ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ"

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ 8. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής με κορυφή το (0, 0) στις παρακάτω περιπτώσεις: α) είναι συμμετρική ως προς το θετικό ημιάξονα Οx και έχει παράμετρο p = 5 β) είναι συμμετρική ως προς τον άξονα Οx και διέρχεται από το σημείο (- 1, 4) γ) είναι συμμετρική ως προς τον άξονα Οy και διέρχεται από το σημείο (, ) δ) έχει άξονα συμμετρίας τον Οy και εστία Ε(0,-4) ε) έχει εστία Ε (-, 0) και διευθετούσα δ: x - = 0 στ) έχει άξονα συμμετρίας τον Οx και εφάπτεται της ευθείας y = 4x Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και άξονα συμμετρίας τον άξονα y'y σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις: i) Έχει εστία το σημείο Ε(0, ). ii) Έχει διευθετούσα την ευθεία δ : y =- 3. iii) Διέρχεται από το σημείο Α(-, 1). iν) Εφάπτεται της ευθείας ε: 4x + y = Δίνεται η παραβολή y = 4x. Να βρείτε: Α.την εστία και τη διευθετούσα της παραβολής Β. τις ευθείες που περνάν από την εστία της παραβολής και απέχουν από την αρχή Ο(0,0) απόσταση Γ. την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής που είναι παράλληλη στην ευθεία y=x Να βρεθεί η εξίσωση παραβολής που έχει εστία Ε (7, 0) και διευθετούσα δ: x= Να βρείτε την εστία και την διευθετούσα της παραβολής y =5x. 33. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις: i) Όταν έχει εστία το Ε (-, 0), iiι) Όταν έχει διευθετούσα δ: y=, iii) Διέρχεται από το σημείο Α (, 1). 34. Να βρείτε την εστία και την διευθετούσα των παραβολών: α) y =6x β) y =-4x γ) y =8αx δ) y = 1 α x ε) x =5y στ) x =-y

2 35. Να βρεθεί το σημείο της παραβολής y =4x που απέχει από την εστία της απόσταση ίση με 36. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και άξονα συμμετρίας τον χ χ όταν: α) Έχει εστία το σημείο Ε(,0) β) Έχει διευθετούσα την ευθεία x=3. γ) Διέρχεται από το σημείο Α(9,6) 37. Έστω A(x1,y1), B(x,y) δύο σημεία της παραβολής C : y = 15x με y1 +y = 5 3. Να απο δείξετε ότι: i) η ευθεία ΑΒ σχηματίζει σταθερή γωνία με τον άξονα x'x, η οποία και να βρεθεί, ii) το μέσο του τμήματος ΑΒ κινείται σε σταθερή ευθεία της οποίας να βρεθεί η εξίσωση. 38. Αν η ευθεία ε: y = λx + κ τέμνει την παραβολή C : y = 8x σε δύο σημεία Α και Β, να αποδείξετε ότι: i. λ κ < 4, 4-λ κ 4 ii. το μέσο Μ του τμήματος ΑΒ έχει συντεταγμένες, λ λ 39. Να αποδείξετε ότι ένα σημείο Μ(x0, y0) ανήκει στην παραβολή C: y = px, αν και μόνο αν οι συντεταγμένες του έχουν τη μορφή x0=pt, y0 = pt (παραμετρικές εξισώσεις παραβολής). 40. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής, η οποία έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα x'x, κορυφή Ο(0, 0) και τέμνεται από την ευθεία ε : y = x- 3 σε δύο σημεία Α και Β με (ΑΒ) = Ο κύκλος του διπλανού σχήματος διέρχεται από την εστία της παραβολής. Να βρεθούν οι εξισώσεις του κύκλου και της παραβολής Ο 1 Ε 4. Δίνεται η παραβολή C: y = px και το σημείο της Α(x1, y1) με y1 0. Αν λ είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης ε της C στο Α, να αποδείξετε ότι η ε έχει p εξίσωση y = λx+ λ 3

3 43. Ισόπλευρο τρίγωνο ΟΑΒ είναι εγγεγραμμένο στην παραβολή C: y = 4px με κορυφή το Ο. Να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του. 44. Ένα παραβολικό κάτοπτρο έχει βάθος 1 cm και διαμετρικό άνοιγμα 3cm. Βρείτε την απόσταση της κορυφής από την εστία. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ 45. i) Να βρεθεί η σχετική θέση της ευθείας y= 3x+1 ως προς την παραβολή C: y = x. ii) Ομοίως αν ε: y = x + 4 και C: y = - 4 x. iii) Ομοίως αν ε :x-y + = 0 και C: y = 8x. 46. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής C : y = 1 x στο σημείο της: 8 i. O(0,0) ii) A(, 1 ) 47. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής C : y = 8αx στο σημείο της M(αt, 4αt). 48. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής C: y = 3x, η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία ε : x - y = Δίνεται η παραβολή C: y = x. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής C, η οποία : i. είναι κάθετη στην ευθεία ε : 5x - 5y + 1 = 0, ii. διέρχεται από το σημείο Α(-1, 1 ). 50. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων της παραβολής C : y = 8x, οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(-, 3). Ποια είναι η γωνία που σχηματίζουν οι παραπάνω εφαπτόμενες ; 51. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής C : y = 1x που απέχει από το σημείο Α(1, 0) απόσταση ίση με 5. Δίνεται η παραβολή C : y = 8x. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής, η οποία τέμνει τους άξονες χ'χ και y'y στα σημεία Α και Β έτσι, ώστε (ΑΒ) = Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής C : y = 8x, η οποία σχηματίζει με την ευθεία ε : y = 3x - γωνία 45. 4

4 54. Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε: y = x + εφάπτεται της παραβολής C: y = 8x. 55. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής, η οποία έχει κορυφή O(0,0), άξονα συμμετρίας τον άξονα y'y και εφάπτεται της ευθείας ε: x - y + 1 = Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής, η οποία έχει κορυφή O(0,0), άξονα συμμετρίας τον άξονα χ χ και εφάπτεται της ευθείας ε : y = 4x Δίνεται η ευθεία ε: y=λx+κ και η παραβολή C: y =px.nα δείξετε ότι η ευθεία ε είναι εφαπτομένη της παραβολής όταν p=κλ 58. Για ποιες τιμές του λ η ευθεία y=λx+ εφάπτεται της παραβολής y =4x. 59. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής: α) y=4x στο σημείο Α(1,4) β) y =4x που είναι παράλληλη στην ευθεία y=x+3 γ) y =6x που είναι κάθετη στην ευθεία y= 1 x+ 3 δ) y =16x που διέρχεται από το σημείο Α(-1,-3) ε) y =4αx, α, που σχηματίζει γωνία 135 ο με τον χ χ στ) y =8x που η απόστασή της από την εστία είναι 4 μον. 60. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής y =4x που είναι παράλληλη στην ευθεία 6x-3y+7= Να βρείτε την εφαπτομένη της παραβολής: y =x που απέχει από την εστία απόσταση Δίνεται η παραβολή (C): y 4x απέχουν από την κορυφή της απόσταση. Να βρείτε τις εφαπτομένες της (C), οι οποίες d. 63. Να βρείτε την εφαπτομένη της παραβολής: y =4x που σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν 1 τ. μ. 64. Δίνεται η παραβολή με εξίσωση: y =6x, α) Να βρείτε σημείο Μ της παραβολής στο οποίο η εφαπτομένη της να σχηματίζει με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο, β) Να δείξετε ότι η κάθετη στην εφαπτομένη στο Μ διχοτομεί την γωνία που σχηματίζει η ΕΜ και η παράλληλη από το Μ προς τον xx. 65. Να βρείτε την εφαπτομένη της παραβολής: y =4x η οποία τέμνει τους άξονες στα σημεία Α και Β με ΑΒ=. 5

5 66. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής όταν έχει άξονα συμμετρίας τον xx και εφάπτεται στην ευθεία x+y+1= Δίνεται η παραβολή (C): y 6x. Από το σημείο Ρ (-3, 3) φέρνουμε τις εφαπτομένες ΡΑ, ΡΒ προς την παραβολή. Να βρείτε την εξίσωση της ΑΒ. 68. Από το σημείο Μ (-, -1) φέρνουμε τις εφαπτόμενες ΜΑ και ΜΒ στην παραβολή y =4x. Να δειχτεί ότι: d(m, AB)= Από το σημείο (-, 3) προς την παραβολή y = 8x γράφονται δύο εφαπτόμενες ευθείες. α)να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων αυτών ευθειών. β)να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες αυτές ευθείες είναι κάθετες 70. Να βρεθεί η σχετική θέση της ευθείας x+y +1=0 ως προς την παραβολή y = x. 71. Από το σημείο Μ (-3, ) φέρνουμε τις εφαπτομένες ΜΑ και ΜΒ στην παραβολή C: y =8x. Να βρεθεί η απόσταση του Μ από την ΑΒ. 7. Θεωρούμε την ευθεία ε : y = λx+1 και την παραβολή C : y = -x. Να αποδείξετε ότι: i) η ευθεία ε τέμνει την C σε δύο σημεία, έστω Α και Β, ii) οι εφαπτόμενες της C στα Α, Β είναι κάθετες μεταξύ τους, iii) το κοινό σημείο των παραπάνω εφαπτόμενων ανήκει σε σταθερή ευθεία. 73. Θεωρούμε την παραβολή C : y = 6x. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η ευθεία ε: y = λx- : i) εφάπτεται στη C, ii) έχει ακριβώς ένα κοινό σημείο με τη C. 74. Δίνεται η παραβολή C: y= 1 x. Η εφαπτομένη σε ένα σημείο Α της παραβολής τέμνει τον άξονα xx στο σημείο Μ και τον yy στο σημείο Β. Να δείξετε ότι η ΕΜ είναι διάμεσος του τριγώνου ΑΕΒ όπου Ε η εστία της παραβολής. 75. Δίνεται η παραβολή με εξίσωση: y =16x, α) Βρείτε την ευθεία (ε) που διέρχεται από την εστία και είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση: 4x+3y+004=0, β) Αν η (ε) τέμνει την παραβολή στα σημεία Α και Β να βρείτε τις συντεταγμένες τους, γ) Δείξτε ότι οι εφαπτομένες της παραβολής στα σημεία Α και Β τέμνονται κάθετα και ότι το σημείο τομής τους ανήκει στην διευθετούσα της παραβολής. ΚΟΙΝΕΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΟΜΩΝ 76. Να αποδείξετε ότι ο κύκλος (C): y 4x. C : x y 6x 1 0 εφάπτεται στην παραβολή 1 6

6 77. Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες του κύκλου C1 : x + y = p και της παραβολής C : y = 8px, όπου p > 0, και να αποδείξετε ότι είναι κάθετες μεταξύ τους. 78. Να βρείτε τις εξισώσεις των κοινών εφαπτόμενων των παραβολών C1 : y = 16x και C: x = y. ΧΟΡΔΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ 79. Δίνεται η παραβολή y =16x. Μία ευθεία (ε) περνά από το σημείο Μ (, 1) και τέμνει την παραβολή στα σημεία Α και Β. Αν Μ είναι το μέσον της ΑB να βρεθεί η εξίσωση της (ε). 80. Δίνεται η παραβολή C: y = 8x. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε, η οποία τέμνει τη C σε δύο σημεία Α, Β έτσι, ώστε το τμήμα ΑΒ να έχει μέσο το σημείο Μ(5, 6). 81. Δίνεται η παραβολή C1: y =8x και η ευθεία C που τέμνει την παραβολή στα σημεία Α και Β. Έστω Μ (4, 1) το μέσον του ΑΒ. Να βρεθεί η εξίσωση της C. 8. Δίνεται η παραβολή με εξίσωση: y =6x και η ευθεία (ε) y=3x+10. Να δείξετε ότι όλα τα μέσα των χορδών που είναι παράλληλες προς την (ε) βρίσκονται πάνω σε μία σταθερή ευθεία (χορδή της παραβολής λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία της). 83. Να δείξετε ότι τα μέσα των χορδών της παραβολής C: ψ =ρx που διέρχονται από την κορυφή της παραβολής ανήκουν στην παραβολή C : ψ =ρx. 84. Να βρείτε την εξίσωση της χορδής ΑΒ της παραβολής y = 8x, η οποία έχει ως μέσο το M (4,1) ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 85. Η εφαπτομένη ε της παραβολής C: y = px στο σημείο της Α τέμνει τον άξονα χ'χ στο Β. Να αποδείξετε ότι : i) ο άξονας y'y διχοτομεί το τμήμα ΑΒ, ii) η εστία Ε ισαπέχει από τα Α και Β. 86. Έστω ε η εφαπτομένη της παραβολής C: y =px σε ένα σημείο της Μ. Υποθέτουμε ότι η ε τέμνει τη διευθετούσα δ στο Α και την κάθετη στον άξονα χ'χ στην εστία Ε στο Β. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΕΑΒ είναι ισοσκελές. 87. Έστω ε η εφαπτομένη της παραβολής C : y = px σε ένα σημείο της Μ και ζ η κάθετη στην ε στο Μ. Αν οι ευθείες ε και ζ τέμνουν τον άξονα χ'χ στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι η εστία Ε είναι το μέσο του τμήματος ΑΒ. 88. Δίνεται η παραβολή με εξίσωση: y =px. Έστω δύο ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων, σχηματίζουν ορθή γωνία μεταξύ τους και τέμνουν την παραβολή στα σημεία Β και Γ (ΒΓ), α) Να βρεθούν οι συντεταγμένες των Β και Γ, β) Να δοθεί η εξίσωση της ευθείας ΒΓ, γ) Να δείξετε ότι η ευθεία ΒΓ διέρχεται πάντα από το ίδιο σημείο. 7

7 89. Θεωρούμε την παραβολή y =px, (p>0) και τυχαίο σημείο Μ (x1, y1) της παραβολής (M διαφορετικό του Ο). Από το σημείο Μ φέρνουμε κάθετη στον yy. Έστω Ν το σημείο τομής. Φέρνουμε την ΟΜ και από το Ν φέρνουμε κάθετη στην ΟΜ, που τέμνει την ΟΜ στο Κ και τον xx στο Λ. Α) Να δείξετε ότι το Λ είναι σταθερό και ανεξάρτητο του Μ, και Β) Να βρεθεί η εξίσωση του γεωμετρικού τόπου του Κ. 90. Έστω η παραβολή C: y = px και μια χορδή της ΑΒ παράλληλη με τον άξονα y'y, η οποία περνάει από την εστία Ε. Να αποδειχθεί ότι: α) (AB) = (EK), όπου Κ το σημείο που τέμνει ο άξονας x x τη διευθετούσα β) οι εφαπτόμενες στα Α και Β διέρχονται από το Κ 91. Θεωρούμε την παραβολή y =px, (p>0) και την εφαπτομένη (ε) της παραβολής στο σημείο Μ (x1, y1), (M διαφορετικό του Ο). Από την κορυφή Ο της παραβολής φέρνουμε την κάθετη στην εφαπτομένη, που την τέμνει στο σημείο Κ. Αν η κάθετος συναντά την παραβολή στο Λ να δείξετε ότι: d(o, K).d(O, Λ)=p. 9. Θεωρούμε την παραβολή y =px, (p>0) και δύο σημεία Α, Β διάφορα της κορυφής. Αν (ε) είναι η εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο Μ (x1, y1), y A y (M διαφορετικό του Ο) και (ε) //ΑΒ να δείξετε ότι: y1= B. 93. Έστω παραβολή C: y =px (p>0) με κορυφή Ο (0, 0) και σημείο Μ (xo, yo) με xo 0 της C και Μ το συμμετρικό του Μ ως προς τον xx. Θέτω Κ και Λ τα μέσα των ευθυγράμμων τμημάτων ΟΜ και ΟΜ αντίστοιχα. Α) Δείξτε ότι οι μεσοκάθετες ε1 και ε των ΟΜ και ΟΜ αντίστοιχα τέμνονται σε σημείο Σ του άξονα xx και να βρεθούν οι συντεταγμένες του. Β) Ποιες πρέπει να είναι οι συντεταγμένες των Μ και Μ ώστε το τετράπλευρο ΟΜΣΜ να γίνει ρόμβος. Γ) Να βρεθεί η γωνία ΜΟΜ στην περίπτωση του ερωτήματος (Β). Δ) Ποιες οι συντεταγμένες του Μ όταν η γωνία ΜΟΣ είναι 45 ο. Ε) Όταν ΜΟΣ=45 ο τι σχήμα δημιουργούν τα Ο, Μ, Σ, Μ. 94. Να αποδείξετε ότι τα μέσα των χορδών της παραβολής C: y = px, οι οποίες έχουν ως ένα άκρο τους την κορυφή Ο(0, 0), ανήκουν σε άλλη παραβολή της οποίας να βρεθεί η εξίσωση. 95. Δίνεται η παραβολή C : y =px. Μια ορθή γωνία με κορυφή την εστία Ε της C τέμνει τη διευθετούσα δ στα σημεία Μ1, Μ. Αν από τα Μ1, Μ φέρουμε ευθείες παράλληλες στον άξονα x'x, οι οποίες τέμνουν την παραβολή στα σημεία Ν1, Ν αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα σημεία Ν1, Ν και Ε είναι συνευθειακά. 96. Η εφαπτομένη ε της παραβολής C : y = px σε ένα σημείο της Α τέμνει τη διευθετούσα δ στο Β. Να αποδείξετε ότι ο κύκλος διαμέτρου ΑΒ διέρχεται από την εστία Ε. 8

8 97. Να αποδείξετε ότι η προβολή της εστίας μιας παραβολής C: y = px πάνω σε μια οποιαδήποτε εφαπτομένη της βρίσκεται στον άξονα y'y. 98. Έστω η παραβολή C: y = ρx, ένα σημείο της Α και Β η προβολή του Α στη διευθετούσα δ. Να αποδείξετε ότι η μεσοκάθετος του τμήματος BE, όπου Ε η εστία, εφάπτεται της παραβολής στο Α. 99. Αν μια ευθεία ε τέμνει την παραβολή C : y = ρx σε δύο διαφορετικά σημεία Α(x1, y1) και B(x,y) να αποδείξετε ότι η εξίσωση της ε είναι px-(y1+y)y + y1y = Θεωρούμε τα σημεία A(x1,y1), B(x,y), Γ(x3, y3) και την παραβολή C: y = px. Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι εγγεγραμμένο στην C (δηλαδή αν τα σημεία Α, Β, Γ ανήκουν στη C), να αποδείξετε ότι το εμβαδόν Ε του τριγώνου δίνεται από την ισότητα 1 Ε ( y1 y)( y y3)( y3 y1) 4 p 101. Για την παραβολή C: y = px, να αποδείξετε ότι: i) δεν υπάρχουν παράλληλες εφαπτόμενες της C, ii) οι εφαπτόμενες της C στα σημεία της Α1 (x1, y1) και Α(x, y) τέμνονται στο σημείο y 1 y 1, y M y p iii) αν Ν είναι το μέσο του ΑΒ, τότε ΜΝ // χ'χ, iv) το μέσο Ρ του ΜΝ ανήκει στην παραβολή, ν) ισχύει (ΕΜ) = (ΕΑ1)(ΕΑ). 10. Έστω η παραβολή C : y = px και δύο σημεία της A(x1,y1) και B(x,y). Αν η χορδή ΑΒ διέρχεται από την εστία Ε, να αποδείξετε ότι (AB) = x1+x + p 103. Μια χορδή ΑΒ της παραβολής C: y =px διέρχεται από την εστία Ε. Αν A(x1,y1) και B(x,y), να αποδείξετε ότι : p i. y1y p και xx 1 4 ii. αν M(x0,y0) είναι σημείο της παραβολής στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στην ΑΒ, τότε : y1 y α) y0 β) (ΑΒ)=4(ΕΜ) 9

9 104. Έστω ΑΒ μια χορδή της παραβολής C : y = px, η οποία διέρχεται από την εστία Ε. Αν Γ, Δ είναι οι προβολές των σημείων Α, Β στη διευθετούσα δ και Μ, Ν τα μέσα των τμημάτων ΑΒ, ΓΔ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: i) ΑΒ = ΜΝ, ii) η εστία Ε βλέπει το τμήμα ΓΔ υπό ορθή γωνία Αν μια χορδή ΑΒ παραβολής C διέρχεται από την εστία Ε, να αποδείξετε ότι ο κύκλος διαμέτρου ΑΒ εφάπτεται στη διευθετούσα δ Έστω δύο σημεία Μ και Ν του άξονα x'x που ισαπέχουν από την εστία Ε της παραβολής C : y = px. Να αποδείξετε ότι η διαφορά των τετραγώνων των αποστάσεων των Μ, Ν από τυχαία εφαπτομένη της παραβολής είναι σταθερή (ανεξάρτητη της εφαπτομένης) Οι εφαπτόμενες της παραβολής C : y = px στα σημεία της Α και Β τέμνονται στο Μ. ( MA) ( EA) Να αποδείξετε ότι. ( MB) ( EB) 108. Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό της εστίας Ε μιας παραβολής C: y = ρχ, ως προς τυχαία εφαπτομένη της, ανήκει στη διευθετούσα Η εφαπτομένη και η κάθετη αυτής στο σημείο Α της παραβολής C: y = px τέμνουν τον άξονα χ'χ στα σημεία Β και Γ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το περίκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ είναι σταθερό (ανεξάρτητο του Α) Έστω Α, Β, Μ σημεία της παραβολής C : y = px. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη ε της C στο Μ είναι παράλληλη στη χορδή ΑΒ, αν και μόνο αν οι αριθμοί ya, ym, yb είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου Έστω η παραβολή C: y =px και δύο σημεία της Α και Β διάφορα της κορυφής Ο. Αν η εφαπτομένη της παραβολής στο Α και η ευθεία ΟΒ τέμνονται κάθετα στο Γ, να αποδείξετε ότι (ΟΒ)(ΟΓ) =p. 11. Έστω ότι οι εφαπτόμενες της παραβολής C : y = px στα σημεία της Α και Β τέμνουν τον άξονα y'y στα σημεία Γ και Δ αντίστοιχα. Αν Μ είναι το μέσο του τμήματος ΓΔ και Ε η εστία, να αποδείξετε ότι οι ευθείες ΜΕ και ΑΒ είναι κάθετες Έστω (ε): η εφαπτομένη σε τυχαίο σημείο Κ (x1, y1) της παραβολής C: y =px και ΑΒ χορδή της παραβολής παράλληλη στην (ε) που περνάει από την εστία Ε. Να δείξετε ότι: AB 4 EK. 30

10 114. Αν μια χορδή ΑΒ της παραβολής C: y = px είναι κάθετη στον άξονα συμμετρίας της και έχει μήκος 4ρ, να αποδείξετε ότι οι ευθείες ΟΑ και ΟΒ είναι κάθετες Να βρεθεί το σημείο της παραβολής C: y = px, το οποίο απέχει από την εστία Ε απόσταση διπλάσια της (ΟΕ) Να αποδείξετε ότι η απόσταση της εστίας της παραβολής C: y = px από την p εφαπτομένη της ε : y = λx + κ είναι ίση με 1+ λ. λ 117. Δίνεται η παραβολή C : y = px και to σημεία της M1(x1,y1), M(x,y). Αν Κ(x0,0) το σημείο τομής της ευθείας Μ1Μ με τον άξονα χ'χ και Ρ1, Ρ οι προβολές των Μ1, Μ αντίστοιχα στον άξονα y'y, να αποδείξετε ότι : yy 1 i. x0 p ii. η γωνία Ρ ΚΡ 1 είναι ορθή, αν και μόνο αν x0 = p Να υπολογιστεί η υποτείνουσα ΟΒ ορθογωνίου τριγώνου ΑΟΒ με Α (1, ) το οποίο είναι εγγεγραμμένο στην παραβολή C: ψ =ρx Nα δείξετε ότι το συμμετρικό της εστίας Ε μιας παραβολής ως προς τυχαία εφαπτομένη της βρίσκεται στη διευθετούσα της παραβολής. 10. Δίνεται η παραβολή y =px και η χορδή ΑΒ με Α(x1,y1) και Β(x,y), που διέρχεται από την εστία Ε. Nα δειχθεί: α) y1y =-p β) οι εφαπτόμενες στα σημεία Α και Β είναι κάθετες και τέμνονται πάνω στην διευθετούσα δ 11. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου,από τα οποία οι εφαπτόμενες της παραβολής y = px είναι κάθετες 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από την εστία της παραβολής C: y = 0x και τέμνει τη C σε δύο σημεία Α και Β έτσι ώστε (ΑΒ) = Έστω μεταβλητό σημείο Α της παραβολής C : y = px, διάφορο της κορυφής της, και Α' η προβολή του Α στον άξονα y'y. Αν η κάθετη από το Α' προς την ευθεία ΟΑ τέμνει την ΟΑ στο Β και τον άξονα χ'χ στο Γ, να αποδείξετε ότι: i. το Γ είναι σταθερό, ii. το Β κινείται (ανήκει) σε σταθερό κύκλο. 31

11 14. Θεωρούμε τα σημεία Α, Β της παραβολής C: y = px, τα οποία μεταβάλλονται έτσι, ώστε το τρίγωνο ΑΟΒ να είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα ΑΒ. Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΑΒ διέρχεται από σταθερό σημείο. 15. Θεωρούμε την παραβολή C: y = px. i)να αποδείξετε ότι η ευθεία ε: y=λx + κ, με λ 0, εφάπτεται της C, αν και μόνο αν p = λκ. ii) Υποθέτουμε ότι δύο εφαπτόμενες ε1, ε της C τέμνονται στο σημείο Μ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία ε1 ε 16. Θεωρούμε τα σημεία Α, Β της παραβολής C1 : y = px και υποθέτουμε ότι η ευθεία ΑΒ εφάπτεται της παραβολής C : y = px. Να αποδειχθεί ότι το σημείο τομής των εφαπτόμενων της C1 στα Α, Β βρίσκεται στην παραβολή C: y = 4px. 17. Οι εφαπτόμενες της παραβολής C: y =px στα σημεία της Α, Β τέμνονται στο Ρ(x0, y0) και έστω ε η ευθεία ΑΒ. i. Να βρεθεί η εξίσωση της ε. ii. Αν η ε τέμνει τον άξονα χ'χ στο Ν, να αποδείξετε ότι ο άξονας y'y διχοτομεί το τμήμα ΡΝ. iii. Η ε διέρχεται από την εστία Ε, αν και μόνο αν το Ρ ανήκει στη διευθετούσα δ. 18. Να αποδείξετε ότι το ορθόκεντρο ενός περιγεγραμμένου στην παραβολή C: y = px τριγώνου, ανήκει στη διευθετούσα. (Ένα τρίγωνο ονομάζεται περιγεγραμμένο σε μια παραβολή, αν οι φορείς και των τριών πλευρών του εφάπτονται στην παραβολή.) 19. Δίνεται οι παραβολές C1: y =px και C: x =py α) Να δείξετε ότι οι C1 και C τέμνονται στα σημεία Ο(0,0) και Α(p,p) β) Αν οι εφαπτόμενες των C1 και C στο Α τέμνουν τις C και C1 στα σημεία Β και Γ αντιστοίχως, να δείξετε ότι η ΒΓ είναι κοινή εφαπτομένη εφαπτομένη των C1 και C 130. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν χορδές της παραβολής C: y = px με κοινό μέσο Δίνεται η παραβολή C: y = px. Να αποδείξετε ότι τα μέσα Μ των χορδών ΑΒ, οι οποίες είναι παράλληλες προς την ευθεία ε: y = λx (λ σταθερός), ανήκουν σε μια σταθερή (ανεξάρτητη των Α, Β) ημιευθεία της οποίας να βρεθεί η εξίσωση. 13. Δύο χορδές ΑΒ και ΓΔ της παραβολής C : y = px διέρχονται από την εστία Ε. Αν ΚΛ είναι η κοινή χορδή των κύκλων με διαμέτρους τις ΑΒ και ΓΔ, να αποδείξετε ότι η ευθεία ΚΛ διέρχεται από την αρχή των αξόνων Δίνεται η παραβολή C : y =px και ε τυχαία εφαπτομένη της. Η κάθετη από την κορυφή Ο προς την ε, τέμνει την ε στο Α και την παραβολή στο Β. Να δειχθεί ότι ΟΑ ΟΒ=p 134. Έστω η παραβολή y =px και η εφαπτομένη της σε ένα σημείο της Μ1(x1,y1), η οποία τέμνει την διευθετούσα της παραβολής στο σημείο Μ. Να δειχθεί ότι 1 =90 ο 3

12 135. Σε ένα σημείο Μ μιας παραβολής (διαφορετικό από την κορυφή της) θεωρούμε την εφαπτομένη και την κάθετη της, που τέμνουν τον άξονά της παραβολής στα σημεία Α και Β αντίστοιχα. Να δείξετε ότι η εστία Ε είναι το μέσο του τμήματος ΑΒ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ 136. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, όπου: α i) Μ 3 α, ii) Μ(α, 6 α 137. Θεωρούμε ευθεία ε και σημείο Α που δεν ανήκει στην ε. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων, οι οποίοι εφάπτονται στην ε και διέρχονται από το Α Θεωρούμε μια ευθεία ε και ένα σημείο Α που δεν ανήκει στην ε. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εστιών Ε των παραβολών, οι οποίες διέρχονται από το Α και έχουν διευθετούσα την ε Δίνονται τα σημεία του επιπέδου (x,y) = (pκ,pκ) με κ. α) Να αποδειχθεί ότι τα σημεία αυτά ανήκουν σε μια παραβολή β) Αν Α(pκ1,pκ1) και Β(pκ,pκ) είναι δύο σημεία της παραβολής αυτής, να αποδειχθεί ότι αν η ΑΒ διέρχεται από την εστία θα ισχύει 4κ1κ = Δίνεται η παραβολή : y = px και δύο χορδές ΟΒ, ΟΓ, ώστε γωνία = 90 ο. Να αποδειχθεί ότι η ΒΓ διέρχεται από σταθερό σημείο Δίνεται σταθερό σημείο A και ευθεία (ε) που δεν διέρχεται από το A. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων που διέρχονται από το Α και εφάπτονται στην (ε), είναι παραβολή. α α 14. Αν α 0, να αποδείξετε ότι το σημείο Μ(, ), με α σταθερό, κινείται σε παραβολή, λ λ όταν το λ μεταβάλλεται στο Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των μέσων των παραλλήλων χορδών της παραβολής y =px Α) Να βρεθεί το σημείο Μ που ανήκει στον γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου 1 1 που ισαπέχουν από την ευθεία x=- και το σημείο Ε (, 0), ώστε AM 5, όπου Α (1, 4). Β) Ποιο σημείο Κ του παραπάνω γεωμετρικού τόπου ικανοποιεί την σχέση: OA AK. 33

13 145. Να αποδείξετε ότι τα σημεία παραβολή. M pt,pt με t και p 0κινούνται σε μια 146. α) Δείξτε ότι οι εξισώσεις x= p t και y=pt, t μπορούν να θεωρηθούν παραμετρικές εξισώσεις της παραβολής y =px β) Nα βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(x,y) για τα οποία είναι x=3t και y=-6t, t 147. Δίνεται σημείο Α (4, 0) και ευθεία ε: x=1. Σημείο Ρ κινείται στο επίπεδο έτσι ώστε ΡΑ =ΡΑ συνθ όπου Α η προβολή του Ρ στην ε και. Να βρεθεί ο γ.τ. του Ρ όταν: i. θ=0 ii. 3 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 148. Δίνεται ο κύκλος C: x y 5 και ε1,ε οι εφαπτομένες του κύκλου από το σημείο Μ(0,-10).Αν Α και Β τα σημεία επαφής των ε1,ε με τον κύκλο,να βρείτε : α) τις εξισώσεις των εφαπτομένων ε1 και ε β) τις συντεταγμένες των σημείων επαφής Α και Β, γ) την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και διέρχεται από τα σημεία Α και Β 149. Δίνεται η παραβολή: y =3x και δύο σημεία της Α (x1, y1) και Β (x, y) με x1 x, o BOA 90, Να δείξετε ότι: α) x1.x=9 και y1. y=-9, β) Η ΑΒ διέρχεται από σταθερό σημείο του xx, γ) Οι εφαπτομένες της παραβολής στα Α και Β τέμνονται στο σημείο Μ το οποίο κινείται σε σταθερή ευθεία Δίνεται η παραβολή y = 4x και η ευθεία (ε) : y = x-1. α) Να δείξετε ότι η (ε) περνά από την εστία της παραβολής. β) Να βρείτε τα κοινά σημεία A, B της (ε) και της παραβολής. γ) Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες της παραβολής στα σημεία A, B είναι κάθετες. δ) Να δείξετε ότι κάθε ευθεία που περνά από την εστία και τέμνει την παραβολή σε δύο σημεία έχει την ιδιότητα (γ) Δίνεται η παραβολή y = 4x. Να βρείτε: Α. την εστία και τη διευθετούσα της παραβολής Β. τις ευθείες που διέρχονται από την εστία της παραβολής και απέχουν από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση με Γ. την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής που είναι παράλληλη στην ευθεία y=x Δίνεται παραβολή C που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων, άξονα συμμετρίας τον 1 y y και εστία 0,. Α. Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής C 34

14 Β. Θεωρούμε τα σημεία Α και Β της διευθετούσας της παραβολής C με τετμημένες και 7 αντίστοιχα. Έστω επίσης η ευθεία ζ που διέρχεται από το Β και είναι παράλληλη στο διάνυσμα.να βρείτε : i) την εξίσωση της ευθείας ζ ii) τα σημεία τομής Γ και Δ της ευθείας ζ με την παραβολή C, iii) τις εφαπτομένες ε1 και ε της παραβολής C στα σημεία της Γ και Δ iv) την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι παραπάνω εφαπτομένες ε1 και ε 153. Δίνονται οι παραβολές C1: y = 16x και C : x =y και έστω Α το σημείο τομής τους.διαφορετικό από την αρχή των αξόνων.να βρείτε : α) τις εστίες Ε1,Ε και τις διευθετούσες δ1,δ των παραβολών C1 και C αντίστοιχα β) τις συντεταγμένες του σημείου γ) τις εφαπτομένες ε1 και ε των παραβολών C1 και C αντίστοιχα στο σημείο τους Α δ) το σημείο τομής Β των ε1 και δ1,καθώς και το σημείο τομής Γ της ε με τον άξονα y y ε) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ 154. Δίνεται η παραβολή x = 4y και οι ευθείες : ε1 : x-y-1=0 και ε : x-y+1=0. α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε1 εφάπτεται στην παραβολή C και να βρείτε το σημείο τομής Α β) Αν Β και Γ είναι τα σημεία τομής της ευθείας ε με την παραβολή C, να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ γ)έστω ε3 η εφαπτομένη της παραβολής C στο σημείο της Μ, Να βρείτε : i)την εξίσωση της ευθείας ε 3 ii)την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες ε 1 και ε3 35

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ EΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΛΛΕΙΨΗΣ 1. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης όταν: α) Έχει εστία Ε (-8,0) και μεγάλο άξονα 0 β) Έχει εστία Ε(0,3) και μεγάλο άξονα 8 γ) Έχει εστία Ε(4,0) και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα β) έχει κέντρο το σημείο (3, - ) και ακτίνα 5 γ) έχει κέντρο το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου.. Δίνεται ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και ένα οποιοδήποτε σημείο Ρ του χώρου. Να αποδειχτεί ότι: P A P 0. 3.

Διαβάστε περισσότερα

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8.

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8. ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 1) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής αν έχει: i) Εστιακή απόσταση γ=0 και άξονα β=16, 5 ii) Άξονα α=16 και εκκεντρότητα ε=. 4 ) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Ευθεία ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ 1. Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε, αν αυτή έχει εξίσωση: 5x 6 i) y = x- 1 ii) y = 3 5x iii) y iv) x = y + 3 10 v) 18x-6y

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου wwwaskisopolisgr ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 00-018α φάση Διανύσματα 1 Σε σύστημα συντεταγμένων Oxy θεωρούμε τρία σημεία Α, Β, Γ του μοναδιαίου κύκλου, για τα οποία υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Θέµα ο A. Αν α, β µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: i. αβ και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. 4 4 B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η

Διαβάστε περισσότερα

y 2 =2px με εστία Ε(p/2, 0) και διευθετούσα δ: x=-p/2.

y 2 =2px με εστία Ε(p/2, 0) και διευθετούσα δ: x=-p/2. ΠΑΡΑΒΟΛΗ P Α δ (διευθετούσα) C (παραβολή) Μ (ΜΕ)=(ΜΡ) Κ Ε (εστία) Ορισμός: Παραβολή λέγεται ο γεωμ. τόπος των σημείων Μ του επιπέδου που ισαπέχουν από ένα σημείο Ε (Εστία) και μία ευθεία δ(διευθετούσα)

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Κύκλος. 6. Για ποια τιμή του λ το σημείο Μ(2λ + 1, λ) ανήκει στον κύκλο με εξίσωση (x 3) 2 + (y + 4) 2 = 100

Ασκήσεις Κύκλος. 6. Για ποια τιμή του λ το σημείο Μ(2λ + 1, λ) ανήκει στον κύκλο με εξίσωση (x 3) 2 + (y + 4) 2 = 100 Ασκήσεις Κύκλος 1. Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου (x + 5) + (y 5) =. Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου x + y 8x + 4y + 11 = 0 3. Ποια πρέπει να είναι η ακτίνα του κύκλου (x 1)

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12 Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R Κεφάλαιο 4ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση ( x x ) + ( y y ) = k, k R είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου. o o. * Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός

Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός ΕΥΘΕΙΑ Να προσέχεις ότι: Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός Ax+By+Γ=0, με κάποιο Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο Α(x 0,y 0 ) και έχει συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β 1 of 68 Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ! ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ 005 Θεωρούµε τα σηµεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5ΡΛ

Διαβάστε περισσότερα

Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0)

Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0) . Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν γνωρίζουμε το κέντρο του, και την ακτίνα του ρ. Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο, τότε έχει εξίσωση της μορφής : και αντίστροφα. Ειδικότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 1. Να σχεδιάσετε την καμπύλη που παριστάνει η εξίσωση x y x 2 y. x y 2. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας, η οποία τέμνει : i) τον άξονα χ'χ σε σημείο με τετμημένη

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β O A M B ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Ο ΘΕΜΑ ον : α α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β. Μονάδες 5 β. Αν α, ν

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία Α (1,1), Γ (4,3) και Δ (,3). α) Να υπολογίσετε τα μήκη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ

ΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ Φ3 ΚΥΚΛΟΣ y Μ(x,y) A(x,y) ε Ο C x ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ 0-0 ΘΕΩΡΙΑ. Τι ονομάζεται κύκλος με κέντρο το σημείο K( x0,

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας ε, που σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία: π 3 α) ω = β) ω = γ) ω = π 3. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηματίζει με

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε = 5 + 2 α) Να γράψετε το διάνυσμα β) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9 ΓΕΛ ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β 331 Α. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των μη μηδενικών διανυσμάτων α, β. Μονάδες 5 β. Εάν ορίζονται οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων α, β αντιστοίχως να δείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία - 1-1. 2-18575 Εξίσωση ευθείας Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β (5,6 ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα v,

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα v, ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Δίνονται τα διανύσματα a, για τα οποία ισχύουν : 4, 5 και α)να αποδείξετε ότι 10 β)να βρείτε τη γωνία των και. 5. 8 γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

201 5 ΘΕΜΑΤΑ Σ ΤΟΝ ΚΥ ΚΛΟ Α. ΘΕΩΡΙΑ. i. η εξίσωση του κύκλου με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ είναι η

201 5 ΘΕΜΑΤΑ Σ ΤΟΝ ΚΥ ΚΛΟ Α. ΘΕΩΡΙΑ. i. η εξίσωση του κύκλου με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ είναι η 201 5 ΘΕΜΑΤΑ Σ ΤΟΝ ΚΥ ΚΛΟ - 1-1. Να αποδείξετε ότι: Α. ΘΕΩΡΙΑ i. η εξίσωση του κύκλου με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ είναι η C : x 2 y 2 ρ 2. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου C: χ 2 + ψ 2 = ρ 2

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1.

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1. Ασκήσεις στην ευθεία 1. Να βρείτε τα σηµεία τοµής των γραµµών µε εξισώσεις : α) 7x-11y+1=0, x+y-=0 β) y-3x-=0, x +y =4 γ) x +y =α, 3x+y+α=0. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x +y -x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ)

Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ) 3. Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ). Εξίσωση παραβολής p, όπου

Διαβάστε περισσότερα

2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ : Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ 2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ

2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ : Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ 2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ : Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 013-014 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω Ε και Ε δύο σημεία του

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κύκλος. Ασκήσεις Κύκλος

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κύκλος. Ασκήσεις Κύκλος Ασκήσεις Κύκλος 1. Να βρείτε αν οι παρακάτω εξισώσεις παριστάνουν κύκλο. Έπειτα να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα τους. i) x 2 + y 2 2x 4y + 1 = 0 (Απ.: (x 1) 2 + (y 2) 2 = 4) x 2 + y 2 2x + 4y + 5 =

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 4. α) Να βρεθεί η απόσταση του σημείου

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσαματολισμού Β Λσκείοσ

Μαθηματικά προσαματολισμού Β Λσκείοσ Μαθηματικά προσαματολισμού Β Λσκείοσ Ο κύκλος Στέλιος Μιταήλογλοσ wwwaskisopolisgr Κύκλος Εξίσωση κύκλου Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με M x, y του κέντρο το σημείο 0

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης.

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης. Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Ενιαίου Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης B Λυκείου Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Διανύσματα Η θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = π 3 γ) ω = π. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία ε, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ)

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΥΘΕΙΑ Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) 1. Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10)

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ 4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι AB= ( λ, λ+ 1), AΓ = ( 3 λ, λ 1) είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ AΜ= λ, λ α) Να αποδείξετε ότι ( ), όπου λ 0 και λ, και Μ (Μονάδες 7) β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΥΚΛΟ. 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που περνά από τα σηµεία Α(2,0) και Β(0,0) και έχει το κέντρο του στην ευθεία 2x-3y=0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΥΚΛΟ. 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που περνά από τα σηµεία Α(2,0) και Β(0,0) και έχει το κέντρο του στην ευθεία 2x-3y=0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΥΚΛΟ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που περνά από τα σηµεία Α(2,0) και Β(0,0) και έχει το κέντρο του στην ευθεία 2x-3y=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σηµείο Κ(1,2)

Διαβάστε περισσότερα

1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3

1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3 Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = 2π 3 γ) ω = π 2. * Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα εξετάσεων στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Β Λυκείου παλαιοτέρων ετών

Θέματα εξετάσεων στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Β Λυκείου παλαιοτέρων ετών wwwaskisopolisgr Θέματα εξετάσεων στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Β Λυκείου παλαιοτέρων ετών Διανύσματα Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με AB, ΑΓ και ˆΑ 60 Να βρείτε: α) ΑΒ ΑΓ β) Το μέτρο της διαμέσου ΑΔ γ) Τη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β Λυκείου

Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β Λυκείου ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α, Β, όταν α) Α(2, 5), Β(1, -3) β) Α(-3, -5), Β(-5, 7) γ) Α(0, 4), Β(2, -6). 2. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ. Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ) (χ-χ 0

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ. Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ) (χ-χ 0 ΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΟ Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ), y + y = r χ +ψ =ρ Κ(0,0) ρ x x y (χ-χ 0 ) +(ψ-ψ 0 ) =ρ Κ(χ 0,ψ 0 ) ρ (χ-χ 0 ) (χ -χ 0 )+(ψ-ψ 0 ) (ψ-ψ )=ρ Παρατήρηση : Η εξίσωση : χ +ψ

Διαβάστε περισσότερα

4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Έστω τα διανύσµατα u = ( 6, 8) και v = (9, 1) είξτε ότι είναι αντίρροπα Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης που έχει ηµιάξονες τα µέτρα των διανυσµάτων, κέντρο την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε y (1)

Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε y (1) 7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Απόσταση Σημείου από Ευθεία Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση M ( x, y ) ένα σημείο εκτός αυτής Θέλουμε y να υπολογίσουμε την απόσταση d( M, ε) του ε σημείου M από

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

12. Το εμβαδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι ίσο με

12. Το εμβαδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι ίσο με ΓΕΝΙΚΟ ΥΚΕΙΟ ΚΑΤΡΙΤΙΟΥ ΕΠΙΜΕΕΙΑ: Kωνσταντόπουλος Κων/νος Μαθηματικός ΜSc Η ΕΥΘΕΙΑ ΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. ε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής διαφορετικά να

Διαβάστε περισσότερα

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 /

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 / Ευθείες Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr / / 0 8 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 59 ασκήσεις και τεχνικές σε 6 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 1

Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Αναλυτική Γεωμετρία Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 4 Αναλυτική Γεωμετρία 4.1 Εξίσωση Καμπύλης Έστω C μια καμπύλη στο R. H C αποτελείται από άπειρα σημεία Μ(x,y). Έξίσωση μιας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ 1. Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε, αν αυτή έχει εξίσωση: i) y = x- 1 ii) y = 3 5x 5x 6 iii) y iv) x = y + 3 10 v) 18x-6y +

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής 9 3 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ Ορισμός Παραβολής Έστω μια ευθεία δ και ένα σημείο Ε εκτός της δ Ονομάζεται παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου τα οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 /

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 / Ευθείες Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr / / 0 8 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 59 ασκήσεις και τεχνικές σε 6 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο

Διαβάστε περισσότερα

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ...

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (104903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 ΘΕΜΑ 1 ο i) Αν Α( x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δυο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι : x 1 + x x

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω η υπερβολή x y. Να βρείτε Tις ασύµπτωτες και την εκκεντρότητα της υπερβολής. i Tις εφαπτόµενες της υπερβολής που είναι παράλληλες στην ευθεία (ε) : x + y + 0 ii Tο εµβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 8 Παραβολή Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός Παραβολή είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από µια σταθερή ευθεία (δ) που λέγεται διευθετούσα της παραβολής και από

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ [Κεφ..: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνονται οι μιγαδικοί z,w με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστικά θέματα στον κύκλο

Συνδυαστικά θέματα στον κύκλο Συνδυαστικά θέματα στον κύκλο 1. Δίνεται ο κύκλος C που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και διέρχεται από το σημείο Α(-3,4).Να βρείτε : i) εξίσωση του κύκλου ii) την εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Α,

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 7 /

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 7 / Ευθείες Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr / 7 / 8 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 3 ασκήσεις και τεχνικές σε σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο. (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ

ΘΕΜΑ 1. Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο. (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ Ε4 ΘΕΜΑ 1 Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο δ = ( β, α). (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 1. Η απόσταση του 0(0,0) από την x + y + = 0 είναι.. Η εξίσωση y = xy παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου 4 ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (9//4) Θέματα 4 ης Ομάδας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP_4_866 [παράγραφος

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΗΝ ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΝΤΡΙΖΟΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ / ΘΕΜΑ Δίνεται το κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων Οxy θεωρούμε τα σημεία Α, Β, τα οποία έχουν τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης x - (4λ+6μ)x - 005 = 0 και τεταγμένες τις ρίζες της εξίσωσης y + ( 5λ + μ)y

Διαβάστε περισσότερα

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

ΜαθηΜατικα κατεύθύνσησ β λυκείου. επιμέλεια: Βρύσαλησ ΔηΜητρησ

ΜαθηΜατικα κατεύθύνσησ β λυκείου. επιμέλεια: Βρύσαλησ ΔηΜητρησ ΜαθηΜατικα κατεύθύνσησ β λυκείου επιμέλεια: Βρύσαλησ ΔηΜητρησ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΥΘΕΙΑ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΒΡΥΣΑΛΗΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a=

32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a= 32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a= ( xy, ). Να ορίσετε τις έννοιες α)μέτρο του διανύσματος και β) συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος Α2) Να γράψετε τους τύπους

Διαβάστε περισσότερα