ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x.
|
|
- Διάβολος Δασκαλοπούλου
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ίνονται τα πολυώνυµα Ρ (x), Ρ (x), Ρ (x) αν τα πολυώνυµα Ρ (x) και Ρ (x) δεν έχουν κοινή ρίζα και ισχύει : ( Ρ (x)) + (Ρ (x)) = (Ρ (x)) για κάθε x R να δείξετε ότι το Ρ (x) δεν έχει πραγµατική ρίζα. εχόµαστε ότι το Ρ (x) έχει ρίζα ρ R τότε Ρ (p) = 0. Επειδή για κάθε x R ισχύει ( Ρ (x)) + ( P (x)) = ( P (x )) θα ισχύει και ( Ρ (p)) + ( P (p)) = ( P (p)) δηλαδή ( P (p)) + ( P (p)) = 0 () Όµως Ρ (p), P (p) είναι πραγµατικοί αριθµοί ως αριθµητικές τιµές των πολυωνύµων για x = ρ έτσι από την () προκύπτει Ρ (p) = P (p) = 0. ηλαδή το ρ είναι κοινή ρίζα των Ρ (x), P (x) που είναι άτοπο, σύµφωνα µε την υπόθεση. Εποµένως το Ρ (x) δεν έχει πραγµατική ρίζα.. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(x) x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(x)) x. Αν g(x) = P(x) x αφού το ρ είναι ρίζα του θα ισχύει g(p) = P(p) p = 0 δηλαδή P(p) = p () Έστω h(x) = P(P(x)) x τότε h(p) = P(P(p)) p = P(p) p = p p = 0 άρα το p είναι ρίζα του h(x) = P(p(x)) x. Να προσδιορίσετε τους πραγµατικούς α, β ώστε το πολυώνυµο Ρ(x) = 4x 4 + αx + x + βx + να είναι το τετράγωνο ενός πολυωνύµου. Το ζητούµενο πολυώνυµο του οποίου το τετράγωνο είναι το Ρ(x) θα έχει µορφή f(x) = x + κx + λ. Έτσι P(x) = [ f(x)] 4x 4 + αx + x + βx + = ( x + κx + λ ) 4x 4 + αx + x + βx + = 4x 4 + κ x + λ + 4λx + κλx 4x 4 + αx + x + βx + = 4x 4 + 4κx + ( κ + 4λ )x + κλx + λ Από την θεωρία των ίσων πολυωνύµων προκύπτει :
2 4κ = α λ = ±,() κ + 4λ = κ + 4λ =,() κλ = β α = 4κ,() λ = β = κλ,(4) τότε Για λ = έχουµε κ + 4. = κ = - αδύνατη. Για λ = - έχουµε κ + 4. ( - ) = κ = 6 κ = ± 6 Εποµένως για λ = -, κ = 6 είναι α = 4 6, β = - 6 Ισχύει : 4x x + x - 6. x + = ( x + 6. x ) Και για λ = -, κ = - 6 είναι α = - 4 6, β = 6 Ισχύει 4x x + x + 6. x + = (x - 6. x ). 4. Αν α+β+γ = 4 να υπολογίσετε του α,β,γ R ώστε το κλάσµα ( α )x (4 β)x + γ 6 για κάθε x R να έχει σταθερή τιµή και να x + x + υπολογίσετε την τιµή αυτή. Έστω κ R η σταθερή τιµή τότε (α ) x ( 4 βx + γ 6 ) = κ ( x + x + ) (α ) x ( 4 β )x + γ 6 = κx + κx + κ α = κ α = κ + (4 β) = κ β = κ + 4 γ 6 = κ γ = κ + 6 αλλά α + β + γ = 4 τότε ( κ + ) + ( κ + 4 ) + ( κ + 6 ) = 4 κ = που είναι η σταθερή τιµή του κλάσµατος. Επίσης α=4, β=8, γ=. ( α )x (4 β)x + γ 6 x + 4x + 6 (x + x + ) Πράγµατι = = =. x + x + x + x + x + x + 5. Να βρείτε ακέραιο πολυώνυµο Ρ(x) δευτέρου βαθµού ώστε Ρ( Ρ(x) ) = Q(x) όταν Q(x) = x 4 + x + 4x + x + Έστω Ρ(x) = αx + βx + γ µε α, β, γ R και α 0 Τότε Ρ ( Ρ(x) ) = Q(x) α ( Ρ(x)) + β (Ρ (x) ) + γ = Q(x) α ( αx + βx + γ ) + β ( αx + βx + γ ) + γ = Q(x)
3 α (α x 4 + β x + γ + αβx + αγx + βγx ) + βαx + β x + βγ + γ = Q(x) α x 4 + α βx + ( αβ + α γ + βα )x + ( αβγ + β )x + αγ + βγ + γ = = x 4 + x + 4x + x + α = α = α β = β = α = αβ + α γ + βα = 4 + γ + = 4 β = γ + = γ = αβγ + β = γ + γ + γ = αγ + βγ + γ = ( Για τις τιµές αυτές επαληθεύονται οι άλλες δύο ισότητες ) Άρα το Ρ(x) = x + x Να βρείτε την τετραγωνική ρίζα του πολυωνύµου P(x) = 9x 4 + 6x + x + 4x + 4 Η τετραγωνική ρίζα του P(x) θα είναι ένα πολυώνυµο δευτέρου βαθµού ως προς x της µορφής g(x) = x + αx + β και θα ισχύει P(x) = [ g(x)] 9x 4 + 6x + x + 4x + 4 = 9x 4 + α x + β + 6αx + 6βx + αβx 9x 4 + 6x + x + 4x + 4 = 9x 4 + 6αx + ( 6β + α ) x + αβx + β Εξισώνοντας τους ισοβάθµιους όρους του x των δύο ίσων πολυωνύµων έχουµε : 6α = 6 α =,() 6β + α = 6β + α =,() αβ = 4 αβ = 4,() β = 4 β = ±,(4) Παρατηρούµε ότι για β=, α= επαληθεύονται οι ισότητες () και () αφού 6β + α = 6. + = και αβ =.. = 4 Για β = - α = δεν επαληθεύονται οι ανισότητες () και () αφού 6β + α = 6. (-) + = -. Έτσι η τετραγωνική ρίζα του P(x) είναι το πολυώνυµο g(x) = x + x +
4 7. Να προσδιορίσετε το κ, λ ώστε η εξίσωση x 4x 7 = 0 να µπορεί να πάρει µορφή x x α β α = β µε α β και κατόπιν να λυθεί η εξίσωση. x α α = β(x α) α(x β) = 0 x β β β(x x α + xα α ) α(x x β + xβ β ) = 0 ( β α)x + αβ( α β)x + αβ( β α)( β + α) = 0 ιαιρώντας µε β α 0 έχουµε x αβx + αβ ( α + β ) = 0 Έτσι προκύπτει η ισότητα : x 4x 7 = x αβx + αβ( α+β ) οπότε εξισώνοντας του συντελεστές των ισοβάθµιων όρων του x προκύπτει : αβ = 4 αβ = 8 αβ = 8 αβ( α + β) = 7 8( α + β) = 7 α + β = 9 α = α = 8 ή β = 8 β = τότε η εξίσωση θα έχει τη µορφή x + x + = ( Ι). Για να λυθεί θέτουµε = y έτσι x x + 8 y y = y = 0 y y = 0 y = x + άρα = x + = x + 8 x = 6. x ίνεται το πολυώνυµο P(x) = x 4 -ηµ θ x -x + ηµθ. Να βρείτε το θ [ π,π ] ώστε η P(x) : ( x+ ) να δίνει υπόλοιπο υ =. Γνωρίζουµε ότι η P(x) : ( x + ) δίνει υπόλοιπο υ = P(-). Άρα σύµφωνα µε την υπόθεση θα είναι : P(-) = ( -) 4 ηµ θ ( -) (-) + ηµx = ηµ θ + ηµθ + = 0 ( ηµθ + ) = 0 π ηµθ = - ηµθ = ηµ 4
5 π θ = κπ +, κ Ζ η π θ = λπ + π, λ Ζ π i) Με θ = κπ +, κ Ζ και π π θ π π κπ + π κ + κ 4 4 π Άρα κ=0. ηλαδή θ =. π ii) Με θ = λπ + π -,λ Ζ και π θ π. π 5 π λπ π λ λ 4 4 π π Άρα λ=. ηλαδή θ = π + π - =. 9.Να βρείτε τις σχέσεις που ικανοποιούν οι αριθµοί κ,λ,µ,ν ώστε για κάθε π x κπ +, κ Z να ισχύει κηµ x + ληµxσυνx + µσυν x + ν = 0 (Ι) π Επειδή x κπ +, κ Z το συνx 0. Αν διαιρέσουµε και τα δύο µέλη της (Ι) µε το συν x ισοδύναµα θα έχουµε : κ. εφ x + λεφx + µ + ν ( + εφ x ) = 0 ( κ + ν ) εφ x + λεφx + ( µ + ν ) = 0 ( ΙΙ) Αν θέσουµε εφx = y, y R η (ΙΙ) γράφεται ( κ + y ) y + λy + µ + ν = 0 που είναι µηδενικό πολυώνυµο άρα κ + ν = 0 και µ + ν = 0 και λ = i) Αν το πολυώνυµο Ρ(x) = αx + βx + γ α, β, γ R έχει τρεις διαφορετικές ρίζες τότε αυτό είναι το µηδενικό πολυώνυµο iii) αν f(x) = ( α-β) (x-α) (x-β) + ( β-γ ) ( x-β) (x-γ) + + ( γ α ) ( x-γ ) ( x-α)+(α-β)(β-γ)(γ-α) µε α,β,γ R διαφορετικά ανά δύο µεταξύ τους. Να δείξετε ότι είναι το µηδενικό πολυώνυµο χωρίς να φέρετε το f(x) στην µορφή f(x) = κx + λx + µ. 5
6 i) Από την υπόθεση έχουµε P P P P οι ρίζες του P(x) τότε θα ισχύουν αp + βp + γ = 0,() και αp + βp + γ = 0,() τότε θα ισχύουν και και αp + βp + γ = 0,() α(p α(p p ) + β(p p ) + β(p p ) = 0 p ) = 0 ή α(p α(p p )(p + p ) + β(p p ) = 0 ή p )(p + p ) + β(p p ) = 0 α(p α(p + p ) + β = 0 (4) + p ) + β = 0 (5) ή (p p ) = 0 οπότε α = 0 ( αφού P P ) εποµένως από τις (4) και () προκύπτει β=γ=0 έτσι P(x) = 0. ii) ιαπιστώνουµε ότι f(α) = 0 και f(β) = 0 και f( γ) = 0. ηλαδή το δευτέρου βαθµού πολυώνυµο έχει τρεις διαφορετικές ρίζες εποµένως το.. είναι το f(x) µηδενικό πολυώνυµο. Σχόλιο!! Αν το πολυώνυµο P(x) = α ν x ν + α ν- x ν- + +α x+α 0 µηδενίζεται για ( ν + ) διαφορετικές τιµές του x τότε το P(x) είναι µηδενικού βαθµού πολυώνυµο. Η απόδειξη γίνεται µε παρόµοιο τρόπο.. Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης (0x 4 + x 40x + 0x + ) (5x x ) χωρίς να γίνει η διαίρεση. Το πηλίκο θα είναι πολυώνυµο δευτέρου βαθµού µε πρώτο όρο τον 0x 4 5x = 4x έτσι θα έχει τη µορφή Π(x) = 4x + αx +β το δε υπόλοιπο θα είναι πρώτου βαθµού δηλαδή u(x) = γx + δ. Γράφουµε την ταυτότητα της διαίρεσης : 0x 4 + x 40x + 0x + = ( 5x x ) (4x + αx + β ) + ( γx + δ ) 0x 4 + x 40x + 0x + = = 0x 4 + 5αx + 5βx 8x αx βx + γx + δ 0x 4 + x 40x + 0x + = = 0x 4 + (5α 8 )x + ( 5β α)x + ( γ β )x + δ 6
7 5α 8 = 5β α = 40 γ β = 0 δ = α = 4 5β 8 = 40 γ β = 0 δ = α = 4 β = 5 6 γ = 0 + = 5 5 δ = τότε Π(x) = 4x 6 + 4x - και u(x) = x Αν η διαίρεση του P(x) : ( x + ) (x ) (x+ ) δίνει υπόλοιπο u(x) = x + x να βρείτε τα υπόλοιπα των διαιρέσεων P(x) : (x+), P(x) : ( x+ ) και P(x) : (x + x + ). Από την ταυτότητα της διαίρεσης έχουµε P(x) = ( x+ ) (x-) (x+). Π(x) + ( x + x ) (I). Η διαίρεση P(x) : ( x+) δίνει υπόλοιπο u = P(-) τότε από την (I) Έχουµε u = P(-) = (-) + (-) = - οµοίως Η διαίρεση P(x): ( x+) δίνει υπόλοιπο u = P(-) =. Η διαίρεση P(x) : ( x + x + ) δίνει πηλίκο Q(x) και υπόλοιπο u(x) = κx + λ Έτσι P(x) = ( x+)(x+)q(x) + κx + λ (II) Για x= - και x = - από την (II) προκύπτουν Ρ( ) = κ + λ κ + λ = λ = 5 άρα u(x) = -x-5. Ρ( ) = κ + λ κ + λ = κ =. Να υπολογίσετε τους πραγµατικούς αριθµούς κ,λ ώστε το πολυώνυµο Ρ(x) = x κx + λx + διαιρούµενο µε το x να δίνει υπόλοιπο u(x) = x 5. Από την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει P(x) = (x )Π(x) + x 5 για κάθε x R. x κx + λx + = ( x + )(x- ). Π(x) + x 5 (I) για κάθε x R.. Έτσι για x = από την (Ι) προκύπτει 7
8 ( ) κ( ) + λ += κ +. λ + = λ 4κ = -4-7 () και για x = - (- ) κ( ) + λ (- ) + = (- ) κ-. λ + = λ + 4κ = () Οι ισότητες (), () ορίζουν το σύστηµα λ λ + 4κ = 4 4κ = λ = 8 8κ = 4 λ = 4 7 κ = 4 4. Να υπολογίσετε τους πραγµατικούς αριθµούς κ και λ ώστε το πολυώνυµο P(x) = 4x 4 6x + κx + x + να έχει παράγοντα ( ή να διαιρείται ή να είναι διαιρετέο ) το φ(x) = x x + λ. Επειδή το P(x) είναι τετάρτου βαθµού και το φ(x) είναι δευτέρου βαθµού το πηλίκο της διαίρεσης Ρ(x) x = x δηλαδή το πηλίκο θα έχει µορφή. Π(x) = x + αx + β και u(x) = 0. Έτσι από την ταυτότητα της διαίρεσης θα έχουµε : 4x 4 6x + κx + x + = ( x x + λ )( x + αx + β) για κάθε x R 4x 4 6x + κx + x = = 4x 4 + αx + βx x αx βx + λx + αλx + λβ 4x 4 6x + κx + x = = 4x 4 + (α )x + (β α + λ )x + (αλ β )x + λβ Η ισότητα () είναι µία ισότητα πολυωνύµων τότε οι συντελεστές των ισοβάθµιων δυνάµεων του x θα είναι ίσοι. ( α ) β α + λ = κ ηλαδή αλ β = λβ = α = β + + λ = κ λ β = λβ = α =,() κ = β + + λ,() β = λ,() λ( λ ) =,(4) Από την (4) -λ λ + = 0 λ + λ = 0 8
9 λ = ± 4 9 λ =, λ =. Εποµένως από το σύστηµα έχουµε : - Για λ = - προκύπτει β = και κ = - Για λ = προκύπτει β = - και κ = ίνεται το Ρ(x) = x + x + να δείξετε ότι το Q(x) = P( P(x)) P(x) έχει παράγοντα το P(x)- κατόπιν να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης Q(x) (P(x) ). Αφού P(x) = x + x + το Q(x) = P (P(x) P(x) = [ P(x) + P(x) + ]- P(x) = ( P(x)) άρα Q(x) = (P(x) )(P(x) + ) (). ηλαδή το (P(x)-) είναι παράγοντας του Q(x). Από την (Ι) προκύπτει ότι η διαίρεση Q(x) ( P(x) ) δίνει πηλίκο Π(x) = P(x) + 6. Να βρείτε το πολυώνυµο f(x) δευτέρου βαθµού που είναι διαιρετέο δια του g(x) = x + και f() + f() = f(), f(0) = 4. Έστω ότι f(x) = αx + βx + γ αφού είναι διαιρετέο δια του g(x) = x +. Θα ισχύει f(-) = 0. Εποµένως έχουµε τις σχέσεις f () + f () = f () f (0) = 4 f ( ) = 0 ( α + β + γ) + 4α + β + γ = 9α + β + γ γ = 0 α β + γ = 0 γ = 0 4α = 0 α β + γ = 0 α = β = γ = 0 έτσι f(x) = 0 7. ίνεται το πολυώνυµο P(x) = αx + βx + γx + δ που δέχεται διπλή p ρίζα β α καθώς και την p. Να δείξετε ότι =. γ δ 9
10 Αφού το P(x) δέχεται διπλή ρίζα τη p και τη ρίζα p θα έχει παράγοντες ( x p) και ( x + p ) τότε θα έχει ως παράγοντα και το γινόµενό τους ( x p ) ( x + p ) που είναι τρίτου βαθµού πολυώνυµο. Η διαίρεση P(x) : ( x p ) ( x + p ) δίνει πηλίκο µηδενικού βαθµού και µάλιστα το α x πηλίκο των µεγιστοβάθµιων όρων. ηλαδή Π(x) = = α. x Έτσι P(x) = α ( x p ) (x + p ) ή P(x) = αx αpx αp x + αp. Εποµένως αx + βx + γx + δ = αx αpx αp x + αp β = αp γ = αp δ = αp β α Άρα = =. γ p δ β α τότε = και = γ p δ p 8. Όταν το πολυώνυµο P(x) = x + αx + (β-)x + γ έχει παράγοντα ( x ) να δείξετε ότι γ = 8α + 6. Αφού το P(x) έχει παράγοντα ( x ) θα ισχύει ότι το ( x ) είναι παράγοντας του P(x) καθώς επίσης και του πηλίκου Π(x) της διαίρεσης. P(x) : (x-). Εποµένως θα ισχύουν p() = 0 και Π() = 0. Από P() = 0 + α + (β-). + γ = α + β + γ = α + β + γ = 0 γ = - 8α β 6 () τότε το P(x) γράφεται P(x) = x + αx + ( β-)x 8 α β 6 θα υπολογίσουµε το πηλίκο της P(x) : ( x ) εφαρµόζοντας το σχήµα του Horner. SXIMAAAAA άρα Π(x) = x + (α + )x + 4 α + β + Έτσι θα έχουµε 0
11 Π() = 0 + (α + ). + 4α + β + = 0 8α + β + = 0 Έτσι β = -8 α () τότε από την () προκύπτει γ = -8 α (-8α ) 6 ηλαδή γ = 8α + 6. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 9. ίνεται το P(x) = x 4 + (α β )x + ( β )x + x + β δείξτε ότι δεν υπάρχουν α, β R ώστε το P(x) να έχει παράγοντα ( x ). Για να έχει το P(x) παράγοντα ( x ) αρκεί P() = ( α β ). + (β ) β = 0 β + β + α = 0 α = - β β () Το τριώνυµο του δευτέρου µέλους έχει διακρίνουσα = - 7, άρα για κάθε β R το -β β < 0 δηλαδή δεν υπάρχουν α, β R ώστε να ισχύει η (). Εποµένως δεν υπάρχουν α,β R ώστε ( x ) παράγοντας του P(x). 0. Αν P(x) = x + κx + λx + µ να προσδιορίσετε τους πραγµατικούς κ,λ,µ ώστε το P(x) να έχει παράγοντα x(x - ). Για να έχει το P(x) παράγοντα x(x-- ) πρέπει P(0) = 0 () και P( + ) = 0 (). Έτσι P(0) = 0 µ = 0 µ = () και P( + ) = 0 ( + ) + κ( + ) + λ( + )+ µ = 0 [ + + ( ) + ( ) ] + κ ( + + ) + λ + λ + = κ + 4κ + 4κ +λ + λ =0 (6κ + λ + 7 ) + (5 + 4κ + λ ) = 0 () Η ισότητα () έχει τη µορφή α + β = 0 () αν β 0 τότε β = -α = - β α αυτό όµως είναι άτοπο αφού ένας άρρητος είναι πάντοτε διαφορετικός από ένα ρητό, εποµένως θα είναι β = 0 και από την () προκύπτει ότι α = 0. Έτσι από την () θα έχουµε το σύστηµα : 6κ + λ + 7 = 0 λ = 6κ 7 λ = 6κ 7 λ = και µ = κ + λ = κ 6κ 7 = 0 κ = κ =. ίνεται το πολυώνυµο Ρ(x) ώστε να ισχύει Ρ(x) = Ρ( x ) για κάθε πραγµατικό αριθµό x. Να δείξετε ότι το πολυώνυµο f(x) = P(x) P(0) διαιρείται µε το ( x x ).
12 Για να διαιρείται το f(x) µε το (x x) = x(x ) αρκεί να έχει παράγοντες τους x και x-. Τότε f(0) = P(0) P(0). Έτσι ο x είναι παράγοντας του f(x) και f() = P() P(0) (). Όµως από την υπόθεση για x = 0 έχουµε P(0) = P( 0) ή P() = P(0) άρα από την () προκύπτει f() = 0 δηλαδή και ο ( x ) είναι παράγοντας του f(x). Εποµένως το f(x) έχει παράγοντα το γινόµενο x (x ) άρα το f(x) διαιρείται µε το x(x-).. ίνεται το πολυώνυµο P(x) = x ν + αx +, ν R, ν > και α R να δείξετε ότι δεν έχει ακέραιες ρίζες. Γνωρίζουµε ότι οι πιθανές ακέραιες ρίζες θα είναι οι διαιρετέες του σταθερού όρου α 0 = δηλαδή οι αριθµοί ±, ±. Παρατηρούµε ότι : P() = ( + α ) 0αφού α Ζ, P(-) = [ (-) ν α + ] 0 γιατί αν ν άρτιος το P(-) = ( α ) 0 και αν ν περιττός το P(-) = (- α ) 0αφού α Ζ, P() = ( ν + 4 α + ) 0 γιατί µε α Ζ αν ν + 4 α + = 0 ν- + α + = 0 + ν- = - α 0 που είναι άτοπο γιατί το πρώτο µέλος είναι περιττός αριθµός και το δεύτερο µέλος άρτιος. P(-) = ((-) ν 4 α + ) 0 γιατί : i) Με ν άρτιος και α Ζ αν (-) ν 4 α + = 0 ν 4 α + = 0 ν- α + = 0 ν- + = α που είναι άτοπο γιατί το πρώτο µέλος είναι περιττός και το δεύτερο µέλος άρτιος. ii) Με ν περιττός και περιττός και α Ζ αν (-) ν 4 α + = 0 - ν 4 α + = 0 - ν- α + = 0 που είναι άτοπο γιατί το πρώτο µέλος είναι περιττός και το δεύτερο µέλος άρτιος. Εποµένως το P(x) δεν έχει ακέραιες ρίζες.. ίνεται το πολυώνυµο f(x) = α ν x ν + α ν- x ν- +.+ αx + α 0 µε α ν 0 και α i Ζ µε i = 0,,,.,ν. Αν f(0). f() είναι περιττός αριθµός να δείξετε ότι το πολυώνυµο f(x) δεν έχει ακέραια ρίζα. Έστω ότι το πολυώνυµο f(x) έχει ακέραια ρίζα ρ τότε θα έχει και παράγοντα x ρ και θα γράφεται f(x) = ( x ρ ). Π(x) ( I). To πολυώνυµο Π(x) θα έχει ακέραιους συντελεστές δεδοµένου ότι και το f(x) έχει ακέραιους συντελεστές. Τότε f(0). f() = ρ(ρ ) Π(0). Π(() (). Επειδή Π(0). Π() είναι ένας ακέραιος αριθµός και ρ(ρ ), ως γινόµενο δύο διαδοχικών ακέραιων, είναι άρτιος ακέραιος
13 αριθµός το δεύτερο µέλος της () είναι άρτιος ενώ από την υπόθεση, το πρώτο µέλος είναι περιττός. Εποµένως οδηγηθήκαµε σε άτοπο, άρα το f(x) δεν έχει ακέραια ρίζα.
9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων
4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε
2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Έννοια του πολυωνύμου. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί να πάρει κάθε πραγματική τιμή. Μονώνυμο του x, είναι κάθε παράσταση της μορφής : x όπου α είναι
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός
( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι:
( x) Άρα το είναι ρίζα του P, οπότε το x είναι παράγοντάς του 4 Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x ) είναι: 3 π ( x) = x + x x + 3 Η ταυτότητα της προηγούμενης διαίρεσης είναι: 4 3 x 3x + 5x
2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Α. Αν α > 0 µε α 1 τότε για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς θ 1, θ 2 > 0 να αποδείξετε ότι log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 Β. Έστω το σύστηµα Σ : α1x +
4.1 ΕΝΝΟΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ -ΒΑΘΜΟΣ-ΙΣΟΤΗΤΑ-ΡΙΖΕΣ. ΛΥΣΗ 1 2 =κ κ κ 1+43κ κ = =0
4.1 ΕΝΝΟΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ -ΒΑΘΜΟΣ-ΙΣΟΤΗΤΑ-ΡΙΖΕΣ 4.1.1 Να δειχθεί ότι για κάθε κ R το πολυώνυμο P (x) = (κ - 1) x 5 + (3κ 2 + 2) x 3 + κx δεν έχει ρίζα το 1. 2 1 2 =κ 11 2 +3κ + 2 1 + 2 1 2 =0 κ 1+43κ + 2+16κ
Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...
3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α
K. Μυλωνάκης Αλγεβρα B Λυκείου
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ονομάζουμε μονώνυμο του x κάθε πραγματικό αριθμό ή κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α είναι πραγμ. αριθμός και ν ένας θετικός ακέραιος. Π.χ. οι παραστάσεις 2χ 4, -3χ 2, 7 είναι μονώνυμα του
2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων
ιαίρεση Πολυωνύμων 1 Να γίνουν οι διαιρέσεις: α) (x 5 - x + x - 9) : (x - 1) β) (x 4-7x + x - 15) : (x + 5) γ) (x - 4αx + α ) : (x - α) δ) [7x - (9α + 7α ) x + 9α ] : (x - α) Με τη βοήθεια του σχήματος
4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου
4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή). 2. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της
A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αν α +β +γ = αβγ και α + β + γ, να δείξετε ότι το πολυώνυμο P()=(α β) +(β γ) + γ α είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Από την ταυτότητα του Euler α +β +γ -αβγ = (α + β + γ)[(α-β)
4.2 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
. ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 9 0 A Οµάδας.i) Να κάετε τη διαίρεση ( x + 6x 7x+ 0 ) : ( x+ ) και α γράψετε τη ταυτότητα της διαίρεσης. x + 6x 7x+ 0 x+ x 9x + + x + 9x 8x+ 0 + 8x+
Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές
0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος
Κεφάλαιο ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. * Οι πραγματικοί αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα. Σ Λ. * Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Σ Λ 3. * Κάθε σταθερό και μη μηδενικό
1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος
Κεφάλαιο 2ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. * Οι πραγματικοί αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα. Σ Λ 2. * Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Σ Λ 3. * Κάθε σταθερό και μη μηδενικό
4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου
4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή).. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής:
Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις
4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ
4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
4.. Η ταυτότητα της διαίρεσης A. Όπως στους ακέραιους αριθμούς, έτσι και στα πολυώνυμα ισχύει η ταυτότητα της διαίρεσης. Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι: Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x), με δ(x) 0
(x) = δ(x) π(x) + υ(x)
Μάθηµα 12 Κεφάλαιο 4ο: Πολυώνυµα Πολυωνυµικές Εξισώσεις Θεµατικές Ενότητες: Α. ιαίρεση Πολυωνύµων Β. Σχήµα Horner Η ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης Αν ( χ), δ ( χ) δύο πολυώνυµα µε δ ( χ) 0 και βαθµούς
1 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2008
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 008 α). Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το πρωτοβάθμιο πολυώνυμο x ρ ισούται με την αριθμητική τιμή του Ρ(x) για x =
4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Πολυωνυµική εξίσωση Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής Ρ(x) = 0, όπου Ρ(x) πολυώνυµο.. Ρίζα πολυωνυµικής εξίσωσης Λέγεται κάθε ρίζα του αντίστοιχου πολυωνύµου.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΙΜΗ,ΠΡΑΞΕΙΣ,ΙΣΟΤΗΤΑ) P( x) ( 4) x ( 8) x ( 5 6) x 16 είναι το μηδενικό πολυώνυμο.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΙΜΗ,ΠΡΑΞΕΙΣ,ΙΣΟΤΗΤΑ) 1. Δίνονται τα πολυώνυμα: P ( x) x x, Q( x) x x 1. Να βρεθούν: a) P( x) Q( x) ) P( x) Q( x) ) P( x) Q( x). Να βρεθεί η τιμή του λ R για την οποία
2.1 Πολυώνυμα. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; 3 2 ii. x iii. 3 iv. vi.
.1 Πολυώνυμα 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; i. 1 x + x ii. x + 7 x iii. 5 x + 7x x iv. 1 x + x v. 1 4 4 x + x + 4x vi. 1 x + 5x. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα
Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συνοπτική Θεωρία Ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Συντακτική ομάδα mathp.gr Συντονισμός
1.7 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
1 1.7 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ταυτότητα Ευκλείδειας διαίρεσης : Για δύο οποιαδήποτε πολυώνυµα (x) και δ(x) µε δ(x) µπορούµε να βρούµε δύο άλλα πολυώνυµα π(x) και υ(x) τέτοια ώστε να ισχύει (x) = δ(x)π(x)
Η Ευκλείδεια διαίρεση
1 Η Ευκλείδεια διαίρεση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Αποδεικνύεται ότι για οποιουσδήποτε ακέραιους α και β, β 0, ισχύει το παρακάτω θεώρηµα και διατυπώνεται ως εξής : Αν α και β ακέραιοι µε β
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται
Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και
ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΛΛΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1
ΘΕΜΑ Α ΦΥΛΛΟ 1 Α1. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο υ της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x - ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ = P(ρ). Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις
β) Αν επιπλέον το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι υ(x) = - 3x + 5, τότε να βρείτε το Δ(x). (Απ. α) 5 ος β) Δ(x) = x 5 5x 4 + 6x 3 + 4x 2 11x + 5)
ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ B Λυκείου Γενικής Παιδείας Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 4ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο 2 Δ Ι Α Ι Ρ Ε Σ Η ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ένα πολυώνυμο Δ(x),
4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Αν η εξίσωση α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +... +α 1 x+α 0 = 0 με α ν,α ν-1,...,α 1,α 0 Ζ : έχει ρίζα τον ακέραιο αριθμό ρ, τότε το ρ διαιρεί το α 0. έχει ρίζα το κλάσμα,
2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων
ιαίρεση Πολυωνύμων η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να διαιρέσουμε δύο πολυώνυμα Δίνονται τα πολυώνυμα: P x x x x 8x 4 = + +4 και δ ( x) = x x α) Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης
( ) x 3 + ( λ 3 1) x 2 + λ 1
Επαναληπτικό Διαγώνισµα Άλγεβρα Β Λυκείου Θέµα Α Α1. Έστω η πολυωνυµική εξίσωσης α ν χ ν + α ν 1 χ ν 1 +... + α 1 χ + α 0 = 0, µε ακέραιους συντελεστές. Να αποδείξετε ότι αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της
8. Να εξετάσετε με το σχήμα Horner αν τα πολυώνυμα x+1, x-3 είναι παράγοντες
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 1. Να γίνουν οι διαιρέσεις: α) (x 5 - x 3 + x - 9) : (x - 1) β) (x 7x 3 + x -15) : (x 3 +5) γ) (3x 3 - αx + α ) : (x - α) δ) [7x 3 - (9α + 7α )x + 9α ] : (x - α). Να γίνουν
Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4.1 πωλυωνυμα Η έννοια του πολυωνύμου Έστω x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή. Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφής
1 of 79 ΘΕΜΑ 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R
1 of 79 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R α) Να αποδείξετε ότι η f γράφεται στη μορφή f(x) = (x- 2) 2 + 1. (Μονάδες 12) β) Στο σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί, να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση
Θέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 1999 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
Θέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 999 Ζήτηµα ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω Ρ(x) ένα πολυώνυµο του x και ρ ένας πραγµατικός αριθµός. Αν π(x) είναι το πηλίκο και υ(x) το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου
Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2001
Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.. Α.. Έστω η πολυωνυµική εξίσωση α ν x ν + α ν- x ν- +... + α x + α 0 0, µε ακέραιους συντελεστές. Αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης,
3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. β) x 9x. ε) (x 1) 3(x 1) 2(x 1) 0. (2x 1) x 128 0
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x x 10x 0 5 x 9x γ) x 8x 0 x x x 0 x (x ) 9(x ) ε) (x 1) (x 1) (x 1) 0. Να λύσετε τις εξισώσεις: 5 α) x 0 7 γ) (x ) 1 0 (x 1)
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 1. Τι καλούμε μονώνυμο, τι πολυώνυμο, τι όροι,τι συντελεστές
4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ
1 4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα Αν α, β ακέραιοι µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ και υ, έτσι ώστε α = κβ + υ µε 0 υ < β. 2. Τέλεια διαίρεση Αν το υπόλοιπο υ της Ευκλείδειας
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1
4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ
1 4. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Η γενική µορφή του τριωνύµου µε µεταβλητή x R i) α x + βx + γ, α 0 ii) β α x + α 4α, α 0. Ειδικές µορφές του τριωνύµου Όταν > 0 τότε α x + βx + γ α(x x 1 )(x x ), όπου
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab
4. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 2x 2 + x 12 α) Να αιτιολογήσετε γιατί το διώνυμο x 3 είναι παράγοντας του P(x) β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0
1. α) Να βρείτε το υπόλοιπο και το πηλίκο της διαίρεσης (x 3 6x 2 +11x 2) : (x 3) β) Αν P(x) = x 3 6x 2 +11x + λ να βρείτε το λ R ώστε η διαίρεση P(x) : (x 3) να έχει υπόλοιπο 0. 2. Δίνονται τα πολυώνυμα:
( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x
ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Τριώνυµο λέγεται ένα πολυώνυµο της µορφής : f x = αx + βx+ γ, όπου α, β, γ R µε α. ( ) ιακρίνουσα και ρίζες του τριωνύµου f( x) = αx + βx+ γ λέγεται η διακρίνουσα και
Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Λυμένα Παραδείγματα. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ () = (4λ -9) +(λ -λ-) +λ- είναι το μηδενικό. Το Ρ () θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ
Px α x α x... α x α. Ο αριθμός κ λέγεται βαθμός
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Px με το x ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για
ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ B. Β.1. Γνωρίζουμε ότι τα σημεία Α(π,4) και Β(-2π,6) ανήκουν στην ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑ Α Α.1. Η απόδειξη βρίσκεται στη σελίδα 175 του σχολικού βιβλίου. Α.. Η διατύπωση του ορισμού βρίσκεται στη σελίδα 163 του σχολικού βιβλίου «εκθετική συνάρτηση». Α.3. i) Λάθος ii) Λάθος iii) Σωστό
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε
Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
13 ιαιρετότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός Έστω α,β δυο ακέραιοι µε β 0. Θα λέµε ότι ο β διαιρεί τον α και θα γράφουµε β/α όταν η διαίρεση του α µε τον β είναι τέλεια. ηλαδή όταν υπάρχει ακέραιος
Επαναληπτικές Ασκήσεις
Επαναληπτικές Ασκήσεις Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου ( x ) α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης β Να βρείτε τα 0 και Ρ γ Αν το πολυώνυμο ( x) είναι x να βρείτε: x + x είναι 3x
1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Α. Έστω α = (x 1, y 1 ) και β = (x, y ) δύο διανύσµατα Να γράψετε την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινοµένου τους i Αν τα διανύσµατα δεν είναι παράλληλα προς τον
3.5 ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΩΝΙΚΗΣ
1 3.5 ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΩΝΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Σχετική θέση ευθείας και κωνικής τοµής Έστω η ευθεία ε : y = λx + β και µία κωνική τοµή C µε εξίσωση την φ(x, y) =. Το πλήθος των κοινών σηµείων της ε και
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ A Α1. Να αποδείξετε ότι: αβ α β (Μονάδες 15) A. Χαρακτηρίστε ως Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις ακόλουθες προτάσεις: 1. Η εξίσωση
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Θέμα Α. Αν α>0 με α, τότε για οποιουσδήποτε θ, θ,θ>0 και κ ισχύει log (θ θ ) log θ log θ Μονάδες 8 α α α Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. Φυσικοί αριθμοί : Ν = {0,1,,3,4,...}. Ακέραιοι αριθμοί : Ζ = {...-4,-3,-,-1,0,1,,3,4,...} 3. Ρητοί αριθμοί : Q = { ì í, μ Ζ, ν Ζ* } Σημ. Το σύνολο Q των ρητών αριθμών ταυτίζεται με
Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα
8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)
Ανισώσεις. Κώστας Γλυκός. Τράπεζα θεμάτων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. εκδόσεις / 1 0 /
Ανισώσεις Κώστας Γλυκός Τράπεζα θεμάτων ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 5 / 1 0 / 0 1 6 εκδόσεις τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-300.88.88
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο
θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές
Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να
4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ
14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,
4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Έστω τα διανύσµατα u = ( 6, 8) και v = (9, 1) είξτε ότι είναι αντίρροπα Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης που έχει ηµιάξονες τα µέτρα των διανυσµάτων, κέντρο την αρχή
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
6ο κεφάλαιο: Συναρτήσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα
7. α) Να λύσετε την ανίσωση x 5 <4. β) Αν κάποιος αριθμός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήματος (α). x 1. Δίνονται οι ανισώσεις: 3x 1
Πραγματικοί αριθμοί. Κεφάλαιο Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους. = 2. Να υπολογίσετε
Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους. Έστω α, β δύο πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει α + β = 0 και β + α την τιμή της παράστασης αβ + αβ. =. Να υπολογίσετε. Αν x y
ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ
ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 1. Α. Να βρεθού οι κ,λ R για τους οποίους είαι ίσα τα πολυώυµα ( λ + 1) x ( κ ) x λ + 1 (x) = και Q(x) = κx λx + κ Β. Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ R για τους
ΟΝΟΜ/ΜΟ :... ΟΜΑ Α Α. 1. Χαρακτηρίστε µε ΣΩΣΤΟ (Σ) ή ΛΑΘΟΣ (Λ) τις παρακάτω προτάσεις : Σχῆµα 1: Ασκηση 1δ.
ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 oυ 4 νoυ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΟΜΑ Α Α 1. Χαρακτηρίστε µε ΣΩΣΤΟ (Σ) ή ΛΑΘΟΣ (Λ) τις παρακάτω προτάσεις : (α ) Η περίοδος της συνάρτησης f(x) = 3συν x 5 είναι 5π... (ϐ ) Η συνάρτηση f(x)
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ............................................
Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου 2 oυ και 3 oυ Κεφαλαίου 1
Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου oυ και 3 oυ Κεφαλαίου έµης Απόστολος, Ζάχος Ιωάννης, Κατσαργύρης Βασίλειος, Κόσυβας Γεώργιος, Λυγάτσικας Ζήνων Πειραµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής Οκτώβριος 004 Νοεµβρίου
ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 4. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤH Α. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Εάν ζητείται να δειχθεί ισότητα ή ανίσωση
ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15
ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη
1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι
_ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Αν α + β + γ = αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P () = (α - β) + (β - γ) + γ - α είναι το µηδενικό πολυώνυµο.. Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο P () = (κ - ) + (λ + 6) +
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια
12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες
β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1
τα βιβλία των επιτυχιών
Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από
Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Λυγάτσικας Ζήνων Πειραµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής 6 Ιανουαρίου 013 1 Ασκήσεις 1.1 Ασκήσεις Επανάληψης 1. είξτε ότι : ηµ x + 3συν y 5.. Να αποδείξτε ότι
2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις
. Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f, g όταν: x x 2 x x. x x g x. ln x ln x 1 και
Α ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις, όταν: () με R και (). Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Το πεδίο ορισμού της είναι A R. Επομένως A A R Α Θα εξετάσουμε αν για κάθε R ισχύει.
1. Το πολυώνυµο P (x) = 3 (x - 1) 2-3x είναι Α. µηδενικού βαθµού Β. πρώτου βαθµού Γ. δευτέρου βαθµού. το µηδενικό πολυώνυµο Ε.
Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Το πολυώνυµο P (x) = 3 (x - 1) 2-3x 2 + 5 είναι Α. µηδενικού βαθµού Β. πρώτου βαθµού Γ. δευτέρου βαθµού. το µηδενικό πολυώνυµο Ε. τρίτου βαθµού 2. Αν το πολυώνυµο P (x)
7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει
8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y
2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται ο κύκλος x + y = 5 και οι εφαπτόµενες σ αυτόν από το σηµείο Μ(0, 0). Αν Α και Β είναι τα σηµεία επαφής, να βρείτε Τις εξισώσεις των εφαπτόµενων Τις συντεταγµένες των
ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία
ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση
ΚΕΝΤΡΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΕΝΤΡΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Γ Ιωσηφίδης, Μαθηµατικός, Βέροια Ορισµός Ένα σηµείο Κ λέγεται κέντρο συµµετρίας (συντοµογρ ΚΣ) ενός σχήµατος (Σ), αν το συµµετρικό του (Σ) ως προς το Κ ταυτίζεται µε το (Σ)
Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ
Α λ γ ε β ρ α Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Με πολυ μερακι Για τους μικρους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα
2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 016-017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΡΗΤΟΙ λέγονται οι αριθµοί : ΟΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΙ αριθµοί είναι :. ΑΡΡΗΤΟΙ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
ο κεφάλαιο: Πραγματικοί αριθμοί ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα
1.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : π α) f() = + ηµ β) g() = + συν( ) 6 π π γ) f() = ηµ( ) δ) g() = συν( ) Να γίνει η µελέτη και η γραφική παράσταση
x x και µε P το γινόµενο x1 x2 2α 2α α
o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ I ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ Θεώρηµα (Τύποι του Vieta) Έστω ότι η εξίσωση αx + βx+ γ=, α έχει πραγµατικές ρίζες x Αν συµβολίσουµε µε S
Ορισμένες σελίδες του βιβλίου
Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 234 Κεφάλαιο 4ο: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Απαντήσεις στις ερωτήσεις «Σωστό - Λάθος» 1. Λ 17. Σ 32. Σ 47. Σ 62. Σ 2. Σ 18. Σ 33. Λ 48. Λ 63. Σ 3. Λ 19. Λ 34. Σ 49. Σ 64. Λ 4.
5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ
5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται αριθµητική πρόοδος, αν και µόνο αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθµού.. Μαθηµατική έκφραση
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 6 η ΕΚΑ Α
1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 6 η ΕΚΑ Α 51. Να γίνει γινόµενο παραγόντων η παράσταση α β + αβ α β Αν α β + β α = α + β, να δείξετε ότι οι αριθµοί α και β είναι ίσοι ή αντίθετοι. α β + αβ α β = αβ(α + (α + β )