הסתברות וסטטיסטיקה יישומית שתי יחידות לימוד

Transcript

1 מדינת ישראל סוג הבחינה: בגרות לבתי ספר על יסודיים משרד החינוך מועד הבחינה: קיץ תשע"ב, 01 סמל השאלון: נספחים: א. לוח התפלגות נורמלית ב. נוסחאון במבוא לסטטיסטיקה הסתברות וסטטיסטיקה יישומית שתי יחידות לימוד הוראות לנבחן א. משך הבחינה: שלוש שעות. ב. מבנה השאלון ומפתח ההערכה: בשאלון זה שני פרקים: פרק ראשון: מבוא לסטטיסטיקה 80 נקודות פרק שני: סטטיסטיקה יישומית 0 נקודות סה"כ 100 נקודות ג. חומר עזר מותר לשימוש: מחשבון שאינו ניתן לתכנות. בשאלון זה 8 עמודים ו 7 עמודי נספחים. ההנחיות בשאלון זה מנוסחות בלשון זכר, אך מכוונות הן לנבחנות והן לנבחנים. בהצלחה!

2 הסתברות וסטטיסטיקה יישומית קיץ תשע"ב, סמל השאלות פרק ראשון: מבוא לסטטיסטיקה )80 נקודות( ענה על ארבע מבין השאלות 1 6 )לכל שאלה 0 נקודות(. שאלה 1 סטטיסטיקה תיאורית מנהלת בית הספר "למד חכם" ערכה בקרב עשרים תלמידי כיתה ד' בבית ספרה סקר על מספר הספרים שהם קוראים במשך שבוע. להלן נתוני הסקר:,3,,3,,4,0,0,0,0,,,,,1,1,1,1,1,1 נתוני הסקר סוכמו בטבלת שכיחויות כמו זו שלהלן. מספר הספרים )x( מספר התלמידים (x) f העתק את טבלת השכיחויות למחברתך, והשלם אותה על פי נתוני הסקר. הסבר א. )5 נק'( מהו סולם המדידה המתאים למשתנה "מספר הספרים". האם המשתנה הוא משתנה בדיד או רציף? נמק את תשובתך. הצג את טבלת השכיחויות על ידי דיאגרמה מתאימה, וחשב את הממוצע, ב. )15 נק'( השכיח והחציון של מספר הספרים שהתלמידים קוראים. שאלה התפלגות נורמלית ברשת הקונדיטוריות "טעם של פעם" אופים עוגיות שמשקלן מתפלג התפלגות נורמלית. המשקל הממוצע של עוגייה הוא 50 גרם, וסטיית התקן היא 5 גרמים. )15 נק'( א. 1. חשב את אחוז העוגיות שמשקלן פחות מ 57 גרם.. חשב את אחוז העוגיות שמשקלן נע בין 50 ל 57 גרם. 3. חשב את אחוז העוגיות שמשקלן למעלה מ 61 גרם. )5 נק'( ב. חשב את ערכו של העשירון העליון של משקל עוגייה ברשת "טעם של פעם". המשך בעמוד 3

3 הסתברות וסטטיסטיקה יישומית קיץ תשע"ב, סמל שאלה 3 התפלגות נורמלית על פי הודעת דובר חברת המוניות "מפה לשם", משך ההמתנה של לקוח למונית מתפלג נורמלית עם ממוצע של 5 דקות וסטיית תקן של דקות. )10 נק'( א. 1. מהי ההסתברות שלקוח ימתין למונית בין 7 ל 9 דקות?. מהי ההסתברות שלקוח ימתין למונית פחות מ דקות? החברה בדקה מדגם אקראי של 40 לקוחות. ב. )10 נק'( מהי ההסתברות שזמן ההמתנה הממוצע ללקוח יהיה מעל 6 דקות? שאלה 4 רגרסיה לינארית במחקר שבדק את הקשר בין מספר שעות הצפייה בטלוויזיה ביום לבין הציון בבחינת הבגרות במתמטיקה של שמונה תלמידי תיכון, התקבלו הנתונים האלה: מספר שעות הצפייה בטלוויזיה ביום הציון בבחינת הבגרות חשב את מקדם המתאם בין מספר שעות הצפייה בטלוויזיה ביום לבין 1. א. )15 נק'( הציון בבחינת הבגרות. הסבר את משמעות התוצאה שקיבלת.. חשב את משוואת הרגרסיה לניבוי הציון בבחינת הבגרות על פי מספר שעות הצפייה בטלוויזיה ביום. הצג את נתוני המחקר על ידי דיאגרמת פיזור. הצע דרך להעלות את ערכו של ב. )5 נק'( מקדם המתאם על פי הדיאגרמה שסרטטת. המשך בעמוד 4

4 הסתברות וסטטיסטיקה יישומית קיץ תשע"ב, סמל שאלה 5 סטטיסטיקה תיאורית משרד התרבות והספורט מעוניין לבדוק את גובה התלמידים בכיתה ט'. לשם כך נבדקו 40 תלמידים. להלן הממצאים שהתקבלו: הגובה )ס"מ( סך הכול מספר התלמידים )1 נק'( א. חשב את הממוצע, החציון וסטיית התקן של גובה התלמידים. לאחר סיום הבדיקה הגיעו ארבעה תלמידים נוספים, ונמצא שגובהם בתחום ב. )8 נק'( כיצד תשפיע תוספת הנתונים הללו על המדדים שחישבת בסעיף א'? נמק את תשובתך ללא חישוב, וציין את כיוון השינוי. המשך בעמוד 5

5 הסתברות וסטטיסטיקה יישומית קיץ תשע"ב, סמל שאלה 6 סטטיסטיקה תיאורית להלן ההיסטוגרם המתאר את משך הזמן שלקח ל 36 תלמידים לבצע משימה בשיעור ביולוגיה: f זמן בדקות איור לשאלה 6 הצג בטבלת שכיחויות את נתוני המדגם, וחשב את הממוצע, החציון והתחום א. )15 נק'( הבין רבעוני של הזמן. )5 נק'( ב. קבע מהי צורת ההתפלגות המתוארת בהיסטוגרם, ונמק את תשובתך. המשך בעמוד 6

6 הסתברות וסטטיסטיקה יישומית קיץ תשע"ב, סמל פרק שני: סטטיסטיקה יישומית )0 נקודות( ענה על שתיים מבין השאלות 7 9 )לכל שאלה 10 נקודות(. שאלה 7 הוחלט לבדוק את משקלן של לחמניות מתוקות המוגשות באולם האירועים "ששון ושמחה". לשם כך נאסף מדגם של לחמניות בכמה אירועים שהתקיימו באולם הזה ונערך ניתוח סטטיסטי, שבו חושבו כמה מדדים בעזרת תוכנת. Excel ערכי המדדים שחושבו מפורטים בטבלה שלפניך )הערכים הם בגרמים(: המדד שחושב Mode Media Stdev Var הערך שהתקבל 00 0? 5 )5 נק'( א. 1. רשום את הערך שהתקבל עבור המדד. Stdev. עבור לחמנייה אחת מתוך המדגם, שמשקלה היה 164 גרם, החזירה הפונקציה Stadardize את הערך 3 )מינוס 3(. על סמך התוצאה הזאת, חשב את ערכו של המדד. Average לאור המדדים שהתקבלו, התעורר ויכוח בין התלמידים בנוגע לערכה של ב. )5 נק'( הפונקציה Skew שבגיליון. הדר טענה שהפונקציה הזו היא חיובית, ואילו אלון טען שהפונקציה הזאת היא שלילית. ציין מי מן השניים צודק, ונמק את תשובתך. המשך בעמוד 7

7 הסתברות וסטטיסטיקה יישומית קיץ תשע"ב, סמל שאלה 8 במחקר שהשווה את צריכת החלב בין תושבי צרפת לבין תושבי איטליה נמצא שצריכת החלב מתפלגת התפלגות נורמלית עם הערכים הבאים )הנתונים בליטרים לשנה(: מדינה צרפת ממוצע שונות 484?? 60 איטליה להלן צריכת החלב השנתית של שני תושבים שנבחרו באקראי: פייר מצרפת 330 ליטרים בשנה, ולנטינו מאיטליה 80 ליטרים בשנה. הפונקציה Stadardize שבגיליון האלקטרוני החזירה את הערך 0.5 עבור פייר א. )5 נק'( מצרפת. מהו ממוצע צריכת החלב בקרב תושבי צרפת לאור הנתון הזה? הפונקציה Normsdist שבגיליון האלקטרוני החזירה את הערך עבור ב. )5 נק'( ולנטינו מאיטליה. מהי השונות של צריכת החלב בקרב תושבי איטליה לאור הנתון הזה? )היעזר בלוח ההתפלגות הנורמלית שבנספח א'(. המשך בעמוד 8

8 הסתברות וסטטיסטיקה יישומית קיץ תשע"ב, סמל שאלה 9 לפניך דיאגרמת פיזור שהתקבלה בגיליון האלקטרוני שבתוכנת : Excel y x איור לשאלה 9 בטבלה שלהלן נתונות ארבע אפשרויות לערכי משוואת הרגרסיה שהתקבלו א. )5 נק'( עבור הנתונים האלה: Itercept Slope אפשרות א ב ג ד ציין מהי האפשרות הנכונה ונמק את תשובתך. בהסתמך על דיאגרמת הפיזור, האם התוצאה של הפונקציה, Correl שתופעל ב. )5 נק'( על הנתונים, תהיה חיובית או שלילית? נמק את תשובתך. בהצלחה! זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל. אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך.

9 תילמרונ תוגלפתה חול :'א חפסנ ב"עשת ץיק,80903 ןולאשל Z z φ (z) z -ל לאמשמש יטרדנטסה ילמרונה םוקעה תחת φ )z( חטשה

10 בגרות לבתי ספר על יסודיים סוג הבחינה: מדינת ישראל קיץ תשע"ב, 01 מועד הבחינה: משרד החינוך נספח לשאלון: אין להעביר את הנוסחאון לנבחן אחר נוסחאון במבוא לסטטיסטיקה P f = = סטטיסטיקה תיאורית א. שכיחות יחסית )%(: שכיחות גודל המדגם f ' = ב. צפיפות: שכיחות רוחב הקבוצה x f X x f x f x f i i = = i = 1 k x f X x f x f x k f i i = k = i = 1 ג. מדדי מרכז: X.I ממוצע: הממוצע X בטבלת השכיחויות: )k = מספר הקבוצות בטבלת השכיחויות( Me = X + 1 Me = X + X + 1 Me.II חציון: חציון למשתנה בדיד: אם אי זוגי אם זוגי המשך בעמוד

11 נוסחאון במבוא לסטטיסטיקה, קיץ תשע"ב נספח לשאלון: Me = L + f F חציון למשתנה רציף: L הגבול התחתון של הקבוצה החציונית l רוחב הקבוצה החציונית f שכיחות הקבוצה החציונית F השכיחות המצטברת עד הקבוצה החציונית )לא כולל אותה( X שכיח I. השכיח למשתנה בדיד הוא הערך בעל השכיחות הגבוהה ביותר. X = L + f ' i f ' i 1 ( f ' i f ' i 1 ) + f ' i f ' i+1 ( ) השכיח למשתנה רציף:.II כאשר: הגבול התחתון של קבוצת השכיח L הרוחב של קבוצת השכיח l הצפיפות בקבוצת השכיח f ' i הצפיפות בקבוצה שלפני השכיח 1 i f ' הצפיפות בקבוצה שאחרי קבוצת השכיח 1+i f ' המשך בעמוד 3

12 נוסחאון במבוא לסטטיסטיקה, קיץ תשע"ב נספח לשאלון: V = )x 1 x( f 1 + )x x( f )x x( f V = i=1 x i fi ( x) = i=1 )x i x( f i ד. מדדי פיזור: V השונות: V = k i=1 )x i x( f i = k i=1 x i fi השונות V בטבלת השכיחויות: x) ( Q 3 Q 1 = L + f 3 4 N F L + f N 4 F התחום הבין רבעוני: ה. צורות התפלגות פעמוניות: התפלגות סימטרית התפלגות א סימטרית ימנית התפלגות א סימטרית שמאלית X > Me > X X < Me < X X = Me = X ממוצע = חציון = שכיח ממוצע < חציון < שכיח ממוצע > חציון > שכיח המשך בעמוד 4

13 נוסחאון במבוא לסטטיסטיקה, קיץ תשע"ב נספח לשאלון: רגרסיה לינארית א. r XY מקדם מתאם )פירסון( בין המשתנים X ו Y Xi Yi S i 1 X X S i 1 = = Y = = Y SXY = cov ( X, Y) = XiYi i= 1 X Y cov ( X, Y) rxy = SX SY 1 rxy 1 ב. קו הרגרסיה של Y על סמך X Yˆ = ay / XX + by / X S ay / X = YX by / X = Y ay / X X SX Xˆ = ax / YY + bx / Y S ax / Y = XY bx / Y = X ax / Y Y SY ג. קו הרגרסיה של X על סמך Y A ההסתברות של מאורע = P (A) = 0 P (A) 1 הסתברות מספר האפשרויות של מאורע A מספר האפשרויות של מרחב המדגם P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) כאשר A ו B הם מאורעות בלתי תלויים (B) P (A B) = P (A) P המשך בעמוד 5

14 נוסחאון במבוא לסטטיסטיקה, קיץ תשע"ב נספח לשאלון: התפלגויות p) X ~ B (, התפלגות בינומית א. E (X) = p תוחלת (1 p) V (X) = pq = p שונות P ניסיונות) הצלחות מ k) P X k k k k! p p k k p k p k ( = ) = ( ) ( 1 ) = ( 1 )!( )! k = 0, 1,,..., 0 p 1 התפלגות נורמלית ב. X ~ N (µ, σ) m ממוצע האוכלוסייה s סטיית התקן של האוכלוסייה )ציון תקן( )0,1( N z = X µ σ התפלגות נורמלית סטנדרטית I. P )X a( = φ a µ σ P )X > a( = 1 φ a µ σ P )a < X < b( = φ b µ σ φ a µ σ φ z ( ) = 1 φ( z).ii משפט הגבול המרכזי יהיו x 1, x,... x משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי התפלגות בעלי תוחלת µ וסטיית תקן, σ המוגדרים על אותו מרחב מדגם. עבור מספיק גדול מתקיים בקירוב: המשך בעמוד 6 X i = S N µ, σ i=1 התפלגות הסכום: ) ( σ X N µ, התפלגות הממוצע:

15 נוסחאון במבוא לסטטיסטיקה, קיץ תשע"ב נספח לשאלון: פונקציות שימושיות באקסל Cout מניית מספר התאים המכילים מספרים Max החזרת הערך הגדול ביותר בקבוצת ערכים Mi החזרת הערך הקטן ביותר בקבוצת ערכים Sum סכום כל המספרים בטווח תאים Average/mea החזרת ממוצע חשבוני של ארגומנטים Mode החזרת הערך השכיח במערך Media החזרת הערך החציוני במערך Stdev סטיית התקן בהתבסס על מדגם Var שונות המדגם Skew החזרת מידת האסימטריה של ההתפלגות Normdist החזרת ההתפלגות המצטברת הנורמלית עבור ממוצע וסטיית תקן Normsdist החזרת ההתפלגות המצטברת הנורמלית הסטנדרטית Stadardize החזרת ערך מנורמל מתוך התפלגות המאופיינת על ידי ממוצע וסטיית תקן Correl החזרת מקדם המתאם בין שתי קבוצות נתונים Slope החזרת השיפוע של קו הרגרסיה הלינארית Itercept החזרת הקבוע של קו הרגרסיה הלינארית Forcast ניכוי ערך עתידי לאורך מגמה לינארית Liest החזרת המגמה הלינארית המתאימה לנתונים if החזרת ערך לוגי המבוסס על בחינת ערך תא בהצלחה!