Κεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines

Transcript

1 Κεφ. 3: Παρεμβολή 3. Εισαγωγή 3. Πολυωνυμική παρεμβολή 3.. Παρεμβολή Lagrage 3.. Παρεμβολή Newto 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splies 3.4 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων 3.5 Παρεμβολή με ορθογώνια πολυώνυμα

2 3. Εισαγωγή στη πολυωνυμική παρεμβολή Έστω ότι από μετρήσεις ή/και υπολογισμούς δίδονται οι τιμές x0 x xi x f x με i 0,,...,. και οι αντίστοιχες διακριτές τιμές i Σημειώνεται ότι ενώ τα μορφή της συνάρτησης f ζευγάρια τιμών x είναι άγνωστη. x f x f είναι γνωστά η αναλυτική i i i Ο σκοπός της αριθμητικής πολυωνυμικής παρεμβολής είναι η εύρεση συνάρτησης έτσι ώστε g x f x f και που θα προσεγγίζει την άγνωστη i i i i f x. gx Για ζευγάρια τιμών η συνάρτηση της μορφής P x f x f με i 0,,..., 0 g x επιλέγεται να είναι ένα πολυώνυμο βαθμού P x a x a x a xa και επομένως θα πρέπει i i i. Επομένως θα πρέπει να ισχύουν οι εξής σχέσεις:

3 P x a x a x a x a f P x a x a x a x a f 0 P x a x a x a x a f i i i i 0 i P x a x a x a x a f 0 ή x x x a f a x x x f x a i xi xi i fi x a x x f Επομένως, οι συντελεστές του πολυώνυμου συστήματος που είναι στη μορφή Xa f. P x προκύπτουν από τη λύση του παραπάνω Αποδεικνύεται ότι det X x x x x x x x x x x x x i xi x 0

4 Επομένως, ο πίνακας X είναι αντιστρέψιμος και η λύση του συστήματος είναι μοναδική όπως και το πολυώνυμο παρεμβολής P x!! Έχοντας την αναλυτική μορφή του πολυωνύμου τιμή της συνάρτησης f x x x,x. 0 P x υπολογίζεται προσεγγιστικά η Είναι γνωστό ότι για μεγάλο αριθμό δεδομένων, κάτι που είναι συνηθισμένο, η επίλυση του συστήματος Xa f είναι αριθμητικά επίπονη λόγω του δείκτη κατάστασης του πίνακα X. Αναζητούμε τεχνικές που να εξάγουν το πολυώνυμο παρεμβολής P x έτσι ώστε P xi fi χωρίς να είναι αναγκαία η επίλυση γραμμικού συστήματος (π.χ. παρεμβολές Newto και Lagrage).

5 3. Πολυωνυμική παρεμβολή 3.. Παρεμβολή Newto Το ζητούμενο πολυώνυμο παρεμβολής P x γράφεται στη μορφή P x b b x x b x x x x b x x x x x x Οι άγνωστοι συντελεστές b i, i 0,,...,, προκύπτουν ως εξής: : P x0 b0 f0 : P x b0 bxx0 f : x x 0 x x x x x x i P x b b x x b x x x x f : x x P x b b x x b x x x x b x x x x x x f i 0 i 0 i 0 i i i 0 i i i i : P x b b x x b x x x x b x x x x x x f

6 Σχετικά εύκολα αποδεικνύεται ότι b f 0 0 b f f0 x x x x 0 0 b f f x x x x x x x x x x x x f 0 b f f f 0 x x x x x x x x x x x x x x

7 Παράδειγμα: Δίδονται τα δεδομένα f0 f 0, f f, f f με τη μέθοδο Newto το πολυώνυμο παρεμβολής ης τάξης 4 και να βρεθεί P x a x a x a. 0 b 0 f0 b f f x x x x b Επομένως: Pxb0 bxx0bxx0xxx0 x0x P x x x

8 3.. Παρεμβολή Lagrage Το ζητούμενο πολυώνυμο παρεμβολής P x γράφεται στη μορφή P x L x f, όπου L i i i0 i x xx0xxi xxi xx i x x x x x x x x x x x x i 0 i i i i i i 0 Όταν i xi x0 xi xi xi xi xi x η ποσότητα Lix Lixi. x x x x x x x x i 0 i i i i i Όταν i η ποσότητα τότε το x θα είναι ίσο με ένα από τα x, 0 x x x L x. και επομένως 0 i i i

9 Επομένως L x για i i και 0 L x για i. P x L x f L x f L x f L x f L x f i i 0 0 i i i0 Με βάση τα παραπάνω ισχύει ότι: P x L x f L x f L x f L x f f i 0 i 0 0 P x L x f L x f L x f L x f f 0 0 i i P x L x f L x f L x f L x f f i 0 i 0 i i i i i i P x L x f L x f L x f L x f f 0 0 i i i Επομένως το προκύπτον πολυώνυμο P x ικανοποιεί τις σχέσεις που P x f. i i

10 f, f f, f f Παράδειγμα: Δίδονται τα δεδομένα f0 0 με τη μέθοδο Lagrage το πολυώνυμο παρεμβολής ης τάξης P x L x f L x f L x f. 0 0 x x x x 0 0 x x xx x x L0 x x x x x x x x x xx x x L x xx 0 x x x x 0 x x xx x0 x L x xx 0 P x x x f x x f x x f 0 4 και να βρεθεί P x x x

11 Παράδειγμα: Επιλέξτε αυθαίρετα µία συνάρτηση f ( x ) και τέσσερα ζευγάρια σημείων x, f( x ). Στη συνέχεια, µε βάση τα επιλεγμένα ζευγάρια τιμών, βρείτε το πολυώνυμο παρεμβολής, 3 ης τάξης, εφαρμόζοντας παρεμβολή α) Lagrage και β) Newto. 3 Έστω f ( x) x 3x 4x 5 α) Παρεμβολή Lagrage και τα αντίστοιχα ζεύγη τιμών 0, 5,,7, 5,90, 9,46 P( x) f ( x ) L ( x) f ( x ) L ( x) f ( x ) L ( x) f ( x ) L ( x) L L 0 ( x) ( x) x xxxxx3 x x x x x x x x0xx xx3 x x x x x x 0 3 P x x x x f x ( ) ( ) 3,, L ( x) L ( x) β) Παρεμβολή Newto: Θα δώσει ακριβώς το ίδιο αποτέλεσμα. 3 xx0 xx xx3 x x x x x x 0 3 xx0 xx xx x x x x x x i i

12 Γραφική παράσταση της f ( x ) με τα σημεία παρεμβολής και του πολυωνύμου P( x ) που 3 προέκυψε με τις παρεμβολές Lagrage και Newto. Σημειώνεται ότι στη περίπτωση αυτή λόγω της μοναδικότητας του πολυωνύμου παρεμβολής f x P( x). 3

13 3.3 Μέθοδος κυβικών splies Αρχικά η μέθοδος περιγράφεται για την ειδική περίπτωση των 4 ( 3) σημείων και στη συνέχεια γενικεύεται για σημεία. Έστω τα δεδομένα: x,f 0 0,x,f,x,f,x,f 3 3 Σε κάθε διάστημα x,x, 03,,, βρίσκουμε ένα πολυώνυμο παρεμβολής 3 ης τάξης: S x a x b x c x d, 0,, (συνολικά άγνωστοι) έτσι ώστε να ισχύουν τα εξής: 3 Συνθήκη Α: S x f, S x f S x, S x f S x, Συνθήκη Β: Sx S x, S x S x 0 Συνθήκη Γ: Sx S x, S x S x 0 Θέτουμε αυθαίρετα (για να κλείσουμε το σύστημα): S x, S x S x f 3 3

14 Ορίζουμε τις ποσότητες y S x, y S x Sx, y S x S x, y Sx και h0 x x0, h x x, h x3 x, f0 f f0, f f f, f f3 f S x είναι 3 ης τάξης οι δεύτερες παράγωγοί τους S x Αφού τα πολυώνυμα ης τάξης και επιλέγουμε να τα γράψουμε στη μορφή: x x x x S x y y 3 3 θα είναι πολυώνυμα 0 3, Sx y y, Sx y y 0 0 h0 h0 x x x x h h x x x x 3 h h Με τη συγκεκριμένη επιλογή ικανοποιείται αυτόματα η συνθήκη Γ. y 3 y 3 S x x x xx cx d, 0,,. 6h 6h Ολοκληρώνουμε δύο φορές: Βρίσκουμε τους άγνωστους συντελεστές c και d ικανοποιώντας τη συνθήκη Α.

15 y y S x x x x x c x d 0 3 3, S x f h0 6h0 y y S x x x x x c x d S x f 3 3, S x f 6h 6h y y S x x x x x c x d 0 S x f 3 3, S x f 3 6h 6h S x f 3 3 Αντικαθιστούμε τους συντελεστές c και d και προκύπτει: y 0 3 y 3 f yh 0 f0 y 0h 0 S0 x xx xx0 xx0 xx 6h0 6h0 h0 6 h0 6 '' '' '' '' y y f y h f y h S x x x x x x x x x 6h 6h h 6 h '' '' '' '' y y f y h f y h S x x3 x x x x x x3 x 6h 6h h 6 h

16 S x,s x,s x : y y f h S x x x x x y y Η συνθήκη Β δεν έχει ακόμη εφαρμοστεί. Επομένως παραγωγίζουμε τα h0 h0 h0 6 y y f h S x x x x x y y h h h 6 y y f h S x x x x x y y h h h 6 Εφαρμόζεται η συνθήκη Β, δηλαδή S x S x, S x S x Προκύπτουν τα y και 0 f 0 6 h 0 h h y h y 0 : f h f f hy hh y6 h h y τα οποία αντικαθιστούμε στις εκφράσεις για τα S x,s x,s x. 0

17 Παράδειγμα: Να εφαρμοστεί η μέθοδος των κυβικών splies, στον παρακάτω πίνακα 0.5 f '0.5: δεδομένων ώστε να εκτιμηθούν οι τιμές των f και x i f x i Οι όροι h είναι: h0 xx0 0., h x x 0., h x3 x 0. Οι όροι Δf είναι: f0 f f , f f f 0.906, f f3 f 0.48 f f0 h0 h h y h h 0 Τριδιαγώνιο σύστημα ( y 0 y 3 0): 6 h h h y f f h h y y y 5.39 και y 5.97.

18 Τα πολυώνυμα τα οποία αντιστοιχούν στα τρία υποδιαστήματα είναι: 3 S0 x x.696x x 3 S x x.6x x 3 S x x.944x x Για τον υπολογισμό της τιμής στο 0.5 αντιστοιχεί στο διάστημα [0., 0.3]. Τότε S και x επιλεγούμε το πολυώνυμο S S x, το οποίο

19 Γραφική απεικόνιση των πολυωνύμων παρεμβολής με κυβικές Splies.

20 Γενίκευση: Έστω ότι έχουμε τα δεδομένα x,f με 0,,,...,. Για κάθε διάστημα x,x βρίσκουμε ένα πολυώνυμο παρεμβολής 3 ης τάξης S x, 0,..., έτσι ώστε να ισχύουν τα παρακάτω: Συνθήκη Α: S x f Συνθήκη Β: S x S x Συνθήκη Γ: S x S x, S x f S x,,...,,,...,,,..., Ορίζουμε τις ποσότητες y S x Αφού τα πολυώνυμα, S x f,,..., ; h x x, f f f, 0,..., S x είναι 3 ης τάξης οι δεύτερες παράγωγοί τους S x ης τάξης και επιλέγουμε να τα γράψουμε στη μορφή θα είναι πολυώνυμα

21 x x xx S x y y, 0,..., h h Με τη συγκεκριμένη επιλογή ικανοποιείται αυτόματα η συνθήκη Γ. S x f Ολοκληρώνουμε δύο φορές και βρίσκουμε y 3 y 3 S x x x xx c x d 6h 6h Εφαρμόζοντας τη συνθήκη Α δηλαδή S x f και f h c y y h 6 S x f βρίσκουμε και d x y x y x f x f h h 6

22 Αντικαθιστούμε τους συντελεστές c και d : y y f y h f yh S x x x x x x x x x 6h 6h h 6 h Επομένως η μορφή των S x που έχουν προκύψει έως τώρα ικανοποιεί τις συνθήκες Α και Γ. Βρίσκουμε τις ποσότητες y που παραμένουν ακόμα άγνωστες έτσι ώστε να ικανοποιείται και η συνθήκη Β. Παραγωγίζουμε μία φορά και έχουμε y y f h S x x x x x y y h h h 6 Για να εφαρμόσουμε τη συνθήκη Β γράφουμε και την αντίστοιχη έκφραση y y f h S x x x xx y y h h h 6

23 Εξισώνουμε τις δύο εκφράσεις και μετά από κάποια επεξεργασία έχουμε το σύστημα f h f h yh y y yh y y h 3 h 3 που το ξαναγράφουμε στη μορφή τριδιαγωνίου συστήματος f f h y h h y hy 6 h h Για να κλείσει το σύστημα θέτουμε S x S x Από την επίλυση του συστήματος προκύπτουν τα αντικαθίστανται στις εκφράσεις πολυώνυμα παρεμβολής 3 ου βαθμού. y,,..., τα οποία S x, 0,..., και προκύπτουν τα ζητούμενα

24 3.4 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Έστω ότι έχουμε τα δεδομένα x,f i i με i,,...,. Ορίζουμε τις διαφορές di fi Pmxi m P x a a x... a x το ζητούμενο πολυώνυμο παρεμβολής που προκύπτει όπου m 0 ελαχιστοποιώντας την ποσότητα m m i i m i i 0 i m i S d f P x f a a x... a x i i i Αυτό επιτυγχάνεται θέτοντας τις παραγώγους του S ως προς τους συντελεστές a m ίσες με το μηδέν και επιλύοντας το προκύπτον γραμμικό σύστημα. S m m 0 fi a0 ax i... amxi 0 a0 ax i... amxi fi a0 i i i S 0 m fi a0 ax i... amxi xi m 0 a0 ax i... amxi xi fixi a i i i S m m 0 fi a0 ax i... amxi xi 0a0 ax... a x x f x a m i m m m i m i i i i i i

25 Το σύστημα των m εξισώσεων ξαναγράφεται στη μορφή 3 m 0 i i i 3... i m i i i i i i 3 m xa i 0 xi a xi a... xi am xi fi i i i i i 3 4 m xi a0 xi a xi a... xi am xi fi i i i i i a x a x a x a x a f... m m m m m xi a0 xi a xi a... xi am xi fi i i i i i Η μέθοδος συνήθως εφαρμόζεται για m.

26 Επίσης εναλλακτικά το σύστημα γράφεται στη μορφή Aa F ή m xi xi... xi a0 fi i i i i 3 m xi xi xi... xi a xi fi i i i i i m m m m xi xi xi... xi a m xi fi i i i i i Αποδεικνύεται ότι η ορίζουσα του πίνακα των συντελεστών A είναι διάφορη του μηδενός και επομένως η λύση του συστήματος είναι μοναδική.

27 Επίσης, με βάση την θεωρία εύρεσης ελαχίστου μεγίστου συναρτήσεων πολλών μεταβλητών αποδεικνύεται ότι θέτοντας της πρώτες παραγώγους S / a i 0 ελαχιστοποιείται η συνάρτηση S. Απαιτείται ο υπολογισμός των μερικών παραγώγων a i S a, i,,...,. Εύκολα προκύπτει ότι a i S a A i όπου A i τα αντίστοιχα στοιχεία του πίνακα A,

28 3 Παράδειγμα: Με βάση τη συνάρτηση f ( x) x 3x 4x 5 επιλέξτε δέκα ζευγάρια σημείων xi, f ( x i) και εφαρμόστε παρεμβολή µε τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων μηδενικής, πρώτης και δεύτερης τάξης. Επιλέγονται τα εξής 0 ζεύγη τιμών: {-, -4}, {0, -5}, {.5, }, {.3,.66}, {3., 38.5}, {4.5, 34.5}, {5.8, 307.5}, {6., 38.4}, {7.9, 85.45}, {8.4, 00.33}

29 α) Πολυώνυμο μηδενικού βαθμού: P0( x) a0, a0 f, P( x) i i y x Γραφική παράσταση του πολυωνύμου 0 ου βαθμού (μπλε γραμμή) με ελάχιστα τετράγωνα.

30 β) Πολυώνυμο πρώτου βαθμού: P( x) a0 ax 0 a a x f i i i 0 i i i i i i i y a x a x x f i 000 P ( x ) 0.08 x x Γραφική παράσταση του πολυωνύμου ου βαθμού (μπλε γραμμή) με ελάχιστα τετράγωνα.

31 γ) Πολυώνυμο δεύτερου βαθμού: P( x) a a x a x 0 0 i i i i i i 3 0 i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a x a x f a x a x a x x f a x a x a x x f a b c a0 a = a b = a c = P x x x ( )

32 y x Γραφική παράσταση του πολυωνύμου ου βαθμού (μπλε γραμμή) με ελάχιστα τετράγωνα.

33 Παράδειγμα: Να εφαρμοσθεί η μέθοδος των ελάχιστων τετραγώνων στον πίνακα δεδομένων: x i f x Επιλέγοντας πολυώνυμο ου βαθμού προκύπτει το σύστημα i 0 i i i i i i 3 0 i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a x a x f a x a x a x x f a x a x a x x f Επιλύεται το σύστημα και προκύπτουν οι συντελεστές a 0, a, P x x x. a. Το πολυώνυμο παρεμβολής είναι

34 Επιλέγοντας πολυώνυμο 3 ου βαθμού προκύπτει το σύστημα 3 0 i i i 3 i i i i i a x a x a x a f 3 4 xa i 0 xi a xi a xi a3 xi fi i i i i i xi a0 xi a xi a xi a3 xi fi i i i i i xi a0 xi axi a xi a3 xi fi i i i i i P3 x x x x Η συνάρτηση παρεμβολής είναι 3

35 Παρεμβολή ελαχίστων τετραγώνων με πολυώνυμο ου (αριστερά) και 3 ου (δεξιά) βαθμού.

36 Εφαρμογή της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων σε διαστάσεις: Παράδειγμα: Δίδεται ο πίνακας δεδομένων: x x y Ζητείται το πολυώνυμο παρεμβολής y a0 ax ax με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Ελαχιστοποιείται η ποσότητα S d f a a x a x i i 0 i i i0 i0

37 Πρέπει να επιλυθεί το γραμμικό σύστημα: S 0 S 0 S a0 a a 0 Μετά τη εύρεση των παραγώγων το σύστημα ξαναγράφεται στη μορφή xi xi yi i i i a 0 x i x i x ix i a x iy i i i i i a xi xixi xi xiyi i i i i 9 9 9a a a 54 Επιλύεται το σύστημα και προκύπτουν οι άγνωστοι συντελεστές: a 7, a 85, a0 3 6

38 85 7 yx, x x x 6 3 Παρεμβολή ελαχίστων τετραγώνων με πολυώνυμο ου βαθμού σε δύο διαστάσεις.

39 Παράδειγμα: Παρεμβολή ελαχίστων τετραγώνων με εκθετικές συναρτήσεις βάσεις Με βάση τον παρακάτω πίνακα δεδομένων βρείτε με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων x τους συντελεστές της συνάρτησης παρεμβολής f x c ce x i y i x i x i 0 y i i c0 ce i c0 i S y c ce 5 S S 0 xi xi yi c0 ce e 0 c i 5 i x i 5 5 c e c y 0 i i xi xi xi e c0 e c yie i i i 5c 79.6c c 49.9c c 0 c Γενίκευση: x (αποδεικνύεται ότι η επιλογή των 0 f x c e c είναι μοναδική).

40 Παράδειγμα: Τυπικά αποτελέσματα αριθμητικής παρεμβολής της συνάρτησης 3 x f ( x) six x 3 e ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò òò ò ò ò Newto ad Lagrage Cubic splies Least square methods

41 3.5 Παρεμβολή με ορθογώνια πολυώνυμα Εφαρμόζεται η μεθοδολογία των ελαχίστων τετραγώνων όπου οι συναρτήσεις βάσης είναι ορθογώνια πολυώνυμα (όχι μονώνυμα) και ΔΕΝ απαιτείται επίλυση αλγεβρικού συστήματος. Έστω ότι προσεγγίζεται µία συνάρτηση f x a, b μορφής: m f x c x 0 όπου οι συναρτήσεις βάσεις b wx xkxdx 0, k a µε ένα γραμμικό συνδυασμό της x είναι ορθογώνια πολυώνυμα στο, b και ab, δηλαδή w x x k x dx dk, k a

42 Πολυώνυμα Legedre wx. P0 x, P x P x P x dx m 0, m Πολυώνυμα Laguerre w x x e. L0 x, 0 L x x P x : είναι ορθογώνια στο διάστημα [,] με συνάρτηση βαρύτητας x, P x 3 x x e L x Lm x dx 0, m, P x xp x P x και P x Pm x dx d, m L x : είναι ορθογώνια στο διάστημα 0, με συνάρτηση βαρύτητας, L x x x, L x x L x L x 4 x και e L x Lm x dx d, m 0

43 Πολυώνυμα Chebyshev / x w x. T0 x, T x x T x : είναι ορθογώνια στο διάστημα [,] με συνάρτηση βαρύτητας, T x x, T x xt x T x 0 m x T x T x dx, m Πολυώνυμα Hermite w x e x. H0 x, H x x T x Tm x dx d, m x και H x : είναι ορθογώνια στο διάστημα, με συνάρτηση βαρύτητας, H x x, H x xh x H x 4 x e H x Hm x dx 0, m e H x Hm x dx d, m και x

44 Ορίζεται τα υπόλοιπα rx f x c x m, m. 0 Στη συνέχεια ελαχιστοποιείται η ποσότητα S wxrx dx όπου συναρτήσεις βαρύτητας. Αναγκαίες συνθήκες για την ελαχιστοποίηση του S είναι b b m S wxrx dx wxf x c x dx ck ck c a k a 0 b a w x οι αντίστοιχες b wx f x c x dx k a c k 0 m b m w x f x c x x dx0, 0 k m a 0 οι οποίες οδηγούν στο γραμμικό σύστημα

45 b a m 0 k k a b w x c x x dx w x x f x dx, 0 k m ή b cwx xkxdx wxkx f xdx, 0 k m 0 a a b Το σύστημα είναι στη μορφή Ax b και επιλύεται για τους άγνωστους συντελεστές c. b k, k a Εφαρμόζοντας τις σχέσεις ορθογωνιότητας wx x xdx 0 ανάγεται σε διαγώνιο πίνακα και οι συντελεστές προκύπτουν από τις σχέσεις, ο πίνακας A

46 c k b w x k x f x dx b a w b x k x f xdx d k a w x x x dx a k k i k i i d k w x f x, 0 k m i0 Παράδειγμα: Προσεγγίζεται με ορθογώνια πολυώνυμα Legedre στο διάστημα [,] η 3 x συνάρτηση f ( x) six x 3 e f ( x) c P( x) c P( x) r x f x c P x c P x Έστω 0 0, m όπου S w x f x c P x c P x dx w x.

47 Αναγκαίες συνθήκες για την ελαχιστοποίηση του S είναι S c S c 0 0 rx dx f x c0p0x cpx dx S c c c c f x c0p0x cpx dx c P x c P x P x dx f x P x dx f x c P x c P x P x dx0 0 c P x P x dx c P x P x dx f x P x dx c wpx fx i0 i 0 i i

48 S r x dx f xc0p0x cp x dx c c c c f x c0p0x cpx dx 0 0 f x c P x c P x P x dx0 c P x c P x P x dx f x P x dx 0 0 c P x P x dx c P x P x dx f x P x dx 0 0 c wpx fx i0 i i i Αριθμητικά αποτελέσματα θα πάρουμε αφού εξετάσουμε το κεφάλαιο της αριθμητικής ολοκλήρωσης

49 Αποτελέσματα αριθμητικής παρεμβολής με ορθογώνια πολυώνυμα Legedre με 7 και m 4 της 3 x συνάρτησης f ( x) six στο διάστημα [,] : x 3 e ò ò ò ò ò ò ò ( ) 0 0( ) ( ) ( ) 3 3( ) 4 4( ) f x c P x c P x c P x c P x c P x x x x x -0.