5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς.

Transcript

1 569: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Παρεμβολή ttp://ecourses.cemeng.ntu.gr/courses/computtionl_metods_or_engineers/

2 Παρεµβολή Παρεµβολή interpoltion είναι η διαδικασία µε την οποία βρίσκεται µία συνάρτηση y η οποία να διέρχεται ακριβώς από n+ σηµεία i y i i= n Συνήθως πολυώνυμο n βαθμού Χρησιμοποιείται για α Υπολογισμό τιμών μεταξύ πειραματικών δεδομένων σημείων β Προσέγγιση συνάρτησης από άλλη πιο απλή p που παρεμβάλει σε n+ σημεία i [δηλαδή ή i =p i i= n] Πολυωνυμική παρεµβολή polynomil interpoltion Από n+ σημεία περνάει ένα και μόνο ένα πολυώνυμο n βαθμού. p n = n n + n n Το μοναδικό αυτό πολυώνυμο μπορεί να βρεθεί με διάφορους τρόπους επίλυση γραμμικού συστήματοςn+n+ ewton divided dierence πολυώνυμα grnge.

3 Πολυωνυμική παρεµβολή grnge Δίνονται n+ σημεία: y y n y n. [ή n+ τιμές μίας προς προσέγγιση συνάρτησης : n n ] Ζητάμε τους συντελεστές i του p n = n n + n n που διέρχεται από τα σημεία αυτά.. Ορίζουμε τα πολυώνυμα grngen βαθμού n βαθμού. n+ πολυώνυμα ένα για κάθε σημείο i. ni = n j... i... n j ji. To πολυώνυμon βαθμού P n είναι: i j i i i i i n P n n i y i ni

4 ου βαθμού grnge σημεία: y και y ου βαθμού grnge βαθμού grnge σημεία: y y και y

5 παράδειγμα: προσέγγιση συνάρτησης με πολυωνυμική παρεμβολή Δίνεται η συνάρτηση = e. Να προσεγγιστεί από πολυώνυμο ου βαθμού στο διάστημα [ ] Επιλέγουμε n+= ισαπέχοντα σημεία στο [ ]. = = =. Οι τιμές της συνάρτησης μας στα σημεία αυτά είναι: =e = =e Οι τιμές της συνάρτησης μας στα σημεία αυτά είναι: =e = =e Βρίσκουμε το πολυώνυμο που περνά από τα σημεία e e: n 75 5 e e.. P i ni i P e

6 Προσαρμογή είναι η διαδικασία κατά την οποία επιλέγεται µία συνάρτηση y i i=... η µεταβλητή i παράμετροι προσαρμογής και επιλέγονται στη συνέχεια οι τιµές των παραµέτρων ώστε η συνάρτηση να προσεγγίζει βέλτιστα τα ζεύγη τιµών i y i i=... πειραματικά δεδομένα. συνήθως με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων όταν υπάρχει σημαντικό σφάλμα στα πειραματικά δεδομένα όταν υπάρχει συγκεκριμένη συνάρτηση για να περιγράψει τα πειραματικά δεδομένα y P 7 P

7 569: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Ολοκληρώματα ttp://ecourses.cemeng.ntu.gr/courses/computtionl_metods_or_engineers/

8 Αριθμητική Ολοκλήρωση συναρτήσεων Χρησιμοποιούμε αριθμητικές μεθόδους για τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων όταν: α δεν υπάρχουν αναλυτικές λύσεις κλειστής µορφής β υπάρχουν αλλά είναι τόσο πολύπλοκες λ που η εκτίµηση της λύσης µε αριθμητικές μεθόδους να είναι πρακτικά πιο εύχρηστες γ δεν γνωρίζουμε τη συνάρτηση που ολοκληρώνεται αλλά τιµές της σε συγκεκριμένα σηµεία σαν αποτέλεσμα ενός πειράματος Το γενικό πρόβλημα προς επίλυση είναι της μορφής: συνεχής συνάρτηση στο []. Υπολογίστε το: I d

9 Βασική μεθοδολογία. Θεωρούμε µια διαµέριση του διαστήματος [] και n+ σημεία. = < < < n = Διακρίνουμε δυο συνήθως κατηγορίες αριθμητικών μεθόδων που συσχετίζονται µε τον τρόπο διαμέρισης του διαστήματος []. α Αν τα σημεία είναι ισαπέχοντα j+ j = τότε οι μέθοδοι που συνήθως χρησιμοποιούνται λέγονται ewton Cotes. β Αν τα σημεία δεν είναι ισαπέχοντα μεταξύ τους τότε οι μέθοδοι που χρησιμοποιούνται είναι συνήθως οι μέθοδοι Guss. [Οι μέθοδοι ολοκλήρωσης κατά Guss χρησιμοποιούνται και στις περιπτώσεις που τα άκρα ολοκλήρωσης είναι µη πεπερασμένοι αριθμοί].. Προσεγγίζουμε την συνάρτηση με παρεμβολή πολυωνύμου n βαθμού στα n+ σημεία.. Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα του προσεγγιστικού πολυωνύμου.

10 ewton Cotes Γνωρίζουμε τις τιμές της συνάρτησης σε ισαπέχοντα n+ σημεία i. i =i+ = = /n Παρεμβολή με πολυώνυμα grnge Ολοκλήρωση των όρων grnge g δίνει τους συντελεστές w i ανεξάρτητοι ξ ρ η από την συγκεκριμένη συνάρτηση.

11 ewton Cotes για n= [κανόνας τραπεζίου] ί σημεία i. = ; = =+ = Παρεμβολή με ου βαθμού grnge ευθεία P = + P P d d P d P d! P E : ] [ '' Σφάλμα ολοκλήρωσης R :! d! E d '' '' O R

12 ewton Cotes για n= [κανόνας Simpson /] ί σημεία i. = /; = = + = += Παρεμβολή με ου βαθμού grnge ευθεία P = + + P P d d P d Σφάλ λ λή R Σφάλμα ολοκλήρωσης R : E d 5 5 O 9 - R O n+ n=5 Γενικά σφάλμα ολοκλήρωσης με ewton Cotes μεθόδους R n = On n=5 O n+ n=6

13 ewton Cotes για n= [κανόνας Simpson /8] σημεία i. = /; = = + = + = += Παρεμβολή με ου βαθμού grnge ευθεία P = d P d Σφάλμα ολοκλήρωσης R : - 5 R O 68 5 Γενικά σφάλμα ολοκλήρωσης με ewton Cotes μεθόδους R n = On n+ n=5 n=5 O n+ n=6

14 Σύνθετος κανόνας τραπεζίου Δ ό Ν ή Διαμερισμός σε Ν τμήματα. = /Ν; = j = +j Εφαρμογή κανόνα τραπεζίου σε κάθε ένα από τα Ν τμήματα I j I I.. n I I... I Σφάλμα ολοκλήρωσης R: ' ' '' R

15 Σύνθετος κανόνας Simpson / Δ ό Ν ή Ν ζ ό Διαμερισμός σε Ν τμήματα Ν ζυγός. = /Ν; = j = +j Εφαρμογή κανόνα Simpson σε Ν/ τμήματα I I.. / I... I Σφάλμα ολοκλήρωσης R: R

16 Ολοκλήρωση Guss Tα n+ σημεία i βρίσκονται από ρίζες ορθογώνιων πολυωνύμων π.χ. πολυώνυμα egendre Παρεμβολή με πολυώνυμα grnge. Ολοκλήρωση των όρων grnge g δίνει τους συντελεστές w i ανεξάρτητοι ξ ρ η από την συγκεκριμένη συνάρτηση. d w i i Guss egendre Για ολοκλήρωση συνάρτησης ης από στο + τα i βρίσκονται από ρίζες του n+ πολυωνύμου egendre. Για άλλα όρια χρειαζόμαστε ή ρίζες άλλων ορθογώνιων πολυωνύμων ή μετατροπή: n i d ' ' d' n i w ' i i '

17 Συντελεστές και σημεία για ολοκλήρωση Guss egendre ttp://en.wikipedi.org/wiki/gussin_qudrture Σφάλμα ολοκλήρωση Guss egendre n+ points R n n [ n!] n n [ n!] n ttp://en.wikipedi.org/wiki/egendre_polynomils Αλγεβρική ακρίβεια ολοκλήρωσης Guss egendre με n+ σημεία n+: Οι κανόνες ολοκλήρωσης Guss υπολογίζουν ακριβώς το ολοκλήρωμα πολυωνύμων με βαθμό <= n+. Οι ewton Cotes κανόνες έχουν αλγεβρική ακρίβεια n για n=5 και n+ για n=6..

18 Σύγκριση ewton Cotes και Guss egendre ewton Cotes Guss egendre Σημεία n+ n+ Σφάλμα R n ~ n+ ξ n+ n=5 R n ~ n+ ξ n+ n=6 R n ~ n+ ξ n+ Algeric* precision n n=5 5 n+ n=6 n+ * μέγιστος βαθμός πολυωνύμου που το ολοκλήρωμα υπολογίζεται ακριβώς

19 παράδειγμα: Υπολογίστε το ολοκλήρωμα με την μέθοδο Simpson / και Guss egendre για n= d Αναλυτική λύση: d Simpson /: = = = = = = I Guss =5/9 5/9+ +8/9 +5/9 5/9+ ]= /5 ο κανόνας Guss egendre n= υπολογίζει το ολοκλήρωμα πολυωνύμου έως 5 ου βαθμού ακριβώς. ο Simpson / έως ου.