε το πρόσημο κάθε παράγοντα χωριστά και στη συνέχεια το πρόσημο του P(x), όπως φαίνεται στο παράδειγμα που ακολουθεί. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθεί για τις διάφορες τιμές του x το πρόσημο του γινομένου P(x) = (x 1)(x + x 6)(x + x + 1). ΛΥΣΗ Αρχικά βρίσκουμε το πρόσημο του κάθε παράγοντα χωριστά ως εξής: Επειδή x 1 x 1, το x 1 είναι θετικό για x >1, μηδέν για x =1 και αρνητικό για x <1.

17 144 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Επειδή x + x 6 (x + )(x ) x ή x το x + x 6 είναι θετικό για x< και για x >, μηδέν x = και για x = και αρνητικό για < x <. Επειδή το x + x + 1 έχει διακρίνουσα = 1 8 = 7 <, το τριώνυμο αυτό είναι θετικό για κάθε x. Ο προσδιορισμός, τώρα, του προσήμου του γινομένου P(x) γίνεται με τη βοήθεια του παρακάτω πίνακα, εφαρμόζοντας τον κανόνα των προσήμων. x x x + x x + x P(x) Ώστε το γινόμενο P(x) είναι θετικό για < x < 1 και για x >, ενώ είναι αρνητικό για x< και για 1< x <. Τέλος είναι μηδέν για x =, για x =1 και για x =. Ανισώσεις της μορφής A(x). B(x)..... Φ(x)> (<) Άμεση εφαρμογή των παραπάνω έχουμε στην επίλυση ανισώσεων της μορφής A(x) B(x)... Φ (x) > ( < ), όπως είναι για παράδειγμα η ανίσωση (x 1)(x + x 6)(x + x + 1) < Προκειμένου να λύσουμε την ανίσωση αυτή αρκεί να βρούμε τις τιμές του x για τις οποίες το γινόμενο P(x) = (x 1)(x + x 6)(x + x + 1) είναι αρνητικό. Από την πρώτη και την τελευταία γραμμή του πίνακα προσήμου του P(x) διαπιστώνουμε ότι η ανίσωση αληθεύει όταν x (, ) (1, ). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να λυθεί η ανίσωση ΛΥΣΗ x x + x + > Αν εργαστούμε όπως στο παράδειγμα 1, η ανίσωση γράφεται (x )(x x 1) > ή (x ) x x. > Τοποθετούμε τις ρίζες του P(x) = x x + x + σε άξονα και παρατηρούμε ότι: Στο 1ο από δεξιά διάστημα (, + ) το Ρ(x) είναι θετικό, αφού όλοι οι παράγοντες

18 4. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ είναι θετικοί. Στο επόμενο διάστημα, το Ρ(x) είναι αρνητικό, αφού ένας μόνο παράγοντας, ο x, είναι αρνητικός. Αν συνεχίσουμε έτσι, βρίσκουμε το πρόσημο του Ρ(x) σε όλα τα διαστήματα όπως φαίνεται στο σχήμα Επομένως οι λύσεις της ανίσωσης είναι τα x, με 1 5 x 1 + < < 5 ή x>. Προσδιορισμός ρίζας με προσέγγιση Όταν ο ακριβής προσδιορισμός των ριζών μιας εξίσωσης είναι δύσκολος ή αδύνατος, τότε χρησιμοποιούνται διάφορες μέθοδοι για να προσδιοριστούν με προσέγγιση οι ρίζες αυτές. Μια τέτοια προσεγγιστική μέθοδος, που παρουσιάζεται βήμα προς βήμα στο παράδειγμα που ακολουθεί, στηρίζεται στο παρακάτω θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω η συνάρτηση ν ν 1 f (x) =α νx +α ν 1x α 1x +α Αν για δυο πραγματικούς αριθμούς α, β με α<β οι τιμές f(α), f(β) της συνάρτησης είναι ετερόσημες, τότε υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f(x) = μεταξύ των α, β. Το παραπάνω θεώρημα ερμηνεύεται γεωμετρικά ως εξής: Αν η γραφική παράσταση της f περνάει από δυο σημεία Α (α, f(α)) και Β(β,f(β)) που βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα x'x, τότε αυτή τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη μεταξύ των α και β. y y f(α) Α(α,f(α)) f(β) Β(β,f(β)) O f(β) α x β O α x1 x x 1 x x Β(β,f(β)) f(α) Α(α,f(α)) β x

19 146 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση x x + 1 = έχει μια τουλάχιστον ρίζα μεταξύ των αριθμών 1 και. Στη συνέχεια να βρεθεί μια ρίζα με προσέγγιση δεκάτου. ΛΥΣΗ Έστω η συνάρτηση f (x) = x x + 1 f (1) = 1 < 1 o βήμα: Έχουμε f () = > Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης στο διάστημα (1,) o βήμα: Βρίσκουμε τις τιμές της συνάρτησης στα ενδιάμεσα σημεία 1,1, 1,,... 1,9 και παρατηρούμε ότι: f (1,5),1 < f (1, 6), > Επομένως υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (1,5, 1,6). o βήμα: Επαναλαμβάνουμε την προηγούμενη διαδικασία στο διάστημα (1,5, 1,6) και έχουμε: f (1,5), 1 < f (1,54), > Επομένως υπάρχει μια ρίζα ρ στο διάστημα (1,5, 1,54) δηλαδή ισχύει 1,5 < ρ < 1,54. Άρα με προσέγγιση δεκάτου είναι ρ = 1,5. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις. 4 i) 5x = 6x ii) x + x 9x 18 = 5 4 iii) x + 5x = x + 5x 6 iv) x 64 = v) x + x = vi) x 7x + 6 = vii) (x + 1) + 1 = viii) 7(x + ) (1 x) (x + )(1 x) = ix) x + 8 = 7(x + 5x + 6) + 9x 6 4 x) x x + 6x 4 = 1 A(1, 1) 1,5 ρ B(,)

20 4. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 147. Να βρείτε τις ακέραιες ρίζες των εξισώσεων i) x x + x + = ii) iii) x 1x 1 = iv) x + 8x 15x + 4 = x + x + 7x + 6 =. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις δεν έχουν ακέραιες ρίζες. 4 4 i) x + x = ii) x x + 6x 4x + 5 = 4. Να βρείτε το πρόσημο των παρακάτω γινομένων, για τις διάφορες τιμές του x. i) P(x) = ( x)(x x )(x x + 1) ii) Q(x) = ( x + 4)(x x + )(x + x + 1) 5. Να λύσετε τις ανισώσεις: i) iii) 5 x 16x ii) x 5x 6x + 9 > iv) 6. Να λύσετε τις ανισώσεις: i) iii) x + x + x + 6 > ii) x x + < iv) (x x + x )(x 9) > x 4x x x 6x + x x x x + x x 6 7. Να βρείτε τα σημεία τομής του άξονα x'x και της γραφικής παράστασης καθεμίας από τις συναρτήσεις: i) f (x) = x x 5x ii) g(x) = 4x x 1 8. Να βρείτε τα διαστήματα, στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης f (x) = x 5x + x + x βρίσκεται κάτω από τον 4 άξονα x'x. 9. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 8 4 x 15x 16 = ii) x x iii) = x+ 1 x Να βρεθεί μια ρίζα της εξίσωσης προσέγγιση δεκάτου. 6 (x 1) 9(x 1) + 8 = x + 5x = στο διάστημα (,1) με

21 148 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β' ΟΜΑΔΑΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) x + x + x =, ii) x x x+ = 4. Να βρείτε για ποιες τιμές των α, β το P(x) = x +α x +βx 16x 1 έχει παράγοντες τους x+1 και x. Στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση Ρ(x) =.. Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες, η εξίσωση x x + kx + = έχει μία τουλάχιστον ακέραια ρίζα. * 4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x ν * + λx =, ν N, ν, λ, δεν έχει ακέραιες ρίζες Αν P(x) = x 5x 1x + k να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το x 1 είναι παράγοντας του Ρ(x). Για αυτές τις τιμές του k να λύσετε την εξίσωση Ρ(x) =. 6. Για να κατασκευάσουμε ένα ανοικτό κουτί από ένα ορθογώνιο χαρτόνι με διαστάσεις 5dm και 9dm, κόβουμε ίσα τετράγωνα από κάθε γωνία του και γυρίζουμε προς τα πάνω τις πλευρές του. Να βρείτε τις διαστάσεις του κουτιού, αν είναι γνωστό ότι αυτές εκφράζονται σε dm με ακέραιους αριθμούς και ακόμη ότι ο όγκος του είναι 1dm. x x 7. Η συγκέντρωση μιας χημικής ουσίας στο αίμα t ώρες μετά από ενδομυϊκή t + t ένεση δίνεται από τον τύπο c =. Η συγκέντρωση είναι μέγιστη, t όταν t + t t =. Να υπολογίσετε με προσέγγιση δεκάτου το χρόνο t καθώς και τη μέγιστη συγκέντρωση. 8. Αν ο όγκος του διπλανού σχήματος είναι 6m, να βρείτε το x. 1m xm xm xm

22 4. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Ένα παγόβουνο σύρεται από την Ανταρκτική προς την Αφρική. Αν ο όγκος του V, μετά από ν ημέρες δίνεται από τον τύπο 5π V = ( 1ν+ ν ν ), να βρείτε μετά πόσο χρόνο το παγόβουνο θα λιώσει τελείως. 1. Σε χρόνο t δευτερολέπτων μετά την πρόσκρουση του φορτηγού στο κιγκλίδωμα του δρόμου, η παραμόρφωση σε mm του κιγκλιδώματος δίνεται από τον τύπο d = 15t(t 6t 9). Σε πόσο χρό- νο μετά την πρόσκρουση η μπάρα του κιγκλιδώματος θα επανέλθει στην αρχική της θέση; 11. Ένα πακέτο σχήματος παραλληλεπιπέδου, για να σταλεί με το ταχυδρομείο, πρέπει το άθροισμα του μήκους του με την περίμετρο μιας κάθετης τομής του να μην υπερβαίνει τα 18cm (βλέπε σχήμα). Να βρεθούν οι διαστάσεις του πακέτου, αν γνωρίζουμε ότι ο όγκος του είναι cm. y x x 1. i) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνάει από τα σημεία Α (1,) και 1 1 B(, ). ii) Να αποδείξετε ότι η ευθεία αυτή τέμνει την καμπύλη y=x +x για τα x που είναι ρίζες της εξίσωσης. x + x 5x + = iii) Να λύσετε την εξίσωση και να βρείτε τις συντεταγμένες του Γ.

23 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. Ένα εργοστάσιο κατασκευάζει μικρά δοχεία για χυμούς φρούτων. Το τμήμα σχεδιασμού του εργοστασίου έλαβε τρείς παραγγελίες: xcm χυμός α) Ο πρώτος πελάτης θέλει κουτιά που να ροδάκινο χωρούν ml χυμού και με διαστάσεις, x+ cm x+1 cm που να διαφέρουν κατά 1cm, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να αποδειχθεί ότι το τμήμα έχει να λύσει την εξίσωση x + x + x =. Μπορείτε να τους βοηθήσετε να βρουν το x με προσέγγιση ενός mm. β) Ο δεύτερος πελάτης θέλει τενεκεδάκια κυλινδρικά που να χωρούν 1lit, και να έχουν ύψος 1cm μεγαλύτερο από το μήκος της ακτίνας τους. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση αυτή τη φορά είναι r + 1r 18 = και να βρεθεί το r με προσέγγιση ενός mm. (Να πάρετε 1 18 π ). γ) Ο τρίτος πελάτης ζήτησε κουτιά σε σχήμα τετραγωνικής πυραμίδας, που να χωρούν 5ml, με πλευρά βάσης 5cm μεγαλύτερη από το ύψος. Να βρεθεί η εξίσωση και στη συνέχεια μια κατά προσέγγιση τιμή του ύψους h (προσέγγιση χιλιοστού). r+1 cm r cm χυμός αχλάδι h+5cm χυμός ροδάκινο χυμός μήλο h+5cm 4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Υπάρχουν εξισώσεις, οι οποίες δεν είναι πολυωνυμικές, αλλά με κατάλληλη διαδικασία η λύση τους ανάγεται στη λύση πολυωνυμικών. Τέτοιες εξισώσεις επιλύονται στα παραδείγματα που ακολουθούν. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 o Να λυθεί η εξίσωση ΛΥΣΗ 1 x + x 1 x(x 1) = Η εξίσωση ορίζεται για κάθε x με x και περιορισμούς έχουμε: 1 x. Με αυτούς τους

24 4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ = + = x 1 x(x 1) x 1 x(x 1) x x(x 1)x x(x 1) x(x 1) 4 x x x 1 + = x (x 1) x 1 + = (x 1)(x 1) + = και 1. Λόγω των περιορι- Η τελευταία εξίσωση έχει ρίζες τους αριθμούς 1 σμών δεκτή είναι μόνο η x = 1. ο Να λυθεί η εξίσωση x = x. ΛΥΣΗ Η εξίσωση ορίζεται για x. Αν υψώσουμε και τα δυο μέλη της στο τετράγωνο, προκύπτει η εξίσωση x = x 4x + 4, η οποία γράφεται x 5x + 4 = και έχει ως ρίζες τις x 1 = 4 και x = 1. Οι τιμές αυτές του x, αν και ικανοποιούν τον περιορισμό x δεν είναι και οι δύο ρίζες της αρχικής εξίσωσης. Πράγματι αν θέσουμε τις τιμές αυτές στην αρχική εξίσωση, παίρνουμε: Για x = 4 : 4 = 4 που είναι αληθής ισότητα Για x = 1 : 1= 1 που δεν είναι αληθής ισότητα. Αρα η αρχική εξίσωση έχει ως μοναδική ρίζα την x=4. ΣΧΟΛΙΟ Από το παραπάνω παράδειγμα προκύπτει ότι, αν υψώσουμε τα μέλη μιας εξίσωσης στο τετράγωνο, τότε η εξίσωση που προκύπτει μπορεί να έχει και άλλες ρίζες εκτός από τις ρίζες της αρχικής εξίσωσης. Είναι λοιπόν απαραίτητο σε τέτοιες περιπτώσεις να κάνουμε επαλήθευση των ριζών που βρίσκουμε και να απορρίπτουμε όσες από αυτές δεν επαληθεύουν την αρχική εξίσωση. o Να λυθεί η εξίσωση x + 7 x =. ΛΥΣΗ Η εξίσωση ορίζεται για κάθε x με x + 7 = x + 7 x. Γι' αυτά τα x διαδοχικά έχουμε: (απομονώνουμε το ριζικό) ( x + 7) = (x + ) (υψώνουμε στο τετράγωνο) x + 7 = x + 4x + 4 x + x = Η τελευταία εξίσωση έχει ως ρίζες τους αριθμούς και 1. Από τις ρίζες αυτές διαπιστώνουμε με επαλήθευση ότι μόνο η x=1 είναι ρίζα της αρχικής.

25 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4 ο Να λυθεί η εξίσωση x+ 6 x+ 4 = 1. ΛΥΣΗ Η εξίσωση ορίζεται για τα x, για τα οποία ισχύουν x + 6 και x + 4, δηλαδή για τα x. Γι' αυτά τα x διαδοχικά έχουμε: x + 6 = 1+ x + 4 ( x+ 6) = (1+ x+ 4) (απομονώνουμε το ριζικό) (υψώνουμε στο τετράγωνο) x+ 6= 1+ x+ 4+ x+ 4 x+ 1= x+ 4 (x + 1) = 4(x + 4) (υψώνουμε στο τετράγωνο) x x 15 = Η τελευταία εξίσωση έχει ως ρίζες τους αριθμούς και 5. Από τις ρίζες αυτές διαπιστώνουμε με επαλήθευση ότι μόνο η x = 5 είναι ρίζα της αρχικής. ΣΧΟΛΙΟ Εξισώσεις όπως αυτές των παραδειγμάτων, και 4, όπου παραστάσεις του x βρίσκονται κάτω από ριζικά, ανήκουν σε μια κατηγορία εξισώσεων που λέγονται άρρητες. Ανισώσεις της μορφής Α(x) B(x) > (< ) Όπως γνωρίζουμε το πηλίκο και το γινόμενο δύο αριθμών είναι ομόσημα. Επομένως: A(x) A(x) B(x) B(x) > > και A(x) A(x) B(x), B(x) < < αφού, καμία από τις λύσεις της A(x) B(x) > και της A(x) B(x) < δεν μηδενίζει το Β(x). Για παράδειγμα, έστω ότι θέλουμε να λύσουμε την ανίσωση (x 1)(x + x + 1) >. x + x 6 Η ανίσωση αυτή είναι ισοδύναμη με την (x 1)(x + x 6)(x + x + 1) >, δηλαδή με την P(x)>, η οποία, από τον πίνακα προσήμου του P(x) αληθεύει όταν x (,1) (, + ).

26 4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ 15 ΣΧΟΛΙΟ Μία ανίσωση της μορφής A(x) B(x) αληθεύει για εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς x για τους οποίους ισχύουν συγχρόνως A(x) B(x) και B(x). x 4x + Έστω για παράδειγμα η ανίσωση. Έχουμε: x + x 4 x 4x + (x 4x )(x x 4) και + + x + x 4. x + x 4 Οι ρίζες του τριωνύμου x 4x + είναι οι 1 και, ενώ του τριωνύμου x + x 4 είναι οι 1 και 4. Συντάσσουμε τον πίνακα προσήμου του γινομένου: P(x) = (x 4x + )(x + x 4) x x - 4x x + x P(x) Άρα η ανίσωση αληθεύει όταν x (, 4) [, + ). ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις: x 1 x x + x 4 i) = ii) = x 1 x x x x 1 x+ 1 x 1. Να λύσετε την εξίσωση: ηµ x+ συν x+ ηµ x =. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) x = 4x ii) x = 4 iii) 5x 1 = 4 iv) x+ = x+ 1 v) x + = 1 x + 1 vi) x + x = 1 x 8 vii) x = + viii) 1+ x = x+ 1 x 4. Να λύσετε τις ανισώσεις: x i) > ii) x 1 + x x iii) x+ 1 x x + x

27 154 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 5. Να λύσετε τις ανισώσεις: i) x + x > 4 ii) 4 iii) x 1 x + 5 x x iv) v) x 5 x 1 x 1 x Να λύσετε την ανίσωση: x + x 1 x(x 1) x x 1 + x 1 B ΟΜΑΔΑΣ 1. Να λύσετε τις ανισώσεις: i) x + < 1 x ii) x > x 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) x + x 1 = ii) x + x 6=. Ομοίως τις εξισώσεις: i) x + x 4= x + x ii) x 1+ x 4 = x Ομοίως τις εξισώσεις: i) x 1=α ii) 5. Να λύσετε την εξίσωση 4x + 1 = x λ 4 ηµ x ηµ x συν x ηµ x+ 4= ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (Γ ΟΜΑΔΑΣ) 1. Με τη βοήθεια της (x + x + 1)(x 1) = x 1, να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο P(x) = x + x + x διαιρείται με το πολυώνυμο x +x+1 (ν, ν µ+ 1 ρ+ μ, ρ θετικοί ακέραιοι).. Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο: ν+ 1 ν i) f(x) =νx ( ν+ 1)x + 1 διαιρείται με το (x 1). Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης. n n-1 ii) g(x) = ( n-)x -n x +nx-n+ διαιρείται με το (x 1).. Να λύσετε τις εξισώσεις: 4 4 i) x + x + x + 1= ii) x + x 4x + x+ 1= 4 (Οι εξισώσεις αυτές είναι της μορφής α x +β x +γ x +β x+α=, α. Εξισώσεις της μορφής αυτής ανήκουν σε μια κατηγορία εξισώσεων που λέγονται αντίστροφες).

28 4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ 155 Υπόδειξη: Να διαιρέσετε τα μέλη των εξισώσεων με x και στη συνέχεια να 1 θέσετε x + = y. x 4. Να λύσετε τις εξισώσεις 4 4 i) x + x 16x x + 4 = ii) x + 8x + 1x 8x + 1 = 5. Να λύσετε την εξίσωση (x + x 1) (x + x + ) + 14 = 5 x + x +α x +β, διαι- Υπόδειξη: Να θέσετε x + x 1 = y. 6. Να βρείτε τα α, β για τα οποία το πολυώνυμο ρούμενο με το x, δίνει υπόλοιπο 5x Αν P(x) = x 1x + 1x 1x x 1, να υπολογιστούν οι τιμές Ρ(11) και Ρ(1). 8. Ο ήλιος ενός πλανητικού συστήματος με την πάροδο του χρόνου γίνεται άλλοτε θερμότερος και άλλοτε ψυχρότερος. Έχει εκτιμηθεί ότι η θερμοκρασία Τ σε C στην επιφάνεια ενός πλανήτη του συστήματος, μετά από x εκατομμύρια χρόνια θα είναι Τ= 1x 1x + 7x 18. i) Μετά πόσο χρόνο θα έρθει το τέλος των παγετώνων στον πλανήτη; ii) Πότε θα αρχίσει ο επόμενος παγετώνας και πόσο θα διαρκέσει;

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 156 = 1, 4141, α, β α =. β,

30 ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ 157 x1, = β ± β 4αγ α x + αx = β(*) β β β α β α x= * Κάθε εξίσωση ου βαθμού: x + αx + βx + γ = με τη βοήθεια του μετασχηματια σμού x= y παίρνει τη μορφή x + Ax = B.

31 158 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

32

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 1. Τι καλούμε μονώνυμο, τι πολυώνυμο, τι όροι,τι συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός

Διαβάστε περισσότερα

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων 4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

K. Μυλωνάκης Αλγεβρα B Λυκείου

K. Μυλωνάκης Αλγεβρα B Λυκείου ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ονομάζουμε μονώνυμο του x κάθε πραγματικό αριθμό ή κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α είναι πραγμ. αριθμός και ν ένας θετικός ακέραιος. Π.χ. οι παραστάσεις 2χ 4, -3χ 2, 7 είναι μονώνυμα του

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συνοπτική Θεωρία Ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Συντακτική ομάδα mathp.gr Συντονισμός

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις . Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 4ος 1η ΕΚΔΟΣΗ

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 4ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 4ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παπασταυρίδης

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 4ος

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 4ος Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 4ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παπασταυρίδης Στάυρος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου 4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή). 2. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της

Διαβάστε περισσότερα

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου 4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή).. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής:

Διαβάστε περισσότερα

4. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 2x 2 + x 12 α) Να αιτιολογήσετε γιατί το διώνυμο x 3 είναι παράγοντας του P(x) β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0

4. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 2x 2 + x 12 α) Να αιτιολογήσετε γιατί το διώνυμο x 3 είναι παράγοντας του P(x) β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0 1. α) Να βρείτε το υπόλοιπο και το πηλίκο της διαίρεσης (x 3 6x 2 +11x 2) : (x 3) β) Αν P(x) = x 3 6x 2 +11x + λ να βρείτε το λ R ώστε η διαίρεση P(x) : (x 3) να έχει υπόλοιπο 0. 2. Δίνονται τα πολυώνυμα:

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Αν η εξίσωση α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +... +α 1 x+α 0 = 0 με α ν,α ν-1,...,α 1,α 0 Ζ : έχει ρίζα τον ακέραιο αριθμό ρ, τότε το ρ διαιρεί το α 0. έχει ρίζα το κλάσμα,

Διαβάστε περισσότερα

4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 4.. Η ταυτότητα της διαίρεσης A. Όπως στους ακέραιους αριθμούς, έτσι και στα πολυώνυμα ισχύει η ταυτότητα της διαίρεσης. Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι: Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x), με δ(x) 0

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι:

( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι: ( x) Άρα το είναι ρίζα του P, οπότε το x είναι παράγοντάς του 4 Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x ) είναι: 3 π ( x) = x + x x + 3 Η ταυτότητα της προηγούμενης διαίρεσης είναι: 4 3 x 3x + 5x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι Πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ; Ποιοι είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Πολυωνυµική εξίσωση Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής Ρ(x) = 0, όπου Ρ(x) πολυώνυµο.. Ρίζα πολυωνυµικής εξίσωσης Λέγεται κάθε ρίζα του αντίστοιχου πολυωνύµου.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π.

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π. ΜΕΡΟΣ Α : Α Λ Γ Ε Β ΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και πράξεις τους 1. Γράψε τα βασικότερα σύνολα τιμών: Aπάντηση Ν{0,1,,,4,5,6,..+

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος Κεφάλαιο 2ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. * Οι πραγματικοί αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα. Σ Λ 2. * Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Σ Λ 3. * Κάθε σταθερό και μη μηδενικό

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Επαναληπτικές Ασκήσεις Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου ( x ) α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης β Να βρείτε τα 0 και Ρ γ Αν το πολυώνυμο ( x) είναι x να βρείτε: x + x είναι 3x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος Κεφάλαιο ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. * Οι πραγματικοί αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα. Σ Λ. * Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Σ Λ 3. * Κάθε σταθερό και μη μηδενικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ίνονται τα πολυώνυµα Ρ (x), Ρ (x), Ρ (x) αν τα πολυώνυµα Ρ (x) και Ρ (x) δεν έχουν κοινή ρίζα και ισχύει : ( Ρ (x)) + (Ρ (x)) = (Ρ (x)) για κάθε x R να δείξετε ότι το Ρ (x) δεν έχει πραγµατική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Λυμένα Παραδείγματα. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ () = (4λ -9) +(λ -λ-) +λ- είναι το μηδενικό. Το Ρ () θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4_095. Δίνονται οι ευθείες ε 1: λx + y = 1 και ε : x + λy = λ α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; 3 2 ii. x iii. 3 iv. vi.

2.1 Πολυώνυμα. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; 3 2 ii. x iii. 3 iv. vi. .1 Πολυώνυμα 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; i. 1 x + x ii. x + 7 x iii. 5 x + 7x x iv. 1 x + x v. 1 4 4 x + x + 4x vi. 1 x + 5x. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα

Διαβάστε περισσότερα

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. Φυσικοί αριθμοί : Ν = {0,1,,3,4,...}. Ακέραιοι αριθμοί : Ζ = {...-4,-3,-,-1,0,1,,3,4,...} 3. Ρητοί αριθμοί : Q = { ì í, μ Ζ, ν Ζ* } Σημ. Το σύνολο Q των ρητών αριθμών ταυτίζεται με

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυμα-Πολυωνυμικές

Πολυώνυμα-Πολυωνυμικές Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 2 ο Πολυώνυμα-Πολυωνυμικές εξισώσεις 2.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου Έστω χ μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή. Καλούμε μονώνυμο του χ κάθε παράσταση της

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυμα. Πολυωνυμικές εξισώσεις. Athens Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης. 14/2/2012

Πολυώνυμα. Πολυωνυμικές εξισώσεις. Athens Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης.  14/2/2012 Πολυώνυμα Πολυωνυμικές εξισώσεις Άλγεβρα 01 Β Λυκείου Athens 01 13 14//01 1. Περί πολυωνύμων (Α) Πολυώνυμα P x a x a x... a x a v v 1 Πολυώνυμο ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής: όπου a v, a v-1,,a

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων ιαίρεση Πολυωνύμων 1 Να γίνουν οι διαιρέσεις: α) (x 5 - x + x - 9) : (x - 1) β) (x 4-7x + x - 15) : (x + 5) γ) (x - 4αx + α ) : (x - α) δ) [7x - (9α + 7α ) x + 9α ] : (x - α) Με τη βοήθεια του σχήματος

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

1.7 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

1.7 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1 1.7 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ταυτότητα Ευκλείδειας διαίρεσης : Για δύο οποιαδήποτε πολυώνυµα (x) και δ(x) µε δ(x) µπορούµε να βρούµε δύο άλλα πολυώνυµα π(x) και υ(x) τέτοια ώστε να ισχύει (x) = δ(x)π(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0 3 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 31 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΘΜΟΥ Οι ανισώσεις: α + β > 0 και α + β < 0 Γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο τη διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης της μορφής α β 0 ή της μορφής α β 0, με α και β συγκεκριμένους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα

Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Ερωτήσεις Θεωρίας Θέματα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Α. Θεωρία - Αποδείξεις.. Σελ. Β. Θεωρία-Ορισμοί. Σελ.16 Γ. Ερωτήσεις Σωστού Λάθους...

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων ιαίρεση Πολυωνύμων Ταυτότητα διαίρεσης Όπως στους ακέραιους αριθμούς, έτσι και στα πολυώνυμα ισχύει η ταυτότητα της διαίρεσης Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι: Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ ( ) και δ ( ), με

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Β-Λυκείου (2ο πακέτο ασκήσεων) 1 22630 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων ιαίρεση Πολυωνύμων η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να διαιρέσουμε δύο πολυώνυμα Δίνονται τα πολυώνυμα: P x x x x 8x 4 = + +4 και δ ( x) = x x α) Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι _ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Αν α + β + γ = αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P () = (α - β) + (β - γ) + γ - α είναι το µηδενικό πολυώνυµο.. Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο P () = (κ - ) + (λ + 6) +

Διαβάστε περισσότερα

( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x

( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Τριώνυµο λέγεται ένα πολυώνυµο της µορφής : f x = αx + βx+ γ, όπου α, β, γ R µε α. ( ) ιακρίνουσα και ρίζες του τριωνύµου f( x) = αx + βx+ γ λέγεται η διακρίνουσα και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 2016

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 2016 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 06 version -6-06 Παρακάτω υπάρχουν θέματα θεωρίας και ασκήσεις που καλύπτουν πιστεύω σε μεγάλο βαθμό την εξεταστέα ύλη. Εχουν στόχο να μας βοηθήσουν να θυμηθούμε την

Διαβάστε περισσότερα

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Με πολυ μερακι Για τους μικρους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί

Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΟΝΥΜΙΚΕΣ Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί Όταν έχουμε μία εξίσωση που περιέχει παρονομαστές ή ρίζες, πρέπει να βάζουμε περιορισμούς. Το νόημα

Διαβάστε περισσότερα

Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί και ποιοι άρρητοι;

Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί και ποιοι άρρητοι; Φυσικοί, Ακέραιοι, Ρητοί, Άρρητοι, Πραγματικοί, Απόλυτη Τιμή, Ομόσημοι, Ετερόσημοι, Αντίθετοι, Αντίστροφοι. Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ακέραιοι;

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ xcvbnmσγqwφertyuioσδφpγρaηsόρ

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Δ = δπ + υ με υ < δ. (Ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης),

Δ = δπ + υ με υ < δ. (Ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης), ΜΕΡΟΣ Α 1.7 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 19 1. 7 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Διαίρεση πολυωνύμων Αν έχουμε δύο φυσικούς αριθμούς Δ (διαιρετέος) και δ (διαιρέτης) με δ και κάνουμε τη διαίρεση Δ : δ, τότε βρίσκουμε δύο άλλους

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις

Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις 1 Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις Ανίσωση με έναν άγνωστο ονομάζουμε κάθε ανισότητα που περιέχει μια μεταβλητή και η οποία αληθεύει για ορισμένες τιμές της μεταβλητής. Πχ: Οι x + > 7, 2(y

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Α. Αν α > 0 µε α 1 τότε για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς θ 1, θ 2 > 0 να αποδείξετε ότι log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 Β. Έστω το σύστηµα Σ : α1x +

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,...

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 4 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΩΡΗΜΑ (ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ) Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων ( και ( με ( 0 υπάρχουν δυο μοναδικά πολυώνυμα ( και (, τέτοια ώστε : ( ( όπου το ( ή είναι το μηδενικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

- 1 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

- 1 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ http://mathhmagic.blogspot.com - ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ν Μονώνυμο του χ ονομάζουμε κάθε αλγεβρική παράσταση της μορφής α χ με χ R και ν Ν. Πολυώνυμο του χ

Διαβάστε περισσότερα

Περί εξισώσεων με ένα άγνωστο

Περί εξισώσεων με ένα άγνωστο 1 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΝΙΩΝ 19 Φεβρουαρίου 013 ΤΑΞΗ Α Σημειώσεις Άλγεβρας Περί εξισώσεων με ένα άγνωστο Εξίσωση με ένα άγνωστο λέμε την ισότητα δύο παραστάσεων μιας μεταβλητής. Πχ f(x) = g(x) όπου x μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω. ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης

Διαβάστε περισσότερα