ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

Transcript

1 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. Φυσικοί αριθμοί : Ν = {0,1,,3,4,...}. Ακέραιοι αριθμοί : Ζ = {...-4,-3,-,-1,0,1,,3,4,...} 3. Ρητοί αριθμοί : Q = { ì í, μ Ζ, ν Ζ* } Σημ. Το σύνολο Q των ρητών αριθμών ταυτίζεται με το σύνολο των δεκαδικών περιοδικών αριθμών. 4. Άρρητοι αριθμοί : Q = { δεκαδικοί απειροψήφιοι μη περιοδικοί αριθμοί } 5. Πραγματικοί αριθμοί : R = Q Q *. Σημ. Οι πραγματικοί αριθμοί παριστάνονται από τα σημεία ενός άξονα.. ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ ΣΤΟ Ζ - ΑΡΤΙΟΙ, ΠΕΡΙΤΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1. Σε κάθε ζεύγος ακεραίων (α,β) με β 0 αντιστοιχίζεται μοναδικό ζεύγος ακεραίων (π,υ) ώστε να ισχύει η ισότητα : α = βπ + υ, όπου υ {0,1,,3,...β-1}.Ο α λέγεται διαιρετέος, ο β διαιρέτης, ο π πηλίκο και ο υ υπόλοιπο.. Άρτιοι αριθμοί : κ, κ Ζ. 3. Περιττοί αριθμοί : κ+1, κ Ζ. 4. Πολλαπλάσια του ακεραίου ρ : ρκ, κ Ζ. 3. ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 1.(α+β) =α +αβ+β.(α-β) = α -αβ+β 3.(α+β) 3 = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3 4.(α-β) 3 = α 3-3α β +3αβ - β 3 5.α -β =(α+β)(α -β) 6.(α+β+γ) = α + β + γ +αβ+βγ+αγ 7.α 3 -β 3 = (α - β)( α +αβ+β ) 8.α 3 +β 3 =(α + β)( α -αβ+β ) 9.α ν +β ν =(α + β)(α ν-1 - α ν- β + α ν-3 β -...-αβ ν- + β ν-1 ), (ν Ν,περιττός) 10.α ν -β ν =(α - β)(α ν-1 + α ν- β + α ν-3 β +...+αβ ν- + β ν-1 ), ( ν Ν) 11.α 3 +β 3 +γ 3-3αβγ = (α+β+γ)( α + β + γ -αβ-βγ-αγ) = 1 (α+β+γ)[(α -β) +(β-γ) +(γ-α) ] 1

2 4.ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ. 1) α+β =β +α α.β =β.α ) (α+β)+γ = α+(β+γ) (α.β).γ = α.(β.γ) 3) α+0=α α.1=α 4) α+(-α) =0 α.α -1 =1 (α 0) 5) α=β α+γ=β+γ, για κάθε γ R 6) Αν α=β για κάθε γ R έπεται ότι αγ=βγ, το αντίστροφο όμως ισχύει μόνον όταν: γ 0. 7) Αν α=β για κάθε α,βr έπεται ότι α = β, το αντίστροφο ισχύει όμως μόνον όταν: αβ 0 8) α=β α 3 = β 3 για κάθε α,β R Γενικότερα : 10) α=β α ν =β ν,ν Ν * μόνον όταν αβ 0. 11) α=β α ν+1 =β ν+1,ν Ν * για κάθε α,β R 5. Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx+β =0 i) Έχει μοναδική λύση την - όταν α 0. ii) Είναι αδύνατη όταν α=0,β 0. iii) Έχει ως λύση τον τυχαίο πραγματικό αριθμό όταν α=β=0 οπότε λέγεται και αόριστη ή ταυτότητα. 6. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R- ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ. Ορισμός 1 : α > β α-β>0.γεωμετρικά τότε στον άξονα ο α βρίσκεται δεξιότερα του β. : α < β α-β<0.γεωμετρικά τότε στον άξονα ο α βρίσκεται αριστερότερα του β. Ιδιότητες : i) Αν α>β και β>γ τότε α>γ ii) Αν α>β και γ>δ τότε α+γ> β+δ III) Με λ >0 είναι α > β αλ>βλ ενώ με λ<0 είναι α > β αλ < βλ IV) Με γ R είναι α>β α+γ >β+γ V) Αν α>β>0 και γ>δ>0 τότε αγ > β δ Vi)Αν α>β και γ>δ, τότε δεν μπορεί να εξαχθεί ασφαλές συμπέρασμα για τη διάταξη των α-γ, β-δ.

3 Vii)Αν α>β και γ>δ, τότε δεν μπορεί να εξαχθεί ασφαλές συμπέρασμα για τη διάταξη των α:γ, β:δ. Viii) Είναι α>β α > β μόνον όταν α,β 0. IX) Για κάθε α,βr είναι α αβ+β 0. Το = ισχύει όταν α=β=0 X) Eίναι α > β α 3 > β 3 για κάθε α,βr. Γενικότερα : Χi) Eίναι α>β α ν >β ν,ν Ν * μόνον όταν α,β 0. Χii) Eίναι α>β α ν+1 >β ν+1 για κάθε α,βr. Χiii) Eίναι α>β ΧIV) Eίναι α>β 1 1 μόνον όταν α.β > μόνον όταν α.β < 0. XV) Με α > 0 είναι α+ 1 XVI) Με α < 0 είναι α+ 1. Το = ισχύει όταν α =1. -. Το = ισχύει όταν α = Η ΑΝΙΣΩΣΗ αx+β >0. i) Έχει λύσεις τους αριθμούς x > - â á όταν α > 0 ii) Έχει λύσεις τους αριθμούς x < - â á όταν α < 0 iii) Είναι αδύνατη όταν α =0 και β 0 iv) Έχει ως λύση τον τυχαίο πραγματικό αριθμό όταν α=0 και β>0. 8. ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΙΜΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ i) = x-ρ ii) = (x-ρ 1 )(x-ρ ), ρ 1 < ρ iii) = (x-ρ 1 )(x-ρ )(x-ρ 3 ), ρ 1 < ρ < ρ 3 iv) = (x - ρ), ρ R. 3

4 v) = ( x - ρ 1 )(x - ρ ) (x - ρ 3 ) με ρ 1, ρ,ρ 3 R,ρ 1 < ρ < ρ 3 vi) = (x-ρ 1 )(x-ρ )(x-ρ 3 )...(x-ρ ν ), ρ 1 < ρ < ρ 3 <...< ρ ν i) = x - ρ, ρ R - ρ ii) = ( x - ρ 1 )(x - ρ ) με ρ 1, ρ R,ρ 1 < ρ - ρ 1 ρ iii) = ( x - ρ 1 )(x - ρ ) (x - ρ 3 ) με ρ 1, ρ,ρ 3 R,ρ 1 < ρ < ρ 3 - ρ 1 ρ ρ iv) = (x - ρ), ρ R. - ρ v) = ( x - ρ 1 )(x - ρ ) (x - ρ 3 ) με ρ 1, ρ,ρ 3 R, ρ 1 < ρ < ρ 3 - ρ 1 ρ ρ vi)(x-ρ 1 )(x-ρ )(x-ρ 3 )...(x-ρ ν ), με ρ 1, ρ,ρ 3...ρ ν R, ρ 1 < ρ < ρ 3 <...< ρ ν, ν Ν * -... ρ ν- ρ ν-1 ρ ν ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜH Ορισμός : Αν α R, η απόλυτη τιμή του α συμβολίζεται με α και ορίζεται, 0, 0 Γεωμετρικά παριστάνει την απόσταση του α από την αρχή Ο. 4

5 Ιδιότητες 1. α) α 0, β) α α, γ)α -α, δ) α = α. αβ = α β Γενικότερα : i) α 1.α...α κ = α 1.α... α κ, κ Ν * ii) α κ = α κ, κ Ν * 3., 0 4. α+β α + β. Ως ισότητα ισχύει όταν α.β Στοιχειώδεις εξισώσεις με απόλυτα i) x = θ x = θ, (θ > 0) ii) x = 0 x=0 iii) x = -θ αδύνατη (θ > 0) iv) x = α x = α, (α R) 6. Στοιχειώδεις ανισώσεις με απόλυτα i) x < θ -θ <x < θ,( θ > 0 ) ii) x > θ x < - θ ή x > θ,( θ > 0) iii) x < -θ αδύνατη (θ > 0 ) iv) x >- θ x R ( θ > 0) v) x < 0 αδύνατη vi) x > 0 x R * 1. H απόσταση d(α,β) δύο αριθμών α, β στην πραγματική ευθεία με την βοήθεια της απόλυτης τιμής ισούται με d(α,β) = α - β.. Διάσπαση απολύτου : A( x) A( x), A( x) 0 A( x), A( x) 0 5

6 10 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚH ΡΙΖΑ - ΝΙΟΣΤΗ ΡΙΖΑ. = x,α 0 x = α,x 0. Ιδιότητες ριζών * Με á, â 0, í, ê, ì Í είναι i) ii) iii). iv) v) vi) Με α, β 0 ισχύει η ισοδυναμία α < β και γενικότερα α < β, ν Ν*. Η εξίσωση x ν = α, α R, ν Ν*. ν άρτιος α 0 x ν = α ν περιττός α < 0 α 0 α < 0 Η εξίσωση x ν = α ν, α R, ν Ν*... ν άρτιος x ν = α ν ν περιττός ì Το σύμβολο á í, μ,ν Ν*, α > 0 ορίζεται : = 6

7 11. ΤΡΙΩΝΥΜΟ - ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ - ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΑΝΙΣΩΣΗ I) Μορφές του τριωνύμου φ(x)=αx +βx+γ, α 0. Ταυτότητα τριωνύμου : αx +βx+γ = α x 4 4 Συνέπειες i) Αν Δ = β -4αγ>0, η παράσταση αx +βx+γ μετασχηματίζεται σε γινόμενο πρωτοβαθμίων παραγόντων δηλαδή είναι αx +βx+γ = α.(x - ρ 1 ).(x - ρ ), όπου ρ 1, =. ii) Αν Δ = β - 4αγ = 0, η παράσταση αx +βx+γ μετασχηματίζεται σε τέλειο τετράγωνο δηλαδή είναι αx +βx+γ = α (x-ρ), όπου ρ = - iii) Aν Δ = β - 4αγ < 0, η παράσταση αx +βx+γ μετασχηματίζεται σε άθροισμα τετραγώνων δηλαδή είναι αx +βx+γ = α x ΙΙ) Η δευτεροβάθμια εξίσωση αx +βx+γ=0, α,β,γ R, α 0 i) Αν Δ = β -4αγ > 0 έχει άνισες ρίζες τις p 1 =, p = ii) Αν Δ = β -4αγ = 0 έχει τη διπλή ρίζα x = - iii) Αν Δ = β -4αγ < 0 είναι αδύνατη στο R iv) Χρήσιμη παρατήρηση : Αν αγ < 0 η εξίσωση αx +βx+γ=0 έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες διότι - αγ >0 και αφού β 0, θα είναι β -4αγ > 0. v) ΑΘΡΟΙΣΜΑ, ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ : Αν β -4αγ > 0 για τις ρίζες ρ 1, ρ της εξίσωσης αx +βx+γ = 0 ισχύουν: i) S = ρ 1 +ρ = - â á, ii) P = ρ 1ρ = ã á 7

8 III) Πρόσημο τιμών τριωνύμου - δευτεροβάθμια ανίσωση Οι τιμές της παράστασης αx +βx+γ,(α 0, x R) i) με Δ = β -4αγ > 0 είναι ομόσημες του α όταν ο x βρίσκεται εκτός των ριζών και ετερόσημες του α όταν ο x βρίσκεται εντός των ριζών Σχηματικά : - ρ 1 ρ + +α 0 -α 0 +α Σχηματικά : ii) με Δ = β -4αγ = 0 είναι ομόσημες του α για κάθε x R - { ρ = - } - ρ + +α 0 +α ii) με Δ = β -4αγ < 0 είναι ομόσημες του α για κάθε x R Σχηματικά : - + +α Χρήσιμες ισοδυναμίες i) αx +βx+γ > 0 για κάθε x R β -4αγ < 0 και α > 0. ii) αx +βx+γ < 0 για κάθε x R β -4αγ < 0 και α < 0. Aν υπάρχουν δυο αριθμοί x 1, x R ώστε (αx 1 +βx 1 +γ)(αx +βx +γ) < 0,τότε είναι β -αγ >0 IV) Γραφική παράσταση τριωνύμου Είναι παραβολή με κορυφή το σημείο Κ (-,- 4 ) και άξονα συμμμετρίας την ευθεία x = -. Οταν α>0 στρέφει τα κοίλα προς τα άνω, ενώ όταν α < 0 στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω. 8

9 1. ΠΟΛΥΩΝΥΜA Tαυτότητα της διαίρεσης πολυωνύμων: Aν Δ(x), δ(x) είναι δυο πολυώνυμα με το δ(x) διάφορο του μηδενικού,τότε υπάρχουν μοναδικά πολυώνυμα π(x), υ(x) ώστε Δ(x) = δ(x).π(x) +υ(x),με βαθ.υ(x) < βαθ.δ(x) ή υ(x) το μηδενικό πολυώνυμο. Πρόταση 1 Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x-ρ είναι η αριθμητική τιμή του πολυωνύμου για x=ρ ( υ=ρ(ρ)). Πρόταση Το x-ρ είναι παράγοντας του πολυωνύμου Ρ(x) αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του Ρ(x). (Ρ(ρ)=0). Πρόταση 3 Μια πολυωνυμική εξίσωση ν βαθμού μπορεί να έχει ν το πολύ πραγματικές ρίζες. Πρόταση 4 Αν το πολυώνυμο Ρ(x) με ακέραιους συντελεστές έχει τον ακέραιο ρ ρίζα, τότε ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου του Ρ(x). f(x)=α ν x v + α ν-1 x v α 1 x + α 0 ΣΧΗΜΑ ΗΟRNER x - ρ υ=f(ρ) α ν α ν-1... α 1 α 0 ρ ρα ν... α ν ρα ν + α ν-1... υ 13. ΠΡΟΟΔΟΙ Ι. Αριθμητική πρόοδος 1. Ορισμός: Η ακολουθία (α ν ) νν*, λέγεται αριθμητική πρόοδος όταν και μόνον υπάρχει ω R, ώστε α ν+1 = α ν + ω, ν Ν*. Νιοστός όρος: α ν = α 1 + (ν-1) ω 3. Αριθμητικός μέσος : α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμ. προόδου β = 4. Άθροισμα ν πρώτων όρων 9

10 S v = ( 1 ) v v [ 1 ( v 1) ] v = 5. Παράσταση διαδοχικών όρων: x, x + ω, x + ω,... Συμμετρική παράσταση:... x - ω, x - ω, x, x + ω, x + ω... (περιττό πλήθος)... x - 3ω, x - ω, x + ω, x + 3ω... (άρτιο πλήθος) 6. Αξιοσημείωτα αθροίσματα: α) v = v( v 1), v N* β) v = v( v 1)( v 1) 6 γ) v 3 =( v( v 1) ), v N*, v N* δ) v = ( v ) v = v(v+1), v N* ε) (v + 1) = [ 1 ( v 1)]( v 1) = (v+1), v N* ΙΙ. Γεωμετρική πρόοδος 1. Ορισμός: Η ακολουθία (α ν ) ν Ν*, λέγεται γεωμετρική πρόοδος (Γ.Π.), όταν και μόνον υπάρχει λ R*, ώστε α ν+1 = α ν.λ π.χ., 6, 18, 54, Νιοστός όρος: α ν = α. 1 λ ν-1, ν Ν* 3. Γεωμετρικός μέσος: Οι αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι (Γ.Π.) αν και μόνο β = αγ 4. Άθροισμα ν πρώτων όρων 5. Άθροισμα απείρων όρων : S v = 1 1 ( ) 1, λ 1, ν Ν* Αν λ < 1 (απολύτως φθίνουσα Γ.Π.) είναι lim 1 1 ( ) 1 = 1 1 (συμβ. Σ ) 6. Αξιοσημείωτα αθροίσματα - ταυτότητες 10

11 α) α 1 + α 1 x + α 1 x v-1 = α 1 (1+ x +... x ν-1 ) = α 1 ( x 1 x 1 ( ) v 1 β) x v-1 + x v x v- + v-1 = x. x v-1 = v x x 1 x v ( ) 1 γ) x v-1 + x v x v- + v-1 = x. x v-1 = v x x 1 x ),ν Ν* v v, ν Ν*, ν Ν*, περιττός 14. ΕΚΘΕΤΙΚΗ - ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 14α. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ορισμός : Αν α(0,1)(1,+), ορίζεται η συνάρτηση f:rr με f(x)= α x που λέγεται εκθετική συνάρτηση με βάση α.ειδικά η συνάρτηση f(x)= e x με βάση τον αριθμό e (,71) λέγεται απλά εκθετική συνάρτηση. Ιδιότητες 1. Ισχύουν όλες οι ιδιότητες των δυνάμεων με εκθέτη ακέραιο αριθμό.. Είναι Έχει σύνολο τιμών το (0,+ ), δηλ. είναι α x > 0 για κάθε x R. 3. Μονοτονία : Με α(0,1), είναι γνησίως φθίνουσα, ενώ με α (1,+), είναι γνησίως αύξουσα. 4. Γραφική παράσταση - Όρια 4α) Για α (0,1) 4β) Για α (1,+) 0 x 0 x x x lim x x 0 lim x x lim x x lim x x 0 11

12 14β. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ορισμός : Με α(0,1)(1,+), η συνάρτηση f(x)= α x είναι 1-1 και έχει σύνολο τιμών το (0,+).Έτσι ορίζεται η αντίστροφή της που λέγεται λογαριθμική συμβολίζεται log α πεδίο ορισμού το (0,+) και τύπο που προκύπτει απο την ισοδυναμία = log α x α = x. Άμεσες συνέπειες - ιδιότητες έχει 1. log x x. log α 1 = 0 3. log α α = 0 4. log α (x 1 x ) = log α x 1 + log α x 5. log α ( x 1 ) = log α x 1 - log α x x 6. log α x κ =κ log α x log 7. log α x = log x 8. Μονοτονία : 8α) Με α(0,1), είναι γνησίως φθίνουσα, ενώ 8β) με α (1,+), είναι γνησίως αύξουσα. 9. Γραφική παράσταση - Όρια 9α) Για α (0,1) 9β) Για α (1,+) 0 x 0 x x x limlog x x limlog x x0 limlog x x limlog x x0 1