BÀI GIẢNG MÔN HỌC : SỨC BỀN VẬT LIỆU

Transcript

1 TRƯỜNG TRUNG Ấ ẦU ĐƯỜNG VÀ ẠY NGHỀ KHO ẦU ĐƯỜNG ÀI GIẢNG ÔN HỌ : SỨ ỀN VẬT LIỆU Giáo viên : Nguễn hú ình ộ môn : ơ sở Hệ đào tạo : Trung cấp ầu đường Thời gian : tháng Số tiết : 0 tiết hương NHỮNG KHÁI NIỆ Ơ ẢN VỀ SỨ ỀN VẬT LIỆU

2 Sức bền vật iệu à một môn học nghiên cứu các phương pháp tính toán về độ bền, độ cứng và độ ổn định của các bộ phận công trình ha chi tiết má dưới tác dụng của ngoại ực, sự tha đổi nhiệt độ... Ở môn học ơ học ý thuết, ta mới ét sự cân bằng của vật thể (em à rắn tuệt đối) dưới tác dụng của hệ ực phẳng. Nhưng thực tế,các vật thể mà ta khảo sát, nghiên cứu đều à vật rắn thực, điều đó bắt buộc ta phải ét đến sự biến dạng của vật thể trong quá trình chịu tác dụng của hệ ực (bên ngoài). Trong phạm vi môn học nà, sẽ giới thiệu một số khái niệm cơ bản về ngoại ực, nội ực... và các giả thiết nhằm đơn giản cho việc nghiên cứu và tính toán... Những khái niệm cơ bản về ngoại ực, nội ực, ứng suất, biến dạng... ác giả thiết đối với vật iệu ôn học Sức bền vật iệu, đối tượng mà ta nghiên cứu khảo sát vật rắn thực: đó à một thanh, một cấu kiện ha một bộ phận công trình nào đó. Thường hình dạng của vật rắn thực được nghiên cứu có dạng thanh thẳng, thanh cong hoặc thanh bất kỳ (hình.). Vật iệu cấu tạo nên thanh có thể à thép, gang... Tu vậ, khi nghiên cứu nếu ét đến mọi tính chất thực của vật thể sẽ phức tạp, do đó để đơn giản chúng ta chỉ những tính chất cơ bản và ược bỏ đi những tính chất thứ ếu không có ảnh hưởng ớn đến kết quả nghiên cứu và tính toán. uốn vậ, chúng ta phải đề ra các giả thiết cơ bản, nêu ên một số tính chất chung cho vật iệu. ác giả thuết về vật iệu à: a) Giả thiết : Vật iệu có tính iên tục, đồng chất và đẳng hướng. ột vật iệu được em à iên tục và đồng chất khi trong thể tích của vật thể đều có vật iệu (hoàn toàn không có khe hở) và tính chất của vật iệu ở mọi điểm trong vật thể đều như nhau. Tính đẳng hướng của vật iệu nghĩa à tính chất của vật iệu theo mọi phương đều như nhau. Giả thiết nà phù hợp với thép, đồng còn với gạch, đá, gỗ thì không hoàn toàn phù hợp. b) Giả thiết : Giả thuết vật iệu àm việc trong giai đoạn đàn hồi và tính đàn hồi của vật iệu em à đàn hồi tuệt đối. Trong thực tế, dù ực bé đến đâu, vật iệu cũng không có tính đàn hồi tuệt đối. Song qua thực nghiệm cho thấ: khi ực chưa vượt quá một giới hạn nhất định thì biến dạng dư trong vật thể à bé nên có thể bỏ qua được và biến dạng của vật thể được em à tỷ ệ thuận với ực gâ ra biến dạng đó. Giả thuết nà chính à nội dung định uật Húc. Thực tế giả thuết nà chỉ phù hợp với vật iệu à thép, đồng c) Giả thiết : iến dạng của vật thể do ngoại ực gâ ra được em à bé. Giả thiết nà thừa nhận được vì trong thực tế biến dạng của vật thể so với kích thước của chúng nói chung à rất nhỏ. Từ giả thiết nà, trong quá trình chịu ực, trong nhiều trường hợp, ta có thể em điểm đặt của ngoại ực à không tha đổi khi vật thể bị biến dạng.... ác khái niệm về ngoại ực, nội ực, phương pháp mặt cắt H nh.

3 T i träng a) Ngoại ực: Ngoại ực à ực tác động từ những vật thể khác hoặc môi trường ung quanh m q ên vật thể đang ét. Ngoại ực bao gồm: Lực tác động (còn gọi à tải trọng) và phản ực iên kết (em hình.). h n ùc ó thể phân oại ngoại ực theo nhiều cách, ở đâ ta phân oại ngoại ực theo hai cách: H nh. - Theo cách tác dụng của các ngoại ực: có «men tëp trung m Lùc tëp trung thể chia ngoại ực thành hai oại: tập trung và ực phân bố. + Lực tập trung: à ực tác dụng ên vật thể trên một diện tích truền ực rất bé so với kích H nh. thước của vật thể, nên ta coi như một điểm trên q=const vật. Ví dụ: Áp ực của bánh e ửa trên đường a) ra à một ực tập trung. Lực tập trung có thể à ực đơn vị Niutơn (N), hoặc ngẫu ực (ha q=f() mômen tập trung), đơn vị của mômen tập trung à Niutơn mét (Nm). b) ách biểu diễn ực tập trung và mômen tập trung (em hình.). H nh. + Lực phân bố: à ực tác dụng iên tục trên một đoạn dài ha trên một diện tích truền ực nhất định trên vật thể. Ví dụ: Áp ực gió ên tường biên của nhà à phân bố theo diện tích. Lực phân bố theo chiều dài có đơn vị N/m. Lực phân bố theo diện tích có đơn vị N/m. Lực phân bố có trị số bằng nhau tại mọi điểm (được gọi à ực phân bố đều hình.a) hoặc không bằng nhau (được gọi à ực phân bố không đều) (hình. b). - Theo tính chất tác dụng (về thời gian) của tải trọng có thể chia ngoại ực thành hai oại: tải trọng tĩnh và tải trọng động. + Tải trọng tĩnh à tải trọng khi tác dụng ên vật thể có trị số tăng dần từ không đến một giá trị nhất định và sau đó không tha đổi (hoặc tha đổi rất ít). Ví dụ: Trọng ượng của mái nhà, áp ực của nước ên thành bể. +Tải trọng động à oại tải trọng, hoặc có giá trị tha đổi trong thời gian rất ngắn từ giá trị không đến giá trị cuối cùng hoặc àm cho vật thể bị dao động. Ví dụ: Lực của búa má đóng vào đầu cọc, động đất b) Nội ực: Trong một vật thể giữa các phân tử có các ực iên kết để giữ cho vật thể có hình dạng nhất định. Khi ngoại ực tác dụng, các ực iên kết đó sẽ tăng ên để chống ại sự biến dạng do ngoại ực gâ ra. Độ tăng đó của ực iên kết được gọi à nội ực. Như vậ, nội ực chỉ uất hiện khi có ngoại ực đó. Nhưng do tính chất cơ học của vật iệu, nội ực chỉ tăng đến một trị số nhất định nếu ngoại ực tăng quá ớn, nội ực không tăng được nữa, úc nà vật iệu bị biến dạng quá mức và bị phá hỏng. Vì vậ, việc ác định nội ực phát sinh trong vật thể khi chịu tác dụng của ngoại ực à một vấn đề cơ bản của SVL. c) hương pháp mặt cắt: Giả sử có một vật thể cân bằng dưới tác dụng ngoại ực, tưởng tượng dùng một mặt phẳng cắt vật thể đó ra hai phần và (hình.5a). Giả sử bỏ đi phần, giữ ại phần để ét. Rõ ràng để phần được cân bằng, thì trên mặt cắt phải có hệ ực phân bố. Hệ ực nà chính à những nội ực cần tìm (hình.5b).

4 Hệ nội ực đó chính à của phần tác dụng ên phần. Từ đâ ta có thể su rộng ý nghĩa của nội ực à: Nội ực à ực tác động của bộ phận nà ên bộ phận kia của vật thể. a) b) c) H nh.5 ựa vào khái niệm đó và căn cứ vào nguên ý tác dụng và phản tác dụng, trên mặt cắt phần cũng có nội ực: đó chính à ực tác dụng của phần ên phần. Nội ực trên mặt cắt phần và phần có trị số bằng nhau, cùng phương nhưng ngược chiều, vì vậ khi tính nội ực, tù ý có thể ét một trong hai phần vật thể. ặt khác, vì phần (hoặc phần ) cân bằng nên nội ực và ngoại ực tác dụng ên phần đó tạo thành một hệ ực cân bằng. ăn cứ vào điều kiện cân bằng tĩnh học của phần đang ét ta có thể tính được nội ực đó. Trong trường hợp vật thể đàn hồi à một thanh, mặt cắt được ét à mặt cắt ngang thì khi ta thu gọn hợp ực của hệ nội ực về trọng tâm O của mặt cắt, sẽ cho ta một ực R và một mômen o. Nói chung R và o có phương, chiều bất kỳ trong không gian. Ta phân tích R thành ba thành phần (hình.6), thành phần trên trục gọi à ực dọc và ký hiệu à N, các thành phần trên trục và gọi à ực cắt và ký hiệu à Q, Q ; mômen O cũng được phân tích thành ba thành phần qua chung quanh ba trục à,,. ác mômen:, được gọi à mômen uốn và được gọi à mômen oắn. Sáu thành phần đó được gọi à sáu thành phần của nội ực. ùng các phương trình cân bằng tĩnh học ta có thể ác định được các thành phần nội ực đó theo các ngoại ực. Với các phương trình hình chiếu ên các trục toạ độ: = 0; =0; = 0 ta tìm được N, Q, Q. Với các phương trình mômen đối với các trục toạ độ: = 0; = 0; = 0 ta tìm được,,. Ta thường gặp tải trọng nằm trong mặt phẳng đối ứng O. Khi đó các thành phần nội ực: Q = 0, = 0, = 0. Như vậ trên các mặt cắt úc nà chỉ còn thành phần nội ực N,Q và. Như vậ phương pháp mặt cắt cho phép ta ác định được các thành phần nội ực trên mặt cắt ngang bất H nh.6 kỳ của thanh khi thanh chịu tác dụng của ngoại ực. ần chú ý rằng nếu ta ét sự cân bằng của một phần nào đó thì nội ực trên mặt cắt có thể coi như ngoại ực tác dụng ên phần đó... Ứng suất ăn cứ vào giả thuết cơ bản về sự iên tục của vật iệu, ta có thể giả định nội ực phân bố iên tục trên toàn mặt cắt, để biết sự phân bố nội ực ta hã đi tìm trị số của nội ực tại một điểm nào đó trong vật thể. a) b) Q Q N 6 5

5 Giả sử tại điểm K chẳng hạn, ung quanh điểm K ấ một diện tích khá nhỏ. Hợp ực của nội ực trên diện tích à. Ta có tỷ số: tb được gọi à ứng suất trung bình tại K. Khi cho 0 thì Δ Δ tb tb và được gọi à ứng suất tại K, còn gọi à ứng suất toàn phần. Như vậ: ứng suất toàn phần tại tại điểm bất kỳ trên mặt cắt à tỷ số giữa trị số nội ực tác dụng trên phân tố diện tích bao quanh điểm K đó với chính diện tích đó. Đơn vị của ứng suất à: N/m ; kn/m ; N/m. Từ định nghĩa trên ta có thể em ứng suất toàn phần à trị số nội ực trên một đơn vị diện tích. iểu diễn ứng suất toàn phần bằng một véc tơ đi qua điểm đang ét trên mặt cắt: - hân ứng suất toàn phần ra thành hai thành phần: ứng suất thành phần có phương tiếp tuến với mặt cắt được gọi à ứng suất tiếp, ứng suất thành phần có phương vuông góc với mặt cắt được gọi à ứng suất pháp (hình.7). Ứng suất tiếp ký hiệu à (đọc à tô). Ứng suất pháp ký hiệu à (đọc à ích ma). Nếu à góc hợp bởi ứng suất toàn phần và phương pháp tuến thì: =.cos ; = sin;... ác oại biến dạng: a) Vật thể khảo sát (dưới dạng thanh) à vật rắn thực. ưới tác dụng của ngoại ực, vật rắn có biến dạng ít ha nhiều. Trong mục nà ta ét các biến dạng của vật rắn thực (thanh) khi chịu tác dụng b) của ực. Khi thanh chịu tác dụng của những ực đặt dọc H nh.8 theo trục thanh thì thanh bị giãn ra ha co ại. Ta gọi thanh chịu kéo ha nén (hình.8). Trong quá trình biến dạng trục thanh vẫn thẳng (đường đứt nét biểu diễn hình dạng của thanh sau khi biến dạng). Khi thanh chịu tác dụng của các ực vuông H nh.9 góc với trục thanh, trục thanh bị uốn cong, ta gọi thanh chịu uốn (hình.9). a) ó trường hợp, dưới tác dụng của ngoại ực, một phần nà của thanh có u hướng trượt trên phần khác. iến dạng trong trường hợp nà gọi à biến dạng trượt. Ví dụ: Trường hợp chịu ực của đinh tán (hình.0). b) Khi ngoại ực nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục thanh và tạo thành các ngẫu ực H nh.0 trong mặt phẳng đó thì àm cho thanh bị oắn (hình.). Sau biến dạng các đường sinh ở bề m mặt ngoài trở thành các đường oắn ốc. Ngoài các trường đơn giản đó, trong thực tế H nh. còn gặp nhiều trường hợp chịu ực phức tạp. iến dạng của thanh có thể vừa kéo đồng thời vừa uốn, d vừa oắn. Xét biến dạng một phân tố trên một thanh biến dạng, tách ra khỏi thanh một phân tố hình a) b) H nh.7 m d+d H nh.

6 hộp rất bé. iến dạng của phân tố có thể ở một trong các dạng sau: - Nếu trong quá trình biến dạng mà góc vuông của phân tố không tha đổi, chỉ có các cạnh của phân tố bị co giãn, ta nói phân tố có biến dạng kéo hoặc nén (hình.a). - Nếu trong quá trình biến dạng, các cạnh của phân tố không tha đổi nhưng các góc vuông của phân tố bị tha đổi không vuông góc nữa, ta nói phân tố có biến dạng trượt (hình.b). Gọi à độ tha đổi của góc vuông thì được gọi à góc trượt. Với một vật thể bị biến dạng dưới tác dụng của ngoại ực, nói chung các điểm trong òng vật thể không còn ở vị trí cũ nữa, mà chúng dời đến một vị trí mới nào đó. Độ chuển dời đó gọi à chuển vị... Nguên ý độc ập tác dụng Nội dung của nguên ý độc ập tác dụng: Kết quả tác dụng gâ ra do một hệ ực thì bằng tổng kết quả gâ ra do từng ực trong hệ đó tác dụng một cách riêng biệt. Thí dụ: Xét dầm trên hình.. ưới tác dụng của ực, điểm có độ chuển dời. Sơ đồ a) chịu ực của dầm có thể phân thành hai sơ đồ chịu ực: - Với sơ đồ dầm chỉ chịu tác dụng của thì độ dịch chuển của điểm à. a b c - Với sơ đồ dầm chỉ chịu tác dụng của thì độ dịch chuển của điểm à. b) Theo nguên ý độc ập tác dụng thì: = +. * hú ý: Nguên ý độc ập tác dụng của các ực c) chỉ sử dụng được trong điều kiện vật iệu tuân theo giả thiết và. ÂU HỎI HƯƠNG H nh.. Nêu những giả thiết cơ bản về vật iệu của môn học SVL? Nguên ý độc ập tác dụng của ực?. Ngoại ực, nội ực à gì? hân oại chúng như thế nào?. Ứng suất à gì? ó mấ oại ứng suất? Đơn vị của ứng suất?. Trình bà phương pháp mặt cắt để ác định nội ực?

7 hương ĐẶ TRƯNG HÌNH HỌ Ủ TIẾT IỆN.. Khái niệm ban đầu Xét hai trường hợp chịu uốn của một thanh như trên hình vẽ (hình.). ằng trực giác ta dễ dàng nhận thấ rằng: nếu tác dụng ực như hình vẽ.a thanh sẽ có khả năng chịu ực ớn hơn cách tác dụng ực như trường hợp trên hình vẽ.b. Như vậ ở đâ khả năng chịu ực của thanh còn tuỳ thuộc vào phương tác dụng của ực đối với mặt cắt.. o vậ, ngoài đặc trưng hình học à diện tích mặt cắt của thanh, còn có những đặc trưng hình học khác của mặt cắt ngang. Trong chương nà chúng ta sẽ nghiên cứu các đặc trưng hình học nói trên.. ômen tĩnh của hình phẳng Giả sử có một hình phẳng có diện tích nằm trong mặt phẳng của hệ trục toạ độ O (hình.). H nh. Xét một vi phân diện tích d có toạ độ à,. Nếu ấ tích phân biểu thức d và d trên toàn bộ diện tích ta được: S d (.) S d S, S gọi à mômen tĩnh của hình phẳng có d diện tích đối với trục O, O. Nếu dùng đơn vị diện tích à m, chiều dài à m thì đơn vị của mômen tĩnh à m. O Nếu biết được diện tích của hình và toạ độ trọng tâm của nó đối với hệ trục O ta có: H nh. d d c c (.) Trong đó: c, c à toạ độ trọng tâm của hình phẳng ha khoảng cách (có mang dấu) từ trọng tâm của hình đến các trục toạ độ O, O. - à diện tích của hình. o đó ta có thể viết: S S a) b) (.)

8 Từ (.) có thể rút ra công thức ác định toạ độ trọng tâm của hình phẳng: S c (.) S c Khi = = 0 tức à trục và trục đi qua trọng tâm của hình thì S = S = 0. ho nên mômen tĩnh của diện tích hình phẳng đối với trục bất kỳ đi qua trọng tâm của nó uôn bằng không. Người ta gọi trục đi qua trọng tâm của hình à trục trung tâm. Giao điểm của hai trục trung tâm thì được gọi à trọng tâm của mặt cắt. ômen tĩnh của hình phẳng có thể có dấu (+) hoặc (-) tuỳ thuộc vào dấu của toạ độ trong các công thức (.), (.). hú ý: Khi tính mômen tĩnh của hình phẳng có dạng phức tạp, ta chia hình đó ra thành nhiều hình đơn giản, sau đó ấ tổng đại số các mô men tĩnh của các hình đơn giản hợp thành... ômen quán tính của hình phẳng... ác định nghĩa về mômen quán tính Giả sử có một hình phẳng có diện tích, một hệ trục O đi qua trọng tâm của hình (hình.). - Nếu ấ tích phân biểu thức d, d trên toàn bộ diện tích của hình ta được: d (.5) d, gọi à mômen quán tính của hình phẳng có diện tích đối với trục O và O. - Nếu ấ tích phân biểu thức..d trên toàn bộ diện tích của hình, ta có: d (. 6) gọi à mômen quán tính tâm của hình phẳng có diện tích đối với hệ trục O. Gọi à khoảng cách từ vi phân diện tích d đến điểm O (gốc toạ độ) nằm trong mặt phẳng của hình (hình.). Lấ tích phân biểu thức ρ d trên toàn bộ diện tích, ta được: 0 ρ d ( 7) 0 gọi à mômen quán tính độc cực của hình phẳng đối với điểm O. Theo hình. ta có: ρ (.8) 0 ρ d ( )d d d Tha.8 vào.7 ta có: Ha à: 0 (.9) Vậ: ômen quán tính độc cực của hình phẳng bằng tổng các mômen quán tính của hình phẳng đối với hai trục vuông góc giao nhau tại điểm đó. Đơn vị của các oại mômen quán tính kể trên à m. ác oại mômen quán tính đối với một trục (, ) ha đối với một điểm ( 0 ) uôn uôn có dấu dương vì trong các biểu thức định nghĩa của chúng ta có các bình phương khoảng cách, và. òn mômen quán tính tâm ( ) có thể có dấu dương hoặc âm tuỳ thuộc vào dấu các toạ độ, và do đó có thể bằng 0.

9 hú ý: Khi ác định mômen quán tính của các hình có dạng phức tạp, ta cũng chia hình thành các hình đơn giản để tính, sau đó cộng các mômen quán tính của hình đơn giản hợp thành.... Trục quán tính chính trung tâm Nếu mômen quán tính tâm của một hình đối với một hệ trục O bằng không thì ta gọi hệ trục O à hệ trục quán tính chính, gọi tắt à hệ trục chính: = 0 Người ta cũng chứng minh được rằng với hệ trục quán tính chính O, mômen quán tính của hình phẳng đối với một trong hai trục đó à cực đại ( ma ) còn đối với trục kia à cực tiểu ( min ) so với bất kỳ trục nào khác, đi qua gốc O của hệ trục. Nếu hệ trục chính có gốc trùng với trọng tâm hình phẳng thì được gọi à hệ trục quán tính chính trung tâm. Hệ trục quán tính chính trung tâm à hệ trục mômen tĩnh và mômen quán tính tâm uôn bằng không: S S 0 0 ômen quán tính của hình phẳng đối với hệ trục chính trung tâm gọi à mômen quán tính chính trung tâm. ác hình phẳng có ít nhất một trục đối ứng thì rất dễ dàng ác định được hệ trục quán tính chính trung tâm. Hệ trục chính trung tâm đó gồm trục đối ứng và trục trung tâm vuông góc với trục đối ứng. Ta chứng minh điều nà: Giả sử có hình chữ T (hình.) có trục đối ứng, trục trung tâm vuông góc với đi qua trọng tâm O của hình. Nếu d d em hình đã cho ghép bởi hai hình và thì mômen quán tính tâm của toàn hình à: Trong đó:, à mômen quán tính tâm của hình và đối với hệ trục O. Ta ét phân tố đối ứng d. Trên mỗi phần và, tung độ của phân tố có cùng trị số và dấu. Hoành độ của phân tố có cùng trị số dấu nhưng ngược dấu. o đó sau khi thực hiện tích phân..d theo công thức (.6) trong mỗi phần và được: H nh.. Vậ: 0 ặt khác trọng tâm O của mặt cắt nằm trên trục đối ứng nên từ O nếu vẽ trục vuông góc với trục, ta sẽ có hệ trục O à hệ trục quán tính chính trung tâm của hình chữ T. Đó à điều phải chứng minh. Nếu một hình phẳng có hai hoặc nhiều trục đối ứng thì từ kết quả ta có thể su ra rằng hai trục đối ứng vuông góc với nhau tạo thành một hệ trục quán tính chính trung tâm. Để giải quết các bài toán sau nà về chịu ực của thanh ta cần phải biết các trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt thanh. Trong thực tế thường gặp những mặt cắt có trục đối ứng, còn mặt cắt không trục đối ứng thì ít gặp, nên việc ác định hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt thường dễ dàng hơn. O... ômen quán tính của một số hình đơn giản a. Hình chữ nhật:

10 ột hình chữ nhật có chiều dài à h, chiều rộng à b. Hệ trục quán tính chính trung tâm à O, trong đó trục song song với cạnh b, trục song song với cạnh h (hình.). Ta tính mômen quán tính trung tâm. Theo công thức định nghĩa, ta có: d d Xét một vi phân diện tích d giới hạn bởi hai đường song song với trục và cách nhau bởi một đoạn d. iện tích của nó O à: d b.d Áp dụng công thức.5, ta được: d = h h bd b h/ h/. Vậ: h h/ h/ bh (.) Đó à công thức tính mômen quán tính chính trung tâm của hình chữ nhật đối với trục trung tâm. ằng phương pháp tương tự, ta tính được mômen quán tính của hình chữ nhật đối với trục trung tâm : hb = (.) b H nh. d b. Hình tam giác: ó một hình tam giác, cạnh đá à b, chiều cao h, hệ trục O, trong đó trục song song với cạnh đá b và đi qua trọng tâm của tam giác (hình.5). Để tính ta ấ vi phân diện tích d à dải phân tố song song với trục, có chiều dà d, với: d = b.d b h Trongđó : b h b. b h h b h Tha vào, ta có: d = b d = d h Áp dụng công thức.5 ta được : d h h b h b h d h h 9 bh (.) 6 Đó à công thức tính mômen quán tính của hình tam giác đối với trục trung tâm song song với cạnh đá b. d c. Hình tròn: d h h b d b H nh.5 d O d h/ h h/ H nh.6

11 Để đơn giản, ta tính mômen quán tính của hình tròn đối với điểm (chính à trọng tâm mặt cắt), theo định nghĩa : 0 ρ d Trong đó chọn d à hình được giới hạn bởi hai đường tròn có bán kính:, ( + d) và hai đường bán kính ập với trục góc, ( d ) như hình.6. Ta có: d ρ.d.dρ ρ.dρ.d R π ρ. ρdρ.d Khai triển biểu thức tích phân, ta có: π 0 0, (.) Vì tính đối ứng của hình tròn, ta có =. Ta có: 0 = + Su ra: = = R 0,05 6 (.5) o đó, khi trục trung tâm thẳng góc với trục, ta có: =. Vậ theo công thức (.9): 0 = + = 0 = R 0, (.6) (.6) à công thức tính mômen quán tính độc cực của hình tròn. d. Hình vành khăn ômen quán tính của hình vành khăn đối với trục trung tâm bất kỳ của hình bằng hiệu của mômen quán tính của hình tròn có đường kính ớn với mômen quán tính của hình tròn có đường kính nhỏ, tức à: R r = π R π ( η ) ( η ) 6 0,05 ( η ) (.7) O Trong đó: à tỷ số giữa hai bán kính hoặc tỷ số giữa hai đường r d kính nhỏ và ớn: R d=r ằng phương pháp tương tự như trên, ta chứng minh được công =R thức tính mômen độc cực của hình vành khăn đối với trọng tâm của hình: H nh.7 R 0 = ( ) ( ) 0, ( ) (.8)... ômen quán tính với các trục song song Ở đâ ta sẽ nghiên cứu cách tính mômen quán tính của hình phẳng đối với trục song song với trục trung tâm của hình, mà đối với trục đó, ta đã biết trước mômen quán tính của hình. Xét một hình phẳng có diện tích. Hệ trục O, O vuông góc đi qua trọng tâm O của hình.

12 Hệ trục O song song với hệ trục O. Khoảng cách giữa các trục song song và à a, giữa và à b. Xét vi phân diện tích d có toạ độ, và, (hình.8). ác toạ độ có iên hệ sau: b (.9) a Theo công thức định nghĩa của mômen quán tính (.5) đối với hệ trục O ta có: d (.0) Tha bằng biểu thức của nó trong (.0) và ấ tích phân : ( a) d ( a a)d (.) d a d a (.) ăn cứ vào công thức (.) và (.), ta có thể viết: a as (.) Vì trục à trục trung tâm, do đó S = 0, do đó : a (.) Với phương pháp tương tự như trên, ta sẽ được: b (.5) d * hú ý ác công thức (.) và (.5) chỉ dùng được khi trục và đi qua trọng tâm của hình. Từ (.) và (.5) ta có thể phát biểu như sau: ô men quán tính của một hình phẳng đối với một trục bất kỳ bằng mô men quán tính của hình đối với trục trung tâm song song với nó cộng với tích của diện tích của hình với bình phương khoảng cách hai trục. ác công thức (.) và (.5) gọi à công thức chuển trục song song húng rất tiện dùng để tính mômen quán tính của các hình phức tạp do bởi nhiều hình đơn giản (chữ nhật, tròn ) ghép ại. * hú ý: Ta thấ uôn uôn ớn hơn vì số hạng thứ hai trong công thức bao giờ cũng mang dấu dương, cho nên đối với một hệ trục song song mômen quán tính của hình phẳng đối với trục trung tâm à mômen quán tính nhỏ nhất... án kính quán tính án kính quán tính của hình phẳng đối với trục, trục được định nghĩa bằng biểu thức: i (.6) i Trong đó: i, i à bán kính quán tính của hình phẳng đối với trục O, O., à mômen quán tính của hình phẳng đối với trục O, O - à diện tích của hình phẳng. Nếu O à hệ trục chính trung tâm của hình phẳng thì i, i gọi à bán kính chính trung tâm của hình đó. Đơn vị của i, i à cm, dm, m. O b O a d H nh.8

13 Trên đâ ta đã có công thức tính mômen quán tính của các hình đơn giản nếu chia các mômen quán tính đó cho các diện tích tương ứng của mỗi hình, ta được bán kính quán tính của: - Hình chữ nhật đối với các trục chính trung tâm, : bh i h 0,89h (,7) bh b h i b 0,89b bh - Hình tròn với các trục chính trung tâm : πr R i (.8) ππ.5. ôđun chống uốn của mặt cắt ôđun chống uốn của mặt cắt đối với trục và được định nghĩa bằng biểu thức : W ma (.9) W ma Trong đó : W, W à mô đun chống uốn đối với các trục và., à mô men quán tính của mặt cắt đối với hai trục và ma, ma à khoảng cách từ những điểm a nhất ở về hai phía của mặt cắt đối với trục và. Đơn vị của môđun chống uốn à m. ưới đâ à trị số môđun chống uốn của một số mặt cắt thường gặp:.5.. ặt cắt hình chữ nhật - ô đun chống uốn đối với trục : Ta thấ những điểm thuộc cạnh và có khoảng cách tới trục ớn nhất: h bh bh bh ma với nên: W h ma 6 O bh W (.0) 6 - ô đun chống uốn với trục : b/ b/ Ta cũng thấ các điểm thuộc cạnh và có khoảng cách tới trục ớn nhất, nghĩa à: b b hb ma và. hb hb hb o đó ta cũng có : W W (.) b ma ặt cắt hình tròn: Đối với mặt cắt hình tròn ta có : h h/ h/ H nh.9

14 π và ma 6 π π Nên: W ma 6 π W W 0, (.) Ở cuối giáo trình nà có giới thiệu những đặc trưng hình học của các oại thép hình (thép dát) sản uất theo qu phạm..6. Thí dụ tính toán O H nh.0 - Ví dụ : Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm và mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt trên hình.. ác kích thước trên hình vẽ tính bằng miimet (mm). - ài giải: Trước hết ta phải ác định trọng tâm của mặt cắt. Ta thấ mặt cắt có một trục đối ứng, do đó trọng tâm của mặt cắt sẽ nằm trên. Ta chia mặt cắt ra àm hình chữ nhật I, II, III và chọn trục o nằm ngang đi qua trọng tâm của hình I. Từ công thức.: I II III S S S S I c. Ta có: ômen tĩnh của hình I à S I 0 o= 0. O ômen tĩnh của hình II và III à: S II o = S III o = (-9) = -78 (cm ). - iện tích mặt cắt: = I + II + III = + = (cm ). - Tung độ c của trọng tâm bằng: II III ( 78) 5,7 cm. 0 0 Tung độ c có dấu (-) nghĩa à trọng tâm của mặt cắt nằm trên trục, về phía dưới trục o cách trục o một 0 khoảng c = 5,7 cm. H nh. Qua kẻ trục thẳng góc với trục hệ trục à hệ trục quán tính trung tâm cần tìm. ô men quán tính chính trung tâm của mặt cắt à và. Ta có: = I + II + III Trong đó: I, II, III à mômen quán tính của hình I, II, III đối với trục. Vì trục không đi qua trọng tâm hình I, II, III nên áp dụng công thức chuển trục song song, ta được: I (-5,7) 65 cm II III (9 5,7) 8 cm o đó mômen quán tính của toàn bộ mặt cắt đối với trục trung tâm à: = = 9 cm Tính toán tương tự như trên đối với trục trung tâm, ta cũng có: = I + II III + Trong đó: I 576 cm 0 0

15 II III (,5 ) 88 cm o đó: = = 0 cm * Ta cũng có thể tính bằng phương pháp khác: oi mặt cắt gồm một hình chữ nhật và một hình chữ nhật rỗng EGH (hình.). Ta tính được: = I II - I à mômen quán tính của hình chữ nhật. I 8 59 cm II à mômen quán tính của hình chữ nhật EGH II (8 ) ( 6) 5 cm o đó: cm Vậ: ma = = 9 cm ; min = = 0 cm G E H H nh. - Thí dụ : Tính mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt ghép bởi hai thép hình chữ [ số hiệu 6 như hình.. iết khoảng cách giữa hai thép [ à d = cm. - ài giải: Thép N 0 6 tra bảng phụ ục ta có: - Toạ độ trọng tâm o =,79 cm. 0 - iện tích mặt cắt à 8 cm. - ômen quán tính đối với trục trung tâm à 7 cm và đối với trục o à 6,6 cm. 0 I II ô men quán tính chính trung tâm đối với trục à. Đâ à hình ghép nên ta có: = I + II Vì hình I và hình II đều à thép chữ số hiệu như nhau và trục đi qua trọng tâm hình I và hình II, do đó ta có: O I = ĩi = o = 7 cm d 0 = o = 7 = 8 cm Tương tự như trên ta cũng có: = I + II H nh. I = II = o + b 6,6 (,79) 8 cm. Vậ mômen quán tính chính trung tâm của toàn mặt cắt đối với trục à: = = 6 cm - Thí dụ : Hã tính bán kính quán tính và môđun chống uốn đối với trục của mặt cắt chữ I trên hình.. Kích thước trên hình ấ bằng cm. - ài giải: Trước hết ta tính mômen quán tính của mặt cắt đối với trục : hia mặt cắt ra àm ba hình: I, II, III, ta có: = I + II + III,(6) + ômen quán tính của I: 665,6 cm + ômen quán tính của hình II và III: Từ hình vẽ ta thấ hình II và III đối ứng nên có diện tích bằng nhau, vì vậ: II = III 6() = (8 ) cm. 6 I 8. H nh. II III 8

16 o đó: = 665, = 56697,6 cm. - án kính quán tính của mặt cắt đối với trục. Áp dụng công thức: i, với: = + + = 6, + 6 = 87, cm ,6 o đó : i 7, cm ha i = 0,7 m. 87, - ôđun chống uốn đối với trục : 0 Áp dụng công thức: W, trong đó: ma 0 cm. ma 56697,6 o đó: W 8,88 cm. 0 ma ÂU HỎI VÀ ÀI TẬ HƯƠNG. Nêu đặc trưng hình học của hình phẳng. Viết công thức định nghĩa của chúng và cho biết các đơn vị thường dùng của các đại ượng,, 0, S, S.. Thế nào à trục trung tâm, trục chính, hệ trục chính trung tâm? ho ví dụ?. ô men quán tính trung tâm à gì?. hứng minh công thức chuển trục song song để ác định mô men quán tính của hình phẳng. 5. Tính mômen quán tính chính trung tâm của các mặt cắt cho như hình vẽ.5. iết kích thước trên hình vẽ à mm. 6. ột mặt cắt có hình dạng và kích thước (mm) như hình.6. Hã ác định: - ô men quán tính và mô men tĩnh với trục. - ô men quán tính chính trung tâm,? 7. ho mặt cắt ngang hình chữ T, kích thước (cm) như hình vẽ.7. Xác định hệ trục quán tính trung tâm của hình phẳng. Xác định mô men quán tính. Xác định mô men tĩnh của hình phẳng S. 8. Thanh ghép gồm hai thép [0 (hình.8). Xác định khoảng cách a để mặt cắt có hai mô men quán tính chính trung tâm bằng nhau ( = ) H nh H nh.6 0 a) b) 8 8 H nh.7 H nh.8 a a

17 hương. KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂ.. Khái niệm về kéo (nén) đúng tâm, ực dọc và biểu đồ ực dọc... Khái niệm về kéo ( nén) đúng tâm Trong chương nà ta sẽ nghiên cứu trường hợp chịu ực đơn giản nhất của thanh thẳng à khi a) thanh chịu kéo hoặc nén đúng tâm. Khi ta tác dụng vào các đầu thanh hai ực song song ngược chiều, có phương trùng với b) phương của trục thanh và có trị số giống nhau, ta H nh. sẽ có: - Hoặc thanh chịu kéo đúng tâm nếu ực hướng ra khỏi mặt cắt (hình.a). - Hoặc thanh chịu nén đúng tâm nếu ực hướng vào mặt cắt hình (.b). Từ đó ta có định nghĩa: Thanh chịu kéo (nén) đúng tâm khi trên mọi mặt cắt ngang của thanh chỉ có một thành phần ực dọc N. ưới đâ ta sẽ nghiên cứu nội ực phát sinh trong thanh chịu kéo (nén) đúng tâm.... Lực dọc - biểu đồ ực dọc a). Lực dọc: Giả sử ét một thanh chịu kéo đúng tâm bởi ực. Để tính nội ực tại mặt cắt bất kỳ của thanh ta thường dùng phương pháp mặt cắt (hình.). Tưởng tượng cắt thanh tại mặt cắt -, ét cân bằng phần. uốn cho phần cân bằng, thì hợp các nội ực trên mặt phải à nội ực N đặt tại trọng tâm mặt cắt và trùng với trục thanh. Lực N đó gọi à ực dọc. Trị số ực dọc N được ác định từ điều kiện cân a) bằng tĩnh học của phần (hoặc phần ), à tổng hình chiếu của các ực tác dụng ên phần đang ét uống phương trục thanh (trục ) phải bằng không: N b) H nh.

18 = - + N = 0 ha N =. ấu của ực dọc được qu ước như sau: - N mang dấu dương (+) khi nó à ực kéo (N có chiều hướng ra ngoài mặt cắt). - N mang dấu âm (-) khi nó à ực nén (N có chiều đi vào mặt cắt). Từ trường hợp ét trên ta có trình tự ác định ực dọc N theo phương pháp mặt cắt như sau: + ùng mặt cắt tưởng tưởng cắt thanh thành hai phần, giữ ại phần đơn giản để ét. + Từ điều kiện cân bằng tĩnh học chiếu các ực đang ét uống theo phương trục thanh (trục ) phải bằng 0. Từ đó ta ác định được N. Nếu kết quả tính được à dương thì đó à ực kéo ngược ại à ực nén. b). iểu đồ ực dọc: Để biểu diễn sự biến thiên ực dọc tại các mặt cắt dọc theo trục thanh, ta vẽ một đồ thị gọi à biểu đồ ực dọc N. Vậ: iểu đồ ực dọc à đường biểu diễn sự biến thiên ực dọc tại các mặt cắt dọc theo trục thanh. Sau khi đã tính được ực dọc tại các mặt cắt khác nhau ta tiến hành vẽ biểu đồ ực dọc. Để vẽ biểu đồ ực dọc thường chọn trục hoành song song với trục thanh (ha còn gọi à đường chuẩn), còn nội ực biểu thị bằng đường vuông góc với trục hoành (trục ). Trình tự, cách vẽ biểu đồ ực dọc như sau: - hia thanh thành các đoạn bằng cách ấ điểm đặt ực tập trung, điểm đầu và cuối tải trọng phân bố àm ranh giới phân chia đoạn. - Trên mỗi đoạn viết một biểu thức ác định nội ực theo hoành độ : N =f(), căn cứ vào các biểu thức trên ta vẽ được biểu đồ cho từng đoạn. Nếu: N = const biểu đồ à đoạn thẳng song song với trục, N à hàm bậc nhất (khi q= const) thì biểu đồ à đường thẳng iên... Ứng suất trên mặt cắt ngang.. Ứng suất trên mặt cắt ngang Để tính ứng suất trên mặt cắt, trước hết ta khảo sát biến dạng của thanh khi chịu kéo hoặc nén đúng tâm. Xét một thanh chịu kéo đúng tâm, trước khi thanh chịu ực, ta kẻ trên bề mặt ngoài của thanh những đường thẳng vuông góc với trục của thanh biểu thị cho các mặt cắt của thanh và những đường thẳng song song với trục của thanh biểu thị cho các thớ dọc của thanh (hình.a). Sau khi tác dụng ực kéo, ta thấ những đoạn thẳng vuông góc với trục thanh di chuển uống phía dưới, nhưng vẫn thẳng và vuông góc trục, còn những đường thẳng song song với trục thanh thì dịch ại gần với nhau, nhưng vẫn thẳng và song song với trục của thanh (hình.b). Với giả thiết biến dạng ả ra bên trong thanh tương tự như biến dạng quan sát được bên mặt ngoài thanh, ta có thể kết uận:. ác mặt cắt của thanh vẫn phẳng và vuông góc với trục thanh.. ác thớ dọc của thanh vẫn thẳng và song song với trục thanh. a) b) ựa vào hai kết uận trên, ta có thể thấ nội ực phân bố trên mặt cắt phải có phương song song với trục thanh, tức à có phương vuông góc với mặt cắt. Vậ trên mặt cắt của thanh chịu kéo (hoặc nén) chỉ có ứng suất pháp. H nh.

19 ặt khác dựa vào kết uận thứ nhất, ta thấ: khi bị biến dạng các thớ dọc bị chắn bởi cùng một mặt cắt (ví dụ mặt cắt -) đều có độ giãn dài bằng nhau, do đó theo định uật Húc, nội ực phải phân bố đều trên mặt cắt, tức à ứng suất pháp tại mọi điểm trên mặt cắt phải có trị số bằng nhau. Vậ ta có thể viết được biểu thức iên hệ giữa những nội ực phân bố trên mặt cắt với ực N của chúng như sau: Từ đó rút ra: Tổng quát ta có thể viết: N = N σ N σ (.) ông thức (.) cho phép tính ứng suất pháp nếu biết được ực dọc N và diện tích của mặt cắt. Trong công thức (.) thì N à trị số tuệt đối của ực dọc tại mặt cắt cần tìm ứng suất, ấ dấu dương (+) khi ực dọc à ực kéo, ấ dấu (-) khi ực dọc à ực nén. ông thức (.) có thể phát biểu như sau: (( Trị số ứng suất pháp trên mặt cắt thanh chịu kéo ha nén đúng tâm bằng tỷ số giữa ực dọc ở mặt cắt đó với diện tích mặt cắt đó )). Người ta chứng minh được rằng ứng suất pháp trên mặt cắt vuông góc với trục thanh đạt trị số ớn nhất so với ứng suất pháp trên bất cứ mặt cắt nghiêng nào. Ở đâ ta thấ được ứng suất pháp phân bố đều trên mặt cắt của thanh, nhưng điều nà chỉ đúng với những mặt cắt không nằm gần nơi có mặt cắt tha đổi đột ngột hoặc gần nơi có điểm đặt ực. Trong thực tế ở những mặt cắt rất gần điểm đặt ực cũng như gần nơi có mặt cắt tha đổi đột ngột thì ứng suất phân bố không đều, mà ở đó uất hiện ứng suất tập trung. Ví dụ: Tại mặt cắt - của thanh chịu kéo như hình. thì ứng suất phân bố đều trái ại ở mặt cắt - ứng suất phân bố không đều mà tại mép ỗ ứng suất có trị số ớn hơn ứng suất ở mặt cắt -. Tỷ số giữa ứng suất ớn nhất với ứng suất trung bình (em như ứng suất phân bố đều trên mặt cắt qua ỗ) gọi à hệ số tập trung ứng suất, ký hiệu tt : σtt αtt : σ thường trị số tt nằm trong khoảng (, ). a) b) c) H nh. d)... iến dạng dọc và biến dạng ngang Khi chịu kéo chiều dài thanh sẽ dài thêm ra, nhưng chiều ngang co bớt ại (hình.5). Hoặc khi chịu nén thì chiều dài thanh ngắn ại nhưng chiều ngang thanh rộng ra (hình.6). Thanh bị biến dạng được vẽ bằng nét đứt. hiều dài thanh tha đổi một đoạn = -, gọi à biến dạng dọc tuệt đối. Nếu chiều dài thanh dài ra, có trị số dương. Nếu chiều dài thanh ngắn đi, có trị số âm, gọi à độ giãn dọc tuệt đối (khi > 0), hoặc độ co dọc tuệt đối (khi < 0 ). Để so sánh biến dạng dọc của thanh có chiều dài khác nhau, người ta đưa ra khái niệm biến dạng dọc tương đối (epion) tức à biến dạng dọc tuệt đối trên một đơn vị chiều dài thanh và được tính bằng công thức:

20 Δ ε (.) Trong đó à một hư số cùng dấu với. Như đã nói ở trên dưới tác dụng của ực kéo, chiều dài thanh dài ra nhưng chiều ngang hẹp ại một đoạn b = b - b, b gọi à biến dạng =+ ngang tuệt đối, b mang trị số H nh.5 dương nếu chiều ngang tăng thêm: b mang trị số âm nếu chiều ngang hẹp ại. Để so sánh biến dạng ngang của những thanh có kích thước ngang khác nhau, người ta dùng khái niệm =- biến dạng ngang tương đối, H nh.6 tức à biến dạng ngang tuệt đối trên một đơn vị chiều ngang thanh, và được tính theo công thức: Δb ε b (.) Trong đó à một hư số có cùng dấu với b. Nhiều thí nghiệm cho thấ giữa và có một iên hệ với nhau như sau: ε μ ha με (.) ε ấu (-) trước tỷ số và chứng tỏ chúng uôn ngược dấu nhau, nghĩa à nếu chiều dài thanh dài thêm thì chiều ngang thanh hẹp bớt ại và ngược ại. Trong biểu thức (.), (mu) à hệ số oátông ha hệ số biến dạng ngang, nó đặc trưng cho tính đàn hồi của vật iệu. Trị số được ác định bằng thí nghiệm, hệ số nà à một hư số, tuỳ từng oại vật iệu khác nhau trị số cũng khác nhau và nằm trong khoảng từ 0 đến 0,5. iến dạng dọc tuệt đối được tính như sau: Qua thí nghiệm kéo nén những mẫu vật iệu khác nhau, nhà vật ý Rôbe Húc đã tìm thấ: Khi ực tác động chưa vượt qua một giới hạn nào đó (giới hạn nà tuỳ theo từng oại vật iệu) thì biến dạng dọc tuệt đối của mẫu thí nghiệm uôn uôn tỷ ệ thuận với ực và biểu thức của nó có dạng: Δ (*), nếu chú ý rằng N = thì ta có thể viết: E N Δ (**) E Trong đó: E gọi à mô đun đàn hồi khi kéo (nén) của vật iệu. Nó à một hằng số vật ý đặc trưng cho khả năng chống ại sự biến dạng khi chịu ực kéo ha nén của từng oại vật iệu trong phạm vi biến dạng đàn hồi. Trị số E được ác định bằng thí nghiệm. Đơn vị tính: N/m. Trị số E của một số vật iệu thông thường cho trong bảng (.). Tích số E gọi à độ cứng khi kéo (nén) đúng tâm. Nếu thanh có độ cứng E ớn thì biến dạng dọc tuệt đối nhỏ và ngược ại. Trị số có thể mang dấu (+) hoặc (-) tuỳ thuộc vào dấu của ực dọc N. iểu thức (*) và (**) có thể viết thành : Δ N E ε (.5) b b b b

21 Ta đã biết : N σ σ và tha vào (.5), ta có: ε. E Ha : σ ε.e (.6) iểu thức.6 chính à nội dung của định uật Húc trong kéo nén đúng tâm. Ta có thể phát biểu định ý như sau: Trong kéo (nén) đúng tâm, ứng suất pháp tỷ ệ thuận với biến dạng dọc tương đối. ảng. Hệ số của một số vật iệu thông thường Vật iệu Vật iệu Thép 0,5 0, ạc 0,9 Đồng 0, 0, Thuỷ tinh 0,5 Đồng đen 0, 0,5 Đá hộc 0,6 0, Gang 0, 0,7 ê tông 0,08 0,8 hì 0,5 Gỗ dán 0,07 Nhôm 0, 0,6 ao su 0,7 Kẽm 0, Nến 0,5 Vàng 0, ảng. ôđun đàn hồi E của một số vật iệu Vật iệu E (tính bằng N/m ) Thép,0 5 Gang (ám,trắng) (,5,6)0 5 Đồng, hợp kim đồng (đồng vàng, đồng đen),00 5 Nhôm và đuara 0,70 5 Khối â: -ằng đá vôi 0,60 5 -ằng gạch 0,00 5 ê tông nặng (khô cứng tự nhiên) (0, 0,8)0 5 Gỗ dọc thớ 0,0 5 ao su 0, Thí dụ tính toán: - Thí dụ.: ho một thanh chịu ực trên hình.7a. ho biết trọng ượng vật iệu àm thanh à, diện tích mặt cắt ngang của thanh à, =,5 m, = m. Hã vẽ biểu đồ ực dọc cho thanh. iết =. - ài giải: ựa vào phương pháp mặt cắt, ta thiết ập biểu thức ực dọc tại các mặt cắt bất kỳ của thanh. + Trong đoạn : tưởng tượng cắt thanh tại các mặt cắt -, giữ ại phần thanh bên dưới mặt cắt (hình.7b), ta có: = - + N = 0. Trong đó: à trọng ượng phần thanh đang ét. Rút ra: N = (N > 0, do đó N à ực kéo) - với (0,5 ).

22 + Trong đoạn : tưởng tượng cắt thanh tại mặt cắt -, giữ ại phần thanh bên dưới mặt cắt (hình.7c), ta có: =- ++N = 0. Trong đó: à trọng ượng phần thanh có chiều dài, với (,5 a) b) c) d),5 ). Rút ra: N H nh.7 = - = - N = ( -). iểu thức N biểu thị cho ực dọc tại mặt cắt bất kỳ trong đoạn, còn biểu thức N biểu thị cho ực dọc tại mặt cắt bất kỳ trong đoạn. Vì các biểu thức N, N khác nhau, nên ta không thể biểu diễn sự biến thiên của ực dọc trong toàn thanh bởi cùng một biểu thức N. Sự khác nhau đó ả ra tại các mặt cắt có ực tập trung đặt trùng với trục thanh, hoặc có sự thanh đổi đột ngột của cường độ ực phân bố dọc theo trục thanh. Để vẽ biểu đồ N, ta ấ một đường chuẩn (trục chuẩn song song với trục thanh có chiều dài bằng chiều dài trục thanh). Trên trục chuẩn đặt những đoạn thẳng vuông góc có độ dài biểu thị (theo một tỷ ệ ích đã chọn) cho trị số của ực dọc N tại các mặt cắt tương ứng (hình.7d). Trong trường hợp nà ực dọc trong mỗi đoạn thanh à hàm bậc nhất theo, nên biểu đồ N à đường thẳng iên. Để vẽ biểu đồ N cho từng đoạn thanh, ta khảo sát các biểu thức N và N. Tại = 0 (mặt cắt ): N = 0 Tại =,5 m (mặt cắt sát về phía dưới): N =,5 Tại =,5 m (mặt cắt sát về phía trên): N = (,5 -) = -0,5 Tại =,5 m (mặt cắt ): N = (,5 - ) N = 0,5 Tại mặt cắt có ực tập trung, biểu đồ có sự tha đổi đột ngột, ta nói biểu đồ có bước nhả. Trị số tuệt đối của bước nhả đúng bằng trị số của ực và bằng. - Thí dụ.: ọc theo trục của một thanh thép tròn gồm hai đoạn có đường kính khác nhau, có các ực = 0 kn, = 60 kn và = 80 kn tác dụng như hình.8a. iện tích mặt cắt ngang của thanh trong đoạn một à =,5 cm, trong đoạn hai à = cm. Vẽ biểu đồ ực dọc, tìm ứng suất trong các đoạn thanh và biến dạng dọc tuệt đối của thanh, khi tính không kể đến trọng ượng thanh. - ài giải: Để tính ứng suất trên mỗi đoạn thanh và biến dạng dọc tuệt đối của toàn thanh ta phải tìm ực dọc trong mỗi đoạn thanh. + Trên đoạn : dùng mặt cắt bất kỳ - ét 60kN sự cân bằng phần thanh bên dưới mặt cắt ta có: = N - = 0 N = = 0 kn + (với giả thiết N có chiều đi ra mặt cắt). o đó N 0kN = 0 kn (ực kéo) và không tha đổi trong đoạn. - N + Trên đoạn : dùng mặt cắt bất kỳ -, ét 0kN sự cân bằng phần thanh bên dưới mặt cắt ta có: + N 0.6m 0.5m 0.m N a) b) H nh N

23 = N - + = 0 N = = - 0 kn o đó N = -0 kn (nén) và N không tha đổi trong đoạn. + Trên đoạn : tương tự ta cũng dùng mặt cắt bất kỳ -, ét cân bằng phần thanh bên dưới mặt cắt ta có: =0 N = + - = = 60 kn. o đó N = 60 kn (kéo) và không tha đổi suốt đoạn. Sau khi tìm được ực dọc trong các đoạn thanh ta vẽ được biểu đồ ực dọc như hình (.8b). ựa vào biểu đồ ực dọc, áp dụng công thức (.) ta tính ứng suất trong các đoạn thanh: - Đoạn : Lực dọc N = 0 kn, vậ ứng suất trong đoạn à: N 0 σ 6.0 kn/m 60 N/m. -,5.0 - Đoạn : Lực dọc N = - 0 kn, vậ ứng suất trong đoạn à: N 0 σ 5.0 kn/m 50 N/m..0 - Đoạn : Lực dọc N = 60 kn, vậ ứng suất trong đoạn à: N 60 σ 5.0 kn/m 50 N/m..0 iến dạng dọc tuệt đối của thanh sẽ bằng tổng đại số biến dạng dọc tuệt đối của các đoạn thanh, và. o vậ, ta phải tính biến dạng dọc tuệt đối trong từng đoạn thanh có: trị số ực dọc không tha đổi, diện tích mặt cắt cũng không tha đổi, nên ta áp dụng công thức (.5) để tính biến dạng dọc tuệt đối cho các đoạn: N 0 0, - Đoạn : Δ,0 (m) 8 E.0,50 N 00,5 - Đoạn : Δ,50 (m) 8 E.0.0 N 600,6 - Đoạn : Δ,50 (m) 8 E.0.0 Vậ biến dạng dọc tuệt đối của toàn thanh: = + + = (,-,5 +,5)0 - = 5,650 - (m) = 0,565 mm 0,6 mm Vậ sau khi chịu tác dụng của ực chiều dài thanh dài thêm ra 0,6 mm... Thí nghiệm kéo ( nén) vật iệu uốn biết rõ tính chất cơ học của vật iệu, ta phải đem vật iệu ra thí nghiệm, để nghiên cứu những hiện tượng ả ra trong quá trình biến dạng của nó cho tới khi bị phá hỏng. Thí nghiệm thường dùng à thí nghiệm kéo và nén, vì kết quả của thí nghiệm nà có thể dùng cho nhiều trường hợp biến dạng khác (uốn). Trong điều kiện thông thường, người ta phân vật iệu ra àm hai oại: vật iệu dẻo như thép, đồng, nhôm vật iệu giòn như gang, đá, bê tông ưới đâ, ta ần ượt thí nghiệm kéo và nén mẫu của từng oại vật iệu để rút ra các đặc trưng cơ học của chúng... Thí nghiệm kéo vật iệu dẻo b ch t H nh.9 5 E O H nh.0

24 ẫu thí nghiệm à một thanh thép non có hình dạng và kích thước theo mẫu qu định (hình.9). Gọi à phần chiều dài àm việc của mẫu. Đặt mẫu vào má kéo rồi cho ực kéo tăng dần từ 0. Ta thấ chiều dài thanh tăng dần ên, chiều ngang thanh hẹp bớt cho đến khi ực kéo đạt trị số cực đại b thì một chỗ nào đó trên thanh bị thắt ại, sau đó kéo giảm dần cho đến một trị số d và thanh bị đứt tại chỗ thắt. Tương quan giữa và trị số của ực kéo được thể hiện bằng đồ thị (hình.0). Trong đó trục hoành biểu diễn trị số của và trục tung biểu diễn các trị số của ực kéo. Đồ thị đó gọi à biểu đồ kéo của vật iệu dẻo. Đồ thị đó cho biết vật iệu khi chịu kéo đã qua giai đoạn chính: a) Giai đoạn thứ nhất: Giai đoạn tỷ ệ. Vì trong giai đoạn nà vật iệu có tính chất đàn hồi b và tuân theo định uật Húc. Trên đồ thị giai đoạn nà biểu thị bằng đường thẳng O. Lực ớn nhất trong giai ch đoạn tỷ ệ à t ( tỷ ệ). Gọi 0 à diện tích ban đầu của t mẫu thí nghiệm ta có: N σ t t 0 Ứng suất t gọi à giới hạn tỷ ệ, thường giới hạn nà khó ác định. O Đối với thép số thì ơ t = 00 N/m. H nh. b) Giai đoạn thứ hai: Giai đoạn chả dẻo. Vì giai đoạn thường rất ngắn nên người ta bỏ qua không khảo sát, sau giai đoạn nà từ điểm đồ thị bắt đầu có đoạn nằm ngang. Lúc nà biến dạng của thanh tăng ên rõ rệt nhưng ực không tăng. Ta gọi giai đoạn nà à giai đoạn chả dẻo. Lực bắt đầu àm cho vật iệu chả dẻo, ký hiệu ch. Gọi ứng suất tương ứng với giai đoạn nà à giới hạn chả: ch σch Đối với thép số, ch = 0 N/m. 0 Đoạn nằm ngang trên đồ thị gọi à diện chả dẻo. c) Giai đoạn thứ : Giai đoạn củng cố. Vật iệu tự củng cố để chống ại biến dạng. Khi ực đạt đến trị số cực đại b ( bền ) thì có một chỗ nào đó trên mẫu thử bị thắt ại. Sau đó ực giảm uống dần nhưng biến dạng vẫn tăng, cho đến úc ực giảm đến trị số đ ( đứt ) thì thanh bị đứt tại chỗ thắt. b Gọi giới hạn bền à b ta có: b =. Đối với thép số, b = 0 N/m Khi ứng suất trong mẫu đạt đến trị số b ta em như mẫu bị phá hỏng mặc dù thực tế nó chưa bị phá hỏng. Giới hạn tỷ ệ ( t ), giới hạn chả ( ch ), giới hạn bền ( b ) đặc trưng cho tính chất chịu ực của vật iệu. Ta thấ ứng suất pháp tính theo các công thức trên không phải à ứng suất thật phát sinh trong mẫu thí nghiệm, vì diện tích mặt cắt thanh tha đổi iên tục suốt thời gian thí nghiệm, nên ta gọi ứng suất nà à ứng suất qu ước. Để biểu diễn mối iên hệ ứng suất và biến dạng, ta có thể vẽ đồ thị - (hình.); đồ thị nà không phụ thuộc vào kích thước mẫu và có dạng tương tự như đồ thị biểu diễn mối iên hệ giữa và (hình.). Thật vậ, muốn có đồ thị - ta chỉ việc chia tung độ và hoành độ của đồ thị quan hệ và cho 0 à 0. 0

25 Đồ thị - cho ta thấ các trị số của t, ch và b. Nếu ập quan hệ giữa hệ số góc của đoạn thẳng iên trong đồ thị - với các toạ độ của một điểm bất kỳ N trong giới hạn của đoạn thẳng đó, ta có: σ tgα. ε σ ặt khác theo định uật Húc: E. ε Vậ tg = E tức trị số môđun đàn hồi E khi kéo (nén) của vật iệu chính bằng hệ số góc của đoạn thẳng iên trong đồ thị -. Ngoài các đặc trưng tính chịu ực của vật iệu ta còn hai đặc trưng khác để chỉ tính dẻo của vật iệu, đó à: - Độ giãn dài tương đối khi đứt: tính theo phần trăm, ký hiệu (đọc à đen ta nhỏ): δ 00% Trong đó: - chiều dài phần àm việc của mẫu sau khi bị đứt. - chiều dài phần àm việc của mẫu khi chưa àm việc. - Độ thắt tương đối khi đứt tính: theo phần trăm ký hiệu à (đọc à cờ i): 0 ψ 00% 0 Trong đó: 0 - diện tích mặt cắt của mẫu úc đầu khi chưa chịu ực. - diện tích mặt cắt của mẫu ở chỗ bị thắt, sau khi bị đứt. Với một oại vật iệu nào đó và càng ớn thì vật iệu đó càng dẻo và ngược ại. Đối với thép số thì 0% và 60%... Thí nghiệm nén vật iệu dẻo Khi nén các vật iệu dẻo các mẫu thí nghiệm thường à hình trụ tròn có chiều cao ớn hơn đường kính một chút (hình.a). iểu đồ quan hệ giữa và như hình (.b). Qua biểu đồ ta thấ, vật iệu dẻo khi chịu nén cũng có giới hạn tỷ ệ, giới hạn chả dẻo nhưng không có giới hạn bền vì ực càng tăng mẫu thí nghiệm càng ẹp uống và đường kính của nó càng tăng ên (hình.a). ần chú ý đến đặc điểm của vật iệu dẻo: giới hạn tỷ ệ (kể cả giới hạn chả nếu vật iệu à thép) và môđun đàn hồi đều có trị số khi kéo và khi nén ấp ỉ bằng nhau. ch t O a) H nh. b)... Thí nghiệm kéo vật iệu giòn Vật iệu giòn chịu kéo kém nên bị phá hỏng đột ngột khi độ giãn dài và độ thắt tương đối còn rất nhỏ. iểu đồ có dạng đường cong nga từ khi ứng suất còn rất nhỏ. Nhìn vào biểu đồ ta thấ vật iệu không có giai đoạn tỷ ệ, giai đoạn chả dẻo. Như vậ đối với vật iệu giòn chỉ có giới hạn bền: b σb 0 b Trị số giới hạn bền nà so với trị số giới hạn bền của vật iệu dẻo à rất thấp, tu vật iệu không có giai đoạn tỷ ệ nhưng trong O H nh.

26 giới hạn àm việc thông thường đối với một số vật iệu giòn ta vẫn có thể áp dụng định uật Húc được. Tù theo mức độ chính ác khi tính toán ta có thể tha đoạn cong trong một phần nào đó của đồ thị bằng một đoạn thẳng (nét đứt ở hình.) thể hiện biểu đồ kéo vật iệu giòn.... Thí nghiệm nén vật iệu giòn Đối với vật iệu giòn khi chịu nén cũng bị phá hỏng nga từ khi biến dạng còn rất nhỏ. iểu đồ quan hệ và như hình., từ biểu đồ ta thấ vật iệu giòn khi chịu nén chỉ có giới hạn bền mà thôi, nhưng giới hạn bền nà có trị số ớn hơn giới hạn bền khi kéo. Qua các thí nghiệm trên đâ, ta có thể nêu ên những điểm khác nhau giữa vật iệu dẻo và vật iệu giòn: vật iệu dẻo phát sinh biến dạng nhiều mới hỏng, vật iệu giòn biến dạng ít đã hỏng; vật iệu dẻo chịu kéo và nén như nhau, vật iệu giòn chịu nén tốt hơn chịu kéo rất nhiều... Tính toán trong kéo (nén) đúng tâm O H nh.... Khái niệm về ứng suất cho phép - hệ số an toàn Ở trên đã nghiên cứu các giới hạn của vật iệu khi chịu ực, ta cần dựa vào các giới hạn nà để tính toán các cấu kiện tuỳ theo chúng àm bằng vật iệu nào, để đảm bảo sao cho an toàn và tiết kiệm nhất. Với vật iệu dẻo thường chọn ứng suất ngu hiểm ký hiệu o à giới hạn chả, để đảm bảo cấu kiện khi chịu ực không có biến dạng ớn, còn với vật iệu giòn chọn ứng suất ngu hiểm à giới hạn bền. Để đảm bảo cho cấu kiện àm việc được an toàn, ta phải hạn chế ứng suất ớn nhất phát sinh trong cấu kiện, sao cho nó không vượt quá một trị số chỉ bằng một phần ứng suất ngu hiểm. Trị số nà gọi à ứng suất cho phép, ký hiệu à [ ] và tính theo công thức: σ0 σ, với n à hệ số an toàn. n Việc ựa chọn hệ số an toàn có ý nghĩa về mặt kỹ thuật cũng như về kinh tế. Thường hệ số an toàn do Nhà nước qu định dựa vào một số điều kiện sau: -Tính chất của vật iệu: vật iệu dẻo ha vật iệu giòn, đồng chất ha không đồng chất. - Điều kiện àm việc của cấu kiện. - Tính chất quan trọng, thời gian sử dụng của cấu kiện (vĩnh viễn ha tạm thời). - ức độ chính ác của các giả thuết khi tính toán và thiết kế - trình độ và phương pháp gia công (ha thi công). - Tính chất của ực tác dụng ên cấu kiện (ực động, ực tĩnh, va chạm...). ảng.. Ứng suất cho phép của một số vật iệu thông thường. Vật iệu [ ] tính bằng N/m Kéo Nén Thép â dựng số,60,60 Thép â dựng số 5,0,0 Đồng (0,,)0 Nhôm (0, 0,8)0 Đuara (0,8,5)0 Gang ám (0,8 0,8)0 (,,5)0... Điều kiện cường độ-ba bài toán cơ bản b

27 Thanh chịu kéo (nén) đúng tâm đảm bảo điều kiện cường độ khi ứng suất pháp ớn nhất phát sinh trong thanh phải nhỏ hơn ha tối đa bằng ứng suất pháp cho phép, nghĩa à: N σ ma σ (.7) Từ điều kiện cường độ (.7) ta có thể gặp ba oại bài toán cơ bản sau: a) ài toán kiểm tra cường độ: Khi biết ực dọc trong thanh N, diện tích mặt cắt à và ứng suất cho phép []. Thanh đảm bảo cường độ khi thoả mãn điều kiện: N σ ma σ b) ài toán chọn diện tích mặt cắt của thanh khi biết ực dọc N và ứng suất cho phép []: Ta có công thức ác định diện tích mặt cắt của thanh: N σ c) ài toán ác định trị số ớn nhất của tải trọng mà thanh có thể chịu được theo công thức: N [] =[ N ] ưới đâ ta sẽ nghiên cứu một ví dụ để àm sáng tỏ các vấn đề đã nêu trên. - Ví dụ.: Kiểm tra cường độ của một thanh gỗ. Trên thanh có các ỗ khuết như ở hình.5. Lỗ tròn đường kính d = 8 cm, ỗ chữ nhật kích thước (6) cm Thanh chịu ực nén = 96 kn, ứng suất cho phép về nén của gỗ à [] n = 0 N/m. - ài giải: Ta phải kiểm tra cường độ của thanh ở mặt cắt có diện tích nhỏ nhất vì tại mặt cắt đó sẽ phát sinh ứng suất pháp ớn nhất. Trong các mặt cắt - và - đi qua các ỗ khuết, thì mặt cắt - ngu hiểm hơn vì diện tích chịu ực của thanh ở đâ nhỏ hơn, diện tích mặt cắt nà à: = (0,8 0,) (0,08 0,) = 0,0 m H nh.5 Ứng suất tại mặt cắt ngu hiểm à: 96 σ 8000 kn/m 0,0 Ứng suất ớn nhất trong thanh: = 8 N/m < [ ] =0 N/m. Vậ thanh đảm bảo cường độ. 8 N/m - Thí dụ.: ột thanh thép tròn chịu ực kéo đúng tâm =,0 kn. Tính đường kính tối thiểu của thanh, biết ứng suất cho phép []=,0 N/m. N - ài giải: ựa vào công thức (.8) ta có: Ở đâ: N = =,0 πd,0 kn, ha: d,0 (m). 5 0 Vậ chọn đường kính tối thiểu của thanh à d =,0 - m =, cm. σ

28 - Thí dụ.5: ột thanh tuệt đối cứng. Đầu được bắt bản ề cố định vào tường, đầu kia chịu tác dụng của ực. Thanh được giữ cân bằng nhờ thanh thép tròn nằm ngang có đường kính d=6 mm (hình.6). Hã ác định trị số ớn nhất của ực theo điều kiện cường độ thanh biết ứng suất cho phép của thanh à: [] =,60 N/m. - ài giải: Tha bản ề bằng các phản ực X,Y. Tưởng tượng cắt.m thanh bởi mặt cắt - trên N thanh uất hiện ực dọc N ta có: 0.8m =-, + 0,8N = 0 X, N,75 a) b) 0,8 H nh.6 Từ công thức (.9) ta có: (0,06),,60 N σ,5 kn o đó ực cho phép à: N,5 8,7 kn.,75,75 Vậ trị số ớn nhất của ực à 8,7kN.... Tính ứng suất có kể đến trọng ượng bản thân Trong các công thức tính toán về kéo (nén) đúng tâm đã trình bà ở trên, ta bỏ qua ảnh hưởng của trọng ượng cấu kiện, vì trọng ượng nà thường rất nhỏ so với độ ớn của ực tác dụng ên cấu kiện. Nhưng trong trường hợp tính những thanh dài, trụ ớn, tường nặng, đập, bệ má thì ảnh hưởng của trọng ượng cấu kiện cũng rất đáng kể. ưới đâ ta sẽ ét trường hợp cụ thể đó. Y a) Thanh có mặt cắt không đổi: Giả sử có thanh thẳng đứng chiều dài, diện tích mặt cắt không đổi à. Ở đầu tự do có ực kéo đúng tâm tác dụng (hình.7a). Thanh àm bằng vật iệu có trọng ượng riêng. Tìm ứng suất phát sinh trong N thanh Trước hết ta tìm ực dọc trong thanh. Tại mặt cắt bất kỳ - (hình.7b): N = + iểu đồ N như hình.8c. Ứng suất phát sinh trên mặt cắt - à: a) b) γ σ ha: σ γ H nh.7 o đó ứng suất phát sinh trên thanh cũng biến thiên dọc theo chiều dài thanh và có giá trị ớn nhất ở ngàm. Điều kiện cường độ trong trường hợp nà à: σ ma γ σ iện tích tối thiểu của thanh tính theo công thức:. + + c) N H nh.8