VAJE IZ MATEMATIKE za študente farmacije. Martin Raič s sodelavci

Transcript

1 VAJE IZ MATEMATIKE za študente farmacije Martin Raič s sodelavci Datum zadnje spremembe: 28. oktober 205

2 Kazalo. Naravna števila 3 2. Realna števila 4 3. Preslikave 5 4. Zaporedja 6 5. Vrste 0 6. Zveznost 4 7. Odvod 6 8. Integral Funkcije več spremenljivk 34 0.Diferencialne enačbe 38 REŠITVE 40. Naravna števila 4 2. Realna števila Preslikave Zaporedja Vrste Zveznost Odvod Integral 6 9. Funkcije več spremenljivk 72 0.Diferencialne enačbe 78

3 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 3. Naravna števila Indukcija.( ura) Vnalogahod.do6.spopolnoindukcijodokažite,dazavsak n Nveljajonaslednje trditve n 2 = n(n+)(2n+) n 3 = n2 (n+) n(n+) = n(n+)(n+2) (2 2n ) (5 n +2 n+ ) (4 n 3n+8).

4 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 4 2. Realna števila Enačbe in neenačbe. Absolutna vrednost.( ura) Vnalogahod.do.rešiteenačbeoz.neenačbe,rešitevpazapišitekotintervalali unijo intervalov = <. 4. ( 2) > < < < > 0.

5 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 5 3. Preslikave Zaloga vrednosti, surjektivnost, injektivnost, bijektivnost, inverz, kompozitum.( ura) Dananajbopreslikava f: A B. Zaloga vrednosti preslikave f je množica Zf = {f() ; A} = {y B ; ( A)f() = y}. Preslikava f je surjektivna, če je Zf = B. Ekvivalentno to pomeni, da imazavsak y Benačba f() = ynajmanjenorešitevna. Preslikava fjeinjektivna,čeiz f( ) = f( 2 )sledi = 2.Ekvivalentno topomeni,daimazavsak y Benačba f() = ynajveč enorešitevna. Čeje finjektivna,obstajapreslikava f : Zf Azlastnostjo,daje f (y) = natankotedaj,koje f() = y.pravimojiinverznapreslikava. Preslikava f je bijektivna, če je injektivna in surjektivna hkrati. Ekvivalentnotopomeni,daimazavsak y Benačba f() = ynatankoeno rešitevna.zabijektivnepreslikavelahkodefiniramo f : B A. V nalogah od. do 3. določite zalogo vrednosti, surjektivnost, injektivnost in bijektivnost preslikav. Če je preslikava injektivna, določite še inverzno preslikavo.. f: R R, f() = f: (, ] R, f() = f: (, ] (, 3], f() = 4 2. Zapreslikavi f: A Bin g: B Clahkodefiniramo kompozitum g f: A Cpopredpisu: (g f)() := g(f()). Splošneje,čeje f: A Bin g: B C,lahkodefiniramo g f: f (B ) C,kerje f (B ) := { A ; f() B }. 4.Danistapreslikavi f: R\{} Rin g: R\{0} R,kidelujetapopredpisih: Določite f gin g f. f() = 2+, g() = 2.

6 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 6 4. Zaporedja Monotonost, omejenost, stekališča, konvergenca. Računanje limit.(2 uri) Zaporedje a,a 2,a 3,...jenavzgoromejeno,čeimazgornjomejo,topaje takoštevilo M,daje a n Mzavse n N. Najmanjšetakoštevilo M imenujemo natančna zgornja meja ali supremum zaporedja in označimo M = sup n N a n.maksimumjedoseženisupremum. Zaporedje a,a 2,a 3,...jenavzdolomejeno,čeimaspodnjomejo,topa jetakoštevilo m,daje a n mzavse n N. Največjetakoštevilo m imenujemo natančna spodnja meja ali infimum zaporedja in označimo m = inf n N a n.minimumjedoseženiinfimum. Zaporedje je omejeno, če je navzgor in navzdol omejeno. Število ajestekališčezaporedja a,a 2,a 3,...,čezavsak ε > 0zaneskončnomnogoindeksov nodnekodnaprejvelja a n a < ε. Zaporedje a,a 2,a 3,...jekonvergentno,čeimalimito,tojetakoštevilo a,dazavsak ε > 0velja,dazavse nodnekodnaprejvelja a n a < ε. Pišemo a = lim n a n. Vsaka limita je tudi stekališče. Stekališča danega zaporedja so natančno limite njegovih konvergentnih podzaporedij. Zaporedje je konvergentno natanko tedaj, ko je omejeno in ima eno samo stekališče. Zadanonaraščajočezaporedje a,a 2,a 3,...soizjave jenavzgoromejeno, imastekališče in jekonvergentno ekvivalentne.veljalim n a n = sup n N a n. Zadanopadajočezaporedje a,a 2,a 3,...soizjave jenavzdolomejeno, ima stekališče in je konvergentno ekvivalentne. Velja lim n a n = inf n N a n. V nalogah od. do 5. raziščite monotonost zaporedja ter določite supremum, infimum, maksimum in minimum, če obstajajo. Poiščite njegova stekališča in določite, ali je zaporedje konvergentno. Če je, ugotovite, od kod naprej se členi od limite razlikujejo za manj kot ε = a n = 3n a n = n+ 2n 3 3. a n = n ( )n 4. a n = n( +( ) n) +. n+ ( nπ ) 5. a n = sin + 2 n.

7 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 7 Izrekosendviču.Čejea n b n c n terobstajatalimiti lim a n = lim c n = L, n n jetudi lim n b n = L. 6.Dokažite,dajezaporedje b n = 2 n /n!konvergentno,inizračunajtenjegovolimito. V nalogah od 7. do 2. raziščite konvergenco naslednjih rekurzivno podanih zaporedij. 7. a = 2, a n+ = 2a n. 8. a = 2, a n+ = 2a n. 9. a = 0, a n+ = a2 n a = 5, a 2 n+ = a2 n a = 4, a n+ = a2 n a = 3, a n+ = 3 2 a n. Vnalogahod3.do36.izračunajtelimitealipadokažite,daneobstajajo. lim n n = 0 3. lim n 2n+5 3 n. n+ 3 n 4. lim n 3. n 2 5. lim n 3n2 +n n+ n lim n 7. lim n 3 n n 4 +n 2. n+3n 2/3 3 n n 4 +n 2. n+3n 2/3 8. lim n (2n 2 +) 2 (3n+) 3 (n 5).

8 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 8 < q < = lim n q n = 0 q > = lim n q n neobstaja 9. lim n 2 n+ 3 n 2 n +3 n+ +. Najbo k R. < q < = lim n n k q n = 0 q > = lim n n k q n neobstaja 20. lim n 2 2n 2 n +n 2 4 n +5n n+5 +3 n 2. lim n (3 n +n)(3 n 2n). Najbo k > 0in a (0,) (, ).Tedajje: log lim a n n lim n = 0 n k n k log a n neobstaja 22. lim n (n )lnn n 2. (n )lnn 23. lim. n n 24. lim n ( n+ n ). 25. lim n n2 +4n n 2 n. 26. lim n n+ n 2 n+3 n lim n n +2n 2 +3n 3 4n +5n 2 +6n lim n sinn+n cosn n.

9 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 9 ( lim + n = e n n) ( 29. lim + n 3n 30. lim n ( n) n. ) 2n+5. ( lim a n = ± = lim + ) an = e n n a n lim b n = 0 = lim(+b n ) /bn = e n n ( 3. lim + 2 5n+3. n n) ( ) 2n n 32. lim. n n+ 33. lim n ( lnn ln(n+) ). n ( ) 3n 2 n +2n 34. lim. n 3n 2 + ( 35. lim + n ) (n+)/(n ). n n+ ( ) n 2 n+3 +4n 36. lim. n n 2 n+

10 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 0 5. Vrste Seštevanje vrst s pomočjo delnih vsot. Geometrijska vrsta. Konvergenčni kriteriji: primerjalni, kvocientni, Leibnizev.(3 ure) n= s m := a n = a +a 2 +a 3 + := lim n s m m a n = a +a 2 +a 3 + +a m n= Vnalogahod.do9.izračunajtevrednostvrstealipadokažite,dadivergira.Čeima vrsta parameter, določite, za katere vrednosti parametra konvergira. Razčlenitev na parcialne ulomke (najenostavnejša različica) (+a)(+b) = ( b a +a ) +b n 2. n=2 n=0 n= 4n 2 4n 3. ( ln + ). n Geometrijskavrsta.Najbo < q <. n=0 q n = +q +q 2 + = q. Ekvivalentno,čeje a n+ /a n = q,je: a +a 2 +a 3 + = a q. Če je q, geometrijska vrsta divergira.

11 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) n= n=2 3 n 2 2n. 3 n 3 5 2n+. (2 n 3 n ). n= 8. +cos 2 +cos 4 + ( ) n n=0 Vnalogahod0.do2.določite,alivrstakonvergira(čeimavrstaparameter,pa,za katere vrednosti parametra konvergira). Dananajbovrsta n=n 0 a n. Čevrstakonvergira,je lim n a n = 0. Kvocientni kriterij. Recimo, da obstaja q = lim a n+ n a n. Čeje q <,vrstakonvergira. Čeje q >,vrstadivergira. Čeje q =,selahkozgodikarkoli n= n= n= n= 2 n n!. n 2n+. (2n)! (n!) 2. 2 n n! n n. n n. n=

12 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 2 Primerjalni kriterij. a n b n, a n b n 0, bn konvergira = a n konvergira bn divergira = a n divergira nαkonvergira α > n=n n= n=2 n= n= n= n= n= n n 2 n. n(n ). n(2n+). (4n 3)(4n ). n 2 2. n n4 +. Leibnizev kriterij za alternirajoče vrste. Čeje a a a 3...in lim a n = 0,vrsti: n a a 2 +a 3 a 4 + a +a 2 a 3 +a 4 in konvergirata. V nalogah od 22. do 26. določite, ali vrsta konvergira in še, ali konvergira absolutno. Pri vrstah s parametrom obravnavajte(absolutno) konvergenco v odvisnosti od njega.

13 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) n= n=2 n= n= n= ( ) n n lnn. ( ) n n n. n( ) n 2n. 2 ( ) n +. n(n+) ( 2) n n+ 4 n.

14 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 4 6. Zveznost Funkcijske limite. Zveznost funkcij.( ura) Vse elementarne funkcije so zvezne povsod, kjer so definirane. Funkcija f,definiranavokolicitočke a,jezveznava,čevelja limf() = f(a). a Drugačepovedano, fjezveznava,čevelja limf() = f(a) = limf()..narišitegrafafunkcij f() = a <a a >a in g() = Kakojeznjunozveznostjo? V2.in3.nalogipoiščitevsevrednostiparametrov ain b,prikaterihje fzveznana vsej realni osi. 2 ; < 3 2. f() = a ; = 3. +b ; > 3 ; > 2 3. f() = 2. a+b ; 2 V nalogah od 4. do 5. izračunajte limite funkcij. (+)(+2) 4. lim lim (+)(+2). 2 (+)(+2) 6. lim. 2 ( 3)(+) 2 7. lim 3 ( 2 9)(+5). 8. lim 9. lim 7 2 ( lim. 3 (+h) 3 3. lim. h 0 h ). 2. lim a 2 (a+)+a 3 a 3.

15 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 5 sin lim 0 = 3. lim 0 sin(2). tg(π) 4. lim ln(+) lim 0 = 5. lim /( ). 6. Pri katerih vrednostih parametra a je funkcija: { sin 2 (a)/ f() = 2 ; > ; 0. zvezna na celi realni osi?

16 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 6 7. Odvod Pravila za odvajanje. Tangenta in normala, približno računanje s pomočjo odvoda. Levi in desni odvod, zvezna odvedljivost. L Hôpitalovo pravilo. Ekstremi. Risanje grafov s pomočjo odvoda. Taylorjeva vrsta. Dogovor o notaciji: Črki a in m označujeta konstante. Črka označuje spremenljivko, po kateri odvajamo. Črki u in v označujeta odvisne spremenljivke(t. j. količine, ki jih dobimo kot funkcije spremenljivke ). Črke f, gin hoznačujejofunkcije. a = 0 ( e ) = e = (sin) = cos ( ) m = m m (cos) = sin (u+v) = u +v (tg) = cos 2 (au) = au (ctg) = sin 2 (uv) = u v +uv (ln) = ( u u = v) v uv (arcsin) = v 2 2 [ g ( h() )] ( = g h() ) h () (arccos) = 2 (arctg) = + 2 Vnalogahod.do5.poiščiteodvodefunkcij.. f() = +4 2sin f() = e +e 5arctg f() = 2tg+ 2 e 3 +e3+2 + e. 4. f() =

17 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 7 5. f() = ( 2 +) f() = sin ln. 7. f() = 2 3 +e cos f() = arcsin +2 3 ln( 2 +). 9. f() = (+) 2 (2+) 3 (3+) f() = ln arctg( 2 ).. f() = (cos). 2. f() = f() = f() =. { ln( 5. f() = 2 ) ; 0 0 ; = 0. 6.Funkcija y = f()zadoščazvezi e +y = y +.Izračunajte f (0). 7.Funkcija y = f()zadoščazvezi 3 y 3 2 y 2 +5y = 0.Izračunajte f (0). 8.Najbo f() =.Izračunajte f (). 9.Najbo f() =.Poiščite f(5) ()in f (00) (). Običajne trigonometrijske funkcije: y y 2 +y 2 = sinϕ ϕ ϕ cosϕ

18 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 8 Hiperbolične funkcije y 2 y 2 = shϕ ϕ chϕ shϕ = eϕ e ϕ 2 chϕ = eϕ +e ϕ 2 thϕ = shϕ chϕ cthϕ = chϕ shϕ 20.Računskodokažitezvezo ch 2 sh 2 =. 2. Narišite grafe hiperboličnih funkcij in izračunajte njihove odvode. Funkcija Arsh je inverz funkcije sh. 22. Izrazite inverzne hiperbolične funkcije z ostalimi elementarnimi funkcijami in izračunajte njihove odvode. 23. Dana je funkcija: f() = { 2 ; a+b ; <. Določite parametra a in b, pri katerih je funkcija zvezno odvedljiva na vsej realni osi.

19 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 9 Enačbatangentenagraffunkcije f()pri = 0 : y = f( 0 )+f ( 0 )( 0 ) Vbližinitočke 0 tangentadobroaproksimiragraffunkcije: za 0 jetudi: f() f( 0 )+f ( 0 )( 0 ) Enačbanormalepri f ( 0 ) 0: y = f( 0 ) 0 f ( 0 ) Enačbanormalepri f ( 0 ) = 0: = Zapišiteenačbitangenteinnormalenakrivuljo y = lnpri = e. 25.Zapišiteenačbitangenteinnormalenakrivuljo y = 2 2 pri = Določitetangentonakrivuljo y = ln,kijevzporednapremici 2 2y 3 = Poiščitetangentonakrivuljo y 2 +5+y = 5pri =, y < Poiščitetangentonakrivuljo y 3 +y = 0pri =. Kotmedkrivuljo y = f()inosjo pri = 0, kjerje f( 0 ) = 0: ϕ = arctg f ( 0 ). Kotmedkrivuljo y = f()inosjo y: ϕ = arcctg f (0) = π 2 arctg f (0). 29.Določite,podkaterimkotomkrivulja y = tgsekaos Določite, pod katerim kotom krivulja y = (+ 4 tg π ) + 3 sekaosi in y. 6 4 Kotmedkrivuljama y = f ()in y = f 2 ()pri = 0, kjerje f ( 0 ) = f 2 ( 0 ): ϕ = arctg k k 2 +k k 2, kjerje k = f ( 0 )in k 2 = f 2( 0 ). Čeje k k 2 =,je ϕ = π/2. 3.Podkaterimkotomsesekatakrivulji y = sinin y = cos? 32.Podkaterimkotomsesekatakrivulji 2 +y 2 4 = in 2 +y 2 +2y = 9?

20 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 20 f() L Hôpitalovo pravilo. Računamo L = lim a g().čeje: bodisi limf() = limg() = 0; a a limf() = ± in limf() = ±, a a velja L = lim a f () g () podpogojem,daslednjalimitaobstaja. V nalogah od 33. do 45. izračunajte limite. 33. lim 0 e sin(2). 34. lim 0 cos lim 0 sin(3) ln( ). 36. lim lim lim sin 2+sin. e e lim. 0 sin 40. lim (π 2arctg). ( π ) 4. lim π/2 2 tg. 42. lim 0 sinln. 43. lim 3 sin a 44. lim 0 sin. 45. lim. ( cos b ) 2 + c 4.

21 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 2 Funkcija zavzame ekstremne vrednosti kvečjemu v: robnih točkah definicijskega območja; točkah neodvedljivosti; stacionarnihtočkah,t.j.tam,kjerje f () = 0. Kjerje f () = 0in f () > 0,zavzamefunkcijalokalniminimum. Kjerje f () = 0in f () < 0,zavzamefunkcijalokalnimaksimum. V nalogah od 46. do 49. določite globalne ekstreme in zalogo vrednosti naslednjih funkcij na podanih intervalih. 46. f() = 2 3na [0,4]. 47. f() = lnna (0,2]. 48. f() = e na [0,3]. 49. f() = 3 e navsejrealniosi. 50.Določiteštevili ain bzvsoto9,prikaterihjevrednost a 2 +2b 2 minimalna. 5.Vobmočje,kigadoločatakrivulji y = 2 in y =,včrtajtepravokotnikznajvečjoploščino, čigar stranice so vzporedne s koordinatnima osema. y 52.PosodavoblikivaljabrezpokrovaimadanvolumenV 0.Kakšnanajbonjenaoblika, da bo poraba materiala minimalna? 53. Iz vogalov kvadrata s stranico a izrežemo štiri enake kvadratke. Nato iz preostanka sestavimo škatlo brez pokrova. Kako naj izrežemo, da bo imela škatla največjo prostornino? 54.Izkrogazdanimpolmeromizrežemoizsekingazvijemovstožec.Prikateremkotu izseka bo imel stožec največjo prostornino? 55. Skozi točko T(, 4) potegnite premico z negativnim smernim koeficientom, pri katerih bo vsota odsekov na koordinatnih oseh minimalna.

22 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 22 Funkcija fimalinearnoasimptoto y = a+b,čeje: f() lim ± = a; ( ) lim f() a = b. ± 56. Narišite graf funkcije: f() = ln ter poiščite definicijsko območje, zalogo vrednosti, ničle, intervale naraščanja in padanja, ekstreme, intervale konveksnosti in konkavnosti ter prevoje. 57. Narišite graf funkcije: f() = +ln ter poiščite definicijsko območje, zalogo vrednosti, intervale naraščanja in padanja, ekstreme, intervale konveksnosti in konkavnosti ter prevoje. 58. Narišite graf funkcije: f() = ln +ln ter poiščite definicijsko območje, zalogo vrednosti, ničle, pole, linearne asimptote, intervale naraščanja in padanja, ekstreme, intervale konveksnosti in konkavnosti ter prevoje. 59. Dana je funkcija: f() = ln+ln(+2) 3. a) Določite njeno definicijsko območje ter raziščite, kje je konveksna in kje konkavna. b) Določite, koliko ekstremov ima funkcija in kakšne. Vsak ekstrem locirajte med dve zaporedni celi števili(pomagajte si s prvim odvodom). c) Skicirajte graf funkcije. 60. Narišite graf funkcije: f() = ter poiščite definicijsko območje, zalogo vrednosti, ničle, linearne asimptote, intervale naraščanja in padanja ter ekstreme. 6. Narišite graf funkcije: 3 f() = ter poiščite definicijsko območje, zalogo vrednosti, ničle, pole, linearne asimptote, intervale naraščanja in padanja, ekstreme, intervale konveksnosti in konkavnosti ter prevoje.

23 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) Narišite graf funkcije: f() = e /(2 ) ter poiščite definicijsko območje, zalogo vrednosti, ničle, linearne asimptote, intervale naraščanja in padanja ter ekstreme. 63. Narišite graf funkcije: f() = (+2)e / ter poiščite definicijsko območje, zalogo vrednosti, ničle, linearne asimptote, intervale naraščanja in padanja ter ekstreme. 64. Narišite graf funkcije: f() = +2arctg ter poiščite definicijsko območje, zalogo vrednosti, ničle, pole, linearne asimptote, intervale naraščanja in padanja ter ekstreme. Taylorjevavrsta.Čejefunkcija f (n+)-kratzveznoodvedljivamed 0 in, velja: f() = T n ()+R n (), kjerje T n Taylorjevpolinomreda nokoli 0,definiranpopredpisu: T n () = f( 0 )+f ( 0 )( 0 )+ f ( 0 ) 2! R n pajeostanek.velja: R n () = f(n+) (ξ) (n+)! ( 0) n+, ( 0 ) f(n) ( 0 ) ( 0 ) n, n! kjerje 0 ξ ali ξ 0.Vskladustemlahkoostanekocenimo: f (n+) (ξ) min 0 ξ ali ξ 0 (n+)! ( 0) n+ R n () ma 0 ξ ali ξ 0 f (n+) (ξ) (n+)! ( 0) n+. Čegre R n ()protinič,se f()razvijevtaylorjevovrstookoli 0 : f() = f( 0 )+f ( 0 )( 0 )+ f ( 0 ) ( 0 ) ! 65.Zapišite2.Taylorjevpolinomzafunkcijo f() = lnokoli inznjegovopomočjo ocenite ln(. ). 66.SpomočjoTaylorjevevrsteizračunajte 26naštiriabsolutnedecimalkenatančno.

24 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 24 Nekaj znanih razvojev v Taylorjevo vrsto okoli 0 ( ) ( ) m m (a+) m = a m + a m + a m ( ) m m(m )(m 2) (m k +) = k k! za a > 0, < a e = ! zavsak 3! sin = 3 3! + 5 5! zavsak 7! cos = 2 2! + 4 4! zavsak 6! ln(+) = za < 4 67.Razvijtefunkcijo f() = e ln( )vtaylorjevovrstookoli 0inizračunajte f(0. )natriabsolutnedecimalkenatančno. Namig: kot približek uporabite tretji Taylorjev polinom. 68.Razvijtefunkcijo f() = e 2 vtaylorjevovrstookoli 0terizračunajte f (20) (0)in f (2) (0). 69.Razvijtefunkcijo f() = ln(+2)vtaylorjevovrstookoli inizračunajte f (4) (). 70.Razvijtefunkcijo f() = 2 vtaylorjevovrstookoli 2inizračunajte f(7) (2). 7.Razvijtefunkcijo f() = vtaylorjevovrstookoli Razvijtefunkcijo f() = 3 +2+vTaylorjevovrstookoli 0inokoli. V nalogah od 73. do 77. s pomočjo razvoja v Taylorjevo vrsto izračunajte limito. e lim 0 cos. cos lim lim 0 tg sin. 76. lim 0 sin+ ln lim sin 3 (π)

25 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) Integral Računanje nedoločenih in določenih integralov. Povprečna vrednost funkcije. Numerično integriranje po metodi trapezov. Uporaba integralov: ploščine, ločne dolžine ter površine in prostornine vrtenin. F () = f() df() = f()d f()d = F()+C, d = +C, m d = m+ d m+ +C, = ln +C, d + = arctg+c, d = arcsin+c, 2 2 e d = e +C, sind = cos+c, cosd = sin+c, d cos 2 = tg+c, d sin 2 = ctg+c, d 2 + = Arsh+C, d 2 +b = ln + 2 +b +C, d 2 = Arch+Cza, d = Arch( )+Cza, 2 (f()+g() ) d = f()d+ g()d, af()d = a f()d. Črki a in C označujeta konstanto. V nalogah od. do 48. izračunajte nedoločene integrale.. ( + ) 2 d d d d. d. 2 e 2+3 d.

26 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 26 Česta ain bkonstantiter f()d = F()+C, je tudi f(a+b)d = a F(a+b)+C ( cos 2+ π ) d. 3 e 5+3 d. sin 2 d. 2 + d d. 4 + d. d d 9 2. d (ln) 2. e 4 e +2 d. sin 4 cosd. sin 4 cos 3 d. sin 3 d. sin 2 d. tgd. tg 2 d.

27 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 27 Integracija po delih(per partes) udv = uv vdu sin(2) d. ( 2 +2)e d. ( 2 3)lnd. arctgd. arcsind. Razčlenitev na parcialne ulomke. Če je P() polinom, ki je nižje stopnje kot: Q() = ( ) m ( 2 ) m2 ( k ) m k, zanekekonstante A ij velja: m P() Q() = j= m2 A j ( ) + j j= mk A 2j ( 2 ) + + j j= A kj ( k ) j d d d. 3+2 (+) d (+) d. 3 d

28 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) d d d Integral oblike: R ( ), m, m 2,..., m k d, kjerje Rracionalnafunkcija, m,m 2,...,m k panaravnaštevila,prevedemona integralracionalnefunkcijessubstitucijo = t m,kjerje m(najmanjši)skupni večkratnikštevil m,m 2,...,m k. 37. d ( ) d. d d d d

29 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 29 Naj bo R racionalna funkcija. Z naslednjimi substitucijami v integrale: R (, 2 +b ) d : = t 2 b 2t, t = + 2 +b, 2 +b = t 2 + b 2t ( bpri b < 0) R (, 2 +a 2) d : = asht, t = Arsh a, 2 +a 2 = acht (a 0) R (, 2 a 2) d : = acht, t = Arch a, 2 a 2 = asht ( a 0) R (, a 2 2) d : = asint, t = arcsin a, (a 0) a2 2 = acost se le-ti prevedejo na integrale trigonometrijskih, eksponentnih oz. racionalnih funkcij d d d d. 2 d. d Določeni integral: f()d = F()+C = b a f()d = F() b = F(b) F(a) a ( ++e /4 ) d.

30 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 30 Uvedba nove spremenljivke v določeni integral. Če točka (, y) opiše dovoljleponepretrganokrivuljo,kisezačnepri = a,y = αinkončapri = b,y = βterčevzdolžcelekrivuljevelja f()d = g(y)dy,veljatudi: b a f()d = β α g(y) dy π/2 (3 2 4)cos( 3 4)d. π/2 cosd. Čeje fliha,je Čeje fsoda,je a a a f()d = 0. f()d = 2 a a 0 f()d d. d 4 2. d 2. Posplošeni integrali: b a f()d = lim c b c<b c a f()d, b a f()d = lim c a c>a b c f()d π 0 2π 0 d. d 2. d 9+7sin 2. d 6+9cos 2.

31 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 3 Ploščina lika med krivuljama. Če na intervalu [a, b] velja f() g(),jeploščinalika,kigaoklepajokrivulje = a, = b, y = f()in y = g(),enaka: b a ( g() f() ) d 59.Izračunajteploščinolika,kigaomejujetakrivulji y = 4 2 in y = Izračunajteploščinolika,kigaomejujejokrivulje y =, y = 2 in y = 2 2. Ploščina zanke, ki jo omejuje enostavno sklenjena krivulja,podanasformulo = (t), y = y(t), a t b: ±S = S = t=b t=a t=b t=a yd = dy = b a b a (t)ẏ(t)dt y(t)ẋ(t)dt Predznak zgornjega integrala je pozitiven, če se krivulja vrti v smeri urinega kazalca. Ploščina lika, ki ga krivulja, podana z zgornjo formulo, skupaj z zveznicama od izhodišča do krajišč krivulje: ±S = 2 t=b t=a ( yd dy ) Predznak zgornjega integrala je pozitiven, če se krivulja vrti v smeri urinega kazalca. 6. Izračunajte ploščino lika, ki ga omejuje krivulja: = t 2, y = t t3 3 ; 3 t Izračunajte ploščino lika, ki ga omejuje krivulja: = 3t +t 3, y = 3t2 +t Izračunajte ploščino lika, ki ga omejuje krivulja: = cos 3 t, y = sin 3 t.

32 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 32 Ploščina lika, ki ga določa krivulja v polarnih koordinatah r = r(ϕ),α ϕ β,skupajzzveznicamaod izhodišča do krajišč krivulje: S = 2 β α ( r(ϕ) ) 2dϕ 64. Izračunajte ploščino lika, ki ga omejuje krivulja, podana v polarnih koordinatah po predpisu r = sin(3ϕ). 65. Izračunajte ploščino lika, ki ga omejuje krivulja, podana v polarnih koordinatah po predpisu r = +cosϕ. Ločnadolžinakrivulje y = f()naintervalu [a,b]: l = b a + ( f () ) 2 d 66.Izračunajteločnodolžinokrivulje y =, 0 /4. 67.Izračunajteločnodolžinokrivulje y = 2 8 ln, 2. Ločnadolžinakrivulje,podanesformulo = (t), y = y(t), a t b: l = b a (ẋ(t) ) 2 + (ẏ(t) ) 2dt 68. Izračunajte ločno dolžino krivulje, podano parametrično po predpisu: = t 2, y = t t3 3 ; 3 t Izračunajte ločno dolžino krivulje, podano parametrično po predpisu: = cos 3 t, y = sin 3 t.

33 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 33 Ločna dolžina krivulje v polarnih koordinatah: l = β α (r(ϕ) ) 2 + (ṙ(ϕ) ) 2dϕ 70. Izračunajte ločno dolžino krivulje, podane v polarnih koordinatah po predpisu r = ϕ 2, π ϕ π. 7. Izračunajte ločno dolžino krivulje, podane v polarnih koordinatah po predpisu r = +cosϕ. Prostorninainpovršinavrtenine.Čekrivuljo y = f(),kjerje f() 0, na intervalu [a, b] zavrtimo okoli osi, se prostornina dane vrtenine izraža po formuli: b ( ) 2d, V = π f() površinapajevsotapovršinplašča(s pl )inobehpokrovov(s o ),kjerje: S pl = 2π b a a f() + ( f () ) 2 d, So = π ( f(a) ) 2 ( ) 2. +π f(b) 72.Izračunajteprostorninoinpovršinovrtenine,kijodobimo,čekrivuljo y = 2, 0 8,zavrtimookoliosi. 73.Izračunajteprostorninoinpovršinovrtenine,kijodobimo,čekrivuljo y = 3 /3, 0 3,zavrtimookoliosi.

34 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) Funkcije več spremenljivk.določiteinnarišitedefinicijskoobmočjefunkcije f(,y) = ln(y 2 4+8). 2.Določiteinnarišitedefinicijskoobmočjefunkcije f(,y) = ln( y ). y 3.Narišitenekajnivojnicploskve z = 2 +y 2. 4.Narišitenekajnivojnicploskve z 2 = 2 +y 2. 5.Narišitenekajnivojnicploskve z = 2 y. Parcialni odvodi Parcialni odvod funkcije več spremenljivk po določeni spremenljivki pomeni, da po tisti spremenljivki odvajamo, preostale spremenljivke pa obravnavamo kot konstante. Pisava parcialnih odvodov funkcij temelji na tem, da se za vsako spremenljivko(t. j. mesto funkcijskega argumenta) dogovorimo, katera črka jo označuje. Če je npr. f funkcija dveh spremenljivk in se dogovorimo, da prvo označimoz,drugopazy,parcialniodvodpoprvispremenljivkioznačimozf ali f,parcialniodvodpodrugispremenljivkipazf yali f.dogovornavadno y sprejmemokarskupajzdefinicijofunkcije:čefunkcijodefiniramozf(,y) =,privzamemo,da f označujeodvodpoprvi, f y papodrugispremenljivki. Kasneje pa lahko za argumente vstavimo tudi kaj drugega, kar pomeni, da so vsiizrazi f (,y), f (42,34)in f (u,v)smiselni. Vrednostslednjegajeenaka vrednostiizraza g (u),kjerje gfunkcija,definiranapopredpisu g() = f(,v). Tako definirani parcialni odvodi dane funkcije ali izraza so parcialni odvodi prvega reda. Vnalogahod6.do9.poiščitevseparcialneodvodeprvegareda. 6. f(,y) = 2 +3y + 2 y. 7. f(,y) = e 2 +3lny y. 8. f(,y) = +2 2 y +ln(y +). 9. f(,y) = ln(+y 2 ).

35 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 35 Parcialno lahko odvajamo tudi izraze. Za ta namen moramo izraz predstaviti kot funkcijo. Pri tem se moramo dogovoriti, funkcija katerih spremenljivk je dani izraz(t. j. katere spremenljivke so neodvisne) in katere spremenljivke so odvisne(glej. nalogo). Parcialni odvod izraza u po spremenljivki označujemoz uali u. Če v izrazu nastopa funkcija, se lahko zgodi, da je v argumentu spremenljivka, ki ni enako označena kot mesto funkcijskega argumenta za parcialno odvajanje. Čejenpr. f funkcijadvehspremenljivkinjeprvapodogovoruoznačenaz, drugapazy, je f (y,) = f(y,). Navadnosetakšnimsituacijam y izogibamo. 0.Najbo z = +2 2 y +ln(y +).Izračunajte z.medspremenljivkami u, in yveljazveza u = y. a)poiščiteparcialnaodvoda u in u y. in z y. b)najbo z = +y.izrazite uzin ztergledenataparspremenljivkpoiščite parcialnaodvoda u u in z. Pri parcialnih odvodih se moramo ves čas zavedati, v kakšni funkcijski zvezi so spremenljivke. Imenovalec v parcialnem odvodu se ne nanaša le na spremenljivko, po kateri odvajamo, temveč tudi na vse ostale spremenljivke, katerih funkcija je odvajana spremenljivka. 2. Izračunajte vse parcialne odvode prvega in drugega reda funkcije: f(,y) = 3 e +y 7tgy. 3.Danajefunkcija f(,y,z) = sin(y z ).Izračunajte 3 f y z. 4.Zafunkcijo f(,y),kijedefinirananacelotniravnini R 2,velja f f = 2in = 2y. y Označimo z r in ϕ polarni koordinati. Pokažite, da je funkcija f neodvisna od kota ϕ. 5. V parcialno diferencialno enačbo: vpeljite substitucijo: u z z +v u v = 0 = u 2 v 2, y = 2uv.

36 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 36 Najbo ( 0,y 0 )stacionarnatočkafunkcije f(,y),kijedvakratzvezno (parcialno) odvedljiva. Označimo: H = 2 f 2( 0,y 0 ) 2 f ( 2 f ) 2. y 2( 0,y 0 ) y ( 0,y 0 ) Čevelja H > 0in 2 f 2( 0,y 0 ) > 0,imafunkcijavtočki ( 0,y 0 )lokalni minimum. Čevelja H > 0in 2 f 2( 0,y 0 ) < 0,imafunkcijavtočki ( 0,y 0 )lokalni maksimum. Čevelja H < 0,vtočki ( 0,y 0 )nilokalnegaekstrema(pojavise sedlo ). Če velja H = 0, obravnavamo vsak primer posebej. V nalogah od 6. do 8. je potrebno poiskati in klasificirati lokalne ekstreme funkcij. 6. f(,y) = (+y)e y. 7. f(,y) = 4 +4y +y f(,y) = e ( y 2 ).

37 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 37 Strategijaiskanjavezanegaekstremafunkcije f(,..., n )pripogojih: g (,..., n ) = 0, g 2 (,..., n ) = 0, g m (,..., n ) = 0, kjerprivzamemo,dasofunkcije f,g,...,g m dovoljlepe(zapodrobnostiglej predavanja). Najprej definiramo Lagrangeovo funkcijo: Natorešimosistem m+nenačb: F = f λ g λ 2 g 2... λ m g m. F (,..., n ) = 0,. F (,..., n ) = 0, m g (,..., n ) = 0, g m (,..., n ) = 0, pričemersoneznankeštevila,..., n in λ,...,λ m.dobljene n-terice (,..., n )sokandidatizavezanekstremfunkcije (vkolikorjemožno,seizognemoračunanjuštevil λ,...,λ m ) Kateri kvader z dano telesno diagonalo ima največji volumen? Tako kot pri funkcijah ene spremenljivke tudi funkcija več spremenljivk zavzame ekstremne vrednosti kvečjemu v: robnih točkah definicijskega območja; točkah neodvedljivosti; stacionarnih točkah. Rob navadno razdelimo na več krivulj, pri čemer moramo posebej obravnavati oglišča. 20.Poiščitenajvečjoinnajmanjšovrednostfunkcije f(,y,z) = yznaobmočju,določenemzneenačbo 2 +2y 2 +3z 2. 2.Poiščitenajvečjoinnajmanjšovrednostfunkcije f(,y) = 2 ynaobmočju,določenemzneenačbo 2 +(y 2) 2.

38 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) Diferencialne enačbe V nalogah od. do 5. poiščite splošno oz. partikularno rešitev diferencialne enačbe z ločljivima spremenljivkama.. 3 y = y 2, y() = y y + 2 y = 0, y(0) = (+e )yy = e, y(0) =. 4. y y + 2 y = 0, y(0) = y 2 = yy, y(2) =. V nalogah od 6. do 2. poiščite splošno oz. partikularno rešitev linearne diferencialne enačbe. 6. (e +)y +e y = e, y(0) = y (2 )y = 2, y() = e. 8. y 2y = e. 9. y +y = e, y(0) = (+e )(y +y) =.. y +2( 2 )y =. 2. 2y +y = Privzamemo, da se količina kofeina v krvi zmanjšuje premosorazmerno sama s seboj, insicer 0%veniuri.Kolikočasapotem,kosmoimelivkrvi 0µmol/lkofeina (tipična maksimalna koncentracija po zaužitju ene skodelice kave), bomo v krvi imeli 5 µmol/l kofeina? Kajpa,česekoličinakofeinazmanjšuje 0%nauro(t.j.preračunanonaenouro, karpomeni,dasenanašanaodvod)? 4.Pivo,kigadamoizhladilnika,sezzačetnetemperature 4 Cv0minutahogrejena 7 C.Temperaturavsobije 25 C.Kolikšnabotemperaturapivapo20minutah? 5.00-litrskikoteljepolnvodestemperaturo 0 C.Vanjspretokom l/stečetopla vodastemperaturo 30 Cinseidealnomeša,odvečnavodapasepolivačezrob. Kolikšna bo temperatura vode čez eno minuto? 6. V kri enakomerno dovajamo neko zdravilo(a miligramov na uro). Izločanje zdravila izkrvijepremosorazmernoskoličinozdravilavkrvi,insicervelja,dasepri00 mgzdravilavkrvinauroizloči20mgzdravila.nazačetkuvkrvinizdravila.

39 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 39 a) Kako hitro moramo dovajati zdravilo(koliko mora biti a), če želimo doseči, da sebokoličinazdravilavkrviustalilapri200mg(t.j.dabolimitnakoličina, kogrečasčezvsemeje,enaka200mg)? b) Po kolikšnem času količina zdravila doseže 00 mg?

40 REŠITVE

41 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 4. Naravna števila.označimo L(n) = n 2 in D(n) = n(n+)(2n+)/6.dokazatimoramo, daveljal() = D()(bazaindukcije)indaizL(n) = D(n)slediL(n+) = D(n+) (indukcijski korak). Očitnoje L() = D() =. Priindukcijskemkorakupanajprejopazimo,daje L(n+) = L(n)+(n+) 2.Izindukcijskepredpostavke L(n) = D(n)sledi,daje: Podrugistranipajetudi: L(n+) = D(n)+(n+) 2 = (n+)(2n2 +7n+6) 6 D(n+) = (n+)(n+2)(2n+3) 6 = (n+)(2n2 +7n+6) 6 Stemjeindukcijskikorakzaključen,znjimpatudidokaz.. = L(n+). 2.Označimo L(n) = n 3 in D(n) = n 2 (n + ) 2 /4. Očitnoje L() = D() =.Priindukcijskemkorakuznna n+izračunamo: L(n+) = L(n)+(n+) 3 = D(n)+(n+) 3 = (n+)2 (n 2 +4n+4) 6 = (n+)2 (n 2 +4n+4) = D(n+), 6 s čimer je dokaz zaključen. = 3.Označimo L(n) = n(n+)in D(n) = n(n+)(n+2)/3.očitno je L() = D() = 2.Priindukcijskemkorakuznna n+izračunamo: L(n+) = L(n)+(n+)(n+2) = D(n)+(n+)(n+2) = (n+)(n+2)(n+3) 3 = D(n+), = s čimer je dokaz zaključen. 4.Označimo D(n) = 2 2n.Očitnoje D() = 3deljivos3.Priindukcijskemkoraku z nna n+lahkoindukcijskopredpostavkoformuliramotako,daje D(n) = 3kza neki k Z,kerjeekvivalentno 2 2n = 3k +.Velja: D(n+) = 2 2(n+) = 4 2 2n = 4(3k +) = 2k +3 = 3(4k +), s čimer je dokaz zaključen. 5.OznačimoD(n) = 5 n +2 n+.očitnojed() = 9deljivos3.Priindukcijskemkoraku z nna n+lahkoindukcijskopredpostavkoformuliramotako,daje D(n) = 3kza neki k Z,kerjeekvivalentno 5 n = 3k 2 2 n.velja: D(n+) = 5 n+ +2 n+2 = 5(3k 2 2 n )+4 2 n = 5k 6 2 n = 3(5k 2 2 n ), s čimer je dokaz zaključen.

42 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 42 6.Označimo D(n) = 4 n 3n + 8. Očitnoje D() = 9deljivoz9. Priindukcijskem korakuznna n+lahkoindukcijskopredpostavkoformuliramotako,daje D(n) = 9kzaneki k Z,kerjeekvivalentno 4 n = 9k +3n 8.Velja: D(n+) = 4 n+ 3n+5 = 4(9k+3n 8) 3n+5 = 36k+9n 27 = 9(4k+n 3), s čimer je dokaz zaključen.

43 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) Realna števila. [,]. 2. [ 3, 2] [2,3]. 3. (,+ 2 ). 4. [,2) (2,4]. 5. (, 2). 6. (, ] [,3] [5, ). 7. ( 2, 2). 8. ( 2, ). ( + ) 5 9., (,0) {} (2, ).. (0, ).

44 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) Preslikave.Rešimona enačbo 4 2 = y.rešitev = ± y/2obstajanatankotedaj,ko je y. Zatoje Zf = (,],torejpreslikavanisurjektivna. Zavse y < 2ima enačba dve rešitvi na, torej f ni injektivna(ali, na primer, preslikava ni injektivna, kerje f() = f( )). 2.Spetrešimona enačbo 4 2 = y. Medrešitvama = ± y/2sele = y/2nahajav(, ],pašetopodpogojem,daje y 3. Za druge yenačbanimarešitvev(, ],zatoje Zf = (, 3](kasnejelahko uporabimo tudi alternativni premislek z monotonostjo in zveznostjo). Ker ima enačba f() = ynajvečenorešitevv(, ],jepreslikava f injektivnainvelja f (y) = y/2. 3. Preslikava je bijektivna, ostalo enako kot pri prejšnji nalogi. 4. f g: R\{,} R, (f g)() = , ( ) 2 g f: R\{ 2,} R, (f g)() =. 2+

45 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) Zaporedja. Zaporedje je naraščajoče in navzgor neomejeno, zato nima niti stekališč niti limite. Velja inf n N a n = min n N a n = a = Zaporedje ni monotono, je pa od vključno drugega člena naprej padajoče. inf n a n = min n a n = a = 2, sup n a n = ma n a n = a 2 = 3. Zaporedjeimaenosamostekališčeinjekonvergentno, lim n a n = /2. Členiseodlimiterazlikujejozamanjkot εza n Zaporedje ni monotono. inf n a n = 0,minimumneobstaja,zaporedjejenavzgorneomejeno. Zaporedje ima edino stekališče 0, ni pa konvergentno. 4.Zaporedjenimonotono,jepaomejeno: inf n N a n = 0, sup n N a n = 2.Minimumin maksimum ne obstajata. Zaporedje ima dve stekališči: 0 in 2. 5.Zaporedjenimonotono, jepaomejeno: inf n N a n =, ma n N a n = a = 2. Minimum ne obstaja. Zaporedje ima tri stekališča:, 0 in. 6.Za n 3lahkoocenimo: 0 b n = ( ) n 2 2 n 2. 3 Kerje lim n 2 (2/3) n 2 = 0,jepoizrekuosendvičutudi lim n b n 0. 7.Zaporedjenidobrodefinirano:velja a 2 = 0, a 3 = paneobstajaveč. 8.Zaporedjejepadajočeinnavzdolomejeno, lim n a n =. 9.Zaporedjejenaraščajočeinnavzgoromejeno, lim n a n = 2. 0.Zaporedjejepadajočeinnavzdolomejeno, lim n a n = 2.. Zaporedje je naraščajoče in navzgor neomejeno Limitaneobstaja / / /3.

46 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) Limita ne obstaja / / / e 2/3. ( 30. lim n = lim n n) n 3. e e e 2/ e 5. ( n n ) n ( ) n ( n = lim = lim + ) n = n n+ n n e.

47 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) Vrste. / /4. 3. /3. 4. Vrsta divergira / /2. 8. /sin 2,vrstakonvergiraza kπ, k Z. 9. +,vrstakonvergiraza > /2. 0.Pokvocientnemkriterijuvrstakonvergira,kerje q = 0..Kvocientnikriterijnamda q =. Vendarpavrstadivergira,kerčleninegredo proti nič. 2.Vrstadivergira. Tolahkougotovimopokvocientnemkriteriju(q = 4)alipaopazimo,dasovsičlenivrsteenakivsaj. 3.Pokvocientnemkriterijuvrstakonvergira,kerje q = 2/e <. 4.Vrstakonvergiraza < <. 5.Vrstakonvergira,kerje /(n 2 +5) /n 2,vrsta n= /n2 pakonvergira. 6.Vrstapravtakokonvergira,čepravje /(n 2 n) /n 2. Pačpassubstitucijo n = m+dobimo: n 2 n = m 2 +m invelja /(m 2 +m) /m 2. n= 7.Vrstadivergira,kerje / n(n ) /n. m=0 8.Vrstadivergira:ssubstitucijo n = m dobimo: n= n(2n+) = invelja / (m )(2m ) /m. m=2 (m )(2m ) 9.Vrstadivergira,kerje / (4n 3)(4n ) /(4n).

48 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) Vrstakonvergira:ssubstitucijo n = m+dobimo: n= n 2 2 = m 2 +2m m=0 inza m velja /(m 2 +2m ) /m 2. 2.Izkvocientnegakriterijadobimo,daza < < vrstakonvergira,za > padivergira. Za = ±paocenimo n / n 4 + /n 2,torejvrstakonvergira. Sklep:vrstakonvergiraza. 22. Brez težav preverimo, da so pogoji Leibnizevega kriterija izpolnjeni, zato vrsta konvergira.vrstapanekonvergiraabsolutno,kerza n 3velja /(n lnn) /n. 23. Z nekaj računanja preverimo, da so pogoji Leibnizevega kriterija izpolnjeni, zato vrstakonvergira.vrstapanekonvergiraabsolutno,kerje /(n n) /n. 24. Vrsta divergira, ker členi ne gredo proti nič. 25.Vrstakonvergiraabsolutno,kerje ( 2 ( ) n + ) / ( n(n+) ) 3/n Izkvocientnegakriterijadobimo,daza < < 3vrstakonvergira,za < in > 3 padivergira.za = 3jevrstadivergentna,kerje ( 2) n / ( n+ 4 n ) /(2n). Za = pa je vrsta alternirajoča in izpolnjuje pogoje Leibnizevega kriterija, zato konvergira.sklep:vrstakonvergiraza < 3.

49 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) Zveznost. f() g() Obefunkcijistazveznipovsod,kjerstadefinirani,t.j.na R\{ 2}.Todafunkcija fsedazveznorazširitinacelorealnoos,medtemkose gneda. 2. a = 9, b = 6. 3.Funkcijanizveznazanobena ain b /2. 6. Limita ne obstaja. 7. / / / a,čeje a 0.Sicerlimitaneobstaja. 3a2 3. /2. 4. π. 5. /e. 6. a { /2,/2}.

50 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) Odvod. f () = + 2 2cos. 2. f () = e +e f () = 2 cos 2 +2tg e f () = 4 ( 2 +5) f () = 406 ( 2 +) f () = cos sin (2 2 +) 2 +ln+. 7. f () = 62 ( 3 ) 2 +e cos sin+2008 ln f () = arcsin ln( 2 +). 9. f () = (+)( (2+) 4 (3+) 5 0. f () = (+ 4 )arctg( 2 ). = (2+) 4 (3+) 5.. f () = (cos) ( lncos tg ). 2. f () = 2 ln2(+ln). 3. f () = ( ) ln( 2 ) f () = f () = ln( 2 )+2,čeje 0.Pri = 0funkcijaniodvedljiva(čepravjezvezna). 6.Iz = 0izračunamoy = 0.Zodvajanjempodobimoy = y e+y e +y inf (0) =. 7.Iz = 0izračunamo y = 2.Zodvajanjempo dobimo y = 3+6y2 3 2 y y +5y 2in f (0) = /20. [ 8. f () = (ln+) 2 + ].

51 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 5 9. f (5) () = 20 ( ) 6, f(5) () = 00! ( ) Grafi: sh ch th cth Odvodi: (sh) = ch, (ch) = sh, (th) = ch 2 = th2, (cth) = sh 2 = cth2. 22.Zveza y = Arshvelja,čeje = shy. Odtoddobimo y = ln ( ± 2 + ). Iz 2 + > 2 dobimo 2 + >,torej 2 + > in 2 + >. Torej zavsak Rvelja > 0in 2 + < 0, zatoje Arsh = ln ( ). Zveza y = Archvelja,čeje = chyter in y 0. Odtoddobimo y =

52 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 52 ln ( ± 2 ).Za = rešitvisovpadeta.čeje >,jeočitno + 2 >, torej ln ( + 2 ) > 0,obenempajetudi: 2 = ( 2 )( + 2 ) + 2 torej ln ( 2 ) < 0.Zatoje Arch = ln ( + 2 ). Z neposrednim izračunom dobimo: Arth = 2 + ln, Arcth = + ln 2. = + 2 <, Odvode inverznih hiperboličnih funkcij lahko dobimo z neposrednim izračunom, iz prej dobljene izražave z ostalimi elementarnimi funkcijami. Lahko pa jih dobimo tudi kot odvode inverznih funkcij: v primeru hiperboličnega sinusa z odvajanjem zveze sh(arsh) = dobimo ch(arsh)(arsh) =,torej: (Arsh) = ch(arsh) = sh 2 (Arsh)+ = 2 +. Odvodi ostalih inverznih hiperboličnih funkcij: (Arch) = 2, (Arth) =, 2 (Arcth) =. 2 Opomba. Odvoda funkcij Arth in Arcth sta sicer določena z isto formulo, toda funkciji Arth in Arcth imata disjunktni definicijski območji, zato ne moremo govoriti, da se razlikujeta za konstanto. 23. a = 2, b =. 24.Tangenta: y = 2 +, normala: 2e( e). 2e 25. y = y = (dotikališče: T(,0)). 27. y = 2, y = 32 4y y 28. y = 2, y = 2+y3 +y 3y π/4(v vseh presečiščih). = 7 3, tangenta: y = = , tangenta: y = Obeosisekapodkotom π/3(vvsehpresečiščih). 3. arctg(2 2). =. 23. =

53 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) Vobehpresečiščih(T (,2)in T 2 (3, 2))sesekatapodkotom π/ / / / / b a 4 +c min [0,4] f() = f(3/2) = 9/4, ma [0,4] f() = f(4) = 4, Zf = [ 9/4,4]. 47. min (0,2] f() = f() =, Funkcijajenavzgorneomejena, Zf = [, ). 48. min [0,3] f() = f(2) = e 44, ma [0,3] f() = f(0) =, Zf = [e 44,]. 49.Funkcijajenavzdolneomejena, ma R f() = f(3) = 27e 3, Zf = (,27e 3 ]. 50. a = 6, b = Označimo z abscisno koordinato desne stranice pravokotnika. Tedaj je ploščina našegapravokotnikaenaka 2( 2 ),karjemaksimalnopri = / Poraba bo miminalna, če bo višina enaka polmeru osnovne ploskve(oboje enako 3 V0 /π). 53. Izrezati je potrebno kvadratke s stranico a/6. 54.OznačimopolmerkrogazR,kotizsekapazα. Dobljenistožecboimelobseg osnovne ploskve Rα, polmer osnovne ploskve Rα/(2π), stransko višino R in višino ( α 2.Volumenstožcabotorejenak πr R 2π) 3 ( α ) 2.To 3,kjerje = 2π jemaksimalnopri = 2/3oz. α = 2π 2/3.

54 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) Čeodsekaoznačimozmin n,imapremicaenačbo /m + y/n = (segmentna oblika). Minimalnavsotapripogoju /m + 4/n = jedosežena,čeje m = 3in n = Df = (0, ), Zf = [ /e, ). Ničla:. f () = ln+. Funkcijanaraščana [, )padapana (0,].Pri = jeglobalniminimum. f () = /. Funkcijajepovsodkonveksna. Graf: f() /e /e 57. Df = R\{0}, Zf = R. f () = 2 +. Funkcijanaraščana [, )padapana (,0)inna (0,]. Pri = jelokalni minimum. f () = Funkcijajekonveksnana (0,2],konkavnapana (,0)inna [2, ).Pri = 2je prevoj. Graf: 2 f()

55 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) Df = (0,/e) (/e, ), Zf = R\{ }. Ničla: = e,pol: = /e,asimptota: y =. f 2 () = (+ln) 2. Funkcija pada na vseh intervalih, kjer je definirana. f () = ln+3 2 (+ln) 3. Funkcijajekonveksnana (0,e 3 )inna (/e, ),konkavnapana (e 3,/e). Pri = e 3 jeprevoj.graf: f() /e Prvisumandjedefiniranna (0, ),drugina ( 2, ),tretjina R\{0}inčetrtina R. Definicijsko območje funkcije je presek definicijskih območij sumandov, kar je (0, ). Če funkcijo dvakrat odvajamo, dobimo: f () = f () = 2 (+2) Kerza > 0očitnovelja f () < 0,jefunkcijapovsodkonkavna. Topomeni, dajenjenprviodvodstrogopadajočafunkcija,karpomeni,daimanajvečeno ničlo, se pravi, da ima funkcija največ eno stacionarno točko. Ker je naša funkcija odvedljiva povsod, kjer je definirana, to pomeni, da ima največ en ekstrem. Ker je

56 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 56 f () = 0/3, f (2) = /2in f (3) = 2/5,ima f edinoničlomed 2in 3. Levo odnjeje f () > 0infunkcijanarašča,desnoodnjeje f () < 0infunkcijapada. Torej je tam globalni maksimum. Čeželimostacionarnotočkoeksaktnoizračunati,pridemodoenačbe = 0. Njena edina realna rešitev se sicer res da zapisati eksplicitno s Cardanovimi formulami, a zapis je zelo zapleten. Podobno velja tudi za vrednost funkcije v tej točki(torej za največjo vrednost funkcije). Pač pa se da le-ta dovolj dobro oceniti. Izkoristimo namreč lahko dejstvo, da zaradi konkavnosti graf funkcije leži pod vsemi tangentami. Tangentapri 0 = 2zenačbo y = /2 + 3ln2 9/2intangentapri 0 = 3zenačboy = 2/5+ln5 8/5sesekatapribližnovtočkiT(2. 4,. 2), karpomeni,dafunkcijanimaničel(glejgraf). Zaizrisgrafaupoštevamoše,daje lim 0 f() = inpravtako lim f() =.Graf: y Df = R, Zf = (, 5 ]. Ničla: = 2. Asimptoti: y = ±. f () = 2+ ( 2 +) 3/2. Funkcijanaraščana (, /2],padapana [ /2, ).Pri = /2jeglobalni maksimum. Graf:

57 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 57 2 f() Df = (,0] (, ), Zf = [0, ). Ničla: = 0,pol: =. Asimptoti: y = + in y =. 2 2 f () = ( ) 3. Funkcijapadana (,0]inna (,3/2],naraščapana [3/2, ). f 3 () = 4 ( ) 5. Funkcija je konveksna na vseh intervalih, kjer je definirana. Graf: f() Df = R\{,}, Zf = (0,/e) (, ). Ničel ni. Asimptota: y =. f () = 2 ( 2 ) 2 e/(2 ). Funkcijanaraščana (, )inna (,0),padapana (0,)inna (, ). Pri = 0jelokalnimaksimum. Graf:

58 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 58 f() Df = R\{0}, Zf = (,/e] [4 e, ). Ničla: = 2. Asimptota: y = +3. f () = e/ ( 2)(+) 2. Funkcijanaraščana (, ]inna [2, ],padapana (0,2]. Pri = 2jelokalni minimum,pri = palokalnimaksimum. Graf: 0 f() ( 64. Df = (,0) (0, ), Zf =, π ], [+ π ) 2 2,. Funkcijajebrezničelinimapolpri = 0.Asimptoti: y = π, y = π. f () = 2 2 ( 2 +). Funkcijanaraščana (, ]in [, ),padapana [,0)in (0,].Pri = je lokalnimaksimum,pri = palokalniminimum.graf:

59 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 59 f() Za 0 = velja: in: T 2 () = ( ) ( )2 2, T 2 (. ) = R 2 ( ) min ξ. 3ξ = > , R 2 (. ) ma ξ ξ = < , od koder sledi: < ln. < Točenrezultat(dozaokrožitvenenapakenatančno): DrugiTaylorjevpolinomfunkcije f() = okoli 0 = 25jeenak: T 2 () = za ostanek pa veljata oceni: R 2 (26) ma 25 ξ 26 R 2 (26) ma 25 ξ 26 ( 25)2 000 odkoderdobimo 26. = Natančnejširezultat: 26. = , T 2 (26) = , 6ξ = 5/ = , 5/2 6ξ = > 0, 5/ /2

60 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) Za < velja: ( f() = 2+ + ) ( ! + ) ( ! + ) ( ! + ) Nadaljevelja < T 3 (0. ) < in: 0 < R 3 (0. ( ) < 6 + ) ( ) = < , odkodersledi f(0. ). = Natančnejširezultat: f() = ! + 6 3! + = f (20) (0) = 20! 0!, f(2) (0) = 0. n=0 2n n!, 69. f() = ln3+ ( )2 + ( )3 ( )4 + = ( ) n ( ) n = ln3+, f (4) () = 3! n 3 n 3 4. n= 70. f() = 4+( 2) 2 ( 2) 3 +( 2) 4 ( 2) 5 + = 4+ f (7) (2) = 7!. 7. f() = 2 = ( ) n. 2 n+ n=0 72.Razvojokoli 0: f() = Razvojokoli : f() = 4+5( )+3( ) 2 +( ) / / π 3. ( ) n ( 2) n, n=2

61 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 6 8. Integral C. 2. ln C ln 3 +C (+) e2+3 +C ln 2+3 +C. +C sin( 2+ π 3) +C e5+3 +C. 9. 2cos 2 +C ln(2 +)+C.. arctg+c arctg(2 )+C arctg 2 +C. 4. arcsin 3 +C. 5. ln +C. 6. e3 3 e2 +4e 8ln(e +2)+C sin5 +C sin5 7 sin7 +C cos3 cos+c sin(2) 4 2. ln cos +C. +C = sincos 2 +C.

62 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) tg +C cos(2)+ 4 sin(2)+c. 24. (+2) 2 e +C. 25. ( ) ln C. 26. arctg 2 ln(+2 )+C. 27. arcsin+ 2 +C ln 2 ln +2 +C ln C ln +5ln 2 3ln +2 +C. 3. 2ln 2ln + + +C (+) 2 +2ln 2ln + +C. 33. arctg( )+C arctg 3 5 +ln( )+C arctg ln(2 +4+0)+C. 36. arctg C ln ( 2 + ) +C ln ( + ) 4arctg 4 +C. 39. arcsin 2 +C arcsin( + 2) +C. 4. ln ( ) +C = Arsh +3 +C ln C. Tudi ( 3 Arch + ) +Cza 2/3 3 in ( 3 Arch ) +Cza 4/3. 3

63 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) Prvi način. S substitucijo: = t 2 2t, 2 + = t 2 + 2t, t = + 2 +, d = po krajšem računu dobimo: 2 ( t +d = 4 + 2t + ) dt = 4t 3 Drugi način. S substitucijo: = t2 8 8t ln t +C = = ( t 2 2 )( t 2t 2 + ) + 2t 2 ln t +C = = [ ln ( )] +C. ( 2 + ) dt 2t 2 = shu, 2 + = chu, d = chudu dobimo: 2 +d = ch 2 udu = = 2 (ch(2t)+ ) dt = = sh(2t) + t 4 2 +C = = shtcht + t 2 2 +C = = 2( 2 ++Arsh ) +C. Rezultat je seveda enak kot pri prvem načinu, ujema se tudi aditivna konstanta C ln C. Tudi Arch 3 +C za 3 in ( 2 2 Arch ) +C za arcsin C ln C. Tudi 2 2 Arch +C za in Arch 2 +C za 2.

64 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) Označimo: 2 J = d. Prvinačin.Najbonajprej.Ssubstitucijo: = t 2 + 2t, 2 = t 2 2t, t = + 2, d = po krajšem računu dobimo: J = t 4 2t 2 + dt = 2 t 4 +t 2 = ) (+ 3t2 dt = 2 t 2 (t 2 +) = ( + 2 t 4 ) dt = 2 t 2 + = t 2 2t 2arctgt+C = = 2 2arctg ( + 2 ) +C. ( 2 ) dt 2t 2 Za passubstitucijo y = prevedemonaprejšnjiprimer.dobimo: y2 J = dy = y y 2 2arctg ( y + y 2 ) +C = = 2 2arctg ( + 2 ) +C. ( ) Dobljeni rezultat lahko še nekoliko preoblikujemo. Za < izračunamo: ( + 2 )( + 2 ) arctg ( + 2 ) = arctg + 2 = arctg + 2. Kerza < velja+ 2 < 0inkerzat < 0veljaarctg(/t) = π/2 arctgt, je končno: arctg ( + 2 ) = π 2 +arctg( + 2 ). Enakostsmodokazaliza <,neposrednopaseprepričamo,daveljatudiza =.Torejlahkotakoza kotza pišemo: J = 2 2arctg ( + 2 ) +C. = Drugi način. S substitucijo: = chu, u 0 2 = shu, d = shudu

65 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 65 dobimo: J = sh 2 u chu du. Zdaj lahko hiperbolične funkcije izrazimo z eksponentnimi in po uvedbi nadaljnje novespremenljivke t = e u dobimoistokotpriprvemnačinu.lahkopapišemo: sh 2 u J = ch 2 u chudu = sh 2 u +sh 2 u chudu inzuvedbonovespremenljivke s = shudobimo: s 2 J = +s ds = ( 2 = ) ds = +s 2 = s arctgs+c. Kerje s = shu = ch 2 u = 2 (upoštevamo,daje u 0),končnovelja: J = 2 arctg 2 +C. Tretji način. Z uvedbo nove spremenljivke: s = 2, d = sds dobimo: J = 2 d = 2 in nadaljujemo enako kot pri drugem načinu. s 2 s 2 ds Rezultat,kismogadobilinadrugiintretjinačin,senavidezrazlikujeodtistega, ki smo ga dobili na prvi način. Pokažimo, da sta rezultata ekvivalentna. Naj bo ξ = + 2 in ϕ = arctgξ. Zanatančnoprimerjavoobehrezultatovbomo potrebovalipodatekotem,kjetočnosenahajajo, ξin ϕ. Našintegrandjedefiniranza in.obravnavajmonajprejprimer. Tedajjeočitno ξ inposledično π/4 ϕ < π/2.izformulezatangensdvojnega kota: tg(2ϕ) = 2tgϕ tg 2 ϕ dobimo: 2ϕ = arctg 2tgϕ tg 2 ϕ +π (primer,koje = oz. ϕ = π/4,smozazdajizvzeli). Izzvezmed, ξin ϕ dobimo: 2ξ 2arctgξ = arctg ξ +π = arctg 2 2 +π.

66 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) 66 Kerza t > 0velja arctg(/t) = π/2 arctgt,velja: 2arctg ( + 2 ) = arctg 2 + π 2. Enakostsmodokazaliza >,neposrednopapreverimo,daveljatudiza =. Takostarezultata,dobljenanaprviindrugioziromatretjinačin,za res ekvivalentna, saj se dobljena nedoločena integrala razlikujeta le za konstanto. Končnoza priprvemnačinuvzamemorezultatvobliki( )inzupoštevanjem pravkar dobljenega dobimo: J = 2 2arctg ( + 2 ) +C = 2 arctg 2 π 2 +C, kar spet sovpada z rezultatom, dobljenim na drugi oz. tretji način e. +C Označimo iskani integral z J. Prvinačin. Uvedimosubstitucijo t = cos. Spovršnimračunom = arccost, d = dt/ t 2,bidobili: 0 J = 0 t t 2 dt = 0 0 dt +t = 0, kar je narobe, saj je izvirni integrand na vsem integracijskem intervalu strogo pozitiven. Vresnicisklep = arccostveljaleza 0 π/2,medtemkoza π/2 0 velja = arccost, d = dt/ t 2.Sledi: J = = 0 π/2 0 π/2 cosd+ cosd = dt +t dt +t = = 2 0 = 4 +t = 0 = 4 ( 2 ). 0 0 dt +t =

67 M. RAIČ ET AL.: VAJE IZ MATEMATIKE(FARMACIJA) Druginačin. Upoštevamo,daje cos = 2sin 2 inzato cos = 2 2 sin 2. Sledi: J = π/2 2 sin d = π/2 2 = ( 0 2 sin ) π/2 2 d+ sin 2 d = 53. (ln3)/ Ne obstaja / (ln3)/ π/ π/ S = 60. Slika: 2 π/2 = 2 ( 2 cos 2 = 4 ( 2 ). 0 π/2 [ (4 2 ) ( 2 2) ] d = 9. 2 y 0 cos 2 π/2 0 ) = ) S = d+ (2 )d ( 2 d = Opomba: prva dva integrala lahko neposredno dobimo kot ploščino trikotnika. 6. Slika: