Bazele Teoretice ale Chimiei Organice. Hidrocarburi
|
|
- Λητώ Ανδρέου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Bazele Teoretice ale Chimiei Organice. Hidrocarburi Tema3. Tautomerie. Stereoizomerie. Configurație. Convenția Cahn-Ingold-Prelog Tautomerie Două structuri izomere care diferă suficient de mult prin pozițiile relative ale atomilor lor nu sunt forme de rezonanță, ci de fapt sunt compuși izomeri diferiți, numiți tautomeri [Hendrickson ș.a., 1976, p. 188]. În majoritatea cazurilor ei au energii asemănătoare și se pot interconverti prin deplasările corespunzătoare de atomi. Această transformare este o reacție chimică (transformare tautomeră sau tautomerie) și nu o descriere a rezonanței, și se notează simbolic cu o săgeată dublă de echilibru ( ). Tautomeria implică întotdeauna formarea și ruperea legăturilor simple (σ) în cursul acestor transformări. Ex: benzenul și biciclohexadiena: Am putea considera că la rezonanța benzenului pot participa și trei forme Dewar, conținând fiecare câte o legătură centrală cu o distanță de 2,8 Å, de-a lungul ciclului, care este prea lungă pentru a forma o legătură importantă [Hendrickson ș.a., 1976, p. 187]. Dacă se contractă această legătură pentru a ajunge la lungimea normală (1,5 Å) rezultă biciclohexadiena izomeră. Deplasarea obligatorie a nucleelor atomice este prea mare pentru a putea fi compensată de energia de delocalizare; de aceea, benzenul și biciclohexadiena sunt tautomeri, biciclohexadiena are energie mai înaltă și se transformă ușor în benzen. Există definite două tipuri de tautomerie: tautomeria de valență și tautomeria protonului. Tautomeria de valență reprezintă o modificare a distanțelor interatomice dintr-o moleculă, fără scindarea nici unui atom de restul moleculei într-o etapă intermediară (ex: tautomeria benzen biciclohexadienă). Un exemplu este și tautomeria ciclooctatetraenei: Tautomeria protonului (denumită și tautomerie prototropică) se caracterizează prin eliminarea unui proton dintr-o moleculă și reatașarea lui (sau a altui proton) la un atom diferit din moleculă. Reacția este considerată tautomerie doar dacă protonul este deplasat ușor și rapid, ca în tautomerii având protonul legat de oxigen sau azot. Ex: tautomeria ceto-enolică: R C = C R C = C R C C: R C C H O H O O O Enol Anion enolat Cetonă sau aldehidă (R=H)
2 Intermediarul în transformarea ceto-enolică este un anion enolat (cu cele două forme de rezonanță ale sale, reprezentând ambii tautomeri inițiali), care poate fixa din nou protonul formând celălalt tautomer. Această tautomerie are o importanță deosebită în reacțiile organice. Cel mai simplu caz de tautomerie ceto-enolică este cel al alcoolului vinilic cu acetaldehida, cu echilibrul complet deplasat spre acetaldehidă: CH 2 = CH OH CH 3 CH = O Stabilitățile relative sau energiile tautomerilor pot fi calculate aproximativ din energiile acelor legături care suferă modificări în cursul transformării. Astfel, pentru cetonă vom avea suma energiilor legăturilor C = O (- 179 kcal mol -1 ), C C (- 83 kcal mol -1 ) și C H (- 99 kcal mol -1 ), egală cu kcal mol -1. În același timp, pentru enol vom avea suma energiilor legăturilor C O (- 86 kcal mol -1 ), C = C (-146 kcal mol -1 ) și O H (- 111 kcal mol -1 ), adică kcal mol -1. Constatăm că cetona este mai stabilă cu - 18 kcal mol -1 față de enol și, de fapt, enolii simpli nu au fost izolați și se cunosc doar ca intermediari de reacție. Atunci când dubla legătură a enolului este conjugată și stabilizată prin rezonanță, acesta poate deveni mai stabil decât cetona corespunzătoare: fenoluleste un exemplu pentru care nu se cunoaște tautomerul cetonic posibil: O OH H H În acest caz, suma energiilor pentru forma cetonică este (- 361 kcal mol -1 5 kcal mol -1 pentru energia de rezonanță) = kcal mol -1, față de (- 343 kcal mol kcal mol -1 pentru energia de rezonanță) = kcal mol -1 pentru forma fenolică. Diferența de energie este de -13 kcal mol -1 în favoarea formei fenolice. Dacă se includ într-un ciclu benzenic mai mulți enoli, rezonanța benzenului nu mai poate depăși diferența de energie. Astfel, rezorcinolul, deși cu caracter fenolic pronunțat, manifestă un caracter mai cetonic decât fenolul, iar floroglucinolul este chiar la limită și, în unele reacții, se comportă ca o tricetonă: OH O OH O OH Resorcinol (resorcină) O OH O O Floroglucinol (floroglucină) Stereoizomerie Stereochimia se ocupă cu modul de aranjare al atomilor unei molecule în spațiul tridimensional, deci cu structura spațială a moleculelor [Avram, 1983, p. 133]. Izomerii sterici sau stereoizomerii sunt acei izomeri ai compușilor chimici care diferă între ei prin modul diferit de orientare al atomilor moleculei în spațiu. 2
3 Izomerie de conformație. Conformeri. Izomerii de conformație reprezintă aranjări spațiale dinamice, interconvertibili prin simpla rotire (torsionare) a atomilor de carbon împreună cu substituenții lor în jurul unei legături simple din moleculă. Așa cum am văzut în capitolul despre hibridizare, cele patru valențe ale carbonului hibridizat sp 3 sunt identice și îndreptate spre cele patru colțuri ale unui tetraedru regulat, al cărui centru este ocupat de atomul de carbon. De asemenea, am văzut că doi atomi legați între ei printr-o legătură simplă se rotesc liber, împreună cu toți substituenții lor, în jurul legăturii comune: Dacă nu ar avea loc o astfel de rotație liberă, ar trebui ca numărul izomerilor sterici să fie mult mai mare decât este în realitate [Nenițescu, 1980, p. 18]. Totuși, în timpul rotației în jurul unei legături molecula adoptă unele stări mai sărace în energie, deci mai stabile. Rotația grupelor de atomi în jurul legăturilor simple nu este niciodată perfect liberă; este vorba mai curând de o rotație restrânsă. Molecula poate adopta permanent sau temporar anumite conformații, unele mai stabile, altele mai puțin stabile. Pot exista o serie de conformeri, care nu pot fi izolați (separați), șicare au influență asupra proprietăților chimice sau fizice ale substanțelor. În cursul unei rotații complete, o moleculă de tipul etanului poate adopta o infinitate de conformații, dintre care două se disting prin pozițiile extreme, eclipsate, respectiv intercalate ale atomilor de hidrogen: Conformație eclipsată Conformație intercalată [ În figurile de mai sus, imaginile din stânga ale celor două conformații se numesc formule de proiecție axială (sau capră, deoarece se aseamănă cu capra de tăiat lemne), iar cele din dreapta formule de proiecție Newman [Avram, 1983, p. 135]. Formulele de proiecție Newman se deduc din cele de proiecție axială. Cei doi atomi de carbon și legătura ce îi unește sunt figurați ca un cerc sau un punct. Valențele atomului din față se scriu în fața cercului, iar cele ale atomului din spate cu linii punctate sau care se opresc la circumferința cercului. Conformerul intercalat este mai stabil, datorită respingerilor dintre atomii de hidrogen, dar și între electronii legăturilor C H [Nenițescu, 1980, p. 18]. Numai circa 1% din molecule au, la temperatura camerei, suficientă energie pentru a trece dintr-o poziție intercalată în una vecină (tot intercalată), printr-o rotație de 120. Fiecare moleculă suferă un număr mare de astfel 3
4 de rotații într-o secundă, în funcție de temperatură. În cursul unei rotații complete (360 ), molecula etanului adoptă de trei ori o conformație stabilă, intercalată, și de trei ori o conformație instabilă, eclipsată. Moleculele de tipul XH 2 C CH 2 X sunt foarte des întâlnite și prezintă, datorită substituenților, două conformații eclipsate și două intercalate (ex. 1,2-dicloroetan): sin-eclipsat anti-intercalat anti-eclipsat sin-intercalat Cele două conformații intercalate sunt mai stabile, dar între ele există o diferență de energie (cel de-al doilea conformer al 1,2-dicloretanului este cel mai stabil cu 1,1 kcal mol -1 ). Problema rotației libere în jurul legăturilor simple capătă o importanță majoră atunci când se studiază structura unui compus de tipul n-butanului [Hendrickson, 1973, p. 214]. Din cele trei aranjamente intercalate, A și B se aseamănă între ele, dar ambele sunt diferite de C: A B C [ Dacă molecula nu ar putea trece ușor din C în A și B, s-ar putea izola doi izomeri ai n- butanului. Totuși, nu au fost niciodată izolați izomerii unui compus saturat în care izomeria să se datoreze exclusiv împiedicării rotației în jurul legăturilor simple, datorită barierei energetice joase a rotației libere. Deși conformerii nu pot fi izolați, aranjamentul rotațional al grupărilor în jurul legăturilor simple are, totuși, influență asupra reactivității chimice. Conformațiile în care grupările voluminoase se găsesc la distanța cea mai indepărtată sunt, de obicei, cele mai stabile. De exemplu, C ar fi cel mai stabil dintre conformerii (rotamerii) n-butanului, deoarece nu există nici un fel de împiedicare sterică între grupările metil, iar într-o probă macroscopică mult mai multe molecule vor avea aranjamentul C decât conformațiile izomere A și B. Curba variației energiei cu rotația arată astfel: 4
5 Conformațiile hidrocarburilor ciclice saturate Ciclopentanul este un compus stabil, ușor de obținut, și s-a crezut că este o moleculă plană stabilă, deoarece unghiurile interne dintr-un pentagon regulat sunt de 108, o valoare foarte apropiată de unghiul unui tetraedru [Hendrickson ș.a., 1976, p. 218]. Totuși, ciclopentanul plan nu reprezintă conformația cea mai stabilă a moleculei, care ar implica un aranjament eclipsat al tuturor legăturilor din ciclu. Efectul cumulativ al tensiunii rezultante este suficient de mare pentru a torsiona ciclopentanul de la o conformație plană la una ușor pliată (plic), în care unghiurile de valență sunt mai tensionate (aprox. 105 ), dar numai o singură legătură mai rămâne eclipsată și tensiunea globală este mai mică decât în forma plană. O mișcare de vibrație cu energie mică deplasează partea distorsionată sau pliată în jurul inelului ciclopentanic. Derivații ciclopentanului pot menține o distorsiune permanentă, astfel încât atomul de carbon care are un substituent voluminos este permanent deplasat față de planul celorlalți patru atomi de carbon: Rotație în sus Rotație în jos În cazul ciclohexanului se poate realiza o conformație în care toate unghiurile sunt tetraedrice și toate cele șase legături în conformație intercalată [Hendrickson ș.a., 1976, p. 219]. Deoarece acest ciclu nu prezintă o împiedicare sterică internă între atomii fără legături directe, el este lipsit de tensiune, spre deosebire de toate celelalte cicluri până la aprox. 12 atomi de carbon. Această conformație poartă numele de conformație scaun. Sunt posibile și alte conformații, de ex. cea baie, dar aceasta este mai puțin stabilă decât cea scaun cu aprox. 6 kcal mol -1, datorită 5
6 faptului că prezintă două legături eclipsate. Ca urmare, ciclohexanul și aproape toți derivații săi există preferențial în conformația scaun: Plan Scaun Baie Examinând cele 12 poziții de substituție ale inelului ciclohexanic, se observă că există două tipuri diferite, cu câte șase poziții fiecare. Pozițiile sau legăturile ecuatoriale (e) sunt dispuse aproximativ în planul ciclului, în timp ce cele șase poziții sau legături axiale (a) sunt dispuse perpendicular, deasupra și dedesubtul ciclului, în două grupuri de câte trei, fiind paralele între ele. Conformerii substituiți axial și ecuatorial sunt interconvertibili, deoarece deformarea unui ciclohexan scaun poate să-l transforme în forma baie și aceasta, la rândul ei, să fie transformată într-o altă formă scaun, în care cele șase poziții ecuatoriale să devină axiale și invers. Prin această transformare conformațională toate pozițiile substituenților sunt inversate: Un substituent ecuatorial devine axial (și invers), iar bariera de deformare a formei scaun și transformarea sa în forma baie este de aprox. 11 kcal mol -1. Aceasta înseamnă că procesul are o viteză foarte mare la temperatura camerei. Majoritatea moleculelor de metilciclohexan vor avea gruparea metil în orientare ecuatorială, mai stabilă, dar diferența de energie este suficient de mică pentru a avea molecule și în orientarea axială. Putem face, astfel, diferența dintre configurație și conformație. Prin configurația unei molecule se înțelege aranjarea atomilor în spațiu, fără a ține seama de formele care diferă doar prin rotația unor grupe de atomi în jurul uneia sau mai multor legături simple. Conformațiile unei molecule care posedă o anumită configurație sunt aranjări diferite ale atomilor în spațiu, care diferă între ele doar prin rotația în jurul unor legături simple. Diferiții conformeri ai unei molecule au aceeași configurație. Mărimea barierei de energie de rotație în jurul unor legături simple depinde de natura și volumul substituenților. În cazul etanului aceasta este destul de mică (2,75 kcal mol -1 ), în timp ce la Cl 3 C CCl 3 este mult mai mare (aprox. 10 kcal mol -1 ), din cauza razei mari a atomilor de clor, care produc împiedicări sterice. Izomerie geometrică (izomerie de configurație) Izomerii de configurație reprezintă aranjări spațiale statice, care se disting prin modul diferit de orientare al atomilor în raport cu un element rigid (centru sau plan). Transformarea unui stereoizomer în altul implică schimbarea locului a doi substituenți prin desfacerea formală a unei legături covalente. Izomerii de configurație ai cicloalcanilor și alchenelor se diferențiază în raport cu un plan al moleculei, respectiv al legăturii duble. Ei se deosebesc prin proprietățile lor 6
7 fizice (punct de fierbere, punct de topire, spectre etc.) și unele proprietăți chimice, fiecare stereoizomer reprezentând o moleculă bine definită, ce poate fi izolată prin metodele curente de lucru. În ciclurile saturate, deoarece fiecare atom de carbon este legat de doi substituenți (ex. H în ciclurile de bază), se consideră că o legătură se află deasupra și cealaltă dedesubtul planului ciclului. Doi substituenți care se găsesc de aceeași parte a ciclului sunt în cis, iar cei ce se găsesc în părți opuse sunt în trans, prin analogie cu dublele legături: cis-1,2-dimetilciclohexan trans -1,2-dimetilciclohexan Un exemplu bun pentru a înțelege stereoizomeria este 1,3-dimetilciclobutanul [Hendrickson ș.a., 1976, p. 204]. Pe hârtie, în reprezentare bidimensională, compusul este definit printr-o singură formulă, A, dar tridimensional sunt posibile două molecule reale care corespund acestei structuri, indicate prin reprezentările în perspectivă, B și C: c A B C Așadar, structura A nu este suficientă pentru a defini molecula reală a 1,3- dimetilciclobutanului. Mai trebuie specificat în plus faptul că cele două grupe metil se găsesc de aceeași parte (B) sau de părți opuse (C) în raport cu ciclul. Ciclul saturat împiedică libera rotație, întocmai ca și dubla legătură, și determină în moleculă un plan, substituenții fiind așezați de o parte și de alta a ciclului. Este evident că cei doi 1,3-dimetilciclobutani sunt molecule diferite și deci reprezintă substanțe chimice diferite din punct de vedere fizic deoarece au forme diferite și pot fi transformate una în alta doar prin ruperea legăturilor dintre gruparea metil și hidrogenul de la unul din atomii de carbon și refacerea legăturii în celălalt sens. Acest proces reprezintă o reacție chimică, care transformă o substanță în alta. Ca urmare, cele două molecule B și C sunt doi compuși izomeri diferiți. Asemenea compuși se numesc stereoizomeri ( izomeri spațiali ) pentru a-i diferenția de izomerii structurali. Cei doi stereoizomeri ai 1,3-dimetilciclobutanului sunt izomeri structurali ai celor doi stereoizomeri ai 1,2-dimetilciclobutanului. Izomerii structurali se pot diferenția chiar prin structurile lor bidimensionale (de tip A), pe când stereoizomerii nu se pot diferenția astfel. Izomeria geometrică este o consecință a rotației limitate în jurul dublelor legături [Hendrickson ș.a., 1976, p. 209]. De exemplu, doi compuși diferiți conțin aceeași secvență de 7
8 atomi, HOOC CH = CH COOH; unul este acidul maleic, celălalt este acidul fumaric. Aceste substanțe au proprietăți fizice net diferite: primul se topește la 135 C, al doilea la 287 C. Acidul maleic încălzit în vas deschis la 140 C formează anhidridă maleică și apă. Spre deosebire de acesta, acidul fumaric rămâne netransformat dacă este supus aceluiași tratament. Totuși, la 275 C acidul fumaric pierde apă, formând anhidridă maleică. Reacția inversă, de scindare a anhidridei maleice cu apă, formează doar acid maleic: 140 C 275 C Acid maleic Anhidridă maleică Acid fumaric În acidul maleic cele două grupări carboxil sunt atașate de aceeași parte a dublei legături, în timp ce în acidul fumaric ele se află de părți opuse. Acidul maleic poate pierde apă cu formarea unei anhidride ciclice, deoarece cele două grupări carboxil sunt apropiate între ele și pot interacționa una cu cealaltă. În acidul fumaric, cele două grupări sunt prea îndepărtate pentru a interacționa direct, dar dacă este încălzit puternic se izomerizează lent (prin rotație în jurul dublei legături) la acid maleic, care, la temperatura la care are loc izomerizarea, se transformă rapid în anhidridă. Perechile de izomeri geometrici sunt denumite izomeri cis și trans. Pentru ca o dublă legătură să poată prezenta izomerie geometrică, ea trebuie să aibă la fiecare capăt doi substituenți diferiți între ei: Stabilitatea relativă a doi izomeri geometrici se determină de obicei în mod simplu luând în considerare împiedicarea sterică [Hendrickson ș.a., 1976, p. 213]. Termenul se referă la compresia pe care o suferă o grupare forțată să se găsească prea aproape de vecinii săi (de care nu este direct legată). Pozițiile cis față de o dublă legătură sunt, spațial, destul de apropiate (și nu se pot roti) și, dacă grupele atașate în cis au o dimensiune moderată, vor suferi tensiuni datorită presiunilor reciproce; această tensiune nu există în izomerul trans. În general izomerul având cele două grupări voluminoase de la fiecare capăt al dublei legături în cis este cel mai puțin stabil dintre cei doi izomeri posibili. Astfel, cis-2-butena este ceva mai puțin stabilă decât trans-2-butena, în timp ce diferențele de energie între cis- și transstilben (1,2-difeniletenă) având grupări fenil mai voluminoase sunt atât de mari încât amestecul la echilibru la temperatura camerei conține de 10 4 ori mai mult izomer trans decât cis. Dacă grupările respective nu sunt resturi de hidrocarburi, ralația este mai puțin categorică: de ex., 1,2- dihaloetenele (cu excepția diiododerivaților) sunt mai stabile în forma cis, deși fenomenul nu este clar explicat. 8
9 trans-2-butenă cis-2-butenă trans-stilben cis-stilben Deoarece au stabilitate mai scăzută decât izomerii trans, izomerii cis se transformă adesea în izomeri trans, la încălzire sau sub influența unor catalizatori, cu degajare de energie. În ciclurile nesaturate cu număr mic de atomi de carbon, dublele legături sunt în configurație cis. Cea mai mică cicloalchenă suficient de stabilă pentru a exista în configurație trans este trans-ciclooctena. Ciclohexenele adoptă configurația scaun (mai exact semi-scaun, deoarece una din laturi este plană și nu pliată, din cauza dublei legături) și nu configurația baie. Deoarece la moleculele la care dubla legătură este tri- sau tetrasubstituită notația cis-trans este ambiguă, a fost necesară introducerea unei noi nomenclaturi în care se ține seama de prioritatea substituenților [Nenițescu, 1980, p. 42]. Pentru o moleculă de tip abc = Ccd se evaluează prioritățile substituenților, în ordinea descrescătoare a numărului atomic al primilor atomi legați de carbonii implicați în dubla legătură. Se alege, pentru fiecare pereche de substituenți, cel cu prioritatea cea mai mare (numărul atomic mai mare). Dacă substituenții astfel aleși se găsesc de aceeași parte a dublei legături, se adaugă la denumirea substanței prefixulz, iar dacă se află unul de o parte și celălalt de alta, prefixul E (din limba germană, zusammen = împreună, entgegen = opus). De exemplu, pentru 3-fenil-2-pentenă, unul dintre atomii de carbon este substituit cu C 2 H 5 și C 6 H 5, iar prioritatea cea mai mare o are C 6 H 5. La celălalt atom de carbon este prioritară gruparea CH 3 față de H. Ca urmare, cele două fenilpentene izomere se denumesc astfel: H 5 C 6 CH 3 H 5 C 6 H C = C C = C H 5 C 2 H H 5 C 2 CH 3 (Z)-3-fenil-2-pentenă (E)-3-fenil-2-pentenă În cazul triplei legături, atomii implicați în legătură sunt coliniari, deci nu pot exista stereoizomeri. Bibliografie 1. Avram, M. (1983). Chimie Organică, vol. 1, Editura Academiei RSR, București, Hendrickson, J. B., Cram, D. J., Hammond, G. S., Chimie Organică, Editura Științifică și Enciclopedică, București, Nenițescu, C. D., Chimie Organică, vol I, Editura Didactică și Pedagogică, București, consultat în data de consultat în data de
Bazele Teoretice ale Chimiei Organice. Hidrocarburi
Bazele Teoretice ale Chimiei Organice. idrocarburi An universitar 2013-2014 Lector dr. Adriana Urdă Tema 3. Tautomerie. Conformație. Izomerie geometrică. Convenția Cahn Ingold Prelog Obiectivele temei:
Διαβάστε περισσότεραActivitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale
POSDRU/156/1.2/G/138821 Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educaţiaşiformareaprofesionalăînsprijinulcreşteriieconomiceşidezvoltăriisocietăţiibazatepecunoaştere
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE TEST 2.5.3 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Sulfonarea benzenului este o reacţie ireversibilă.
Διαβάστε περισσότεραActivitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenților în vederea asigurării de șanse egale
Investește în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operațional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educația și formarea profesională în sprijinul creșterii
Διαβάστε περισσότεραTeoria mecanic-cuantică a legăturii chimice - continuare. Hibridizarea orbitalilor
Cursul 10 Teoria mecanic-cuantică a legăturii chimice - continuare Hibridizarea orbitalilor Orbital atomic = regiunea din jurul nucleului în care poate fi localizat 1 e - izolat, aflat într-o anumită stare
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότεραI. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare.
Capitolul 3 COMPUŞI ORGANICI MONOFUNCŢIONALI 3.2.ACIZI CARBOXILICI TEST 3.2.3. I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Reacţia dintre
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE TEST 2.5.2 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Radicalul C 6 H 5 - se numeşte fenil. ( fenil/
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 - HIDROCARBURI 2.3.ALCHINE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.3.ALCHINE TEST 2.3.3 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Acetilena poate participa la reacţii de
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραREACŢII DE ADIŢIE NUCLEOFILĂ (AN-REACŢII) (ALDEHIDE ŞI CETONE)
EAŢII DE ADIŢIE NULEFILĂ (AN-EAŢII) (ALDEIDE ŞI ETNE) ompușii organici care conțin grupa carbonil se numesc compuși carbonilici și se clasifică în: Aldehide etone ALDEIDE: Formula generală: 3 Metanal(formaldehida
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραFig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότερα1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότερα10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραBazele Teoretice ale Chimiei Organice. Hidrocarburi
Bazele Teoretice ale Chimiei Organice. idrocarburi Tema 4. Chiralitate centrală, axială, planară. Conformație. Proiecții Fisher Izomerie optică (enantiomerie) Unele substanțe au proprietatea de a roti
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραBazele Teoretice ale Chimiei Organice. Hidrocarburi
Bazele Teoretice ale Chimiei Organice. Hidrocarburi Tema 1. Hibridizare.Legătura chimică localizată.polaritate.efect inductiv Scurt istoric Despărțirea chimiei în două mari ramuri, anorganică și organică,
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE Exerciţii şi probleme E.P.2.4. 1. Scrie formulele de structură ale următoarele hidrocarburi şi precizează care dintre ele sunt izomeri: Rezolvare: a) 1,2-butadiena;
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότερα5.1. Noţiuni introductive
ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul
Διαβάστε περισσότερα2. STRUCTURA COMPUŞILOR ORGANICI Legături chimice. Tipuri de legături. Hibridizare. e-chimie 19. Cap.2 Structura compuşilor organici.
Cap.2 Structura compuşilor organici 2. STRUCTURA COMPUŞILOR ORGANICI Cuprins: 1. Legături chimice. Tipuri de legătură. ibridizare 2. Izomeria 3. Analiza strucutrală a compuşilor organici Obiective: 1.
Διαβάστε περισσότεραEditura Sfântul Ierarh Nicolae 2010
Ion Moise Editura Sfântul Ierarh Nicolae 2010 ISBN 978-606-577-038-6 Lucrare publicată în Sala de Lectură a Editurii Sfântul Ierarh Nicolae, la adresa http://lectura.bibliotecadigitala.ro Coordonator ştiinţific
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραProblema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραOvidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,
vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 1-INTRODUCERE ÎN STUDIUL CHIMIEI ORGANICE Exerciţii şi probleme
Capitolul 1- INTRODUCERE ÎN STUDIUL CHIMIEI ORGANICE Exerciţii şi probleme ***************************************************************************** 1.1. Care este prima substanţă organică obţinută
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραV O. = v I v stabilizator
Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραCicloalcani - hidrocarburi saturate ciclice: monociclice (C n. H 2n. ) biciclice (C n. H 2n-2
icloalcani - hidrocarburi saturate ciclice: monociclice ( n 2n ) biciclice ( n 2n-2 ) Denumire: prefixul ciclo + numele alcanului cu acelaşi număr de atomi de carbon. Poziţia substituenţilor se reprezintă
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότεραCicloalcani - hidrocarburi saturate ciclice: monociclice (C n H 2n ) biciclice (C n H 2n-2 )
icloalcani - hidrocarburi saturate ciclice: monociclice ( n 2n ) biciclice ( n 2n-2 ) Denumire: prefixul ciclo + numele alcanului cu acelaşi număr de atomi de carbon. Poziţia substituenţilor se reprezintă
Διαβάστε περισσότεραSă se arate că n este număr par. Dan Nedeianu
Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραGeometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραAlgebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
Διαβάστε περισσότεραReflexia şi refracţia luminii.
Reflexia şi refracţia luminii. 1. Cu cat se deplaseaza o raza care cade sub unghiul i =30 pe o placa plan-paralela de grosime e = 8,0 mm si indicele de refractie n = 1,50, pe care o traverseaza? Caz particular
Διαβάστε περισσότεραUnitatea atomică de masă (u.a.m.) = a 12-a parte din masa izotopului de carbon
ursul.3. Mării şi unităţi de ăsură Unitatea atoică de asă (u.a..) = a -a parte din asa izotopului de carbon u. a.., 0 7 kg Masa atoică () = o ărie adiensională (un nuăr) care ne arată de câte ori este
Διαβάστε περισσότεραTranzistoare bipolare şi cu efect de câmp
apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότερα1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR
1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea
Διαβάστε περισσότεραComponente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότεραCum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme
Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.
Διαβάστε περισσότεραΕμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία
- Εισαγωγή Stimate Domnule Preşedinte, Stimate Domnule Preşedinte, Εξαιρετικά επίσημη επιστολή, ο παραλήπτης έχει ένα ειδικό τίτλο ο οποίος πρέπει να χρησιμοποιηθεί αντί του ονόματος του Stimate Domnule,
Διαβάστε περισσότεραProgresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.
Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a
Διαβάστε περισσότεραCUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1
CURS 5 REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE (CONTINUARE) CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)...... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 5.1. Teorema lui Varignon pentru sisteme
Διαβάστε περισσότεραTema 5 (S N -REACŢII) REACŢII DE SUBSTITUŢIE NUCLEOFILĂ. ŞI DE ELIMINARE (E - REACŢII) LA ATOMULDE CARBON HIBRIDIZAT sp 3
Tema 5 REACŢII DE SUBSTITUŢIE NUCLEOFILĂ (S N -REACŢII) ŞI DE ELIMINARE (E - REACŢII) LA ATOMULDE CARBON IBRIDIZAT sp 3 1. Reacții de substituție nucleofilă (SN reacții) Reacţiile de substituţie nucleofilă
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότεραProiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie
FITRE DE MIROUNDE Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie P R Puterea disponibila de la sursa Puterea livrata sarcinii P inc P Γ ( ) Γ I lo P R ( ) ( ) M ( ) ( ) M N P R M N ( ) ( ) Tipuri
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότερα11.3 CIRCUITE PENTRU GENERAREA IMPULSURILOR CIRCUITE BASCULANTE Circuitele basculante sunt circuite electronice prevăzute cu o buclă de reacţie pozitivă, folosite la generarea impulsurilor. Aceste circuite
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραElectronegativitatea = capacitatea unui atom legat de a atrage electronii comuni = concept introdus de Pauling.
Cursul 8 3.5.4. Electronegativitatea Electronegativitatea = capacitatea unui atom legat de a atrage electronii comuni = concept introdus de Pauling. Cantitativ, ea se exprimă prin coeficienţii de electronegativitate
Διαβάστε περισσότεραCapitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25
Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 LAGĂRELE CU ALUNECARE!" 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.!" 25.2.Funcţionarea lagărelor cu alunecare.! 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 14. Asamblari prin pene
Capitolul 14 Asamblari prin pene T.14.1. Momentul de torsiune este transmis de la arbore la butuc prin intermediul unei pene paralele (figura 14.1). De care din cotele indicate depinde tensiunea superficiala
Διαβάστε περισσότερα