Transcendentne funkcije.
|
|
|
- Ἱερεμίας Κορωναίος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Transcendentne funkcije. Franka Miriam Brückler
2 Algebarske funkcije su funkcije čije se pravilo može iskazati s konačno mnogo primjena četiri osnovne računske operacije, potenciranja, korjenovanja i kompozicija takvih operacija na nezavisnu varijablu. Popularnije, to su one u koje znaju baratati s fizikalnim jedinicama. Kompozicija?!
3 Primjer Otopina ima poznatu koncentraciju c i volumen V. Kako odrediti masu otopljene tvari poznatog sastava (poznate molarne mase M)? (1) c, V n = cv m = nm (2) c, V m = cmv
4 Primjer Otopina ima poznatu koncentraciju c i volumen V. Kako odrediti masu otopljene tvari poznatog sastava (poznate molarne mase M)? (1) c, V n = cv m = nm (2) c, V m = cmv Primjer x x 2 x 2 2
5 Primjer Otopina ima poznatu koncentraciju c i volumen V. Kako odrediti masu otopljene tvari poznatog sastava (poznate molarne mase M)? (1) c, V n = cv m = nm (2) c, V m = cmv Primjer x x 2 x 2 2 Definicija (Kompozicija funkcija) Kompozicija funkcija f : A B i g : C D je funkcija f g čije pravilo je dano s f g(x) = f (g(x)). Uz koje uvjete na A, B, C, D definicija ima smisla?
6 Nadite primjere! f g g f
7 Nadite primjere! f g g f Zadatak Nadite primjer funkcije koja se komponirana sa samom sobom ne mijenja (f f = f )!
8 Nadite primjere! f g g f Zadatak Nadite primjer funkcije koja se komponirana sa samom sobom ne mijenja (f f = f )! Zadatak Što je kompozicija kubiranja i trećeg korijena?
9 Identiteta je funkcija koja ne radi nita (id : D D, id(x) = x). Definicija (Inverzna funkcija) Za funkciju f : A B njena inverzna funkcija je, ako postoji, funkcija g : B A sa svojstvom f g = g f = id.
10 Identiteta je funkcija koja ne radi nita (id : D D, id(x) = x). Definicija (Inverzna funkcija) Za funkciju f : A B njena inverzna funkcija je, ako postoji, funkcija g : B A sa svojstvom f g = g f = id. Ima li kvadriranje inverznu funkciju?
11 Identiteta je funkcija koja ne radi nita (id : D D, id(x) = x). Definicija (Inverzna funkcija) Za funkciju f : A B njena inverzna funkcija je, ako postoji, funkcija g : B A sa svojstvom f g = g f = id. Ima li kvadriranje inverznu funkciju? Koja je inverzna funkcija identitete?
12 Identiteta je funkcija koja ne radi nita (id : D D, id(x) = x). Definicija (Inverzna funkcija) Za funkciju f : A B njena inverzna funkcija je, ako postoji, funkcija g : B A sa svojstvom f g = g f = id. Ima li kvadriranje inverznu funkciju? Koja je inverzna funkcija identitete? Možete li osim identitete naći primjer funkcije koja je sama sebi inverzna?
13 Identiteta je funkcija koja ne radi nita (id : D D, id(x) = x). Definicija (Inverzna funkcija) Za funkciju f : A B njena inverzna funkcija je, ako postoji, funkcija g : B A sa svojstvom f g = g f = id. Ima li kvadriranje inverznu funkciju? Koja je inverzna funkcija identitete? Možete li osim identitete naći primjer funkcije koja je sama sebi inverzna? Uz koje uvjete funkcija f ima inverz?
14 Identiteta je funkcija koja ne radi nita (id : D D, id(x) = x). Definicija (Inverzna funkcija) Za funkciju f : A B njena inverzna funkcija je, ako postoji, funkcija g : B A sa svojstvom f g = g f = id. Ima li kvadriranje inverznu funkciju? Koja je inverzna funkcija identitete? Možete li osim identitete naći primjer funkcije koja je sama sebi inverzna? Uz koje uvjete funkcija f ima inverz? Definicija (Bijekcija) Funkcija je bijekcija ako je injekcija i surjekcija. Funkcija je injekcija ako različitim elementima domene pridružuje različite elemente kodomene, a surjekcija ako svaki element kodomene ima original u domeni.
15 Identiteta je funkcija koja ne radi nita (id : D D, id(x) = x). Definicija (Inverzna funkcija) Za funkciju f : A B njena inverzna funkcija je, ako postoji, funkcija g : B A sa svojstvom f g = g f = id. Ima li kvadriranje inverznu funkciju? Koja je inverzna funkcija identitete? Možete li osim identitete naći primjer funkcije koja je sama sebi inverzna? Uz koje uvjete funkcija f ima inverz? Definicija (Bijekcija) Funkcija je bijekcija ako je injekcija i surjekcija. Funkcija je injekcija ako različitim elementima domene pridružuje različite elemente kodomene, a surjekcija ako svaki element kodomene ima original u domeni. Kako iz grafa prepoznajemo injektivnost?
16 Identiteta je funkcija koja ne radi nita (id : D D, id(x) = x). Definicija (Inverzna funkcija) Za funkciju f : A B njena inverzna funkcija je, ako postoji, funkcija g : B A sa svojstvom f g = g f = id. Ima li kvadriranje inverznu funkciju? Koja je inverzna funkcija identitete? Možete li osim identitete naći primjer funkcije koja je sama sebi inverzna? Uz koje uvjete funkcija f ima inverz? Definicija (Bijekcija) Funkcija je bijekcija ako je injekcija i surjekcija. Funkcija je injekcija ako različitim elementima domene pridružuje različite elemente kodomene, a surjekcija ako svaki element kodomene ima original u domeni. Kako iz grafa prepoznajemo injektivnost? Surjektivnost?
17 Identiteta je funkcija koja ne radi nita (id : D D, id(x) = x). Definicija (Inverzna funkcija) Za funkciju f : A B njena inverzna funkcija je, ako postoji, funkcija g : B A sa svojstvom f g = g f = id. Ima li kvadriranje inverznu funkciju? Koja je inverzna funkcija identitete? Možete li osim identitete naći primjer funkcije koja je sama sebi inverzna? Uz koje uvjete funkcija f ima inverz? Definicija (Bijekcija) Funkcija je bijekcija ako je injekcija i surjekcija. Funkcija je injekcija ako različitim elementima domene pridružuje različite elemente kodomene, a surjekcija ako svaki element kodomene ima original u domeni. Kako iz grafa prepoznajemo injektivnost? Surjektivnost? Kakva je veza grafova bijekcije i njoj inverzne funkcije?
18 Identiteta je funkcija koja ne radi nita (id : D D, id(x) = x). Definicija (Inverzna funkcija) Za funkciju f : A B njena inverzna funkcija je, ako postoji, funkcija g : B A sa svojstvom f g = g f = id. Ima li kvadriranje inverznu funkciju? Koja je inverzna funkcija identitete? Možete li osim identitete naći primjer funkcije koja je sama sebi inverzna? Uz koje uvjete funkcija f ima inverz? Definicija (Bijekcija) Funkcija je bijekcija ako je injekcija i surjekcija. Funkcija je injekcija ako različitim elementima domene pridružuje različite elemente kodomene, a surjekcija ako svaki element kodomene ima original u domeni. Kako iz grafa prepoznajemo injektivnost? Surjektivnost? Kakva je veza grafova bijekcije i njoj inverzne funkcije? Može li inverz rastuće funkcije biti padajuća funkcija?
19 Zadatak Populacija neke životinjske vrte u odredenom nacionalnom parku prije 5 godina bila je 325 jedinki, a danas je 450. Ako se zna da se ta vrsta razmnožava jednom godišnje, kolika je godišnja stopa rasta te vrste?
20 Zadatak Populacija neke životinjske vrte u odredenom nacionalnom parku prije 5 godina bila je 325 jedinki, a danas je 450. Ako se zna da se ta vrsta razmnožava jednom godišnje, kolika je godišnja stopa rasta te vrste? Prema istraživanjima park ima dovoljno resursa za 750 jedinki. Za koliko godina će ih biti toliko ako nastave s istom stopom rasta?
21 Zadatak Populacija neke životinjske vrte u odredenom nacionalnom parku prije 5 godina bila je 325 jedinki, a danas je 450. Ako se zna da se ta vrsta razmnožava jednom godišnje, kolika je godišnja stopa rasta te vrste? Prema istraživanjima park ima dovoljno resursa za 750 jedinki. Za koliko godina će ih biti toliko ako nastave s istom stopom rasta? Zadatak Otopina početne množinske koncentracije c 0 uzastopno se deseterostruko razrjeduje vodom. Kolika je koncentracija nakon k razrjedenja? Kad će koncentracija pasti na manje od 10 6 mol/l?
22 U prethodna dva zadatka imali smo pravila tipa x a x, pri čemu je x bio isključivo prirodan, eventualno pozitivan racionalan broj. Ako bismo takvo pravilo proširili na sve x Q (kako?),
23 U prethodna dva zadatka imali smo pravila tipa x a x, pri čemu je x bio isključivo prirodan, eventualno pozitivan racionalan broj. Ako bismo takvo pravilo proširili na sve x Q (kako?), i zatim povezali točke grafa u jednu krivulju, dobili bismo graf funkcije s prirodnom domenom R. Za kakve baze a je takvo proširenje smisleno?
24 U prethodna dva zadatka imali smo pravila tipa x a x, pri čemu je x bio isključivo prirodan, eventualno pozitivan racionalan broj. Ako bismo takvo pravilo proširili na sve x Q (kako?), i zatim povezali točke grafa u jednu krivulju, dobili bismo graf funkcije s prirodnom domenom R. Za kakve baze a je takvo proširenje smisleno? Definicija (Eksponencijalne funkcije) Za konstantnu bazu a > 0, a 1 funkcija definirana pravilom f (x) = a x, x R naziva se eksponencijalnom funkcijom s bazom a. Što možemo reći o svojstvima eksponencijalnih funkcija i njihovih grafova?
25 Zadatak Skicirajte grafove funkcija zadanih pravilima f (x) = 0,21 3 2x i g(x) = x 5.
26 Zadatak Skicirajte grafove funkcija zadanih pravilima f (x) = 0,21 3 2x i g(x) = x 5. Zadatak Atomska 1s-orbitala je funkcija koja točki prostora (poziciji elektrona) pridružuje iznos Z 3 ( a0 3π exp Zr ), a 0 gdje je r udaljenost elektrona do jezgre. Skicirajte ovisnost 1s-orbitale o r.
27 Kemijski uvod u logaritme Vratimo se na problem deseterostrukog razrjedivanja. Grafički prikaz bio bi lakši ako bi razmaci medu koncentracijama pri uzastopnom razrjedivanju bili jednaki, zar ne?
28 Kemijski uvod u logaritme Vratimo se na problem deseterostrukog razrjedivanja. Grafički prikaz bio bi lakši ako bi razmaci medu koncentracijama pri uzastopnom razrjedivanju bili jednaki, zar ne? Dodatno, obrnut ćemo redoslijed navoenja ordinata jer svi više volimo rast od pada.
29 Kemijski uvod u logaritme Vratimo se na problem deseterostrukog razrjedivanja. Grafički prikaz bio bi lakši ako bi razmaci medu koncentracijama pri uzastopnom razrjedivanju bili jednaki, zar ne? Dodatno, obrnut ćemo redoslijed navoenja ordinata jer svi više volimo rast od pada. Na kraju, uzmimo da je sjecište koordinatnih osi u (0, 1), tj. da ono predstavlja početnu situaciju ako je polazna koncentracija 1 mol/l.
30 Kemijski uvod u logaritme Vratimo se na problem deseterostrukog razrjedivanja. Grafički prikaz bio bi lakši ako bi razmaci medu koncentracijama pri uzastopnom razrjedivanju bili jednaki, zar ne? Dodatno, obrnut ćemo redoslijed navoenja ordinata jer svi više volimo rast od pada. Na kraju, uzmimo da je sjecište koordinatnih osi u (0, 1), tj. da ono predstavlja početnu situaciju ako je polazna koncentracija 1 mol/l. Dakle, ordinata koja odgovara koncentraciji 1 mol/l iznosi 0: f (1) = 0
31 Kemijski uvod u logaritme Vratimo se na problem deseterostrukog razrjedivanja. Grafički prikaz bio bi lakši ako bi razmaci medu koncentracijama pri uzastopnom razrjedivanju bili jednaki, zar ne? Dodatno, obrnut ćemo redoslijed navoenja ordinata jer svi više volimo rast od pada. Na kraju, uzmimo da je sjecište koordinatnih osi u (0, 1), tj. da ono predstavlja početnu situaciju ako je polazna koncentracija 1 mol/l. Dakle, ordinata koja odgovara koncentraciji 1 mol/l iznosi 0: f (1) = 0Ako je 1 oznaka za stvarnu visinu ordinate koja odgovara koncentraciji od 0,1 mol/l, onda svako 10-erostruko razrjedivanje povećava visinu ordinate za 1: f (x/10) = f (x) + 1
32 Kemijski uvod u logaritme Vratimo se na problem deseterostrukog razrjedivanja. Grafički prikaz bio bi lakši ako bi razmaci medu koncentracijama pri uzastopnom razrjedivanju bili jednaki, zar ne? Dodatno, obrnut ćemo redoslijed navoenja ordinata jer svi više volimo rast od pada. Na kraju, uzmimo da je sjecište koordinatnih osi u (0, 1), tj. da ono predstavlja početnu situaciju ako je polazna koncentracija 1 mol/l. Dakle, ordinata koja odgovara koncentraciji 1 mol/l iznosi 0: f (1) = 0Ako je 1 oznaka za stvarnu visinu ordinate koja odgovara koncentraciji od 0,1 mol/l, onda svako 10-erostruko razrjedivanje povećava visinu ordinate za 1: f (x/10) = f (x) + 1To naravno znači i da je f (10x) = f (x) 1.
33 Kemijski uvod u logaritme Vratimo se na problem deseterostrukog razrjedivanja. Grafički prikaz bio bi lakši ako bi razmaci medu koncentracijama pri uzastopnom razrjedivanju bili jednaki, zar ne? Dodatno, obrnut ćemo redoslijed navoenja ordinata jer svi više volimo rast od pada. Na kraju, uzmimo da je sjecište koordinatnih osi u (0, 1), tj. da ono predstavlja početnu situaciju ako je polazna koncentracija 1 mol/l. Dakle, ordinata koja odgovara koncentraciji 1 mol/l iznosi 0: f (1) = 0Ako je 1 oznaka za stvarnu visinu ordinate koja odgovara koncentraciji od 0,1 mol/l, onda svako 10-erostruko razrjedivanje povećava visinu ordinate za 1: f (x/10) = f (x) + 1To naravno znači i da je f (10x) = f (x) 1.Kad zbrojimo udaljenosti dviju ordinata do sjecišta osi dobijemo udaljenost koja odgovara produktu tih ordinata, a kad ih duzmemo dobijemo poziciju kvocijenta tih ordinata: f (xy) = F (x) + f (y), f (x/y) = f (x) f (y)
34 Kemijski uvod u logaritme Vratimo se na problem deseterostrukog razrjedivanja. Grafički prikaz bio bi lakši ako bi razmaci medu koncentracijama pri uzastopnom razrjedivanju bili jednaki, zar ne? Dodatno, obrnut ćemo redoslijed navoenja ordinata jer svi više volimo rast od pada. Na kraju, uzmimo da je sjecište koordinatnih osi u (0, 1), tj. da ono predstavlja početnu situaciju ako je polazna koncentracija 1 mol/l. Dakle, ordinata koja odgovara koncentraciji 1 mol/l iznosi 0: f (1) = 0Ako je 1 oznaka za stvarnu visinu ordinate koja odgovara koncentraciji od 0,1 mol/l, onda svako 10-erostruko razrjedivanje povećava visinu ordinate za 1: f (x/10) = f (x) + 1To naravno znači i da je f (10x) = f (x) 1.Kad zbrojimo udaljenosti dviju ordinata do sjecišta osi dobijemo udaljenost koja odgovara produktu tih ordinata, a kad ih duzmemo dobijemo poziciju kvocijenta tih ordinata: f (xy) = F (x) + f (y), f (x/y) = f (x) f (y)ima li smisla gledati negativne apscise?
35 p[h] i log Funkciju f u kemiji označavamo s p[h] (a njenu nezavisnu varijablu x s c/(mol/l). 1 U matematici je nezavisna varijabla x jednostavno pozitivan realan broj, a funkcija s gornjim svojstvima označava se s log. Možemo dakle reći: Dekadski logaritam pozitivnog broja x je suprotna vrijednost p[h] otopine kojoj je koncentracija x mol/l.
36 p[h] i log Funkciju f u kemiji označavamo s p[h] (a njenu nezavisnu varijablu x s c/(mol/l). 1 U matematici je nezavisna varijabla x jednostavno pozitivan realan broj, a funkcija s gornjim svojstvima označava se s log. Možemo dakle reći: Dekadski logaritam pozitivnog broja x je suprotna vrijednost p[h] otopine kojoj je koncentracija x mol/l.da smo isto ponovili primjerice s dvostrukim razrjedivanjem, dobili bismo log 2.
37 p[h] i log Funkciju f u kemiji označavamo s p[h] (a njenu nezavisnu varijablu x s c/(mol/l). 1 U matematici je nezavisna varijabla x jednostavno pozitivan realan broj, a funkcija s gornjim svojstvima označava se s log. Možemo dakle reći: Dekadski logaritam pozitivnog broja x je suprotna vrijednost p[h] otopine kojoj je koncentracija x mol/l.da smo isto ponovili primjerice s dvostrukim razrjedivanjem, dobili bismo log 2. Zbrajanje u aritmetičkom nizu odgovara množenju u geometrijskom nizu, a isto tako oduzimanje u prvom odgovara dijeljenju u potonjem (Michael Stifel, Arithmetica integra, 1544.)
38 p[h] i log Funkciju f u kemiji označavamo s p[h] (a njenu nezavisnu varijablu x s c/(mol/l). 1 U matematici je nezavisna varijabla x jednostavno pozitivan realan broj, a funkcija s gornjim svojstvima označava se s log. Možemo dakle reći: Dekadski logaritam pozitivnog broja x je suprotna vrijednost p[h] otopine kojoj je koncentracija x mol/l.da smo isto ponovili primjerice s dvostrukim razrjedivanjem, dobili bismo log 2. Zbrajanje u aritmetičkom nizu odgovara množenju u geometrijskom nizu, a isto tako oduzimanje u prvom odgovara dijeljenju u potonjem (Michael Stifel, Arithmetica integra, 1544.) Primjer Za x = 5, i y = 1, izračunajte x y!
39 p[h] i log Funkciju f u kemiji označavamo s p[h] (a njenu nezavisnu varijablu x s c/(mol/l). 1 U matematici je nezavisna varijabla x jednostavno pozitivan realan broj, a funkcija s gornjim svojstvima označava se s log. Možemo dakle reći: Dekadski logaritam pozitivnog broja x je suprotna vrijednost p[h] otopine kojoj je koncentracija x mol/l.da smo isto ponovili primjerice s dvostrukim razrjedivanjem, dobili bismo log 2. Zbrajanje u aritmetičkom nizu odgovara množenju u geometrijskom nizu, a isto tako oduzimanje u prvom odgovara dijeljenju u potonjem (Michael Stifel, Arithmetica integra, 1544.) Primjer Za x = 5, i y = 1, izračunajte x y! log x = 0,762771, log y = 0,091464;
40 p[h] i log Funkciju f u kemiji označavamo s p[h] (a njenu nezavisnu varijablu x s c/(mol/l). 1 U matematici je nezavisna varijabla x jednostavno pozitivan realan broj, a funkcija s gornjim svojstvima označava se s log. Možemo dakle reći: Dekadski logaritam pozitivnog broja x je suprotna vrijednost p[h] otopine kojoj je koncentracija x mol/l.da smo isto ponovili primjerice s dvostrukim razrjedivanjem, dobili bismo log 2. Zbrajanje u aritmetičkom nizu odgovara množenju u geometrijskom nizu, a isto tako oduzimanje u prvom odgovara dijeljenju u potonjem (Michael Stifel, Arithmetica integra, 1544.) Primjer Za x = 5, i y = 1, izračunajte x y! log x = 0,762771, log y = 0,091464; 0, , = 0,854235;
41 p[h] i log Funkciju f u kemiji označavamo s p[h] (a njenu nezavisnu varijablu x s c/(mol/l). 1 U matematici je nezavisna varijabla x jednostavno pozitivan realan broj, a funkcija s gornjim svojstvima označava se s log. Možemo dakle reći: Dekadski logaritam pozitivnog broja x je suprotna vrijednost p[h] otopine kojoj je koncentracija x mol/l.da smo isto ponovili primjerice s dvostrukim razrjedivanjem, dobili bismo log 2. Zbrajanje u aritmetičkom nizu odgovara množenju u geometrijskom nizu, a isto tako oduzimanje u prvom odgovara dijeljenju u potonjem (Michael Stifel, Arithmetica integra, 1544.) Primjer Za x = 5, i y = 1, izračunajte x y! log x = 0,762771, log y = 0,091464; 0, , = 0,854235;log(xy) = 0,854235;
42 p[h] i log Funkciju f u kemiji označavamo s p[h] (a njenu nezavisnu varijablu x s c/(mol/l). 1 U matematici je nezavisna varijabla x jednostavno pozitivan realan broj, a funkcija s gornjim svojstvima označava se s log. Možemo dakle reći: Dekadski logaritam pozitivnog broja x je suprotna vrijednost p[h] otopine kojoj je koncentracija x mol/l.da smo isto ponovili primjerice s dvostrukim razrjedivanjem, dobili bismo log 2. Zbrajanje u aritmetičkom nizu odgovara množenju u geometrijskom nizu, a isto tako oduzimanje u prvom odgovara dijeljenju u potonjem (Michael Stifel, Arithmetica integra, 1544.) Primjer Za x = 5, i y = 1, izračunajte x y! log x = 0,762771, log y = 0,091464; 0, , = 0,854235;log(xy) = 0,854235; xy = 7,14883
43 Potenciranje, korjenovanje i logaritmiranje Svaki račun s potencijama uključuje tri, ne nužno različita, broja: a b = c. Broj c je iznos potencije, broj a je b-ti korijen te potencije, a broj b je logaritam (po bazi a) te potencije. c 1, 1 0 = = = 81 b log 1,1 1 = 0 log 3 81 = 4 a 5 0 = = 3 c 10 4 = = 128 0,2 11 = 2, b a
44 Potenciranje, korjenovanje i logaritmiranje Svaki račun s potencijama uključuje tri, ne nužno različita, broja: a b = c. Broj c je iznos potencije, broj a je b-ti korijen te potencije, a broj b je logaritam (po bazi a) te potencije. c 1, 1 0 = = = 81 b log 1,1 1 = 0 log 3 81 = 4 a 5 0 = = 3 c 10 4 = = 128 0,2 11 = 2, b a = 10
45 Potenciranje, korjenovanje i logaritmiranje Svaki račun s potencijama uključuje tri, ne nužno različita, broja: a b = c. Broj c je iznos potencije, broj a je b-ti korijen te potencije, a broj b je logaritam (po bazi a) te potencije. c 1, 1 0 = = = 81 b log 1,1 1 = 0 log 3 81 = 4 a 5 0 = = 3 c 10 4 = = 128 0,2 11 = 2, b log = 4 a = 10
46 Potenciranje, korjenovanje i logaritmiranje Svaki račun s potencijama uključuje tri, ne nužno različita, broja: a b = c. Broj c je iznos potencije, broj a je b-ti korijen te potencije, a broj b je logaritam (po bazi a) te potencije. c 1, 1 0 = = = 81 b log 1,1 1 = 0 log 3 81 = 4 a 5 0 = = 3 c 10 4 = = 128 0,2 11 = 2, b log = 4 a = = 2
47 Potenciranje, korjenovanje i logaritmiranje Svaki račun s potencijama uključuje tri, ne nužno različita, broja: a b = c. Broj c je iznos potencije, broj a je b-ti korijen te potencije, a broj b je logaritam (po bazi a) te potencije. c 1, 1 0 = = = 81 b log 1,1 1 = 0 log 3 81 = 4 a 5 0 = = 3 c 10 4 = = 128 0,2 11 = 2, b log = 4 log = 7 a = = 2
48 Potenciranje, korjenovanje i logaritmiranje Svaki račun s potencijama uključuje tri, ne nužno različita, broja: a b = c. Broj c je iznos potencije, broj a je b-ti korijen te potencije, a broj b je logaritam (po bazi a) te potencije. c 1, 1 0 = = = 81 b log 1,1 1 = 0 log 3 81 = 4 a 5 0 = = 3 c 10 4 = = 128 0,2 11 = 2, b log = 4 log = 7 a = = 2 2, = 0,2
49 Potenciranje, korjenovanje i logaritmiranje Svaki račun s potencijama uključuje tri, ne nužno različita, broja: a b = c. Broj c je iznos potencije, broj a je b-ti korijen te potencije, a broj b je logaritam (po bazi a) te potencije. c 1, 1 0 = = = 81 b log 1,1 1 = 0 log 3 81 = 4 a 5 0 = = 3 c 10 4 = = 128 0,2 11 = 2, b log = 4 log = 7 log 0,2 2, = 11 a = = 2 2, = 0,2
50 Logaritamska funkcija s bazom a definira se kao inverzna funkcija eksponencijalne funkcije s istom bazom i označava se s log a : 0, + R. Koja svojstva ona ima?
51 Logaritamska funkcija s bazom a definira se kao inverzna funkcija eksponencijalne funkcije s istom bazom i označava se s log a : 0, + R. Koja svojstva ona ima? Bez kalkulatora što točnije odredite: log(1/ 1000),
52 Logaritamska funkcija s bazom a definira se kao inverzna funkcija eksponencijalne funkcije s istom bazom i označava se s log a : 0, + R. Koja svojstva ona ima? Bez kalkulatora što točnije odredite: log(1/ 1000),log 0,1,
53 Logaritamska funkcija s bazom a definira se kao inverzna funkcija eksponencijalne funkcije s istom bazom i označava se s log a : 0, + R. Koja svojstva ona ima? Bez kalkulatora što točnije odredite: log(1/ 1000),log 0,1,log 2,5,
54 Logaritamska funkcija s bazom a definira se kao inverzna funkcija eksponencijalne funkcije s istom bazom i označava se s log a : 0, + R. Koja svojstva ona ima? Bez kalkulatora što točnije odredite: log(1/ 1000),log 0,1,log 2,5,log 324,
55 Logaritamska funkcija s bazom a definira se kao inverzna funkcija eksponencijalne funkcije s istom bazom i označava se s log a : 0, + R. Koja svojstva ona ima? Bez kalkulatora što točnije odredite: log(1/ 1000),log 0,1,log 2,5,log 324,log
56 Logaritamska funkcija s bazom a definira se kao inverzna funkcija eksponencijalne funkcije s istom bazom i označava se s log a : 0, + R. Koja svojstva ona ima? Bez kalkulatora što točnije odredite: log(1/ 1000),log 0,1,log 2,5,log 324,log Koliki je x ako je log x jednak 0,5?
57 Logaritamska funkcija s bazom a definira se kao inverzna funkcija eksponencijalne funkcije s istom bazom i označava se s log a : 0, + R. Koja svojstva ona ima? Bez kalkulatora što točnije odredite: log(1/ 1000),log 0,1,log 2,5,log 324,log Koliki je x ako je log x jednak 0,5? Izmedu 3 i 4?
58 Logaritamska funkcija s bazom a definira se kao inverzna funkcija eksponencijalne funkcije s istom bazom i označava se s log a : 0, + R. Koja svojstva ona ima? Bez kalkulatora što točnije odredite: log(1/ 1000),log 0,1,log 2,5,log 324,log Koliki je x ako je log x jednak 0,5? Izmedu 3 i 4?Izmedu koja dva cijela broja je ln 25?
59 Logaritamska funkcija s bazom a definira se kao inverzna funkcija eksponencijalne funkcije s istom bazom i označava se s log a : 0, + R. Koja svojstva ona ima? Bez kalkulatora što točnije odredite: log(1/ 1000),log 0,1,log 2,5,log 324,log Koliki je x ako je log x jednak 0,5? Izmedu 3 i 4?Izmedu koja dva cijela broja je ln 25? Ako znate da je ln 2 0,7, koliko je ln 8?
60 Logaritamska funkcija s bazom a definira se kao inverzna funkcija eksponencijalne funkcije s istom bazom i označava se s log a : 0, + R. Koja svojstva ona ima? Bez kalkulatora što točnije odredite: log(1/ 1000),log 0,1,log 2,5,log 324,log Koliki je x ako je log x jednak 0,5? Izmedu 3 i 4?Izmedu koja dva cijela broja je ln 25? Ako znate da je ln 2 0,7, koliko je ln 8? Ako se [H + ] smanji 100 puta, kako e se promijeniti p[h]?
61 Logaritamska funkcija s bazom a definira se kao inverzna funkcija eksponencijalne funkcije s istom bazom i označava se s log a : 0, + R. Koja svojstva ona ima? Bez kalkulatora što točnije odredite: log(1/ 1000),log 0,1,log 2,5,log 324,log Koliki je x ako je log x jednak 0,5? Izmedu 3 i 4?Izmedu koja dva cijela broja je ln 25? Ako znate da je ln 2 0,7, koliko je ln 8? Ako se [H + ] smanji 100 puta, kako e se promijeniti p[h]? Ako se [H + ] prepolovi?
62 Logaritamska funkcija s bazom a definira se kao inverzna funkcija eksponencijalne funkcije s istom bazom i označava se s log a : 0, + R. Koja svojstva ona ima? Bez kalkulatora što točnije odredite: log(1/ 1000),log 0,1,log 2,5,log 324,log Koliki je x ako je log x jednak 0,5? Izmedu 3 i 4?Izmedu koja dva cijela broja je ln 25? Ako znate da je ln 2 0,7, koliko je ln 8? Ako se [H + ] smanji 100 puta, kako e se promijeniti p[h]? Ako se [H + ] prepolovi? Kakav je odnos [H + ] u dvije otopine s p[h] 2,5 odnosno 3?
63 Jedan ozbiljniji kemijsko-matematički zadatak HCl (aq) c = c(hcl) = c(cl ) Dva uvjeta: električka neutralnost: c(h + ) = c(cl ) + c(oh ) pri konstantnoj temperaturi ionski produkt vode je konstantan; npr. pri sobnoj temperaturi je c(h + )c(oh ) = K w mol 2 L 2
64 Jedan ozbiljniji kemijsko-matematički zadatak HCl (aq) c = c(hcl) = c(cl ) Dva uvjeta: električka neutralnost: c(h + ) = c(cl ) + c(oh ) pri konstantnoj temperaturi ionski produkt vode je konstantan; npr. pri sobnoj temperaturi je c(h + )c(oh ) = K w mol 2 L 2 Uz x = c(h + ) dobivamo x = K w x c, što je kvadratna jednadžba za x. Dobijemo
65 Jedan ozbiljniji kemijsko-matematički zadatak HCl (aq) c = c(hcl) = c(cl ) Dva uvjeta: električka neutralnost: c(h + ) = c(cl ) + c(oh ) pri konstantnoj temperaturi ionski produkt vode je konstantan; npr. pri sobnoj temperaturi je c(h + )c(oh ) = K w mol 2 L 2 Uz x = c(h + ) dobivamo x = K w x c, što je kvadratna jednadžba za x. Dobijemo x 1,2 = c ± c 2 + 4K w. 2 Zašto otpada rješenje s minusom?
66 Jedan ozbiljniji kemijsko-matematički zadatak HCl (aq) c = c(hcl) = c(cl ) Dva uvjeta: električka neutralnost: c(h + ) = c(cl ) + c(oh ) pri konstantnoj temperaturi ionski produkt vode je konstantan; npr. pri sobnoj temperaturi je c(h + )c(oh ) = K w mol 2 L 2 Uz x = c(h + ) dobivamo x = K w x c, što je kvadratna jednadžba za x. Dobijemo x 1,2 = c ± c 2 + 4K w. 2 Zašto otpada rješenje s minusom? Dakle, pravilna formula za p[h] vodene otopine klorovodične kiseline u ovisnosti o njezinoj
67 p[h] = log 2 log c + c 2 + 4K w. mol/l Ako je početna koncentracija c 0 i početni volumen V 0, a dodamo volumen V vode, slijedi da pri razrjedivanju ovisnost p[h] o dodanom volumenu V ima formulu ( ) 2 p[h] = log 2 log c 0 V 0 (V 0 + V )mol/l + c 0 V 0 + 4K w (V 0 + V )mol/l (mol/l) 2.
68 Opća potencija Eksponencijalne se funkcije često svode na bazu e: a x = e ln ax = e x ln a.
69 Opća potencija Eksponencijalne se funkcije često svode na bazu e: a x = e ln ax = e x ln a. Što je x x kao funkcija?
70 Opća potencija Eksponencijalne se funkcije često svode na bazu e: a x = e ln ax = e x ln a. Što je x x kao funkcija?
71 Opća potencija Eksponencijalne se funkcije često svode na bazu e: a x = e ln ax = e x ln a. Što je x x kao funkcija? u(x) v(x) = exp (v(x) ln u(x)).
72 Hiperbolične funkcije
73 Periodičnost Možete li navesti neke periodiče pojave u svakodnevnom životu? U znanosti?
74 Periodičnost Možete li navesti neke periodiče pojave u svakodnevnom životu? U znanosti? U čemu se sastoji njihova periodičnost?
75 Periodičnost Možete li navesti neke periodiče pojave u svakodnevnom životu? U znanosti? U čemu se sastoji njihova periodičnost? Kako bi izgledao graf funkcije koja opisuje monotoni zvuk koji traje po 5 s i ponavlja se u razmacima od 10 s?
76 Periodičnost Možete li navesti neke periodiče pojave u svakodnevnom životu? U znanosti? U čemu se sastoji njihova periodičnost? Kako bi izgledao graf funkcije koja opisuje monotoni zvuk koji traje po 5 s i ponavlja se u razmacima od 10 s? A zvučni signal koji svakih 10 s počinje od nul-intenziteta i jednoliko se pojačva tokom tih 10 sekundi?
77 Periodičnost Možete li navesti neke periodiče pojave u svakodnevnom životu? U znanosti? U čemu se sastoji njihova periodičnost? Kako bi izgledao graf funkcije koja opisuje monotoni zvuk koji traje po 5 s i ponavlja se u razmacima od 10 s? A zvučni signal koji svakih 10 s počinje od nul-intenziteta i jednoliko se pojačva tokom tih 10 sekundi? Skicirajte primjer grafa periodične funkcije kojoj je period 2.
78 Periodičnost Možete li navesti neke periodiče pojave u svakodnevnom životu? U znanosti? U čemu se sastoji njihova periodičnost? Kako bi izgledao graf funkcije koja opisuje monotoni zvuk koji traje po 5 s i ponavlja se u razmacima od 10 s? A zvučni signal koji svakih 10 s počinje od nul-intenziteta i jednoliko se pojačva tokom tih 10 sekundi? Skicirajte primjer grafa periodične funkcije kojoj je period 2.
79 Mora li prirodna domena periodične funkcije biti cijeli skup realnih brojeva?
80 Mora li prirodna domena periodične funkcije biti cijeli skup realnih brojeva? Može li periodična funkcija imati horizontalnu asimptotu?
81 Mora li prirodna domena periodične funkcije biti cijeli skup realnih brojeva? Može li periodična funkcija imati horizontalnu asimptotu? A vertikalnu?
82 Mora li prirodna domena periodične funkcije biti cijeli skup realnih brojeva? Može li periodična funkcija imati horizontalnu asimptotu? A vertikalnu? Ako periodična funkcija ima vertikalnu asimptotu, koliko ih je?
83 Mora li prirodna domena periodične funkcije biti cijeli skup realnih brojeva? Može li periodična funkcija imati horizontalnu asimptotu? A vertikalnu? Ako periodična funkcija ima vertikalnu asimptotu, koliko ih je? Kut iznosa 1 (radijan) iznosi otprilike:
84 Mora li prirodna domena periodične funkcije biti cijeli skup realnih brojeva? Može li periodična funkcija imati horizontalnu asimptotu? A vertikalnu? Ako periodična funkcija ima vertikalnu asimptotu, koliko ih je? Kut iznosa 1 (radijan) iznosi otprilike: Mjera kuta u radijanima je duljina luka kružnice polumjera 1 jedinice koji odgovara tom kutu sukladnom središnjem kutu, podijeljena s jedinicom. Koliki kut, u radijanima, prijede minutna kazaljka analognog sata u 5 minuta?
85 Koja su osnovna svojstva funkcija sinus i kosinus vidljiva iz Sinus i kosinus broja
86 Zadatak Bez korištenja kalkulatora procijenite iznose od sin 1, cos 2, sin( 7) i cos 90 na bar jednu značajnu znamenku.
87 Zadatak Bez korištenja kalkulatora procijenite iznose od sin 1, cos 2, sin( 7) i cos 90 na bar jednu značajnu znamenku. 1-graphs-sine-cosine-amplitude.php
88 x Zadatak Bez korištenja kalkulatora procijenite iznose od sin 1, cos 2, sin( 7) i cos 90 na bar jednu značajnu znamenku. 1-graphs-sine-cosine-amplitude.php Zadatak Ako je plava krivulja prikaz grafa funkcije sinus, označite jedinice na osima i odredite formule ostalih krivulja na slici. y
89 Tangens i kotangens tg x = sin x cos x, ctg x = cos x sin x = 1 tg x
90 Tangens i kotangens tg x = sin x cos x, cos x ctg x = sin x = 1 tg x Zadatak Skicirajte graf funkcije zadane formulom f (x) = 1 tg(πx/2).
91 Tangens i kotangens tg x = sin x cos x, cos x ctg x = sin x = 1 tg x Zadatak Skicirajte graf funkcije zadane formulom f (x) = 1 tg(πx/2). Imaju li osnovne četiri trigonometrijske funkcije inverze? Zašto?
92 Ciklometrijske funkcije
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Uvod u diferencijalni račun
Uvod u diferencijalni račun Franka Miriam Brückler Problem tangente Ako je zadana neka krivulja i odabrana točka na njoj, kako konstruirati tangentu na tu krivulju u toj točki? I što je to uopće tangenta?
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Predavanje osmo: Uvod u diferencijalni račun
Predavanje osmo: Uvod u diferencijalni račun Franka Miriam Brückler Problem tangente Ako je zadana neka krivulja i odabrana točka na njoj, kako konstruirati tangentu na tu krivulju u toj točki? I što je
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
4 Elementarne funkcije
4 Elementarne funkcije 4. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije
4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1
Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X
6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Polinomi Racionalne funkcije Korijeni Algebarske funkcije. Algebarske funkcije. Franka Miriam Brückler
Algebarske funkcije. Franka Miriam Brückler Zadatak Skicirajte graf funkcije zadane formulom f (x) = 4x + 7. Zadatak Skicirajte graf funkcije zadane formulom f (x) = 4x + 7. Netko je na taj graf primijenio
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija
Funkcije Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5.
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada)
Eksponencijalna funkcija (baze a) f() a, a > 0, a domena D(f) R; slika funkcije f(d) (0,+ ); nema nultočaka, jer je a > 0, za sve R; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; f() a, 0
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Seminar 11 (Ispitivanje domene i globalnih svojstava funkcije)
Seminar 11 (Ispitivanje domene i globalnih svojstava funkcije) Prvo ponoviti/nau iti sadrºaje na sljede oj stani, a zatim rije²iti zadatke na ovoj stranici. Priprema Ove zadatke moºete rije²iti koriste
2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
Integrali Materijali za nastavu iz Matematike 1
Integrali Materijali za nastavu iz Matematike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 202/3 / 44 Definicija primitivne funkcije i neodredenog integrala Funkcija F je primitivna funkcija (antiderivacija)
1. Trigonometrijske funkcije
. Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije.. Ponovimo Brojevna kružnica Kružnicu k polumjera smjestimo u koordinatnu ravninu tako da joj je središte u ishodištu. Na kružnicu k prislonimo brojevni
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA
9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
3.1 Elementarne funkcije
3. Elementarne funkcije 3.. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
3. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E
. Funkcije (sa svim korekcijama) 5. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E U ovom poglavlju: Elementarne unkcije Inverzne unkcije elementarnih unkcija Domena složenih unkcija Inverz složenih unkcija Ispitivanje
Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable
Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10.
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016.
Funkcije Helena Kmetić 6. srpnja 016. Sadržaj 1 Uvod 1.1 Klasifikacija realnih funkcija pomoću grafa............. 3 1. Apsolutna vrijednost i udaljenost.................. 4 Funkcije 6.1 Linearne funkcije...........................
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
3 Funkcije. 3.1 Pojam funkcije
3 Funkcije 3.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Zadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.
Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34
Zadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva